Chapitre 2 : Mouvement d`une particule chargée dans un champ

Électromagnétisme
Chapitre 2
PTSI
On s’intéresse dans ce chapitre au mouvement d’une particule chargée dans certaines
configurations simples du champ électromagnétique. Les applications de cette étude sont
nombreuses : oscilloscope, tube cathodique, accélérateurs et analyseurs de particules…
Système étudié : particule (donc ponctuelle) de masse m et de charge q (en valeur
algébrique).
Référentiel d’étude : référentiel du laboratoire considéré comme galiléen.
Hypothèses d’étude :
- poids de la particule négligeable,
- pas de frottement
- champs électrique et magnétique uniforme (constant dans l’espace) et indépendant du
temps (constant dans le temps),
- mouvement non relativiste : v << c.
I. Force de Lorentz
Expression
Une particule de masse m, de charge q et de vitesse v est soumise à la force de
E
Lorentz f = q E + v ∧ B avec E en V.m–1, B en tesla (T) et
homogène à une vitesse en
B
m.s.–1.
(
)
En négligeant le poids de la particule, la RFD s’écrit :
dv
m
= q E+v ∧B
dt
dv q
=
E+v ∧B
dt m
(
)
(
)
Aspect énergétique
La partie magnétique de la force de Lorentz f mag = qv ∧ B ne travaille pas et ne peut donc
modifier l’énergie cinétique de la particule.
La partie électrique de la force de Lorentz f élec = q E dérive d’une énergie potentielle
Ep,élec = qV où V est le potentiel associé au champ électrostatique.
Globalement, une particule soumise uniquement à la force de Lorentz a une énergie
1
mécanique constante d’expression Em = mv 2 + qV .
2
II. Mouvement dans un champ électrique uniforme
Ici la particule est soumise uniquement à un champ électrostatique uniforme.
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Étude générale du mouvement
La RFD
dv
q
q
= r = E donne après deux intégrations r (t ) =
Et 2 + v0t + r0 .
m
dt
2m
Si E et v0 ne sont pas colinéaires, la trajectoire est alors une parabole dans le plan contenant
la particule à t = 0 et défini par les vecteurs constants E et v0 (configuration que l’on
retrouve dans un oscilloscope à tube cathodique).
Si E et v0 sont colinéaires, la particule est uniformément accélérée et sa trajectoire est une
droite colinéaire à E et v0 (configuration que l’on retrouve dans les accélérateurs linéaires).
Accélération linéaire
On s’intéresse de plus près au 2ème cas de figure en introduisant une particule de charge
positive dans une cavité de longueur d où règne le champ E (zone grisée sur la figure ciU V −V
dessous). La ddp U correspondante est E = = 0 1 .
d
d
V0
V1
v0
O
U
d
1 2
1
mv0 + qV0 = mv12 + qV1 avec v1 ,
2
2
V −V
U
norme de la vitesse à la sortie. On a donc v1 = v02 + 2q 0 1 = v02 + 2q . Avec U > 0, on
m
m
aura v1 > v0 : la particule est donc bien accélérée.
La conservation de l’énergie mécanique permet d’écrire
III. Mouvement dans un champ magnétique uniforme
Ici la particule est soumise uniquement à un champ magnétique uniforme B = Bez .
Vitesse initiale quelconque
On se place dans le cas où la vitesse initiale est v0 = v0 sin αex + v0 cos αez . La RFD
dv q
qB
= v ∧ B donne après projection et en posant ω =
(appelée pulsation cyclotron) :
dt m
m
(1) v x = ωv y
(2)
(3)
v y = − ωv x .
vz = 0
On obtient 3 équations différentielles dont 2 couplées.
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre les équations (1) et (2) :
- intégration de (1) et substitution de vx obtenu dans (2),
- dérivation de (2) et substitution de v y obtenu dans (2),
-
addition (1) + 2×(i) et résolution de l’équation différentielle complexe en u = x + iy.
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C’est la dernière méthode qui a été présentée en cours. On se reportera donc au cours pour les
détails du calcul.
Dans le cas général (α ≠ 0), la particule décrit une hélice circulaire de pas h constant avec une
qB
:
vitesse angulaire ω =
m
h
À noter que la particule « s’enroule » autour du champ magnétique colinéaire ici à l’axe Oz.
Vitesse initiale orthogonale au champ magnétique
Dans le cas où α = 0, la particule décrit un cercle de rayon R =
mv
perpendiculaire au champ
qB
magnétique (ici dans le plan xOy).
Remarque : la vitesse reste dans les 2 cas constante en norme.
IV. Applications
On se reportera aux documents de cours pour plus de détails concernant les applications.
Oscilloscope
L’oscilloscope « cathodique » (qui tend à disparaître) illustre la déflexion électrostatique
constatée lorsque le champ E n’est pas colinéaire au vecteur vitesse initiale de la particule.
Spectrographe de masse
Le spectrographe est un dispositif permettant de séparer des entités chargées suivant leur
q
rapport . Il illustre ici la trajectoire circulaire d’une particule dont le vecteur vitesse est
m
orthogonal au champ magnétique (α = 0).
Cyclotron
Le cyclotron est un accélérateur (non linéaire) de particules combinant un champ E
accélérateur (variable en sens) et un champ magnétique qui courbe les trajectoires de
particules. Il illustre les 2 aspects principaux (champ E seul et champ B seul).
