L`intouchable thérémine, une mine de science
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L’intouchable thérémine, une mine de sciences… 1 Sommaire Introduction………………………………………………………………………………………………………………………………….. p. 3 1. Présentation générale de l’instrument………………………..………………………………………………………….. p. 4 2. Utilité et fonctionnement du condensateur………………………………………………………………………….. p. 5 a) Fonctionnement général……………………………………………………………………………………….…... p. 5 b) Condensateur formé par l’antenne et la main………………………………………………………….… p. 6 3. L’oscillateur…………………………………………………………………………………………………………………………….. p. 8 a) Analogie du vase de Tantale…………………………………………………………………………….………….p. 8 b) Comparateur à hystérésis …………………………………………………………………………………….….. p. 9 c) Intégrateur……………………………………………………………………………………………………………….. p. 11 d) Multivibrateur astable……………………………………………………………………………………………… p. 12 4. La multiplication de deux signaux…………………………………………………………………………………………. p. 14 5. Réglage du thérémine…………………………………………………………………………………………………………… p. 15 a) Principe du réglage…………………………………………………………………………………..………………. p. 15 b) Cage de Faraday……………………………………………………………………………………………………….. p. 15 c) Principe de fonctionnement du filtre passe-bas……………………………………………………..… p. 17 d) Comment la distance main-plaque fait-elle varier la fréquence ?................................ p. 18 Conclusion…………………………………………………………………………………………………………………………………… p. 19 Bibliographie et remerciements………………………………………………………………………………………………….. p. 20 Annexes : Amplificateurs Opérationnels et calcul de la fréquence d’oscillation…………………………….p. 21 2 Introduction L’année dernière, dans le cadre des Travaux Personnels Encadrés, nous avions étudié la relation entre la musique de film et les émotions que le spectateur ressentait. Nous avons listés de nombreux paramètres qui pouvaient faire varier ces émotions, comme la rythmique, la mélodie ou le timbre des instruments utilisés qui constituent un style musical. Ainsi, en variant ces paramètres, nous avons montré qu’il était possible de faire ressentir au spectateur des sentiments allant de la tristesse à la joie, en passant par l’angoisse. Pendant notre période de recherche, nous avons étudié de nombreuses ambiances cinématographiques et nous avons découvert un timbre particulier qui nous a tout de suite fait penser à des scènes de science-fiction ou extraterrestres. En cherchant plus de renseignements, nous avons trouvé que cet instrument qui produisait aussi bien des mélodies au timbre similaire à la voix humaine que des effets sonores amusants s’appelait le thérémine. Il s’agit d’un des premiers instruments électroniques, inventé en 1919 par l’ingénieur russe Léon Thérémine. Cet instrument de musique se joue sans contact avec l’instrument qui n’offre aucun repère au musicien : il joue donc entièrement à l’oreille. Nous nous sommes alors intéressés à la manière dont fonctionne cet instrument, et plus précisément comment fonctionne la partie tonalité de l’instrument. Comment la position de la main du musicien peut-elle faire varier la hauteur du son ? Avec l’informatique actuelle, cela est plutôt facile à mettre en œuvre, mais Léon Thérémine a construit son instrument avec des circuits électriques. 3 1. Présentation générale de l’instrument Le thérémine est un des premiers instruments électronique du XXe siècle. Le premier thérémine date des années 1920 et fonctionnait à l’aide d’oscillateurs à tube à vide. Aujourd’hui, le thérémine fonctionne grâce à des composants électroniques tels que les oscillateurs. A l’origine dénommé « Ætherophone », le thérémine possédait originellement deux octaves et demi et fonctionnait à l’aide d’oscillateurs à tube électronique. En 1929, le « RCA theremin » fut le premier thérémine commercialisé. Cet instrument a ensuite traversé les époques en ne se limitant pas simplement aux bruitages de film, mais également