DM28 • Moteur et détente de l’hélium I Cycle moteur [Véto 2001] Attention : une grande attention sera portée à la qualité des applications numériques (les donner avec 3 ou 4 chiffres significatifs) Données : TFR = 350 K ; TCH = 1 100 K ; α = 10. Constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J.K −1 .mol−1 ; n = 0, 05 mol. ∆t = 1, 00.10−2 s ; ∆t1 = 4, 43.10−2 s ; ∆t2 = 3, 45.10−2 s. 1) Établir la relation de Mayer. En déduire les expressions de CV m et CP m en fonction de R et de γ. A.N. : calculer CP m et CV m . 2) Montrer que pour une transformation isentropique réversible d’un gaz parfait de rapport γ constant, on a la relation P V γ = Cte. En déduire l’expression littérale de TB en fonction de TA , α et γ, ainsi que celle de TD en fonction de TC , α et γ. A.N. : calculer TB et TD sachant que TA = 390 K et TC = 1000 K. 3) Déterminer, en fonction de n, R, TA , TC , α et γ, les expressions littérales : - du transfert thermique QC reçu par le gaz, pendant la durée du cycle, de la part de la source chaude ; - du transfert thermique QF reçu par le gaz, pendant la durée du cycle, de la part de la source froide. A.N. : calculer QC et QF . 4) Déterminer, en fonction de n, R, TA , TC , α et γ, l’expression littérale du travail W reçu par DM28 • T5 Un moteur ditherme fonctionne entre deux thermostats P selon un cycle constitué de deux transformations adiabatiques réversibles et de deux transformations isochores. Les C températures des thermostats sont TFR (source froide) et TCH TCH (source chaude) avec TFR < TCH . Le cycle est décrit par n moles de gaz supposé parfait de capacité thermmique D molaire à volume constant CV m constante. Pour ce gaz, B le rapport γ de la capacité thermique molaire à pression constante CP m et de CV m est égal à 1, 4. A TFR Les différentes transformations du cycle sont : - A → B : compression adiabatique réversible de durée ∆t ; - B → C : compression isochore par contact du gaz avec la VB=VC VA=VD V source chaude par l’intermédiaire des parois du cylindre qui le contient pendant une durée ∆t1 ; - C → D : détente adiabatique réversible de durée ∆t ; - D → A : détente isochore par contact du gaz avec la source froide par l’intermédiaire des parois du cylindre qui le contient pendant une durée ∆t2 . On ne tiendra pas compte de la capacité thermique du cylindre contenant le gaz. Chaque grandeur pression P , volume V et température T du gaz en un point du cycle sera indicée par la lettre de ce point. VA VD On notera α le rappport volumétrique = = α. VB VC Cycle moteur et détente de l’hélium 2012-2013 le gaz pendant la durée d’un cycle. Quelle est la puissance moyenne P de ce moteur ? A.N. : calculer W et P. 5) Définir le rendement η de ce cycle moteur. Déterminer l’expression littérale de η en fonction uniquement de α et de γ. A.N. : calculer η. 6) Démontrer l’expression littérale de la valeur maximale ηmax du rendement prévue par le théorème de Carnot ? A.N. : calculer ηmax . Comparer η et ηmax . Que peut-on en conclure ? 7) Déterminer, en fonction de n, R, TA , TC , α et γ, les expressions littérales ∆SAB , ∆SBC , ∆SCD et ∆SDA , de la variation d’entropie du gaz pour les quatre transformations du cycle. A.N. : calculer ∆SDA et ∆SBC . 8) Quelle est la variation d’entropie du gaz au cours d’un cycle ? 9) Déterminer, en fonction de n, R, TA , TC , TCH , α et γ, la variation d’entropie ∆SCH de la source chaude. A.N. : calculer ∆SCH . 10) Déterminer, en fonction de n, R, TA , TC , TFR , α et γ, la variation d’entropie ∆SFR de la source froide. A.N. : calculer ∆SFR . 