10 Calculs dans le triangle rectangle De nombreuses situations de la vie professionnelle nécessitent le calcul de longueurs ou d’angles. Citons par exemple : “– pour une charpente, le calcul de la longueur des chevrons ou de l’angle d’inclinaison de la toiture ; – pour une machine à commande numérique, le calcul des données à fournir de manière à obtenir le déplacement désiré de l’outil ; – pour l’usinage d’une pièce, le calcul de l’angle d’attaque de l’outil. ” Ce chapitre va vous fournir les moyens mathématiques de résoudre certains de ces problèmes. Mots-clés du chapitre Vous connaissez quelques propriétés géométriques des triangles. Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus spécialement au triangle rectangle. Vous allez consolider vos connaissances des classes antérieures en utilisant le théorème de Pythagore et sa réciproque ou les rapports trigonométriques d’un angle aigu : cosinus, sinus, tangente. Pour cela, il vous faudra savoir reconnaître dans un triangle rectangle : l’hypoténuse, le côté adjacent à un angle aigu, le côté opposé à un angle aigu. 117 À LA DÉCOUVERTE DE... Activité 1 Comment utiliser le théorème de Pythagore ? La figure ci-contre représente schématiquement une partie de charpente (cotes en mètre). P ? M 4 6 N Comment calculer la longueur du chevron PM ? Première partie 1. Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 8 cm, AC = 6 cm. Vérifier à l’aide du double décimètre que BC = 10 cm. 2. Calculer BC2, puis AB2 + AC2. Comparer les résultats obtenus. L’égalité obtenue ne vous rappelle-t-elle pas un théorème connu ? Deuxième partie On se propose de calculer la longueur du chevron MP (figure ci-dessus). On sait que le triangle MNP est rectangle en N. 1. Quelle est l’hypoténuse du triangle MNP ? 2. Écrire la relation de Pythagore. 3. En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, calculer MP2. 4. En utilisant la touche M de la calculatrice (voir page 201), calculer MP (valeur arrondie au cm). Activité 2 Comment utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ? Pour construire des murs perpendiculaires, les maçons égyptiens utilisaient une corde à 13 nœuds : 1 nœud à chaque extrémité et 11 nœuds à égale distance l’un de l’autre. Avec cette corde, le maçon réalise un triangle dont les côtés ont pour longueur 3 ; 4 et 5, en choisissant comme unité de longueur la distance entre deux nœuds. A B Les murs ainsi construits sont-ils « à l’équerre » ? C 118 10. Calculs dans le triangle rectangle 1. Construire un triangle ABC tel que AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm. À l’aide d’un rapporteur, mesurer l’angle BAC . 2. Comparer BC2 et AB2 + AC2. Activité 3 Comment utiliser les relations trigonométriques dans le triangle rectangle ? verticale B face 70 m 100 m C horizontale ? A Un alpiniste doit, pour atteindre le sommet, gravir une dernière face plane recouverte de glace. Son altimètre lui indique que, s’il parcourt 100 m, il gagne en altitude 70 m. Cette situation est illustrée par la figure de droite. • Quelle est la mesure de l’angle d’inclinaison C de la face ? • L’altitude du sommet est de 8 000 m ; l’altimètre indique 7 875 m. Quelle distance reste-t-il à parcourir à l’alpiniste ? L’étude suivante va donner les réponses à ces questions. 