CALCUL LITTÉRAL (1) I. EXPRESSIONS LITTÉRALES ET PROGRAMMES DE CALCULS Tout programme de calcul peut se traduire par une expression littérale. Exemple : 1) 2) 3) 4) L’expression littérale associée à ce programme de calcul est : Je choisis un nombre Je le multiplie par 5 5x−2×3 Je soustrais 2 au produit obtenu Je multiplie la différence obtenue par 3 Réciproquement, toute expression littérale peut se traduire par un programme de calcul Exemple : 1) Je choisis un nombre L’expression littérale x 23x peut se traduire par le programme de calculs suivant : 2) Je calcule le carré de ce nombre 3) J'ajoute le triple du nombre de départ Il faut savoir calculer la valeur d’une expression littérale pour une valeur donnée de la lettre. Exemple : Calculer 3x57x – 9 pour x=10 3×105 7×10 – 9=35×61=2135 Il faut comprendre l’expression « exprimer une grandeur en fonction d’une autre » Exemple : Exprimer en fonction de la longueur d le périmètre du rectangle ABDC : Périmètre : P=3d23d255 P=6d14 II. DU CALCUL LITTÉRAL POUR QUOI FAIRE ? Pour simplifier certains calculs (en particulier lorsqu’ils sont répétitifs) Exemple : Calculer le périmètre du quadrilatère ABCD pour toutes les valeurs de d entre 5 et 10. L’unité est le cm. p=2d45d17dd6 p=15d11 Si d= 5 cm alors p=15×511 donc p=86 cm Si d= 6 cm alors p=15×611 donc p=101 cm Pour résoudre certains problèmes qu’on ne sait pas résoudre autrement. On ne peut pas remonter ce programme de calcul car Ex : « J’ai pensé un nombre, je l’ai multiplié par 4, il faut connaître le nombre de départ (dernière étape) j’ai soustrait 5 au produit obtenu, j’ai multiplié la donc on va écrire la formule associée à ce programme différence obtenue par 3 et enfin j’ai soustrait à ce et la simplifiée pour pouvoir remonter. produit le double du nombre choisi au départ. 4x5×3−2x=12x15−2x=10x15 J’ai alors obtenu 100 comme résultat. A quel nombre ai-je pensé ? » Le programme ci-dessus revient à multiplier le nombre de départ par 10 puis ajouter 15, donc pour remonter ce programme simplifié, il faut soustraire 15 puis diviser par 10 : 100−15÷10=8,5 Pour prouver certaines propriétés générales. Pour prouver qu’une propriété est vraie pour tous les nombres, il suffit de le prouver par un calcul littéral Exemple : Jean utilise le programme de calcul suivant : « Il choisit un nombre, il ajoute 1 au double du nombre choisi, il triple la somme obtenue et enfin ajoute 1 au produit obtenu ». Claire utilise le programme suivant : « Elle choisit un nombre, elle ajoute 2 au triple du nombre choisi puis elle double la somme obtenue ». Est-il vrai que si Jean et Claire choisissent le même nombre ils obtiendront le même résultat ? Justifier. Expression littérale associée au programme de calcul de Jean : 2x1×31=6x31=6x4 Expression littérale associée au programme de calcul de Claire : 3x2 times2=6x4 Les deux programmes sont associés à des expressions littérales égales donc Jean et Claire trouveront toujours des résultats égaux s’ils choisissent le même nombre de départ. III. EXPRESSION LITTÉRALES ÉGALES : Deux expressions littérales sont égales lorsqu’elles donnent des résultats égaux quel que soit la valeur choisie pour la lettre. Comment prouver que deux expressions littérales sont égales ? C’est souvent la distributivité qui donne la réponse. Exemple 1 : Prouver que 4x3x=7x . On part de l'une des expressions littérales, on effectue les calculs et on obtient la deuxième expression littérale. Preuve : 4x3x= 43×x=7x Exemple 2 : Prouver que 37x−24x=55x−24 . On calcule séparément les deux expressions littérales et on obtient la même expression simplifiée. Preuve : d'une part 37x−24x=3×7x−3×24x =21x−64x =25x−6 d'autre part 55x−24=5×5x−5×24 =25x−104 =25x−6 Les deux expressions littérales sont égales, donc l’égalité demandée a bien été prouvée. Comment prouver que deux expressions littérales ne sont pas égales ? Un contre-exemple suffit à prouver qu’une propriété générale est fausse. Exemple : Prouver que l’égalité 53x=8x est une égalité fausse Si x=2 ,d'une part 53x=53×2=11 , et d'autre part 8x=8×2=16 Les deux résultats sont différents donc l’égalité littérale est fausse. Attention : ceci ne signifie pas que les résultats obtenus pour une même valeur de x sont toujours différents. Par exemple, si x=1 , d'une part 53x=53×1=8 et d'autre part 8x=8×1=8 les deux expressions donnent le même résultat. IV. RÈGLES DE SIMPLIFICATION ET DE CALCULS SUR LES EXPRESSIONS LITTÉRALES : On n’écrit pas le signe × lorsqu’il n’y a pas risque de confusion. Exemple : a×b=ab 7×5×x−3=75x−3 x×7=7x Contre-exemple : si on calcule 7x pour x=2 il faut écrire 7×2 et non 7 2 ! Distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction : Si a, b et c sont trois nombres, alors : abac=a bc ab−ac=a b−c Dans un produit, on peut changer l’ordre des facteurs et les associer comme on veut. Exemple : 5x×3=5×x×3=5×3×x=15 x 4x×6x=4×x×6×x=4×6×x×x=24 x2 Autres règles : si a est un nombre : 1×a =a et 0×a=0 V. SUPPRESSION DES PARENTHÈSES : On utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition ou la soustraction. Exemple : 2x−35x4=2x−35x4=7x1 2x−3−5x4=2x−3−5x−4=−3x−7 2x−35x−4=2x−35x−4=7x−7 2x−3−5x−4=2x−3−5x4=−3x1