CH 1: La Portance

NOTIONS AERONAUTIQUES
CH 1: La Portance
V05
30/09/2014
Helmi TOUEL, Edition 2014 ©
Savoir une chose sur chaque chose!
AVERTISSEMENT
Ceci n’est pas un cours académique et ne peut pas servir en tant que tel.
Ceci est une approche simplifiée d’une discipline regroupant plusieurs
branches: aérodynamique, mécanique du vol, aéromodélisme, etc.
Certains résultats découlent d’une modélisation donnée (hypothèses).
Généraliser les résultats en dehors de leur cadre peut conduire à des
interprétations erronées.
Certaines assertions reflètent l’interprétation de l’auteur. Le lecteur doit
prendre du recul et les soumettre à son sens critique.
Vos remarques serons très appréciées: [email protected]
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CH 1: LA PORTANCE
2
Introduction
• Ce chapitre est
consacré à
« découvrir » la force
de portance.
• Il est clair que nous
sommes familiers avec
la manifestation la plus
naturelle de la
portance, à savoir les
oiseaux.
• Mais, on verra le long de ce chapitre qu’il s’agit de trouver une
explication de l’origine de cette force via les théories physiques
existantes.
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CH 1: LA PORTANCE
3
1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Sommaire:
5. La Circulation
6. Annexes
•Découvrir la portance
•Modèle Simpliste
•Théorème de Bernoulli
•Equal Transit Time
•Notion de circulation
•Annexes
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CH 1: LA PORTANCE
4
1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Avion en papier
5. La Circulation
6. Annexes
• Expérience: On lance une boule en papier A4 et un
avion en papier « Origami » et on observe:
Vx
Vx
Force
aérodynamique
Cx=0.6
La boule en papier fait une
trajectoire proche d’une
parabole (voir annexe 2).
Poids
La résistance (trainée) conduit à
une vitesse Vx=0 et donc à une
chute horizontale rectiligne et
uniforme (poids et trainée
s’annulent).
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CH 1: LA PORTANCE
Bien lancé, on obtient un
mouvement rectiligne en pente.
Ceci suggère que le poids est
équilibré par une force
« aérodynamique ».
5
1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
Avion en papier
6. Annexes
• Cette force aérodynamique se décompose en:
– Une composante qui s’oppose à la vitesse: Traînée
– Une composante perpendiculaire à la vitesse: Portance
Force
aérodynamique
Portance
Traînée
Pente θ
trajectoire
Ecoulement relatif
Poids
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CH 1: LA PORTANCE
6
1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Avion en papier vs Cycliste
5. La Circulation
6. Annexes
• L’avion en papier va évoluer exactement comme un
cycliste en pente (roues libres)-> Mv rectiligne uniforme
Réaction
Du sol
Force
aérodynamique
Traînée
Portance
Traînée
Poids
trajectoire
Pente θ
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Pente θ
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Poids
trajectoire
Ecoulement relatif
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Portance:
5. La Circulation
6. Annexes
On se propose d’estimer la portance:
L’avion est réalisé à partir d’une feuille en papier qui a les
caractéristiques suivantes:
Masse Surfacique: 75g/m2 L=30cm et l=21cm
On en déduite la masse M=0.21x 0.3x 75= 4.725gr
Force
Aérodynamique
0.046
Poids= 0.046 N
Portance
0.04
Traînée
0.023
Pente θ=30°
Si on estime la pente à 30°, il
est facile de déterminer la
valeur des différentes
composantes.
poids
0.046
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
FoilSim II
6. Annexes
• On se propose de calculer la composante de « portance »
via FoilSim II (*) afin de se familiariser avec les logiciels de
simulation:
Hypothèse:
S
(1) On fait l’hypothèse que les ailes de notre
avion (triangle) ont les mêmes propriétés que
des ailes rectangulaires de même surface.