V. Mouvement des charges dans un conducteur
Généralités sur les milieux conducteurs
On s’intéresse au mouvement de particules chargées, non plus dans le vide, mais dans un
milieu matériel précis : un conducteur.
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On note n, le nombre de porteurs de charge par unité de volume et v la vitesse d’ensemble
des porteurs de charges.
En présence d’un champ électrique, on aura v ≠ 0 avec v colinéaire à E .
Vecteur densité de courant
On définit le vecteur densité de courant (volumique) j = nq v = ρ m v où ρ m est la densité
volumique de charges mobiles.
dq
Le courant élémentaire d’intensité di qui traverse l’élément dS est di =
= j.dS .
dt
j.dS .
L’intensité totale s’écrit alors I = di =
S
Remarques :
- L’intensité totale qui traverse une section S de conducteur est donc égale au flux du
vecteur densité de courant à travers cette section.
- L’unité de vecteur densité de courant est A.m–2 où C.s–1.m–2.
Loi d’Ohm locale
Énoncé de loi d’Ohm locale :
Dans un conducteur, les vecteurs champ électrique E et densité de courant j sont
proportionnels j = γ E où γ est la conductivité du conducteur et ne dépend que du conducteur
et de la température.
Remarques :
- γ s’exprime en S.m–1 et est parfois notée σ.
- L’inverse de γ est la résistivité notée ρ.
- On parle de loi d’Ohm locale car les vecteurs j et E sont définis en tout point du
conducteur (donc localement) et par opposition à la loi d’Ohm (intégrale) U = R×I.
Interprétation « classique » de loi d’Ohm locale
On étudie, à l’aide de la mécanique « classique », le mouvement d’une charge (masse m et
charge q) dans un conducteur soumis à un champ électrique E . L’ensemble des interactions
entre la charge de masse m et le milieu environnant est modélisée par une force de frottement
m
fluide F = − hv = − v où τ est une durée caractéristique du mouvement (τ ≈ 10–14 s).
τ
dv v q
t
qτ
La RFD s’écrit
+ = E , soit après intégration v(t ) = E + K exp − .
dt τ m
m
τ
Ainsi, après un régime transitoire de durée caractéristique τ, on atteint une vitesse
qτ
limite v lim = E
m
En reprenant l’expression définissant le vecteur densité de courant et en se plaçant en régime
permanent (t → +∞) on établit une expression du vecteur densité de courant :
nq 2 τ
nq 2 τ
j = nq v lim =
E = γ E avec γ =
.
m
m
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Résistance électrique d’un conducteur
On considère un circuit filiforme (diamètre de sa section S très inférieur à sa longueur) :
dS
A
La tension VA – VB est VA − VB =
B
E
B
A
E .dl .
L’intensité I du courant qui traverse la section S du fil est par I =
S
j .dS = γ
E .dS
S
On a définit sa résistance par :
B
E.dl
V − VB
R= A
= A
.
I
γ E.dS
S
Cas d’un fil cylindrique de section constante S et de longueur :
La résistance R d’un barreau cylindrique de longueur , de section S, de conductivité γ et de
résistivité ρ est donnée par :
ρ
R=
=
.
γS S
Effet Hall
Généralités
L’effet Hall désigne l’apparition d’une tension dans un conducteur parcouru par un courant et
plongé dans un champ magnétique. Cette tension est colinéaire à j ∧ B .
Ci-dessous la configuration pour des électrons de charge q = – e et de vitesse v (opposée à I)
dans un conducteur d’épaisseur b et de largeur :
B
A
Il apparaît un champ de Hall E H = −v ∧ B auquel correspond la tension de Hall donnée par :
VH =
B
A
E H .dl = E H = vB .
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Or j = nqv et ici j =
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I
b
, on en déduit v =
I
nq b
et :
1
I
IB
avec la constante de Hall : RH =
B = RH
nqb
b
nq
Remarque : la tension de Hall est proportionnelle au champ magnétique : en la mesurant on en
déduit la valeur de B (dispositif de sonde à effet Hall).
VH =
Interprétation de la force de Laplace
La force de Laplace est le nom donné à la force subie par un conducteur parcouru par un
courant électrique I et soumis à un champ magnétique B .
Pour une portion élémentaire dl de conducteur, la force élémentaire de Laplace s’écrit :
d F = jdτ ∧ B = Idl ∧ B .
Le champ de Hall agit également sur les charges fixes. Dans tout le conducteur on a
ρ f = −ρ m du fait de la neutralité électrique du conducteur. Les charges mobiles subissent une
force électrique et magnétique tandis que les charges fixes ne sont soumises qu’à la force
électrique due au champ de Hall. Un volume dτ de conducteur subit donc une force :
d F = ρf dτ E H + ρ m dτ EH + ρ m dτv ∧ B = dτ j ∧ B
Soit l’expression de la force élémentaire de Laplace :
d F = jdτ ∧ B = Idl ∧ B .
Annexe : comparaison champ électrique et champ de gravitation
Champ de pesanteur
Champ électrique
Force
P = mg
f élec = q E
Énergie potentielle
Epp = mgz
Ep,élec = qV
g = −grad(gz )
E = −grad(V )
gz
V
Dans le sens des potentiels décroissants
Vers les bas potentiels
Vers le bas
électriques
Champ vectoriel
Potentiel
Sens de déplacement des
masses/charges positives
hautes altitudes
Schéma
hauts potentiels
E
g
grad (V )
grad( gz )
basses altitudes
6
bas potentiels