Introduction aux vibrations Human Induced Vibration of Steel Structures 11/4/2008 RFS2-CT-2007-00033 Vue d’ensemble Vue d’ensemble • Les bases – – – – Equation du mouvement Fréquence propre Masse modale Amortissement • Vibrations d’origine humaine • L’objectif du contrôle • Essai dynamique RFS2-CT-2007-00033 2 Bases Dynamique = position de la masse en fonction du temps Bases d dt d dt Vitesse: v(t) = Position: x(t) x&(t ) ∫ dt Accéleration: a(t) =&x&(t ) ∫ dt RFS2-CT-2007-00033 3 Equation du mouvement Système à un dégrée de liberté (oscillateur simple) &x&(t ) / x&(t ) / x (t ) / F (t ) Bases m m &x&(t ) + c x&(t ) + k x (t ) = F{ (t ) 1444 424444 3 Internal c External d RFS2-CT-2007-00033 4 Equation du mouvement Bases Equation différentielle d’un système oscillant librement : m &x&(t ) + c x&(t ) + k x (t ) = 0{ 1444 4Interne 24444 3 Externe x (t ) = A sin(ω0 t ) k c &x&(t ) + x&(t ) + x (t ) = 0 m m c δ = ; ω0 = 2m &x&(t ) + 2 δ x&(t ) + ω0 x (t ) = 0 2 &x&(t ) + 2 D ω0 x&(t ) + ω0 x (t ) = 0 2 k m δ D =ξ = ω0 m Amortissement: Expliquation plus loin RFS2-CT-2007-00033 k c 5 Fréquence propre • Fréquence propre = f en 1/s • Fréquence angulaire: ω 0 = 2 π f en rad/s • Vibration harmonique (sinusoïdale) : x (t ) = A sin(ω 0 ⋅ t ) Amplitude Bases Amplitude 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 Temps en s 0 0.0 0.5 1.0 1.5 Temps en s 0 0.0 2.0 -0.5 -0.5 -1 -1 -1.5 -1.5 Vibration 1 Hz 0.5 1.0 1.5 2.0 Vibration 2 Hz RFS2-CT-2007-00033 6 Fréquence propre Bases • Détermination pour un oscillateur simple k m – système non-amorti ω0 = – système amorti ωD = ω0 1 − D 2 ≈ ω0 • Détermination manuelle (poutre) ω0 = ( j ⋅ π ) 2 EI μ l4 • Détermination par ordinateur RFS2-CT-2007-00033 1. Harmonique: j=1 2. Harmonique: j=2 7 Fréquence propre • Chaque fréquence a son propre mode d’oscillation 1. Harmonique: j=1 Bases 2. Harmonique: j=2 • Il y a autant de fréquences propres et de modes que de degrés de liberté (dynamique) • Plus la fréquence est basse, plus son énergie est basse • 1ère fréquence propre ⇒ énergie la plus basse ⇒ ⇒ fréquence la plus probable RFS2-CT-2007-00033 8 Analyse spectrale Amplitude Evolution dans le temps 1 0.8 0.5 0.6 0.4 Amplitude 0.4 0.2 0 -0.2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Temps en s 3.5 4.0 Spectre 0.3 0.2 0.1 -0.4 0 -0.6 0 2 -0.8 4 6 8 Fréquence, Hertz 10 12 -1 L’évolution dans le temps peut être décrite par un ensemble d’ondes sinusïdales et leurs amplitudes Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude 0.5 0.5 0.5 0.5 0.4 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0.0 1.0 2.0 3.0 Time in s 4.0 + 0.1 0 -0.1 0.0 1.0 2.0 3.0 Time in s 4.0 + 0.1 0 -0.1 0.0 1.0 2.0 3.0 Time in s 4.0 + 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.3 -0.4 -0.4 -0.4 -0.5 -0.5 -0.5 RFS2-CT-2007-00033 0.0 1.0 2.0 3.0 Time in s 4.0 9 Masse modale • Tous les modes d’un système peuvent être réduit à un oscillateur simple Bases ω0 = k modal m modal • La fréquence reste inchangée • La fréquence peut être déterminée grâce aux équations de base utilisant les valeurs “modales” • Masse modale ≈ masse activée RFS2-CT-2007-00033 10 Amortissement • Effet : Diminution de l’amplitude • Conversion de l’énergie Bases – – – – par frottement par déformation par flux de fluide etc. • Dépend des – – – – – – matériaux composant la structure assemblages finitions et meubles amplitude des vibrations fréquence etc. RFS2-CT-2007-00033 11 Amortissement Taux d’amortissement ξ (Xsi) • 100% Amortissement