Boucle à verrouillage de phase
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Boucle à verrouillage de phase F. Pépin 1. Objectifs d'une boucle à verrouillage de phase page 2 2. Constitution d'une BVP page 5 3. Notation et rappels page 6 4. Étude d'un détecteur de phase : le multiplieur page 8 5. Le VCO page 10 6. Régime statique de la boucle à verrouillage avec un multiplieur page 11 7. Boucle à verrouillage de phase numérique page 19 8. Régime dynamique d'une boucle à verrouillage de phase page 24 9. Boucle à verrouillage de phase à détecteur séquentiel à trois états page 33 10. Exemples d'application d'une boucle à verrouillage de phase page 43 Boucle à verrouillage de phase 1. Objectifs d'une boucle à verrouillage de phase La boucle à verrouillage de phase est une fonction largement utilisée en électronique. C'est un système à une entrée, notée uE, et une sortie notée uS (figure 1). Figure 1 : entrée et sortie d'une BVP Ces deux signaux peuvent être numériques (créneaux de 0 à Vcc, à rapport cyclique ½ ou différent de ½), ou sinusoïdaux. L'information à considérer est la fréquence de ces signaux. Lorsque la boucle est dite verrouillée, la fréquence de sortie est égale à la fréquence d'entrée (fS = fE). Il s'agit donc d'un asservissement de fréquence, ou plus généralement de phase. L'objectif est d'asservir la fréquence d'un oscillateur local, c'est-à-dire d'un oscillateur présent dans la boucle à verrouillage de phase, à celle d'un oscillateur extérieur, le signal d'entrée. Une telle fonction se retrouve par exemple dans les récepteurs FM, dans les décodeurs TV numériques ou dans les téléphones portables. Le paragraphe 10 sera consacré à la présentation de quelques applications utilisant une boucle à verrouillage de phase. Pour illustrer l'intérêt de cette fonction, prenons le cadre de l'enregistrement magnétique. Un disque dur est constitué d'un empilement de plateaux (figure 2) recouvert d'une couche d'oxyde magnétique et tournant à vitesse constante. L'enregistrement est effectué sur des pistes concentriques (figure 3), par l'intermédiaire de têtes magnétiques (figure 4). Figure 2 : constitution d'un disque dur Figure 3 : pistes sur un plateau d'un disque dur Le principe de l'enregistrement magnétique repose sur le changement du sens de l'aimantation magnétique (figure 4) provoqué par le signe du courant électrique dans la tête magnétique. Ainsi, au moment de la lecture, on retrouve sur la tension aux bornes de la tête magnétique une impulsion à chaque changement du sens de l'aimantation, celle-ci étant conservée par rémanence. 2 Figure 4 : principe de l'enregistrement magnétique (écriture et lecture) L'objectif est naturellement de mémoriser une information binaire, sous la forme d'une suite d'octets. On utilise pour cela un codage, dont le but est de permettre au contrôleur de disques la récupération de ces octets. Il lui faut pour cela connaître la fréquence d'horloge utilisée à l'écriture. Un codage très simple consiste à coder, en plus des octets de données, la fréquence d'horloge. La limite technologique étant la densité de changement du sens de l'information magnétique, un codage couramment utilisé pour les disques souples est décrit dans la figure 5. Figure 5 : codage"modulation de fréquence modifiée" (MFM), ou double densité Le principe de ce codage est de provoquer un changement du sens de l'aimantation magnétique au milieu de chaque période binaire lorsque le bit à coder est égal à 1, et entre deux périodes binaires correspondant à deux bits consécutifs égaux à 1. A la lecture, le signal sera constitué d'une succession d'impulsions positives et négatives. Le contrôleur de disque doit donc, à partir de ce signal remis en forme, en déduire les bits de données, son premier travail étant de récupérer la fréquence d'horloge à partir de ce seul signal. Celui-ci sera l'entrée d'une boucle à verrouillage de phase conçu pour se verrouiller sur la fréquence d'horloge. La fréquence du signal de sortie de la boucle sera ainsi égale à la fréquence d'horloge utilisée pour l'écriture des données, cette fréquence étant présente dans le spectre du signal. 3 Les disques durs utilisent un codage plus complexe (codage R2L), permettant de coder un plus grand nombre d'octets sur une piste. La figure 6 donne le principe de codage. On note que pour un ensemble de 8 bits à coder, le codage MFM utilise six changements du sens de l'aimantation magnétique, alors que le codage R2L ne va en utiliser que trois. Une boucle à verrouillage de phase sera aussi utilisée pour détecter la fréquence d'horloge présente dans ce codage. Figure 6 : comparaison entre le codage MFM et R2L Une autre application de la boucle à verrouillage de phase concerne la synthèse de fréquence. Un oscillateur à quartz permet de produire un signal de fréquence stable et connue de façon précise. Un signal de fréquence variable peut être produit par une boucle à verrouillage de phase par l'intermédiaire d'un diviseur de fréquence. La fréquence de sortie sera égale à N fois la fréquence d'entrée (fS = N.fE), N étant un nombre entier. La possibilité de multiplier une fréquence se retrouve dans les microcontrôleurs 32 bits. Le cœur de tels processeurs peuvent fonctionner à des fréquences de plusieurs centaines de MHz. Par contre, la fréquence du quartz externe au microcontrôleur est limitée à quelques dizaines de MHz. Une boucle à verrouillage de phase permet de multiplier la fréquence du quartz pour produire l'horloge du coeur. La figure 7 donne le schéma bloc de l'horloge dans le composant BF533 d'Analog device. Figure 7 : horloge du BF533 CLKIN est le signal produit par un oscillateur à quartz. CCLK est le signal d'horloge du coeur, SCLK est celle des périphériques. Le fonctionnement de cet ensemble est paramétré par le contenu de registres, permettant par exemple de définir le taux de division dans la boucle de retour de la boucle à verrouillage de phase (MSEL), ce qui permet de fixer la fréquence de sortie de la boucle. 4 2. Constitution d'une BVP BVP désigne une Boucle à Verrouillage de Phase (PLL en anglais pour Phase Lock Loop). Une BVP est constituée de trois éléments : un détecteur de phase, un filtre passe-bas et un oscillateur contrôlé en tension (figure 8). Figure 8 : constitution d'une BVP uE et uR sont les deux signaux d'entrée du détecteur de phase, uD son signal de sortie, uF le signal de sortie du filtre et uS le signal de sortie de la BVP. Dans le cas d'un retour unitaire, on a uS = uR. Le détecteur de phase permet de construire un signal dont la valeur moyenne est fonction du déphasage entre les deux signaux d'entrée. Cela suppose naturellement que leur fréquence soit égale. On distingue plusieurs détecteurs de phase : le multiplieur, dans le cas de signaux sinusoïdaux, le OU exclusif dans le cas de signaux numériques : c'est le plus simple mais nécessite des signaux à rapport cyclique ½, la bascule RS, dans le cas de signaux numériques à rapport cyclique quelconque, et le détecteur séquentiel à trois états, toujours pour des signaux numériques. C'est le plus complexe, un paragraphe complet sera consacré à l'étude d'une BVP utilisant un tel détecteur de phase. Le filtre passe-bas permet de récupérer la valeur moyenne du signal de sortie du détecteur de phase. uF est donc proportionnelle à la valeur moyenne de uD. Le dernier bloc est un oscillateur contrôlé en tension : sa fréquence de sortie est fonction de sa tension d'entrée, c'est-à-dire de la tension uF (figure 9) . On le note OCT pour Oscillateur Contrôlé en tension, mais plus couramment VCO (Voltage Control Oscillator). Figure 9 : exemple de caractéristique d'un VCO On a vu que, lorsque la boucle est verrouillée, la fréquence du signal de sortie est égale à la fréquence du signal d'entrée (fS = fE). Dans le cas d'un retour unitaire, on en déduit que fR = fE. Autrement dit, une boucle est verrouillée lorsque la fréquence des deux signaux à l'entrée du détecteur de phase est égale. C'est ce qu'il faut retenir en premier pour définir l'état verrouillé d'une BVP. Naturellement, on aura l'occasion d'expliquer comment cet état est obtenu. Dans le cas où un diviseur de fréquence est placé dans la boucle de retour (figure 10), on obtient fS = N.fE. En effet, une boucle verrouillée est caractérisée par fE = fR. Le diviseur de fréquence imposant fR = fS / N, on en déduit fS = N.fE, N étant un nombre entier. 