Cours de quadripoles (version impression)
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Les quadripôles I1 V1 I2 quadripôle Christian PETER & Pascal MASSON V2 I1 I2 ([email protected] [email protected]) Y2 Y1 V1 Y3 V2 =0 Edition 2008-2009 I1 V1 I1’ V1’ I2’ Q’ I1’ ’ V2’ V1’ ’ I2’ ’ Q ’’ I2 V2’ ’ V2 Q École Polytechnique Universitaire de Nice SophiaSophia-Antipolis Cycle Initial Polytechnique Christian PETER & Pascal MASSON 1645 route des Lucioles, 06410 BIOT Les quadripôles 1 Sommaire I. Généralités II. Le quadripôle en représentation impédance II.1. Les paramètres impédances II.2. Grandeurs fondamentales II.3. Schéma équivalent II.4. Association en série III. Le quadripôle en représentation admittance IV. Le quadripôle en représentation hybride V. Le quadripôle en représentation transfert VI. Lien entre tous les paramètres Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 2 I. Généralités I.1. Définition Un quadripôle est un composant ou un circuit (ensemble de composants) à deux entrées et deux sorties qui permet le transfert d’énergie entre deux dipôles. Les signaux électriques en entrée et en sortie peuvent être de nature différente (tension, courant, puissance) On distingue deux types de quadripôles : actifs et passifs I.2. Représentation I1 Par convention, on donne le sens positif aux courants qui pénètrent V1 I2 quadripôle V2 dans le quadripôle I.3. Origine On doit les premières études sur les quadripôles au mathématicien Allemand Franz BREISIG (1868 – 1934) dans les années 1920. Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 3 I. Généralités I.4. Intérêt de la représentation quadripôle La représentation quadripôle a pour principal intérêt de considérablement simplifier l’étude des circuits électroniques. Exemples : le filtre sélectif passe bas du 5ème ordre C1 C1 R VE R C Christian PETER & Pascal MASSON R C2 R R C2 Les quadripôles VS 4 I. Généralités I.5. Rappel sur les matrices 2×2 Multiplication Y1 = a.X1 + b.X 2 Y2 = c.X1 + d.X 2 Y1 a b X1 Y = c d . X 2 2 a b e f a.e + b.g a.f + b.h c d .g h = c.e + d.g c.f + d.h ! Ce produit n’est pas commutatif. Inversion X1 a b X = c d 2 −1 Y1 d − b Y1 1 . = . Y2 a.d − b.c − c a Y2 Christian PETER & Pascal MASSON avec a.d − b.c ≠ 0 Les quadripôles 5 II. Représentation impédance II.1. Les paramètres impédances Définition On exprime les tensions en fonction des courants. Les éléments de la matrice ont la dimension d’impédances (résistances). I1 V1 I2 quadripôle V2 Représentation matricielle V1 Z11 Z12 I1 . V = Z 2 21 Z22 I2 Christian PETER & Pascal MASSON V1 = Z11.I1 + Z12 .I2 V2 = Z21.I1 + Z22 .I2 Les quadripôles 6 II. Représentation impédance II.1. Les paramètres impédances Exemple : association de résistances en étoile (1ère méthode) I1 I2 = 0 R1 V1 I1 R3 R2 V2 V2 V1 I2 Z11 Z12 Z Z 22 21 V2 I1 Détermination de Z11 : Si I2 = 0 alors V1 = Z11.I1 V Z11 = 1 = R1 + R2 I1 I2 = 0 Détermination de Z21 : Si I2 = 0 alors V2 = Z21.I1 Z21 = V2 = I1 I2 = 0 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 7 II. Représentation impédance II.1. Les paramètres impédances Exemple : association de résistances en étoile (1ère méthode) I1 = 0 I2 R1 V1 I1 R3 V1 R2 V2 V1 I2 Z11 Z12 Z Z 22 21 V2 I2 Détermination de Z12 : Si I1 = 0 alors V1 = Z12.I2 V Z12 = 1 I 2 I1 = 0 Détermination de Z22 : Si I1 = 0 alors V2 = Z22.I2 Z22 = V2 = I2 I1 = 0 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 8 II. Représentation impédance II.1. Les paramètres impédances Exemple : association de résistances en étoile (1ère méthode) I1 I2 R1 V1 I1 R3 R2 V2 V1 I2 Z11 Z12 Z Z 22 21 V2 I1 + I2 Écriture de la matrice : Z11 Z12 R1 + R2 = Z 21 Z22 R2 Christian PETER & Pascal MASSON R2 + R3 R2 Les quadripôles 9 II. Représentation impédance II.1. Les paramètres impédances Exemple : association de résistances en étoile (2ème méthode) I1 I2 R1 V1 1 I1 R3 R2 2 V2 V1 I2 Z11 Z12 Z Z 22 21 V2 I1 + I2 Autre méthode : on écrit la loi des mailles en entrée et en sortie: 1 V1 = R1 .I1 + R2 .(I1 + I2 ) = (R1 + R2 ).I1 + R2 .I2 = Z11.I1 + Z12 .I2 2 V2 = Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 10 II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Générateur I1 Charge I2 RG EG V1 quadripôle V2 RC Quand le quadripôle est attaqué par un générateur (EG, RG) et qu’il est fermé sur une charge (RC), il existe un état électrique du quadripôle qui dépend du générateur et de la charge. Il est possible de définir des grandeurs caractéristiques comme l’impédance d’entrée, l’impédance de sortie, les gains en courant, tension et puissance. Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 11 II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Impédance d’entrée RE RE I1 I2 RG EG V1 quadripôle V2 RC RE est l’impédance vue en entrée quand la sortie est chargée par une impédance RC. La matrice impédance permet d’écrire : V1 = Z11.I1 + Z12 .I2 V2 = Z21.I1 + Z22 .I2 = −RC .I2 V Z .Z RE = 1 = Z11 − 12 21 I1 Z22 + RC Si le quadripôle n’est pas chargé (RC → ∞) alors RE = Z11. Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 12 II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Impédance de sortie RS I1 RS I2 RG EG V1 quadripôle V2 RC RS est l’impédance vue en sortie quand l’entrée est fermée par l’impédance du générateur RG. La matrice impédance permet d’écrire : V1 = Z11.I1 + Z12 .I2 = −RG .I1 V2 = Z21.I1 + Z22 .I2 Christian PETER & Pascal MASSON RS = V2 = I2 Les quadripôles 13 II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Gain en courant Ai I1 I2 RG EG V1 V2 = Z21.I1 + Z22 .I2 = − RC.I2 Christian PETER & Pascal MASSON RE V2 RC I2 Ai = = I1 Les quadripôles 14 II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Gain en tension AV I1 I2 RG EG Av = V1 RE V2 RC V2 = V1 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 15 II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Gain composite en tension AVG I1 I2 RG EG V1 RE RC V2 V2 V2 V1 RE A vg = = . = Av. EG V1 EG RE + R G Si le quadripôle n’est pas chargé (RC → ∞) alors : Christian PETER & Pascal MASSON A vg = RE Z21 RE + RG Z11 Les quadripôles 16 II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Gain composite en courant AiG I1 IG RG V1 I2 RE V2 RC I2 I2 I1 RG A ig = = . = Ai . IG I1 IG R G + RE Ce gain n’a de sens que si la charge est présente : I2 ≠ 0 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 17 II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales I1 I2 RGS RG EG V1 RE EGS V2 RC Pour cette représentation équivalente du quadripôle on a : V1 = Z11.I1 + Z12 .I2 V2 = Z21.I1 + Z22.I2 V1 = EG − RG .I1 V2 = EGS + RGS .I2 V1 = Z11.I1 + Z12 .I2 = EG − RG .I1 avec : E − Z12 .I2 Z21 Z .Z V2 = Z21. G + Z22.I2 = .EG + Z22 − 12 21 .I2 Z11 + RG Z11 + RG Z11 + RG Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 18 II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales I1 I2 RGS RG EG V1 RE EGS V2 RC Pour cette représentation équivalente du quadripôle on a : Z12 .Z21 R = Z − 11 E Z22 + RC Z12 .Z21 = = − R R Z GS S 22 Z11 + RG Z21 EGS = Z + R .EG = A vg .EG 11 G Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 19 II. Représentation impédance II.3. Schéma équivalent Il est parfois commode de remplacer le quadripôle étudié par son schéma équivalent donné par la matrice du quadripôle. La connaissance de ce schéma équivalent est particulièrement utile lorsque le réseau réel n’est pas connu et que la détermination des paramètres résulte de mesures. I1 I1 V1 Z11 Z22 I2 I2 Z11 Z12 Z Z 22 21 V2 V1 V2 Z12.I2 Christian PETER & Pascal MASSON Z21.I1 Les quadripôles 20 II. Représentation impédance II.3. Schéma équivalent Il est parfois commode de remplacer le quadripôle étudié par son schéma équivalent donné par la matrice du quadripôle. La connaissance de ce schéma équivalent est particulièrement utile lorsque le réseau réel n’est pas connu et que la détermination des paramètres résulte de mesures. Schéma équivalent en étoile (en T) uniquement si Z12 = Z21 I1 I2 R1 V1 avec : R3 R2 I1 + I2 Christian PETER & Pascal MASSON V2 Z11 Z12 R1 + R2 = Z 21 Z22 R2 Les quadripôles R2 + R3 R2 21 II. Représentation impédance II.4. Association série On utilise les I1 matrices I1’ impédances [Z’] et [Z’’] des deux V1’ quadripôles associés. V1 ' Z11 ' Z12 ' I1 ' V ' = Z ' Z '.I ' 22 2 2 21 et V1 Comme I1 = I1 ' = I1 ' ' I2 = I2 ' = I2 ' ' Q’ I2’ I I2’ ’ ’’ 1 Q ’’ I2 V2’ I1’ V1’ ’ V1 ' ' Z11 ' ' Z12 ' ' I1 ' ' V ' ' = Z ' ' Z ' '.I ' ' 22 2 2 21 I2’ V2 V2’ ’ Q et V1 = V1 '+ V1 ' ' V2 = V2 '+ V2 ' ' V1 V1 ' V1 ' ' I1 ' I1 ' ' I1 I1 + = [Z']. + [Z' ']. = ([Z'] + [Z' ']). = [Z]. alors : = V2 V2 ' V2 ' ' I2 ' I2 ' ' I2 I2 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 22 III. Représentation admittance III.1. Les paramètres admittances Définition On exprime les courants en fonction des tensions. Les éléments de la matrice ont la dimension d’admittances. I1 V1 I2 quadripôle V2 Représentation matricielle I1 Y11 I = Y 2 21 Y12 V1 . Y22 V2 Christian PETER & Pascal MASSON I1 = Y11.V1 + Y12 .V2 I2 = Y21.V1 + Y22 .V2 Les quadripôles 23 III. Représentation admittance III.1. Les paramètres admittances Exemple : association de résistances en triangle (1ère méthode) I1 I2 I1 Y2 V1 Y1 Y3 V2 V1 =0 I2 Y11 Y 21 Y12 Y22 V2 Détermination de Y11 : Si V2 = 0 alors I1 = Y11.V1 I Y11 = 1 = Y1 + Y2 V1 V2 = 0 Détermination de Y21 : Si V2 = 