Particules chargées (Ex)

PCSI 2
Mouvement de particules chargées dans le vide
MOUVEMENT DE PARTICULES CHARGEES DANS LE VIDE
I Brève histoire d’un proton accéléré par le complexe d’accélérateurs du LHC au CERN
Le Grand Collisionneur de Hadrons (Large Hadron Collider ; LHC) est entré en fonctionnement en 2008. Il est situé dans un anneau
de 27 kilomètres de circonférence et enterré à 100 m sous terre à la frontière franco-suisse, près de Genève. Le LHC est désormais le
plus puissant des accélérateurs de particules au monde.
Dans les accélérateurs de particules, des protons (ou des ions) de très haute énergie circulant dans deux faisceaux tournant à contresens se choquent les uns contre les autres, dans le but de rechercher des indices de la supersymétrie, de la matière noire et de l’origine
de la masse des particules élémentaires.
Les faisceaux se composent de paquets contenant des centaines de milliards de protons chacun. Voyageant quasiment à la vitesse de la
lumière, ils sont injectés, accélérés, et maintenus en circulation pendant des heures, guidés par des milliers d’aimants
supraconducteurs puissants. L’énergie des protons (environ 7 TeV) est transformée au moment du choc en une myriade de particules
exotiques, que les détecteurs observent avec attention.
Le 04 juillet 2012, les chercheurs ont annoncé l’observation du boson de Higgs dont l’existence était prédite par le modèle standard.
On se propose dans ce problème de comprendre quelques aspects du fonctionnement du LHC.
Constantes physiques
Masse du proton
m p = 1,67.10 −27 kg
Charge électrique élémentaire
e = 1,60.10 −19 C
c = 3,00.10 8 m.s −1
g = 9,81m.s −2
Célérité de la lumière dans le vide
Accélération de la pesanteur €
2016 – 2017
€
€
€
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Unités
Energie
1,00 eV = 1,60.10-19 J
1,00 TeV = 1,00.1012 eV
Précisions sur l’énoncé
Dans tout le problème, "exprimer" signifie donner l’expression littérale et "calculer" signifie donner la valeur numérique.
Dans ce problème, nous étudions la trajectoire des protons dans le Large Hadron Collider. Le LHC est formé d’une succession
d’accélérateurs, d’énergies toujours croissantes. Chaque accélérateur injecte un faisceau dans la machine suivante, qui prend le relais
pour porter ce faisceau à une énergie encore plus élevée, et ainsi de suite. Tous les accélérateurs de particules sont composés de la
même façon : une source de particules, des champs électriques accélérateurs, des champs magnétiques de guidage et finalement des
détecteurs pour observer les particules et leurs collisions.
1. Particule dans un champ électrique constant et uniforme
a) Quelle est la force que subit un proton
plongé dans une région de l’espace où
!
règne un champ électrique uniforme E ?
b) Montrer que l’on peut négliger le poids du proton devant la force générée par
un champ E = 100 kV.m-1.
c) En utilisant le principe fondamental de la dynamique appliqué à un proton,
€
exprimer l’accélération que ressent
! un proton dans une zone de l’espace où règne
un champ électrique uniforme E .
!
d) La zone de l’espace où règne le champ E a une longueur L. En considérant
que le potentiel V0 du plan x = 0 est nul, exprimer le potentiel VL du plan x = L.
e) En supposant que€le proton entre dans la zone de champ avec une énergie
cinétique négligeable, exprimer l’énergie cinétique du proton sortant de la zone
€
d’accélération, en fonction de E puis de VL.
2. Un accélérateur linéaire de particules : le Linac 2
L’accélérateur linéaire 2 (Linac 2) constitue le point de départ des protons utilisés dans les expériences menées au CERN.
Les protons passent dans une série de conducteurs métalliques coaxiaux. On considère que le champ est nul à l’intérieur des
conducteurs. Ces protons sont accélérés par une tension maximale UC toutes les fois qu’ils passent d’un tube à l’autre. On
considérera que la distance entre deux tubes est négligeable par rapport à la longueur des tubes. Les protons sont injectés en O avec
!
!
une vitesse v 0 = v 0 u z parallèle à l’axe de l’accélérateur et générée par une tension pré-accéleratrice U0.
€
a) Quel est l’accroissement d’énergie cinétique de ces protons au passage entre deux tubes voisins ?
b) Exprimer leur énergie cinétique à la sortie du n-ième tube en fonction de UC et U0.
c) Calculer la valeur de la vitesse des protons à la sortie du 10ème tube pour U0 = 200 kV, UC = 2,00.103 kV.
d) Sachant qu’une particule est considérée comme relativiste lorsque sa vitesse atteint le tiers de la vitesse de la lumière, ces
protons sont-ils relativistes ?
