z - ENSH

Chap VII : Dynamique des Fluides Parfaits
La dynamique étudie le mouvement des fluides en tenant compte des forces qui
lui donnent naissance.
Comme la cinématique, la dynamique utilise les méthodes de Lagrange et Euler,
mais pour des raisons de convenances, la méthode d’Euler est la plus utilisée.
Parmi les forces qui entrent en jeu, il y a les forces de viscosité pour les fluides dis
réels, on traitera dans ce chapitre les fluides supposés parfaits (sans viscosité).
IThéorèmes généraux :
I – 1- Equation générale du mouvement:
Supposant un liquide parfait (pas de viscosité) incompressible dont la pression en
différents points est constante dans toutes les directions, l’équation fondamentale de
la statique des fluides s’écrit (comme déjà citée) :
r
r
1
gradP = F
ρ
Ou F représente les forces extérieures et P la pression.
En hydrodynamique il suffit d’ajouter aux forces extérieures la force d’inertie par
unite de masse :
r
r r
1
gradP = F − γ , le signe moins signifie que la force d’inertie est opposée au sens
ρ
du mouvement.
r
r dV
γ =
dt
On peut écrire :
 1 ∂P
 ∂u
∂u
∂u
∂u 
= Fx −  + u
+v
+ w 

∂x
∂y
∂z 
 ∂t
 ρ ∂x
 1 ∂P
 ∂v
∂v
∂v
∂v 
= Fy −  + u + v + w 

∂x
∂y
∂z 
 ∂t
 ρ ∂y
 1 ∂P
 ∂w
∂w
∂w
∂w 

= Fz − 
+u
+v
+ w 
∂x
∂y
∂z 
 ρ ∂z
 ∂t
Ou ( Fx, Fy, Fz) Sont les composantes des forces extérieures par unité de masse.
Ce système d’équation est appelé système d équations du mouvement d’Euler.
I2- Equation de continuité :
C’est la même équation citée en cinématique :
∂ρ ∂ (ρu ) ∂ (ρv ) ∂ (ρw)
+
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
∂z
En considérant la masse volumique constante, on aura :
r
∂u ∂v ∂w
+
+
= 0 ou ; DivV = 0
∂x ∂y ∂z
Et comme il a déjà été cite au chapitre précédent, l’équation de continuité peut
s’écrire sous la forme :
∂Ω ∂Q
+
=0
∂t
∂s
Donc pour un fluide parfait supposé incompressible, on a cinq équations ;
- Trois équations d’Euler.
- Equation de continuité.
- Et ρ=const.
IIEquation fondamentale pour un fluide parfait :
Soit le système d équations d’Euler :
r
r r
1
gradP = F − γ ,
ρ
r
F (Fx , Fy , Fz )

du d 2 x
γ
=
=
 x
dx dt 2

r
dv d 2 y
Et γ γ y =
=
dy dt 2


dw d 2 z
= 2
γ z =
dt
dt

Le système d’Euler peut donc s’écrire sous la forme :
1
ρ

1

ρ
1

ρ
∂P
du
= Fx −
∂x
dt
∂P
dv
= Fy −
∂y
dt
∂P
dw
= Fz −
∂z
dt
Multipliant la première équation par dx, la deuxième par dy et la troisième par dz, et
sommant :
1  ∂P
∂P
∂P 
dv
dw 
 du