5 Figure 10 : BVP avec un diviseur de fréquence dans la boucle de retour 3. Notation et rappels Un signal sera noté xy. x indique le type de signal (u pour une tension, i pour un courant, f une fréquence, ω une pulsation et une phase). L'indice y indique généralement la localisation du signal (par exemple E pour une entrée, S pour une sortie, D pour la sortie du détecteur de phase, F pour la sortie du filtre). De plus, le fait de mettre x et y en minuscule ou majuscule donne des indications sur les caractéristiques du signal (tableau 1). Tableau 1 : signification de l'indice d'un signal Par exemple, le signal uF(t) pourra être décomposé en un terme constant et un terme représentant des variations autour de cette valeur constante (figure 11) : uF(t) = UF + uf(t) Figure 11 : exemple de décomposition du signal uF(t) La valeur moyenne est notée <uF(t)>. Dans le cas de la figure 11, on a UF = <uF(t)>. Cependant, uf(t) n'est pas forcément à valeur moyenne nulle, un exemple est donné dans la figure 12. Figure 12 : autre exemple de décomposition du signal uF(t) 6 Cette notation permet d'illustrer les notions de point de repos et de variations autour d'un point de repos, importantes dans le cas d'une BVP. Soit un système à une entrée uE et une sortie uS (figure 13). Figure 13 : système à une entrée et une sortie Ce système possède une caractéristique statique (figure 14). Figure 14 : caractéristique statique Soit une tension d'entrée comportant un terme continu et des variations : uE(t) = UE + ue(t). La tension constante UE fixe le point de repos, et impose donc une tension de sortie US (figure 15). Figure 15 : point de repos UE et US Le terme ue(t) représentant les variations autour du point de repos du signal d'entrée, on en déduit les variations autour du point de repos du signal de sortie par l'intermédiaire de la caractéristique statique (figure 16). Figure 16 : variations autour du point de repos On peut donc écrire uS(t) = US + us(t). 7 Dans le cas où la caractéristique n'est pas linéaire au point de repos et si la tension d'entrée ue(t) est sinusoïdale, la tension de sortie us(t) ne sera pas sinusoïdale. Il faudra, si nécessaire, linéariser la caractéristique statique au point de repos. Soit un signal sinusoïdal : uE(t) = Ue.sin( ΩE .t E (t) ). Ue est l'amplitude de ce signal, et ΩE .t E (t) représente la phase instantanée. La pulsation instantanée est, par définition, la dérivée de la phase instantanée : d(ΩE .t E (t)) d (t) ωE (t) ΩE E dt dt En décomposant de façon maintenant classique le signal E (t) en une somme de deux termes E (t) ΦE e (t) , on obtient : d e (t) ωE (t) ΩE dt le terme ΦE étant constant. De plus, on peut écrire On en déduit alors ωE (t) ΩE ωe (t) d e (t) ω e (t) dt Par la suite, ΦE et ΩE seront le point de repos d'une BVP pour la phase et la pulsation. On sera amené à étudier le comportement d'une BVP suite à un échelon de phase (figure 17), ou un échelon de pulsation (figure 18). Figure 17 : échelon de phase Figure 18 : échelon de pulsation 4. Étude d'un détecteur de phase : le multiplieur Le multiplieur (figure 19) est un détecteur de phase permettant de travailler avec des signaux analogiques, c'est à dire des tensions sinusoïdales. Figure 19 : les signaux d'entrée et de sortie d'un multiplieur 8 L'étude d'un détecteur de phase nécessite d'appliquer à ces deux entrées des signaux de même fréquence, afin de représenter le cas d'une boucle à verrouillage de phase verrouillée. De plus, il s'agit d'étudier le comportement du détecteur de phase vis-à-vis d'un déphasage entre des deux signaux. uE(t) = Ue.cos( ωE .t E )) uR(t) = Ur.cos( ωR .t R )) avec ωR ωE E R est le déphasage entre ces deux tensions (figure 20). Figure 20 : les deux signaux d'entrée et leur déphasage Le calcul du signal de sortie uD(t) est le suivant : uD(t) = K.Ue.Ur.cos( ωE .t E ).cos( ωR .t R ) K étant le coefficient du multiplieur, en V-1. uD(t) = K.U e .Ur .(cos( E R )+cos( 2.ωE .t E R )) car ωR ωE 2 On s'intéresse à la valeur moyenne de ce signal, car le filtre passe-bas placé à la sortie du détecteur de phase dans une BVP a comme premier rôle de récupérer cette valeur moyenne. <uD(t)> = K.U e .Ur .cos( E R ) 2 Afin de ne pas avoir un comportement liée aux amplitudes des signaux, des limiteurs de tension sont placés aux deux entrées du multiplieur (figure 21). Figure 21 : limiteurs à l'entrée du multiplieur Ainsi, on peut écrire : <uD(t)> =Umax.cos( E R ). Par la suite, on prendra Umax égale à 1 V. A partir de cette relation, on en déduit la caractéristique statique de ce détecteur de phase, c'est-àdire le tracé de la valeur moyenne de uD(t) en fonction du déphasage E R (figure 22). 9 Figure 22 : caractéristique statique de ce détecteur de phase La valeur moyenne de uD est donc comprise entre –Umax et +Umax. Elle est nulle pour deux valeurs π π du déphasage, et . Ces deux valeurs prendront un sens particulier pour une BVP utilisant un 2 2 tel détecteur. 5. Le V.C.O. Son rôle est de générer un signal dont la fréquence est fonction du signal d'entrée (figure 23). Figure 23 : entrée et sortie du VCO La fréquence de sortie considérée sera la fréquence fR, car c'est le cas d'une BVP à retour unitaire. Un exemple de caractéristique est donné dans la figure 24. Figure 24 : exemple de caractéristique d'un VCO Dans cette caractéristique, la fréquence f0 est celle obtenue avec une tension d'entrée nulle. Figure 25 : caractéristique du VCO de la BVP intégré 4046 10 Un autre exemple de caractéristique est donné dans la figure 25, tiré de la documentation technique du circuit 4046. Les composants R1, R2 et C1 permettent de construire une caractéristique répondant au cahier des charges. De ces deux exemples, on en déduit la caractéristique statique idéalisée (figure 26) du VCO que l'on utilisera par la suite. Figure 26 : caractéristique idéalisée d'un VCO Cette caractéristique donne la pulsation ωR , et non la fréquence, en fonction de la tension uF. Cette caractéristique est considérée comme étant linéaire pour une tension comprise entre UFmin et UFmax. La pulsation est alors comprise entre ωmin et ωmax , valeurs de saturation. On notera ω 0 la pulsation obtenue pour une tension d'entrée nulle. 6. Régime statique de la boucle à verrouillage avec un multiplieur. En régime statique, la pulsation d'entrée est variable, mais de façon très lente afin de ne pas avoir à considérer un régime transitoire. La boucle étudiée est donnée dans la figure 27. Figure 27 : BVP étudiée La caractéristique du multiplieur est : <uD(t)> =Umax.cos( E R ), avec Umax = 1 V. L'étude du régime statique de cette boucle à verrouillage de phase sera faite avec un exemple numérique simple. La caractéristique du VCO est celle de la figure 28. Figure 28 : caractéristique du VCO de la BVP étudiée La courbe de réponse du filtre passe-bas utilisé correspond à celle d'un filtre cardinal (figure 29). L'amplification statique de ce filtre est égale à 1, et la fréquence de coupure égale à 1 kHz. 11 Figure 29 : courbe de réponse du filtre passe-bas 6.1. Régime libre de la boucle à verrouillage de phase. Le régime libre correspond à une entrée en l'air. Pour le multiplieur, on va considérer que la sortie est égale à la deuxième entrée : uD(t) = uR(t). Quelle que soit la tension d'entrée du VCO, celui génère un signal sinusoïdal, de fréquence fR à déterminer. uR(t) = cos(2..fR.t+ R ) La valeur moyenne de ce signal étant égale à 0, on en déduit : <uD(t)> = <uR(t)> = 0 L'amplification statique du filtre étant égale à 1, on obtient uF = <uD(t)> = 0. La valeur de la fréquence de sortie fR est alors obtenue par l'intermédiaire de la caractéristique du VCO (figure 30) : fR = f0 = 10 kHz Figure 30 : point de fonctionnement correspondant au régime libre de la BVP sur la caractéristique du VCO 6.2. fE = 10 kHz En considérant le résultat précédent, un signal de fréquence égale à 10 kHz est appliqué à l'entrée de la boucle (uE). On part de l'hypothèse que la boucle est verrouillée, autrement dit que f R = fE. Il faut pour cela uF = 0 V (figure 31). Figure 31 : point de fonctionnement sur la caractéristique permettant d'obtenir fR = 10kHz Les deux signaux d'entrée du multiplieur sont : uE(t) = cos(2..fE.t+ E ) uR(t) = cos(2..fR.t+ R ) Le signal de sortie du multiplieur est donc : uD(t) =Umax.(cos( E R )+cos(2..2.fE .t+ E R )) fE étant égale à 10 kHz, le deuxième terme sera éliminé par le filtre passe-bas, dont la fréquence de coupure est égale à 1 kHz. De plus, l'amplification statique étant égale à 1, on obtient : uF = <uD(t)> = Umax.(cos( E R )). 12 Pour avoir uF = 0, on en déduit sur la caractéristique du détecteur de phase que E R = π 2 (figure 32). Figure 32 : point de fonctionnement sur la caractéristique du détecteur de phase Il y a donc deux possibilités pour le déphasage E R . Une seule valeur est possible, déterminée par l'étude de la stabilité de ces deux points de fonctionnement. Ainsi, on pourra démontrer que seule le π point de fonctionnement correspondant à E R = - est stable dans le cas de la boucle étudiée dans 2 ce paragraphe. Cependant, ces deux valeurs seront envisagées dans la suite de ce paragraphe jusqu'à comprendre comment lever l'ambiguïté. En résumé, ce point de fonctionnement est décrit par les valeurs numériques suivantes : fR = fE = 10 kHz uF = <uD(t)> = Umax.