aux mélodies de bandes-originales de science-fiction des années 1960 et 1970 ou encore, en faisant apparition dans la musique populaire. On retient aujourd’hui son utilisation dans la bande-originale de « Le Jour où la Terre s’arrêta » de Robert Wise ou encore dans certains titres du groupe Led Zeppelin. Aujourd’hui cet instrument peu connu du grand public n’en est pas moins délaissé, pratiqué seulement par quelques théréministes marginaux, il reste cependant très utilisé pour les bruitages, les nappes harmoniques ou encore les mélodies de certaines bandes-originales ou musiques plus populaires. Un thérémine actuel se compose de nombreux composants électroniques, comme des condensateurs, des résistances et surtout des circuits intégrés : amplificateurs opérationnels, oscillateurs, le multiplieur... Nous allons étudier ces différents composants du thérémine. Le thérémine que nous étudions comporte deux oscillateurs, comprenons le fonctionnement de ces circuits électriques. 4 2. Utilité et fonctionnement du condensateur a) Fonctionnement général Dans un oscillateur, on trouve un condensateur. Un condensateur est un composant électronique constitué de deux lames métalliques appelées armatures placées à faible distance mais sans contact. Lorsqu’on relie un condensateur à une pile, il se charge et une tension égale à celle de la batterie s’établit entre les armatures et est maintenue, même si on déconnecte la pile. U Armature A Armature B Charge qA Charge qB Diélectrique La capacité électrique est la propriété que le condensateur possède à emmagasiner une charge (quantité d’électricité) et à la conserver. Elle s’exprime en Farad : Où C est la capacité en farads, Q est la charge en coulombs et U est la tension en volts. Plus la surface des armatures est grande, plus la capacité est grande. Le matériau isolant qui sépare les deux armatures est appelé diélectrique. Il peut s’agir d’air, de mica, de papier imprégné d’huile ou de paraffine, de plastique… Chacun de ces matériaux a un facteur d’augmentation de la capacité, donc une constante diélectrique relative différente. Par exemple, l’air a comme constante diélectrique 1, le papier imprégné de paraffine entre 3 et 4, la céramique 5,5 et le mica 7. 8,85 10 2 Où C est la capacité en farads (F), S est la surface des plaques en mètres carrés (m ), d est la distance entre les deux plaques en mètres (m) et εr est la constante diélectrique relative correspondant au matériau séparant les deux plaques. On constate bien avec cette formule que plus la surface des armatures est grande est la distance entre-elles est petite, plus la capacité du condensateur est grande. Les condensateurs entrent dans le fonctionnement des oscillateurs. La fréquence à laquelle oscille le circuit dépend, entre autres, de la capacité du condensateur. 5 b) Condensateur formé par l’antenne et la main Si l’antenne du thérémine (armature du condensateur) est chargée négativement, et qu’on approche un objet conducteur métallique, les électrons de l’antenne vont repousser ceux de cet objet qui va se charger positivement, mais ceci aura pour conséquence d’attirer de nouveaux électrons sur l’antenne. De la sorte, plus le conducteur et l’antenne sont proches, plus le phénomène sera important. En approchant un conducteur de l’antenne, on augmente sa charge électrique, et également sa capacité électrique. Cette influence à distance grâce aux charges peut être vérifiée avec un électroscope. Expérience de l’influence de charges sur un électroscope : Si l’on charge l’armature d’un électroscope par contact avec une baguette chargée par frottement, l’aiguille de l’électroscope se déplace, indiquant un champ électrique. Electroscope au repos Electroscope soumis aux charges du tube de PVC chargé par frottement 6 On approche ensuite la main, qui est conductrice, de l’électroscope chargé. En effet, c’est