dx +
dy +
dz  = (Fx dx + Fy dy + Fz dz ) −  dx + dy +
dz 
ρ  ∂x
∂y
∂z 
dt
dt 
 dt
De cette équation on obtiendra :
1
∂P 
dt  = (Fx dx + Fy dy + Fz dz ) − (udu + vdv + wdw )
 dP −
ρ
∂t 
r
(udu + vdv + wdw) = VdV , V (u , v, w)
L’équation fondamentale du mouvement d’un fluide parfait sera :
∂P 
1
dt  = (Fx dx + Fy dy + Fz dz ) − VdV
 dP −
ρ
∂t 
C’est l’équation fondamentale du mouvement d’une particule fluide le long d’une
trajectoire, c’est une équation proche de celle développée en statique des fluides, avec
∂P
seulement l’ajout de VdV et
dt
∂t
Si l’écoulement est permanent, l’équation s’écrit :
1
(dP ) = (Fx dx + Fy dy + Fz dz ) − (VdV )
ρ
III-
Equation de Bernoulli (Fluide incompressible soumis à la seule action de
la gravite) :
Soit un cas particulier et fréquent d’un écoulement fluide où toutes les vitesses sont
normales à une section transversale plane du courant et égales entre elles. L’équation de
continuité s’écrit pour un fluide supposé incompressible :
డఆ
డ௧
+
డொ
డ௦
=0
Pour un écoulement permanent :
Ce qui entraine
డொ
డ௦
= 0.
డఆ
డ௧
= 0.
Le débit est donc constant le long d’un filet fluide. La permanence du mouvement dans le
temps entraine la permanence du débit dans l’espace.
Si maintenant on a un écoulement quelconque permanent d’un fluide
incompressible (ρ= constant) l’équation du mouvement s’écrit :
1
(dP ) = (Fx dx + Fy dy + Fz dz ) − (VdV )
ρ
Le fluide en mouvement est supposé soumis à la seule action de la gravité, on aura :
‫ܨ‬௫ = ‫ܨ‬௬ = 0 et ‫ܨ‬௭ = −݃
L’équation précédente s’écrit :
1
(dP ) = (− gdz ) − (VdV )
ρ
Après intégration on trouve :
ܲ
ܸଶ
+ ܼ݃ +
= ܿ‫ݐݏ݊݋‬
ߩ
2
Et
ܲ
ܸଶ
+ܼ+
= ܿ‫ݐݏ݊݋‬
ߩ݃
2݃
Cette dernière équation est homologue à celle trouvée en hydrostatique, sauf qu’ici on
trouve le terme de
cinétique.
௏²
ଶ௚
qui représente la hauteur représentative de la vitesse ou l’énergie
La constante a une dimension d’une hauteur, elle représente la charge totale de
l’écoulement (ou l’énergie de l’écoulement), l’équation devient :
ܸଶ
ܲ
+ܼ+
= ܿ‫ܪ = ݐݏ݊݋‬
2݃
ߩ݃
C’est l’équation de Bernoulli pour un fluide parfait incompressible soumis à la seule
action de la gravité en mouvement permanent.
Cette équation peut être applicable sur un filet liquide en plus d’une trajectoire.
Théorème de Bernoulli :
En tous points d’un filet liquide pris dans une masse liquide de fluidité parfaite en
mouvement permanent et soumis à la seule action de la pesanteur ; la côte Z, la hauteur
représentative de la pression
somme constante.
௉
ఘ௚
et la hauteur représentative de la vitesse
௏²
ଶ௚
forment une
Le théorème de Bernoulli exprime donc que tout au long d’un filet liquide de fluidité
parfaite en mouvement, soumis à la seule action de la pesanteur, l’énergie mécanique
totale par unité de masse se conserve.
C’est sous cette forme que Bernoulli a introduit son traité en 1738, se sont les
commentateurs de son œuvre qui ont déduit la forme mathématique classique qu’on
connait.
IVReprésentation graphique du théorème de Bernoulli :
Considérant le filet liquide (MN) représenté dans la figure suivante :
Ligne d’énergie
V²/2g
