Nombres, opérations, ordre 1 Ordre et opérations 3 Valeurs approchées 1◦ Si x ∈ [a; a + d], on dit que a est une valeur approchée par défaut de x à d près. a, b et c désignent des nombres réels. 1◦ a ≤ b équivaut à dire que a − b ≤ 0. 2◦ Si a ≤ b, alors a + c ≤ b + c. 2◦ Si x ∈ [a − d; a], on dit que a est une valeur approchée par excès de x à d près. 3◦ Supposons de plus c > 0. Si a ≤ b, alors a · c ≤ b · c. 3◦ Si x ∈ [a − d; a + d], on dit que a est une valeur approchée de x à d près. 4◦ Supposons de plus c < 0. Si a ≤ b, alors a · c ≥ b · c. 4◦ Une troncature à 10−p près d’un nombre positif est la valeur approchée à 10−p par défaut ayant p décimales. Exercice 1 1◦ Encadrer les nombres x + y, xy et x − y 1 1 1 1 sachant que : < x < et < y < 8 7 7 6 1 2◦ Encadrer le nombre − 2x2 2 1 1 sachant que : < x < 5 4 3◦ – A partir des encadrements suivants : 3, 16 < √ 10 < 3, 17 et 1, 41 < √ 2 < 1, 42 √ 2 + 10 encadrer . 4 √ 2 – On donne B = √ ; 1 √ 5 −√ 2 + 10 montrer : B = . 4 En déduire un encadrement de B par 2 décimaux a et b tels que √ a<B<b et 0 < b − a < 0, 01 Exercice 2 Démontrez : 1◦ Si a est un nombre réel tel que 0 ≤ a ≤ 1, alors a3 ≤ a2 ≤ a. 2◦ Si a est un nombre réel tel que a ≥ 1, alors a ≤ a2 ≤ a3 . 2 Intervalles a et b sont deux nombres réels tels que a < b. 1◦ [a; b] = {x|a ≤ x ≤ b} : intervalle fermé d’extrémités a et b. ◦ 2 ]a; b[= {x|a < x < b} : intervalle ouvert d’extrémités a et b. On définit de même des intervalles mixtes, des intervalles admettant une borne infinie. Fiche 1 5◦ Un arrondi à 10−p près d’un nombre est la valeur approchée à 10−p la plus proche ayant p décimales. Exercice 3 Indiquer√la troncature, puis la valeur approchée à 10−2 près de 5. Exercice 4 On sait que x ∈ [5, 283; 5, 303]. 1◦ Est-ce que 5,289 est une valeur approchée de x à 10−2 près ? à 10−1 près ? à 2 · 10−2 près ? Pourquoi ? 2◦ Est-ce que 5,31 est une valeur approchée de x par excès à 10−2 près ? à 10−1 près ? à 2 · 10−2 près ? Pourquoi ? 4 Nombres premiers entre eux 1◦ Deux nombres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1. 2◦ Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. 5 Ensembles de nombres N⊂Z⊂D⊂Q⊂R N : ensemble des entiers naturels Z : ensemble des entiers relatifs p Q : ensemble des nombres rationnels (forme , où p q est un entier relatif et q un entier naturel non nul) p D : ensemble des nombres décimaux (forme n , où p 10 est un entier relatif et n un entier naturel) R − Q : nombres irrationnels. Exercice 5 √ Démontrez que 2 est irrationnel. √ On supposera pour cela que 2 peut s’écrire sous p forme d’une fraction irréductible , et on montrera q que cette supposition conduit à une contradiction. Nombres, opérations, ordre 6 Valeur absolue et distance 1◦ Soit une droite munie d’un repère (O; I). Pour tout nombre réel x, la valeur absolue de x, notée |x|, est la distance du point M d’abscisse x à l’origine O. ◦ 2 Pour deux nombres réels x et y, la distance entre les nombres x et y est