Les suites réelles et complexes Table des matières

Les suites réelles et complexes
Table des matières
1 L’ensemble des suites sur IK
1.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Suites majorées, minorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
2 Convergence, divergence
3
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Propriétés d’ordre des suites réelles convergentes ou divergentes vers l’infini 5
3
Utilisation de la monotonie
3.1 Suites réelles monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
4 Suites extraites
7
5
7
7
7
8
Relation de comparaison
5.1 Relation de domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Relation de négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Dans ce chapitre, IK désigne IR ou C
I.
L’ensemble des suites sur IK
1
1.1
Lois de composition
Définition 1 : On appelle, suite d’éléments de IK indexée par I, (où I ∈ P(IN )), toute
application de I dans IK :
u : I −→ IK
n 7−→ un
On note u par (un )n∈I . un est le n ième terme de la suite.
L’ensemble des suites d’éléments de IK indexée par I est noté IK I .
On définit sur cet ensemble une addition et une multiplication internes, puis une multiplication externe qui font de IK I un anneau commutatif, puis un espace vectoriel.
1.2
Suites majorées, minorées, bornées
Dans ce paragraphe, IK = IR.
Définition 2 : On dit que la suite réelle (an )n∈I est majorée (resp : minorée, resp : bornée)
si l’ensemble {an /n ∈ I} est une partie majorée (resp : minorée, resp : bornée) de IR.
En d’autres termes,
(an )n∈I est majorée ⇐⇒ ∃α ∈ IR, ∀n ∈ I, an ≤ α
(an )n∈I est minorée ⇐⇒ ∃α ∈ IR, ∀n ∈ I, an ≥ α
(an )n∈I est bornée ⇐⇒ ∃(α, β) ∈ IR2 , ∀n ∈ I, β ≤ an ≤ α
On démontre que :
(an )n∈I est bornée ⇐⇒ ∃γ ∈ IR, ∀n ∈ I, | an |≤ γ
1.3
Suites monotones
Dans ce paragraphe, IK = IR.
Définition 3 : Soit une suite réelle (an )n∈I .
On dit que (an )n∈I est croissante (resp : strictement croissante) si :
∀n ∈ I, an ≤ an+1 ( resp : ∀n ∈ I, an < an+1 )
On dit que (an )n∈I est décroissante (resp : strictement décroissante) si :
∀n ∈ I, an ≥ an+1 ( resp : ∀n ∈ I, an > an+1 )
On dit qu’une suite est monotone (resp : strictement monotone) si elle est croissante
ou décroissante
(resp : strictement croissante ou strictement décroissante).
On dit qu’une suite est stationnaire si à partir d’un certain rang, elle est constante,
c’est à dire : ∃p ∈ I, ∀n ∈ I, n ≥ p, an = ap
2
2
Convergence, divergence
2.1
Définitions
Désormais, dans toute la suite de ce chapitre, les définitions et propriétés sont données
pour des suites indexées par IN . Pour des suites indexées par des parties I 6= IN , il faut
