Ce n`est qu`un copie du cours. Il ne remplace pas le suivi de cours

Relativité restreinte
Licence Physique L1
Janos Polonyi
Université de Strasbourg
(Le 15 mars, 2017)
Ce n’est qu’un copie du cours.
Il ne remplace pas le suivi de cours
ou la consulatation d’un livre.
Table des matières
I. Modification de la mécanique de Newton
3
A. L’échelle de l’observation
3
B. Les ordres de grandeur
5
C. Vitesse limite
6
D. La matière et le rayonnement
9
E. Relation dispersion
10
II. Propagation de la lumière
11
A. Particule ou onde?
11
B. Michelson-Moreley
13
III. Relativité galiléenne et einsteienne
16
2
A. Relativité et symétrie galiléenne
16
B. Le problème avec la lumière
16
C. La resolution: la relativité einsteinne
17
IV. Géometrie de l’espace-temps
18
A. Ligne de monde
18
B. Transformation Lorentz
19
C. L’addition de la vitesse
20
D. Distance invariante
20
E. Géométrie minkowskienne
21
V. Phénomènes physiques
22
A. Contraction Lorentz-Einstein de longeur
22
B. Dilatation du temps
23
C. Une horloge stochastique
24
D. Dilatation du temps =⇒ contraction de Lorentz
26
E. L’effet Doppler
27
F. Paradoxes
29
3
I.
MODIFICATION DE LA MÉCANIQUE DE NEWTON
L’équation Newton F = ma est modifiée à v ∼ c = 2.9979 · 108 m/s (lumière)
Problème: notre intuition correspond à la limit
A.
v
c
≪1
L’échelle de l’observation
Les lois de la physique dependent de l’échelle de l’observation
trois échelles: L,T,M
unités naturelles: c = ~ = 1
Théorie effective: applicable dans une fenêtre de léchelle
F
Charge:
FC (r) =
qq ′
q(r)q ′
=
6
F
(r)
=
phys
r2
r2
Polarisation du vide: q → q(r)
r
q(r)
Constant physique ≡ plateau
r
Masse:
2
E(v ) =
E(v02 )
2
+ (v −
dE(v02 )
v02 )
2
dv
V
+···
2
dE(v02 )
2 dE(v0 )
+v
+···
= E(v02 ) − v02
2
2
|
| dv
{z dv }
{z }
E0 (v02 )
= E0 (v02 ) +
M(v0 ) 2
v +···
2
E
M (v0 )
2
v
2
Interactions avec l’environment =⇒ paramètres effectifs: q → q(r), M → M(v), etc.
4
Longeur:
10
29
particules 10
80
Quantique Classique
−35
10
grav. quant.
10
−15
−11
10
−5
10
1
10
7
10
21
35
10
L [m]
Terre
proton atome cellule
Voie Lactee Univers
interaction faible
interaction forte
electromagnetisme
gravitation
Différence entre physique classique et quantique:
l’interférence
L’état physique: une liste des réalités virtuelles
comme un annuaire:
nom↔réalité virtuelle
num. de tel.↔probabilité
La vie: l’unité élémentaire: le protéine
4500 protéines constituent la vie
Origine: une soupe promordiale?
4165 possible auto reproductives ribozymes
M = 2 × 1077 kg ∼ MU niverse × 1025
400 protéines, choisi au hasard
se fonctionnent à la frontière
quantique-classique
Origine quantique de la vie?
5
Vitesse:
syst. solaire
Concord
Apollo 10
c
tube cathodique
v [m/s]
0
10
2
10
Impulsion:
4
10
6
8
10
10
limit relativistique
0
mc
p
limite non relativistique
B.
Les ordres de grandeur
Chute libre: Un potentiel gravitationel homogène, v = 9.8t[MKS],
après 1 an v = 9.8 × 365 × 24 × 3600 ≈ 3 × 108 m/s
après 2 ans v ≈ 6 × 108 m/s
modifications importantes à v ∼ c = 2.9979 · 108 m/s
Accélération plus forte: F = qE = ma =⇒ large
|a|
q
=
|E|
m
=⇒ électron
6
Un tube cathodique: U = 100V , L = 1cm
1
1
qU = K = mvf2in = m(at)2 = 100eV
2
2
(1eV = 1.6 × 10−19 J, m = 0.9 × 10−30 kg)
1
L = at2 = 1cm
2
Vitesse:
vf in
r
2K
3.2 × 10−17
=
≈
10−30
√ m
= 32 × 10−12
r