(cos( E R )) = 0 V avec Umax = 1 V π E R = 2 Pour des raisons expliquées plus loin, ce point de fonctionnement particulier sera le point de repos de la boucle. On pourra donc écrire, en respectant la notation décrite au paragraphe 3 : FR = FE = 10 kHz UF = Umax.(cos( E R )) = 0 V π E R = 2 6.3. fE = 11 kHz Cet autre point de fonctionnement est obtenu en augmentant doucement la fréquence d'entrée. Par un raisonnement identique, on obtient les valeurs numériques suivantes : fR = fE = 11 kHz uF = <uD(t)> = Umax.(cos( E R )) = 0,5 V π E R = 3 La figure 33 donne ce point de fonctionnement sur la caractéristique du VCO et sur la caractéristique du détecteur de phase. 13 Figure 33 : point de fonctionnement correspondant à fE = 11 kHz 6.4. fE = 9 kHz Toujours en partant du repos de repos, on diminue la fréquence d'entrée. On obtient : fR = fE = 9 kHz uF = <uD(t)> = Umax.(cos( E R )) = - 0,5 V 2.π E R = 3 De la même façon, ce point de fonctionnement peut être représenté sur les caractéristiques du détecteur de phase et du VCO (figure 34). Figure 34 : point de fonctionnement correspondant à fE = 9 kHz 6.5. fE = 12 kHz En partant d'un état verrouillé, la fréquence d'entrée est amenée à 12 kHz. On obtient : fR = fE = 12 kHz uF = <uD(t)> = Umax.(cos( E R )) = 0 V E R = 0 La figure 35 décrit ce point de fonctionnement sur les deux caractéristiques usuelles. Figure 35 : point de fonctionnement correspondant à fE = 12 kHz 14 On remarque sur la caractéristique du détecteur de phase que la tension maximale est atteinte. Cela explique le fait que, si on augmente encore la fréquence d'entrée, la BVP ne pourra pas rester verrouillée. 6.6. fE = 8 kHz Cela donne : fR = fE = 8 kHz uF = <uD(t)> = Umax.(cos( E R )) = - 1 V E R = π La figure 36 décrit ce point de fonctionnement. Figure 36 : point de fonctionnement correspondant à fE = 8 kHz En conclusion sur ces différents cas, on en déduit qu'une boucle à verrouillage de phase reste verrouillée grâce à un déphasage produit entre les deux signaux d'entrée du détecteur de phase, ceci afin d'obtenir une valeur moyenne de uD, donc une valeur de uF permettant au VCO de fournir la fréquence fR égale à fE. 6.7. fE > 12 kHz La fréquence du signal à l'entrée de la boucle est supérieure à 12 kHz. Pour que la BVP reste verrouillée, il faudrait que la tension à l'entrée du VC0 (uF) soit supérieure à 1 V (figure 36). Figure 36 : limites du VCO et du détecteur de phase Or, la valeur moyenne de la tension en sortie du détecteur de phase (<uD>) étant comprise entre -1 et +1 V et l'amplification statique du filtre passe-bas étant égale à 1, la tension uF ne peut pas être supérieure à 1 V. La boucle ne peut pas rester verrouillée (fR fE). On dit que la boucle décroche, ou se déverrouille. 6.8. fE < 8 kHz En partant d'un état verrouillé, par exemple fE = 9 kHz, on diminue la fréquence d'entrée. On remarque alors que la boucle décroche lorsque la fréquence d'entrée devient inférieure à 8 kHz. En effet, la valeur minimale de la tension <uD> étant égale à -1 V (figure 36), la tension uF ne peut pas être inférieure à -1 V. Le VCO ne peut donc pas fournir une fréquence égale à celle de fE. 15 6.9. Plage de verrouillage A partir des paragraphes précédents, on note que le point de fonctionnement de la BVP, imposé naturellement par la fréquence d'entrée, se situe sur la partie droite ou la partie gauche de la caractéristique du détecteur de phase (étude de la stabilité du point de fonctionnement), et que cela impose une variation possible du point de fonctionnement sur la caractéristique du VCO (figure 37). Figures 37 : zone de variation possible du point de fonctionnement La plage de verrouillage est une notion fondamentale pour une boucle à verrouillage de phase. En partant d'un état verrouillé, on fait varier la fréquence d'entrée jusqu'à obtenir le décrochement de la boucle. Les deux limites ainsi mesurées définissent la plage de verrouillage. Pour l'exemple numérique utilisé dans ce paragraphe, la plage de verrouillage est donc fE [8 kHz, 12 kHz] (figure 38). Figure 38 : plage de verrouillage de la BVP étudiée Il est important de noter que la plage de verrouillage est généralement imposée par le détecteur de phase, et non le VCO. Cependant, si la caractéristique du VCO était celle donnée dans la figure 39, la plage de verrouillage serait [9 kHz , 11 kHz]. En effet, la fréquence de sortie du VCO n'étant plus fonction de la tension uF au-delà de l'intervalle –0,5V à +0,5V, la BVP ne pourra pas rester verrouillée sur la fréquence d'entrée. Figure 39 : autre exemple de caractéristique du VCO 6.10. Plage de capture Contrairement à la plage de verrouillage, la plage de capture se mesure à partir d'un état déverrouillé. En partant d'un tel état, on fait varier la fréquence d'entrée jusqu'à obtenir le verrouillage de la boucle. Les deux valeurs de la fréquence d'entrée ainsi obtenues définissent la plage de capture (figure 40). Figure 40 : plages de verrouillage et de capture 16 Généralement, sauf pour une boucle à verrouillage utilisant le détecteur séquentiel à trois états, la plage de capture est plus petite que la plage de verrouillage. La plage de capture est imposée par le filtre de boucle. Les quelques lignes qui suivent permettent d'illustrer cela, mais il faut tout de suite remarquer que l'étude de la plage de capture est beaucoup plus complexe. De plus, on utilise dans l'exemple numérique de la BVP un filtre cardinal, ce qui n'est pas possible pour des raisons de stabilité, mais permet d'illustrer facilement la notion de plage de capture. Soit une fréquence d'entrée égale à 6 kHz. La boucle est déverrouillée (fR fE), le VCO ne pouvant pas fournir une telle fréquence. Celui-ci va cependant générer un signal de fréquence que l'on cherche à déterminer. La tension uD s'écrit : uD(t) =Umax.( cos (2..(fR - fE).t + R E ) + cos (2..(fR + fE).t + R E )) Si on avait fR – fE < 1 kHz (mais fE + fR > 1 kHz) et en raison de la courbe de réponse du filtre, le signal uD serait donc sinusoïdal de fréquence fR – fE et d'amplitude 1 V. Cela voudrait dire que la fréquence fR serait aussi sinusoïdale, comprise entre 8 kHz et 12 kHz par lecture de la caractéristique du VCO. Cela contredit le fait d'avoir fR – fE < 1 kHz. On en déduit que fR – fE > 1 kHz (et fR + fE > 1 kHz). Par l'intermédiaire du filtre de boucle, on obtient uF = 0 V. La fréquence fR est donc égale à 10 kHz. On retrouve la valeur obtenue durant l'étude du régime libre de la BVP. On augmente doucement la fréquence d'entrée, par exemple jusqu'à obtenir fE = 8 kHz. La fréquence fR étant toujours égale à 10 kHz, le filtre impose uF = 0 car fR – fE > 1 kHz. On remarque que cette situation va changer lorsque fR – fE devaient égale à 1 kHz. La fréquence d'entrée est égale à 9 kHz. La tension uD ne sera plus constante grâce au filtre, ce qui va entraîner une fréquence fR variable. Celle-ci peut alors devenir égale à fE, ce qui va provoquer le verrouillage de la boucle. Un même raisonnement peut être effectué en partant d'une fréquence plus élevée, par exemple 14 kHz. La boucle n'est pas verrouillée, et la fréquence fR est égale à 10 kHz. En diminuant la fréquence d'entrée, on note un verrouillage lorsque l'écart entre la fréquence d'entrée et la fréquence f R égale à 10 kHz atteint la valeur imposée par le filtre de boucle. Le verrouillage va donc s'effectuer à une fréquence d'entrée égale à 11 kHz. La plage de capture, avec cet exemple très simple, est donc [9 kHz , 11 kHz] (figure 41). Cela veut dire que, partant d'un état déverrouillé, la capture ne pourra se faire que pour une fréquence comprise dans cette plage. Figure 41 : plages de verrouillage et de capture pour l'exemple numérique étudié 6.11. Cas général Il s'agit dans ce paragraphe de ne pas faire référence aux valeurs numériques utilisées jusqu'à maintenant. La boucle à verrouillage de phase étudiée est toujours celle de la figure 27, et on s'intéresse au régime statique. Le filtre passe-bas sera par exemple un filtre du premier ordre, de fonction de transfert F(p) : F0 F0 est l'amplification statique, que l'on va supposer positive. Fp 1 τ.p 17 La caractéristique du VCO est de la forme donnée dans la figure 42. Figure 42 : caractéristique du VCO L'équation de la partie "utile" de cette caractéristique est : ωR = ω 0 + K0.uF, K0 s'exprimant en rd.s-1/V. Le détecteur de phase impose une valeur moyenne de sa tension de sortie comprise entre <uD>min et <uD>max (figure 43). Figure 43 : caractéristique du détecteur de phase Point de repos : ωE ΩE . La boucle étant verrouillée, on a R E . Par l'intermédiaire de la caractéristique du VCO, on en déduit : UF est la tension de repos de uF. ΩE = ω 0 + K0.UF De plus, le rôle du filtre est de "récupérer" la valeur moyenne de la tension uD : UF = F0.