S= 0,017 m2
Corde=0,17m
Envergure=0,10m
S
corde
envergure
(*) Foil Sim II un logiciel gratuit disponible sur le site de la NASA
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Avion en papier
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
(2) On fait l’hypothèse que la vitesse de l’avion est au voisinage du 12km/h et
l’angle d’attaque au voisinage de 3°
On obtient une force de « portance » de l’ordre de 0.038 N proche du 0.04N estimé
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Sommaire:
5. La Circulation
6. Annexes
Découvrir la portance
•Modèle Simpliste
•Théorème de Bernoulli
•Equal Transit Time
•Notion de circulation
•Annexes
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Approche « simpliste »
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
• Une approche simpliste consiste à prendre le modèle du « ski
nautique ».
V1
V2
L’écoulement de l’eau subit une variation de sa vitesse.
V2-V1≠0
Donc les skis exercent une force sur l’écoulement:
m.accélération = Fskieur/eau
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Approche « simpliste »
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
• L’écoulement exerce une force sur les skis de même
valeur que Fskieur/eau et dans le sens opposé.
PRINCIPE
ACTION / REACTION
P
•Cette force peut être
décomposée en
•Composante verticale:
portance
•Composante horizontale:
traînée
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CH 1: LA PORTANCE
Fe/s
T
Fs/e
mg
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Approche « simpliste »
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
• Une autre illustration de cette
approche consiste à mettre la
main dans un écoulement (
voiture en marche par exemple).
• En partant de la position
horizontal, on pivote la main
légèrement pour orienter le flux
vers le bas
On a une sensation de légèreté qui s’explique
par la présence d’un composante verticale
(portance) qui s’oppose (légèrement) au poids.
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Le contre exemple
5. La Circulation
6. Annexes
• Ce profil plan convexe (1), a la partie inférieure plate (intrados).
• A plat (angle d’attaque nul), on ne peut pas parler de déviation de
l’écoulement par l’intrados -> et pourtant on a une portance non nulle.
JAVA FOIL
Portance
Intrados
Ne pas en tenir compte de cette anomalie liée au bord d’ attaque.
(1) Epler 205 modifié pour avoir un intrados plat..
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Le contre exemple
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
• Cette approche ne s’intéresse pas à la partie supérieure de l’aile (on
l’appellera extrados).
• Or, certaines études
montrent que l’extrados
génère 75% de la
portance (*).
Dépression
• Donc, cette explication reste très
intéressant pour vulgariser la notion de
portance et elle est à la portée de Mr tout
le monde.
Surpression
Pour le niveau ingénieur, il faut passer à la méca flu!
(*) Pour plus d’info sur ce sujet, à consulter le site foilers: http://foils.wordpress.com/2011/12/07/portance-13/
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Sommaire:
5. La Circulation
6. Annexes
•Découvrir la portance
•Modèle Simpliste
•Théorème de Bernoulli
•Equal Transit Time
•Notion de circulation
•Annexes
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Théorème de Bernoulli
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
Approche expérimentale: A l’aide de FoilSim II, On mesure la
pression et la vitesse de part et d’autre de l’aile.
Pression
Vitesse
Position 1:
extrados
Vitesse
Pression
Position 2:
intrados
On remarque que :
• la pression diminue au-dessus de l’aile, et augmente au dessous de l’aile,
• la vitesse augmente au dessus de l’aile et diminue au dessous de l’aile
 On se propose de définir la relation entre la pression et la vitesse
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Théorème de Bernoulli
•
•
•
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
Le théorème de Bernoulli s’applique
pour un fluide incompressible,
irrotationnel, parfait (non visqueux).
Ces hypothèses sont bien vérifiées
dans la plage de vol qui nous
concerne (vol subsonique).
Le théorème de Bernoulli découle
de l’application du théorème de
l’énergie cinétique.
Théorème de Bernoulli:
•
Une version simplifiée (on néglige h) sera:
Pstatique + 0,5. ρ . V2 = Cste
Pstatique + Pdynamique= Ptotale
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Pour info: effet venturi
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
• L’application la plus connu du théorème
de Bernoulli en mécanique et le célèbre
effet Venturi(*).
