Cours d`électricité - Associations de dipôles Transitoires et résonances
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Cours d’électricité Associations de dipôles Transitoires et résonances Mathieu Bardoux [email protected] IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1re année: 2011-2012 Circuit RL Régimes transitoires Circuit RL Un circuit RL se compose d’une résistance et d’une bobine montées en série. Résonance Circuit LC R LC série LC parallèle L Sélectivité du filtre Circuit RLC RLC série RLC parallèle U Le circuit est caractérisé par son impédance Z = R + ωL, et la tension est régie par une équation différentielle du premier ordre : di + Ri(t) dt La tension u(t) est imposée par un générateur de tension. Elle vaut 0 pour t < 0, et U, constante, pour t > 0. Nous cherchons à étudier comment i(t) varie au cours du temps. u(t) = L Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d’électricité 1re année: 2011-2012 2 / 14 Circuit RL Régimes transitoires Circuit RL Si l’intensité est nulle au temps t = 0 (moment de la fermeture du circuit), la solution de l’équation du circuit LC est la suivante : Résonance Circuit LC LC série i(t) = LC parallèle Sélectivité du filtre Circuit RLC RLC série où τ = L R U (1 − e−t/τ ) R est la constante de temps du circuit. RLC parallèle i(t) U R t La bobine a pour effet de retarder l’établissement du régime continu. Il apparaît un régime transitoire, au cours duquel i(t) va tendre progressivement vers sa valeur du régime continu. La durée du régime transitoire est proportionnelle à τ . Elle croît pour les fortes valeurs de L, et décroît pour les fortes valeurs de R. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d’électricité 1re année: 2011-2012 3 / 14 Le circuit LC Régimes transitoires Circuit RL Résonance Circuit LC LC série LC parallèle Sélectivité du filtre Circuit RLC Le circuit LC est constitué d’une bobine d’impédance L et d’un condensateur de capacité C . En l’absence de résistance, le circuit LC n’est constitué que de composants d’impédance imaginaire pure. RLC série RLC parallèle Cette caractéristique rend possible le phénomène de résonance, lorsque l’inductance et la capacité s’annulent mutuellement pour une pulsation ω0 donnée : l’impédance du circuit est alors nulle ou infinie. Le circuit LC constitue alors un filtre passe-bande ou coupe-bande autour de la fréquence f = ω0 /2π. Pour cette raison, il est notamment utilisé dans les filtres radio. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d’électricité 1re année: 2011-2012 4 / 14 Circuit LC série Régimes transitoires Circuit RL Résonance Circuit LC LC série Considérons un condensateur et une bobine placés en série : C L LC parallèle Sélectivité du filtre Circuit RLC RLC série RLC parallèle U L’impédance du circuit vaut : Z = Z L + Z C = ωL + On peut réécrire Z = ω 2 LC − 1 ωC Z s’annule pour une certaine valeur de ω, notée ω0 = 1 . ωC r 1 . On LC obtient alors un court-circuit Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d’électricité 1re année: 2011-2012 5 / 14 Circuit LC série Régimes transitoires Circuit RL Résonance Évolution du module du courant traversant l’association LC série, en fonction de ω : Circuit LC LC série LC parallèle I Sélectivité du filtre Circuit RLC RLC série RLC parallèle I= U Lω ⇒I=U Z |1 − ω 2 LC | ω ω0 À la fréquence de résonance, le courant transmis tend vers ∞. Le circuit constitue un filtre passe-bande autour de la fréquence ω0 . Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d’électricité 1re année: 2011-2012 6 / 14 Circuit LC parallèle Régimes transitoires Considérons un condensateur et une bobine placés en parallèle : Circuit RL Résonance Circuit LC LC série LC parallèle Sélectivité du filtre Circuit RLC U C L RLC série RLC parallèle Z LZ C Lω L’impédance du circuit vaut : Z = = . On ZL + ZC 1 − ω 2 LC r 1 remarque que si ω → , alors Z → +∞. LC r 1 , l’impédance du circuit est alors LC infinie, on obtient un coupe-circuit. Pour une fréquence ω0 = Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d’électricité 1re année: 2011-2012 7 / 14 Circuit LC parallèle Régimes transitoires Circuit RL Résonance Évolution du module du courant traversant l’association LC parallèle, en fonction de ω : Circuit LC LC série LC parallèle I Sélectivité du filtre Circuit RLC RLC série RLC parallèle I= U |1 − ω 2 LC | ⇒I=U Z Lω ω ω0 À la fréquence de résonance, le courant transmis à travers le montage vaut 0. Le circuit constitue un filtre coupe-bande autour de ω0 . Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d’électricité 1re année: 2011-2012 8 / 14 Sélectivité du filtre Régimes transitoires Circuit RL Résonance Circuit LC En fonction des valeurs de L et de C , la résonance se déplace et le filtre obtenu est plus ou moins large. Exemple avec un filtre passe bande : LC série LC parallèle Sélectivité du filtre I Circuit RLC RLC série C = 0,5 F C = 1F C = 2F RLC parallèle ω On modifie la fréquence de résonance en faisant varier L ou de C . On peut ainsi, par exemple, sélectionner une station de radio. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d’électricité 1re année: 2011-2012 9 / 14 Circuit RLC Régimes transitoires Circuit RL Résonance Circuit LC LC série LC parallèle Sélectivité du filtre Circuit RLC RLC série En pratique, il n’existe pas de bobines pures, dont l’impédance soit uniquement imaginaire. Les bobines réelles pourront être représentées comme l’association d’une impédance pure Ls et d’une résistance pure Rs montées en série. RLC parallèle Une bobine réelle est caractérisée par le rapport de son inductance Ls par sa résistance, noté Q et nommé « facteur de qualité » : Q = Rs Par conséquent, il n’existe pas de circuit LC idéal : ce sont en réalité des circuits RLC, composés d’une résistance, d’une bobine et d’un condensateur. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d’électricité 1re année: 2011-2012 10 / 14 RLC série Régimes transitoires Circuit RL Résonance Circuit LC LC série LC parallèle Considérons une résistance, un condensateur et une bobine placés en série : C L Sélectivité du filtre Circuit RLC RLC série RLC parallèle U R L’impédance du circuit vaut : Z = Z R + Z L + Z C = R + ωL + On peut réécrire Z = R + ω 2 LC − 1 ωC r Z est minimale pour une certaine valeur de ω, notée ω0 = 1 . ωC 1 . On LC obtient alors une résonance incomplète, avec Z = R Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d’électricité 1re année: 2011-2012 11 / 14 Circuit RLC série Régimes transitoires Circuit RL Évolution du module du courant traversant l’association RLC série, en fonction de ω : Résonance Circuit LC I LC série LC parallèle Sélectivité du filtre Circuit RLC RLC série I0 I= RLC parallèle U ⇒I= r Z U R2 + (ω 2 LC − 1)2 ω2 C 2 ω ω0 À la fréquence de résonance, le courant transmis atteint une valeur maximale I0 . Le filtre passe-bande reste centré autour de la fréquence ω0 . Plus R est faible, plus l’association s’approche du filtre idéal. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d’électricité 1re année: 2011-2012 12 / 14 RLC parallèle Régimes transitoires Circuit RL Considérons une résistance, un condensateur et une bobine placés en parallèle : Résonance Circuit LC LC série LC parallèle Sélectivité du filtre Circuit RLC U C L R RLC série RLC parallèle L’admittance du circuit vaut : 1 1 Y = YR +YL +YC = + + ωC . On remarque que si R ωL r 1 1 ω→ , alors Y → . LC R r 1 Pour une fréquence ω0 = , l’admittance du circuit atteint sa LC 1 valeur minimale : . R Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d’électricité 1re année: 2011-2012 13 / 14 Circuit LC parallèle Régimes transitoires Circuit RL Évolution du module du courant traversant l’association RLC parallèle, en fonction de ω : Résonance Circuit LC I LC série LC parallèle Sélectivité du filtre Circuit RLC RLC série RLC parallèle I0 I= U U ⇒I= Z R p (R − RLC ω 2 )2 + ω 2 L2 ωL ω ω0 U À la fréquence de résonance, I0 vaut . Le filtre est un coupe-bande R imparfait. Plus R est faible, plus on s’approche d’un filtre idéal. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d’électricité 1re année: 2011-2012 14 / 14
