Association de dipôles

Chapitre III- 4RÉGIME SINUSOÏDAL
ASSOCIATION DE DIPÔLES
2- Montage pour les associations "parallèle"
Y1
Y2
uGBF
OBJECTIFS
Il s'agit d'étudier la relation courant-tension ( impédance Z = [ Z ; ϕ ] ) dans des
associations de dipôles linéaires élémentaires (résistances , inductances et condensateurs).
c Association série ( "RL série", "RC série" et "RLC série" ).
d Association parallèle ( "RL parallèle", "RC parallèle" et "RLC parallèle" ).
Dans le cas d'une association "RLC", la phénomène de résonance sera mis en évidence et
interprété.
c Mesure des valeurs efficaces U et I
Un voltmètre "AC" branché aux bornes du dipôle donnera U.
Un voltmètre "AC" branché aux bornes du GBF donnera la tension UGBF
directement proportionnelle au courant I ( 1V → 1mA ).
1- Montage pour les associations "série"
i
uGBF
GBF
r
u
Dipôle
GBF
Source de courant
commandée par une tension
( i proportionnel à uGBF : 1mA → 1V )
I- GÉNÉRALITÉS
Dipôle
i
Y1
d Mesure du déphasage ϕ ( retard de i par rapport à u )
u ≈ uGBF
La voie Y1 de l'oscilloscope visualise directement la tension u.
La voie Y2 de l'oscilloscope visualise la tension uGBF qui est proportionnelle à i.
Y2
ur << u
⇒ Le déphasage ϕ se visualise directement ( u → Y1 et i → Y2 ).
II- CIRCUIT "RL SÉRIE"
c Mesure des valeurs efficaces U et I
Un voltmètre "AC" branché aux bornes du dipôle donnera U.
Un voltmètre "AC" branché aux bornes de la résistance r donnera Ur = rI et il suffira
de faire I = Ur / r.
d Mesure du déphasage ϕ ( retard de i par rapport à u )
La voie Y2 de l'oscilloscope visualise la tension ur qui est proportionnelle à i.
La voie Y1 de l'oscilloscope visualise la tension uGBF qui est très proche de la
tension u car ur est négligeable devant u.
⇒ Le déphasage ϕ se visualise directement ( u → Y1 et i → Y2 ).
1° STI Electronique ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES http://cbissprof.free.fr
1- Montage
i
Le dipôle est constitué d'une résistance
en série avec une inductance :
R
L
uR
uL
u
2- Essai à basse fréquence
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de faible fréquence.
On mesure une tension UR proche de U et une tension UL petite devant U.
L'oscillogramme est donné à la page suivante :
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Chapitre III-4- "Régime sinusoïdal-Association de dipôles"
On constate un déphasage ϕ positif et de faible
valeur ( i est en retard par rapport à u ).
La longueur des vecteurs donne UR = RI et UL = LωI.
En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : U2 = U2R + U2L
ur
⇒ (ZRLsérieI )2 = (RI )2 + (LωI )2
u
Le courant I est proche de la valeur U / R.
⇒ ZRLsérie2 = R 2 + (Lω)2
⇒ L'inductance semble avoir une action
négligeable à cette fréquence.
2
⇒ ZRLsérie = R 2 + (Lω) .
( )
3- Essai à haute fréquence
On a aussi ϕRLsérie = tan −1 Lω .
R
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de haute fréquence.
On mesure une tension UL proche de U et une tension UR petite devant U.
En basse fréquence, on a Lω << R ce qui donne ZRLsérie ≈ R et ϕRLsérie ≈ 0.
En haute fréquence, on a R << Lω ce qui donne ZRLsérie ≈ Lω et ϕRLsérie ≈ +π/2.
L'oscillogramme est indiqué ci-contre :
On constate un déphasage ϕ positif et proche
de π / 2 ( i est en retard par rapport à u ).
d Impédance complexe
u
Les impédances s'ajoutent car les dipôles sont en série :
⇒ ZRLsérie = ZR + ZL = R + jLω = [ZRLsérie; ϕRLsérie ]
ur
Le courant I est proche de la valeur U .
Lω
( )
2
avec ZRLsérie = R 2 + (Lω) et ϕRLsérie = tan −1 Lω .
R
⇒ La résistance semble avoir une action
négligeable à cette fréquence.
En basse fréquence, on a Lω << R ce qui donne ZRLsérie ≈ R .
En haute fréquence, on a R << Lω ce qui donne ZRLsérie ≈ jLω .
4- Interprétation
c Représentation de Fresnel
III- CIRCUIT "RC SÉRIE"
La relation vectorielle donne U = UR + UL avec :
1- Montage
UR colinéaire à I car uR et i sont "en phase".
UL en avance de π/2 par rapport à I car uL est en "quadrature avance" sur i.
i
Le dipôle est constitué d'une résistance
en série avec un condensateur :
u
2- Essai à basse fréquence
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de faible fréquence.
On mesure une tension UC proche de U et une tension UR petite devant U.
ϕ
I
0
uC
uR
U
UL
C
R
x
L'oscillogramme est donné à la page suivante :
UR
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Chapitre III-4- "Régime sinusoïdal-Association de dipôles"
On constate un déphasage ϕ négatif et proche
