Rochambeau 2013. Enseignement spécifique

Rochambeau 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On considère la suite (un ) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,
!
un+1 = 2un .
1) On considère l’algorithme suivant
Variables :
n est un entier naturel
u est un réel positif
Initialisation :
Demander la valeur de n
Affecter à u la valeur 1
Traitement :
Pour i variant de 1 à n
√
Affecter à u la valeur 2u
Fin de Pour
Sortie :
Afficher u
a) Donner une valeur approchée à 10−4 près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on choisit n = 3.
b) Que permet de calculer cet algorithme ?
c) Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour certaines
valeurs de n.
n
1
5
10
15
20
Valeur affichée
1, 414 2
1, 915 2
1, 927 2
1, 999 9
1, 999 9
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (un ) ?
2) a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 < un ! 2.
b) Déterminer le sens de variation de la suite (un ).
c) Démontrer que la suite (un ) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
3) On considère la suite (vn ) définie, pour tout entier naturel n, par vn = ln un − ln 2.
1
et de premier terme v0 = − ln 2.
2
b) Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de vn en fonction de n, puis de un en fonction de n.
a) Démontrer que la suite (vn ) est la suite géométrique de raison
c) Déterminer la limite de la suite (un ).
d) Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie,
de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que un > 1, 999.
Variables :
n est un entier naturel
u est un réel
Initialisation :
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 1
Traitement :
Sortie :
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1
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
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EXERCICE 2 : corrigé
! √
√
1) a) La calculatrice fournit u1 = 2 = 1, 4142 . . ., u2 = 2 2 = 1, 6817 . . ., u3 =
" !
√
2 2 2 = 1, 8340 . . .
Quand n = 3, l’algortihme affiche la valeur de u3 c’est-à-dire 1, 8340 à 10−4 près.
b) L’algorithme demande un entier n et affiche la valeur de un (pour n ! 1).
c) Il semblerait que la suite (un ) soit strictement croissante et converge vers 2.
2) a) Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < un " 2.
• u0 = 1 et 0 < 1 " 2. Donc l’encadrement à démontrer est vrai quand n = 0.
• Soit n ! 0. Supposons que 0 < un " 2 et montrons que 0 < un+1 " 2.
0 < un " 2 ⇒ 0 < 2un " 4
!
√
√
√
⇒ 0 < 2un " 4 (par stricte croissance de la fonction x "→ x sur ]0, +∞[)
⇒ 0 < un+1 " 2.
On a montré par récurrence que
pour tout entier naturel n, 0 < un " 2.
b) Soit n un entier naturel.
2 ! un ⇒ 2un ! u2n (car un ! 0)
"
!
⇒ 2un ! u2n
"
⇒ un+1 ! un ( u2n = un car un ! 0).
Ainsi, pour tout entier naturel n, un+1 ! un et donc
la suite (un )n∈N est croissante.
c) La suite (un )n∈N est croissante et majorée par 2 et donc la suite (un )n∈N est convergente.
3) a) Soit n un entier naturel.
#!
$
1
2un − ln 2 = ln(2un ) − ln 2
2
1
1
1
= (ln 2 + ln(un )) − ln 2 = (ln 2 + vn + ln 2) − ln 2 = vn + ln 2 − ln 2
2
2
2
1
= vn .
2
vn+1 = ln (un+1 ) − ln 2 = ln
Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1 =
1
vn . De plus, v0 = ln(u0 ) − ln 2 = ln 1 − ln 2 = − ln 2.
2
On a montré que
la suite (vn ) est la suite géométrique de raison
1
et de premier terme v0 = − ln 2.
2
b) On sait alors que pour tout entier naturel n
% &n
ln 2
1
=− n.
vn = v0 × q = − ln 2 ×
2
2
n
Pour tout entier naturel n,
vn = ln(un ) − ln 2 ⇒ ln(un ) = ln 2 + vn ⇒ un = eln 2+vn ⇒ un = eln 2 × evn ⇒ un = 2 × evn
ln 2
et par suite, un = 2e− 2n .
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ln 2
Pour tout entier naturel n, un = 2e− 2n .
% &n
% &n
1
1
= 0. On en déduit que lim − ln 2 ×
= 0 puis
n→+∞
n→+∞ 2
2
%
% &n &
1
= lim eX = e0 = 1
lim exp − ln 2 ×
n→+∞
X→0
2
%
% &n &
1
= 2.
et donc lim un = lim 2 exp − ln 2 ×
n→+∞
n→+∞
2
c) Puisque −1 <
1
< 1, on sait que
2
lim
lim un = 2.
n→+∞
d) Algorithme.
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Variables :
n est un entier naturel
u est un réel
Initialisation :
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 1
Traitement :
Tant que u " 1, 999 faire
Affecter à n la valeur n
√+ 1
Affecter à u la valeur 2u
Fin Tant que
Sortie :
Afficher n
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