critique Amplitude Amplitude Bases • 10% Amortissement critique 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 Temps en s 0 0.0 1.0 2.0 3.0 0.0 4.0 -0.5 -0.5 -1 -1 -1.5 -1.5 0% Temps en s 0 1.0 2.0 0% 100% RFS2-CT-2007-00033 3.0 4.0 10% 12 Spécification de l’amortissement Bases • coefficient d’amortissement c [Ns/m] (force d’amortissement FD = - c v) • décrément logarithmique Λ [-] (pour la détermination de l’amortissement) • Taux d’amortissement ξ [-] – relation à c: – relation à Λ: c c ξ= = 2mω 0 2 mk Λ ξ= 4π 2 + Λ2 RFS2-CT-2007-00033 13 Amortissement Bases Détermination à partir de mesures 1 x0 Amplitude Λ = ln 1.5 n xn Exemple n = 1 : 1 0,53 Λ = ln = 0,63 1 0, 28 Exemple n = 2 : 1 0,53 Λ = ln = 0,63 2 0,15 1 fréquence propre: 1Hz 1.00 0.53 0.5 0.28 0 0.0 1.0 2.0 -0.5 0.15 3.0 4.0 Temps en s -1 -1.5 n=1 ξ= n=2 0,63 4 π + 0,63 2 2 = 0,1 RFS2-CT-2007-00033 14 Vibrations d'origine humaine Vibrations d’origine humaine Le mouvement humain excite AUSSI les structures ! RFS2-CT-2007-00033 15 Probabilité de la fréquence d’un pas slow lent normal normal fs,m = 1.837 Hz Fonction de density densité de probabilité Probability function f x (x) Vibrations d'origine humaine Fréquence d’un pas 3.5 σf = 0.126 Hz fast rapide total total 3 2.5 fs,m = 2.06 Hz fs,m = 1.503 Hz 2 σf = 0.148 Hz σf = 0.141 Hz 1.5 fs,m = 1.80 Hz 1 σf = 0.268 Hz 0.5 0 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 Step frequency Fréquence d’un pasfsfs[Hz] en Hz RFS2-CT-2007-00033 16 Force de réaction au sol pour un pied force mesurée de réaction Force [N] 1000 900 800 700 600 Marche lente 500 400 300 200 100 0 43 43.2 43.4 43.6 43.8 44 44.2 44.4 44.6 Time [sec] Force [N] 1000 900 800 700 600 Marche normale 500 400 300 200 100 0 132.6 132.8 133 133.2 133.4 133.6 133.8 134 13 Time [sec] 1000 Contact initial Positionnement Mise en charge Pré-balancement RFS2-CT-2007-00033 Marche rapide Force [N] Vibrations d'origine humaine Composante verticale 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 22.6 22.8 23 23.2 23.4 23.6 23.8 24 Time [sec] 17 24.2 Vibrations d'origine humaine Composante verticale Combinaison des deux pieds Timing du support simple Et double du pied Contact initial gauche Contact initial gauche Phase positionnement gauche Contact bilatéral Contact simple droit Contact bilatéral Contact simple gauche Phase positionnement droit Contact initial droit Contact bilatéral Contact simple droit Contact bilatéral Phase positionnement droit Contact initial droit Mouvement du centre de gravité de l’humain si synchronisé: mouvement de CoG = vibration des ponts Vitesse Amplitude forces de réaction verticale du sol Mise en charge positive RFS2-CT-2007-00033 18 0.1 F lat [kN] Valeurs mesurées (3 pas) • forces transversales 0.05 0 -0.05 -0.1 130 131 132 133 • forces verticales 134 Temps [s] 1.25 F vert [kN] Vibrations d'origine humaine Composante transversale 1 0.75 0.5 0.25 0 130 131 132 133 134 Temps [s] RFS2-CT-2007-00033 19 Application des charges • Charge verticale (coefficients voir le rapport VoF) F (t ) / G = K1 ⋅ t + K 2 ⋅ t 2 + K 3 ⋅ t 3 + K 4 ⋅ t 4 + K 5 ⋅ t 5 + K 6 ⋅ t 6 + K 7 ⋅ t 7 + K 8 ⋅ t 8 1,5 Hz Fvert /G [-] 1.6 1.2 0.8 ce n ta s i d 0.4 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Time [s] 2,4 Hz 1.6 Fvert /G [-] Vibrations d'origine humaine en analyse de pas de temps 1.2 0.8 0.4 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Time [s] • Charge horizontale ti m e – constante – dépends de la synchronisation