DS 2 TSTMG version 1

Nom Prénom :
Devoir surveillé 2 Version 1
Capacités testées : A (acquis) ; B (en cours) ; C (non acquis)
IC1_1
IC1_3
SP1_1
SP1_2
SP1_3
Passer de l’indice au taux d’évolution, et réciproquement.
Trouver le taux moyen connaissant le taux global.
Construire un arbre pondéré en lien avec une situation
donnée.
Exploiter la lecture d’un arbre pondéré pour déterminer
des probabilités.
Calculer la probabilité d’un événement connaissant ses
probabilités conditionnelles relatives à une partition de
l’univers.
Exercice 1 :
Le tableau suivant donne le taux d’évolution du prix d’une matière première d’une année sur l’autre.
Année
2000 2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Taux d’évolution en %
par rapport à l’année
X
–3,5
1,7
5,2
4,3
0,6
–1,8
0,2
1,3
précédente
Le prix d’une tonne de cette matière première était de 1500 € au 01/01/2000.
1°) Calculer la valeur de cette tonne de matière première au 01/01/2001.
La valeur au 01/01/2001 est : 1500x(1-3,5/100)=1447,50 €
2°) Calculer la valeur de cette tonne de matière première au 01/01/2003.
La valeur au 01/01/2003 est : 1500x(1-3,5/100)(1+1,7/100)(1+5,2/100)=1548,66€
3°) Calculer à 0,1% près le pourcentage d’évolution du prix entre le 01/01/2004 au 01/01/2007.
Il y a 3 évolutions de 0,6% puis -1,8% puis 0,2 % soit un CM de (1+0,6/100)(1-1,8/100)(1+0,2/100)=0,98987
D’où un taux global de 0,98987-1=-0,01013 soit -1,0% environ
4°) Combien d’évolutions successives se sont produites entre le 01/01/2002 et le 01/01/2006 ?
Il y a eu 4 évolutions successives.
5°) En déduire le taux d’évolution annuel moyen du prix entre ces deux dates.
On a (1+tm/100)4=(1+5,2/100)(1+4,3/100)(1+0,6/100)(1-1,8/100)=1,084 d’où tm=100(1,0841/4-1) soit
tm=2,04%
6°) En prenant pour base 100 la valeur de la marchandise au 01/01/2005, créer et compléter le tableau des
indices allant du 01/01/2003 au 01/01/2008.
Année
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Taux d’évolution en %
par rapport à l’année
4,3
0,6
–1,8
0,2
1,3
précédente
Indice
95,3
99,4
100
98,2
98,4
99,7
Exercice 2 :
Trois machines A, B, C produisent des boulons. A permet de fabriquer 60 % des boulons avec un taux de pièces
défectueuses de 2 %. B permet la fabrication de 30% des boulons dont 3 % sont défectueux et C produit le reste
avec 96 % de fiabilité.
1°) Traduire toutes ces données dans un tableau de probabilité.
A
B
C
Total
Défectueux
0,012
0,009
0,004
0,025
D
Non
0,588
0,291
0,096
0,975
Défectueux
DF
Total
0,60
0,30
0,10
1
2°) Quelle est la probabilité qu’un boulon de la machine B soit correct ?
On lit dans le tableau P B∩DF)=0,291.
3°)
°) On choisit au hasard un boulon dans la production de la journée. Quelle est la probabilité que ce boulon soit
défectueux ?
P D)=0,025
4°) Le boulon choisit s’avère être défectueux. Quelle est la probabilité qu’il provienne de la machine A ?
PD A)=P A∩D)/P
∩D)/P D)=0,012/0,025=0,48.
Exercice 3 : Dans cet exercice tous les résultats doivent être arrondis à 0,0001 près
Une maladie touche 0,2% de la population. Un laboratoire a mis au point un test de dépistage de cette maladie.
Les résultats d’expériences ont montré que :
– Lorsqu’un individu est atteint par la maladie le test est positif dans 95 % des cas.
– Lorsqu’un individu n’est pas atteint par la maladie, le test est positif dans 2 % des cas
On note M : « l’individu est atteint par la maladie » et T : « le test est positif »
1°) Quelle est la probabilité que le test soit positif sachant que l’individu n’est pas malade ?
PMF T)=0,02 d’après l’énoncé
2°) Représenter la situation de l’énoncé par un arbre de probabilité en indiquant les probabilités sur chaque
branche.
3°) Calculer la probabilité de l’évènement « l’individu est atteint par la maladie et le test est positif »
P M∩T)=0,002x0,95=0,0019
4°) Justifier que la probabilité de l’évènement T est approximativement 0,0219
P T)= P M∩T)>P MF∩T)=0,002x0,95>0,998x0,02=0,02186
)=0,002x0,95>0,998x0,02=0,02186 soit environ 0,0219
5°) Calculer la probabilité que l’individu soit malade sachant que le test est positif.
PT M)=p M∩T)/P
∩T)/P T)=0,0019/0,0219=0,0868
6°) Ce test vous semble-t-il fiable ?
Il n’y a que 8,68% de chance que l’individu soit malade sachant que le test est positif. Ce test n’est donc pas
fiable.