<uD> ΩE ω 0 K 0 .F0 Le déphasage entre les deux signaux d'entrée du détecteur de phase est alors donnée par la relation suivante : Ω ω0 uD E = Umax.(cos( ΦE ΦR )) K 0 .F0 Donc : ΩE = ω 0 + K0. F0.<uD> ou uD Plage de verrouillage : cela correspond à la variation de ωE pour laquelle la BVP reste verrouillée. ωE ωR = ω 0 + K0. F0.<uD> On en déduit les valeurs minimale et maximale de la pulsation d'entrée à partir des valeurs limites imposées par le détecteur de phase (K0 > 0) : ωEmin = ω 0 + K0. F0.<uD>min La plage de verrouillage est donc : ωEmax = ω 0 + K0. F0.<uD>max ΔωE = K0. F0.(<uD>max - <uD>min) Choix du point de repos : de façon classique, on le place au milieu de la plage de verrouillage (figure 44). 18 ΩE = ΩR = ω 0 + K0. F0. uD min uD max 2 Figure 44 : point de repos Dans le cas du multiplieur, on obtient : ΦE ΦR = 2 Point de fonctionnement : ωE ΩE On a alors (figure 45) : ωE ωR = ω 0 + K0. F0.<uD> et E R F La valeur de F est déterminée par lecture de la caractéristique du multiplieur. Figure 45 : point de fonctionnement Des résultats de simulation seront présentés en cours, permettant d'illustrer les notions de point de repos d'une BVP, de point de fonctionnement, de plage de verrouillage, de plage de capture, d'ondulation résiduelle, mais aussi de stabilité et de régime transitoire. 7. Boucle à verrouillage de phase numérique. Il s'agit de boucles à verrouillage de phase travaillant avec des signaux numériques, ou logiques (figure 46). Figure 46 : signal numérique Ce signal uE(t) peut s'écrire de la façon suivante : uE(t) = VDD.Cr ( ΩE .t E (t) ) Le signal "créneau" unitaire Cr, de rapport cyclique ½, est donné dans la figure 47. Figure 47 : signal créneau unitaire 19 7.1. Le détecteur de phase OU exclusif (figure 48) Figure 48 : Ou exclusif Pour l'étude de ce détecteur de phase, les signaux suivants sont appliqués aux deux entrées : uE(t) = VDD.Cr ( ωE .t E ) uR(t) = VDD.Cr ( ωR .t R ) L'objectif est d'étudier l'évolution de la valeur moyenne de la tension u D en fonction du déphasage R E (figure 49). Figure 49 : déphasage entre uE et uR Le signal de sortie uD se déduit de la table de vérité du OU exclusif (figure 50). Figure 50 : signal uD et sa valeur moyenne On remarque aisément que la valeur moyenne du signal uD est fonction du déphasage R E . La caractéristique de ce détecteur de phase est donnée dans la figure 51. Figure 51 : caractéristique statique du OU exclusif 20 V Pour R E 0, , on a <uD> = + DD .( R E ) π VDD Pour R E ,0 , on a <uD> = .( R E ) π VDD π pour R E . De la même façon que pour le 2 2 multiplieur, il y aura deux possibilités pour le point de fonctionnement de la boucle en ce qui concerne la valeur du déphasage. Cette ambiguïté sera levée lors de l'étude de la stabilité. De plus, on remarque que la <uD> = 7.2. La bascule RS (figure 52) Figure 52 : bascule RS sensible sur front Ce détecteur de phase utilise une bascule RS sensible aux fronts montant des signaux d'entrée. On applique à l'entrée de cette bascule deux signaux déphasés l'un par rapport à l'autre. Le signal de sortie uD(t) est donné dans la figure 53. Figure 53 : le signal uD en sortie de la bascule RS et sa valeur moyenne Un premier intérêt de ce détecteur de phase est de ne pas nécessiter des signaux numériques à rapport cyclique ½, comme c'était le cas pour le OU exclusif. La caractéristique de ce détecteur de phase est obtenue en étudiant l'évolution de la valeur moyenne de uD(t) en fonction du déphasage (figure 54). Figure 54 : caractéristique statique du détecteur de phase à bascule RS V Pour R E 0,2 , on a <uD> = + DD .( R E ) 2.π Contrairement aux deux détecteurs de phase déjà étudiés (multiplieur et OU exclusif), celui-ci n'apporte pas d'ambiguïté pour signe du déphasage à un point de fonctionnement. 21 7.3. Étude de la BVP à OU exclusif La boucle à verrouillage étudiée est donnée dans la figure 55. Figure 55 : BVP à OU exclusif La tension d'alimentation du OU exclusif est prise égale à +5 V. On a donc VSS = 0 V et VDD = 5 V. Le filtre passe-bas du premier ordre est un simple circuit RC. L'amplification statique F0 est donc égale à 1. Comme pour la BVP à multiplieur, l'étude du fonctionnement de la BVP à OU exclusif sera faite à partir d'un exemple numérique simple, à partir de la caractéristique du VCO donnée dans la figure 56. Figure 56 : caractéristique du VCO de la BVP étudiée Régime libre de la boucle. L'entrée uE est en l'air. Pour une porte logique, cela revient à considérer l'entrée correspondante à 1 logique. Le signal de sortie du OU exclusif est donc le complément de uR. Le VCO génèrant un signal à rapport cyclique ½ et de fréquence que l'on cherche à déterminer, la valeur moyenne de uD est égale à celle de uR, donc VDD/2. La valeur de uF est donc aussi égale à VDD/2, et la fréquence fR égale à 3 kHz. Point de repos : FE = 3 kHz Cette valeur particulière pour le point de repos sera justifiée par la suite par l'intermédiaire du calcul de la plage de verrouillage. Pour que la boucle soit verrouillée, il faut FR = 3 kHz. Cela fréquence est obtenue avec une tension UF égale à 2,5 V. L'amplification statique du filtre étant égale à 1, on en déduit π <uD(t)> = 2,5 V. La valeur du déphasage entre uE et uR est donc : ΦE ΦR . La valeur positive 2 ou négative sera choisie par la boucle en fonction de la stabilité du point de repos. Ce point de repos est résumé dans la figure 57. Figure 57 : point de repos de cette BVP à OU exclusif 22 Plage de verrouillage La plage de verrouillage doit être calculée à partir de la variation possible de la valeur moyenne de la tension de sortie du détecteur de phase. Caractéristique du détecteur de phase : <uD> [0 V , 5 V] Filtre : uF = <uD> uF [0 V , 5 V] Caractéristique du VCO : fR [1 kHz , 5 kHz] Boucle verrouillée (fR = fE) : fE [1 kHz , 5 kHz] La valeur de 3 kHz pour le point de repos est donc bien le milieu de la plage de verrouillage. Point de fonctionnement Le point de fonctionnement est imposé par la valeur de la fréquence d'entrée, forcément dans la plage de verrouillage. La figure 58 donne les zones où ce point de fonctionnement peut se situer sur la caractéristique du VCO et sur celle du détecteur de phase. Cela correspond naturellement à la plage de verrouillage. Figure 58 : zones possibles pour le point de fonctionnement Choix de la constante de temps du filtre La fréquence de coupure du filtre est choisie pour que le signal uF soit le plus constant possible, afin que la fréquence fR soit la plus stable possible. Dans le cas d'une BVP à OU exclusif et lorsque cette boucle est verrouillée, le spectre du signal uD comporte une raie à la fréquence 2.fE. Le filtre a donc pour rôle d'éliminer les fréquences égales ou supérieures à cette valeur. Cependant, le comportement en régime transitoire de la boucle est fortement liée à la valeur de cette constante de temps (paragraphe 8). Accrochage sur un harmonique Dans le cas d'une BVP conçue avec un OU exclusif, on s'aperçoit que la boucle peut se verrouiller sur un harmonique. Pour que l'asservissement reste possible, il faut démontrer que la valeur moyenne du signal de sortie du détecteur varie en fonction d'un décalage entre les deux signaux d'entrée (on ne peut effectivement pas parler de déphasage dans le cas de signaux de fréquences non identiques). Soit fR = 3.fE. Ce cas de figure est donné dans la figure 59, avec la tension uD correspondante. Figure 59 : uE et uR avec fR = 3.fE et la tension uD correspondante 23 En produisant un décalage supplémentaire de uR par rapport à uE, on remarque que la valeur moyenne de uD augmente (figure 60), ce qui explique que la boucle peut rester verrouillée. Figure 60 : variation de la valeur moyenne de uD en fonction d'un décalage de uR par rapport à uE 8. Régime dynamique d'une boucle à verrouillage de phase. L'objectif est d'étudier le comportement en régime transitoire de la boucle, par exemple suite à un échelon de fréquence ou de phase en entrée (figure 61). Il faut pour cela construire un schéma fonctionnel valable pour des variations autour d'un point de fonctionnement, par exemple le point de repos. Figure 61 : échelon de phase (à gauche) et de fréquence (à droite) Les grandeurs d'entrée et de sortie choisies pour cette étude sont les variations de phase e (t) et r (t) . A partir de ces deux signaux, on pourra facilement en déduire les pulsations. L'objectif est d'établir la relation entre r (t) et e (t) puis, en utilisant la transformée de Laplace, calculer la fonction de transfert de ce système (figure 62). Figure 62 : entrée et sortie du schéma fonctionnel à établir Il faut donc établir le schéma fonctionnel valable pour des variations autour du point de repos pour chaque élément de la BVP, ceci en prenant les relations de chaque élément et en retirant le point de repos pour ne conserver que les variations. 