COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES I- FORME ALGÉBRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE 1) Définition Définition : tout nombre complexe est un nombre de la forme z = a + ib, où a et b sont deux nombres réels et i est un nombre tel que i² = -1. Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe. Tout nombre complexe de la forme z = ib, (où b ) s’appelle un imaginaire pur. Si un nombre complexe a une partie imaginaire nulle, alors on l’assimile au nombre réel a. Exemples : o z1 = 10 + 4i, on a : Re(z1) = 10 et Im(z1) = 4 o z2 = - 3i, on a : Re(z2) = 0 et Im(z2) = -3 Remarque : les nombres complexes sont très utilisés en électricité. Afin d’éviter toute confusion entre l’intensité i du courant et le nombre complexe i dont le carré est -1 défini ci-dessus, ce nombre est noté j au lieu de i par les physiciens. 2) Représentation géométrique d’un nombre complexe Définition : on se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; ; ) : → Pour tout nombre a et b réels, au point M de coordonnées (a, b) on peut associer le nombre complexe z = a + ib. On dit que z est l’affixe du point M et que le point M(a ; b) est le point image de nombre complexe z = a + ib. → Au vecteur de coordonnées (a, b) on peut associer le nombre complexe z = a + ib. On dit que z est l’affixe du vecteur et que le vecteur (a ; b) est le vecteur image de nombre complexe z = a + ib. Maths – Tnale STI 1 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES Exemple : 1 – 2i Remarque : on dit que dans le plan complexe, l’axe des abscisses est l’axe des réels et que l’axe des ordonnées est l’axe des imaginaires. 3) Conjugué d’un nombre complexe Définition : soit a et b deux nombres réels et z le nombre complexe défini par Le nombre complexe . est appelé conjugué de z et noté . Exemples : Propriété (admise) : si les points M et M’ sont les images respectives des nombres complexes z et dans le plan complexe, alors M et M’ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Géométriquement : M3 : il est le symétrique de M1 par rapport à O, son affixe est (‐z), c’est l’opposé de z. M1 : point d’affixe z. M2 : point d’affixe et symétrique de M1 par rapport à l’axe des abscisses. Maths – Tnale STI M4 : il est le symétrique de M2 par rapport à O, son affixe est (‐ ), c’est l’opposé de . 2 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES 4) Opérations a) Egalité de deux nombres complexes Définition : quelque soient a, a’, b et b’ deux nombres complexes a + bi et a’ + b’i sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales. C’est-à-dire : a + bi = a’ + b’i si et seulement si a = a’ et b = b’ avec a, a’, b et b’ quatre réels. Exemple : on cherche à déterminer tous les réels x et y tels que (x – 2) + (y – 1)i = 2 – 3i. L’égalité entre les deux nombres complexes est équivalente au système suivant : 2 2 1 3 Equivaut à : 4 2 Cas particulier : si nous avons un nombre complexe z = a +ib tel que z = 0, alors Les parties réelles et imaginaires sont nulles. 0 . 0 b) Addition et produit de deux nombres complexes Remarque : les propriétés des opérations dans restent vraies dans . En particulier : o les produits remarquables sont aussi valables dans o l’addition et la multiplication dans ; s’effectuent en utilisant les règles de calcul usuel et le fait que i² = -1. Exemples : on considère les nombres complexes z = -2 + i et z’ = 3 + 2i. o z + z’ = (-2 + i) + (3 + 2i) = (-2 + 3) + (1 + 2)i = 1 + 3i. o zz’ = (-2 + i)(3 + 2i) = (-6 - 2) + (-4 + 3)i = -8 - i. c) Vecteur et affixe repère orthonormal. Alors l’affixe du vecteur est donnée par = zB - zA. Maths – Tnale STI Propriété (admise) : soit A et B deux points d’affixes zA et zB dans le plan muni d’un 3 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES Exemple 1 : on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives : zA = -2 - i ; zB = 3 + i ; zC = 6 + 4i et zD = 1 + 2i . Alors on a : = zB - zA = 5 + 2i = zC – zD = 5 + 2i On en déduit que = , donc ABCD est un parallélogrammme. Exemple 2 : z1 est l’affixe du vecteur . z2 est l’affixe du vecteur . z3 est l’affixe du vecteur . Déterminer les formes algébriques de z1, z2 et z3. 