• Lorsque le fluide traverse une zone
rétrécie (un convergeant), sa vitesse
augment (pour conserver le débit).
• Si la vitesse augmente,
alors la pression
statique diminue: on a
une dépression.
• Ce dispositif est utilisé
dans les carburateur.
• La dépression aspire le
carburant.
• On obtient le mélange
air carburant.
(*) du nom du physicien italien Giovanni Battista Venturi
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Application du Th de Bernoulli
5. La Circulation
6. Annexes
• Une autre application du théorème de Bernoulli est la
génération d’une différence de pression-> portance:
Expérience (*):
Chute de
pression
Pression
atmosphérique
(*) Certain qualifie cet effet de l’effet Coanda, mais on laisse au lecteur le soin de juger.
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Sommaire:
5. La Circulation
6. Annexes
•Introduction
•Découvrir la portance
•Interprétation simple
•Théorème de Bernoulli
•Equal Transit Time
•Notion de circulation
•Annexes
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
4. Equal Transit Time
3. Th de Bernoulli
Explication « populaire »
• Il s’agit d prendre deux
particules A et B initialement
voisines (amant de
l’écoulement).
• A l’avale de l’écoulement, les
deux particules se rejoignent.
5. La Circulation
6. Annexes
V augmente  P diminue,
A
B
V diminue
 P augmente
A
B
• A accélère pour rattraper B: la distance étant plus grande, donc la
vitesse côté extrados est plus importante que la vitesse côté intrados.
• On applique le théorème de Bernoulli: on obtient une différence de
pression intrados/extrados et donc une portance.
Ce modèle ( on le site souvent sous le nom « equal transit
time » ) est très connu. Mais il souffre d’une « erreur » subtile
qu’on se propose d’illustrer.
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
Approche critique
6. Annexes
• Si on prend une rivière et qu’on dévie une partie de
l’écoulement, on constate que deux particules adjacentes
au départ, ne le seront plus à l’arrivée:
A
A
B
B
• Dans l’exemple précédent, l’écoulement est toujours
stationnaire mais A et B n’arrivent pas en même temps ce
qui met en cause l’explication « populaire »!
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Approche critique
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
• Sur son site, la NASA donne
une petite applette java pour
démontrer l’erreur du modèle
« equal transit time ».
• La simulation de J Denker
(1) donne le même résultat.
(1) http://www.av8n.com/how/htm/airfoils.html
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Approche critique
•
5. La Circulation
6. Annexes
Le mythe des particules qui se retrouvent en avale est parfaitement
erroné.
Mais ceci ne met pas en cause le théorème de Bernoulli.
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Sommaire:
5. La Circulation
6. Annexes
•Découvrir la portance
•Interprétation simple
•Théorème de Bernoulli
•Equal Transit Time
•Notion de circulation
•Annexes
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Notion de circulation
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
• C’est une notion bien connue dans le milieux de « méca flu ».
• Elle implique un bagage « mathématiques » de quelques pages A4.
• Alors pour faire simple, on va essayer de comprendre l’esprit de cette
notion.
Cylindre 2D en rotation
• On démontre théoriquement et
expérimentalement qu’un cylindre en
rotation dans un écoulement « crée »
de la portance .
On parle de l’effet
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Magnus
CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
Notion de circulation
6. Annexes
• Cet effet est connu. C’est la balle liftée de « Roberto
Carlos » dans le match France-Brésil:
3/06/1997
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Exemple pratique:
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
• Cet effet est très utilisé aussi au tennis ou au tennis de
table: balle liftée ou balle coupée.
Balle coupée
Balle liftée
• On peut rajouter un effet de rotation vers la droite ou la gauche pour
obtenir un slice.
La dépression qui apparaît d’un côté et la surpression de l’autre
sont à l’origine de la force qui dévie la balle.
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Explication
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
• Donc, on considère que la différence de vitesse sur le contour
du cylindre, génère une différence de pression (Bernoulli) et
donc on a une Portance.
• C’est le concept de la circulation, noté Gamma: Γ.