8.1. Régime dynamique d'une BVP à multiplieur La boucle étudiée est donnée dans la figure 63. 24 Figure 63 : BVP à multiplieur considérée pour l'étude du régime dynamique Le filtre est du premier ordre, d'amplification statique F0 et de constante de temps . La caractéristique du VCO est modélisée par la relation suivante : ωR ω0 K 0 .uF Le point de repos est obtenu en appliquant la pulsation ΩE à l'entrée de la boucle. Le déphasage entre π la sortie et l'entrée est alors : ΦE ΦR . 2 Mise en équation du multiplieur L'expression des deux signaux d'entrée est : uE(t) = Ue.sin( ΩE .t E (t) ) uR(t) = Ur.sin( ΩR .t R (t) ) avec ΩR ΩE Le signal en sortie du multiplieur s'écrit : K.U e .Ur uD(t) = .(cos( E (t ) R (t ) )+cos( 2.ΩE .t E (t) R (t) )) 2 La valeur moyenne est : K.U e .Ur <uD(t)> = .cos( E (t ) R (t )) 2 ou encore, en utilisant la constante Umax : <uD(t)> =Umax.cos( E (t ) R (t )) et, en utilisant la décomposition classique d'un signal quelconque : E (t) ΦE e (t) R (t) ΦR r (t) <uD(t)> =Umax.cos( ΦE ΦR e (t) r (t) ) Il s'agit maintenant de déterminer les variations de la valeur moyenne de uD(t), ce qui revient à π "retirer" le point de repos. Sachant que l'on a ΦE ΦR , on obtient : 2 <uD(t)> = Umax.sin( e (t) r (t) ) Il faut noter que lorsque Et si π , on a <uD(t)> = -Umax.sin( e (t) r (t) ) 2 π ΦE ΦR , on a <uD(t)> = +Umax.sin( e (t) r (t) ) 2 ΦE ΦR Ces deux remarques serviront à déterminer le point de repos stable. De plus, <uD(t)> représente les variations de la valeur moyenne de uD(t). Il faudrait écrire <uD(t)>(t), ce qui alourdirait la notation. On obtient donc une relation non linéaire. En ne considérant que des petites variations et par linéarisation, cela donne : 25 <uD(t)> = Umax.( e (t) r (t) ) En appelant KD le coefficient de ce détecteur de phase (KD = Umax), celui-ci est donc modélisé pour des variations autour du point de repos par la relation suivante : <uD(t)> = KD.( e (t) r (t) ) En utilisant la transformée de Laplace, le schéma fonctionnel pour le multiplieur en régime dynamique est donné dans la figure 64. Figure 64 : schéma bloc du multiplieur en régime dynamique Le filtre passe-bas est simplement modélisé par sa fonction de transfert. Le schéma fonctionnel de la BVP valable pour des variations autour du point de repos est donné dans la figure 65, où il manque le VCO. Figure 65 : une partie du schéma fonctionnel de la BVP Uf(p) est la transformée de Laplace de uf(t), ce qui explique la lettre en majuscule. Par contre, cette notation n'a pas été utilisée pour e (t) et r (t) . Mise en équation du VCO La relation entre ωR et uF est la suivante : ωR (t) = ω 0 + K0.uF(t) En décomposant uF(t) en un terme de polarisation et un terme de variation : uF(t) = UF + uf(t) on obtient : ωR (t) = ω 0 + K0.UF + K0.uf(t) Le point de repos de la boucle est défini par : ΩE ΩR = ω 0 + K0.UF Ce qui donne : ωR (t) = ΩR + K0.uf(t) En identifiant avec la relation : ωR (t) = ΩR + ωr (t) On en déduit : ωr (t) = K0.uf(t) 26 dr (t) dt L'équation liant les variations r (t) aux variations uf(t) est donc : d r (t) K0.uf(t) = dt De plus, par définition : ωr (t) La figure 66 donne le schéma bloc correspondant. Figure 66 : schéma fonctionnel du VCO Le schéma fonctionnel complet de la boucle à verrouillage de phase valable pour des variations autour du point de repos est donné dans la figure 67. Figure 67 : schéma fonctionnel de la BVP Ce schéma possède la forme d'un système asservi, ce qui explique le fait de parler d'un asservissement de phase pour une BVP. La fonction de transfert en boucle fermée est : r (p) 1 e (p) p τ.p 2 1 K D .F0 .K 0 K D .F0 .K 0 Cette fonction de transfert est du deuxième ordre. La pulsation propre et le coefficient d'amortissement sont : K D .F0 .K 0 1 1 ω0 et . 2 .K D .F0 .K 0 τ De plus, la fonction de transfert en boucle ouverte est : K .F .K L(p) D 0 0 p(1 τ.p) La présence d'une intégration assure une erreur statique nulle, ce qui se retrouve dans l'amplification statique de la fonction de transfert en boucle fermée égale à 1. Étude de la stabilité En considérant K0 positif et F0 positif, la stabilité est assurée avec KD aussi positif. Cela correspond π au point de repos ΦE ΦR . 2 π Si par contre K0 est négatif (et F0 positif), le point de repos stable sera ΦE ΦR pour avoir 2 KD négatif. 27 Réponse à un échelon de phase La réponse à un échelon de phase, autrement dit la réponse indicielle, est celle d'un passe-bas du deuxième ordre (figure 68). Figure 68 : réponse à un échelon de phase Suite à un échelon de phase donc une impulsion de pulsation et après un régime transitoire, la pulsation de sortie redevient égale à la pulsation d'entrée. La durée de ce régime transitoire peut être estimée par l'intermédiaire du temps de réponse à 5%. Le dépassement provoqué par cet échelon de phase au niveau de la pulsation peut cependant faire décrocher la boucle si on sort de la plage de verrouillage. Il est donc important de maîtriser les paramètres de cette réponse indicielle. Réponse à un échelon de pulsation Un échelon de pulsation est obtenu par une rampe de phase (figure 69). 28 Figure 69 : réponse à une rampe de phase La présence d'une intégration en boucle ouverte assure une erreur de traînage constante. La pente de la phase d'entrée est donc égale à celle de la phase de sortie, ce qui justifie le fait que la pulsation de sortie est égale à la pulsation d'entrée en régime permanent. De plus, l'erreur de traînage fait que le déphasage entre les deux signaux uE et uR devient différent de celui avant l'échelon de pulsation. En effet, une boucle à verrouillage de phase reste verrouillée grâce au déphasage produit entre uE et uR. Ce déphasage varie donc en fonction du point de fonctionnement. Influence du point de fonctionnement sur le schéma fonctionnel Le schéma fonctionnel a été défini en considérant des variations autour d'un point de fonctionnement particulier, le point de repos. Dans le cas d'un autre point de fonctionnement, la relation ayant donné lieu au soustracteur ayant été obtenu par linéarisation, il est simple de voir que le coefficient KD dépend du point de fonctionnement. Ce coefficient représente la dérivée au point de fonctionnement sur la caractéristique du détecteur de phase. Cette caractéristique n'étant pas linéaire, ce coefficient n'est pas constant. Ce raisonnement est aussi applicable pour la caractéristique du VCO. Si celle-ci n'est pas linéaire, le coefficient K0 dépendra du point de fonctionnement considéré. 8.2. Régime dynamique d'une BVP à OU exclusif Le détecteur de phase de la BVP étudiée est un OU exclusif (figure 70). Figure 70 : BVP à OU exclusif Le filtre passe-bas est du premier ordre (amplification statique F0 et constante de temps ). Le VCO est linéaire dans la partie utile. Le schéma fonctionnel du détecteur de phase peut être établi graphiquement. Il suffit de faire apparaître le point de repos sur la caractéristique, et de faire des variations autour de ce point de repos (figure 71). 29 Figure 71 : variations autour du point de repos sur la caractéristique du détecteur de phase π (figure 71), on note que l'amplitude des variations de la sortie du 2 V détecteur de phase est égal à KD fois l'amplitude des variations de l'entrée, avec K D DD . Par Dans le cas où ΦE ΦR π contre, si le point de repos stable est celui correspondant à ΦE ΦR (figure 72), le coefficient 2 VDD est alors K D . Figure 72 : variations autour du deuxième point de repos possible On en déduit une partie du schéma fonctionnel (figure 73). Figure 73 : schéma bloc de la BVP avec le coefficient du détecteur de phase Le filtre est modélisé par sa fonction de transfert. La même méthode graphique que pour le détecteur de phase peut être utilisée pour le VCO (figure 74). Figure 74 : variations autour du point de repos sur la caractéristique du VCO On en déduit ωr (t) K 0 .u f (t) . Un intégrateur permet ensuite de transformer la pulsation en phase. 