Electromagnétisme
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ELECTROMAGNETISME Presser la touche F5 pour faire apparaître les signets qui favorisent la navigation dans le document. Sommaire 1 Définitions − Lois générales...................................................................................................... 1 1.1 Champ d'excitation et champ d'induction − Flux d'induction ............................................ 1 1.2 Loi de Laplace .................................................................................................................... 1 1.3 Théorème d'Ampère ........................................................................................................... 1 1.4 Induction électromagnétique − Lois de Faraday et de Lenz .............................................. 2 1.5 Auto-induction − Induction mutuelle ................................................................................. 2 2 Ferromagnétisme ....................................................................................................................... 3 2.1 Généralités .......................................................................................................................... 3 2.2 Notion de réluctance − Relation de Hopkinson ................................................................. 4 2.2.1 Définitions − Etablissement de la relation dans un cas particulier ............................. 4 2.2.2 Applications................................................................................................................. 5 2.3 Electro-aimants................................................................................................................... 6 2.4 Bobine à noyau de fer alimentée par une tension sinusoïdale ........................................... 6 2.4.1 Généralités ................................................................................................................... 6 2.4.2 Bobine idéale ............................................................................................................... 6 2.4.3 Prise en compte des pertes dans le matériau magnétique ........................................... 7 2.4.4 Schéma équivalent complet......................................................................................... 7 2.4.5 Influence de la saturation ............................................................................................ 8 Exercices d'application .................................................................................................................. 9 MG 1 ELECTROMAGNETISME 1 Définitions − Lois générales 1.1 Champ d'excitation et champ d'induction − Flux d'induction Les champs magnétiques peuvent essentiellement être créés à partir de deux "sources de champ", les aimants permanents et les conducteurs parcourus par des courants. On constate cependant que, pour une même source de champ, le champ magnétique n'est pas le même suivant la nature du milieu. On est donc amené à définir deux grandeurs: → − L'excitation magnétique H qui ne dépend que de la source de champ et qui se mesure en ampères par mètre ( A/m ). → → − L'induction magnétique B qui dépend de la source ( donc de H ) et du milieu et qui se mesure en Teslas ( T ). → → Dans les milieux linéaires, on a B = µ H , où µ est une caractéristique du milieu. En particulier, dans le vide, µ = µ0 = 4π.10−7. → Au vecteur B , on associe le flux d'induction ( ou, en raccourci, flux ) Φ = →→ ∫∫sBds à travers une surface fermée orientée s. Si le champ est uniforme et les lignes de champ perpendiculaires à la surface ( seul cas que nous envisagerons par la suite ), on a simplement Φ = Bs. 1.2 Loi de Laplace → Une portion dl de conducteur, parcourue par un courant I, est soumise à une force F donnée par la relation: → → → F = I dl Λ B 1.3 Théorème d'Ampère La circulation ( généralisation de la notion de travail, réservée aux vecteurs forces ) du vec→ teur H le long d'un contour fermé est égale à la somme algébrique des ampères-tours enlacés par ce contour: ∫ →→ H dl = ∑ Ni C → Remarque 1: Si on choisit comme contour une ligne de champ, H est en tout point parallèle à → dl et l'intégrale précédente se ramène à ∫ Hdl = ∑ Ni . De plus, si H est constant, on a simpleC ment Hl = ΣNi, où l désigne la longueur du contour. Remarque 2: Le terme ΣNi est appelé force magnétomotrice ( f.m.m. ). On verra sur les exemples comment se fait le décompte algébrique. MG 2 1.4 Induction électromagnétique − Lois de Faraday et de Lenz Tout conducteur électrique plongé dans un champ magnétique variable est le siège de phénomènes électriques dits d'induction. − Si le conducteur est ouvert, il apparaît entre ses extrémités une force électromotrice donnée dΦ par la relation e = ± où Φ est le flux du champ magnétique à travers la surface délimitée dt par le conducteur ( le signe effectif de e dépend de plusieurs considérations qu'il est inutile de développer ici ). Ceci constitue la loi de Faraday. − Si le conducteur est fermé, il apparaît dans celui-ci des courants de sens tels que leurs effets magnétiques s'opposent à la cause qui leur a donné naissance. Ceci constitue la loi de Lenz. Remarque: Les mêmes phénomènes apparaissent si, à la place du champ variable, on a un matériau conducteur qui se déplace dans un champ constant. C'est en particulier le cas pour les freins à courants de Foucauld, constitués par une roue en cuivre tournant perpendiculairement à un champ constant créé par un bobinage auxiliaire. L'alimentation en courant continu de ce bobinage génère au sein de la roue des courants qui, conformément à la loi de Lenz, tendent à la ralentir, donc produisent un couple de freinage. 1.5 Auto-induction − Induction mutuelle Vu ce qui précède, tout conducteur parcouru par un courant constitue une source de champ magnétique. Si le courant est variable, le champ l'est également, et, conformément aux lois cidessus, induit au sein du conducteur des effets électromagnétiques. Ce phénomène est appelé auto-induction. Si, de plus, les éléments constitutifs sont linéaires, il y a proportionnalité entre le flux créé Φ et le courant i. On définit alors le coefficient d'auto-induction ou inductance L, dΦ di =L . égal à Φ/i. En particulier, en convention récepteur, on aura e = dt dt De même, si plusieurs conducteurs parcourus par des courants variables sont en présence, chacun induit dans les autres des effets électromagnétiques, dits d'induction mutuelle. On peut noter que celle-ci dépend entre autres des positions géométriques relatives des conducteurs. Dans le même ordre d'idées que pour l'auto-induction, on définit, pour les systèmes linéaires, des coefficients d'induction mutuelle ( ou inductances mutuelles ) de la forme Mij = Φj/ij, où i est l'indice du conducteur considéré et j celui qui produit l'effet de mutuelle. A titre d'exemple, on peut considérer le cas particulier de deux bobinages, 1 e2 et 2, comportant respectivement N et N spires ( cf. schéma ci-contre ). 1 2 2 e1 1 − En l'absence de courant i2, on définit pour le premier bobinage l'inductance di L1 telle que e1 = L1 1 ( à noter qu'ici, L1i1 = N1Φ1, où Φ1 désigne le flux figure 1 dt créé par auto-induction dans une spire du bobinage − le terme N1Φ1 est appelé flux totalisé ). i1 i2 MG 3 di 2 . dt − Pour terminer, on définit les inductances mutuelles M12 et M21 qui traduisent les interactions di entre les bobinages. En particulier, M12 est telle e1 = M12 2 pour i1 = 0. En fait, comme M12 dt et M21 ne dépendent que de la géométrie du système, on a M12 = M21, la valeur commune étant notée M. di1 di 2 e = L + M 1 1 dt dt Au total, on aura donc . On peut signaler le point suivant: di di 2 1 e2 = L2 +M dt dt Le signe de la contribution mutuelle peut être positif ou négatif suivant la position et le sens des bobinages. On pourrait traduire cela en donnant une valeur algébrique à M. Dans la pratique, cependant, on préfère conserver une valeur toujours positive et changer le signe de la f.