le nombre réel |x − y|. Exercice 6 Résolvez les équations suivantes : 1◦ |x − 2, 5| = 4, 2 2◦ |x + 4| = 7, 2 3◦ 2 + |x + 1| = 3 4◦ |x − 2| = 5 5◦ |x − 0| = 3, 2 6◦ |x − (−4)| = 4 Exercice 7 Résolvez les équations suivantes : 1◦ |x| = 6 2◦ |x| = −7 3◦ | − x| = 2 1 1 5◦ 7|x| + = 2|x| + 2 4 4◦ 2|x| + 1 = 5|x| − 9, 5 ◦ 6 |x| = x Exercice 8 Déterminez et représentez les ensembles suivants. n o 1◦ A = x ∈ R | 0, 7 < |x| ≤ 1, 2 n o 2◦ B = x ∈ R | 1, 5 < |x − 3| < 4, 2 n o 3◦ C = x ∈ R | |x − 1, 8| < 4, 5 et |x − 1| ≥ 2, 3 n o 4◦ D = x ∈ R | |x − 4, 5| ≤ 11, 7 et |x| ≥ 7, 2 7 Exercices divers Exercice 9 Écrivez les encadrements d’un réel non décimal x fournis par chacun des renseignements suivants : 1◦ Les premiers chiffres du développement décimal illimité de x sont 2, 718. 2◦ En arrondissant x au 3e chiffre décimal, on a : x ≈ 2, 718. ◦ 3 Le plus petit décimal d’ordre 3 supérieur ou égal à x est 2, 719. ◦ 4 2, 718 6 est une valeur approchée à 8 · 10−4 près par excès de x. 5◦ Quelles sont les amplitudes de ces différents encadrements ? Y en a-t-il un qui est plus précis que les autres ? Lequel ? ◦ 6 En tenant compte de ces quatre encadrements, donnez une valeur approchée de x avec l’incertitude la plus petite possible. Fiche 1 Exercice 10 Vous faites mesurer la longueur l d’un mur par trois de vos camarades : Agathe, Bérénice et Chloé. Elles trouvent (en mètres) : 17, 2 < l < 17, 5. 1◦ Complétez au moyen de réels positifs les plus petits possibles les phrases suivantes : ◦ 2 17 est une valeur approchée de l à . . . près par défaut. 3◦ 17, 2 est une valeur approchée de l à . . . près par défaut. ◦ 4 17, 3 est une valeur approchée de l à . . . près. 5◦ Agathe vous téléphone la phrase a, Bérénice la phrase b, Chloé la phrase c. Quelle est celle qui vous fournit l’encadrement le plus précis de l ? Exercice 11 Pour déterminer le poids x d’un grain de riz, on met 500 grains dans un bol de 330 g ; le poids total est compris entre 335 g et 345 g. Déterminez un encadrement ainsi qu’une valeur approchée de x. Exercice 12 Soient x et y deux réels tels que : −1, 5 ≤ x ≤ −1, 2 et −3 ≤ y ≤ −2. 1◦ Encadrez la somme s = x + y. 2◦ Encadrez la différence d = y − x. Exercice 13 Soient x et y deux réels tels que 1, 5 < x < 2 et 2 < y < 3. 1◦ Encadrez le produit p = x · y. x 2◦ Encadrez le quotient q = . y Exercice 14 Soient x et y deux réels quelconques de l’intervalle x 2; 5 . Encadrez les réels x + y, x − y, x · y et . y Exercice 15 L’aire en cm2 d’un trapèze est donnée par la formule a+b S = h· , où a et b sont les longueurs des côtés 2 parallèles et h leur distance exprimées en cm. On sait que 3, 4 < a < 3, 5 6, 2 < b < 6, 3 2 < h < 2, 1 . Encadrez S. Exercice 16 On donne l’encadrement suivant du nombre π : 3, 141 < π < 3, 142. 1◦ Le périmètre L d’un cercle de rayon r est donné par la formule : L = 2πR. Déterminez un encadrement de L si r = 4. 2◦ L’aire A d’un disque de rayon r est donnée par : A = πr2 . Encadrez A si r = 4.