1. Dans le tableau ci-contre, on note d la distance parcourue par l’alpiniste et d′ le gain en altitude correspondant. d (en m) 20 d’ (en m) 50 100 220 70 Sachant que ce tableau est un tableau de proportionnalité, le reproduire et le compléter. Quelle est la valeur commune des rapports d′′ ? d d′ 2. La valeur commune des rapports est représentée dans le triangle ABC rectangle d en A par le rapport AB ; elle dépend de l’angle C . On l’appelle sinus de l’angle C BC AB et on écrit sin C = . En utilisant la calculatrice (voir page 201), calculer la valeur BC arrondie au degré de la mesure de l’angle C . 3. Quelle distance reste-t-il à parcourir à l’alpiniste ? On calculera d’abord combien l’alpiniste doit gagner en altitude. 119 Solutions pages suivantes ... S N O I T U ... SSOLUTIONS OL DES ACTIVITÉS Activité 1 Comment utiliser le théorème de Pythagore ? Première partie y C 1. On construit un angle droit xAy et, sur les demi-droites [Ax) et [Ay), on place les points B et C tels que AB = 8 cm et AC = 6 cm. 1 La figure est ici faite à l’échelle . 2 2. BC2 = 100. 6 cm AB2 + AC2 = 82 + 62 = 64 + 36 2 2 B A AB2 + AC2 = 100. x 2 8 cm Donc BC = AB + AC . L’égalité obtenue nous rappelle le théorème de Pythagore : si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2. Deuxième partie 1. L’hypoténuse d’un triangle rectangle P est le côté opposé à l’angle droit ; l’hypothénuse du triangle MNP est MP. 2. MP2 = NP2 + NM2. 4 3. MP2 = 42 + 62, soit MP2 = 16 + 36, d’où MP2 = 52. 4. À la calculatrice : 2nd M M 52 52 ) M ENTER = 6 N EXE On lit 7,2111… d’où MP " 7,21 (valeur arrondie au cm). L’utilisation du théorème de Pythagore va nous permettre, dans un triangle rectangle dont seuls deux côtés sont connus, de calculer le côté inconnu. Activité 2 Comment utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ? 1. On constate, aux incertitudes de mesure près, que BAC = 90°. 2. BC2 = 52 = 25. AB2 + AC2 = 32 + 42 = 9 + 16, soit AB2 + AC2 = 25. 120 10. Calculs dans le triangle rectangle DE DÉCOUVERTE Ainsi : BC2 = AB2 + AC2. Le triangle ABC est tel que BC2 = AB2 + AC2 et on constate qu’il est rectangle en A. Plus généralement, si un triangle ABC est tel que BC2 = AB2 + AC2, alors il est rectangle en A. Cet énoncé est appelé réciproque du théorème de Pythagore. Ce résultat nous permet d’affirmer que les murs construits en utilisant la corde à 13 nœuds sont bien perpendiculaires. Activité 3 Comment utiliser les relations trigonométriques dans le triangle rectangle ? 1. Le tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient 70 soit 0,7. 100 20 50 100 220 d’ (en m) 14 35 70 d (en m) 154 × 0,7 La valeur commune des rapports d′ est 0,7. d 2. On utilise la calculatrice en mode degré (voir p 201). 2nd SIN-1 0.7 On lit : 44,42 …, ) donc ENTER = ; SECONDE Asn 0.7 EXE C ; 44° . La calculatrice permet d’obtenir la mesure d’un angle aigu connaissant le cosinus, le sinus ou la tangente de cet angle. 3. L’alpiniste doit gagner en altitude 8 000 – 7 875, c’est-à-dire 125 m. • On peut utiliser le tableau de proportionnalité où x représente la distance inconnue à parcourir. Ainsi 125 = 70 = 0,7 x 100 d x 100 125 70 d’ d’où 125 = 0,7 x ; x = 125 ; x " 179. 0,7 L’alpiniste devra parcourir 179 mètres. B • On peut aussi représenter la situation par le triangle ABC ci-contre. Dans ce triangle : ? sin C = AB , soit 0,7 = 125 ; BC BC 125 d’où BC = ; BC " 179. 0,7 C 125 m A Dans un triangle rectangle, les relations trigonométriques permettent de calculer certains éléments (angles ou côtés). 