TS5 Contrôle de mathématiques n° 6 Exercice 2 ( 10,5 points) : Les

TS5
Contrôle de mathématiques n° 6
Exercice 1 (9,5 points) : Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa
commercialisation. Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : d’une part l’aspect du jouet est
examiné afin de vérifier qu’il ne présente pas de défaut de finition, d’autre part sa solidité est testée.
Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications, que :
• 92 % des jouets sont sans défaut de finition ;
• parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ;
• parmi les jouets qui ont défaut de finition, 25 % ne réussissent pas le test de solidité.
On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits.
On note :
•
F l’évènement : « le jouet est sans défaut de finition » ;
•
S l’évènement : « le jouet réussit le test de solidité ».
1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. (justifier toutes les probabilités)
2. Démontrer que la probabilité qu’il soit sans défaut et qu’il réussisse le test de solidité.
3. Calculer la probabilité qu’il réussisse le test de solidité. (On pourra admettre que P(S) = 0,934)
4. Le jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu’il soit sans défaut. (arrondir à 10-3)
5. On prélève au hasard dans la production de l’entreprise un lot de 15 jouets.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité. On
suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à
un tirage avec remise. Dans les questions suivantes, arrondir à 10-4 près.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier.
b. Quelle est la probabilité pour que 10 jouets aient passés avec succès le test de solidité?
c. Quelle est la probabilité pour que au moins 12 jouets aient passés avec succès le test de solidité ?
d. Calculer l’espérance de X et interpréter par une phrase.
Exercice 2 (10,5 points) : Les parties A et B sont indépendantes Un site internet propose des jeux en ligne.
Partie A : Pour un premier jeu :
2
•
si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à
5
4
•
si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à
.
5
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Gn l’évènement « l’internaute gagne la n-ième partie » et
on note pn la probabilité de l’évènement Gn.
L’internaute gagne toujours la première partie et donc p1 = 1.
1°) Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre :
1
1
2°) Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn+1 =
pn +
.
5
5
1
3°) Pour tout n entier naturel non nul, on pose : un = pn −
.
4
1
a. Montrer que (un)n ∈ IN est une suite géométrique de raison
et
5
de premier terme u1 à préciser.
n−1
3 1
1
+ .
b. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn =
4 5
4
c. Déterminer la limite de pn .
()
Partie B : Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont
indépendantes. La probabilité de gagner chaque partie est égale à 0,25.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. (Arrondir à 10-4 près)
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne exactement 8 parties ?
c. Quelle est la probabilité que le joueur gagne 6 parties ou moins ?
d. Déterminer l’espérance de X. Interpréter.
Correction
Exercice 1 :
1.
0,95
0,92
P( F ) = 1 – P(F) = 0,08
S
PF ( S ) = 1 – PF (S) = 0,05
F
S
0,05
P F ( S )=1−P F ( S ) = 0,75
0,08
0,75
S
0,25
S
F
2. P (F  S) = P(F)  PF (S) = 0,92  0,95 = 0,874
3. F et F forment une partition des jouets. D’après la formule des probabilités totales,
P (S) = P (F  S) + P ( F  S) = 0,874 + P ( F )  P F ( S ) = 0,874 + 0,08  0,75 = 0,874 + 0,06 = 0,934
La probabilité qu’il réussisse le test de solidité est 0,934.
4.
PS (F )=
P (F∩S ) 0,874
=
P (S )
0,934
≈ 0,936
5. a. On répète 15 fois de manière identique et indépendante l’épreuve de Bernoulli « choisir un jouet », de succès « le
jouet a réussi le test de solidité».
La probabilité du succès est p = P (S) = 0,934
La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit donc la loi binomiale de paramètres n = 15 et p = 0,934.
b. P(X = 10) =
(1510)
 0,93410  0,0665  0,0019
c. P (X ≥ 12) = 1 – P (X  11)  0,9856
d. E(X) = np  14
En moyenne, sur 15 jouets, 14 passent le test de solidité.
Exercice 2 :
Partie A : 1°) Voir ci-contre
2°) Soit n ≥ 1 .
Gn et Gn forment une partition de l’univers.
D’après la Formule des Probabilités Totales:
pn + 1 = p (Gn+1) = p (Gn ∩ Gn+1)+p ( Gn ∩ Gn+1)
= P G n × PG n G n +1 + P G n × PG G n +1
( )
(
) ( )
n
2
1
+ (1 − pn) ×
=
5
5
1
1
a. un+1 = pn+1 −
=
pn +
4
5
(
)
2
1
1
1
1
pn +
−
pn =
pn +
.
5
5
5
5
5
1
1
1
1
1
1
1
3°)
−
=
pn −
=
(pn −
)=
un
5
4
5
20
5
4
5
1
1
1
3
La suite (u) est donc géométrique de raison
; son premier terme est : u1 = p1−
=1−
=
.
5
4
4
4
= pn ×
n −1
b. Pour n > 0, on a : un = u1 × q
n–1
=
3  1
× ÷
4  5
ATTENTION ! Si le premier terme est u1, q n’est pas à la puissance n ,mais n – 1 …
n −1
 
1
= 3 ×  1÷ + 1
4  5
4
4
n −1
 
1
1
c. ) Comme -1 <
< 1, on a lim  1 ÷ = 0, donc lim pn =
5
4
5
 
Or pn = un +
Partie B :
1°) a. On répète 10 fois de manière identique et indépendante l’épreuve de Bernoulli « jouer une partie » de
succès « gagner la partie », donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,25.
1 – p = 0,75
10
b. P (X = 8) =
0,258 × 0,752 = 45 × 0,258 × 0,752 ≈ 0,000 4
8
La probabilité que le joueur gagne exactement 8 parties est environ 0,000 4.
c. P(X ≤ 6) ≈ 0,996 5
La probabilité que le joueur gagne moins de 6 parties est environ 0,996 5.
d. E(X) = np = 10 × 0,25 = 2,5
Formule à connaître !!!!!!!
En moyenne, un joueur gagne 2,5 parties sur 10.
( )