≈ 5.5 × 106 m/s ≈ 0.02c
Acceleration:
r
t =
2L
a
1
1
2L
m(at)2 = ma2
= maL
2
2
a
1.6 × 10−17
K
≈
= 1.6 × 1015 m/s2 ≈ 1014 g
a =
mL
10−32
K =
C.
Vitesse limite
Electron: Une générateur Van de Graaf et LIN(ear)AC(ccelerator):
W. Bertozzi, Am. J. Phys. 32 551 (1964)
7
↔ 10−8 s
Temps du vol t[10−8 s]
Vitesse v[108 m/s]
0.5
3.23
2.60
6.8
1.0
3.08
2.73
7.5
1.5
2.92
2.88
8.3
4.5
2.84
2.96
8.8
15
2.80
3.00
9.0
Energie K[M eV ]
Vitesse carré v 2 [1016 m2 /s2 ]
K → 30K
l’équation de Newton: v 2 → 30v 2 ?
Vitesse limite: v < c
Photon: Vitesse de la propagation: toujours v = c
E = ~ω
(Einstein)
2π~
hc
2π
c=
c= ,
λ = τc =
ω
E
E
~=
h
(constant de Planck)
2π
8
Energie du photon K[eV ]
Longeur d’onde λ[m]
Vitesse v[108 m/s]
1.9 × 10−7
6.4
1.2 × 10−6
1
2.99792 ± 0.00002
1.2 × 10−5
0.1
2.99792 ± 0.00009
3.0 × 10−4
4.2 × 10−3
2.997925 ± 0.000001
2.2
5.6 × 10−7
2.997931 ± 0.000003
5.1 × 105
2.5 × 10−12
2.983 ± 0.015
1.7 × 108
7.3 × 10−15
2.97 ± 0.03
2.9978 ± 0.0003
Le photon, est-il sans masse?
- La masse est bien défini seulement pour une particule libre
- L’interaction avec l’environnement rend la masse mal définie =⇒ masse effective
Un guide d’onde:
un tuyau conducteur
L’onde électromagnétique
dans un guide d’onde:
- Réflexions multiples
- Les charges traı̂nés
Dans le vide:
Mγ = 0
Dans un milieu polarisable: Mγ > 0
9
D.
La matière et le rayonnement
Lumière: E = pc
Conservation de l’impulsion:
E
E
=⇒ V = −
0=VM +
c
Mc
E L
EL
∆x = V ∆t = −
=−
Mc c
Mc2
Masse équivalente: m
Centre masse: mL + M∆x = 0
E
M∆x
= 2
m=−
L
c
Equivalence masse-énergie: E = mc2 , l’énergie cinétique ⇐⇒ matière
=⇒ la valeur absolute est importante
Fusion thermo-nucléaire: masse ←→ énergie cinétique
Psoleil = 1.35 × 103 w/m2 =⇒
dM
dt
= 4.5 × 109 kg/s ≈ Msoleil × 10−13 /an
41 H + 2e →4 He + 2ν + 6γ, une étape: p + D →3 He + γ
p = 1.6724 × 10−27 kg
D = 3.3432 × 10−27 kg
p + D = 5.0156 × 10−27 kg
3
He = 5.0058 × 10−27 kg
∆M = 0.0098 × 10−27 kg =
Eγ
, Eγ = 9.8 × 10−30 × 9 × 1016 J = 8.8 × 10−13 J = 5.5MeV
c2
(T ≈ 107 K dans l’intérieure de la soleil et Eγ ≈ 1eV ≈ 1.1 × 104 K sur la surface)
conservation de l’énergie + conservation de la masse =⇒ conservation de l’énergie
X
1 X
F
double role de la masse:
mi + 2
Ej = M =
c
a
Excercise: Estimer la masse équivalent de la consumption de l’énergie d’électricité
en Strasbourg dans un soir.
Population en Strasbourg: N = 2 × 105 , puissance: P = 500W/person, temps t = 6h
1 × 108 × 6 × 3600
NP t
≈ 2.4 × 10−5 kg = 24mg
m= 2 =
c
9 × 1016
10
E.
Relation dispersion
Seulement pour une particule libre!
Raisonnement naif:
p2
p
La définition d’une particle libre en mécanique nonrelativiste: E(p) =
, avec m =
2m
v
p
Ev
E
2p
2
=⇒ E = c , cp =
E = mc =⇒ masse équivalente: m(v) = 2 =
c
v
v
c
dp
Conservation de l’énergie: dE = F dx = dx = vdp
dt
2
Ev
2
2
2 2
2
2p
+ E02 =⇒ E0 = mc2
EdE = c vdp = c pdp =⇒ E = c p + E0 =
v
c
mc2
q
E =
2
1 − vc2
m
m(v) = q
2
1 − vc2
p = m(v)v = q
mv
1−
v2
c2
E
E 2 = c2 p2 + m2 c4
particule
p
antiparticule
E = ±c
p
m2 c2 + p2
Limite non-relativistique:
r
2 2 !
2
2
√
p
p
ǫ
p
+O
1 + ǫ = 1 + + O ǫ2 =⇒ E = mc2 1 + 2 2 ≈ mc2 +
2
mc
2m
m2 c2
11
Excercice: Force (=
∆p
)
∆t
constante, la condition initiale: v(0) = 0
mv
F t = p = m(v)v = q
2
1 − vc2
mv 2
v2
1− 2 =
c
Ft
2
mc 2 2
2
2 mc
2
2
c −v = v
→ c =v 1+
Ft
Ft