121 L E I NT E S ESSENTIEL L’ S L’E • Propriétés élémentaires A Si le triangle ABC est rectangle en A, alors : • A = 90° et B + C = 90°. B C 0 • le cercle circonscrit au triangle est le cercle de diamètre [BC]. C • Théorème de Pythagore hy Si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC 2 = AB 2 + AC 2. A po té n us e B • Réciproque du théorème de Pythagore Si dans un triangle ABC, BC 2 = AB 2 + AC 2, alors le triangle est rectangle en A. • Relations trigonométriques dans le triangle rectangle Dans le triangle ABC rectangle en A, – le cosinus de l’angle C est : cos C = mesure du côté adjacent AC = mesure de l’hypoténuse BC B – le sinus de l’angle C est : e us én ot mesure du côté opposé AB sin C = = mesure de l’hypoténuse BC p Hy C A Côté adjacent – la tangente de l’angle C est : tan C = Côté opposé mesure du côté opposé AB = mesure du côté adjacent AC Le cosinus, le sinus, la tangente de l’angle C sont les rapports trigonométriques de cet angle. 122 10. Calculs dans le triangle rectangle EXERCICES ET PROBLÈMES EXERCICES Théorème de Pythagore C 1 Un triangle ABC est rectangle en A ; AB = 3,5 cm et AC = 2 cm. Calculer BC. QCM ? 2 A B 3,5 Corrigé • l’hypoténuse est [BC]. • BC2 = AB2 + AC2. Le triangle ABC est rectangle en A ; ABC = 35°. C BlCl2 . • BC2 = (3,5)2 + 22 ; BC = kl • Calcul de BC2, puis de BC : A 3.5 x2 35˚ B 2nd Dans chaque cas, donner la bonne réponse. + 2 x2 ENTER = ; ENTER = 2nd ANS ) 3.5 x2 + 2 x2 EXE ; Ans EXE 1. L’angle droit est l’angle : a. A b. B À l’affichage on lit : 4,03… d’où BC " 4 cm (valeur arrondie au dixième). c. C 2. L’hypoténuse est le côté : a. AB b. BC 2nd ANS et Ans permettent de rappeler le c. AC résultat obtenu au calcul précédent. 3. L’angle C a pour mesure : a. 25° b. 45° c. 55° 2 Un triangle IJK est rectangle en I ; IJ = 3,2 cm et JK = 4 cm. Calculer IK. 4. Le théorème de Pythagore s’écrit : a. BC2 + AB2 = AC2 b. AB2 + AC2 = BC2 I ? 3,2 J Corrigé c. BC2+ AC2 = AB2 K 4 • L’hypoténuse est JK. • JK2 = IJ2 + IK2. • 42 = (3,2)2 + IK2 ; Point méthode IK2 = 42 – (3,2)2 ; Pour calculer la mesure d’un côté dans un triangle rectangle : . • Calcul de IK2, puis de IK : • on repère l’hypoténuse ; 4 x2 • on écrit le théorème de Pythagore ; • on reporte les valeurs connues et on isole le terme inconnu ; 2nd • on termine le calcul à l’aide de la calculatrice. 4 x2 – 3.2 x2 2nd ANS – 3.2 x2 ENTER = ) ENTER = EXE ; On lit : 2,4 ; IK = 2,4 cm. 123 ; Ans EXE 3 Le triangle ABC est rectangle en A. Calculer BC (valeur arrondie au mm). • on calcule le carré de la mesure de ce plus grand côté ; C • on calcule les carrés des mesures des autres côtés et on ajoute ces carrés ; ? 1,5 cm A 2,5 cm • on compare les résultats obtenus et on conclut : – si les résultats obtenus sont égaux, alors le triangle est rectangle (l’hypoténuse est le plus grand côté) ; – si les résultats obtenus sont différents, alors le triangle n’est pas rectangle. B 4 Le triangle ABC est rectangle en A. Calculer AC (valeur arrondie au mm). B m 7c C ? 5 cm 10 On considère un triangle ABC tel que AB = 40 mm ; AC = 42 mm et BC = 58 mm. Ce triangle est-il rectangle ? A 5 Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 5 cm et AC = 4 cm. 1. Construire ce triangle en vraie grandeur et mesurer BC. 2. Calculer BC (valeur arrondie au mm). Corrigé • Le plus grand côté est [BC]. • BC2 = 582 ; BC2 = 3 364. • AB2 + AC2 = 402 + 422 ; AB2 + AC2 = 1 600 + 1 764 = 3 364. • On a : BC2 = AB2 + AC2, donc le triangle ABC est rectangle ; l’hypoténuse est [BC], le triangle est rectangle en A. 6 Un triangle PQR est rectangle en Q ; QR = 5 cm et PR = 6 cm. 1. Construire le triangle en vraie grandeur et mesurer PQ. On placera d’abord [QR]. 