30 Le schéma complet de la BVP à OU exclusif en régime dynamique est celui de la figure 75. Figure 75 : schéma fonctionnel de la BVP à OU exclusif Ce schéma est similaire à celui de la BVP à multiplieur. Le comportement de la boucle suite à un échelon de phase ou de pulsation est donc celui étudié précédemment. 8.3. Choix des éléments d'une boucle à verrouillage de phase Ce paragraphe a pour objectif de montrer un exemple de calcul des éléments d'une BVP à OU exclusif (figure 76). Figure 76 : BVP à OU exclusif pour un exemple de calcul de composants Le cahier des charges est le suivant : plage de verrouillage égale à 4 kHz autour de 3 kHz temps de réponse le plus faible possible La plage de verrouillage impose le choix du VCO : il faut que la partie utile de la caractéristique englobe la plage de verrouillage. La figure 77 donne un exemple d'une caractéristique compatible avec le premier point du cahier des charges. Figure 77 : caractéristique statique du VCO compatible avec le cahier des charges Le coefficient K0, c'est-à-dire la pente de la caractéristique, est égal à 2.π.4.10 3 rd.s 1/V . 5 Le schéma fonctionnel pour le régime dynamique est donné dans la figure 78. Figure 78 : schéma bloc pour l'étude du régime dynamique 31 Avec K D 5 . On remarque que F0 est égale à 1. π La fonction de transfert en boucle fermée est la suivante : r (p) e (p) 1 1 p K D .K 0 K D .K 0 ω0 avec τ.p 2 1 1 2.σ. p p2 ω0 ω 2 0 K D .K 0 1 1 et . 2 .K D .K 0 τ La valeur du coefficient d'amortissement est choisie pour obtenir le temps de réponse minimum 2 (figure 79) : σ 2 Figure 79 : produit temps de réponse à 5% et pulsation propre en fonction du coefficient d'amortissement pour un système du deuxième ordre On obtient donc la relation suivante : 1 1 2 2 .K D .K 0 2 . ce qui donne τ = 62,5 s, et une fréquence de coupure à -3 dB égale à 2,55 kHz. Il faut cependant vérifier que le filtre assure bien son premier rôle, qui est de récupérer la valeur moyenne du signal de sortie du détecteur de phase. Dans la cas d'un OU exclusif, il s'agit d'éliminer la fréquence double du signal d'entrée. Le cas le plus défavorable correspondant à la fréquence la plus faible de la plage de verrouillage. Il faut donc couper 2 kHz, ce qui n'est pas possible avec un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure à 2,55 kHz. On peut, par exemple, choisir comme fréquence de coupure du filtre 200 Hz : 1 200Hz , donc = 795,8 s. Le coefficient d'amortissement est alors égal à 0,198. 2.π.τ La courbe de la figure 79 permet d'en déduire tr.0 = 15, donc tr = 4,73 ms. On peut alors remarquer que, pour une fréquence d'entrée égale à 1kHz, le temps de réponse à 5% correspond à 5 périodes du signal d'entrée et, pour une fréquence de 5 kHz, on obtient 24 périodes. 32 Le choix des éléments du filtre passe-bas a aussi une incidence sur la plage de capture. On peut montrer que plus le filtre est sévère, plus la plage de capture est faible. Autrement dit, si on choisit une fréquence de coupure basse afin d'obtenir une ondulation résiduelle à l'entrée du VCO faible, la capture de la boucle sera plus difficile. 8.4. Boucle à verrouillage de phase intégrée. Le schéma interne du circuit 74HC/HCT4046 est donné dans la figure 80. Figure 80 : schéma interne de la 4046 On note la présence du VCO, mais aussi de trois détecteurs de phase : un OU exclusif (phase I), une bascule RS (phase III) et un détecteur particulier (phase II) étudié dans le paragraphe suivant. 9. Boucle à verrouillage de phase à détecteur séquentiel à trois états. 9.1. Étude du détecteur de phase. Le schéma de ce détecteur est donné dans la figure 81. Figure 81 : schéma du détecteur II La première partie de ce montage (figure 82) permet de construire une machine à trois états. 33 Figure 82 : machine à trois états Soient QH et QB les sorties des deux bascules D. Si deux sorties permettent d'obtenir quatre états, on note que l'état QH=QB=1 n'est pas possible à cause de la présence de la porte ET. On a donc trois états possibles, numérotés de 1 à 3 (figure 83). Figure 83 : les trois états possibles Il s'agit maintenant d'établir le graphe de transition de cette machine. En partant de l'état 1 (QH=0 et QB=1), un front montant sur l'entrée uA(t) permet de faire passer QH à 1. On obtient l'état impossible QH=1 et QB=1, la remise à zéro des deux bascules par l'intermédiaire de la porte ET permettant alors d'obtenir l'état 2, c'est-à-dire QH=0 et QB=0. Si, à partir de cet état 2, on a un front montant sur uB(t), QB passe à 1 et on passe alors à l'état 1. Le graphe de transition complet est donné dans la figure 84. Figure 84 : graphe de transition de cette machine à trois états La deuxième partie de ce détecteur (figure 85) permet de transformer l'état en tension sur la sortie uS(t). On prendra VSS égale à 0V et VDD égale à 5V. Figure 85 : deuxième partie du détecteur à trois états 34 Le transistor TB est un transistor MOS à canal N. Lorsque QB est à 1 logique, ce transistor sera saturé, et naturellement bloqué lorsque QB est à 0. TH est un transistor à canal N. La présence de l'inverseur fait que, lorsque QH est à 1, ce transistor est saturé (et bloqué lorsque QH est égal à 0). On peut donc en déduire la valeur de la tension pour les états 1 et 3 : 0V et 5V (figure 86). Par contre, on remarque que, lorsque le détecteur est dans l'état 2, les deux transistors sont bloqués. La tension de sortie n'est donc pas imposée par le détecteur : c'est l'état Haute Impédance (HZ). Figure 86 : états du détecteur et tension de sortie correspondante En résumé, ce détecteur à trois états est caractérisé par le tableau précédent associé au graphe de transition de la figure 84. L'objectif de ce paragraphe est de déterminer la caractéristique statique de ce détecteur de phase dans le cadre de son utilisation dans une BVP. Pour cela, on applique aux deux entrées des signaux de même fréquence mais déphasés l'un par rapport à l'autre. Afin de pouvoir déterminer la tension uS(t), on place à la sortie une résistance en série avec une tension constante égale à 2,5V, c'est à dire égale à la moitié de la tension d'alimentation (figure 87). Ainsi, lorsque le détecteur est à l'état 2, la tension de sortie uS est égale à 2,5V. Figure 87 : montage pour l'étude de la caractéristique de ce détecteur Considérons d'abord un déphasage positif (uE en avance sur uR) et le détecteur initialement à l'état 2, ce qui sera justifié par la suite. Le premier front montant sur l'entrée A fera passer le détecteur dans l'état 3, donc 5V en sortie. Puis, le front montant sur B le fera retourner à l'état 2, donc 2,5V en sortie (figure 88). On note donc que le détecteur passe en permanence de l'état 2 à l'état 3, et de l'état 3 à l'état 2. De plus, la durée de l'état 3 est directement liée au déphasage. Figure 88 : signal de sortie dans le cas d'un déphasage positif 35 Comme pour les autres détecteurs de phase, l'information intéressante est la valeur moyenne du signal de sortie uS(t). Il est facile de voir que pour un déphasage proche de zéro, la valeur moyenne de uS(t) est proche de 2,5V et que, lorsque l'on augmente le déphasage, la valeur moyenne augmente pour atteindre 5V lorsque le déphasage est égale à 2 (figure 89). Figure 89 : une partie de la caractéristique de ce détecteur de phase Dans le cas où le déphasage est négatif et partant toujours de l'état 2, le détecteur passera à l'état 1 au font montant de uR(t), puis reviendra à l'état 2 au prochain front montant de uE(t). On obtient les chronogrammes de la figure 89. La tension uS(t) est donc soit égale à 2,5V (état 2), soit égale à 0V (état 1). Figure 89 : signal de sortie dans le cas d'un déphasage négatif La valeur moyenne de uS(t) va donc varier de 2,5V à 0V lorsque le déphasage passe de 0 à -2 . La caractéristique complète de ce détecteur de phase est donnée dans la figure 90. Figure 90 : caractéristique complète de ce détecteur de phase Si, à partir d'un déphasage proche de 2 et d'une tension proche de 5V on continue à augmenter le déphasage, on note que le détecteur restera à l'état 2 ou 3, autrement dit ne pourra pas passer à l'état 1. La caractéristique est alors celle donnée dans la figure 91. 36 Figure 91 : caractéristique de ce détecteur dans le cas d'un déphasage variant au-delà de 2 Ce détecteur est aussi appelé détecteur de phase et de fréquence. L'étude précédente concerne un comportement en détecteur de phase. Le comportement en détecteur de fréquence est obtenu lorsque la fréquence des deux signaux d'entrée n'est pas la même. Cela correspond au cas d'une BVP non verrouillée. L'étude de ce détecteur dans ce cas permettra de comprendre l'accrochage de la boucle. Dans le cas où la fréquence du signal uE(t) est supérieure à celle du signal uR(t) (figure92), on remarque que le signal de sortie est plus souvent à 5V qu'à 2,5V. Dans le cas contraire (fE<fR), la tension de sortie est plus souvent à 0V. La présence d'un intégrateur à la sortie du détecteur de phase permettra d'obtenir une tension variable à l'entrée du VCO, donc un accrochage possible. Figure 92 : comportement en détecteur de fréquence L'étude d'une BVP utilisant ce détecteur nécessite la connaissance du courant de sortie (figure 93), et non de la tension. Figure 93 : courant de sortie du détecteur L'étude de ce courant de sortie est faite de façon similaire à celle de la tension de sortie (figure 94). 