11) Quelle est la variation d’entropie ∆S∞ , au cours d’un cycle, du système constitué de l’ensemble des sources de chaleur et du gaz ? A.N. : calculer ∆S∞ . Commenter le résultat. DM28 • T5 12) Que les transferts thermiques aient lieu avec l’une ou l’autre des sources, on suppose que, à partir de l’instant t et pendant une durée infinitésimale dt, ils sont de la forme : δQC = λ(TCH − T (t)).dt au cours de la transformation B → C δQF = λ(TFR − T (t)).dt au cours de la transformation D → A T (t) étant la température du gaz, supposée uniforme, à la date t et λ une constante positive. On prendra λ = 4, 5 uSI. 12.a) Quelle est l’unité de λ, exprimée en fonction des unités de travail, de température et de temps du système international ? 12.b) Quelle est l’unité de λ, exprimée en fonction des unités fondamentales du système international ? nCV m 13) On pose τ = . Déterminer la relation entre TFR , TA , TD , τ et ∆t2 . λ Quelle est l’unité fondamentale de τ ? Que représente τ ? 14) Déterminer la relation entre TCH , TB , TC , τ et ∆t1 . 15) Déterminer les valeurs limites TA,lim et TC,lim de TA et TC lorsque ∆t1 et ∆t2 tendent vers l’infini. 16) Représenter le cycle moteur étudié dans le diagramme entropique en justifiant théoriquement les allures des courbes représentatives de chaque transformation. Y faire également apparaı̂tre les isothermes TCH et TFR . 2 http://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. | PTSI Cycle moteur et détente de l’hélium 2012-2013 II Détente de l’hélium [ENAC 2006, q. 19-24] Une enceinte cylindrique fermée par un piston, mobile sans frottement, contient 500 g d’hélium gazeux, monoatomique, de masse molaire M = 4 g.mol−1 . Dans l’état (1) initial, le volume de l’enceinte est V1 = 100 L, et le gaz, supposé parfait, est à la température T1 = 600 K. On rappelle que l’énergie interne de n moles de gaz parfait monoatomique à la température T s’écrit : 3 U = nRT , où R = 8, 31 J.K −1 .mol−1 désigne la constante des gaz parfaits. 2 1) Calculer la capacité thermique massique à volume constant cV de l’hélium : A) cV = 1, 38 kJ.K −1 .kg −1 C) cV = 3, 12 kJ.K −1 .kg −1 B) cV = 2, 91 kJ.K −1 .kg −1 D) cV = 5, 19 kJ.K −1 .kg −1 2) Par déplacement du piston, le gaz subit une détente isotherme, supposée réversible, qui le conduit à l’état (2) caractérisé par un volume V2 = 250 L. Calculer la pression P2 du gaz dans ce nouvel état : A) P2 = 2, 49.106 P a C) P2 = 9, 97.106 P a B) P2 = 2, 49.103 P a D) P2 = 9, 97.103 P a 3) Quel est le travail W12 reçu par le gaz au cours de cette évolution isotherme ? A) W12 = −2 280 kJ C) W12 = 571 kJ B) W12 = −571 kJ D) W12 = 2 280 kJ 4) On envisage une nouvelle évolution réversible, constituée d’une détente adiabatique entre l’état (1) et un état intermédiaire (3) de volume V3 = V2 , suivie d’un chauffage isochore entre l’état (3) et l’état final (2), défini précédemment. Déterminer la température T3 de l’état intermédiaire : B) T3 = 416 K C) T3 = 866 K D) T3 = 1 105 K 5) Calculer le travail W132 reçu par le gaz au cours des évolution successives : (1) → (3) → (2) : A) W132 = −287 kJ C) W132 = 414 kJ B) W132 = −427 kJ D) W132 = 787 kJ DM28 A) T3 = 326 K • A) ∆S = −3 807 J.K −1 C) ∆S = 952 J.K −1 T5 6) Déterminer la variation d’entropie ∆S du gaz entre l’état (1) et l’état (2) : B) ∆S = −952 J.K −1 D) ∆S = 0 J.K −1 7) Représenter dans le diagramme de Watt les trois états thermodynamiques ((1), (2) et (3)) ainsi que les courbes des trois évolutions étudiées ((1) → (2), (1) → (3) et (3) → (2)). On prendra soin de faire apparaı̂tre P1 , P2 , V1 et V2 . 