Une hypersurface admettant une normale unitaire lisse est orientée.

Une hypersurface admettant une normale unitaire lisse
est orientée.
On note
V ⊂ Rn
une hypersurface lisse et
N : V → Sn−1
la normale
unitaire lisse dont on suppose l'existence.
H d'un espace vectoriel orienté E et
H , il existe une unique orientation O de
H pour laquelle une base (b1 , . . . , bn−1 ) de H est orientée si et seulement si
(b1 , . . . , bn−1 , v) est une base orientée de E . On dit alors que l'orientation de
H est induite par v et l'orientation de E .
En tout point x de V , la normale N (x) et l'orientation canonique de
Rn (celle pour laquelle la base canonnique est orientée) induisent donc une
orientation Ox sur l'espace tangent Tx V . On veut montrer que la famille
d'orientations (Ox )x∈V est continue c'est à dire qu'il existe au voisinage de
chaque point de V une carte, qui en tout point y de son domaine, envoie Oy
n−1
sur l'orientation canonique de R
.
n−1
Soient donc x un point de V et φ : U → R
une carte quelconque de
V dénie au voisinage de x. Si jamais Dx φ n'envoie pas l'orientation Ox sur
l'orientation canonique, on remplace φ par L ◦ φ où L est un endomorphisme
n−1
de R
qui inverse l'orientation. Dans tous les cas il existe une carte, encore
notée φ, telle que Dx φ préserve l'orientation. Montrons qu'alors Dy φ préserve
l'orientation pour tout y dans un voisinage de x.
Rappel : Etant donnés un hyperplan
un vecteur
v
n'appartenant pas à
Nous allons pour cela utiliser le fait suivant, qui résulte de la continuité
du déterminant : Si
B
est une base d'un espace vectoriel de dimension nie
orienté, toute base susament proche de
B
a la même orientation que
B . En
B dans elle-même vaut 1, donc le déterminant d'une
base proche de B dans B est proche de 1 et donc est positif.
Soit (b1 (x), . . . , bn−1 (x)) une base orientée de Tx V . Par hypothèse, la fan−1
mille (Dx φ(b1 (x)), . . . , Dx φ(bn−1 (x))) est une base orientée de R
. Pour
−1
tout y dans un voisinage de x, posons pour cela bi (y) := Dy φ Dx φ(bi (x)),
pour tout 1 6 i 6 n − 1. La famille (b1 (y), . . . , bn−1 (y)) est une base de Ty V .
Par dénition de O(x), le fait que (b1 (x), . . . , bn−1 (x)) est orientée signie que
(b1 (x), . . . , bn−1 (x), N (x)) est orientée dans Rn . Mais pour y proche de x, la
base (b1 (y), . . . , bn−1 (y), N (y)) est proche de la base (b1 (x), . . . , bn−1 (x), N (x)),
n
donc est orientée dans R . Cela signie donc que (b1 (y), . . . , bn−1 (y)) est orientée pour Oy .
On peut à présent conclure : pour tout y dans un voisinage de x, Dy φ
envoie la base (b1 (y), . . . , bn−1 (y)) sur (Dx φ(b1 (x)), . . . , Dx φ(bn−1 (x))) qui est
n−1
orientée dans R
. Par conséquent, pour tout y dans un voisinage de x, Dy φ
n−1
envoie Oy sur l'orientation canonique de R
.
eet, le déterminant de
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