é.m. mutuelle ( les équations ci-dessus correspondent donc à une interaction positive ). Dans cette M optique, on définit un coefficient de couplage k égal à . L1L2 − De même, on définit pour le deuxième bobinage l'inductance L2 telle que e2 = L2 2 Ferromagnétisme 2.1 Généralités Les matériaux ferromagnétiques possèdent la propriété de pouvoir s'aimanter en présence d'une source de champ magnétique. On caractérise le comportement de ces matériaux à l'aide de deux éléments: B figure 2 H B Br −H Hc −Br figure 3 H a) La courbe de première aimantation Comme son nom l'indique, celle-ci est obtenue à partir d'un matériau totalement désaimanté, pour lequel on fait croître progressivement H. Cf. figure 2, on y distingue essentiellement deux zones: − La première correspond au fonctionnement linéaire. B y est quasiment proportionnel à H, ce que l'on traduit en écrivant B = µH, ou encore, B = µ0µrH en faisant apparaître la perméabilité relative µr, dont la valeur est très grande devant l'unité ( plusieurs milliers, en général ). En toute rigueur, cette relation n'est pas valable aux très faibles valeurs de H, mais, dans la pratique, on n'en tient pas compte. Dans le même ordre d'idées, µ serait en réalité la pente de la partie linéaire. − La deuxième correspond à la saturation, où B tend progressivement vers µ0H ( la courbe devenant quasiment horizontale à l'échelle du tracé ). MG 4 b) Le cycle d'hystérésis En fonctionnement normal, pour H variant alternativement entre deux valeurs extrêmes ( une négative et une positive ), on obtient la courbe représentée sur la figure 3, décrite dans le sens des flèches. On y fait apparaître en particulier − L'induction rémanente Br: C'est celle qui subsiste après la disparition de H. − L'excitation coercitive Hc: C'est la valeur qu'il faut donner à H pour supprimer l'aimantation. Par ailleurs, le parcours du cycle se traduit par une dissipation d'énergie dans le matériau, que l'on appelle pertes par hystérésis, et qui est proportionnelle à l'aire de ce dernier. 2.2 Notion de réluctance − Relation de Hopkinson 2.2.1 Définitions − Etablissement de la relation dans un cas particulier Dans tout ce qui suit, nous allons raisonner en termes de circuit magnétique, constitué par une carcasse en matériau ferromagnétique comportant un ou plusieurs bobinages. De plus, nous supposerons que le matériau constitutif est linéaire et sans pertes. i1 i2 N2 N1 figure 4 section droite Afin de préciser les signes apparaissant dans les différentes relations, on affecte chaque bobinage d'un point ( cf. ci-contre, où on a considéré le cas de deux bobinages ) qui matérialise le sens des enroulements. Compte tenu des orientations choisies pour les courants, la convention est alors la suivante: ∗ Les ampères-tours sont comptés positivement si le courant entre par le point et négativement sinon. A titre d'exemple, pour le cas représenté sur la figure 4, i1 crée une f.m.m. positive N1i1 et i2 une f.m.m. négative −N2i2. ligne d'induction moyenne Considérons alors dans un premier temps le cas d'une carcasse en matériau homogène, de section droite constante et égale à s ( cf. figure 5 ). L'étude complète montre que, si le matériau magnétique possède une perméabilité relative suffisamment élevée ( ce qui est bien le cas ici ), le flux Φ en tout point à figure 5 l'intérieur de la carcasse peut être considéré comme constant ( notion de flux conservatif ). Comme la section est constante, le champ B, égal à Φ/s, l'est aussi, et, vu que le matériau est homogène, il en est de même pour H. Partant de là, on définit une ligne d'induction moyenne de longueur notée l ( toujours cf. figure 5 ). En supposant que les enroulements sont bobinés comme indiqué sur la figure 4, le théorème d'Ampère entraîne Hl = N1i1 − N2i2. Comme le matériau magnétique est linéaire, on a H = B/µ0µr, ce qui, compte tenu de B = Φ/s, et reporté dans la relation Hl = N1i1 − N2i2 entraîne Φ l qui ne dépend que de la l = N1i1 − N 2i2 . Cette relation fait apparaître le terme sµ 0µ r sµ 0µ r géométrie de la carcasse et du matériau magnétique utilisé. C'est donc une caractéristique du MG 5 circuit, que l'on appelle réluctance R et qu'on mesure en H−1. Compte tenu de ceci, on réécrit l'égalité précédente sous la forme RΦ = N1i1 − N 2 i 2 dite relation de Hopkinson. 