3. Du linac 2 au synchroton à protons (PS)
Un élément fondamental du complexe accélérateur est le synchrotron à protons (PS). Pendant une courte période de l’histoire des
grands instruments, le PS a été l’accélérateur produisant les plus hautes énergies du monde. Aujourd’hui, il sert principalement à
alimenter le LHC.
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!
!
On considère un proton injecté en A dans le synchrotron où règne un champ magnétique statique et uniforme B0 = B0 u z . À t = 0
!
sa vitesse v 0 est perpendiculaire au champ magnétique conformément à la figure 4.
a) Donner le nom et l’expression
! vectorielle de la force que subit le proton
€
€
B
soumis
au
champ
magnétique
0.
€
Pour les questions suivantes, on considère que le proton n’est soumis qu’à
cette force.
b) Reproduire la figure 4 sur votre copie afin de représenter la force
magnétique subie par€le proton en A. Exprimer la norme de cette force.
c) Montrer que le travail associé à cette force est nul. En déduire que le
mouvement du proton est uniforme.
d) Déterminer le rayon de la trajectoire d’abord en fonction de mp, B0, e et v0,
puis en fonction de B0, e et de la quantité de mouvement p du proton.
e) Quelle est la nature du mouvement du proton après sa sortie de la zone de
champ magnétique ?
f) Effets relativistes
Pour des vitesses approchant la vitesse c de la lumière dans le vide au fur et à mesure de l’augmentation de l’énergie des
particules, il faut prendre en compte les effets relativistes.
On peut montrer que l’on peut garder, pour le rayon de courbure R des particules dans un champ magnétique uniforme en
1
fonction de leur quantité de mouvement p, l’expression de la question d) à condition de prendre p = γmv avec γ =
, où
v2
1− 2
c
v est la vitesse des particules.
De plus, on définit l’énergie E d’une particule par la relation E = Eo + Ec = γmc2, où Eo = mc2 est son énergie au repos et Ec son
énergie cinétique.
€ fonction de γ), et enfin
Donner alors successivement, pour les protons, les expressions de γ (en fonction de Ec, mp et c), v/c (en
R (en fonction de γ, mp, v, e et B).
g) Application numérique
A l’aide des résultats de la question précédente et des données numériques fournies dans le texte, estimer la valeur du champ
magnétique régnant à l’intérieur du LHC.
Les aimants utilisés, de 15 m de long et d’environ 35 tonnes, produisent en leur cœur un champ magnétique environ 200 000
fois plus grand que le champ magnétique terrestre. Le LHC en nécessite 1232.
!
! eE
Réponse :
; γ=
; VL = −eL ; EcL = eEL ; ΔEc = eU c ; Ecn = eU 0 + ( n − 1)eU c ; v10 = 5,91.10 7 m.s−1 ;
= 10
mp
eE
m pv0
γm p v 0
Ec
v
p
; γ = 1+
; = 1− γ −2 ; R =
; B = 5 T.
R=
=
2
c
eB
eB
eB
m
€pc
€
€
€
€
€
€
m pg
−12
€
€
€
II On considère
une particule de masse m et de charge q >!0 plongée dans
champ électromagnétique stationnaire et uniforme :
! un
!
!
E = Eu x et B = Bu z .
!
!
A t = 0, elle se trouve à l’origine O du repère avec une vitesse initiale : v o = v o u x .
1) Ecrire les équations différentielles satisfaites par les composantes du vecteur vitesse.
2) Déterminer la loi horaire z(t).
€
€
3) Intégrer une fois les deux équations restantes, et calculer les constantes d’intégration grâce aux conditions initiales ; on pourra
€
qB
poser ω =
.
m
4) En déduire l’équation différentielle du second ordre satisfaite par la coordonnée y.
5) Ecrire la solution générale yo(t) de l’équation précédente sans second membre, puis chercher une solution particulière y1(t) de
l’équation complète sous la forme d’un polynôme du premier degré (loi affine du temps).
€ 6) Ecrire la solution générale y(t) de l’équation de la question 4), et calculer les constantes d’intégration.
7) En déduire la loi x(t).
8) Tracer l’allure de la trajectoire.
Réponse : mv˙ x = qE + qBv y ; mv˙ y = −qBv x ; mv˙ z = 0 ; z = 0 ; ˙y˙ + ω 2 y = −ωv o −
vo
E
sin ωt +
(1 − cos ωt ) .