c
F
 mc
F t ≪ mc
= tm
c
Ft
q
≈
v =
2 
c
1 + mc
F t ≫ mc
Ft
v
c
t
Remarques:
1. v ≤ c mais p peut être arbitrarement large
2. v peut approcher c mais il ne jamais l’atteint parce que l’acceleration exige trop de
l’énergie
II.
PROPAGATION DE LA LUMIÈRE
Lumière: Pythagoras: particules se deplacent sur une ligne droit
Rober Hooke(1667): propagation dans un milieu
Christian Huygens(1678): la décomposition de la lumière solaire par un prisme
=⇒ lumiére = l’onde 6= une particule
A.
Particule ou onde?
Physique de la 19ème siècle est consacrée à la lumière:
Thomas Young (1801-04): la measurement de l’interférence
Augustin-Jean Fresnel (1818): l’explication de l’interf., diffr., polarisation
James Clerk Maxwell (1861): l’origine d’électromagnétique
Onde: diffraction, interférence, polarisation
Particule: impulsion, énergie
Modèles mécaniques jusqu’à 1850 mais sa vitesse est trop large
12
Vitesse de la lumière:
Ole Roemer (1675): l’éclipse des lunes
de Jupiter motre une variation en temps
c ≈ 2 × 108 m/s
La nature de la lumière:
Particule: vpart = vsource + vemission ,
Onde:
vonde est fixée dans le milieu
de la propagation
Supposition de l’éther
→
Comment trouver notre vitesse par rapport à l’éther?
Maxwell: an(Jupiter)=12 an(Terre),
deux measurements, separées par 6 ans
técl.
=
A
ℓ
,
c + vsol
técl.
B =
2ℓvsol
2ℓvsol
=
2
− vsol
(c + vsol )(c − vsol )
2vsol
= t0
|{z} c
écl.
∆t = técl.
B − tA =
≈
2ℓvsol
c2
ℓ
c − vsol
c2
16min
Mais il est problèmatique répéter la même expérience aprés 6 ans!
13
B.
Michelson-Moreley
Michelson (1881):
Interférence: Intensité I ∼ E 2 = (E1 + E2 )2
φI (t) = sin(ωt)
φII (t) = sin(ωt + α)
φI+II (t) = sin(ωt) + sin(ωt + α)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
φI+II (t) = sin(ωt) + sin(ωt) cos(α) + cos(ωt) sin(α)
= sin(ωt)[1 + cos(α)] + cos(ωt) sin(α)