2 ; 3 ainsi z1 = 2 + 3i. 1 ; 2 ainsi z2 = 1 - 2i. 3 ; 1 ainsi z3 = 3 + i. d) Opérations avec le conjugué Propriété : pour tout nombre complexe z et z’, le conjugué d’une somme de deux complexes z et z’ est égal à la somme des conjugués et le conjugué d’un produit de deux complexes z et z’ est égal au produit des conjugués. . . Propriété : quelque soit le nombre complexe z tel que z = a + bi, avec a et b deux réels, on a : ² ². Maths – Tnale STI C’est-à-dire, z et z’ complexes : 4 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES Démonstration : z = a + bi donc = a - bi , ainsi, nous avons : ² ² ² ² ² ² 1 Exemple : e) Inverse d’un nombre complexe non nul La multiplication dans ayant les mêmes propriétés que dans , on définit l’inverse de z comme le nombre par lequel on doit multiplier z pour trouver 1. On regarde alors comment écrire l’inverse de z sous la forme a + bi. L’idée est d’utiliser le conjugué du dénominateur pour obtenir une écriture de z avec un dénominateur réel. Propriété (admise) : quelque soit le nombre complexe z non nul tel que z = a + bi, avec a et b deux réels, on a : 1 ² ² ² ² ² ² Remarque : pour déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de l’inverse d’un nombre complexe non nul, on multiplie donc le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Exemples : f) Quotient de deux nombres complexes l’inverse de z’. La règle de calcul ci-dessous est donc une conséquence directe de la règle de calcul de l’inverse. Maths – Tnale STI Le quotient du nombre complexe z par le nombre complexe non nul z’ est le produit de z par 5 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES Propriété (admise) : quelque soit les nombres complexes z et z’ (z’ non nul) tel que z = a + bi, avec a et b deux réels, et z’ = a’ + b’i, avec a’ et b’ deux réels on a : ² ² Remarque : pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Exemple : on considère les nombres complexes z = -2 + i et z’ = 3 + 2i. Alors : 2 3 II- 2 2 3 3 3 2 2 2 6 4 3² 3 2² 2² 4 13 7 13 FORME TRIGONOMÉTRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE 1) Module Définition : le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O ; , ). Pour tout nombre complexe z, on considère le point M d’affixe z, on appelle module de z le nombre réel, noté | |, défini par | | | | . Conséquences (admises) : o Pour tout o | | o Pour tout ,| o Pour tout ,| | ,| | 0. 0 si et seulement si z = 0. | | |. | |. Calcul du module : soit z = a + ib un nombre complexe non nul où a et b sont deux réels. On note M(a ; b) le point d’affixe z dans un repère orthonormal (O ; ; ). Le module z est égal à la distance OM et la distance OM est égale à : OM = ² ² (Pythagore). On en déduit que | | ² ² √ . Maths – Tnale STI Par la suite, nous appellerons ρ le module de z. 6 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES 2) Argument M sin Théorème 1 (admis) : un nombre complexe z est de module 1 si et seulement si il existe un réel θ tel que cos | | sin . cos Définition : on appelle argument d’un nombre complexe z de module 1 tout nombre réel θ tel que cos arrive qu’on note, par abus de langage, arg sin . Il . Théorème 2 (admis) : le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O ; , ). Soit z un nombre complexe de module 1 et M le point d’affixe z. • L’ensemble des arguments de z est l’ensemble des mesures en radians de l’angle ; • Soit . un argument de z. entier relatif k tel que est argument de z si et seulement si il existe un 2 . Maths – Tnale STI Exemples : 7 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES 3) Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul Définition : soit ρ un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel. Soit z le nombre complexe de module ρ et d’argument θ : é è 1 é é cos é sin ρ cos On généralise pour tout nombre complexe : ρ cos sin 1 . s’appelle forme sin trigonométrique de z. Théorème (admis) : un complexe non nul z possède une infinité de