ω
Bω
€
€
€
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q 2 EB
v
E
t ; y(t) = o ( cos ωt − 1) +
(sin ωt − ωt ) ;
2
ω
B
ω
m
x(t) =
€
€
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III Chambre à bulles
Une chambre à bulles est un espace fermé contenant un liquide, par exemple de l’hydrogène, et formant une traînée des bulles sur la
trajectoire d'une particule qui le traverse, trajectoire qui peut donc ensuite être observée et photographiée ou filmée. Ces chambres
étaient utilisées comme détecteur de particules au milieu du XXe siècle.
La chambre à bulles a été inventée par Donald A. Glaser en 1952, ce qui lui valut le Prix Nobel de physique en 1960.
Chambre à bulles exposée à l'extérieur d'un
bâtiment du Fermilab près de Chicago
Image prise dans une chambre à bulles montrant les
trajectoires des particules courbées par un champ magnétique
La chambre à bulles est plongée dans un champ magnétique puissant. Les particules chargées qui la traversent subissent alors la force
de Lorentz qui courbe leur trajectoire. En fonction de la direction de la courbure de la trajectoire et du sens du champ magnétique
appliqué, on est en mesure de déterminer le signe de la particule détectée. De plus, en mesurant le rayon de courbure de la trajectoire,
on peut mesurer la vitesse à laquelle se déplace la particule et donc en déduire son énergie.
Dans ce type de détecteurs, les particules ont une trajectoire en forme de spirale.
On étudie ici le mouvement d'un proton dans une chambre à bulles.
!
Un proton de masse m et de charge e, considéré comme un point matériel, a une vitesse initiale v o en un point fixe O.
!
Il est dans une région de l'espace où règne un champ magnétique uniforme et constant B .
Le liquide exerce sur ce proton une force de frottement fluide :
!
!
f =-K v
€
€
!
où K est une constante positive et v est la vitesse du proton à l'instant de date t.
Par la suite, on posera : ω = eB/m et τ = m/K.
€
€
1) Faire le bilan des €
forces exercées sur le proton se déplaçant dans le
! liquide (on négligera le poids du proton) et établir l'équation
différentielle du mouvement du proton portant sur le vecteur vitesse v .
2) On désigne par Oxyz un trièdre orthogonal direct lié au référentiel galiléen, et par ( u x , u y , uz ) la base de vecteurs unitaires qui
€
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€ €
€
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lui est associée.
!
!
On choisit : B = B uz et v o = vo u x .
a) Si la force de frottement était négligeable, quelle serait la variation d'énergie cinétique du proton ? Justifier. En déduire une
caractéristique du mouvement.
quelle serait alors la trajectoire du proton. On donnera les caractéristiques de cette trajectoire en détaillant précisément
€Rappeler
€
€
les différentes
étapes€de ce calcul.
b) Qualitativement, et en justifiant à partir de considérations énergétiques, quelles sont les modifications apportées par la force
de frottement fluide sur cette trajectoire ? Justifier alors l’allure de la trajectoire observée.
c) Montrer que l'équation différentielle vectorielle du 1) peut se mettre sous la forme de trois équations différentielles scalaires :
€
dv x
= a vy - b vx
dt
dv y
= - a vx - b vy
dt
dv z
= - b vz
dt
€
Déterminer a et b en fonction de ω et τ.
d) Résoudre la dernière équation pour obtenir la loi horaire z(t) en supposant z(t = 0) = 0.
En déduire une caractéristique de la trajectoire.€
e) La résolution (non demandée) des deux autres équations couplées permet d’obtenir les solutions :
vo ⎡
−bt ⎤
⎢b + ( a sin at − b cos at )e ⎦⎥
⎣
2
2
a +b
vo ⎡
−bt ⎤
y(t) =
⎢−a + (bsin at + a cos at )e ⎦⎥
⎣
2
2
a +b
x(t) =
€
Compléter alors la représentation de la trajectoire du b) en y faisant figurer les axes cartésiens, le champ magnétique, la vitesse
initiale et le point de l’espace atteint au bout d’un temps très long.
€
3) Pourquoi certaines spirales semblent-elles « déformées » sur le cliché photographique par rapport à la représentation
précédente ?
Comment peut-on expliquer que l’on observe une brusque interruption de certaines trajectoires ?
La chambre à bulles qui nécessitait de photographier la trajectoire des particules a depuis été remplacée par la chambre à fils
permettant un traitement informatique des données, et donc la détermination avec précision de la trajectoire des particules qui la
traversent.
Une chambre à fils, ou plus précisément chambre proportionnelle multifilaire (MWPC pour multi-wire proportional chamber), est un
détecteur de particules ionisées inventé en 1968 par le physicien franco-polonais Georges Charpak, ce qui lui valut le prix Nobel de
physique en 1992.
Réponse : a = ω ; b = 1/τ ; z = cte.
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