2 sin(ωt)





√

sin(ωt) + cos(ωt) = 2 sin ωt + π
4
=


0





√


sin(ωt) − cos(ωt) = 2 sin ωt − π4
α = π(2n + 0) ← int. constr.
α = π 2n + 12
α = π(2n + 1) ← int. destr.
α = π 2n + 32
In-
terféromètre: la mesure de ∆ℓ = c(tk − t⊥ ) avec la précision λ
14
2ℓ
k
ℓk
2cℓk
ℓk
c
+
= 2
=
tk =
2
c−v c+v
c − v2
1 − vc2
2
2
vt⊥
ct⊥
2
= ℓ⊥ +
2
2
2
2
2
2
t⊥ (c − v ) = 4ℓ⊥
2ℓ⊥
t⊥ = √
c2 − v 2

ℓk
ℓ⊥
2
∆t(ℓk , ℓ⊥ ) = tk − t⊥ = 
2 − q
v
c 1 − c2
1−
v2
c2
Rotation par 900 dans quelques minutes:
∆t′ (ℓk , ℓ⊥ ) = −∆t(ℓ⊥ , ℓk ) =
∆t(ℓk , ℓ⊥ ) − ∆t′ (ℓk , ℓ⊥ ) =
√
=
q
2 ℓk 1 −
c
1−
2 (ℓk + ℓ⊥ )(1 −
c

