Angles orientés mesure et trigonométrie 30 janvier 2014 Angles orientés Angles orientés mesure et trigonométrie 30 janvier 2014 Il y a trois sortes de mathématiciens : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas ≫ Benjamin Dereca ≪ Angles orientés I. Le cercle trigonométrique Angles orientés I. Le cercle trigonométrique Définition Une unité de longueur étant fixée, Angles orientés I. Le cercle trigonométrique Définition Une unité de longueur étant fixée, on appelle cercle trigonométrique Angles orientés I. Le cercle trigonométrique Définition Une unité de longueur étant fixée, on appelle cercle trigonométrique tout cercle de rayon 1 Angles orientés I. Le cercle trigonométrique Définition Une unité de longueur étant fixée, on appelle cercle trigonométrique tout cercle de rayon 1 muni d’une origine et d’un sens de parcours Angles orientés I. Le cercle trigonométrique Définition Une unité de longueur étant fixée, on appelle cercle trigonométrique tout cercle de rayon 1 muni d’une origine et d’un sens de parcours appelé sens direct. Angles orientés I. Le cercle trigonométrique Définition Une unité de longueur étant fixée, on appelle cercle trigonométrique tout cercle de rayon 1 muni d’une origine et d’un sens de parcours appelé sens direct. Par convention, le sens direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre et il est également appelé sens trigonométrique. Angles orientés I. Le cercle trigonométrique Définition Une unité de longueur étant fixée, on appelle cercle trigonométrique tout cercle de rayon 1 muni d’une origine et d’un sens de parcours appelé sens direct. Par convention, le sens direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre et il est également appelé sens trigonométrique. + b O b 1 Angles orientés A II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique 1 + b O b A 1 −1 Angles orientés II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique 1 + b bb b O b A 1 −1 Angles orientés II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique 1 + b b b O b A 1 −1 Angles orientés II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique 1 + b b b O b A 1 −1 Angles orientés II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique permet : d’associer à chaque réel un point sur le cercle b b b O 1 + b A 1 −1 Angles orientés II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique permet : d’associer à chaque réel un point sur le cercle de repérer tout point M du cercle en donnant une mesure de l’arc orienté AM b M 1 b + b O b A 1 −1 Angles orientés II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique permet : d’associer à chaque réel un point sur le cercle de repérer tout point M du cercle en donnant une mesure de l’arc orienté AM 1 + b O A b 1 b M b −1 Angles orientés III.a. Le radian Définition Soient A et B deux points d’un cercle trigonométrique de centre O. Angles orientés III.a. Le radian Définition Soient A et B deux points d’un cercle trigonométrique de centre O. # » # » Une mesure en radians de l’angle (OA, OB) est la longueur algébrique de l’arc AB. Angles orientés III.a. Le radian Définition Soient A et B deux points d’un cercle trigonométrique de centre O. # » # » Une mesure en radians de l’angle (OA, OB) est la longueur algébrique de l’arc AB. elle est positive lorsqu’on tourne dans le sens direct Angles orientés III.a. Le radian Définition Soient A et B deux points d’un cercle trigonométrique de centre O. # » # » Une mesure en radians de l’angle (OA, OB) est la longueur algébrique de l’arc AB. elle est positive lorsqu’on tourne dans le sens direct elle est négative lorsqu’on tourne dans le sens indirect b B + α b O b 1 Angles orientés A Remarques la mesure d’un angle orienté n’est pas unique Angles orientés Remarques la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut Angles orientés Remarques la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut # » # » si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z Angles orientés Remarques la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut # » # » si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z k est le nombre de tours que l’on a effectué dans le sens direct ou indirect Angles orientés Remarques la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut # » # » si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z k est le nombre de tours que l’on a effectué dans le sens