avec ses mains qu’un musicien joue du thérémine. On observe que l’aiguille se déplace. Ainsi la main a une influence sur le champ électrique de l’électroscope. Ainsi, lorsqu’un musicien joue du thérémine il forme avec sa main la deuxième armature d’un condensateur de capacité variable, dont la première est formée par l’antenne. Le diélectrique est l’air situé entre les deux (de constante diélectrique 1). La distance entre les deux armatures ainsi que la surface en regard des armatures peut varier, mais on négligera cette dernière. La capacité augmente quand la main s’approche de l’antenne. La capacité d’un condensateur étant variable, il est possible de faire varier la fréquence d’oscillation de l’oscillateur. 7 3. L’oscillateur Le thérémine est constitué d’oscillateurs. Leur fonctionnement est le suivant. L’oscillateur est alimenté par une tension continue qu’il va transformer en tension alternative, il fait ainsi osciller la tension. Un oscillateur harmonique est un oscillateur idéal, dont l’évolution au cours du temps est décrite par une fonction sinusoïdale. La fréquence de cette fonction ne dépend que des caractéristiques du système et l’amplitude du signal est constante. a) Analogie du vase de Tantale Une analogie avec le vase de Tantale permet une meilleure compréhension du fonctionnement de l’oscillateur. En effet, le vase de Tantale permet à partir d’un robinet fournissant un courant continu d’eau, d’obtenir une alternance d’un flux d’eau. Ce système mécanique tire son nom du mythe grec de Tantale. Tantale, qui s’est attiré la colère des dieux en leur offrant son fils en sacrifice, se retrouve plongé dans l’eau jusqu’au cou mais, il ne peut en boire, car dès qu’il essaye, le niveau du fleuve diminue. Un robinet fournit le vase en eau. Quand le niveau d’eau dépasse la hauteur du tuyau du siphon, on peut dire que le vase a atteint sa capacité maximum d’eau (h1) puisque le siphon va vider le contenu de la bouteille dans l’évier. Ensuite l’eau s’écoule jusqu’à ce que son niveau dans la bouteille ait atteint son état bas c’est-à-dire son niveau minimum (h0). Le siphon n’aspire plus d’eau, et le niveau d’eau dans la bouteille augmente à nouveau jusqu’à son niveau maximal, et ainsi de suite. Le système s’amorce lorsque le niveau est maximal et se désamorce lorsque le niveau est minimal. Le phénomène se répète de manière périodique, donc nous avons bien un phénomène oscillatoire. On peut donc dire, en faisant l’analogie, que le robinet est le générateur de tension constante, que le condensateur « retient » le courant jusqu’à sa charge maximale. Le vase de Tantale, alimenté de manière continue par un filet d’eau, se vide de manière périodique par un siphon. Il est un analogue mécanique de l’oscillateur électrique qui va transformer un courant continu en un courant alternatif. 8 Nous avons réalisé un vase de Tantale. Pour qu’il fonctionne, nous avons du respecter quelques contraintes : la période de son amorçage doit être courte. De plus, il faut que le débit entrant soit inférieur au débit sortant, sinon, le vase déborde ! Pour construire un oscillateur, nous avons monté un multivibrateur astable, qui se compose d’un intégrateur et d’un comparateur à hystérésis. b) Comparateur à hystérésis (Trigger de Schmitt) Ce composant de l’oscillateur est formé de deux résistances et d’un amplificateur opérationnel (AO) alimenté par un générateur de tensions constantes de +15/-15V. Il délivre une tension de + ou – 15 V, selon la tension appliquée à l’entrée. Pour notre circuit nous avons choisi les résistances aux valeurs de valeurs R1 = 15 kΩ et R2 = 56kΩ. Circuit électrique du comparateur à hystérésis Nous avons mesuré l’évolution de la tension en sortie V2 = Vs du comparateur en fonction de la tension en entrée V1 = Ve. 9 Nous avons également acquis V1(t) = Ve(t) et V2(t) = Vs(t) Voir en annexe