37 Figure 94 : courant de sortie pour un déphasage positif Lorsque le détecteur est à l'état 2, le courant de sortie est nul. Lorsqu'il est à l'état 3, le courant est 5 2,5 égal à . L'expression de la valeur moyenne du courant lorsque le déphasage est positif est donc R1 V 2,5 E R i(t) DD . : R1 2π VDD étant la tension d'alimentation du détecteur, égale à 5V dans l'étude précédente. Figure 95 : courant de sortie pour un déphasage négatif Pour un déphasage négatif (figure 95), la valeur moyenne du courant de sortie est négatif. L'expression de cette valeur moyenne est donc la même. De plus, on remarque que pour avoir un courant i(t) nul, il faut avoir un déphasage nul, et naturellement deux signaux d'entrée à la même fréquence. 9.2. Étude de la BVP utilisant ce détecteur. Le schéma d'une telle boucle à verrouillage de phase est donné dans la figure 96. 38 Figure 96 : Boucle à verrouillage de phase utilisant un détecteur séquentiel à trois états On va d'abord supposer que les tensions d'alimentation des amplificateurs opérationnels n'ont aucune influence. On remarque que la tension égale à 2,5V sur la borne plus de l'amplificateur opérationnel se retrouve sur la borne moins. Autrement dit, on retrouve sur la sortie du détecteur de phase le circuit de la figure 93. La forme du courant i(t) est donc celle des figures 94 et 95. La mise en équation du montage à amplificateur opérationnel peut facilement se faire pour les variations: 1 VDD 2,5 e (p) r (p) ). . Cp R1 2π 1 RCp VDD 2,5 e (p) r (p) Uf (p) . . Cp R1 2π Uf (p) (R Uf(p) représente donc la transformée de Laplace des variations de la tension uF(t). Cette équation permet de noter la présence d'un intégrateur. Cela veut dire que pour avoir une tension uF(t) constante, il faut que l'entrée de cet intégrateur soit nulle. Dans l'équation ci-dessus, l'entrée est le déphasage entre les deux signaux d'entrée et une partie de cette équation représente la valeur moyenne du courant i(t). On en déduit donc que, pour avoir une tension constante à l'entrée du VCO, il faut avoir un déphasage nul, donc un courant i(t) nul. On remarque aussi le signe moins en tête de l'expression. On en déduit que si la valeur moyenne du courant est positive (ou négative), la tension uF(t) va évoluer avec une pente négative (ou positive). Étude du régime statique : la pulsation E à l'entrée est constante. Pour avoir une pulsation R constante, il faut que la tension uF à l'entrée du VCO soit constante. D'après l'étude précédente, on en déduit que la valeur moyenne du courant doit être nulle, ce qui est obtenue lorsque le détecteur de phase est dans l'état 2, c'est-à-dire dans l'état haute impédance. Le déphasage entre les deux signaux d'entrée est donc nul. C'est une première différence avec les boucles utilisant un autre détecteur. Si la pulsation d'entrée augmente, elle devient temporairement supérieure à la pulsation de sortie. Le fonctionnement en détecteur de fréquence fait que le détecteur sera plus souvent dans l'état 3. La valeur moyenne du courant sera donc positive. L'intégrateur "inverseur" produira donc une diminution de la tension à l'entrée du VCO. La boucle restera donc verrouillée si le coefficient K O du VCO est négatif (figure 97). Figure 97 : exemple de caractéristique du VCO permettant le verrouillage de la boucle 39 Une autre possibilité, dans le cas où K0 est forcément positif, est d'inverser les deux entrées A et B du détecteur séquentiel. Un point de fonctionnement quelconque est donc caractérisé par un déphasage nul entre les deux signaux d'entrée, le détecteur étant dans l'état haute impédance. Le condensateur dans le montage à amplificateur opérationnel mémorise alors la tension uF à l'entrée du VCO permettant d'obtenir R=E. Lorsque la pulsation d'entrée varie, le comportement en détecteur de fréquence permet de modifier la charge du condensateur afin de rester verrouillée. Plage de verrouillage. Le verrouillage de cette boucle n'étant pas obtenu par l'intermédiaire du déphasage entre les deux signaux à l'entrée du détecteur de phase, le calcul de la plage de verrouillage n'est pas similaire à celui des autres boucles. Le verrouillage est possible tant que l'intégrateur peut fournir une tension à l'entrée du VCO permettant à celui-ci de fournir une fréquence égale à celle d'entrée. Si la caractéristique du VCO est celle de la figure 97, la plage de verrouillage correspond à la partie utile de cette caractéristique, c'est-à-dire la zone où la fréquence varie avec la tension d'entrée. En début du paragraphe 9.2, les tensions d'alimentation de l'amplificateur opérationnel ont supposé n'avoir aucune influence. Elles peuvent cependant imposées la plage de verrouillage. Pour un amplificateur opérationnel "rail-to-rail", la dynamique de la tension de sortie correspond aux tensions d'alimentation. Le verrouillage étant lié à l'évolution de la tension de sortie de l'intégrateur et dans le cas d'une zone utile plus "grande" au niveau du VCO, la plage de verrouillage peut être imposée par la dynamique de la tension de sortie de l'amplificateur opérationnel. Étude du régime dynamique. La relation établie précédemment permet de construire facilement le schéma fonctionnel (figure 98) valable pour des variations autour d'un point de fonctionnement : 1 RCp RCp 1 RCp Uf (p) R1Cp Uf (p) V 2,5 e (p) r (p) . DD . R1 2π V 2,5 . DD . e (p) r (p) 2π Figure 98 : schéma bloc de la BVP à détecteur séquentiel V 2,5 2,5 V.rd1 dans le cas d'une alimentation égale à 5V. avec K D DD 2π 2π Étude de la stabilité : le coefficient KD étant positif, le signe moins dans le deuxième bloc impose d'avoir K0 négatif, ce qui a déjà été montré. Une autre solution est de mettre en place un signe moins dans la chaîne directe, par exemple en inversant les entrées A et B, ou tout simplement avec un montage inverseur après l'intégrateur. Cet asservissement présente une erreur statique nulle, comme pour les autres BVP. La présence d'une deuxième intégration dans la chaîne directe impose une erreur de traînage nulle. Suite à une rampe de phase, donc un échelon de fréquence, la phase de sortie r (t) rejoint la phase d'entrée e (t) en régime permanent. Le déphasage entre les signaux de sortie et d'entrée reste nul, quel que soit le point de fonctionnement, ce qui a déjà été montré. 40 Filtre : le diagramme de Bode du gain du filtre 1 RCp est donné dans la figure 99. R1Cp Figure 99 : diagramme de Bode du filtre On retrouve la fonction intégrateur dans ce diagramme. La pulsation de cassure et le niveau de l'asymptote doivent être calculés pour que l'ondulation résiduelle à l'entrée du VCO soit la plus petite possible. En effet, la présence de bruit et les composants non parfaits (offset de l'amplificateur opérationnel, fuite du condensateur, …) font que la boucle doit rattraper les fluctuations de la tension d'entrée du VCO en passant transitoirement à l'état 1 ou 3. Un exemple de forme de la tension de sortie du détecteur est donné dans la figure 100. Figure 100 : forme de la tension de sortie du détecteur de phase Le filtre doit réduire l'amplitude de ces impulsions, ce qui est obtenu en prenant une pulsation de cassure plus faible que la pulsation E. Plage de capture : elle est égale à la plage de verrouillage. En effet, si la fréquence d'entrée est par exemple supérieure à la fréquence du signal de sortie, le détecteur de fréquence sera "souvent" à l'état 3. La tension de sortie de l'intégrateur, avec le signe moins, va donc diminuer. Le coefficient KO du VCO étant négatif, la fréquence de uR(t) va donc augmenter jusqu'à l'accrochage de la boucle. On retrouve alors les limites de la plage de verrouillage. 