et de l’accélération RFS2-CT-2007-00033 Pied gauche Pied droit 20 Vibrations d'origine humaine Synchronisation • Négligeable pour les planchers • Négligeable pour les vibrations verticales • Non négligeable pour les vibrations transversales Force de contact transversal du pied droit Vitesse Mouvement lat. du plancher Déplacement latéral Apport d’énergie du pied droit RFS2-CT-2007-00033 21 L’objectif du dimensionnement L’objectif du dimensionnement • Pour les deux types de structure, l’objectif est le confort. • La perception des vibrations est individuelle et dépend de : – – – – – – – – – L’âge et l’état de santé des personnes La situation individuelle lors des vibrations La posture de la personne (assise, debout, allongée) L’attente de la vibration (attente, surprise) La direction de la vibration (horizontale, verticale) L’amplitude de la vibration (accélération) La fréquence de la vibration La durée et la répétition de la vibration etc. • Les exigences de confort pour les ponts et pour les planchers sont différentes. • Classification du confort dans les deux cas. RFS2-CT-2007-00033 22 Essai dynamique Essai dynamique • L’essai dynamique est nécessaire – en cas de doute – lorsque les amortisseurs doivent être installés • Le but de l’essai est – détermination des propriétés dynamiques de la structure • fréquence propre • mode • amortissement – détermination du confort • Les procédures d’essai dépendent de l’objectif recherché • La valeur mesurée est l’accélération RFS2-CT-2007-00033 23 Accéléromètres Essai dynamique Spécifications : – Gamme de fréquence 0,1 Hz .... 50 Hz pour les ponts 1,0 Hz ….200 Hz pour les planchers – Sensitivité min. 19 mV/G – Plage d’accélération ±0,5 g Piézoélectrique Capacitive RFS2-CT-2007-00033 24 Essai dynamique Emplacement des accéléromètres • Pré-calcul recommandé • L’emplacement dépend des modes étudiés 1. Harmonique 2. Harmonique • Recommandation : Utilisation de plusieurs accéléromètres RFS2-CT-2007-00033 25 Essai dynamique Types d’essai Essais d’identification • détermination des propriétés dynamiques de la structure – fréquences propres – modes – amortissement Essais de performance • détermination du confort • essai d’identification à effectuer au préalable • essai de marche sous condition d’utilisation • essais de vibration ambiante • essais de vibration forcée • essais de vibration libre RFS2-CT-2007-00033 26 Essai dynamique Essai de vibration ambiante • Une structure est en mouvement perpétuel du fait des conditions ambiantes • La structure répond aux conditions ambiantes en oscillant dans ses modes propres • Vibrations ambiantes sont très faibles ⇒ Utilisations d’accéléromètres très sensibles RFS2-CT-2007-00033 27 • Impulsion courte • Vibration libre jusqu’à la stabilisation du système 4.00 3.00 2.00 accélération [m/s²] Essai dynamique Test de vibration libre 1.00 0.00 -1.00 -2.00 -3.00 -4.00 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000 2.200 Temps [s] RFS2-CT-2007-00033 28 Les types d’impulsions Marteau calibré Essai dynamique Excitation par les talons sur planchers sur planchers et ponts Sauts importants sur les ponts RFS2-CT-2007-00033 29 Essai dynamique Test de performance • La structure est testée sous condition normale d’utilisation • La charge escomptée doit être appliquée – nombre escomptée de personnes – dans la manière escomptée de mouvement RFS2-CT-2007-00033 30 Questions & Réponses Human Induced Vibration of Steel Structures 11/4/2008 RFS2-CT-2007-00033