For information only
CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Théorème de Kutta -JuKowski
5. La Circulation
6. Annexes
• Ceci nous conduit à la formule suivante, appelée théorème de
Kutta-Jukowski:
Portance = ρ. U0 Γ
• U0 est la vitesse amont.
• La circulation est une intégrale des composante u et v de U
sur le contour du profil.
• Certains outils mathématique permette de créer une transformation
entre un certain types de profils minces et un cylindre: transformation
conforme.
La théorie de la circulation très utilisée car elle
permet de prédire la portance autour d’un profil
2D.
For information only
CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
5. La Circulation
4. Equal Transit Time
Naissance de la circulation
6. Annexes
• On peut se demander comment la circulation
apparaît-elle autour du profil ?
• Les spécialiste préconisent qu’à cause
du bord du fuite et de la viscosité (voir
annexe), le fluide ne peut pas passer
de l’intrados à l’extrados(*).
• Donc, au démarrage, un vortex se produit en aval du profil-> une
circulation égale est de sens opposé se forme autour de l’aile-> c’est
la circulation du profil.
circulation
Tourbillon
de démarrage
(*) on parle de condition de Kutta-Jukowski, nécessaire pour créer la portance.
For information only
CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Illustration
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
• Sur le site Foilers, on propose de visualiser la circulation autour d’un
profil dans un baignoire…voici le mode d’emploi pour les curieux:
For information only
CH 1: LA PORTANCE
34
1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Tourbillon de démarrage
5. La Circulation
6. Annexes
• Exemple de tourbillon de démarrage:
Dans cette zone, il faut observer le
tourbillon de démarrage qui se forme
au niveau du bord de fuite.
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Sommaire:
5. La Circulation
6. Annexes
•Découvrir la portance
•Modèle Simpliste
•Théorème de Bernoulli
•Equal Transit Time
•Notion de circulation
•Annexes
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CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
Annexe 1: l’air est-il visqueux ou pas ?
6. Annexes
• Une question qui peut venir à l’esprit: est-ce
que l’air est visqueux ou pas ?
• Si on considère que l’air n’est pas visqueux (pour pouvoir appliquer le
théorème de Bernoulli) on arrive au paradoxe d’Alembert:
Paradoxe d’Alembert
• Lors d’un écoulement permanant,
non visqueux le point d’arrêt
arrière est au-dessus du bord de
Point arrêt
fuite (*).
• La distance au-dessus et audessous sont les mêmes.
Point arrêt
• La vitesse est la même d’un côté
ou de l’autre
• D’après le TH de Bernoulli, la pression reste constante: il n’y a ni portance
ni trainée.
(*) L’écoulement est réversible: identique dans un sens comme dans l’autre.
For information only
CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Annexe 1: l’air est-il visqueux ou pas ?
5. La Circulation
6. Annexes
• Mais comme on sait qu’il y a une portance & une trainée et que
la viscosité de l’air n’est pas nulle, on est obligé de considérer
l’air comme étant visqueux.
• Mais dans ce cas, il n’est plus possible de parler de Bernoulli.
Solution
• L’air est visqueux au voisinage de la paroi de l’aile (couche
limite). Elle est indispensable pour créer la portance.
• Loin de la paroi, on peut négliger la visquosité et appliquer
Bernoulli.
L’introduction de la notion de couche limite (voir ch 2)
permet de résoudre le paradoxe d’Alembert
For information only
CH 1: LA PORTANCE
38
1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Annexe 1: l’air est-il visqueux ou pas ?
5. La Circulation
6. Annexes
• Cette situation est identique aux
exercices de physique qui
consiste à calculer le
mouvement d’un skieur en
considérant le frottement nulle.
• Ceci semble logique mais dans la réalité, sans le frottement,
le skieur ne peut pas démarrer (en poussant sur le sol). Le
frottement (aussi faible soit il) est indispensable pour démarre
le mouvement.
De la même façon, la viscosité, aussi faible soit elle, est
indispensable pour générer le tourbillon de démarrage
et mettre en place la circulation.