2. Calculer PQ (valeur arrondie au mm). 11 On considère un triangle PQR tel que PQ = 24 cm ; QR = 18 cm ; PR = 20 cm. Ce triangle est-il rectangle ? Corrigé • Pour les exercices 7 à 9, le triangle ABC est un triangle rectangle en A ; les mesures de deux côtés sont connues. Calculer la mesure du troisième côté. 7 AB = 6 ; AC = 9. 8 AB = 7 ; BC = 15. • Le plus grand côté est [PQ]. • PQ2 = 242 = 576. • PR2 + QR2 = 202 + 182 ; PR2 + QR2 = 400 + 324 = 724. • On a : PQ2 ≠ PR2 + QR2, donc le triangle PQR n’est pas un triangle rectangle. 9 AC = 3,8 ; BC = 8,2. 12 Un triangle ABC est tel que AB = 16 mm ; AC = 34 mm ; BC = 30 mm. Prouver que ce triangle est rectangle en B. Réciproque du théorème de Pythagore 13 Un triangle PQR est tel que PQ = 14 mm, QR = 50 mm, PR = 46 mm. Prouver que ce triangle n’est pas un triangle rectangle. Point méthode On connaît les mesures des trois côtés d’un triangle. 14 1. Construire un triangle MNP tel que MN = 2,3 cm ; MP = 4,5 cm ; NP = 5 cm. Mesurer l’angle PMN. 2. Prouver que ce triangle n’est pas rectangle. Pour reconnaître si ce triangle est un triangle rectangle : • on repère le plus grand côté du triangle ; 124 10. Calculs dans le triangle rectangle 1. Indiquer, dans chaque cas, quel rapport trigonométrique (cos, sin ou tan), on peut calculer directement. 2. En donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au millième. • Pour les exercices 15 à 18, on considère un triangle IJK dont on donne les mesures des côtés. Dans chaque cas, indiquer, en justifiant la réponse, si ce triangle est rectangle ou non. Lorsqu’il est rectangle, préciser quel est l’angle droit. 15 B A IJ = 20 ; JK = 21 ; IK = 29. 3 16 IJ = 45 ; JK = 53 ; IK = 28. 17 IJ = 10 ; JK = 8 ; IK = 12. 18 IJ = 5 ; JK = 7 ; IK = 9. 1,8 C A 2 C Relations trigonométriques dans le triangle rectangle B 30 A C 26 A B QCM Dans chaque cas, donner la réponse choisie : Le triangle PQR est rectangle en P. P 25 Utilisation de la calculatrice Attention ! Pour l’utilisation de la calculatrice dans les calculs trigonométriques de ce chapitre, il faut s’assurer qu’elle est en mode degré. Si elle n’est pas en mode degré, il faut l’y mettre en effectuant la séquence suivante : R Q 1. Le côté opposé à l’angle Q est : b. PR 3,5 B 15 a. PQ C DRG , ou pour sélectionner le degré, ENTER = ; c. QR MODE MODE 1 2. Le côté adjacent à l’angle Q est : a. PQ b. PR c. QR 20 3. Le cosinus de l’angle Q est : a. PR PQ b. PQ QR Corrigé c. PR QR • COS 57 ) b. PQ QR on lit : 0,5446… ; c. PR QR • SIN 57 ) 5. La tangente de l’angle Q est : a. PR PQ b. QR PQ cos 57° " 0,545. ENTER = sin 57 EXE c. PR QR on lit : 0,8386… ; • TAN 57 ) 19 ENTER = cos 57 EXE 4. Le sinus de l’angle Q est : a. PR PQ Calculer cos 57° ; sin 57° ; tan 57°. sin 57° " 0,839. ENTER = tan 57 EXE Pour chacun des triangles suivants, on peut calculer directement cos C ou sin C ou tan C . on lit : 1,5398… ; 125 tan57° " 1,540. 21 Corrigé a désigne la mesure en degré d’un angle aigu ; calculer la valeur arrondie au dixième de a sachant que cos a = 0,69. . , • Corrigé • les données permettent de calculer ENTER = 2nd COS–1 0.69 ) : SECONDE Acs 0.69 EXE on lit : 46,369… ; au dixième) • 5.6 ÷ 3.2 a " 46,4 (valeur arrondie ENTER = 2nd TAN–1 2nd ANS 22 Dans chacun des cas suivants, calculer les valeurs arrondies au millième de cos a, sin a, tan a. 1. a = 18°. 2. a = 75°. 