l’étude théorique du comparateur à hystérésis (p. 21) Nous pouvons, pour expliquer nos résultats, faire à nouveau l’analogie avec le vase de Tantale. En effet, si nous suivons le sens du premier graphique, lorsque la tension d’entrée est croissante (jusqu’à +3V), la tension de sortie est à son état bas, de valeur -15V. Puis la tension d’entrée arrivée à 3V, V, la tension de sortie passe à son état haut, +15V. +1 V. Il s’agit ici du moment où le vase se remplit dans l’analogie. La représentation graphique graphique du niveau d’eau est à son état bas puis, arrivé à un certain niveau, elle passe à l’état haut qui est caractérisé par le début du débit d’eau (niveau h1 sur le schéma). Puis l’eau s’écoule, et de la même manière que le niveau diminue, la tension d’entrée trée est décroissante et la tension de sortie reste à son état haut de valeur, jusqu’à -7V où la tension de sortie bascule vers son état bas. Cet état peut être assimilé à la hauteur h0 sur le schéma. Etat haut h1 Etat haut h0 Niveau d’eau du vase Débit sortant h1 h0 c Temps Temps Evolution du niveau d’eau dans le vase en fonction du temps Evolution du débit sortant en fonction du temps (alternance entre débit nul et débit constant c) 10 Vase de Tantale h(t) : hauteur d’eau dans la cuve D(t) : débit d’eau dans le siphon Remplissage du siphon, h(t) est croissante h(t) = h1 Amorçage de la vidange, h(t) est décroissante h(t) = ho Analogie Grandeur d’entrée Grandeur de sortie Etat bas D(t) = 0, pas de débit dans le siphon V2(t) = - 15 V La sortie bascule de l’état bas à l’état haut Etat haut D(t) ≠ 0, débit d’eau dans le siphon V2(t) = + 15 V La sortie bascule de l’état haut à l’état bas Comparateur à hystérésis V1(t)=Ve(t) V2(t)=Vs(t) V1(t) est croissante V1(t) = + 3V V1(t) est décroissante V1(t) = - 3V c) Intégrateur Ce montage électrique, fonctionne grâce à un condensateur, une résistance ainsi qu’un composant électronique appelé amplificateur opérationnel devant être alimenté par un générateur de tensions constantes de +15 / -15V. Schéma de principe de l’intégrateur R ‘= 1 MΩ C=100 Y1 R = 10 - Y2 + Ve Vs Schéma du montage réalisé 11 Tensions mesurées aux bornes de l’intégrateur (entrée : Ve et sortie Vs) L’intégrateur transforme la tension d’entrée, un signal carré délivré par un générateur basse fréquence en un signal triangulaire. En fait, le signal d’entrée est l’opposé de la dérivée du signal de sortie. Autrement dit l’intégrateur intègre le signal d’entrée, au signe près ce qui donne un motif en triangle à la sortie. Cette tension triangulaire est la tension d’entrée du comparateur à hystérésis. d) Le multivibrateur astable Le comparateur et l’intégrateur agissent inversement l’un de l’autre. Le comparateur, comme vu précédemment transforme donc une tension triangulaire en une tension en créneaux. Au contraire, l’intégrateur retransforme ce signal en créneaux en signal triangulaire. Cela permet de boucler le circuit et donc de faire osciller le circuit en l’absence de générateur basse fréquence, (en n’omettant pas bien sûr l’alimentation des composants tels que les Amplificateurs Opérationnels, qui ont besoin d’une alimentation permanente). On utilisera le signal triangulaire pour la production du son du thérémine. De plus on constate dans le circuit la présence d’un condensateur qui fait varier la fréquence du signal de l’oscillateur. Ce circuit est appelé « multivibrateur astable ». Intégrateur Comparateur Schéma électrique du multivibrateur astable 12 La fréquence d’oscillation de l’oscillateur est donnée par . Avec les valeurs numériques on trouve une fréquence théorique de f = 534 Hz. Lorsqu’on fait une acquisition de l’écran de l’oscilloscope qui mesure les tensions V1(t) = Ve(t) et V2(t) = Vs(t) on détermine une fréquence d’oscillation de l’oscillateur de 532 Hz. Ceci permet de vérifier la formule permettant de calculer cette