TD8 – Fluides en écoulement
publicité
TD : B – Ph. de Transport VIII – Fluides en écoulement Sciences Physiques : PSI TD8 – Fluides en écoulement A – Travaux Dirigés 81 - Écoulement de Poiseuille dans un tuyau On considère un tuyau cylindrique, de rayon R, de longueur L, horizontal et parcouru par un liquide newtonien de viscosité dynamique . La pression sur l'axe du cylindre est P1 à l'entrée et P2 à la sortie du tuyau. L'écoulement est permanent et laminaire. On ne tient pas compte de la pesanteur, dont les effets sur le fluide sont compensés par la réaction du tuyau. Dans ce cas, le champ de vitesse est de la forme 1°) Justifier que le champ de vitesse ne dépend que de la variable r. 2°) Justifier que la pression est uniforme sur une section droite du tuyau. 3a) Comment s'adapte la définition de la viscosité dynamique dans le cas de l'écoulement étudié ? 3b) En raisonnant sur un cylindre de fluide de longueur L et de rayon r, établir une équation liant le champ de vitesse et les pressions en z = 0 et z = L. 3c) En déduire le profil de vitesse f (r). 4°) En déduire le débit volumique à travers une section du tuyau. En établissant une analogie avec la loi d'Ohm de l'électricité, définir la notion de résistance hydraulique. Exprimer la résistance hydraulique du tuyau en fonction des données. Rép : 1°) 2°) 3a) 3b) 3c) 4°) 82 - Vidange d'un récipient On réalise l'expérience suivante : un récipient, de section S = 8.10 3 cm2, rempli d'un fluide incompressible de viscosité = 0,3 Pl et masse volumique = 900 kg.m-3 sur une hauteur initiale ho = 3 m, se vide par un tuyau horizontal de longueur L = 1 m et rayon R = 5 mm situé sur sa partie basse. On prendra g = 9,8 m.s - 2. On admet que dans le corps du récipient (en dehors du tuyau), la vitesse du fluide est suffisamment faible pour que l'on puisse considérer la situation comme statique. a) À quelle condition sur la section S du récipient cette hypothèse est-elle vérifiée ? b) Que vaut la pression Pe à l'entrée du tuyau ? Et celle Ps en sortie ? c) En supposant l'écoulement laminaire et quasiment stationnaire, évaluer le débit volumique sortant du tuyau. d) Que vaut la vitesse débitante de sortie v initialement ? e) Vérifier a posteriori la nature laminaire de l'écoulement. f) Trouver une équation différentielle satisfaite par h(t), hauteur de fluide dans le récipient. g) Quelle est la durée nécessaire pour vidanger la moitié du récipient ? Rép : a) VS=v R² e) Re=8,4<< 2000 Laurent Pietri b) Laminaire f) c) d) g) ~1~ Lycée Henri Loritz - Nancy TD : B – Ph. de Transport VIII – Fluides en écoulement Sciences Physiques : PSI 83 - Écoulement de Poiseuille plan de deux liquides non miscibles On réalise un écoulement de Poiseuille plan de deux liquides non miscibles, considérés tous deux comme incompressibles, entre deux plaques planes horizontales. Les masses volumiques des liquides sont 1 et 2. Ils sont tous deux newtoniens, de viscosités dynamiques 1 et 2. L'écoulement est stationnaire. On travaille dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, dans lequel les deux plaques sont fixes. L'axe (Oz) du repère cartésien est vertical ascendant. Le liquide indicé 2 occupe la zone comprise entre z=-b/2 et z = O. Le liquide indicé 1, celle comprise entre z = 0 et z = b/2. On néglige les effets de bord c'est-à-dire qu'on suppose ces deux zones infiniment étendues selon (Ox) et (Oy). On impose une pression Pe uniforme dans le plan x = 0, et une pression Ps, < Pe dans le plan x = L. 1°) Quelle est la relation d'ordre entre 1 et 2? Justifier. 2°) On néglige désormais l'effet du poids. On admet que le champ des vitesses est de la forme : Montrer que la pression ne dépend que de x. 3°) Montrer que dans chacun des deux liquides, le champ des vitesses ne dépend pas de x. Établir les expressions des deux champs des vitesses. 4°) Donner les allures possibles du champ des vitesses en fonction de z selon la valeur du rapport 2/1. Rép : 1°) 1 < 2 2°) … 3°) 4°) B – Exercices supplémentaires 84 - Perte de charge régulière On reprend l'écoulement laminaire de Poiseuille étudié à l'exercice 81. On rappelle que le débit volumique dans le tuyau est donné par , où sont les pressions en entrée et sortie de tuyau, R est le rayon du tuyau, L est sa longueur et est la viscosité du liquide. 1°) On rappelle que, pour un tuyau de longueur L et de diamètre D, le coefficient de perte de charge est défini par où U est la vitesse débitante (vitesse moyennée sur une section). Pour l'écoulement de Poiseuille considéré, exprimer en fonction du nombre de Reynolds de l'écoulement. 2°) Pour quel domaine de nombre de Reynolds ce résultat est-il valable ? Quelle est l'allure graphique de la représentation de en fonction de Re dans un diagramme log-log ? 