2.2.2 Applications a) Circuit linéaire homogène comportant un nombre quelconque de bobinages En notant toujours R la réluctance du circuit, la relation de Hopkinson devient RΦ = ∑ Ni les différentes f.m.m étant comptées positivement ou négativement conformément à la convention relative aux points. b) Circuits linéaires composé de plusieurs sections de caractéristiques différentes Un exemple de ce type est représenté ci-contre. On suppose bien A i Φ1 sûr que chaque section possède une surface si et une perméabilité Φ3 relative µri constante. Le flux Φi à l'intérieur de chaque élément est Φ2 N donc constant, et, vu sa conservation, la somme des flux arrivant à un point est égale à celle des flux qui en partent ( ex. Φ1 = Φ2 + Φ3 ). (1) (2) (3) D'autre part, lorsque deux sections sont "magnétiquement en série" B et sont le siège d'un même flux, leurs réluctances s'ajoutent. Au figure 6 total, on a une analogie formelle avec les lois régissant les circuits électriques, en assimilant les flux aux courants, les réluctances aux Φ1 R1 A Φ2 Φ3 résistances et les forces magnétomotrices aux forces électromotrices. On peut donc, en particulier, tracer un "schéma équivalent" et vAB R R Ni 2 3 définir des d.d.p. magnétiques. A titre d'exemple, le circuit de la figure 6 se transforme en celui B ci-contre, où, en notant l i les longueurs des différentes lignes d'infigure 7 l1 l2 l3 duction moyenne, on a R1 = , R2 = et R3 = . µ 0µ r1s1 µ 0µ r 2s2 µ 0µ r 3s3 Ni Ni , soit, après réarranet v AB = Ni − R1Φ1 = Ni − R1 R2 R3 R2 R3 R1 + R1 + R2 + R3 R2 + R3 v v R2 R3 gement v AB = Ni . Ceci permettrait de calculer Φ2 et Φ3 par AB et AB . R1 R2 + R1R3 + R2 R3 R2 R3 On en déduit Φ1 = c) Circuit comportant un entrefer Par définition, l'épaisseur e de celui-ci est petit devant les dimensions i Φ e de la section droite de surface s du circuit. Le champ dans l'entrefer peut donc être considéré comme uniforme et le flux correspondant calculé par N Bs, de la même façon que dans le circuit magnétique. Partant de là, on e = R . définit la réluctance de l'entrefer par e figure 8 µ 0s MG 6 En désignant alors par R la réluctance du circuit magnétique, égale à R = longueur de la ligne d'induction moyenne correspondante, il vient Φ = l , avec l, µ 0µ r s Ni . Re + R Remarque: L'inductance du circuit se calculerait comme précédemment par L = remplaçant Φ, R et Re par leurs expressions, L = N² l e + µ 0µ r s µ 0s = NΦ , soit en i µ 0 N ²s . On constate en particul +e µr lier que, si l/µr est petit devant e, L ne dépend plus du matériau magnétique, donc de l'éventuelle saturation de celui-ci. Cette propriété est utilisée pour réaliser des inductances étalons de valeur élevée. Sans forcément aller jusqu'à avoir l /µr ? e, on emploie également les entrefers pour diminuer l'influence de la saturation dans les inductances de lissage. 2.3 Electro-aimants On peut les schématiser comme indiqué ci-contre. L'étude théorique montre que la force s'exerçant entre la partie fixe et l'armature détachable est donnée par la relation F = B²S avec S, surface totale de contact et B, champ d'induction 2µ 0 dans le matériau. On peut noter que cette relation reste valable si on écarte les armatures l'une de l'autre, mais la force portante diminue car, du fait que l'on crée un entrefer, B devient plus faible ( du moins si le courant circulant dans le bobinage reste constant ). figure 9 2.4 Bobine à noyau de fer alimentée par une tension sinusoïdale 2.4.1 Généralités i Φ v figure 10 Nous la schématiserons ici comme indiqué ci-contre. Dans tout ce qui suit, on note l la longueur de la ligne d'induction moyenne, s la surface d'une section droite du matériau et N le nombre de spires du bobinage. Par ailleurs, on met la tension v sous la forme V 2 sinωt et on lui associe le complexe V. Pour l'étude, on procédera en plusieurs temps, en prenant en compte progressivement les caractéristiques réelles du montage. 