9.3. Exemple de choix de composants. Considérons le cas où la plage de verrouillage est imposée par la caractéristique du VCO, par exemple celle de la figure 101. Figure 101 : caractéristique du VCO pour ce paragraphe Le schéma bloc pour le régime dynamique est celui de la figure 98. La fonction de transfert en boucle fermée est : r (p) e (p) 1 R.C.p R .C.p 2 1 R.C.p 1 KD . K 0 0 et 41 KD.K 0 R1.C R K D . K 0 .C 2 R1 Et la fonction de transfert en boucle ouverte : 1 R.C.p K 0 L(p) K D . . R1.C.p p Le premier point considéré est la marge de phase. L'objectif est d'obtenir une marge de phase égale à 45°. Les diagrammes de Bode (gain et phase) de la fonction de transfert en boucle ouverte sont donnés dans la figure 101. Figure 101 : diagrammes de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte La marge de phase est déterminée à partir de la pulsation pour laquelle le gain est égal à 0dB. Pour obtenir une marge de phase de 45°, il suffit de placer la pulsation de cassure à 0dB, ou plus précisément 1 d'avoir 0dB pour la pulsation égale à : RC K0 2 KD. . 1 1 1 R1C. RC RC Ou encore : K D . K 0 . 2. R .RC 1 R1 R 0,1 (figure 98). A l'aide de R1 la relation précédente, on en déduit la valeur de RC : 3,53 ms. On vérifie ainsi que la pulsation de cassure est bien placée, c'est-à-dire que l'asymptote sera obtenue pour la pulsation d'entrée la plus faible parmi la plage de verrouillage : 1 = 45 Hz, ce qui est largement inférieure à 1 kHz. 2πRC Afin de limiter l'ondulation résiduelle à l'entrée du VCO, prenons La valeur du coefficient d'amortissement est égale à 0,42, valeur tout à fait raisonnable. 9.4. Filtre couramment utilisé. Le schéma de la BVP à détecteur de phase séquentiel couramment utilisé est donné dans la figure 102. Figure 102 : schéma classique de la BVP à détecteur séquentiel 42 La mise en équation du filtre pour le régime dynamique nécessite une hypothèse : la tension uC aux bornes du condensateur est égale à 2,5 V. Par l'intermédiaire d'une étude similaire faite dans la paragraphe 9.1, on obtient : 5 2,5 E (t) R (t) . R1 R 2 2π en considérant une tension d'alimentation du détecteur égale à 5 V. i(t) On en déduit la transformée de Laplace des variations de la tension uF(t) : Uf (p) 1 R 2Cp 2,5 . . e (p) r (p) (R1 R 2 )Cp 2π Le schéma fonctionnel en régime dynamique est celui de la figure 103. Figure 103 : schéma bloc en régime dynamique On remarque que l'on obtient un schéma similaire à celui trouvé précédemment. Par contre, le signe plus dans le filtre permet d'avoir K0 positif pour assurer la stabilité. Il est cependant important de noter que la valeur du coefficient KD dépend du point de 2,5 5 2,5 fonctionnement. En effet, l'expression = a été obtenue en supposant que la tension aux 2π 2 bornes du condensateur était égale à 2,5V, ce qui correspond à un point de fonctionnement particulier. En conclusion, ce schéma pour l'étude du régime dynamique dépend du point de fonctionnement considéré. 10 Exemples d'application d'une boucle à verrouillage de phase. 10.1. Synthèse de fréquence. Le schéma de principe de la synthèse de fréquence à boucle à verrouillage de phase est donné dans la figure 104. Figure 104 : schéma de principe d'un synthétiseur de fréquence La fréquence des deux signaux à l'entrée du détecteur de phase étant identique lorsque la boucle est verrouillée, on obtient : f fS 0 .N M 43 f f0 est la fréquence de l'oscillateur local, 0 est le pas de variation, N impose alors la valeur de la M fréquence de sortie. Le TD n° 8 a permis d'établir deux résultats : Le bruit de fréquence en sortie est celui de l'entrée multiplié par N2, Le temps de réponse de la boucle dépend de N. Exemple : synthétiseur pour un récepteur CB autour de 27 MHz. Les fréquences à générer sont données par la relation suivante : fn = 26,955MHz + (n-1).0,01MHz n varie de 1 à 45 et indique le numéro du canal sélectionné, les canaux 3, 8, 13, 18 et 23 n'étant pas autorisés. Il y a donc 40 canaux possibles. La fréquence varie de 26,965 MHz à 27,405 MHz, par pas de 10 kHz. Un exemple de schéma est donné dans la figure 105. Figure 105 : exemple de synthétiseur pour récepteur CB Ce montage est un modulateur de fréquence, la fréquence de la porteuse est fournie par le synthétiseur à boucle à verrouillage de phase. Le circuit MC145-151 est couramment utilisé dans le domaine de la synthèse de fréquence. Son schéma interne est donné dans la figure 106. 44 Figure 106 : schéma interne du circuit MC145-151 L'oscillateur d'entrée est réalisé grâce à une porte inverseur avec un quartz en contre-réaction. La fréquence f0 est donc égale à 10,240 MHz. RA2 (broche 7), RA1 (broche 6) et RA0 (broche 5) définissent la valeur de M, appelé R dans ce circuit (figure 107). Figure 107 : valeur du diviseur par M On obtient ainsi un pas de synthèse égal à 5 kHz. Le canal 1 (26,965 MHz) est obtenu avec N égal à 5393, et le canal 40 (27,405 MHz) avec N égal à 5481. Les autres fonctions dans ce montage sont indiquées dans la figure 108. Figure 108 : les différentes fonctions dans ce montage 45 Le détecteur de phase A est le détecteur séquentiel étudié dans le paragraphe 9. Le filtre intégrateur utilise un amplificateur opérationnel. On note sur l'entrée plus une tension égale à la tension d'alimentation 9V divisée par deux. L'additionneur permet de fixer le point de repos. Le VCO utilise une diode varicap, composant dont la valeur de la capacité dépend de la tension de polarisation. L'entrée de modulation est le signal modulant. Dans le cas où la fréquence de sortie du VCO est trop grande pour le diviseur programmable, on peut utiliser un pré-diviseur dans la boucle de retour (figure 109). Figure 109 : synthétiseur à pré-diviseur f f La fréquence de sortie est : fs 0 .P.N et le pas de la synthèse égal à 0 .P . Un pas faible sera M M obtenu en augmentant M, ce qui entraînera une fréquence de coupure du filtre de coupure faible, et donc un régime transitoire peut-être trop long pour une application donnée. Par exemple, pour le téléphone GSM autour de 890 MHz, il y a 125 canaux espacés de 200 kHz. La fréquence s'écrit donc : fn = 890 MHz + (n-1).0,2 MHz. On peut avoir f0 = 10 MHz, M = 3200 et P = 64. Pour le canal 1 (890 MHz), il faut N = 4450. La fréquence à l'entrée de la boucle est égale à 3,125 kHz. La fréquence de coupure du filtre de boucle, en prenant un facteur 10, sera de l'ordre de 300 Hz, ce qui entraînera un temps de réponse incompatible avec le cahier des charges d'un téléphone GSM pour le changement de canal. La solution est d'utiliser un synthétiseur à diviseur fractionnaire (figure 110). Figure 110 : synthétiseur à diviseur fractionnaire Sur une période de ur, la valeur de pré-division est de P+1 sur A périodes de uc, et de P sur (B-A) périodes de uc (figure 111). Figure 111 : principe du diviseur dans la boucle de retour 46 On en déduit que le taux de division dans la boucle de retour est égal à A(P+1)+(B-A)P, ce qui donne f A+BP. La fréquence de sortie est donc fs 0 .A BP . Pour le téléphone GSM à 890 MHz, on prend M : P/P+1 = 64/65, f0 = 12,8 MHz et M = 64. Pour le canal 1, il faut A = 34 et B = 69. La fréquence à l'entrée de la BVP est donc égale à 200 kHz, soit une période de 5 s. Le temps de réponse, égal à quelques périodes du signal d'entrée, est alors compatible avec le changement de canal en cours de communication. 10.2. Détecteur de tonalité. L'objectif est de détecter la présence d'une fréquence particulière dans un signal. La sortie d'un tel détecteur est donc de type logique. Le circuit classique pour cette fonction est le 567 existant chez plusieurs constructeurs, par exemple NE567 chez NXP (figure 112) . Figure 112 : une partie de la première page de la documentation technique du NE567 Le schéma de principe interne et un montage typique sont donnés dans la figure 113. Figure 113 : schéma interne et exemple de montage du détecteur de tonalité 47 Un graphe donné dans la documentation technique permet d'en comprendre le fonctionnement (figure 114). La plage de verrouillage est centrée sur la fréquence à détecter, notée f 0, et définie par R1 et C1 dans le montage. De plus, la plage de verrouillage est limitée en fonction de la tolérance sur la valeur de la fréquence à détecter. Le signal logique est obtenu par un bloc appelé "détecteur de phase en quadrature" : il s'agit de détecter l'état verrouillé de la boucle. Le point de repos étant caractérisé par un déphasage égal à /2, ce détecteur a pour objectif de fournir un signal dont la valeur moyenne est supérieure à V REF lorsque le déphasage est compris dans un intervalle autour de /2. Le comparateur permet ensuite de fournir un signal logique. Figure 114 : relation entre la fréquence d'entrée et le signal de sortie logique La figure 115 donne un exemple d'applications : un détecteur à deux tons. Figure 115 : dual-tone decoder Le circuit 74HC/HCT7046 intègre un détecteur de verrouillage pour le détecteur séquentiel à trois états. D'autres applications de la boucle à verrouillage de phase seront développées en cours, comme des systèmes de reconstruction d'horloge. 48