remplacer la condition n ∈ IN , par n ∈ I lorsqu’il est question du nième terme de la suite.
Définition 4 : Soit une suite (un )n∈IN d’éléments de IK.
1) On dit que (un )n∈IN converge vers l ∈ IK si :
∀ε > 0, ∃Nε ∈ IN, ∀n ≥ Nε , | un − l |≤ ε
On note alors lim un = l ou lim(un )n∈IN = l ou un −→ l.
n→+∞
n→+∞
l est appelé limite de la suite.
2) On dit que (un )n∈IN est convergente si il existe un élément l ∈ IK tel que (un )n∈IN
converge
vers l ∈ IK :
∃ l ∈ IK, ∀ε > 0, ∃Nε ∈ IN, ∀n ≥ Nε , | un − l |≤ ε
3) On dit que (un )n∈IN est divergente si elle ne converge pas, c’est à dire donc :
∀l ∈ IK, ∃ε > 0, ∀N ∈ IN, ∃n ≥ N, | un − l |> ε
Propriété 1 : Unicité de la limite quand elle existe
Si (un )n∈IN est convergente, alors sa limite est unique.
Propriété 2 :
1) Modification d’un nombre fini de termes
Si (un )n∈IN converge vers l ∈ IK et si la suite (yn )n∈IN est telle que : ∃p ∈ IN, ∀n ≥ p, un = yn ,
alors (yn )n∈IN converge vers l ∈ IK.
2) Décalage d’indice
Soient (un )n∈IN une suite et (yn )n∈IN telle que : ∃k ∈ Z,
Z ∀n ∈ IN, yn = un+k .
Les deux suites sont de même nature et si elles convergent, elles convergent vers la
même limite.
Définition 5 : Soit une suite (un )n∈IN réelle.
1) On dit que (un )n∈IN diverge vers +∞ si :
∀A > 0, ∃NA ∈ IN, ∀n ≥ NA , un ≥ A
On note lim un = +∞ ou lim(un )n∈IN = +∞ ou un −→ +∞.
n→+∞
n→+∞
2) On dit que (un )n∈IN diverge vers −∞ si :
∀B < 0, ∃NB ∈ IN, ∀n ≥ NB , un ≤ B
On note lim un = −∞ ou lim(un )n∈IN = −∞ ou un −→ −∞.
n→+∞
n→+∞
Remarques :
1) (un )n∈IN diverge vers +∞ si et seulement si (−un )n∈IN diverge vers −∞.
2) Toute suite divergeant vers l’infini est une suite divergente.
3
Propriété 3 :
1) Toute suite convergente est bornée.
2) Toute suite réelle divergente vers +∞ est minorée et non majorée.
3) Toute suite réelle divergente vers −∞ est majorée et non minorée.
Remarques :
1) Toute suite non bornée est divergente.
2) Il existe des suites bornées non convergentes : par exemple, un = (−1)n .
2.2
Propriétés algébriques
Propriété 4 : Soient λ ∈ IK, (l, l0 ) ∈ IK 2 , (un )n∈IN , (vn )n∈IN deux suites d’éléments de IK
(on dit auusi des suites numériques).
On a :
1) (un )n∈IN converge vers l =⇒ (| un |)n∈IN converge vers | l |.
2) (un )n∈IN converge vers 0 ⇐⇒ (| un |)n∈IN converge vers 0.
3)
(un )n∈IN converge vers l
=⇒ (un + vn )n∈IN converge vers l + l0
(vn )n∈IN converge vers l0
4) (un )n∈IN converge vers l =⇒ (λun )n∈IN converge vers λl.
5)
(un )n∈IN converge vers 0
=⇒ (un vn )n∈IN converge vers 0
(vn )n∈IN est bornée
6)
(un )n∈IN converge vers l
=⇒ (un vn )n∈IN converge vers l l0
(vn )n∈IN converge vers l0
7)
(un )n∈IN