fréquence puisque les valeurs calculées et déterminées sont très proches. Dans le thérémine, on retrouve deux de ces multivibrateurs astables, l’un avec un condensateur à valeur fixe et donc à fréquence fixe et un second avec un condensateur à valeur variable et donc à fréquence variable. La partie tonalité du thérémine, celle qui génère la fréquence du son, se compose de deux multivibrateurs astables. Pourquoi notre thérémine a-t-il besoin de deux oscillateurs pour fonctionner ? S’il n’y avait qu’un seul oscillateur, on réglerait la fréquence d’oscillation dans le domaine audible, et le musicien la ferait varier en faisant varier la capacité du condensateur formé par l’antenne et sa main. Seulement, les fréquences obtenues ne seraient pas très éloignées de celle de référence. Ainsi, la gamme de fréquence jouable serait sans intérêt musical et donc inutilisable pour jouer des mélodies. L’idée astucieuse de Léon Thérémine réside en la multiplication des signaux de deux oscillateurs. Schéma de principe du 2e oscillateur : il est identique au premier avec une capacité additionnelle en parallèle réalisée par une plaque de métal et la main : Intégrateur 13 Comparateur 4. La multiplication de deux signaux Pour obtenir une fréquence audible, on utilise deux oscillateurs générant des hautes fréquences, environ 20 kHz dont on va multiplier les signaux. En multipliant deux signaux, on obtient deux autres signaux en sortie : l’un est la somme des deux fréquences, donc encore dans les ultrasons (40 kHz) tandis que l’autre est la différence des deux fréquences, ce qui donne une fréquence appartenant au domaine audible. C’est cette fréquence qui va nous intéresser. U1(t) de fréquence f1 k x U1(t) x U2(t) de fréquences f1 – f2 et f1 + f2 U2(t) de fréquence f2 Ainsi, dans notre montage, il y a un oscillateur de fréquence constante et un oscillateur dont la fréquence varie en fonction de la position de la main face à l’antenne. Le son est généré par un haut-parleur après la multiplication du signal. Pour mieux visualiser la multiplication des signaux, nous avons multiplié les signaux sinusoïdaux de deux GBF (Générateurs Basse Fréquence) avec f1 = 20 kHz et f2 = 16 kHz. On constate bien, après décomposition de Fourier du signal obtenu, que le résultat de la multiplication est composé d’une onde de fréquence f1 – f2 = 4 kHz et d’une autre de fréquence f1 + f2 = 36 kHz. Ici, seule la différence des deux signaux est comprise dans le domaine audible. Ainsi, si on relie un hautparleur à la sortie du multiplieur, on constate qu’on entend qu’une seule fréquence. Dans la représentation de l’onde, on constate que l’enveloppe du signal a la fréquence de la différence des fréquences effectuée lors de la multiplication des signaux, soit la fréquence la plus basse, celle qui est audible. 20 – 16 = 4 kHz 20 + 16 = 36 kHz Décomposition de Fourier du signal multiplié 14 5. Réglage du thérémine a) Principe du réglage Lors du test du montage de notre thérémine, nous nous sommes retrouvés face au problème du réglage glage de l’instrument. En effet, le principe de fonctionnement de cet instrument repose sur le fait que l’on peut faire varier la capacité d’un des deux condensateurs en approchant ou éloignant la main d’une antenne qui forment la deuxième armature d’un condensateur. co Il a fallu effectuer un réglage sur ce thérémine, réglage qui se fait « à l’oreille ». Ce réglage a pour but de placer les deux oscillateurs à une même fréquence ; ce qui permettra (grâce au principe de multiplication des signaux) de ne pas avoir avoir de son lorsque le thérémininiste est devant son instrument sans agir sur lui. Or le bouton de réglage se trouve sur le même circuit intégré que le condensateur, et lorsqu’on s’approche pour tourner ce bouton, notre main influe sur le champ électrique du condensateur de l’oscillateur de référence, donc