Moment de force

1. Définitions :
D1. Un phénomène est dit "statique" ou "en équilibre" lorsque il ne subit aucune dynamique
(accélération ou in extenso : force), du moins apparente. Nous pouvons considérer un équilibre comme
un état statique, bien qu’il ne soit qu’apparent car il peut être le résultat de deux dynamiques opposées
qui se compensent ! Ainsi, les grandeurs qui décrivent un phénomène statique sont des constantes, les
valeurs concrètes de ces grandeurs sont calculables.
De manière plus technique cette définition est érigée au rang de principe appelé le "principe
fondamental de la statique" qui énonce que pour qu'un système soit en équilibre, il faut que la
résultante générale et le moment résultant des forces extérieures soit équivalent à zéro par rapport à
son centre de masse ou de gravité. (la condition est suffisante pour les problèmes de mécanique qui
traitent des solides indéformables).
D2. La "statique" est l'étude des conditions d'équilibre d'un point matériel soumis à des forces en
équilibre.
D3. Toute cause capable d'accélérer ou de déformer un corps est appelé "force".
D4. Un système matériel S (ensemble de points matériels
) est dit "solide indéformable"
(rigide), ou simplement "solide", si les distances mutuelles des points matériels le constituant ne
varient pas au cours du temps :
2. Lois de Newton :
Les trois lois de Newton sont à la base de la mécanique classique. Elles sont à posteriori
indémontrables et non formalisables car elles énoncent des observations et découlent donc de notre
expérience quotidienne.
2.1.
Première loi (Loi d'inertie) :
Définition: Tout corps ponctuel ou étendu persévère dans sa forme (géométrie) ou son état de repos ou
de mouvement rectiligne uniforme, sauf si des "forces imprimées" le contraignent d'en changer.
Autrement dit: Tout corps au repos ou en mouvement rectiligne uniforme est soit imprimé par un
nombre de forces nulles, soit la somme des forces imprimées est nulle (c'est le principe fondamental de
la statique appelé aussi "principe d'inertie").
Corollaire: Lorsque la trajectoire d'un corps n'est pas une droite ou lorsque la vitesse de ce corps n'est
pas constante, on peut en conclure d'après le Principe d'inertie que les forces qui s'exercent sur ce corps
ne se compensent pas.
Propriétés :
1
-
La force est une grandeur vectorielle.
L'effet d'une force, ne change pas si nous faisons glisser la force sur sa droite d'action.
Une force est donc une grandeur physique qui se manifeste par ses effets :
- Effet dynamique : une force est une cause capable de produire ou de modifier le mouvement ou
la forme (géométrie) d'un corps.
- Effet statique : une force est une cause capable de produire une déformation d'un corps.
Toute force peut être représentée par un vecteur dont les quatre propriétés sont :
P1. Direction : droite selon laquelle l'action s'exerce
P2. Sens : sens selon lequel l'action s'exerce sur la droite
P3. Point d'application : point où l'action s'exerce sur le corps
P4. Intensité : la valeur (norme) de la force
Il est possible de ranger la plupart des forces par famille telles que :
- Les "forces de réaction" : chaque corps exerce une force sur un autre corps qui est en contact
avec lui. Par exemple, si un objet repose sur une table, cette table exerce une force égale et
opposée sur l'objet (afin que ce dernier ne s'enfonce pas dans la). Cette force est toujours à la
verticale du point de contact.
- Les "forces de frottement" : la force de frottement existe lorsque deux corps sont en contact.
Elle s'oppose toujours au mouvement. La force de frottement qui s'oppose au mouvement n'a
pas seulement un effet négatif, elle est indispensable pour assurer aussi le contact entre deux
surfaces (par exemple : contact des pneus sur la route, freinage, …).
- Les "forces de tension" exercées sur un corps : c'est une force qui tire sur un élément d'un corps
comme par exemple, la tension exercée par un fil, par un ressort.
- Les "forces à distance" : ce sont les forces qui agissent par l'intermédiaire de champs vectoriels
comme par exemple le champ électrique, le champ magnétique, le champ gravitationnel.
2.2.