de –π/2 ( i est en avance par rapport à u ).
La longueur des vecteurs donne UR = RI et UC = 1 I .
Cω
u
Le courant I est proche de la valeur CωU .
En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : U2 = U2R + UC2
ur
( )
=R +( 1 )
Cω
= R +( 1 ) .
Cω
2
⇒ (ZRCsérieI )2 = (RI )2 + 1 I
Cω
⇒ La résistance semble avoir une action
négligeable à cette fréquence.
⇒ ZRCsérie2
2
2
2
2
3- Essai à haute fréquence
⇒ ZRCsérie
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de haute fréquence.
On mesure une tension UR proche de U et une tension UC petite devant U.
On a aussi ϕRCsérie = − tan −1
L'oscillogramme est indiqué ci-contre :
En basse fréquence, on a R << 1 ce qui donne ZRCsérie ≈ 1 et ϕRCsérie ≈ -π/2.
Cω
Cω
1
<< R ce qui donne ZRCsérie ≈ R et ϕRCsérie ≈ 0.
En haute fréquence, on a
Cω
On constate un déphasage ϕ positif et de faible
valeur ( i est en avance par rapport à u ).
(RC1ω ) .
ur
u
d Impédance complexe
Le courant I est proche de la valeur U .
R
Les impédances s'ajoutent car les dipôles sont en série :
⇒ ZRCsérie = ZR + ZC = R − j 1 = [ZRCsérie; ϕRCsérie ]
Cω
⇒ Le condensateur semble avoir une action
négligeable à cette fréquence.
( )
4- Interprétation
)
(
2
avec ZRCsérie = R 2 + 1
et ϕRCsérie = − tan −1 1 .
RCω
Cω
c Représentation de Fresnel
En basse fréquence, on a R << 1 ce qui donne ZRCsérie ≈ −j 1 .
Cω
Cω
1
<< R ce qui donne ZRCsérie ≈ R .
En haute fréquence, on a
Cω
La relation vectorielle donne U = UR + UC avec :
UR colinéaire à I car uR et i sont "en phase".
UC en retard de π/2 par rapport à I car i est en "quadrature avance" sur uC .
IV- CIRCUIT "RLC SÉRIE"
UR
0
UC
I
x
ϕ
1- Montage
Le dipôle est constitué d'une résistance
en série avec une inductance et en série
avec un condensateur :
i
R
L
uR
uL
u
C
uC
U
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Chapitre III-4- "Régime sinusoïdal-Association de dipôles"
5- Interprétation
2- Essai à basse fréquence
c Représentation de Fresnel
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de faible fréquence.
On mesure une tension UC supérieure à UL .
La relation vectorielle donne U = UR + UL + UC avec :
L'oscillogramme est représenté ci-contre :
UR colinéaire à I car uR et i sont "en phase".
On constate un déphasage ϕ négatif
( i est en avance par rapport à u ).
u
UL en avance de π/2 par rapport à I car uL est en "quadrature avance" sur i.
ur
UC en retard de π/2 par rapport à I car i est en "quadrature avance" sur uC .
Basse fréquence
Haute fréquence
UL étant supérieur à UC, le vecteur U se
UC étant supérieur à UL, le vecteur U se
⇒ Le condensateur semble avoir une action
prépondérante face à l'inductance.
situe "du côté" de UC avec un déphasage situe "du côté" de UL avec un déphasage
négatif.
positif.
3- Essai à haute fréquence
UL
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de haute fréquence.
On mesure une tension UL supérieure à UC .
UR
0
L'oscillogramme est indiqué ci-contre :
On constate un déphasage ϕ positif
( i est en retard par rapport à u ).
UL
I
UC
x
U
ϕ<0
u
ur
UL UC
UL UC
ϕ>0
U
⇒ L'inductance semble avoir une action
prépondérante face au condensateur.
0
UL
I
UR
UC
UC
4- Essai à la fréquence telle que ϕ=0 ( résonance )
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de fréquence telle que ϕ = 0.
On mesure une tension UL égale à UC et on constate que le courant I est maximum par
rapports aux autres fréquences.
L'oscillogramme est indiqué ci-contre :
Fréquence de résonance ( ϕ = 0 )
UC étant égal à UL, le vecteur U se retrouve colinéaire au vecteur I ( ϕ = 0 )
ur
UL
u
0
On a réglé la fréquence jusqu'à avoir ϕ = 0.
ϕ=0
U
UR
I
x
UC
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Chapitre III-4- "Régime sinusoïdal-Association de dipôles"
x
6- Etude particulière de la résonance
La longueur des vecteurs donne UR = RI ; UL = LωI et UC = 1 I .
Cω
En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : U2 = U2R + (UL − UC )2
(
c Expérience
On alimente un circuit RLC série avec une tension sinusoïdale de tension efficace 5V et
de fréquence f0 telle que ϕ = 0 ( résonance ).
On mesure aux bornes du condensateur et aux bornes de la bobine, une tension efficace
de 12V.
⇒ Il y a donc une surtension aux bornes de la bobine et aux bornes du
condensateur à la résonance.
)
2
⇒ (ZRLCsérieI ) = (RI ) + LωI − 1 I
Cω
2
2
(
)
2
⇒ ZRLCsérie2 = R 2 + Lω − 1
Cω
(
)
2
2
⇒ ZRLCsérie = R + Lω − C1ω .
d Interprétation
 Lω − 1 
−1
Cω  .
ϕ
=
tan
On a aussi RLCsérie