1−
q
v2
c2
1−
2 ℓk − ℓ⊥
c
v2
c2
v2
c2
q
1−
1−
v2
c2
v2
c2
− ℓ⊥
v2
)
c2
2
v
2(ℓk + ℓ⊥ ) 2c
ǫ
2
1+ǫ∼1+ → ≈
2
2
c
1 − vc2
2(ℓk + ℓ⊥ ) v 2
v2
v2
1
∼1−ǫ→ ≈
1
+
≈
(ℓ
+
ℓ
)
⊥ 3
k
1+ǫ
c
2c2
c2
c
Les miroirs ne sont pas exactement orthogonals =⇒ l’interférence
Nombre de lignes déplacées: ∆N
λ∆N = (∆t − ∆t′ )c
c
v 2 ℓ⊥ + ℓk
∆N = (∆t − ∆t′ ) = 2
λ
c
λ
v
≈ 10−4 et
c
en utilisant λ = 6 × 10−7 m, ℓ = 1.2m =⇒ ∆N ≈ 0.04 n’a pas été trouvé
En assumant vterre = 30km/s,
Michelson-Morley (1887): ℓ → 10ℓ, ∆N → 0.4, ∆Nobs = 0 ± 0.005
15
Fitzgerald Lorentz (1892): une contraction mystérieuse d’un corps solid en
q
2
mouvement ℓ → ℓ 1 − vc2 , ∆t = 0 pour ℓ⊥ = ℓk
Einstein (1905): la contraction est le résultat de la façon dont la longeur est observée
Kennedy Thorndike (1932): resultat nulle avec ℓ⊥ 6= ℓk
16
III.
RELATIVITÉ GALILÉENNE ET EINSTEIENNE
Référentiel d’inertie: mouvement libre = vitesse constante, S : (t, x), x = tv + x0 .
A.
Relativité et symétrie galiléenne
Généralisation d’une particule libre au tout loi de mécanique:
Les lois de la mécanique sont identiques dans tous les référentiels d’inertie.
Un objet chute du mat d’un bateu qui déplace
avec une vitesse constant et il tombe à la base
du mat.
Si on jette vers le haut un objet
alors il revient à sa main.
Transformations admissibles de mẍ = 0: (transformations galiléennes)
t → t′ = t ← temps absolu
x → x′ = Rx − tv + x0
Les différents référentiels d’inertie sont liées par les transformations galiléennes.
L’addition de la vitesse (R = 11): ẋ → ẋ′ =
B.
d
(x − tv + x0 ) = ẋ − v (temps absolu)
dt
Le problème avec la lumière
Particule: vpart = vsource + vemission , mais c 6= vsource + c ?
Onde:
vonde est fixée,
Michelson-Morley ?
L’addition de la vitesse n’applique pas à la lunière ?
Trois suppositions evidentes sont en conflit:
1. Tous les lois de la physique sont identiques dans les référentiels d’inertie.
2. La vitesse de la lumière est fixée par l’équation de Maxwell.
3. Le temps est absolut et l’addition de la vitesse est valid.
17
C.
La resolution: la relativité einsteinne
Einstein (1905): Pas de justification expérimentale du point 3.
1. Les lois de la physique sont identiques dans tout référentiel d’inertie.
2. La vitesse de la lumière dans le vide est c.
Expérimental évidences de l’indépendence de c de la vitesse de la source:
1. Michelson-Morley (1887)
2. Kennedy-Thorndike (1932):
• Differences par rapport de M-M:
(a) ℓk 6= ℓ⊥ ,
(b) observation pendant plusieurs mois sans rotation
• Null-resulte: temps de vol ∆ℓ = ℓk − ℓ⊥ est indépendant de vterre
• La contraction est une effet de l’observation.
