La mesure en mcanique quantique - ESPCI

Travaux Dirigés de Physique Quantique : TD
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LA MESURE EN MECANIQUE QUANTIQUE
I-/ On considère le mouvement d’une particule sans spin régi par un Hamiltonien Ĥ . On
suppose connue l’équation aux valeurs propres de Ĥ :
Ĥ n1 , n2 = ( n12 + n22 ) n1 , n2 avec : n '1 , n '2 n1 , n2 = δ n1 ,n2 δ n '1 ,n '2
Où n1 et n2 sont des entiers positifs.
On suppose qu’à l’instant t = 0 la particule est dans l’état normalisé à l’unité :
ψ t = 0 = a 11
, + b 1,2
Où a et b sont des constantes réelles positives.
b g
1-/ Déterminer a et b sachant que la valeur moyenne de l’énergie à l’instant t = 0 est 3.
bg
2-/ Déterminer l’état ψ t
de la particule à un instant t > 0.
⎧ Â n1 , n2 = n1 n1 , n2
ˆ et B
ˆ deux observables de la particule telles que : ⎪⎨
3-/ Soient A
⎪⎩ B̂ n1 , n2 = n2 n1 , n2
Quelles sont, à un instantt > 0 , les valeurs possibles des résultats de mesures de A et B et
leurs probabilités respectives ?
II-/
On considère un système physique S dont une grandeur P1 est représenté dans une
base orthonormée
lψ
1
, ψ2 , ψ3
q par la matrice
F0 3
A = G 3 −2
GH 0 0
I
JJ
K
0
0
1
1-/ On mesure P1 , quelles valeurs peut-on trouver ?
2-/ Si l’on prépare le système S dans l’état ψ 1 , qu’obtient-on comme résultat de mesure et
avec quelle probabilité ?
3-/ Une seconde grandeur P2 du système S est représentée dans la même base
lψ
1
, ψ2 , ψ3
q par la matrice
F1
GG 2
3
B=G
GG 02
H
I
JJ
JJ
JK
3
0
2
1
0
−
2
0 −1
On mesure P2 , quelles valeurs peut-on obtenir ?
4-/ On mesure P1 , dans quel état se trouve le système ? On mesure ensuite P2 , qu’obtient-on
suivant le résultat de mesure de P1 ?
5-/ On mesure P2 , dans quel état se trouve le système ? On mesure ensuite P1 , qu’obtient-on
suivant le résultat de mesure de P2 ?
D.Marchand
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6-/ On considère une troisième grandeur P3 représentée dans la base
matrice
F1
C=G 0
GH −1
lψ
1
, ψ2 , ψ3
q par la
I
JJ
K
0 −1
1
3
3 1
On mesure P3 , qu’obtient-on ? Dans quels états se trouve le système ?
Puis on mesure P2 , qu’obtient-on ?
7-/ On mesure P3 puis P1 , qu’obtient-on ?
8-/ On mesure P3 , quelle est la valeur moyenne de P1 dans chacun des états possibles du
système ?
9-/ On considère une 4ème grandeur P4 représentée dans la base ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 par la
matrice
l
F1
D = G2
GH 0
Peut-on mesurer P4 ?
D.Marchand
I
JJ
K
0 0
0 0
0 1
q
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3
Les outils...
1-/ Description de l’état d’un système :
A un instant donné t0 fixé, l’état d’un système est défini par la donnée d’un ket ψ t0
appartenant à l’espace des états E.
bg
Remarque : E étant un espace vectoriel, ce postulat implique un principe de superposition :
une combinaison linéaire de vecteurs d’état est un vecteur d’état.
2-/ Description des grandeurs physiques :
Toute grandeur physique mesurable A est décrite par un opérateur  agissant dans E ; cet
opérateur est une observable.
3-/ Mesure des grandeurs physiques :
a) résultats possibles
La mesure d’une grandeur physique A ne peut donner comme résultat qu’une des
valeurs propres de l’observable  correspondante.
