1. L`isométrie. 2. Image d`un point par une isométrie.

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D E
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G E O M E T R I Q U E S .
TRIANGLES ISOMÉTRIQUES ET SEMBLABLES.
1. L’isométrie.
1.1
Définition de l’isométrie.
Une isométrie du plan est une transformation du plan qui conserve les longueurs.
A tout point M fixé, la transformation associe M’ appelé « point image de M »
1.2
Propriété :
Les translations, les symétries centrales, les réflexions, les rotations sont des isométries.
1.3
Propriétés des isométries ;
Les isométries conservent les distances, les mesures d’angles géométriques et les aires.
Les isométries conservent les intersections, l’alignement, le parallélisme et l’orthogonalité.
2. Image d’un point par une isométrie.
2.1
La translation.
2.1.1
Définition.
JJJG
G.
Soit la translation de vecteur AB notée tJJJ
AB
B
M'
A
JJJJJG JJJG
G : M 6 M ' tel que MM ' = AB
t JJJ
AB
M
Conséquence : ABM’M est un parallélogramme.
A
2.1.2
B
Association de la translation à une configuration.
On donne ABCD parallélogramme de centre O
O
On a :
(AB) // (DC)
D
C
AB = DC
Les couples (A,B) et (D ,C) sont dans le même sens
JJJG
Les points A , B, C et D sont donc reliés par la translation de vecteur AB
Les points A et C d’une part, C et D d’autre part sont liés par la symétrie de centre O.
Au mot parallélogramme, on peut donc associer :
Une translation
Une symétrie centrale.
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2.2
La réflexion (ou symétrie axiale)
2.2.1
Définition.
S E M B L A B L E S
M
Par une symétrie axiale d’axe (D) :
Si M ∈ ( Δ ) , alors M = M’
Si M ∉ ( Δ ) alors ( Δ ) est la médiatrice du segment [AM’].
M'
2.3
Association de la réflexion à une configuration.
Il s’agit d’interpréter l’affirmation : ABC est un triangle isocèle en A.
Soit I le milieu de [BC].
Que peut-on dire des points A et I ?
B
Que peut-on dire de la droite ( Δ ) passant par les
points A et I ?
I
A
C
Que peut-on dire des points B et C par rapport à ( Δ ) ?
Quelles sont les images des points A et I ?
Conclusion :
Au mot triangle isocèle, on associe une symétrie axiale.
3. La rotation.
3.1
Définition.
Par une rotation de centre O, d’angle α et de sens positif, ou de sens
négatif :
Si M = 0, alors M’ = O (le centre de la rotation est
invariant)
n' = α
Si M ≠ O , alors OM = OM1 et MOM
si on tourne dans le sens positif.
n' = α , si on tourne dans
ou OM = OM2 et MOM
le sens négatif
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3.2
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Association de la rotation à une configuration.
On considère un triangle équilatéral. ABC.
Considérons le sommet A comme point fixe.
n = 60° , on peut dire que C est l’image de B par
Puisque AB = AC et que BAC
quelle transformation ?
Conclusion :
Au mot triangle équilatéral, on associe le mot rotation.
Remarque, comme point fixe on aurait pu choisir B ou C !
EXERCICE 1
A chercher
ABCD est un carré, et les triangles BCI et DCJ sont équilatéraux.
Soit K le point tel que ACK soit équilatéral.
En utilisant une rotation d’angle bien choisie, de centre C et de sens à définir, démontrer que les points A, I et J
sont alignés.
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Compléter les affirmations suivantes par une figure et une conclusion.
EXERCICE 2
A chercher
On sait que M’ est l’image de M par une transformation.
1.
uuur
Si M’ est l’image de M par la translation de vecteur AB , alors…….
2.
Si M’ est l’image de M par un quart de tour de centre O, alors MOM’ est un ………
3.
Si M’ est l’image de M par une rotation de centre O et d’angle 60°, alors OMM’ est un
………
4.
On sait que les point M est l’intersection de deux lignes. Où sera son image M’ ?
5.
Où sera l’image d’une droite (AB) de façon générale ?
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6.
Où sera l’image de la droite (AB) si la transformation est une translation ou une symétrie
centrale ? (s’aider d’un point M de la droite (AB))
7.
Deux triangles rectangles isocèles sont disposés comme l’indique la figure ci-contre et on note
R le quart de tour direct de centre A.
a.
Quelles sont les images de D et B par R ?
b.
En déduire que les droites (DB) et (CE) sont
perpendiculaires.
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4. Les triangles isométriques.
4.1
Définition.
Des triangles isométriques sont des triangles qui ont leurs côtés deux à deux de même longueur.
A
B
O
D
Exemple :
C
Dans le parallélogramme ABCD, de part les propriétés du parallélogramme (côtés opposés égaux et diagonales
se coupant en leur milieu) les triangles AOB et COD sont isométriques.
4.2
Propriété :
Deux triangles isométriques ont leurs angles deux à deux de même mesure.
4.3
Comment reconnaître deux triangles isométriques ?