3°) Comment met-on facilement en évidence expérimentalement la perte de charge dans l'écoulement de Poiseuille ? Rép : 1°) Laurent Pietri 2°) Ecoulement laminaire… 3°) Une canalisation avec des petits tubes verticaux montés dessus… ~2~ Lycée Henri Loritz - Nancy TD : B – Ph. de Transport VIII – Fluides en écoulement Sciences Physiques : PSI 85 – Le planeur On considère un planeur de masse m = 0,17.103kg. L'envergure totale de ses ailes est Lenv = 15 m, et la longueur moyenne de la corde est L = 0,70 m. Le profil est un NACA 4412. On néglige les effets aérodynamiques du fuselage. Il vole à vitesse constante à une altitude z = 6,0.10 3 m par rapport au niveau de la mer, où la masse volumique de l'air est =0,60kg.m-3. La viscosité de l'air est = 1,8.10-5Pl. Le vent est supposé négligeable. 1°) Déterminer la finesse maximale du profil NACA 4412 pour les différentes valeurs du nombre de Reynolds de la figure. En déduire, pour les deux valeurs de R e les plus élevées, l'altitude qu'il aura perdue après avoir parcouru sur la carte en ligne droite une distance D = 1 km. (On démontrera que cette perte d’altitude est proportionnelle à l’inverse de la finesse.) 2°) Dans le cas particulier où la ligne de corde de l'aile du planeur est horizontale, relier la finesse à l'angle d'incidence i. Compte tenu des différentes forces exercées sur le planeur, établir une relation entre m, g, , L, Lenv, Cz, i et la norme v de la vitesse. 3°) Application numérique : pour i = 1,5° et Re = 7.105 , évaluer Cz, la finesse, et la norme v de la vitesse. Le résultat est-il cohérent avec le nombre de Reynolds utilisé ? Rép : 1°) Re = 2.105 h=22m 2°) 3°) Cz=0,57 Re=7.105 86 - Étude d'une pale d'éolienne On modélise, de manière volontairement rudimentaire, le rotor de l'éolienne. On rappelle qu'un objet placé dans un fluide de masse volumique en écoulement uniforme et stationnaire à la vitesse subit, de la part de ce fluide, une résultante d'actions , où , la traînée, est la composante de parallèle à et où , la portance, en est la composante perpendiculaire. vérifient : Dans ces expressions, A est l'aire de la projection de l'objet (maître-couple) sur un plan perpendiculaire à , Cx et Cz sont deux fonctions de l'angle d'incidence, qui sera défini à la Q1. Le rotor de l'éolienne est un solide formé de deux pales diamétralement opposées par rapport à l'axe de rotation . Ce dernier axe est aligné avec la vitesse uniforme de l'air loin en amont du rotor. On note , la vitesse de rotation, supposée constante, du rotor. On utilise le repère de coordonnées cylindriques . La pale a une longueur L et est inclinée d'un angle par rapport au plan de rotation du rotor : 1°) Exprimer la vitesse du vent en amont de la pale dans le référentiel de la pale, en fonction de (r étant la distance à l'axe de rotation). On notera i l'angle entre le plan de la pale et . est appelé angle d'incidence du vent sur la pale. Donner la relation qui existe entre i, , , r et . Compléter la figure représentant la pale en coupe en y ajoutant le vecteur et l'angle i. Comme la vitesse incidente , dépend de la position r le long de la pale, on s'intéresse uniquement à une portion d'une des deux pales, située entre les distances radiales r et r + dr. Laurent Pietri ~3~ Lycée Henri Loritz - Nancy TD : B – Ph. de Transport VIII – Fluides en écoulement Sciences Physiques : PSI 2°) Montrer que si on néglige l'épaisseur de la pale, ce que l'on supposera valable, l'aire dA de la projection de la portion étudiée sur le plan perpendiculaire à a pour expression : 3°) En admettant que les expressions de la portance et de la traînée sont applicables à la portion de pale étudiée, bien que ne soit pas uniforme dans le référentiel de la pale, exprimer les normes des forces élémentaires exercées par le vent sur la portion de pale en fonction de , , r, , L, dr, Cx (i), Cz(i) et i. Reproduire succinctement le dessin de la pale en coupe et y indiquer ces deux forces. 4°) Déduire de ce qui précède l'expression du moment d par rapport à l'axe (0, sur la portion de pale. ) de la force exercée par le vent 5°) La figure donne les valeurs de Cx et Cz en fonction de l'angle d'incidence i pour une pale de profil donné. L'angle i dépendant lui-même de r et de , on peut tracer en fonction de lorsque toutes les autres grandeurs sont fixées. La courbe donne ce tracé pour pour deux valeurs de la distance radiale (2 et 3 mètres). Les unités verticales sont arbitraires. Quelle forme convient-il de donner aux pales en vue d'augmenter le rendement de l'éolienne ? Rép : 1°) valeurs de r les valeurs Laurent Pietri 2°) 3°) 4°)… 5°) Pour avoir un il faut pour les différentes pales vrillées ~4~ Lycée Henri Loritz - Nancy