sur sa capacité et sur la fréquence d’oscillation de cet oscillateur, le réglage est ainsi faussé. Il a donc fallu isoler le circuit intégré contenant tous les composants pour ne laisser dépasser que l’antenne nne et le bouton de réglage. Pour cela nous avons étudié et utilisé le principe d’isolation aux champs électriques que permet la cage de Faraday. b) La cage de Faraday Une cage de Faraday est une enceinte ou une cage métallique qui permet d'isoler un espace de l'influence des champs électriques extérieurs. A l'intérieur de la cage, le champ électrique est nul, même si des charges sont placées à l'extérieur ou si la cage est reliée à un générateur. Inversement si on introduit des charges à l'intérieur d'une cage cage de Faraday, le champ électrique à l'extérieur n'en sera pas perturbé. Son enceinte en aluminium doit être reliée à la Terre de manière à maintenir un potentiel électrique fixe. L’enceinte métallique doit en principe être fermée de chaque côté. Mais elle peut aussi être constituée de grillage. Un grillage avec une maille de quelques centimètres agit comme un miroir sur une onde. onde Plus la fréquence de l'onde est élevée (donc plus sa longueur d'onde est courte), plus la maille doit être petite. Nous avons visité le musée EDF Electropolis de Mulhouse pour en apprendre un peu plus sur l’électrostatique et en particulier sur la cage de Faraday. Exemples de l’utilisation de la cage de Faraday : • Une voiture à carrosserie métallique est une cage de Faraday qui protège tège ses occupants contre les dangers d'électrocution provenant d'un contact extérieur ou d'une décharge atmosphérique (foudre). Inconvénient : les ondes radio (électromagnétiques) ne traversent 15 • • pas les cages de Faraday, ce qui empêche de faire fonctionner correctement, à l'intérieur d'une automobile, des récepteurs ou des émetteurs (autoradios, téléphones portables). On utilise alors une antenne de toit. un four à micro-ondes est composé d'une cage de Faraday dans laquelle on place les aliments à chauffer, et la porte est munie d'un grillage assez fin pour retenir les ondes et assez grand pour permettre de voir à l'intérieur. Les appareils de médecine IRM (imagerie par résonance magnétique) comportent une cage de Faraday. Nous avons donc décidé d’entourer notre montage d’une cage de Faraday, en ne laissant sortir que l’antenne et le bouton de réglage. Testons l’efficacité de cette cage de Faraday avec un électroscope. Expérience Si l’on répète l’expérience d’influence en interposant une cage de Faraday entre l’électroscope et la main, on constate que les charges n’ont plus aucune influence sur l’électroscope. Electroscope au repos Electroscope au repos avec la cage de Faraday Grâce à la cage de Faraday, l’électroscope n’est plus influençable. La main n’a plus d’influence sur l’électroscope chargé lorsque qu’un grillage est placé entre la main et l’électroscope. 16 c) Principe de fonctionnement du filtre passe-bas Il résulte donc deux fréquences de la multiplication des signaux. Comme seul le signal de basse fréquence nous intéresse puisqu’il est dans le domaine audible, nous avons ajouté au montage un filtre passe-bas qui permet d’atténuer fortement l’amplitude du signal haute fréquence. Ainsi, seul le signal audible est émis par le haut-parleur. Y1 Y2 G R C Ve Vs Le filtre passe-bas est composé d’une résistance et d’un condensateur. Une armature du condensateur est reliée à la masse. Lorsque la fréquence du signal est élevée, le condensateur est équivalent à un court-circuit. L’amplitude des hautes fréquences est donc atténuée et on ne les entend plus. Montage : On mesure les tensions aux bornes du GBF et du condensateur. On constate que plus la fréquence du signal d’entrée est élevée, plus le signal de sortie est atténué. On cherche alors à déterminer pour quelles valeurs de capacités et résistances, l’amplitude