3. Alväger et al. (1966): π 0 → 2γ: vπ = 0.99975 × c, vγ = (2.9977 ± 0.0004) × 108 m/s
vπ + vγ 6= c
Relativité restreinte: La coordonnée et la vitesse sont nonobservables et relatives.
L’acceleration,
dn x(t)
,
dtn
n ≥ 2 sont absoluts.
Relativité générale: La coordonnée et tous les dérivés
dn x(t)
dtn
sont relatives.
Une modélisation de la mesure de la distance et du temps est necessaire.
Distance: un barre étalon
x
(macroscopique)
ct
Temps: l’horloge standard,
observations des
événements simultanées
x
ligne d’une horloge
sur l’espace−temps
18
IV.
GÉOMETRIE DE L’ESPACE-TEMPS
Champ classique ϕ(t, x) : l’espace externe → l’espace interne
Espace externe: quand et où? ← Évenements: (ct, x) = (x0 , x1 , x2 , x3 ) = xµ ∈ R4
Espace interne: quoi? ϕ ∈ Rn
A.
Ligne de monde
Mouvement non-relativiste - symétrie: mélange des components de xj
- trajectoire: x(t)
- symétrie: mélange des components de xµ
Mouvement relativiste:
- ligne de monde: xµ (s)
ct
Mouvement non-relativistic
d’une particule:
x
Nouvelle possibilité: ligne de monde =⇒ trajectoire
s: l’ordre des événements
ct
Anti-particule: t → −t ↔ E → −E
Mécanique classique:
p
E = ±c m2 c2 + p2
dp
dt
= − ∂H(p,q)
,
∂q
dq
dt
=
e
∂H(p,q)
∂p
e+p+e
Mécanique quantique: ψ = ψ(Et)
x
e
Théorie quantique des champs: E ≥ 0
Simultanéité (temps) non-absolute: un signal de lumière b ← a → c, x′ = x + t(v, 0, 0)
ct’
ct
z
t′b < t′c
z’
y
y’
v
b
a
x
x’
c
x
b
a
c
x’
b
a
c
19
B.
Transformation Lorentz
Transformation entre deux référentiels d’inertie: (ct, x) → (ct′ , x′)
Axes non-orthogonal
ct
ct’
Rotation
Transformation
euclidéene
Lorentz
ct
y
y’
ct’
lumiere
P
x’
x’
x’
x
x
x
Pas de ligne fixe
Lumière: une ligne fixe
x′ = ax − bct
Forme générale:
= a(x − vt)
boost:
x = a(x′ + vt′ )
inverse (v → −v):
Appliquer à la propagation de la lumière: x = ct, x′ = ct′
c2
1
a
,a= q
ct′ = a(c − v)t, ct = a(c + v)t′ =⇒ ct = a(c + v) (c − v)t, a2 = 2
2
c
c −v
1−
x − vt
x′ = q
,
2
1 − vc2
t − vx
2
t = q c (← x = ct),
2
1 − vc2
′
Limite
v
c
→ 0: Transformation galiléenne
v2
c2
x′ + vt′
x=q
2
1 − vc2
′
t′ + vx
2
t= q c
2
1 − vc2
Pas de changement dans les directions orthogonales de la vitesse: v = (v, 0, 0),
y = y′, z = z′
L’angle de l’inclinaison:
x+ = ℓ + t+ v = ct+ ,
t+ =
x− = −ℓ + t− v = −ct− ,
c(t+ − t− )
=
tan α =
x+ − x−
ℓ
1− vc
ℓ
1− vc
ℓ
c−v
t− =
−
+
ℓ
1+ vc
ℓ
1+ vc
ct ct’
ℓ
c+v
v
= ,
c
c
tan β =
v
+
ct
−
ct
x’
β
α x−
x+
x
20
C.
L’addition de la vitesse
x′k + ut′
′
Deux référentiels d’inertie: S et S : xk = q
,
2
1 − uc2
ux′
x⊥ =
x′⊥ ,
t′ + c2k
t= q
2
1 − uc2
dx
dx′
→ v=
′
dt
dt
uvk′
′
′
′
(vk + u)∆t
(1
+
2 )∆t
′
∆t → ∆xk = q
,
∆x⊥ = v⊥
∆t′ ,
∆t = q c
2
2
1 − uc2
1 − uc2