Troisième loi (loi d'action et réaction) :
Énoncé : la réaction d'un corps étendu ou ponctuel solide est toujours de sens opposée et d'intensité et
de direction égale à la force imprimée.
Cette troisième loi est plus connue sous le nom de : "principe d'action/réaction" et découle de la
première loi de Newton.
Nous pouvons également dire encore que deux corps solides ponctuels ou étendus en contact exercent
l'un sur l'autre toujours des forces opposées en sens mais égales en intensité et en direction.
3. Conditions d’équilibre :
Pour qu'un point matériel, soumis à des forces
résultante de ces forces soit nulle. Soit :
soit en équilibre statique, il faut que la
Définitions:
2
D1. Un solide rigide est un ensemble de points rigidement liés.
D2. Si les lignes d'action de toutes les forces agissant sur un corps sont dans un même plan, le système
de forces est dit "système coplanaire".
Une observation plus approfondie fait apparaître la force comme le résultat macroscopique de
phénomènes microscopiques complexes, à savoir des interactions à distance entre particules.
Remarque: La relation précédente, qui définit donc tout corps à l'équilibre, ouvre l'étude a de très
nombreux cas pratiques et constitue à elle seule un immense chapitre d'applications pratiques que nous
appelons la "statique des forces" et que nous développerons après avoir introduit le concept de moment
de force.
4. Centre d’inertie :
Il s'agit du cas particulier du barycentre.
Soit un solide formé de n points de masse
et repérés par leurs vecteurs de position
respectifs.
Définition: Nous appelons "centre d'inertie" un point G auquel nous pouvons rattacher toute la masse
du système et tel que, l'origine étant arbitrairement choisie il soit donné par:
Propriétés :
- Si le solide possède un axe de symétrie, alors G est sur cet axe
- Si le solide possède un plan de symétrie, alors G est sur ce plan
- Si le solide possède plusieurs axes de symétrie, alors G est à leur intersection.
Remarques : Le centre de masse G peut se trouver hors du solide (exemple: un tabouret, un
boomerang, etc.).
5. Moment de force :
Le moment d’une force est défini par :
où
est donc le moment de la force
par rapport au point d'origine du vecteur
de remarquer que le moment de force a les unités d'une énergie.
Si nous exprimons le module de
. Il est important
, de part la définition du produit vectoriel, nous obtenons :
3
Il apparaît une grandeur :
qui est par définition le "bras de levier" de la force
rotation du corps du au moment de force résultant.
et dont l'emplacement est donné par l'axe de
Exemples:
Pour qu'un point matériel, soumis à des forces
soit en équilibre, il faut ainsi que la
résultante de ces forces soit nulle (pas de translation) et que la résultante des moments soit nul aussi
(pas de rotation). Soit :
et
Par définition, un "couple" est défini comme un ensemble de deux forces de grandeur égale mais de
direction opposée, agissant suivant deux droites parallèles sur un même corps étendu. La résultante des
forces est bien évidemment nulle, indique que le couple ne produit aucun effet de translation. Mais la
somme des moments étant non nulle, le corps subit une rotation tel que :
Maintenant que nous avons convenablement défini ce qu'était une force et un moment de force, nous
pouvons aborder l'étude de la statique des forces.
6. Statique des forces :
La statique des forces est un domaine difficile à généraliser. La plupart des ouvrages se servent de
nombreux exemples (comme les systèmes de poulies, les leviers, les équilibres, les frottements, etc.)
afin d'amener le lecteur à assimiler la méthode d'analyse qu'il faut pour résoudre les problèmes relatifs
à ce domaine de la mécanique classique. Loin d'être contre cette méthode, nous n'avons pas souhaité
nous restreindre ou nous étendre (suivant les points de vue) à des exemples particuliers, mais à
proposer une méthode d'analyse qui fonctionnerait à coup sûr.
Définitions:
D1. La "statique des forces" est le domaine de la physique qui étudie l'effet de la résultante de forces
(ou moments de force) constantes au cours du temps, appliquées sur un corps ponctuel ou étendu.