de la tension de sortie est divisée par deux. Voici nos valeurs : Résistance (k) 10 100 10 10 1 Capacité (nF) 100 10 10 1 10 Produit RC (µs) 1000 1000 100 10 10 Fréquence limite (amplitude/2) kHz 0,282 0,271 2,74 23,3 24.0 Nous remarquons que si le produit des valeurs de la résistance et du condensateur est constant, la fréquence pour laquelle l’amplitude est divisée par deux est la même. Pour une même valeur du produit RC de la résistance et de la capacité, la fréquence limite à partir de laquelle l’amplitude sera divisée par deux est la même. 17 d) Comment la distance main-plaque fait-elle varier la fréquence ? Ici, nous avons mesuré la fréquence de sortie du thérémine, passant par le filtre passe-bas pour avoir la valeur d’une seule fréquence. Nous avons donc mesuré la fréquence émise par le thérémine en fonction de la distance de la main à la plaque métallique. Nous nous sommes appliqués à mesurer précisément cette distance ainsi qu’à garder une surface de la main en regard constante. En exprimant la capacité par : 8,85 10 où S est la surface de la plaque en regard avec la main et d la distance main-plaque, on doit avoir : 1 où 4 (voir Annexes p. 21 pour l’explication des formules) 18 Conclusion Antenne (armature d’un condensateur) Oscillateur de fréquence constante f1 Oscillateur de fréquence f2 variable selon la capacité du condensateur Multiplication des signaux de fréquences f1 + f2 et f1 - f2 Filtre passe-bas f1 et f2 Schéma bilan Voici le montage électrique de notre thérémine artisanal : Un thérémine complet comporte également une antenne supplémentaire qui permet de faire varier l’intensité des sons émis pour plus de musicalité. 19 f1 – f2 Bibliographie http://www.sonelec-musique.com/electronique_realisations_theremin_002.html http://www.systemes-electroniques.fr/cours-1-3-les-condensateurs.html http://electroniqueists.free.fr/ISTS2/Cours_en_section/02Condensateur/Cours%20condensateur.pdf http://www.ilephysique.net/physique_terminale-dipole-RC.php http://www.sonelec-musique.com/electronique_realisations_theremin_presentation.html http://etheremin.com/index.html ethttp://www.thereminworld.com Pour la science, http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/article-le-theremine-un-son-venu-dailleurs-23557.php Remerciements Merci à nos professeurs encadrant, M. Strubel et Mme Adloff qui nous ont aidés à monter notre projet ! Merci à Jean Hurter, théréministe, que nous avons pu écouter en concert. Merci Pauline Jenn, animatrice du Musée EDF Electropolis de Mulhouse. Magaly Arnold, Thomas Fournier, Anthony Ropp et Mathieu Vogt 20 Annexes Comment calculer la fréquence émise par le thérémine en fonction des composants utilisés ? On ne va parler ici que d’un modèle simplifié dit « idéal ». L’amplificateur opérationnel (A.O.) idéal est un composant électronique comportant deux entrées (inverseuse - et non inverseuse +) et une sortie. C’est un amplificateur différentiel de tension. L’alimentation continue symétrique ( +15 V , 0, -15 V ) n’est pas représentée, mais est présente. Il faut d’abord alimenter l’A.O. avec cette alimentation. C’est le 0 de cette alimentation qui définit la masse du montage. La grandeur d’entrée est ε = (V+) – (V-) . Suivant la valeur de cette tension ε, dite différentielle (d’où le nom) l’amplificateur opérationnel peut fonctionner selon deux régimes : ( • un régime linéaire pour ε = 0 et "#$% & '# & "#$% : C’est le cas de l’intégrateur - Si ε > 0, '# "#$% - Si ε < 0, '# ) "#$% C’est le cas du comparateur. Les courants d’entrée, entrant dans les pattes + et -, sont nuls. Comment faire pour avoir ε = 0 ? C’est simple : si un composant relie la sortie à l’entrée inverseuse, alors l’AO fonctionnera en régime linéaire, c’est le cas de l’intégrateur. Sinon non, il s’agit du cas du comparateur. Comparateur à hystérésis u2 i R2 i u1 R1 ve + vs La sortie inverseuse