′
v ′ + u u, v ′ ≪ c
vk + u
∆x
k
k
=
vk =
′ =
uv

∆t
c
1 + c2k
vk′ ≪ c, u ≈ c, ou u ≪ c, vk′ ≈ c

q

u2
v ′ u ≪ c
1 − c2
y
′
v⊥ = v⊥
=
uvx′

1 + c2
0 u ≈ c
v′ =
D.
Distance invariante
Identifier les rotations: s2 = (x2 − x1 )2
Characteriser les référentiels d’inertie: s2 = c2 (t2 − t1 )2 − (x2 − x1 )2
Argument I., Transformation de Lorentz:
x − vt
x′ = q
,
v2
1 − c2
2
2 2
2
s = c t −x →
t − vx2
t′ = q c
2
1 − vc2
(ct −
vx 2
)
c
− (x − vt)2
1−
v2
c2
=
(c2 t2 − x2 )(1 −
1−
v2
c2
v2
)
c2
= c2 t2 − x2
s2 (x1 , x2 ) = c2 (t2 − t1 )2 − (x2 − x1 )2 = (x02 − x01 )2 − (x2 − x1 )2
ds2 = c2 dt2 − dx2 = dx02 − dx2
21
Argument II.:
s2 (x1 , x2 ) = 0 s’il y a un échange de la lumière entre x1 et x2
reste invariant sous les transformations de Lorentz
s2 6= 0 ?
Soient S0 et S1 deux référentiels, vS0 →S1 = v:
(i) s21 = F (|v|, s20 )
(ii) F (|v|, 0) = 0
(iii) continuité de F pour infinitesimal s2 → ds2 :
ds21 = F (|v|, ds20) ≈
∂F (|v|, s2 )
ds20
2
2
∂s
|s =0
{z
}
|
a(|v|)
(iv) soient S, S1 et S2 trois référentiels, vS0 →S1 = v1 , vS0 →S2 = v2 , |v1 |, |v2 | ≪ c
ds21 = a(|v1 |)ds20
ds22 = a(|v2 |)ds20
ds22 = a(|v1 − v2 |)ds21
a(|v2 |)
a(|v1 − v2 |) =
→ a = 1 → s2 6= 0 est invariant
a(|v1 |)
E.
Géométrie minkowskienne
du genre temps: s2 > 0
Les trois types de separation:
du genre espace: s2 < 0
du genre lumière: s2 = 0
ct
future absolu
eloignement
absolu
eloignement
absolu
passe
x
absolu
Le cône de lumière
La propagation de la lumière
22
ct
ct’’
Simultaneité est relative:
′
ct’
cT’’
′
′′
x’
′′
T (B) − T (A) < T (B) − T (A) = 0 < T (B) − T (A)
.
.
B
A
x’’
cT’
ct’’ ct
y
Variable l’échelle:
ct’
x constant
y’
Euclidenne:
x2 + y 2 = R2
x
Minkowskienne:
x’
x
x’ v
x
(ct)2 − x2 = s2
x’’
v
ct
Synchronisations de l’horloges:
T refl
longeur =⇒ temps
t(x) = 21 Tref l (x)
x
V.
A.
PHÉNOMÈNES PHYSIQUES
Contraction Lorentz-Einstein de longeur
ℓ = x2 − x1
ct ct’
ℓ′ = x′2 − x′1 les coordonnées simultanées
x′ + vt′
xa = qa
2
1 − vc2
x′ − x′1
ℓ′
ℓ = q2
=q
2
1 − vc2
1−
r
v2
ℓ′ = ℓ 1 − 2
c
v2
c2
x’
x
23
ct
ct
ct’
ct’
La contraction est
relative:
x’
contracte
x’
non contracte
x
x
contracte
Un barre au repos
non contracte
Un barre en mouvement
Rotation apparente d’un planche:
La lumière de A0 et B0 arrive dans le même temps
W
c
v
′
′
A B = v∆t = W
c r
v2
v
sin Θ = , cos Θ = 1 − 2
cr
c
2
v
B ′ C ′ = L 1 − 2 ← contraction de Lorentz
c
∆t =
B.
Dilatation du temps
L’horloge en déplacement:
v2
2
2 ′2
2 2
2
2 2
s = c t =c t −x =c t 1− 2
c
r
v2
Temps propre: t0 = t′ = t 1 − 2
c
t > t0 : un ralentissement
ct
ct’
x
24
L’horloge optique:
c2 t20 = x2
x
c2 t2 = t2 v 2 + t20 c2
r
v2
t0 = t 1 − 2
c
v
C.
Une horloge stochastique
www.scivee.tv/node/2415
D. H. Frisch, J. H. Smith,
American Journal of Physics,
31 342 (1963), frisch.pdf
Rayonnement cosmique:
µ → e + ν̄e + νµ
t
nµ (t) = n0 e− τ
25
75cm de fer: vµ < 0.9950c: arretent avant le scint.
vµ > 0.9954c: partent du système
Alors, 0.9950c < vµ < 0.9954c
scintillateur: 103 γ/µ
photomultiplicateur:
108 e/µ
La photomultiplicateur déclenche le mouvement horizontal
pour chaque charge passant la scintillateur, ∆t = 1µs
Le mouvement vertical est déclenché
soit par la capture de µ
soit par l’électron de la désintégration
Un masque pour couvrir les traces sans désintégration
Resultat:
I. Nombre de désintégrations:
II. Distribution de temps de désintégration:
26
Deux stations:
1. Mont Washington (1910m)
NM W = 563 désintégrations/h
τ1 = 2.2 ± 0.2 × 10−6 s
2. Cambridge Ma (3m)
NC = 408 désintégrations/h
τ2 = τ1
1907
= 6.4 × 10−6 s
8
0.9952 × 3 × 10
6.4
= NM W e− 2.2 ≈ 27 6= 408
ttravel =
NCexpecté
Ralentissement:
′
− tτ
NC = NM W e
t′ = 0.7 × 10−6 s
D.
Dilatation du temps
1
6.4
= 9.1 = q
0.7
1−
v2
c2
=⇒ v = 0.994c
=⇒ contraction de Lorentz
L’horloge stochastique:
Référentiel d’intertie de µ: temps de vie τ ,
vitesse de la surface de terre v
t′
NC = NM W e− τ
distance de la surface de terre, vu par la µ: ℓ′ ,
q
r
r
2
′
′
t 1 − vc2
2
ℓ′
ℓ
t
v
v2
=
=
,
ℓ′ = vt 1 − 2 = ℓ 1 − 2
= NM W e− vτ ,
τ
τ
vτ
c
c
27
Avec une horloge plus lente la distance faite parait plus court
Un barre en mouvement:
c∆t1 = ℓ + v∆t1
c∆t2 = ℓ − v∆t2
∆t = ∆t1 + ∆t2 =
=
2ℓ
q 0
c 1−
r
ℓ = ℓ0
1−
ℓ
2ℓc
ℓ
+
= 2
c−v c+v
c − v2
v2
c2
v2
c2
E.
L’effet Doppler
Cas nonrelativiste: vitesse sonore w
wτ = λ′ + u1 τ,
ν=
Pendant une période:
1
τ
1
τ′
λ′ = (w − u1 )τ = (w − u2 )τ ′
w − u2
ν′ = ν
w − u1
u2 ′
, ν = 0 pour u2 = w
Source stationnaire: u1 = 0, ν ′ = ν 1 −
w
ν
Observer stationnaire: u2 = 0, ν ′ =
, ν ′ = ∞ pour u1 = w
1 − uw1
wτ ′ = λ′ + u2 τ ′ ,
ν′ =
Cas relativiste (lumière): ν =
1
T
une période émis, vobserver = v
ct
x0
c−v
x0 + cT
x2 = c(t2 − T ) = x0 + vt2
→ t2 =
c−v
T
vT
t2 − t1 =
,
x2 − x1 =
1 − vc
1 − vc
x1 = ct1 = x0 + vt1
x2
→ t1 =
x1
T
observer
x0
x
28
t2 − t1 − cv2 (x2 − x1 )
q
2
1 − vc2
v vT
1
T
= q
v − 2
2
c 1 − vc
1 − vc2 1 − c
T ′ = t′2 − t′1 =
= q
1
2
T
1−
v
2
v
1− 2
c
c
1 − vc2
s
1 − vc
v
=
6
ν
1
−
ν′ = ν
1 + vc
| {z c }
=T
q
1−
1−
v2
c2
v
c
=T
s
1+
1−
v
c
v
c
non. rel.
Champ gravitationel statique:
∆U
E↓ (e− e+ ) = E↑ (e− e+ ) +2m |{z}
| {z }
gL
2mc2
∆U
− +
= E↑ (e e ) 1 + 2
c
− +
− +
E↑ (e e ) = E↑ (γ), E↓ (e e ) = E↓ (γ)
E = ~ω
E↓ (e− e+ )
∆U
ω↓
=
=1+ 2
−
+
ω↑
E↑ (e e )
c
|{z}
z
∆U
gL
z = 2 = 2
c
c
Champ gravitationel dépendant du temps:
Modèle de Robertson-Walker
de cosmologie
L’Univers en expansion: λem < λobs
λobs
ωem
=
=1+z >1
Déplacement rouge:
ωobs
λem
H
constant de Hubble: z = ℓ
c
ℓ
1
c
l’age de l’Univers: TU = , z =
H
TU
electron
positron
..
L
g
..
29
F.
Paradoxes
ct
Les joumeaux:
A: reste en place, B: part et revient
B
A
Qui est plus agé quand ils rencontrent?
x
Une barre et un cercle:
ℓ = 2r, vb = (u, 0, 0), vc = (0, v, 0)
t = 0: centre de la barre et du crecle
sont dans la même position
Peuvent-ils se croiser?
Un baton et une grange:
ℓb = 20m, ℓe = 10m
q
2
1 − vc2 = 12
Ref. d’in. de la grange: ℓ′b = 10m
Ref. d’in. du baton: ℓ′e = 5m
Le baton peut-il rentrer?
ct
ct
ecurie
barre
barre
ecurie
x
−10
0
10
x
20
−10
0
10
20
Mécanique quantique relativiste: problème de localisation
~
~
~
~
= mc
=⇒ localisation d’une électron avec ∆x ≪ λC =
: p≈
=
p=
λ
mc
∆x
λC
30
p
√
√
E = c m2 c2 + p2 ≫ c m2 c2 + m2 c2 = 2mc2 =⇒ creation de pairs
Particules sont indescernable =⇒ impossible localiser une particule avec ∆x ≪ λC
Références:
1. http://www.edu.upmc.fr/physique/bobin 04001/
2. www.phytem.ens-cachan.fr/telechargement/Module%20Mb/coursMb.pdf
3. Jean Hladik, Michel Chrysos Introduction à la relativité restreinte, Dunod
4. Michel Hulin, Nicole Hulin, Lydie Mousselin, Relativité restreinte, Dunod
5. A. P. French: Special Relativity, MIT Press