Remarque : une mesure de A donnera toujours une valeur réelle puisque  est par définition
hermitique.
b) principe de décomposition spectrale
b-1) cas d’un spectre discret non dégénéré :
Lorsqu’on mesure la grandeur physique A sur un système dans l’état
ψ normé, la probabilité P an d’obtenir comme résultat la valeur propre
b g
b g
non dégénérée an de l’observable  correspondante est : P an = un ψ
2
où
un est le vecteur propre normé de  associé à la valeur propre an .
b-2) cas où an est dégénérée : (de degré de dégénérescence gn )
b g
gn
P an = ∑ uni ψ
2
o t bi = 1… g g est un système orthonormé de vecteurs
où uni
i =1
n
formant une base dans le sous-espace propre En associé à la valeur propre an .
b-3) cas d’un spectre continu non dégénéré :
La probabilité dP α d’obtenir un résultat compris entre α et α + dα vaut :
bg
dP α = vα ψ
bg
2
dα où vα est le vecteur propre correspondant à la valeur
propre α de l’observable  associée à A.
D.Marchand
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4-/ Réduction du paquet d’ondes :
Si la mesure de la grandeur physique A sur le système dans l’état ψ donne le résultatan ,
l’état du système immédiatement après la mesure est la projection normée
P̂n ψ
de ψ sur le sous espace propre associé à an .
ψ Pn ψ
5-/ Evolution dans le temps :
L’évolution dans le temps du vecteur d’état ψ t est régie par l’équation de Schrödinger :
d
i
ψ ( t ) = Ĥ ( t ) ψ ( t ) où Ĥ ( t ) est l’observable associée à l’énergie totale du système.
dt
bg
6-/ Règles de quantification :
Pour une particule sans spin soumise à un potentiel scalaire :
b
g
(
ˆ ˆ ˆ ˆ
* à la position r x , y, z de la particule est associée l’observable R X,Y,Z
d
)
(
i
ˆ
* à l’impulsion p px , p y , pz de la particule est associée l’observable P Pˆ X ,Pˆ Y ,Pˆ Z
)
⎧ ⎡ Rˆ i ,Rˆ j ⎤ = ⎡ Pˆi ,Pˆ j ⎤ = 0
⎪⎣
⎦ ⎣
⎦
telles que : ⎨
⎪⎩ ⎡⎣ Rˆ i ,Pˆ j ⎤⎦ = i δ ij
L’observable  qui décrit une grandeur physique A définie classiquement, s’obtient en
remplaçant dans l’expression convenablement symétrisée de A, r et p par les observables
ˆ ˆ
R et P respectivement.
7-/ Principe de superposition et prévisions physiques :
a) Soient ψ 1 et ψ 2 deux états normés et orthogonaux :
R| ψ
S| ψ
T
1
ψ1 = ψ 2 ψ 2 =1
1
ψ2 = 0
ψ 1 et ψ 2 sont par exemple deux états propres d’une même observable B̂ associés à deux
valeurs propres différentes b1 et b2 .
Considérons un état normé ψ , superposition linéaire de ψ 1 et ψ 2 : ψ = λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2
eλ
2
1
j
+ λ 2 = 1 ; alors la probabilité de trouver b1 lors d’une mesure de B est λ 1 , celle de
2
2
trouver b2 est λ 2 .
2
ˆ et B
ˆ (correspondant à deux grandeurs physiques A et B)
b) Si deux observables A
commutent
⎧Â ψ n = α n ψ n
ˆ ˆ ⎤ = 0 alors ∃ une base commune ψ , soit : ⎪⎨
⎡ A,B
n
⎣
⎦
⎪⎩B̂ ψ n = β n ψ n
Pour prédire les résultats de mesure de A et B, on développe l’état ψ du système sur la
ˆ et B
ˆ : ψ = ∑a ψ .
base ψ
des états propres communs à A
m r
m r
n
n
n
D.Marchand
n
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bg
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3
Si mesure A → α i avec la probabilité ai
2
, le système immédiatement après la mesure est
dans l’état ψ i , état propre de B̂ . La mesure de B donnera donc β i avec la probabilité ai et
réciproquement.
