Vecteurs
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Vecteurs 1/ Définition ⎯ → Un vecteur u est un objet mathématique caractérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou norme). ⎯⎯→ ⎯ → Si AB est un représentant du vecteur u, alors : - La direction du vecteur ⎯u→ est la droite (AB), - Le sens du vecteur ⎯u→ est le sens A vers B, - La longueur du vecteur ⎯u→ est la longueur AB du segment [AB]. Remarques : ⎯⎯→ La translation qui transforme A en B est ⎯⎯→ appelée translation de vecteur AB. ⎯⎯→ Le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB. ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯ → ⎯ → u = AA = BB = … est appelé le vecteur nul et est noté 0. Il n’a ni direction, ni sens. ⎯⎯→ B B 2/ Propriétés ⎯⎯→ C A Si AB = DC alors ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati). C A D D B Si ABCD est⎯⎯→ un parallélogramme (éventuellement ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ aplati) alors AB = DC et AD = BC B C A C A D ⎯⎯→ ⎯⎯→ D C Si AB = BC alors B est le milieu⎯⎯→ de [AC] ⎯⎯→ Si B est le milieu de [AC] alors AB = BC C B B A A 3/ Somme de vecteurs ⎯⎯→ ⎯⎯→ A, B et C étant trois points du plan, la translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur BC ⎯⎯→ est la translation⎯⎯→ de vecteur AC. ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ On écrit alors : AB + BC = AC (relation de Chasles) et on dit que AC est la somme de AB et BC . Construction de la somme de deux vecteurs : ⎯ → v ⎯ → u ⎯ → w ⎯ → ⎯ → w v ⎯ → ⎯ → ⎯ → w=u+v ⎯ → u Relation de Chasles Règle du parallélogramme Remarques : ⎯ → ⎯ → ⎯ → ⎯ → ⎯ → ⎯ → Quels que soient u et v : u + v = v + u La somme de deux vecteurs opposés est égale au vecteur nul. ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯ → Si BA + BC = 0 alors B est le milieu de [AC]. ⎯ → ⎯⎯→ ⎯⎯→ Si B est le milieu de [AC] alors BA + BC = 0. C C B A B A 4/ Produit d’un vecteur par un réel ⎯ → ⎯ → Soit u un vecteur et k un nombre réel. On définit le vecteur k u de la façon suivante : ⎯ → Si k > 0 alors k u est le vecteur qui a la même direction et le ⎯ → ⎯ → même sens que u et une longueur égale à k fois celle de u. ⎯ → ⎯ → Si k < 0 alors k u est le vecteur qui a la même direction que u, le ⎯ → ⎯ → sens opposé à u et une longueur égale à –k fois celle de u. ⎯ → Si k = 0 alors k u est le vecteur nul. ⎯ → ⎯ → v ⎯ → u 3u 3 ⎯→ – v 2 5/ Bases et repères a) Définition ⎯⎯→ ⎯ → ⎯⎯→ ⎯ → Soient O, I et J trois points non alignés du plan. On pose i = OI et j = OJ . ⎯ → ⎯ → ⎯ → ⎯ → On dit que le couple ( i ; j ) est une base du plan. On dit que (O ; i ; j ) est un repère du plan. b) Coordonnées dans une base ⎯ → ⎯ → Étant donnée une base ( i ; j ) : ⎯ → ⎯ → ⎯ →⎛ x ⎞ ⎯ →⎛ x' ⎞ ⎯ → ⎯ →⎛ x + x’ ⎞ ⎯ →⎛ kx ⎞ Si u ⎝ y ⎠ et v ⎝ y' ⎠ alors u + v ⎜⎝ y + y’ ⎟⎠ et k u ⎝ ky ⎠ ⎯ → 3 ⎯→ j 2 ⎯ → Tout vecteur u s’écrit de façon unique en fonction de i et j : ⎯ → ⎯ → ⎯ → ⎯ → u = x i + y j . Le couple (x ; y) est le couple de coordonnées de u. x ⎯ → ⎯ → ⎯ → ⎯ →⎛ x ⎞ est l’abscisse de u et y est l’ordonnée de u. On note u(x ; y) ou u ⎝ y ⎠ ⎯ → j u ⎯ → ⎯ → –2 i i u = –2 i + 3 j donc u ⎛–2 , 3⎞ 2 ⎝ 2⎠ ⎯ → ⎯ → ⎯ → ⎯ → Exemples : ⎯→ ⎯ → Si u (2⎯→; 5)⎯→et v (4 ; –1) ⎯ → ⎯ → alors u + v⎯(2 + 4 ; 5 + (–1)) donc u + v ⎯(6 ; 4) → → –3 v (–3 × 4 ; –3 × (–1)) donc –3 v (–12 ; 3) c) Coordonnées dans un repère ⎯ → ⎯ → Étant donné un repère (O ; i ; j ) : ⎯⎯→ Quel que soit le point M du plan, le vecteur OM s’écrit de façon ⎯⎯→ ⎯ → ⎯ → ⎯ → ⎯ → unique en fonction de i et j : OM = x i + y j . Le couple (x ; y) est le couple de coordonnées de M. x est l’abscisse de M et y est l’ordonnée de M. On note M(x ; y). ⎯ → ⎯ → OM = 2 i – j donc M(2 ; –1)l ⎯⎯→ ⎯ → j O ⎯ → i M x + xB yA + yB ⎞ Si A(xA ; yA), B(xB ; yB) et I est le milieu de [AB] alors I⎛⎜ A ; 2 ⎟⎠ ⎝ 2 Si A(x⎯⎯→ A ; yA), B(xB ; yB) alors AB(xB – xA ; yB – yA). B 2 3 –1 O –2 A Exemple : Si A(–4 ; 4) et B(2 ; 1) –4 + 2 4+1 5 alors xI = = –1 et yI = = 2 2 2 5 donc I⎛–1 , ⎞ ⎝ 2⎠ A(3 ; –2) et B(–1 ; 2) ⎯⎯→ donc AB (–1 – 3 ; 2 – (–2)) l ⎯⎯→ AB (– 4 ; 4) l 6/ Colinéarité a) Définition ⎯ → Deux vecteurs sont dits colinéaires s’ils ont la même direction. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. u ⎯ → j ⎯ → v ⎯ → ⎯ → ⎯ → i u = –2 v donc u et v sont colinéaires ⎯ → ⎯ → i et j ne sont pas colinéaires u et v sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que ⎯ → ⎯ → ⎯ → ⎯ → u = k v ou tel que v = k u. ⎯ → ⎯ → ⎯ → ⎯ → b) Caractérisation de la colinéarité ⎯ →⎛ x ⎞ ⎯ →⎛ x' ⎞ Soient u ⎝ y ⎠ et v ⎝ y' ⎠. ⎯ → ⎯ → u et v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. ⎯ → ⎯ → u et v sont colinéaires si et seulement si xy’ – x’y = 0. ⎯ → ⎯ → Remarque : La quantité xy’ – x’y est appelée déterminant des vecteurs u et v. Exemples : ⎯→ ⎯ → Les vecteurs u (6 ; –9) et v (–8 ; 12) sont-ils colinéaires ? x⎯→u y v –⎯→xv y u = 6 × 12 – (–8) × (–9) = 72 – 72 = 0 u et v sont donc colinéaires. → ⎯ → ⎯ → ⎯ → ⎯ ⎯ → ⎯ → Les vecteurs w(2 ; –6) et z (–3 ; 7) sont-ils colinéaires ? x⎯→wy z –⎯→x z yw = 2 × 7 – (–6) × (–3) = 14 – 18 = – 4 ≠ 0 w et z ne sont donc pas colinéaires. → ⎯ → ⎯ → ⎯ → ⎯ c) Applications ⎯⎯→ ⎯⎯→ Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Exemple : B ⎯ → ⎯ → 7 5 1 Dans un repère (O ; i ; j ), on a A(4 ; 2), B⎛3 , ⎞, C⎛1 , ⎞ et D⎛1 , ⎞. ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ Démontrer que ABCD est un trapèze. C ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ 1 3 5 7 AD ⎛1 – 4 , – 2⎞ donc AD ⎛–3 , – ⎞ BC ⎛1 – 3 , – ⎞ donc BC (–2 ; –1) 2 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎯⎯→ ⎯⎯→ 3⎞ ⎛ –3 × (–1) – (–2) × – = 3 – 3 = 0. Les vecteurs AD et BC sont donc colinéaires. ⎝ 2⎠ Ainsi les droites (AD) et (BC) sont parallèles donc ABCD est un trapèze. A ⎯ → D j ⎯ → O ⎯⎯→ i ⎯⎯→ Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Exemple : ⎯ → ⎯ → Dans un repère (O ; i ; j ), on a A(–1 ; 5), B(0 ; 3) et C(2 ; –1). Démontrer que A, B et C sont alignés. ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ A ⎯⎯→ AB (0 – (–1) ; 3 – ⎯⎯→ 5) donc ⎯⎯→ AB (1 ; –2) AC (2 – (–1) ; –1 – 5) donc AC (3 ; – 6)1 On remarque que AC = 3 AB (ou on calcule le déterminant : 1 × (–6) – 3 × (–2) = 0) ⎯⎯→ ⎯⎯→ On en déduit que AB et AC sont colinéaires. l Les points A, B et C sont donc alignés. B ⎯ → j O ⎯i→ C