R




A la fréquence f0, l'impédance du circuit est minimale et égale à R; le courant est donc
maximal ( on dit qu'il y a résonance en courant ).
L'intensité du courant à la résonance est donc I0 = U et la tension aux bornes du
R
U
1
I =
( avec ω0 = 2πf0 ).
condensateur est UC =
Cω0 0 RCω0
U
Le rapport entre la tension UC et la tension U est donc C = 1 et ce rapport peut
U
RCω
être supérieur à 1 d'où le phénomène de surtension lié au phénomène de surintensité.
En basse fréquence, on a Lω << 1 ce qui donne ZRLCsérie ≈ ZRCsérie et ϕRLCsérie < 0 .
Cω
1
<< Lω ce qui donne ZRLCsérie ≈ ZRLsérie et ϕRLCsérie > 0.
En haute fréquence, on a
Cω
A la fréquence telle que ϕRLCsérie = 0, on a Lω = 1 ce qui donne ZRLCsérie = R.
Cω
1
1
On a aussi : LCω02 = 1 ⇒ ω0 =
ou f0 =
LC
2π LC
On définit le coefficient de surtension à la résonance Q0 =
1 = Lω0 .
RCω0
R
d Impédance complexe
Les impédances s'ajoutent car les dipôles sont en série :
⇒ ZRCsérie = ZR + ZL + ZC = R + j Lω − 1 = [ZRCsérie; ϕRCsérie ]
Cω
(
(
avec ZRCsérie = R 2 + Lω − 1
Cω
)
2
)
et ϕRCsérie
 Lω − 1 