⇒ la prédiction des résultats de mesures est alors indépendante de l’ordre des mesures.
2
ˆ ˆ⎤≠0
c) Si ⎡⎣ A,B
⎦
ˆ ou B
ˆ
Il faut alors décomposer l’état ψ du système sur la base des vecteurs propres de A
selon que l’on mesure d’abord A ou B .
⎧⎪Â ψ n = α n ψ n
et ψ = ∑ an ψ n = ∑ bn Φ n
⎨
n
n
⎪⎩B̂ Φ n = β n Φ n
2
Si mesure A → α i avec la probabilité ai , le système immédiatement après la mesure est
bg
dans l’état ψ i . Comme ψ i n’est pas un vecteur propre de B̂ , il faut décomposer ψ i sur la
m r
base Φ n , soit : ψ i = ∑ cn Φ n . La mesure de B donnera donc β i avec la probabilité ci
2
n
et le système, immédiatement après la mesure sera dans l’état Φ i . Si on mesure à nouveau
A , il faudra de nouveau décomposer Φ i sur la base ψ n .
⇒ La prédiction des résultats de mesures est donc dépendante cette fois de l’ordre des
mesures.
m r
d) E.C.O.C.
On appelle « Ensemble Complet d’Observables qui Commutent » un ensemble minimal
d’observables qui commutent deux à deux et tel que la donnée d’un jeux de leurs valeurs
propres suffit à déterminer sans ambiguïté un vecteur propre unique de leur base commune de
vecteurs propres.
D.Marchand
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3
C
orrigé
I-/
ˆ ψ ( t=0 )
1-/ valeur moyenne de l’énergie : ψ ( t = 0 ) H
ˆ ψ ( t=0 ) = H
ˆ ( a 1,1 + b 1, 2 ) = a (12 + 12 ) 1,1 + b (12 + 22 ) 1, 2
or H
ˆ ψ ( t=0 ) = 2a 2 + 5b 2 = 3
d’où : ψ ( t = 0 ) H
b g
(1)
b g b g
d’autre part, ψ t = 0 est normé à l’unité : ψ t = 0 ψ t = 0 = 1 = a 2 + b2
R|a =
|
(1) et (2) ⇒ S
||b =
T
2
3
b g
d’où ψ t = 0 =
1
3
b2g
b3g
2
1
11
, +
1,2
3
3
2-/ 11
, est état propre de Ĥ avec la valeur propre 2 ; 1,2 est état propre de Ĥ avec la valeur
propre 5. D’autre part Ĥ est indépendant du temps.
2 − i 2t
1 − i 5t
e
, + e
11
1,2
Par conséquent (3) ⇒ ψ t =
3
3
bg
b 4g
3-/ 11
, et 1,2 sont états propres de  avec la valeur propre 1, par conséquent la mesure de
A au temps t donnera 1 comme résultat, avec la probabilité :
2
2
2 1
ψ t 11
, + ψ t 1,2 = + = 1
3 3
11
, est état propre de B̂ avec la valeur propre 1, par conséquent la mesure de B au temps
2
2
, =
t donnera 1 comme résultat, avec la probabilité : ψ t 11
3
1,2 est état propre de B̂ avec la valeur propre 2, par conséquent la mesure de B au temps
2
1
t donnera 2 comme résultat, avec la probabilité : ψ t 1,2 =
3
bg
bg
bg
bg
II-/
1-/ Le résultat d’une mesure de P1 est nécessairement une des valeurs propres de la matrice A
soit : −3 ou 1
2-/ Les vecteurs propres normés de A sont : (notations évidentes) :
R| a = ψ
|S a' = 3 ψ
|| 21
Ta =−2 ψ
1
3
1
−3
On prépare le système S dans l’état
On développe
D.Marchand
1
1
1
ψ
2 2
3
ψ
+
2 2
+
ψ 1 , qui n’est pas état propre de P1 .