8) Établir, pour un état intermédiaire {S, T } de la transformation isochore réversible entre (3) et (2), l’expression donnant la température T en fonction de l’entropie S, de S1 , de T3 et de CV (capacité thermique à volume constant). 9) Représenter dans le diagramme entropique les trois états thermodynamiques ainsi que les courbes des trois évolutions étudiées. On prendra soin de faire apparaı̂tre T1 , T3 , S1 et S2 . Qadri J.-Ph. | PTSI http://atelierprepa.over-blog.com/ 3 Cycle moteur et détente de l’hélium 2012-2013 Solution I. Cycle moteur – 1) ➜ Cf Cours : CP m − CV m = R (relation de Mayer, pour un GP). CP m = γR = 29, 10 J.K −1 .mol−1 γ−1 et CV m = R = 20, 78 J.K −1 .mol−1 . γ−1 2) Une transformation isentropique réversiblé étant une transformation quasi-statique, à entropie constante, on peut appliquer la première identité thermmodynamique, pour un gaz parfait (vérifiant donc la premier loi de Joule) : 0 dT dV nR dUGP + P dV dS = = nCV m + nR = (d ln T + (γ − 1)d ln V ) , ⋆ T T V γ−1 On én déduit un des trois relation de Laplace pour un gaz parfait subissant une isentropique γ−1 réversible = Cte ; soit, puisque P V = nRT : P V γ = Cte (=adiabatique réversible) : T V comme TA V γ−1 = TB V γ−1 , on en déduit : TB = TA αγ−1 = 979, 6 K A B Donc, et comme T V γ−1 = T V γ−1 , on en déduit : T = T α1−γ = 398, 1 K D C C C D D 3) La transformation B → C étant une isochore et concernant un gaz parfait (qui vérifie donc la première loi de Joule) : QC = QB→C,V = ∆UB→C,GP = nCV m (TC − TB ) soit : QC = nR (TC − TA αγ−1 ) = 21, 16 J γ−1 De même : QF = QD→A,V = ∆UD→A,GP = nCV m (TA − TD ) soit : DM28 • T5 QF = nR (TA − TC α1−γ ) = −8, 43 J γ−1 4) D’après le premier principe de la Thermodynamique appliqué au gaz subissant un cycle, 0 soit : W = −QC − QF , d’où : l’énergie interne étant fonction d’état : ∆U = W + QC + QF nR W W = TA αγ−1 − 1 + TC α1−γ − 1 = −12, 74 J et P = = −128, 9 W γ−1 2∆t + ∆t1 + ∆t2 5) η= grandeur utile W =− grandeur investie QC Soit, d’après le premier principe : η = 1 + QF , ce qui conduit à : QC η = 1 − α1−γ = 60, 2% 6) ➜ Cf Cours : Pour le cycle de Carnot entre deux thermostats TCH et TFR le rendement s’écrit : TFR = 68, 2% ηmax = 1 − TCH Commentaire : ηmax > η. On vérifie que le cycle réel est un cycle irréversible et que le cycle de Carnot correspond au rendement maximal d’un cycle moteur fonctionnant entre les deux thermostats considérés. 7) • ∆SAB = ∆SCD = 0 (transformations isentropiques) • La transformation B → C étant une isochore - concernant un gaz parfait (qui vérifie donc la première loi de Joule) - quasi-statique (puisque représentable dans le diagramme de Clapeyron), on peut appliquer Premier ,. ⋆ Z CThermodynamique Z C Identité TC dV nR TC nR dT + nR = ln ln = nCV m dS = On obtient : ∆SBC = T V γ − 1 TB γ−1 TA αγ−1 B B 4 http://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. | PTSI Cycle moteur et détente de l’hélium 2012-2013 ∆SBC 1 = nR ln γ−1 TC TA − ln α = 2, 138.10−2 J.K −1 De même, pour la transformation D → A, on a : ∆SDA ∆SDA 1 ln = nR γ−1 TA TC nR = ln γ−1 TA TC α1−γ + ln α = −2, 138.10−2 J.K −1 8) Par propriété d’une fonction d’état, sur un cycle : ∆S = SA − SA = 0 . Les expressions littérales précédents permettent de le vérifier puisque : XC→D XA→B + X = 0 XX + XX + B→C D→A ∆S ∆S ∆S ∆S = X ∆S 9) Puisqu’un thermostat subit une transformation réversible, par application du deuxième principe : QC nR TA αγ−1 − TC QSC é =− = . = −1, 924.10−2 J.K −1 . ∆SCH = S CH = TCH TCH γ−1 TCH 10) De même : é ∆SFR = S FR = QSF QF nR TC α1−γ − TA =− = . = 2, 407.10−2 J.K −1 . TFR TFR γ−1 TFR 11) L’entropie étant une fonction d’état extensive, elle est également, en thermodynamique + ∆S + ∆S = 4, 83.10−3 J.K −1 ∆S ∆S∞ = FR CH classique, additive. Donc : é p S Commentaire : On vérifie que le cycle étudié est irréversible puisque ∆S∞ = ∞ + S ∞ > 0. 