0 alors I2 = Y21.V1 I Y21 = 2 = V1 V2 = 0 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 24 III. Représentation admittance III.1. Les paramètres admittances Exemple : association de résistances en triangle (1ère méthode) I1 I2 I1 Y2 Y1 V1 Y3 V2 V1 =0 I2 Y11 Y 21 Y12 Y22 V2 Détermination de Y12 : Si V1 = 0 alors I1 = Y12.V2 I Y12 = 1 = V2 V1 = 0 Détermination de Y22 : Si V1 = 0 alors I2 = Y22.V2 I Y22 = 2 = V2 V1 = 0 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 25 III. Représentation admittance III.1. Les paramètres admittances Exemple : association de résistances en triangle (1ère méthode) I1 I2 I1 Y2 V1 Y1 Y3 V2 V1 I2 Y11 Y 21 Y12 Y22 V2 Écriture de la matrice : Y11 Y 21 Y12 Y1 + Y2 = Y22 − Y2 Christian PETER & Pascal MASSON − Y2 Y2 + Y3 Les quadripôles 26 III. Représentation admittance III.1. Les paramètres admittances Exemple : association de résistances en triangle (2ème méthode) I1 1 2 I2 I1 Y2 V1 Y1 Y3 V2 V1 I2 Y11 Y 21 Y12 Y22 V2 Autre méthode : on écrit la loi des noeuds en entrée et en sortie: 1 I1 = Y1 .V1 + Y2 .(V1 − V2 ) = (Y1 + Y2 ).V1 − Y2 .V2 = Y11.V1 + Y12 .V2 2 I2 = Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 27 III. Représentation admittance III.2. Schéma équivalent Schéma équivalent avec admittances et sources de courant I1 I1 I2 Y11 Y 21 V1 Y12 Y22 I2 Y11 Y22 V1 V2 V2 Y12.V2 Schéma équivalent en triangle (en π) uniquement si Y12 = Y21. I1 I2 avec : Y2 V1 Y21.V1 Y1 Y3 Christian PETER & Pascal MASSON V2 Y11 Y 21 Y12 Y1 + Y2 = Y22 − Y2 Les quadripôles − Y2 Y2 + Y3 28 III. Représentation admittance III.3. Association parallèle On utilise les I1’ matrices admittances [Y’] et [Y’’] des deux I1 quadripôles associés. I1 ' Y11 ' Y12 ' V1 ' I ' = Y ' Y '. V ' 22 2 2 21 et V1 Comme Q’ I1’ ’ V1’ ’ I1 ' ' Y11 ' ' Y12 ' ' V1 ' ' I ' ' = Y ' ' Y ' '. V ' ' 22 2 2 21 I1 = I1 '+I1 ' ' I2 = I2 '+ I2 ' ' V1’ I2’ V2’ I ’’ 2 Q ’’ I2 V2 V2’ ’ Q et V1 = V1 ' = V1 ' ' V2 = V2 ' = V2 ' ' I1 I1 ' I1 ' ' V1 ' V1 ' ' V1 V1 = [Y ']. + [Y ' ']. = ([Y '] + [Y ' ']). = [Y ]. alors : = + I2 I2 ' I2 ' ' V2 ' V2 ' ' V2 V2 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 29 III. Représentation admittance III.4. Lien entre les paramètres impédances et admittances Pour des raisons de simplicité, la détermination de la matrice admittance peut passer par la détermination de la matrice impédance . V1 Z11 Z12 I1 . V = Z 2 21 Z22 I2 avec Y11 Y 21 I1 Y11 I = Y 2 21 Y12 V1 Z11 Z12 . = Y22 V2 Z21 Z22 Y12 Z22 1 = . Y22 Z11.Z22 − Z12 .Z21 − Z12 Christian PETER & Pascal MASSON −1 V1 . V2 − Z21 Z11 Les quadripôles 30 III. Représentation admittance III.4. Lien entre les paramètres impédances et admittances Exemple : association de résistances en étoile I1 I2 Y1 = 1/R1 V1 I1 Y3 = 1/R3 Y2 = 1/R2 V2 V1 =0 I2 Y11 Y 21 Y12 Y22 V2 I1 + I2 Détermination de Y11 : Si V2 = 0 alors I1 = Y11.V1 (Y + Y3 ).Y1 = I R 2 + R3 Y11 = 1 = 2 V1 V2 = 0 Y1 + Y2 + Y3 R1.R2 + R1.R3 + R2 .R3 Détermination de Y21 : Si V2 = 0 alors I2 = Y21.V1 I Y21 = 2 = V1 V2 = 0 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 31 III. Représentation admittance III.4. Lien entre les paramètres impédances et admittances Exemple : association de résistances en étoile I1 I2 Y1 = 1/R1 V1 V I1 Y3 = 1/R3 Y2 = 1/R2 V2 V1 I2 Y11 Y 21 Y12 Y22 V2 I1 + I2 La matrice admittance s’obtient plus rapidement à partir de la matrice impédance (plus simple à déterminer) : Y11 Y 21 Y12 R1 + R2 = Y22 R2 R2 + R3 R2 Christian PETER & Pascal MASSON −1 = R + R3 1 . 