1


est défini à partir d’un certain rang
 a)
converge vers l
un n∈IN =⇒
1
1
l 6= 0


converge vers
 b)
un n∈IN
l
8)


un


est défini à partir d’un certain rang
 (un )n∈IN converge vers l
 a)
vn n∈IN 0
(vn )n∈IN converge vers l =⇒
un
l



l0 6= 0
converge vers 0
 b)
vn n∈IN
l
Propriété 5 : Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites réelles, (l, l0 ) ∈ IR2 et la suite
complexe (zn )n∈IN définie par : ∀n ∈ IN, zn = xn + i yn et L = l + i l0 .
Alors :
(zn )n∈IN converge vers L ⇐⇒ (xn )n∈IN converge vers l et (yn )n∈IN converge vers l0
4
Propriété 6 : Soient (un )n∈IN et (vn )n∈IN deux suites réelles.
1) Si (un )n∈IN diverge vers +∞ et (vn )n∈IN est minorée alors (un + vn )n∈IN diverge vers
+∞.
Enparticulier :
(un )n∈IN diverge vers + ∞
–
=⇒ (un + vn )n∈IN diverge vers + ∞
(vn )n∈IN diverge vers + ∞
(un )n∈IN diverge vers + ∞
–
=⇒ (un + vn )n∈IN diverge vers + ∞
(vn )n∈IN converge vers l ∈ IR
2) Si (un )n∈IN diverge vers +∞ et si ∃C > 0, ∃N ∈ IN, ∀n ≥ N, vn ≥ C alors (un vn )n∈IN
diverge vers +∞.
Enparticulier :
(un )n∈IN diverge vers + ∞
–
=⇒ (un vn )n∈IN diverge vers + ∞
(vn )n∈IN diverge vers + ∞
(un )n∈IN diverge vers + ∞
–
=⇒ (un vn )n∈IN diverge vers + ∞
∗
(vn )n∈IN converge vers l ∈IR+
1
converge vers 0.
3) (un )n∈IN diverge vers ±∞ =⇒
un n∈IN
1
diverge
4) Si (un )n∈IN converge vers 0 et si ∃N ∈ IN, ∀n ≥ N, un > 0 alors
un n∈IN
vers +∞.
2.3
Propriétés d’ordre des suites réelles convergentes ou divergentes vers l’infini
Ce paragraphe ne concerne que des suites réelles car on fait intervenir ≤.
Propriété 7 : Soient (un )n∈IN une suite réelle convergente vers l, (a, b) ∈ IR2 .
1) Si a < l, alors :
∃ N1 ∈ IN, ∀n ≥ N1 , a < un
2) Si l < b, alors :
∃ N2 ∈ IN, ∀n ≥ N2 , un < b
3) Si a < l < b, alors :
∃ N ∈ IN, ∀n ≥ N, a < un < b
4) Si l 6= 0, alors, à partir d’un certain rang, un 6= 0 et un est du signe de l.
Propriété 8 : Passage à la limite dans les inégalités
Soient (un )n∈IN et (vn )n∈IN deux suites réelles convergentes respectivement vers l et
0
l , (a, b) ∈ IR2 .
1) Si ∃ N1 ∈ IN tel que ∀n ≥ N1 , a ≤ un , alors a ≤ l.
2) Si ∃ N2 ∈ IN tel que ∀n ≥ N2 , un ≤ b, alors l ≤ b.
3) Si ∃ N ∈ IN tel que ∀n ≥ N, un ≤ vn , alors l ≤ l0 .
5
Propriété 9 :Théorème des gendarmes
Soient (un )n∈IN , (vn )n∈IN , (wn )n∈IN trois suites réelles telles que :