On pourra dire que deux triangles sont isométriques lorsque l’on reconnaît l’une des situations suivantes :
Les côtés des deux triangles sont deux à deux égaux.
Les deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux.
Les deux triangles ont un côté égal compris entre deux angles respectivement égaux.
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5. Les isométries dans les problèmes.
5.1
Se souvenir que :
Les translations, les rotations, les symétries centrales et axiales sont des isométries.
L’image d’un triangle par une ou plusieurs isométries est un triangle isométrique.
5.2
Utiliser une translation pour démontrer.
Une translation transforme un triangle en un triangle isométrique.
C
ABCD et ABEF sont deux parallélogrammes non confondus.
Montrer que DF = CE.
D
B
A
Solution guidée :
E
uuur
Considérons la translation de vecteur AB
F
ABCD est un parallélogramme, donc :
ABEF est un parallélogramme, donc :
r :
Par la translation tuuu
AB
Da
Aa
Fa
L’image du triangle DAF est le triangle ……..
Conclusion :
Les deux triangles DAF et CBE sont ……….
Puisque l’image du segment [DF] est le segment [CE], alors………
5.3
Utiliser une symétrie axiale pour démontrer.
ABC est un triangle isocèle en A.
A
Les points I et J sont les milieux respectifs des côtés [AC] et [AB].
Montrer que les triangles BIC et BJC sont isométriques.
Solution guidée :
J
La médiatrice (Δ) du segment [BC] est axe de symétrie du triangle.
I
Le point A est sur l’axe de symétrie, et de plus une isométrie conserve les milieux.
Donc dans la symétrie d’axe ( ) :
B
C
Ba
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Ca
Ja
Les triangles BIC et BJC sont images l’un de l’autre par ……….
La symétrie axiale étant une isométrie, ces deux triangles sont…………
6. Les triangles semblables.
6.1
Définition.
Deux triangles semblables sont des triangles qui ont des angles deux à deux égaux.
Les angles égaux sont appelés angles
homologues.
A et D ⎫
⎪⎪
B et E ⎬ sont des angles homologues
⎪
C et F$ ⎪
⎭
F
B
E
A
C
D
Les côtés situés en face d’angles homologues sont des côtés
homologues. Leurs longueurs sont dans le même rapport.
Ainsi : il suffit d’écrire les triangles en plaçant l’un en dessous de l’autre les angles homologues, et de composer
les segments en prenant les lettres dans le même ordre.
Triangle ABC
AB
BC
AC
Triangle DEF
DE
EF
DF
Les côtés homologues étant dans le même rapport, on écrira :
6.2
AB BC AC
=
=
=k
DE EF DF
Propriétés :
Des triangles semblables sont aussi appelés triangles de même forme.
Deux triangles semblables à un troisième sont semblables entre eux.
Deux triangles sont semblables si et seulement si les longueurs des côtés de l’un sont
proportionnelles aux longueurs des côtés de l’autre.
Le coefficient k trouvé est un coefficient d’agrandissement (si k > 1) ou de réduction (si k < 1)
6.3
Comment reconnaître si deux triangles sont semblables ?
Il faut retenir les trois cas de similitude suivants :
1. Deux triangles sont semblables s’ils ont deux angles égaux (les troisièmes angles sont alors forcément
égaux).
2. Deux triangles sont semblables s’ils ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement
proportionnels.
3. Deux triangles sont semblables s’ils ont leurs côtés deux à deux proportionnels.
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6.4
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Triangles semblables particuliers.
Deux triangles isométriques sont semblables : ils ont les mêmes longueurs et les mêmes
mesures d’angles.
Deux triangles sont semblables s’ils ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement
proportionnels.
Deux triangles équilatéraux sont semblables, car leurs angles sont tous égaux à 60°
Deux triangles rectangles et isocèles sont semblables, car leurs angles sont égaux deux à deux.
Deux triangles rectangles ayant un angle aigu de même mesure sont semblables.
EXERCICE 3
A chercher.
ABC est un triangle quelconque. E est un point du segment [AB] et D un point du segment
n
n
[AC] tel que : AED = ACB
Montrer que les triangles AED et ABC sont semblables.
A
D
E
C
B
ABC est un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A sur [BC].
Montrer que cette configuration contient trois triangles rectangles semblables.
A
B
C
H
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6.5
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Aires et triangles semblables.
Si ABC et DEF sont deux triangles semblables et si k est le rapport de réduction ou d’agrandissement qui permet
de passer des longueurs de ABC à celles de DEF, alors k² est le rapport qui permet de passer de l’aire de ABC
à celle de DEF.
6.6
Reconnaître des triangles semblables.
Deux triangles sont semblables si et seulement si les longueurs des côtés de l’un sont proportionnelles aux
longueurs des côtés de l’autre.
Il faut donc rechercher une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés des deux triangles.
On peut s’aider d’un tableau.
EXERCICE 4
A chercher.
ABC et ACD sont deux triangles définis à l’aide de la figure ci-dessous.
Ces triangles ont-ils la même forme ?
C
5,0 cm
4,8 cm
D
4,0 cm
B
3,2 cm
6,0 cm
A
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