Cω  .
= tan −1

R




En basse fréquence, on a Lω << 1 ce qui donne ZRLCsérie ≈ R − j 1 .
Cω
Cω
1
<< Lω ce qui donne ZRLCsérie ≈ R + jLω .
En haute fréquence, on a
Cω
A la fréquence telle que ϕRLCsérie = 0, on a Lω0 = 1 ce qui donne ZRLCsérie = R.
Cω0
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V- CIRCUIT "RL PARALLÈLE"
1- Montage
Le dipôle est constitué d'une résistance
en parallèle avec une inductance :
iR
R
iL
L
i
u
2- Essai à basse fréquence
Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal
de basse fréquence.
On mesure un courant IL proche de I et un courant
IR petit devant I.
u
u GBF
L'oscillogramme est indiqué ci-contre :
u GBF est proportionnel à i (1V
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: 1m A )
Chapitre III-4- "Régime sinusoïdal-Association de dipôles"
On constate un déphasage ϕ positif et proche de π / 2 ( i est en retard par rapport à u ).
La longueur des vecteurs donne IR = U et IL = 1 U .
R
Lω
La tension U est proche de la valeur Lω.I .
En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : I2 = I2R + I2L
⇒ La résistance semble avoir une action négligeable à cette fréquence.
2
2
⇒ YRLparallU 2 = 1 U + 1 U
R
Lω
3- Essai à haute fréquence
⇒ YRLparall2
Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de haute fréquence.
On mesure un courant IR proche de I et un courant IL petit devant I.
⇒ YRLparall
L'oscillogramme est donné à la page suivante :
On a aussi ϕRLparall = tan −1 R .
Lω
(
) ( )
= (1 ) + ( 1 )
R
Lω
= (1 ) + ( 1 ) .
R
Lω
) (
2
2
2
2
( )
On constate un déphasage ϕ positif et de faible valeur ( i est en retard par rapport à u ).
En basse fréquence, on a 1 << 1 ce qui donne YRLparall ≈ 1 soit ZRLparall ≈ Lω
R
Lω
Lω
et ϕRLparall ≈ +π/2.
En haute fréquence, on a 1 << 1 ce qui donne YRLparall ≈ 1 soit ZRLparall ≈ R et
R
R
Lω
ϕRLparall ≈ 0.
u GBF
La tension U est proche de la valeur R.I .
u
⇒ L'inductance semble avoir une action
négligeable à cette fréquence.
d Admittance complexe
u GBF est proportionnel à i (1V
: 1m A )
Les admittances s'ajoutent car les dipôles sont en parallèle :
⇒ YRLparall = YR + YL = 1 − j 1 = YRLparall;−ϕRLparall
R
Lω
[
4- Interprétation
c Représentation de Fresnel
avec YRLparall =
La relation vectorielle donne I = IR + IL avec :
IR colinéaire à U car iR et u sont "en phase".
0
U
En haute fréquence, on a
x
ϕ
2
2
1 << 1 ce qui donne Y
1
RLparall ≈ R soit ZRLparall ≈ R .
Lω
R
VI- CIRCUIT "RC PARALLÈLE"
Le dipôle est constitué d'une résistance
en parallèle avec un condensateur :
IL
( )
et ϕRLparall = tan −1 R .
Lω
En basse fréquence, on a 1 << 1 ce qui donne YRLparall ≈ −j 1 soit
R
Lω
Lω
ZRLparall ≈ jLω .
IL en retard de π/2 par rapport à U car iL est en "quadrature retard" sur u.
IR
(R1 ) + (L1ω )
]
I
iR
i
IC
R
C
u
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Chapitre III-4- "Régime sinusoïdal-Association de dipôles"
2- Essai à basse fréquence
La longueur des vecteurs donne IR = U et IC = CωU .
R
En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : I2 = I2R + IC2
Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de basse fréquence.
On mesure un courant IR proche de I et un courant IC petit devant I.
(
L'oscillogramme est indiqué ci-contre :
u GBF
On constate un déphasage ϕ positif et de faible
valeur ( i est en avance par rapport à u ).
u
⇒ YRCparall
La tension U est proche de la valeur R.I .
⇒ Le condensateur semble avoir une action
négligeable à cette fréquence.
u GBF est proportionnel à i (1V
)
( )
= ( 1 ) + (Cω)
R
2
2
.
On a aussi ϕRCparall = − tan −1(RCω) .
: 1m A )
En basse fréquence, on a Cω << 1 ce qui donne YRCparall ≈ 1 soit ZRCparall ≈ R et
R
R
ϕRCparall ≈ 0.
En haute fréquence, on a 1 << Cω ce qui donne YRCparall ≈ Cω soit ZRCparall ≈ 1 et
R
Cω
ϕRCparall ≈ -π/2.
3- Essai à haute fréquence
Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de haute fréquence.
On mesure un courant IC proche de I et un courant IR petit devant I.
On constate un déphasage ϕ négatif et proche
de –π/2 ( i est en avance par rapport à u ).
) (
2
⇒ YRCparallU 2 = 1 U + (CωU )2
R
2
⇒ YRCparall2 = 1 + (Cω)2
R
u
d Admittance complexe
u GBF
Les admittances s'ajoutent car les dipôles sont en parallèle :
⇒ YRCparall = YR + YC = 1 + jCω = YRCparall;−ϕRCparall
R
[
La tension U est proche de la valeur 1 I .
Cω
⇒ La résistance semble avoir une action
négligeable à cette fréquence.
u GBF est proportionnel à i (1V
: 1m A )
avec YRCparall =
4- Interprétation
(R1 ) + (Cω)
2
2
]
et ϕRCparall = − tan −1(RCω) .
En basse fréquence, on a Cω << 1 ce qui donne YRCparall ≈ 1 soit ZRCparall ≈ R .
R
R
1
En haute fréquence, on a
<< Cω ce qui donne YRCparall ≈ jCω soit
R
ZRCparall ≈ −j 1 et ϕRCparall ≈ -π/2.
Cω
c Représentation de Fresnel
La relation vectorielle donne I = IR + IC avec :
IR colinéaire à U car iR et u sont "en phase".
IC en avance de π/2 par rapport à U car iC est en "quadrature avance" sur u.
I
IC
ϕ<0
U
0
x
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IR
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Chapitre III-4- "Régime sinusoïdal-Association de dipôles"
IV- CIRCUIT "RLC PARALLÈLE"
iR
R
iL
L
iC
C
L'oscillogramme est indiqué ci-contre :
u
u GBF
1- Montage
Le dipôle est constitué de l'association
en parallèle d'une résistance d'une
inductance et d'un condensateur :
i
2- Essai à basse fréquence
On a réglé la fréquence jusqu'à avoir ϕ = 0.
u GBF est proportionnel à i (1V
5- Interprétation
u
c Représentation de Fresnel
Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de faible fréquence.
On mesure un courant IL supérieur à IC .
On constate un déphasage ϕ positif
( i est en retard par rapport à u ).
⇒ L'inductance semble avoir une action
prépondérante face au condensateur.
La relation vectorielle donne I = IR + IL + IC avec :
u GBF
L'oscillogramme est représenté ci-contre :
: 1m A )
IR colinéaire à U car iR et u sont "en phase".
u
IL en retard de π/2 par rapport à U car iL est en "quadrature retard" sur u.
IC en avance de π/2 par rapport à U car iC est en "quadrature avance" sur u.
u GBF est proportionnel à i (1V
: 1m A )
Basse fréquence
Haute fréquence
IL étant supérieur à IC, le vecteur I se
IC étant supérieur à IL, le vecteur I se situe
situe "du côté" de IL avec un déphasage
positif.
"du côté" de IC avec un déphasage négatif.
3- Essai à haute fréquence
Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de haute fréquence.
On mesure une tension IC supérieur à IL .
L'oscillogramme est indiqué ci-contre :
On constate un déphasage ϕ négatif
( i est en avance par rapport à u ).
IC
IC
u GBF
IR
0
u
U
I
ϕ<0
IL IC
⇒ Le condensateur semble avoir une action
prépondérante face à l'inductance.
IL
x
u GBF est proportionnel à i (1V
IC IL
ϕ>0
: 1m A )
I
IC
4- Essai à la fréquence telle que ϕ=0 ( résonance )
IL
0
U
IR
IL
Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de fréquence telle que ϕ = 0.
On mesure un courant IL égale à IC et on constate que la tension U est maximale par
rapports aux autres fréquences.
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Chapitre III-4- "Régime sinusoïdal-Association de dipôles"
x
d Admittance complexe
Fréquence de résonance ( ϕ = 0 )
Les admittances s'ajoutent car les dipôles sont en parallèle :
⇒ YLRCparall = YR + YL + YC = 1 + j Cω − 1 = YRLCparall;−ϕRLCparall
R
Lω
(
IC étant égal à IL, le vecteur I se retrouve colinéaire au vecteur U ( ϕ = 0 )
IC
I
ϕ=0
0
IR
U
x
avec YRLCparall =
IL
En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : I2 = I2R + (IL − IC )2
(
)
) ( ) (
( ) + (L1ω − Cω)
= ( 1 ) + ( 1 − Cω )
R
Lω
⇒ YRLCparall2 = 1
R
⇒ YRLCparall
2
2
 Cω − 1 