ψ 1 sur la base des états propres de P1 :
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3
ψ 1 = a1 ψ 1 a1 + a'1 ψ 1 a'1 + a−3 ψ 1 a−3 soit :
=0
ψ1 =
=
3
2
=−
1
2
3
1
a'1 − a−3
2
2
Le système S étant préparé dans l’état ψ 1 , la mesure de P1 donnera :
3
⎧
⎪⎪ 1 avec la probabilité 4
⎨
⎪−3 avec la probabilité 1
⎪⎩
4
3-/ De même une mesure de P2 donnera 1 ou − 1, valeurs propres de la matrice hermitique
B.
Les vecteurs propres normés correspondants étant : (notations évidentes) :
R| b = 3 ψ + 1 ψ
|S b = 2ψ 2
|| b' = − 1 ψ + 3 ψ
2
2
T
1
1
−1
2
3
−1
1
2
4-/ On mesure P1 : supposons que la mesure ait donné 1 comme résultat. Immédiatement
après la mesure, le système S se trouve nécessairement dans un état appartenant au sousespace de dégénérescence de la valeur propre 1, sous-tendu par les deux vecteurs de base
3
1
ψ 1 + ψ 2 = b1 (d’après le théorème de projection).
2
2
α 2 + β 2 = 1 est donc un état possible
Toute combinaison linéaire normée α b−1 + β b1
du système S .
b−1 et b1 étant états propres de P2 , une mesure de P2 donnera comme résultat :
a1 = ψ 3 = b−1 et a'1 =
a
f
⎧⎪−1 avec la probabilité α 2
⎨
2
⎪⎩ 1 avec la probabilité β
supposons maintenant que la mesure de P1 ait donné -3 comme résultat.
1
3
Le système S se trouve alors dans l’état a−3 = − ψ 1 +
ψ 2 = b'−1 , état propre de P2 .
2
2
La mesure de P2 donnera donc -1 avec certitude.
5-/ On mesure maintenant P2 . On peut donc trouver :
• soit 1 et le système se trouve alors dans l’état
3
1
ψ 1 + ψ 2 = a '1
2
2
+ δ b'−1 = γ a1 + δ a−3
b1 =
• soit -1 et l’état normé du système est alors γ b−1
cγ
2
h
+δ2 =1
Dans le premier cas la mesure de P1 donnera 1 avec certitude.
Dans le second cas la mesure de P1 donnera 1 avec la probabilité γ 2 ou –3 avec la probabilité
δ2.
D.Marchand
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3
6-/ Les valeurs propres de C étant –1, 3 et 1, une mesure de P3 donnera –1, 3 et 1 comme
résultats possibles.
Les états propres correspondants sont :
⎧
3
1
ψ 1 + ψ 2 = b1 = a '1
⎪ c1 =
2
2
⎪
⎪⎪
1
3
1
ψ1 −
ψ2 +
ψ3
⎨ c−1 =
2
2
2
2
2
⎪
⎪
1
3
1
⎪ c3 = −
ψ1 +
ψ2 +
ψ3
⎪⎩
2 2
2 2
2
• Supposons que la mesure de P3 ait donné 1 comme résultat. Le système est alors dans l’état
c1 = b1 , état propre de P2 correspondant à la valeur propre 1. Une mesure de P2 donnera
donc 1 avec certitude.
• Supposons que la mesure de P3 ait donné -1 comme résultat. Le système est alors dans
l’état
1
3
1
ψ1 −
ψ2 +
ψ 3 . Développons c1 sur la base des états propres de P2
c−1 =
2 2
2 2
2
c−1 = b1 b1 c−1 + b−1 b−1 c−1 + b '−1 b '−1 c−1
0
1
2
−
1
2
1
1
b−1 −
b '−1
2
2
1 1
Une mesure de P2 donnera donc : -1 avec la probabilité + = 1
2 2
P
Supposons
que
la
mesure
de
ait
donné
3
comme
résultat.