5.6 ENTER = ÷ 3.2 EXE SECONDE Atn Ans EXE on lit : 60,255… ; 23 a désigne la mesure en degré d’un angle aigu ; on connaît soit cos a, soit sin a, soit tan a. Dans chacun des cas suivants, calculer la valeur arrondie au dixième de a. 1. cos a = 0,27. 2. sin a = 0,421. 3. tan a = 0,345. 4. tan a = 1,769. . 25 Un triangle ABC rectangle en A est tel que AB = 36 mm et AC = 45 mm. 1. Construire le triangle. 2. Calculer ACB (valeur arrondie au dixième). 26 1. Construire un triangle MNP rectangle en M tel que MN = 42 mm et NP = 45 mm. 2. Calculer MPN (valeur arrondie au degré). Calcul de la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle ) 27 1. Construire un triangle PQR rectangle en Q tel que PQ = 47 mm et PR = 55 mm. 2. Calculer RPQ (valeur arrondie au dixième). 0 Point méthode Calcul de la mesure Pour calculer la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle connaissant deux côtés du triangle : d’un côté d'un triangle rectangle Point méthode • on écrit le cosinus, le sinus, la tangente de l’angle cherché ; • on repère le rapport trigonométrique que l’on peut calculer ; Pour calculer la mesure d’un côté d’un triangle rectangle connaissant un angle aigu et un côté : • à l’aide de la calculatrice, on calcule ce rapport trigonométrique, puis la mesure de l’angle. • on écrit les rapports trigonométriques de l’angle connu ; 24 • on repère le rapport trigonométrique qui contient le côté cherché et le côté inconnu ; Calculer la valeur arrondie au dixième de • on isole le côté inconnu ; la mesure de l’angle IJK. • on termine le calcul à l’aide de la calculatrice. I 5,6 3,2 28 ? J K Le triangle ABC est rectangle en A ; ACB = 65° et BC = 35 mm. Calculer AC. 126 10. Calculs dans le triangle rectangle On lit : 14,791… ; die au dixième). A AC " 14,8 (valeur arron- ? 29 On considère un triangle ABC rectangle en A tel que C = 37° et AC = 58 mm. 1. Construire le triangle. 2. Calculer B . 3. Calculer AB et BC (valeurs arrondies au dixième). 65˚ B C 35 mm Corrigé . • . • cos 65° 30 • AC = 35 × cos 65°. • 35 × 35 × COS 65 M tel que NP = 70 mm et P = 69°. 1. Construire le triangle. 2. Calculer N . 3. Calculer MN et PM (valeurs arrondies au dixième). ENTER = ) On considère un triangle MNP rectangle en cos 65 EXE PROBLÈMES *, **, *** : niveau de difficulté du problème - C : problème corrigé (voir solution page 196). Dans tous les problèmes, l’utilisation de la calculatrice est nécessaire. 33 ** (d’après un sujet de BEP) Le schéma cicontre représente D l’écran d’un téléviseur de format α 16/9 (les proporL tions ne sont pas respectées sur la figure). La diagonale a pour mesure D = 66,1 cm. 31 ** ABCD est un rectangle. D C ? A 3 ? 6 1. Calculer la longueur L de l’écran sachant que sa largeur a pour mesure = 32,4 cm. On donnera la valeur arrondie au mm. 2. Calculer la valeur arrondie au degré de la mesure de l’angle α. 3. Le format 16/9 signifie que L = 16 . 9 En utilisant cette propriété, calculer la largeur d’un écran 16/9 dont la longueur est 80 cm. B 1. Calculer la valeur exacte, puis la valeur arrondie au dixième de AC. 2. Calculer la valeur arrondie au degré de BAC . 32 ** T OT = 4 cm ? OA = 12 cm ? O 34 ** C (d’après un sujet de BEP) Sur une terrasse, on A K B 50 cm installe une table en béton ayant la H C forme d’un octogone régulier représenté 0 D G ci-contre. Chaque côté de cette F E table mesure 50 cm. A T′ 1. Calculer la valeur exacte, puis la valeur arrondie au mm de AT. 2. Calculer la valeur arrondie au degré de TAT′ . 