2 R1.R2 + R1.R3 + R2 .R3 − R2 Les quadripôles − R2 R1 + R2 32 IV. Représentation hybride IV.1. Les paramètres hybrides Définition On exprime le courant de sortie et la tension d’entrée en fonction du courant d’entrée et de la tension de sortie. C’est une représentation utilisée pour l’étude des transistors. I1 V1 I2 quadripôle V2 Représentation matricielle V1 h11 I = h 2 21 h12 I1 . h 22 V2 V1 = h11.I1 + h12 .V2 I2 = h21.I1 + h 22 .V2 h11 est une impédance, h22 une admittance, h12 et h21 sont des nombres. Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 33 IV. Représentation hybride IV.1. Les paramètres hybrides Exemple : association de résistances en triangle (1ère méthode) I1 I2 I1 R2 V1 R1 R3 V2 V1 =0 I2 h11 h 21 h12 h 22 V2 Détermination de h11 : Si V2 = 0 alors V1 = h11.I1 V R .R h11 = 1 = 1 2 I1 V2 = 0 R1 + R2 Détermination de h21 (gain en courant): Si V2 = 0 alors I2 = h21.I1 I h21 = 2 = I1 V2 = 0 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 34 IV. Représentation hybride IV.1. Les paramètres hybrides Exemple : association de résistances en triangle (1ère méthode) I1 = 0 I2 I1 R2 V1 R1 R3 V2 V1 I2 h11 h 21 h12 h 22 V2 Détermination de h12 (gain en tension inverse): Si I1 = 0 alors V1 = h12.V2 h12 = V1 = V2 I1 = 0 Détermination de h22 : Si I1 = 0 alors I2 = h22.V2 I h22 = 2 = V2 I1 = 0 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 35 IV. Représentation hybride IV.1. Les paramètres hybrides Exemple : association de résistances en triangle (1ère méthode) I1 I2 I1 R2 V1 R1 R3 V2 I2 h11 h 21 V1 h12 h 22 V2 Écriture de la matrice : h11 h 21 R1.R2 h12 R1 + R2 = h22 − R1 R1 + R2 Christian PETER & Pascal MASSON R1 R1 + R2 R1 + R2 + R3 (R1 + R2 ).R3 Les quadripôles 36 IV. Représentation hybride IV.1. Les paramètres hybrides Exemple : association de résistances en triangle (2ème méthode) I1 2 I2 I1 R2 V1 1 R1 R3 V2 V1 I2 h11 h 21 h12 h 22 V2 On écrit la loi des mailles en entrée et des noeuds en sortie: 1 V − V1 V1 = R1. I1 + 2 R2 2 I2 = Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 37 IV. Représentation hybride IV.2. Les grandeurs fondamentales Impédance d’entrée RE RE I1 I2 RG EG V1 quadripôle V2 RC RE est l’impédance vue en entrée quand la sortie est chargée par une impédance RC. La matrice impédance permet d’écrire : V1 = h11.I1 + h12 .V2 I = h .I + h .V = − V2 21 1 22 2 2 RC Christian PETER & Pascal MASSON V h .h RE = 1 = h11 − 12 21 1 I1 h22 + RC Les quadripôles 38 IV. Représentation hybride IV.2. Les grandeurs fondamentales Impédance de sortie RS I1 RS I2 RG EG V1 quadripôle V2 RC RS est l’impédance vue en sortie quand l’entrée est fermée par l’impédance du générateur RG. La matrice impédance permet d’écrire : V1 = h11.I1 + h12 .V2 = − RG .I1 I2 = h21.I1 + h 22 .V2 Christian PETER & Pascal MASSON RS = V2 = I2 Les quadripôles 39 IV. Représentation hybride IV.2. Les grandeurs fondamentales Gain en courant Ai I1 I2 RG EG V1 RE I2 = h 21.I1 + h22 .V2 = h 21.I1 − h22 .RC .I2 Christian PETER & Pascal MASSON V2 RC I h21 Ai = 2 = I1 1 + h 22 .RC Les quadripôles 40 IV. Représentation hybride IV.2. Les grandeurs fondamentales Gain en tension AV I1 I2 RG EG Av = V1 RE V2 RC V2 = V1 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 41 IV. Représentation hybride IV.3. Schéma équivalent I1 I1 V1 h11 I2 I2 h11 h 21 h12 h 22 h22 V2 V1 V2 h12.V2 h21.I1 Le circuit équivalent est composé d’une impédance (h11), d’une admittance (h22), d’une source de tension (h12.V2) et d’une source de courant (h21.I1). Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 42 IV. Représentation hybride IV.4. Cas particulier des quadripôles non linéaires Les composants actifs utilisés en électronique sont très souvent non linéaire. C’est le cas notamment des transistors bipolaires et MOS. Les valeurs des éléments de la matrice du quadripôle équivalent ne sont valables que pour le point de fonctionnement : ils dépendent des potentiels et courants en entrée du quadripôle. Le quadripôle équivalent n’est utilisable qu’en régime petit signal (petit signal alternatif ajouté à la polarisation continue). On obtient les paramètres de la matrice par la connaissance des équations qui régissent le fonctionnement du composant ou par l’utilisation des caractéristiques (courbes) de ce composant. Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 43 IV. Représentation hybride IV.4. Cas particulier des quadripôles non linéaires Exemple : le transistor bipolaire en régime petit signal IB + iB C VBE + vBE iB IC + iC B E h11 iC h22 VCE vBE + vCE vCE h12.vCE h21.iB i et v correspondent à de petites variations de I et V La matrice hybride s’écrit : iB vBE iC h11 h 21 h12 h 22 Christian PETER & Pascal MASSON vCE vBE = h11.iB + h12 .vCE iC = h 21.iB + h22 .vCE Les quadripôles 44 IV. Représentation hybride IV.4. Cas particulier des quadripôles non linéaires Exemple : le transistor bipolaire en régime petit signal On détermine le paramètre h11 à partir IB de la courbe IB(VBE) qui correspond ici à la caractéristique d’une diode. VCE est considéré comme constant. IB-P 0 VBE-P VBE h11 est égale à l’inverse de la pente de cette courbe au point de polarisation : h11 = ∂VBE ∂IB V = V BE BE _ P Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 45 IV. Représentation hybride IV.5. Association série parallèle I1 On utilise les matrices hybrides I1’ [h’] et [h’’] des deux quadripôles V1’ associés. V1 ' h11 ' h12 ' I1 ' I ' = h ' h '. V ' 22 2 2 21 et Comme I1 = I1 ' = I1 ' ' V2 = V2 ' = V2 ' ' Q’ V2’ I1’ V1 I1’ ’ V1’ ’ V1 ' ' h11 ' ' h12 ' ' I1 ' ' I ' ' = h ' ' h ' '. V ' ' 22 2 2 21 I2’ I ’’ 2 Q ’’ I2 V2 V2’ ’ Q et V1 = V1 '+ V1 ' ' I2 = I2 '+ I2 ' ' V1 V1 ' V1 ' ' I1 ' I1 ' ' I1 I1 = [h']. + [h' ']. = ([h'] + [h' ']). = [h ]. alors : = + I2 I2 ' I2 ' ' V2 ' V2 ' ' V2 V2 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 46 V. Représentation transfert V.1. Les paramètres transferts Définition On exprime les grandeurs de sortie en fonction des grandeurs d’entrée I1 V1 I2 quadripôle V2 Représentation matricielle V2 T11 T12 V1 . I = T T − I 22 1 2 21 V2 = T11.V1 − T12 .I1 I2 = T21.V1 − T22 .I1 T12 est une impédance, T21 une admittance, T11 et T22 sont des nombres. Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 47 V. Représentation transfert V.1. Les paramètres transferts Exemple : association de résistances en étoile I1 = 0 I2 R1 I1 R3 R2 V1 V2 V1 I2 T11 T12 T T 22 21 V2 I1 + I2 Détermination de T11 (gain en tension) : Si I1 = 0 alors V2 = T11.V1 T11 = V2 R + R3 = 2 V1 I1 = 0 R2 Détermination de T21 : Si I1 = 0 alors I2 = T21.V1 I T21 = 2 = V1 I1 = 0 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 48 V. Représentation transfert V.1. Les paramètres transferts Exemple : association de résistances en étoile I1 I2 R1 R3 R2 V1 I1 V2 V1 =0 I2 T11 T12 T T 22 21 V2 I1 + I2 Détermination de T12 : Si V1 = 0 alors V2 = T12.I1 V T12 = − 2 = I1 V1 = 0 Détermination de T22 (gain en courant) : Si V1 = 0 alors I2 = T22.I1 I T22 = − 2 = I1 V1 = 0 Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 49 V. Représentation transfert V.1. Les paramètres transferts Exemple : association de résistances en étoile I1 I2 R1 V1 I1 R3 R2 V2 I2 T11 T12 T T 22 21 V1 V2 I1 + I2 Écriture de la matrice : R3 1 + T11 T12 R2 = T T 22 1 21 R2 Christian PETER & Pascal MASSON R .R R1 + R2 + 1 3 R2 R 1+ 1 R2 Les quadripôles 50 V. Représentation transfert V.1. Association en cascade (en chaîne) I1 V1 I1’ V1’ I1’ ’ I2’ Q’ I2’ ’ Q ’’ V2’ V1’ ’ I2 V2’ ’ V2 Q On utilise les matrices de transfert [T’] et [T’’] des deux quadripôles associés. V2 ' T11 ' T12 ' V1 ' I ' = T ' T '. − I ' 22 1 2 21 et V2 ' ' T11 ' ' T12 ' ' V1 ' ' I ' ' = T ' ' T ' '. − I ' ' 22 1 2 21 Comme V1’’ = V2’ et I1’’ = I2’ alors : V2 T11 ' ' T12 ' ' V2 ' T11 ' ' T12 ' ' T11 ' T12 ' V1 I = T ' ' T ' '. I ' = T ' ' T ' '.T ' T '. − I 22 2 21 22 21 22 1 2 21 La matrice de transfert du quadripôle équivalent est donc égale au produit de la deuxième matrice, [T’’], par la première, [T’]. Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles 51 V. Représentation transfert V.2. Association en cascade (en chaîne) Exemple : association de résistances en étoile I1 T1 T2 T3 R1 I2 I1 R3 R2 V1 V2 V1 I2 T11 T12 T T 22 21 V2 I1 + I2 On décompose l’association de résistances en étoile en 3 quadripôles : [T1 ] = Christian PETER & Pascal MASSON [T2 ] = [T3 ] = Les quadripôles 52 VI. Lien entre tous les paramètres T Z Z11 Z21 1Z 21 Y − ∆Z Z21 − Z22 Z21 T T11 T12 T 21 T22 Z T11 T21 ∆T T21 1T T22 T21 21 Y T22 T12 −1 T 12 − ∆T T12 T11 T12 Z22 ∆Z − Z12 ∆Z − Z 21 ∆Z Z11 ∆Z h T12 T22 −1 T 22 ∆T T22 T21 T22 ∆Z Z22 − Z 21 Z22 Z11 Z12 Z 21 Z22 Christian PETER & Pascal MASSON Z12 Z22 1 Z22 − Y22 Y21 − ∆Y Y 21 Y22 ∆Y − Y ∆Y 21 Y11 Y 21 1 Y11 Y 21 Y11 h 1 Y21 − ∆h h 21 Y11 Y21 − h 22 h21 − Y12 ∆Y Y11 ∆Y ∆h h22 − h 21 h 22 Y12 Y22 1 h11 h 21 h11 − Y12 Y11 ∆Y Y11 h11 h 21 Les quadripôles − h11 h 21 − 1 h 21 h12 h 22 1 h 22 − h12 h11 ∆h h11 h12 h22 53