∃ N ∈ IN, ∀n ≥ N, un ≤ vn ≤ wn



(un )n∈IN converge vers l1
(wn )n∈IN converge vers l2



l1 = l2
Alors (un )n∈IN est convergente et sa limite est l1 = l2
Propriété 10 : Soient (un )n∈IN , (vn )n∈IN deux suites réelles.
1) Si ∃ N ∈ IN, ∀n ≥ N, un ≤ vn et (un )n∈IN diverge vers +∞, alors (vn )n∈IN diverge
vers +∞.
2) Si ∃ N ∈ IN, ∀n ≥ N, un ≤ vn et (vn )n∈IN diverge vers −∞, alors (un )n∈IN diverge
vers −∞.
3
Utilisation de la monotonie
La monotonie ne concernant que les suites réelles, ce paragraphe ne concerne encore
que les suites réelles.
3.1
Suites réelles monotones
Théorème :
1) a) Une suite réelle (un )n∈IN croissante et majorée dans IR est convergente et sa limite
l est la borne supérieure de {un /n ∈ IN } et donc on a : ∀n ∈ IN, un ≤ l.
b) Une suite croissante et non majorée diverge vers +∞.
2) a) Une suite réelle (un )n∈IN décroissante et minorée dans IR est convergente et sa limite
l est la borne inférieure de {un /n ∈ IN } et donc on a : ∀n ∈ IN, un ≥ l.
b) Une suite décroissante et non minorée diverge vers −∞.
3.2
Suites adjacentes
Définition 6 : Deux suites réelles (un )n∈IN et (vn )n∈IN sont dites adjacentes si :
1)
2)
3)
l’une est croissante
l’autre est décroissante
(un − vn )n∈IN converge vers 0
Propriété 11 :
Si deux suites réelles (un )n∈IN et (vn )n∈IN sont adjacentes alors elles convergent et elles
ont même limite.
De plus, si l est cette limite commune et dans le cas où (un )n∈IN est croissante et
(vn )n∈IN décroissante,
on a : ∀n ∈ IN, un ≤ l ≤ vn
Corollaire : Théorème des segments emboîtés
Soit (In )n∈IN une suite de segments de IR (c’est à dire In ⊂ IR et In est un segment)
On suppose que : ∀n ∈ IN, In+1 ⊂ In et que les longueurs des segments In forment
une suite réelle convergente vers 0.
Alors
∩ In 6= ∅
n∈IN
et
∩ In est un singleton
n∈IN
6
4
Suites extraites
Ce paragraphe concerne des suites d’éléments de IK.
Définition 7 : Soit (un )n∈IN une suite d’éléments de IK.
On appelle suite extraite de (un )n∈IN , toute suite (vn )n∈IN pour laquelle il existe une
application
ϕ : IN → IN strictement croissante telle que : ∀n ∈ IN, vn = uϕ(n) .
On note alors la suite extraite associée à ϕ par (uϕ(n) )n∈IN
Propriété 12 : Toute suite extraite d’une suite (un )n∈IN convergente vers l ∈ IK (resp :
divergente vers +∞, resp : divergente vers −∞), est convergente vers l ∈ IK (resp : divergente vers +∞, resp : divergente vers −∞).
Corollaire : Si il existe deux suites extraites de (un )n∈IN qui convergent vers des limites différentes, alors (un )n∈IN est divergente.
Exemple :
un = (−1)n
Propriété 13 : Si les deux suites extraites (u2n )n∈IN et (u2n+1 )n∈IN convergent vers la
même limite l, alors (un )n∈IN converge vers l.
Démonstration à revoir car elle peut être demandée en exercice.
5
Relation de comparaison
Ce paragraphe concerne les suites à valeurs dans IK
5.1
Relation de domination
Définition 8 : Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites.
On dit que (xn )n∈IN est dominée par (yn )n∈IN si :
∗
∃λ ∈ IR+
, ∃p ∈ IN, ∀n ≥ p, | xn |≤ λ | yn |
On note xn = O(yn ) et on dit xn est un grand O de yn .
Propriété 14 : Caractérisation du O.
Si ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0 , yn 6= 0
Alors
xn
xn = O(yn ) ⇐⇒
est une suite bornée
yn n≥n0
5.2
Relation de négligeabilité
Définition 9 : Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites.
On dit que (xn )n∈IN est négligeable devant (yn )n∈IN si :
∗
∀ε ∈ IR+
, ∃p ∈ IN, ∀n ≥ p, | xn |≤ ε | yn |
On note xn = o(yn ) et on dit xn est un petit o de yn .
7
Propriété 15 : Caractérisation du o.
Si ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0 , yn 6= 0
Alors
xn
xn = o(yn ) ⇐⇒
converge vers 0
yn n≥n0
5.3
Relation d’équivalence
Définition 10 : Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites.
On dit que (xn )n∈IN est équivalente à (yn )n∈IN si :
xn − yn = o(yn )
On note xn ∼ yn et on dit xn est équivalente à yn .
Propriété 16 : Caractérisation du ∼.
Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites.
Si ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0 , yn 6= 0
Alors
xn ∼ yn ⇐⇒
xn
yn
converge vers 1
n≥n0
Cas particuliers :
1) Si l 6= 0, xn ∼ l ⇐⇒ (xn )n∈IN converge vers l.
2) xn ∼ 0 ⇐⇒ xn = o(0) ⇐⇒ (xn )n∈IN est une suite presque nulle.
Propriété 17 : Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites.
Si ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0 , yn 6= 0,
Alors
xn ∼ yn ⇐⇒ yn ∼ xn
C’est à dire ∼ est une relation symétrique dans l’ensemble des suites.
Propriété 18 : Opérations sur les équivalents
1) Si un ∼ vn et xn ∼ yn , alors un xn ∼ vn yn .
2) Si un ∼ vn et ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0 , vn 6= 0,
Alors
– ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0 , un 6= 0
1
1
–
∼
un
vn
Propriété 19 : Application de la relation d’équivalence pour le calcul de limites.
Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites équivalentes.
Alors les deux suites ont même nature et dans le cas d’une convergence, les limites
sont identiques.
8