For information only
CH 1: LA PORTANCE
39
1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
Annexe 2: Exercice
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
6. Annexes
• On souhaite concevoir un
programme informatique (le plus
simple est une feuille de calcul
xls) qui permet de déterminer la
trajectoire d’une balle (rayon R)
de masse M lancée avec une
vitesse (Vx,Vz) et qui subit une
trainée Cx=0.6 (*).
• La formule de la traînée est:
Trainée =0,5. ρ.Cx.C.S.V2
• S étant la surface de balle (disque) en face
de l’écoulement.
(*) Exercice simple mais qui sera très utile lorsqu’on souhaitera modéliser le mouvement d’un planeur ou d’un avion.
For information only
CH 1: LA PORTANCE
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1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
5. La Circulation
4. Equal Transit Time
Solution
6. Annexes
• Mise en équation (PFD)
Sur Z: -mg-0.5ρCxSV2.sinθ= mAz
Sur X: -0.5ρCxSV2.cosθ= mAx
V
Vz
θ
θ
Vx
Trainée
sin θ =Vz/V V2=V2x + V2z (*)
Poids
• Mise en équation avec un pas de Δt
Az(tn)=-g-0.5ρCxSV2 (tn-1).sinθ(tn-1) /m
Ax(tn)= -0.5ρCxSV2 (tn-1).cosθ(tn-1) /m
(*) On évite ici l’utilisation du cosinus car la fonction ArcCos n’est pas bijective dans notre cas (2 angles possibles).
For information only
CH 1: LA PORTANCE
41
1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
Intégration numérique
5. La Circulation
6. Annexes
• L’intégration « discrète »
Accélération
En toute rigueur, la vitesse à
l’instant tn est égale à:
Atn
tn
Vtn =
Atn-1
A.dt + Vtn-1
tn-1
L’intégrale est la surface au-dessous
de la courbe de l’accélération prise
dans un intervalle Δt.
tn-1 Δt tn
temps
On approche ceci par la surface
d’un rectangle et un triangle:.
Vtn= Δt * Atn-1 + Δt * (Atn- Atn-1)/2 + Vtn-1
rectangle
For information only
Vtn= Δt*(Atn+ Atn-1)/2 + Vtn-1
triangle
CH 1: LA PORTANCE
42
1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
Formulation
6. Annexes
• Vitesse = Intégration de l’accélération:
Vz(tn)= Δt * ( Az(tn)+ Az(tn-1))/2 + Vz (tn-1)
Vx(tn)= Δt * ( Ax(tn)+ Ax(tn-1))/2 + Vx (tn-1)
sin (tn)= Vz (tn) /V (tn) V2=V2x + V2z
• Position= Intégration de la vitesse:
Z(tn)= Δt * ( Vz(tn)+ Vz(tn-1))/2 + Z (tn-1)
X(tn)= Δt * ( Vx(tn)+ Vx(tn-1))/2 + X (tn-1)
For information only
CH 1: LA PORTANCE
43
1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
5. La Circulation
4. Equal Transit Time
Solution graphique
M
0.2 kg
g
9.8 m/s
rou
S
Z en fonction de X
1.22 Kg/m3
R
120
0.1 m
100
0.031415 m2
Cx
80
0.6
60
Vx
1 m/s
Vz
1 m/s
40
X
0 m
20
Z
100 m
0
Teta
0.8 rd
Teta
45.0 degré
DT
0.01 s
For information only
6. Annexes
Z
Z
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-20
X
CH 1: LA PORTANCE
44
1. La Portance
2. Modèle Simpliste
3. Th de Bernoulli
4. Equal Transit Time
5. La Circulation
Annexe 3: Références:
•
6. Annexes
Foilers, le blog des bateaux volants
– http://foils.wordpress.com/2011/12/07/portance-13/
Nasa: Nationa Aironautics & Space Administration:
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/wrong1.html
See how it flies de John S. Denker
http://www.av8n.com/how/htm/airfoils.html
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CH 1: LA PORTANCE
45