127 C 1. Calculer la mesure de l’angle AOB . Exprimer cette mesure en degré. 2. Calculer la mesure de l’angle AOK . Exprimer cette mesure en degré. 3. Calculer la longueur de [OK]. Exprimer le résultat arrondi au millimètre. 4. En prenant 60 comme mesure de [OK] exprimée en centimètre, calculer l’aire du triangle AOB. Exprimer ce résultat arrondi au cm2. 5. Calculer l’aire de la table. Exprimer ce résultat en m2. L D O K 30˚ B H 10 60˚ Cotes en 15 mètres I A F 65˚ E 1. Indiquer les mesures, en degré de l’angle ABC et de l’angle ACB . 2. Indiquer la nature du triangle ABC en justifiant la réponse. 3. En déduire, en mètre, la longueur AB. 4. Calculer la valeur arrondie au cm de la longueur BH. 5. Calculer l’aire 1, en m2, du triangle ABC (valeur arrondie au dm2). 6. Calculer l’aire 2, en m2, du rectangle ACDI. 7. Calculer l’aire , en m2, de la salle de réunion (valeur arrondie au dm2). 8. Calculer, en mètre, la longueur IE. 9. Calculer, en mètre, la longueur FI (valeur arrondie au cm). 10. Calculer l’aire c , en m2, de la surface EFI à carreler (valeur arrondie au dm2). Un parterre a la forme d’un carré ABCD de côté 5 m. On peut planter des fleurs dans le losange IJKL et de la pelouse dans la partie restante (non colorée). I D 10 35 ** (d’après un sujet de BEP) A 20 B J C 2 1. Calculer l’aire, en m , du parterre ABCD. 2. Calculer l’aire, en m2, du losange sachant que LJ mesure 3 m. Rappel : = D × d ; D et d mesures des 2 diagonales du losange. 3. En déduire l’aire de la partie semée de pelouse. 4. On souhaite protéger les fleurs par une bordure. On désigne par O le point d’intersection des diagonales du losange. a) Calculer OI et OJ. b) Dans le triangle rectangle OIJ, calculer IJ (valeur arrondie au dixième). 5. En déduire une valeur approchée de la longueur totale de la bordure IJKL. 37 *** (d’après un sujet de BEP) La figure ABCDEF ci-dessous représente une plaque de rue. La droite (OO′) est axe de symétrie de la figure. 4 16 O′ B C D E cotes en cm A 36 *** (d’après un sujet de BEP) Le plan d’une salle est représenté ci-après. Cette salle se divise en deux parties : – ABCDIF : salle de réunion ; – EIF : sanitaires. La salle de réunion sera recouverte de moquette et les sanitaires seront carrelés. H O F L’arc CD est un arc de cercle de centre O et de rayon OC = 29,7 cm. 1. a) Calculer la valeur arrondie au cm de CH. b) En déduire la cote AB. 2. Calculer, en cm2, l’aire du quadrilatère ABCO. 128 10. Calculs dans le triangle rectangle 3. Calculer la mesure, en degré, arrondie à 0,1 6. En déduire l’aire du triangle ECF, arrondie à 0,01 m2. 7. Quelle est la nature du quadrilatère CFGB ? Justifier la réponse. 8. Calculer la cote CB, arrondie à 0,01 m. 9. On donne : CF = 1,04 m et BG = 2,46 m. Calculer l’aire du triangle BAG, arrondie à 0,01 m2, puis l’aire du quadrilatère CFGB. 10. Donner l’aire totale de la voile. de l’angle HOC . En déduire la mesure de l’angle COO′ . 4. L’aire d’un secteur circulaire est donnée par 2 πR α la relation : = , avec 360 R : rayon de l’arc de cercle α : mesure en degré de l’angle du secteur. Calculer l’aire du secteur circulaire coloré. On prendra α = 32,6o. Arrondir le résultat à l’unité. 39 *** C 5. Déduire des résultats précédents l’aire totale de la plaque de rue. Première partie Un flipper est incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale. 38 *** (d’après un sujet de BEP) On réalise une voile de planche à voile représentée par la figure ci-dessous. Les cotes sont en mètres. AD = 4,45 ; AG = 2,50 ; CD = 0,90 ; AB = 0,43 et DCE = 60° . 