12) u(λ) = J.K −1 .s−1 = kg.m2 .s−3 .K −1 13) δQF = δQF,V = dUGP = nCV m dT = λ(TFR − T ).dt, soit : TA TD nCV m dT . = λ TFR − T Z ∆t2 dt ⇔ −τ ln 0 TFR − TA TFR − TD = ∆t2 ⇔ ∆t2 = τ ln TD − TFR TA − TFR TA,lim = TRF et TC,lim = TCH T 16) La première identité thermodynamique pour une TéQS isochore d’un GP s’écrit : dU P dV dT dV dS = + = CV + nR , soit : T T T V S S − SB = K exp pour B → C T = T exp B nCV m CV S − SD S = K ′ exp pour D → A T = TD exp nCV m CV Ainsi, les courbes représentatives de transformations isochores sont des portions d’exponentielles croissantes dans le diagramme entropique. Qadri J.-Ph. | PTSI http://atelierprepa.over-blog.com/ TCH C B D A TFR SA=SB SC=SD S 5 T5 15) • nCV m comme λ homogène à un temps (unité : la seconde), plus précisément il s’agit de la durée caractéristique de la transformation étudiée. TCH − TB 14) De même δQC = nCV m dT = λ(TCH − T ).dt, soit : ∆t1 = τ ln TCH − TC Commentaire : L’équation différentielle qu’on a pu écrire faire apparaı̂tre τ = DM28 Z dT T TFR + = ou encore : dt τ τ Cycle moteur et détente de l’hélium 2012-2013 II. Détente de l’hélium – Rq : n = m = 125 mol M 3 3 1) U = .nRt = CV .T (1e loi de Joule) ⇒ d’où CV = m.cV = .nR 2 2 CV 3 R −1 −1 Soit : cV = Rép. 1.C) = . = 3, 12 kJ.K .kg m 2 M 2) P2 = m RT1 nRT2 = . = 24, 9 bar = 2, 49.106 P a Rép. 2.A) V2 M V2 3) W1→2 = Z 2 δW = 1 Z 2 −Pext .dV = 1 (a) Z 2 −P.dV = (b) 1 Z 2 1 nRT − .dV =(c) −nRT1 V (a) : TQS* car réversible, donc Pext = P (b) : car GP (c) : car isotherme T = Cte = T1 V2 V2 Soit W12 = −nRT1 . ln = −P2 V2 . ln = −571 kJ Rép. 3.B) V1 V1 Z 2 1 dV V 4) • Pour un Gaz Parfait Monoatomique, connaissant la Relation de Mayer : γ= 5 nR CP CV + nR 5 = = 23 = ≃ 1, 67 CV CV 3 2 nR DM28 • T5 • Pour la transformation (1) → (3), le système étant un Gaz Parfait subissant une adiabatique réversible (donc isentropique), on peut lui appliquer les lois de Laplace, soit : T V γ−1 = Cte, i.e. : T1 V1γ−1 = T3 V3γ−1 γ−1 V1 .T1 = 326 K Rép. 4.A) D’où : T3 = V3 5) W132 = W13 + W32 , avec : Z 2 Z 2 = 0 isochore W32 = dV −P ext. δW = (a) : 1e Principe + adiabatique (b) : GP et 1e loi de Joule (c) : GPM 3 3 (b) (c) 3 .nR.(T − T ) W13 =(a) ∆U13 − Q 3 1 13 = CV .(T3 − T1 ) = 2 3 m Donc : W132 = W13 = . .(T3 − T1 ) = −427 kJ Rép. 5.B) 2 M 6) ∆S = ∆Srév = V2 nR. ln V1 Z 2 dSrév = (a) 1 Z 2 1 dU + P.dV (b) = T Z 2 1 CV .dT + T Z 2 1 T2 nR.dV 3 = .nR.ln + T1 V 2 Car : (a) : 1e Identitté Thermodynamique (b) : 1e loi de Joule et Équation d’état d’un GP D’où : ∆S1→2 = nR. ln 6 V2 V1 = 952 J.K −1 Rép. 6.C) http://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. | PTSI Cycle moteur et détente de l’hélium 2012-2013 9) 7) P1 P (1) T1 P2 isentr. T1 (2) isotherme V2 V (2) (1) isentr. isoch. isoch. (3) V1 T T3 (3) S1 S2 S 8) • Pour une transformation isochore élémentaire, la 1e Identité Thermodynamique donne, pour dV dU + P. dT un GP vérifiant la 1e loi de Joule : dS = = CV T T • Donc, en sommant entre l’état (3) {S3 , T3 } et un état thermodynamique intermédiaire {S, T } T sur l’isochore réversible (3) → (2), on obtient : S − S3 = CV . ln T3 Or, comme S3 = S1 ((1) → (3) est une adiabatique réversible, donc une isentropique), on S − S1 obtient : T = T3 . exp CV DM28 • T5 Qadri J.-Ph. | PTSI http://atelierprepa.over-blog.com/ 7