formes trigonométriques. Si cos sin et cos sin sont deux formes trigonométriques de z, alors ρ = ρ’ et il existe un entier relatif k tel que θ’ = θ +2kπ. Exemples : Le nombre complexe z de module 2 et dont un argument est a pour forme trigonométrique : 2 cos sin 2 2 Le point M d’affixe z est représenté ci-contre dans le plan muni d’un repère orthonormal direct ; ; . Le nombre complexe z de module 2 et dont un argument est a pour forme trigonométrique : 2 cos sin 3 3 Le point M d’affixe z est représenté ci-contre dans le plan muni d’un ; ; . Maths – Tnale STI repère orthonormal direct 8 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES 4) Passage d’une forme à l’autre Lien entre forme trigonométrique et forme algébrique pour z non nul : cos sin Formes Relations de « passage » de l’une à l’autre Algébrique ou cartésienne z = a + ib (a et b réels) cos sin Trigonométrique cos sin avec ρ réel positif | | cos ² ² sin Exemples : déterminer la forme trigonométrique des nombres suivants : ρ ρ Î z3 = -3. Il s’agit d’un nombre réel. Il est inutile de faire des calculs pour déterminer sa forme trigonométrique. En utilisant son point image de coordonnées (-3 ; 0), on en déduit immédiatement que | | 3 et que arg(z2) = π + k2π, où k est un entier relatif. On obtient Maths – Tnale STI donc z3 = [3 ; π]. 9 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES 5) Opérations a) Inégalité triangulaire L’addition de deux nombres complexes n’a pas de forme « intéressante » avec la forme trigonométrique. Nous relevons par contre l’inégalité triangulaire : | | | | | | Nous ne faisons pas de démonstration rigoureuse ici, mais nous illustrons cette formule à l’aide de la figure suivante : Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct ; ; : soient , et les images respectives de z, z’ et z + z’. , donc AC = BD. De la Nous avons propriété de l’inégalité triangulaire dans le triangle ABD, on déduit : AD | | | | AB + BD donc | |. b) Module et argument d’une différence de deux nombres complexes Nous savons que le module d’un nombre complexe est une distance (ou la norme d’un vecteur), de plus, toute distance entre deux points peut être considérée comme le module d’un nombre complexe. Théorème (admis) : dans le plan muni d’un repère orthonormal direct ; ; , pour tout point M1 et M2 d’affixes respectives z1 et z2, nous avons : | Maths – Tnale STI | 1 0 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES De la même façon que le module d’une différence de deux nombres complexes s’interprète comme une distance, l’argument d’une différence de deux nombres complexes est une mesure d’un angle de vecteurs. Théorème (admis) : dans le plan muni d’un repère orthonormal direct ; ; , pour tout point M1 et M2 d’affixes respectives z1 et z2, nous avons l’angle ( ; ) qui a pour mesure tout argument de (z2 – z1). c) Produit de deux nombres complexes Théorème : quelque soient deux nombres complexes non nuls z et z’ ; 9 Le module du produit zz’ est égal au produit des modules de z et de z’ : | | | | | |. 9 Un argument du produit zz’ est la somme d’un argument de z et d’un argument de z’ : arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) + k2π, k Exemple : soit les nombres complexes | arg arg | | | arg 3 3 6 2, | | 2 3 4 3, 12 4 . Alors : 2 Maths – Tnale STI Démonstration : 1 1 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES d) Puissance d’un nombre complexe A partir du paragraphe précédent, on peut démontrer le théorème suivant. Théorème (admis) : quelque soient n un nombre entier naturel et z un nombre complexe non nul, nous avons : | | | | 2 , Exemple : soit 2, 4 . Alors : 2 ,3 8, 4 3 4 e) Inverse d’un nombre complexe Théorème : quelque soit un nombre complexe non nul z, nous avons : 1 1 | | 1 arg 2 , Démonstration : Maths – Tnale STI Exemple : 1 2 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES f) Quotient de deux nombres complexes Théorème : quelque soient deux nombres complexes non nuls z et z’, nous avons : arg | | ; | | arg 2 , Démonstration : Maths – Tnale STI Exemple : 1 3