Le système est alors dans l’état
•
3
c−1 =
3
1
ψ2 +
ψ 3 . Développons c3 sur la base des états propres de P2
2 2
2 2
2
c3 = b1 b1 c3 + b−1 b−1 c3 + b '−1 b '−1 c3
c3 = −
1
ψ1 +
0
1
2
1
2
1
1
b−1 +
b '−1
2
2
Une mesure de P2 donnera donc : -1 avec certitude.
c3 =
7-/
• Supposons que la mesure de P3 ait donné +1 comme résultat. Le système est alors dans
l’état c1 = a '1 , état propre de P1 correspondant à la valeur propre 1. Une mesure de P1
donnera donc 1 avec certitude.
• Supposons que la mesure de P3 ait donné -1 comme résultat. Le système est alors dans
l’état
1
3
1
c−1 =
ψ1 −
ψ2 +
ψ 3 . Développons c−1 sur la base des états propres de P1
2 2
2 2
2
D.Marchand
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3
c−1 = a1 a1 c−1 + a '1 a '1 c−1 + a−3 a−3 c−1
1
2
0
−
1
2
1
1
a1 −
a−3
2
2
1
1
Une mesure de P1 donnera donc : 1 avec la probabilité ou –3 avec la probabilité
2
2
• Supposons que la mesure de P3 ait donné 3 comme résultat. Le système est alors dans l’état
c−1 =
3
1
ψ2 +
ψ 3 . Développons c3 sur la base des états propres de P1
2 2
2 2
2
c3 = a1 a1 c3 + a '1 a '1 c3 + a−3 a−3 c3
c3 = −
1
ψ1 +
1
2
0
1
2
1
1
a1 +
a−3
2
2
1
1
Une mesure de P1 donnera donc :1 avec la probabilité ou –3 avec la probabilité .
2
2
8-/
• Supposons que la mesure de P3 ait donné +1 comme résultat. Le système est alors dans
c3 =
l’état c−1 = a '1 , état propre de P1 correspondant à la valeur propre 1.
La valeur moyenne de P1 est alors : a '1 A a '1 = a '1 a '1 = 1
•
Supposons que la mesure de P3 ait donné -1
l’état
1
1
c−1 =
a1 −
a−3 . La valeur moyenne de
2
2
1
⎛ 1
⎞ ⎛
a1 −
a−3 ⎟ Aˆ ⎜
⎜
2
⎝ 2
⎠ ⎝
comme résultat. Le système est alors dans
P1 est alors : c−1 Aˆ c−1 , soit :
1
1
⎞
a1 −
a−3 ⎟
2
2
⎠
1
3
⎛ 1
⎞⎛ 1
⎞
=⎜
a1 −
a−3 ⎟⎜
a1 +
a−3 ⎟
2
2
⎝ 2
⎠⎝ 2
⎠
1 3
= − = −1
2 2
•
Supposons que la mesure de P3 ait donné 3 comme résultat. Le système est alors dans l’état
1
1
c3 =
a1 +
a−3 . La valeur moyenne de P1 est alors : c3 Aˆ c3 , soit :
2
2
1
1
1 3
a1 + a−3 ) Aˆ ( a1 + a−3 ) = ( a1 + a−3 )( a1 − 3 a−3 ) = − = −1
(
2
2
2 2
Remarque :
Les calculs précédents de P1 n’ont pour but que de manipuler la notion de valeur moyenne
car les résultats étaient donnés par la question précédente où l’on a calculé les résultats de
mesures de P1 avec leur probabilités :
D.Marchand
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3
Résultat de mesure de P1
Avec la probabilité
P1
1
1
1
2
1x1=1
1
-3
1
-3
1
2
1
2
1
2
1x
1
1
-3x = −1
2
2
1x
1
1
-3x = - 1
2
2
9-/ P4 n’est pas une observable puisque la matrice D n’est pas hermitique.
D.Marchand