direct ou indirect # » # » on écrit en général (OA, OB) ≡ α [2π] Angles orientés Remarques la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut # » # » si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z k est le nombre de tours que l’on a effectué dans le sens direct ou indirect # » # » on écrit en général (OA, OB) ≡ α [2π] # » # » qu’on lit ” l’angle orienté (OA, OB) a pour mesure α modulo 2π ” Angles orientés Remarques la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut # » # » si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z k est le nombre de tours que l’on a effectué dans le sens direct ou indirect # » # » on écrit en général (OA, OB) ≡ α [2π] # » # » qu’on lit ” l’angle orienté (OA, OB) a pour mesure α modulo 2π ” Angles orientés Remarques la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut # » # » si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z k est le nombre de tours que l’on a effectué dans le sens direct ou indirect # » # » on écrit en général (OA, OB) ≡ α [2π] # » # » qu’on lit ” l’angle orienté (OA, OB) a pour mesure α modulo 2π ” Propriétés Tout angle orienté de vecteurs possède une unique mesure dans l’intervalle ] − π; π]. Angles orientés Remarques la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut # » # » si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z k est le nombre de tours que l’on a effectué dans le sens direct ou indirect # » # » on écrit en général (OA, OB) ≡ α [2π] # » # » qu’on lit ” l’angle orienté (OA, OB) a pour mesure α modulo 2π ” Propriétés Tout angle orienté de vecteurs possède une unique mesure dans l’intervalle ] − π; π]. On lui donne le nom de mesure principale. Angles orientés III.c. Les angles remarquables 3π 4 5π 6 π − π 2 2π 3 π 3 b b π 4 b b b π 6 b b 0 b 5π 6 b b − b b 3π − 4 b − 2π 3 b b − π 2 − Angles orientés π 3 − π 4 π 6 III.d.Mesures principales Exemples Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est Angles orientés 7π . 6 III.d.Mesures principales Exemples Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est on a 5π 12π 7π =− + 6 6 6 Angles orientés 7π . 6 III.d.Mesures principales Exemples Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est on a 5π 12π 7π =− + 6 6 6 donc 7π 5π =− + 2π 6 6 Angles orientés 7π . 6 III.d.Mesures principales Exemples Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est on a 5π 12π 7π =− + 6 6 6 donc 7π 5π =− + 2π 6 6 La mesure principale de cet angle est donc − 5π . 6 Angles orientés 7π . 6 III.d.Mesures principales Exemples Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est on a 5π 12π 7π =− + 6 6 6 donc 7π 5π =− + 2π 6 6 La mesure principale de cet angle est donc − 7π . 6 5π . 6 Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est Angles orientés 23π . 5 III.d.Mesures principales Exemples Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est on a 5π 12π 7π =− + 6 6 6 donc 7π 5π =− + 2π 6 6 La mesure principale de cet angle est donc − 5π . 6 Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est on a 7π . 6 3π 20π 23π = + 5 5 5 Angles orientés 23π . 5 III.d.Mesures principales Exemples Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est on a 5π 12π 7π =− + 6 6 6 donc 7π 5π =− + 2π 6 6 La mesure principale de cet angle est donc − 5π . 6 Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est on a 3π 20π 23π = + 5 5 5 donc 23π 3π = + 4π 5 5 7π . 6 Angles orientés 23π . 5 III.d.Mesures principales Exemples Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est on a 5π 12π 7π =− + 6 6 6 donc 7π 5π =− + 2π 6 6 La mesure principale de cet angle est donc − 5π . 6 Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est on a 3π 20π 23π = + 5 5 5 donc 23π 3π = + 4π 5 5 La mesure principale de cet angle est donc 7π . 6 3π . 5 Angles orientés 23π . 5 IV.a. Angle orienté d’un couple de vecteurs Angles orientés IV.a. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définition Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls du plan. Angles orientés IV.a. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définition Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls du plan. # » # » Soit O, M et N trois points tels que #» u = OM et #» v = ON. Angles orientés IV.a. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définition Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls du plan. # » # » Soit O, M et N trois points tels que #» u = OM et #» v = ON. Les demi-droites [OM ) et [ON ) coupent le cercle trigonométrique de centre O respectivement en A et B. Angles orientés IV.a. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définition Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls du plan. # » # » Soit O, M et N trois points tels que #» u = OM et #» v = ON. Les demi-droites [OM ) et [ON ) coupent le cercle trigonométrique de centre O respectivement en A et B. N M B A #» v #» u O × C + Angles orientés IV.a. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définition Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls du plan. # » # » Soit O, M et N trois points tels que #» u = OM et #» v = ON. Les demi-droites [OM ) et [ON ) coupent le cercle trigonométrique de centre O respectivement en A et B. N M B A #» v #» u O × C + # » # » La mesure de l’angle orienté ( #» u , #» v ) est celle de l’angle (OA, OB). Angles orientés IV. Propriétés des angles orientés Angles orientés IV. Propriétés des angles orientés a. Angles et colinéarité Angles orientés IV. Propriétés des angles orientés a. Angles et colinéarité Propriété Soient #» u et #» v deux vecteurs non nuls. Angles orientés IV. Propriétés des angles orientés a. Angles et colinéarité Propriété Soient #» u et #» v deux vecteurs non nuls. #» u et #» v sont colinéaires de même sens si et seulement si ( #» u , #» v ) ≡ 0 [2π]. Angles orientés IV. Propriétés des angles orientés a. Angles et colinéarité Propriété Soient #» u et #» v deux vecteurs non nuls. #» u et #» v sont colinéaires de même sens si et seulement si ( #» u , #» v ) ≡ 0 [2π]. #» u et #» v sont colinéaires de sens contraire si et seulement si ( #» u , #» v ) ≡ π [2π]. Angles orientés IV. Propriétés des angles orientés b. Relation de Chasles Angles orientés IV. Propriétés des angles orientés b. Relation de Chasles Théorème #» non nuls, on a : Pour tous vecteurs #» u , #» v et w Angles orientés IV. Propriétés des angles orientés b. Relation de Chasles Théorème #» non nuls, on a : Pour tous vecteurs #» u , #» v et w #» ≡ ( #» #» ( #» u , #» v ) + ( #» v , w) u , w) [2π] Angles orientés IV. Propriétés des angles orientés b. Relation de Chasles Théorème #» non nuls, on a : Pour tous vecteurs #» u , #» v et w #» ≡ ( #» #» ( #» u , #» v ) + ( #» v , w) u , w) [2π] #» w #» v #» u Angles orientés IV. Propriétés des angles orientés b. Relation de Chasles Théorème #» non nuls, on a : Pour tous vecteurs #» u , #» v et w #» ≡ ( #» #» ( #» u , #» v ) + ( #» v , w) u , w) [2π] #» w #» v #» u Angles orientés IV. Propriétés des angles orientés b. Relation de Chasles Théorème #» non nuls, on a : Pour tous vecteurs #» u , #» v et w #» ≡ ( #» #» ( #» u , #» v ) + ( #» v , w) u , w) [2π] #» w #» v #» u Angles orientés Propriété Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v , on a ( #» v , #» u ) ≡ −( #» u , #» v) [2π] Angles orientés Propriété Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v , on a ( #» v , #» u ) ≡ −( #» u , #» v) [2π] Démonstration : Angles orientés Propriété Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v , on a ( #» v , #» u ) ≡ −( #» u , #» v) [2π] Démonstration : On a ( #» u , #» u) ≡ 0 [2π] Angles orientés Propriété Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v , on a ( #» v , #» u ) ≡ −( #» u , #» v) [2π] Démonstration : On a ( #» u , #» u) ≡ 0 [2π] Or, d’après la relation de Chasles, Angles orientés Propriété Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v , on a ( #» v , #» u ) ≡ −( #» u , #» v) [2π] Démonstration : On a ( #» u , #» u) ≡ 0 [2π] Or, d’après la relation de Chasles, ( #» u , #» u ) ≡ ( #» u , #» v ) + ( #» v , #» u) [2π] Angles orientés Propriété Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v , on a ( #» v , #» u ) ≡ −( #» u , #» v) [2π] Démonstration : On a ( #» u , #» u) ≡ 0 [2π] Or, d’après la relation de Chasles, ( #» u , #» u ) ≡ ( #» u , #» v ) + ( #» v , #» u) [2π] donc ( #» u , #» v ) + ( #» v , #» u) ≡ 0 [2π] Angles orientés Propriété Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v , on a ( #» v , #» u ) ≡ −( #» u , #» v) [2π] Démonstration : On a ( #» u , #» u) ≡ 0 [2π] Or, d’après la relation de Chasles, ( #» u , #» u ) ≡ ( #» u , #» v ) + ( #» v , #» u) [2π] donc ( #» u , #» v ) + ( #» v , #» u) ≡ 0 [2π] d’où ( #» v , #» u ) ≡ −( #» u , #» v) [2π] Angles orientés Propriétés Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v : Angles orientés