Particules identiques dans une boîte Particules identiques. Forces d

Université Paul Sabatier
Master de Physique Fondamentale
Mécanique Quantique
2013-2014
Travaux Dirigés n◦ 2
Particules identiques dans une boîte
L’objectif de cet exercice est de montrer les changements apportés par la prise en
compte du principe de Pauli sur les fonctions d’onde et les niveaux d’énergie accessibles
pour un ensemble de particules selon la nature de ces dernières : discernable, bosonique
ou fermionique.
On considère deux particules de même masse dans un puits de potentiel V (x) :
V (x) = 0,
V (x) = ∞,
pour
pour
0 ≤ x ≤ a,
x<0
et
x > a.
(1)
a. Donner l’expression des fonctions propres à une particule pour les différentes valeurs
possibles de l’énergie En = n2 K. On donnera l’expression explicite de K en fonction
de h̄, m et a.
b. Dans cette question on considère le cas de deux particules discernables. Ecrire l’expression de la fonction d’onde Ψ11 (x1 , x2 ) de l’état fondamental et donner la valeur
correspondante de l’énergie en fonction de K. Expliciter les fonctions d’onde et
l’énergie du premier état excité.
c. Dans cette question on considère le cas de deux bosons identiques. Ecrire l’expression
de la fonction d’onde Ψ11 (x1 , x2 ) de l’état fondamental et donner la valeur correspondante de l’énergie en fonction de K. Expliciter les fonctions d’onde et l’énergie
du premier état excité. Conclure.
d. Dans cette question on considère le cas de deux fermions identiques. Ecrire l’expression de la fonction d’onde de l’état fondamental et donner la valeur correspondante
de l’énergie du niveau fondamental en fonction de K. Commenter.
Particules identiques. Forces d’échange
L’objectif de de cet exercice est de montrer sur un exemple élémentaire les implications du principe de symétrisation à l’aide d’un exemple simple à une dimension. On
suppose que l’une des particules est dans l’état à une particule ψa (x) et l’autre dans l’état
ψb (x), ces deux états sont orthogonaux et normalisés.
a. Donner l’expression de la fonction d’onde à deux particules dans les trois cas suivants : les particules sont discernables, les particules sont des bosons identiques, et
les particules sont des fermions identiques.
b. On s’intéresse à la distance quadratique moyenne entre les deux particules :
h(x1 − x2 )2 i = hx21 i + hx22 i − 2hx1 x2 i.
Montrer que cette quantité se met sous la forme :
h(x1 − x2 )2 i± = h(x1 − x2 )2 id ∓ χab ,
le signe supérieur faisant référence au cas des bosons et le signe inférieur au cas des
fermions. On donnera l’expression de χab en fonction d’une intégrale de recouvrement
entre ψa (x) et ψb (x) que l’on explicitera. Commenter.
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TD2 : Particules identiques dans une boîte
Particules identiques et spectre équidistant
Soit h0 le hamiltonien d’une particule ; on suppose que cet opérateur n’agit que
sur les variables orbitales et possède trois niveaux équidistants d’énergie 0, h̄ω0 et 2h̄ω0 .
Ces niveaux ne sont pas dégénérés dans l’espace orbital, mais dans l’espace total la dégénérescence de chacun est égal à 2s + 1 où s est le spin de la particule.
a. On considère un système de trois électrons indépendants dont le hamiltonien s’écrit :
H = h0 (1) + h0 (2) + h0 (3)
Trouver les premiers niveaux d’énergie de H et leur degré de dégénérescence.
Donner l’expression des états quantiques physiques correspondant.
b. Même question pour un système de trois bosons identiques de spin 0.