520 630 Calculer la valeur arrondie au degré de la mesure de l’angle α. E C 1 250 Cotes en mm D 0,90 (d’après un sujet de BEP) Deuxième partie Ce flipper comporte trois « bumpers » disposés en triangle. Les points A, B et C sont au centre des bumpers. AB = 200 mm ; AC = 300 mm ; BAC = 90° . F 4,45 A B B G C 0,43 A 2,50 1. Quelle est la nature du triangle ABC ? 2. Calculer la mesure du segment [BC]. On donnera la valeur arrondie au cm. 3. Calculer les mesures des angles ACB et ABC . 1. Calculer la cote BG et donner sa valeur arrondie à 0,01 m. 2. Calculer cos BAG (valeur arrondie au millième). En déduire la mesure arrondie au degré des angles BAG et BGA . 40 *** (d’après un sujet de BEP) 3. Soit le secteur circulaire coloré DCE. Calculer son aire, arrondie à 0,01 m2. Pour signaler un véhicule immobilisé dans un virage, on place un triangle de signalisation assimilable à un triangle équilatéral ABC de côté 45 cm (figure de gauche). AB = BC = CA = 45 cm. 4. Déterminer la mesure de l’angle ECF . 5. Calculer la cote EF, arrondie à 0,01 m. 129 A A triangle H K B D A 5 76 S B C C K route 1. Calculer, en cm, la longueur AK de la hauteur du triangle ABC. Arrondir le résultat au dixième. 2. Le triangle de signalisation fait avec la route un angle de 76o (figure de droite). Il est maintenu dans cette position par une tige assimilable au segment [SH] tel que : – (SH) est perpendiculaire à (AH) ; – KH = 5 cm. Calculer, en cm, la longueur SH. Arrondir le résultat à l’unité. 1. Calculer la longueur AC. 2. Calculer la tangente de l’angle BCA . 3. En déduire la mesure, en degré, de l’angle BCA . On donnera la valeur arrondie à 0,1. 4. Calculer l’aire, en m2, de la salle. On donnera la valeur à 0,01. 43 *** (d’après un sujet de BEP) On veut réaliser une table ayant la forme d’un hexagone régulier à partir d’un plateau circulaire de centre O et de rayon R = 0,6 m comme l’indique la figure ci-dessous. 41 *** (d’après un sujet de BEP) Un échafaudage destiné à soutenir un arc en plein centre est constitué comme l’indique le schéma ci-dessous. K C D E F A L O 4m . O J G B I M N 1. Calculer la mesure en degré de l’angle KOL . 2. Construire un cercle de rayon r = 6 cm qui représente le plateau circulaire précédent. Déterminer l’échelle utilisée. 3. Construire un hexagone régulier IJKLMN inscrit dans ce cercle. Les questions 4., 5. et 6. concernent la figure obtenue. 4. Tracer la médiatrice du segment [KL]. On appelle H le point d’intersection de cette droite avec [KL]. Calculer OH à 0,1 cm près. 5. Donner la nature du triangle OKL. Justifier la réponse. Calculer l’aire du triangle OKL. 6. Calculer l’aire de l’hexagone IJKLMN. 7. Des résultats précédents, déduire : a) l’aire réelle, en m2, de la table ; b) le pourcentage de chute du plateau initial. Sachant que C est le milieu du demi-cercle AB , E le milieu de l’arc AC et D le milieu de l’arc CB , calculer : 1. la longueur du segment [AC] ; 2. la mesure de l’angle AOE ; 3. la longueur du segment [EF] ; 4. la longueur de l’arc AB ; 5. l’aire du demi-disque de diamètre [AB] ; 6. l’aire du triangle AEC. Les longueurs seront exprimées au centimètre près, l’angle au degré près, les aires au décimètre carré près. 42 ** (d’après un sujet de BEP) La salle de repos d’une crèche a la forme d’un rectangle prolongé d’un demi-disque. AB = 4,20 m ; BC = 5,60 m. 130