P/ρg
M
Ligne piézométrique
Z
N
Pour un écoulement d’un fluide parfait, la ligne d’énergie est horizontale, pour un fluide
réel la ligne est descendante à cause de l’existence de pertes d’énergie ou pertes de
charge, chose qu’on va voir dans le chapitre suivant.
Pour un écoulement à surface libre, la ligne piézométrique est confondue avec le plan
(surface libre) du liquide.
VApplication pratique de l’équation de Bernoulli :
Parmi les applications très nombreuses de l’équation de Bernoulli, il y a surtout ceux
de la mesure de débit et de vitesses, les instruments de mesure les plus répondus sont :
- Les venturi-mètres (tubes venturi).
- Diaphragmes (débit-mètres à orifice).
- Tubes de Pitot.
V-1- Venturi-mètre :
Le tube de venturi est un conduit convergent-divergent qu’on installe dans une conduite
pour mesurer le débit.
Charge Totale
V12/2g
Vn2/2g
V22/2g
h1=P1/ρg
hn
h2=P2/ρg
S1
S2
Z1
Sn
Z2
Zn
L’équation d’énergie ou l’équation de Bernoulli s’écrit entre les sections principales et
d’étranglement :
ܲଵ
ܸଵଶ ܲଶ
ܸଶଶ
+ ܼଵ +
=
+ ܼଶ +
ߩ݃
2݃ ߩ݃
2݃
En plus de l’équation de continuité :
V1S1=V2S2
En combinant ces deux équations, on obtient une équation de la vitesse à la section
d’étranglement :
ܸଶ =
Et le débit serait :
1
ඨ1 − ቀܵଶ ቁ
ܵଵ
ܲଶ
ܲଵ
ඨ2݃ ൤൬ + ܼଵ ൰ − ൬ + ܼଶ ൰൨
ߩ݃
ߩ݃
ଶ
ܳ = ܸଶ ܵଶ =
ܵଶ
ଶ
ඨ1 − ቀܵଶ ቁ
ܵଵ
ඨ2݃ ൤൬
ܲଵ
ܲଶ
+ ܼଵ ൰ − ൬ + ܼଶ ൰൨
ߩ݃
ߩ݃
Ce débit est considéré comme un débit théorique, car le fluide est supposé parfait. Le
débit réel est obtenu en multipliant le débit théorique par un coefficient correcteur qui
prend en considération la perte d’énergie dans le venturi, ce coefficient est appelé
coefficient de débit Cd.
ܳ = ‫ܥ‬ௗ ܸଶ ܵଶ =
‫ܥ‬ௗ ܵଶ
ܲଶ
ܲଵ
ඨ2݃ ൤൬ + ܼଵ ൰ − ൬ + ܼଶ ൰൨
ߩ݃
ߩ݃
ଶ
ܵ
ଶ
ඨ1 − ቀ ቁ
ܵ
ଵ
Le Venturi-mètre est l’un des instruments les plus utilisés dans la mesure des débits
fluides.
V-2- débitmètre à Diaphragme :
Le débitmètre à diaphragme ou à orifice est un dispositif composé d’une plaque
munie d’une ouverture (orifice) et installée dans une conduite ou sur la paroi d’un
réservoir ou n’importe quel endroit où on désire mesurer le débit, son principe de
fonctionnement est le même qu’un venturi-mètre où l’étranglement provoque une
variation de pression qui est utilisée pour estimer la vitesse d’écoulement et ainsi le débit.
SE
SF
Fig( ) : Diaphragme
1


2g

Q = VF S F = C d S F 
1 −  A F
  A E

2

 P+ P- 
 − 
2 
  ρg ρg 




Le coefficient de débit ce cas est plus petit que celui du Venturi l’étranglement brusque
provoque plus de pertes d’énergie que l’étranglement graduel.
V-3- Tube de Pitot :
C’est un instrument utilisé pour mesurer les vitesses des écoulements, et donc les
débits. Il est constitué d’une extrémité très fine positionnée au niveau du point où on veut
déterminer la vitesse, elle est raccordée à un tube transparent qui permet la transformation
de l’énergie cinétique de l’écoulement fluide en hauteur facilement mesurable. Cet
instrument est utilisé dans les écoulements sous pression et à surface libre.
Pdiff
ρg
=
⇒V =
V²
2g
2 Pdiff
ρ
Fig() : Ecoulement en charge.
݄=
ܸ²
֜ ܸ = ඥ2݄݃
2݃