Lω  .
et ϕRLCparall = − tan −1

1
/
R




c Expérience
.
On alimente un circuit RLC parallèle avec un courant sinusoïdal d'intensité efficace
10mA et de fréquence f0 telle que ϕ = 0 ( résonance ).
On mesure aux bornes du condensateur et aux bornes de la bobine, un courant efficace
de 50mA.
⇒ Il y a donc une surintensité dans la bobine et dans le condensateur à la
résonance.
 1 − Cω 

−1 Lω
tan
ϕ
=
On a aussi RLCparall
 1/ R  .




En basse fréquence, on a 1 >> Cω ce qui donne YRLCparall ≈ YRLparall et ϕRLCparall > 0.
Lω
En haute fréquence, on a Cω >> 1 ce qui donne YRLCparall ≈ YRCparall et ϕRLCparall < 0.
Lω
A la fréquence telle que ϕRLCparall = 0, on a 1 = Lω ce qui donne YRLCparall = 1 .
R
Cω
On a aussi : LCω02 = 1 ⇒ ω0 =
2
6- Etude particulière de la résonance
2
2
2
]
En basse fréquence, on a 1 >> Cω ce qui donne YRLCparall ≈ 1 − j 1 .
Lω
R
Lω
1
1
ce qui donne YRLCparall ≈ + jCω .
En haute fréquence, on a Cω >>
R
Lω
1
= Lω ce qui donne YRLCparall = 1 .
A la fréquence telle que ϕRLCparall = 0, on a
R
Cω
La longueur des vecteurs donne IR = 1 U ; IL = 1 U et IC = CωI .
R
Lω
2
2
⇒ YRLCparallI 2 = 1 I + 1 I − CωI
R
Lω
(R1 ) + (Cω − L1ω )
) [
1
LC
ou f0 =
d Interprétation
A la fréquence f0, l'admittance du circuit est minimale et égale à 1 ; la tension est donc
R
maximale ( on dit qu'il y a résonance en tension ).
La tension à la résonance est donc U0 = RI et le courant dans le condensateur est
IC = Cω0U0 = Cω0RI ( avec ω0 = 2πf0 ).
1
2π LC
IC
= RCω0 et ce rapport peut être
I
supérieur à 1 d'où le phénomène de surintensité lié au phénomène de surtension.
Le rapport entre le courant IC et le courant I est donc
On définit le coefficient de surintensité à la résonance Q0 = RCω0 = R .
Lω0
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Chapitre III-4- "Régime sinusoïdal-Association de dipôles"