est reliée à la masse, donc on a v- = 0. Comme le courant qui entre à la sortie non inverseuse (+) est nul, c’est le même qui circule dans R1 et R2. D’après la loi d’Ohm : + , et + , En appliquant la loi des mailles, on obtient : '- ) + ) + ) '# 0 '- ) , ) , ) '# 0 D’où '- ) '# , 21 Calcul de v+ : ' ( '- ) , ' - ) '# ' ( '- ) '- '# Si ε = v+ - v- > 0, alors vs = + vsat. Dans quel cas est-ce réalisé ? Pour répondre à cette question, prenons le problème dans l’autre sens : supposons que vs = + vsat. Alors '( Et ε '( ) ' '( ) 0 ( '- On en déduit : '- / ) '#$% ( '- '#$% '#$% / 0 '#$% , vs reste égale à vsat. supérieur à '#$% , vs reste égale à - vsat. On conclut donc que tant que ve reste supérieur à ) De la même manière, tant que ve reste On se place à vs = + vsat : Que se passe-t-il si ve diminue, et passe sous la valeur ) '#$% ? Alors vs va « basculer » à la valeur – vsat et y restera tant que ve restera inférieure à '#$% . L’intégrateur u’2 i i u’1 - R + v’e v’s Remarque : Les tensions sont notées avec ’ pour relier ensuite les deux montages. Les grandeurs i, v’e , v’s , u’1 et u’2 sont des fonctions du temps. On a ici v+ = 0 Comme le montage fonctionne en régime linéaire, on a ε = 0, donc : ε '( ) ' '( ' 0 Or on a '0- ) +0 ) +0 ) '0# 0 (1) +0 , (2) Pour un condensateur, on a : ,1 22 2 % (3) Et ' '- ) +0 0 (4) On en déduit donc (1) et (4) : '# +0 0 Donc : '# +0 0 3 3 45 % 0 6 45 % 45 % 7 0 2 (d’après (3)) 0 (d’après (2)) 4 (d’après (4)) On en déduit que '# )' 3 Si v’e =-vsat , croissante. Si v’e =+vsat , décroissante. 45 % 4589 donc comme le coefficient directeur de v’s est positif, v’s est 45 % ) 4589 donc comme le coefficient directeur de v’s est négatif, v’s est % On a donc ' : # ;3< ' # ;0< ) = '#$% 3 ' : # ;3< ' : # ;0< ) 1 1 '#$% ;3 ) 0< ' : # ;0< ) '#$% 3 Si v’s(t) est la tension d’entrée du comparateur, alors on va se retrouver au cas où vs = +vsat. Donc vs va « basculer » à – Vsat ! Oscillateur Que se passe-t-il lorsque les deux montages sont bouclés ? C R2 R v’e + R1 + - v’s = ve 23 vs = v’e ! Imaginons que vs = + vsat donc v’e = +vsat D’après l’étude du comparateur on est à +vsat tant que ve reste supérieure à ) '#$% , et d’après l’étude de l’intégrateur, ve décroît. Au moment (appelons le t = 0s) où ve atteint ) '#$% , vs bascule à – vsat. A partir de là, l’intégrateur intègre la tension v’e = - vsat. Il suffit de reprendre la formule exprimant v’s et de remplacer + vsat par – vsat ! ' : # ;3< ' # ;0< '- '#$% ;3< et v’s(t) croît ! Jusqu’où croît-elle ? D’après ce que l’on a vu précédemment, elle croît jusqu’à ce que '#$% , alors vs rebasculera ) +vsat … ça oscille ! Période de l’oscillateur : On a dit qu’à t = 0s, on avait '- ;0< ' : # ;0< ) '#$% Combien de temps faut-il pour arriver à ' : # ;3 < '#$% ? On reprend la formule : ' : # ;3< ' : # ;0< ) 1 '#$% 3 ' : # ;3 < ' : # ;0< 1 '#$% 3 Avec vs = - vsat : '#$% ) '#$% 3 2 1 '#$% 3 Comme la deuxième phase de l’oscillateur a la même durée, la période de l’oscillateur est : ? 2 3 4 La fréquence de l’oscillateur est ainsi : 1 ? 4 Cette fréquence d’oscillation est bien inversement proportionnelle à C ! Application numérique avec nos valeurs : R1 = 22kΩ ; R = 10 kΩ ; R2 = 47kΩ ; C = 100nF 47 534 CD 4 22 10A 24 On peut également calculer la fréquence émise par le thérémine en faisant la différence des fréquences générées par les deux oscillateurs. Le premier oscillateur oscille à une fréquence fixe f1 : 4 1 Avec 4 Le second oscillateur oscille à une fréquence f2 qui varie en fonction de la capacité du condensateur du circuit. Il s’agit en réalité d’une capacité parasite qui s’ajoute à celle du condensateur du circuit. Cette capacité parasite est dûe aux variations de positions de la main. Avec E 8,85 10 4 ; E < 1 ; E < ∆ ) 1 ) 1 ; E < Par application numérique, on peut calculer une fréquence théorique que peut émettre le thérémine. 25