Propriétés Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v : ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] Angles orientés Propriétés Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v : ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] Angles orientés Propriétés Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v : ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v) [2π] Angles orientés Propriétés Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v : ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v) [2π] Démonstration : Angles orientés Propriétés Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v : ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v) [2π] Démonstration : On a ( #» v , − #» v) ≡ π [2π] Angles orientés Propriétés Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v : ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v) [2π] Démonstration : On a ( #» v , − #» v) ≡ π [2π] Or, d’après la relation de Chasles, Angles orientés Propriétés Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v : ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v) [2π] Démonstration : On a ( #» v , − #» v) ≡ π [2π] Or, d’après la relation de Chasles, ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v ) + ( #» v , − #» v) [2π] Angles orientés Propriétés Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v : ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v) [2π] Démonstration : On a ( #» v , − #» v) ≡ π [2π] Or, d’après la relation de Chasles, ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v ) + ( #» v , − #» v) [2π] donc ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] Angles orientés Propriétés Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v : ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] (− #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v) [2π] Démonstration : On a ( #» v , − #» v) ≡ π [2π] Or, d’après la relation de Chasles, ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v ) + ( #» v , − #» v) [2π] donc ( #» u , − #» v ) ≡ ( #» u , #» v)+π [2π] Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #» u ; #» v ) ≡ x [2π] Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #» u ; #» v ) ≡ x [2π] #» # » On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π] Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #» u ; #» v ) ≡ x [2π] #» # » On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π] Le cosinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v) Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #» u ; #» v ) ≡ x [2π] #» # » On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π] Le cosinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’abscisse de M dans (O; #» ı , #» ). Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #» u ; #» v ) ≡ x [2π] #» # » On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π] Le cosinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’abscisse de M dans (O; #» ı , #» ). on le note cos x ou cos( #» u ; #» v) Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #» u ; #» v ) ≡ x [2π] #» # » On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π] Le cosinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’abscisse de M dans (O; #» ı , #» ). on le note cos x ou cos( #» u ; #» v) Le sinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v) Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #» u ; #» v ) ≡ x [2π] #» # » On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π] Le cosinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’abscisse de M dans (O; #» ı , #» ). on le note cos x ou cos( #» u ; #» v) Le sinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’ordonnée de M dans (O; #» ı , #» ). Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #» u ; #» v ) ≡ x [2π] #» # » On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π] Le cosinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’abscisse de M dans (O; #» ı , #» ). on le note cos x ou cos( #» u ; #» v) Le sinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’ordonnée de M dans (O; #» ı , #» ). #» #» on le note sin x ou sin( u ; v ) Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #» u ; #» v ) ≡ x [2π] #» # » On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π] Le cosinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’abscisse de M dans (O; #» ı , #» ). on le note cos x ou cos( #» u ; #» v) Le sinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’ordonnée de M dans (O; #» ı , #» ). #» #» on le note sin x ou sin( u ; v ) La tangente de x ou de ( #» u ; #» v) Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #» u ; #» v ) ≡ x [2π] #» # » On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π] Le cosinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’abscisse de M dans (O; #» ı , #» ). on le note cos x ou cos( #» u ; #» v) Le sinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’ordonnée de M dans (O; #» ı , #» ). #» #» on le note sin x ou sin( u ; v ) sin x La tangente de x ou de ( #» u ; #» v ) est le quotient cos x Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #» u ; #» v ) ≡ x [2π] #» # » On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π] Le cosinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’abscisse de M dans (O; #» ı , #» ). on le note cos x ou cos( #» u ; #» v) Le sinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’ordonnée de M dans (O; #» ı , #» ). #» #» on le note sin x ou sin( u ; v ) sin x La tangente de x ou de ( #» u ; #» v ) est le quotient cos x π elle est seulement définie lorsque x est différent de + kπ, k ∈ Z. 2 Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #» u ; #» v ) ≡ x [2π] #» # » On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π] Le cosinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’abscisse de M dans (O; #» ı , #» ). on le note cos x ou cos( #» u ; #» v) Le sinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’ordonnée de M dans (O; #» ı , #» ). #» #» on le note sin x ou sin( u ; v ) sin x La tangente de x ou de ( #» u ; #» v ) est le quotient cos x π elle est seulement définie lorsque x est différent de + kπ, k ∈ Z. 2 #» #» on la note tan x ou tan( u ; v ) Angles orientés V. Trigonométrie a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs Définition Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #» ı , #» ) un repère orthonormé direct du plan Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #» u ; #» v ) ≡ x [2π] #» # » On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π] Le cosinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’abscisse de M dans (O; #» ı , #» ). on le note cos x ou cos( #» u ; #» v) Le sinus de x ou de l’angle ( #» u ; #» v ) est l’ordonnée de M dans (O; #» ı , #» ). #» #» on le note sin x ou sin( u ; v ) sin x La tangente de x ou de ( #» u ; #» v ) est le quotient cos x π elle est seulement définie lorsque x est différent de + kπ, k ∈ Z. 2 #» #» on la note tan x ou tan( u ; v ) # » tan x se lit sur la tangente au cercle C en A, où A est tel que OA = #» ı. Angles orientés tan x b T B M C b sin x #» x O cos x Angles orientés #» ı A Propriétés Pour tout réel x et tout entier relatif k, on a : −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1 cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x (cos x)2 + (sin x)2 = 1 noté cos2 x + sin2 x = 1 Angles orientés V. Trigonométrie b. Valeurs remarquables x 0 cos x 1 sin x 0 Angles orientés V. Trigonométrie b. Valeurs remarquables x 0 cos x 1 sin x 0 π 6 √ 3 2 1 2 Angles orientés V. Trigonométrie b. Valeurs remarquables x 0 cos x 1 sin x 0 π 6 √ 3 2 1 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 Angles orientés V. Trigonométrie b. Valeurs remarquables x 0 cos x 1 sin x 0 π 6 √ 3 2 1 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 π 3 1 2 √ 3 2 Angles orientés V. Trigonométrie b. Valeurs remarquables x 0 cos x 1 sin x 0 π 6 √ 3 2 1 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 π 3 1 2 √ 3 2 π 2 0 1 Angles orientés V. Trigonométrie b. Valeurs remarquables x 0 cos x 1 sin x 0 π 6 √ 3 2 1 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 π 3 1 2 √ 3 2 π 2 2π 3 0 − 1 1 2 √ 3 2 Angles orientés V. Trigonométrie b. Valeurs remarquables x 0 cos x 1 sin x 0 π 6 √ 3 2 1 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 π 3 1 2 √ 3 2 π 2 2π 3 0 − 1 1 2 √ 3 2 3π 4 √ 2 2 √ 2 2 − Angles orientés V. Trigonométrie b. Valeurs remarquables x 0 cos x 1 sin x 0 π 6 √ 3 2 1 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 π 3 1 2 √ 3 2 π 2 2π 3 0 − 1 1 2 √ 3 2 3π 4 √ 2 2 √ 2 2 − Angles orientés 5π 6 √ − 3 2 1 2 V. Trigonométrie b. Valeurs remarquables x 0 cos x 1 sin x 0 π 6 √ 3 2 1 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 π 3 1 2 √ 3 2 π 2 2π 3 0 − 1 1 2 √ 3 2 3π 4 √ 2 2 √ 2 2 − Angles orientés 5π 6 √ − 3 2 1 2 π −1 0