4
D2. Quand la somme vectorielle de toutes les forces et moments de force est nul, il n’y a aucun
mouvement. Nous parlons alors d’un "équilibre statique" (mais les forces existent tout de même à
l’intérieur du système) tel que les forces et moments de forces se compensent mutuellement :
ou/et
Remarque: Les relations précédentes, nous montrent bien que ce n'est pas parce qu'un système est à
l'équilibre statique qu'il n'est soumis à aucune force (la somme vectorielle des forces peut s'annuler
mais les forces sont non nulles).
Corollaires :
C1. Lors de l'analyse d'un système de statique des forces, il faut toujours travailler avec les
composantes vectorielles des forces et moments de forces (de part la première loi de Newton).
C2. Il faut donc s'imposer un repère par rapport auquel seront exprimées toutes les composantes de
forces :
- Dans le cas d'un corps ponctuel sur lequel sont appliqué des forces, il faut assimiler
l'origine du repère à la position du point.
- Si les lignes de prolongement de toutes les forces sur un corps étendu sont toutes
concurrentes en un point donné, le système peut être considéré comme un corps ponctuel
ramené à ce point.
- Si le corps est étendu et plongé dans un champ de forces (gravitationnel, électrostatique,
magnétique...) isotrope, coplanaire et constant dans le temps, l'ensemble des forces
imprimées peut se rapporter au centre de gravité.
Démonstration:
Nous avons vu lors de l'étude du calcul vectoriel que la somme des vecteurs d'un même ensemble, mis
bout à bout (au niveau de la représentation imagée) ou additionnés algébriquement constitue ce que
nous appelons la "résultante" du système de forces ou de moments de force :
ou/et
Il est clair qu'un point matériel est donc par définition à l'état statique si la résultante des forces
concurrentes est nulle. Ainsi, un corps ponctuel est au repos (vitesse constante nulle) si la grandeur
est nulle.
Cette condition ne suffit cependant pas pour un corps étendu (non ponctuel) : celui-ci peut ne pas se
déplacer (pas de mouvement par translation), mais tourner sur lui même par application de forces en
dehors de son centre de gravité (les forces sont alors des moments de forces agissant sur des points du
corps en question).
Imaginons maintenant un ensemble de forces
, chacune d'elles appliquée en un point de vecteur-
position d'un mobile étendu et toutes parallèles à une direction commune donnée, repérée par un
vecteur unitaire . La résultante des ces forces est alors :
5
Remarque: La norme de la résultante est donc :
De manière analogue, la somme vectorielle des moments parallèles s'écrit :
Recherchons maintenant, la position
moment de la résultante
d'un point fictif C, appelé le "centre des forces" tel que le
appliquée au point C soit égal au moment total
. En d'autres termes,
doit être la solution de l'équation vectorielle :
S'il est possible de trouver un tel point C, nous ne devons donc plus, en principe, calculer le moment
individuel de chaque force et en faire la somme vectorielle. Il suffit plutôt, de déterminer la résultante
et d'évaluer son moment résultant appliqué au point fictif C.
En combinant les relations précédentes, nous avons :
À son tour, le vecteur
peut être substitué tel que :
d'où nous tirons finalement :
comme
(deuxième loi de newton) supposons maintenant (car particulier) que
nous pouvons alors écrire ce résultat très important :
6
C.Q.F.D.
C3. De par la troisième loi de Newton, tout corps solide rigide en équilibre stable, en contact avec un
ensemble de corps solides rigides en équilibre stable eux aussi, subissent tous une force égale identique
en chaque point de contact (identiquement répartie) mais opposée par ces derniers (assimilable et
passant par leur centre de gravité lorsque c'est un champ de vecteurs isotrope et constant qui est à
l'origine du contact). Ainsi :
- les repères des forces d'action/réaction doivent être placés sur les différents points de contact lorsque
ce sont une quantité dénombrable de forces qui en sont à l'origine.
- les repères des forces d'action/réaction doivent être placés le centre de masse ou de gravité si les
forces à l'origine du contact (in extenso : de l'accélération) sont à l'origine d'un champ vectoriel
gravifique, respectivement électrostatique/magnétique.
7