2.4.2 Bobine idéale On néglige la résistance du bobinage et on admet que le matériau est linéaire, de perméabilité relative µr, et sans pertes. D'autre part, on suppose qu'il n'y a pas de fuites magnétiques, c'est à dire que toutes les lignes de champ restent confinées dans le matériau. Compte tenu de tout MG 7 di NΦ , avec L = , soit, dt i l Ni N² avec R, réluctance du circuit ( que l'on calculerait par ), L = . Ce sachant que Φ = µ 0µ r s R R terme est appelé inductance magnétisante. Comme v est sinusoïdal, i l'est aussi, et on peut mettre la relation précédente sous la forme V = jLωI. Par ailleurs, le schéma équivalent de la bobine se réduit à une simple inductance. ceci, la tension v est simplement égale à la f.é.m. d'auto-induction L 2.4.3 Prise en compte des pertes dans le matériau magnétique Nous avons déjà vu que l'existence d'un cycle d'hystérésis se traduisait par une énergie dissipée dans le matériau. Comme le champ est alternatif, il s'y rajoute une deuxième cause de pertes, celles dues aux courants de Foucauld, que l'on essaie de minimiser en feuilletant les tôles. L'ensemble constitue ce qu'on appelle les pertes fer de la bobine. On montre qu'à induction maximale élevée, ( cas usuel ), les pertes fer sont sensiblement proportionnelles au carré de la tension. Il est donc logique de caractériser ces dernières à l'aide d'un résistor Rf placé en parallèle sur la tension d'alimentation. Ceci n'affectant pas le calcul de l'inductance magnétisante par L = N²/R, le schéma équivalent de la bobine devient maintenant 1 1 celui représenté sur la figure 11. D'autre part, en notation complexe, il vient I = + V. R f jLω i R Le courant est donc en retard sur la tension d'un angle ϕ égal à Arc tan f . Il Lω v L Rf faut noter qu'en toute rigueur, ce qui précède implique un cycle d'hystérésis de forme elliptique, puisque i, donc H, est également sinusoïdal. On fait donc ici figure 11 une petite approximation en négligeant l'écart avec la forme réelle du cycle. 2.4.4 Schéma équivalent complet On tient compte de la résistance R du bobinage et des fuites magnétiques. Ces dernières correspondent aux lignes de champ qui sortent du circuit magnétique et se referment dans l'air. On les caractérise par un flux "de fuite". Vu que ce flux circule en grande partie dans l'air, il n'est pas affecté par une éventuelle saturation du matériau et reste donc toujours proportionnel à i. di Ceci permet de mettre la f.é.m. d'induction correspondante sous la forme l ( soit jlωI en dt régime sinusoïdal ), en faisant apparaître le terme l, appelé inductance l i R de fuite. Au total, les d.d.p. RI et jlωI viennent se retrancher de la tension V, seul ce qui reste étant appliqué aux bornes des éléments Rf et L v L définis précédemment. Le schéma équivalent complet peut donc se Rf mettre sous la forme ci-contre. On peut noter que, usuellement, la chute figure 12 de tension dans R et l reste petite devant la tension appliquée v. MG 8 Remarque: A priori, les valeurs des éléments du schéma se déduisent d'essais, par exemple, en relevant le courant absorbé et la puissance consommée pour une tension d'alimentation donnée. Cependant, à moins de connaître avec exactitude la réluctance de la carcasse, il n'est pas possible de déterminer séparément l et L pour une bobine seule. Par contre, comme cela le devient dans le cas du transformateur monophasé ( même structure, mais avec deux bobinages ), nous y reviendrons dans l'étude correspondante. 2.4.5 Influence de la saturation Pour simplifier, on repart à nouveau d'un matériau magnétique sans pertes fer et on néglige la chute de tension dans R et l. La courbure de sa caractéristique B = f(H) entraîne qu'il n'y a plus proportionnalité entre la tension et le courant. Comme, par hypothèse, la tension est sinusoïdale, B l'est également Il s'ensuit que le courant, proportionnel à H, ne l'est plus, comme on peut le voir sur le tracé ci-dessous. Il reste, bien sûr, périodique, ce qui permet en particulier de le qualifier en termes de fondamental et d'harmoniques ( ces derniers étant d'autant plus élevés que la saturation est plus importante ). B B t H i t figure 13 La non-linéarité pose évidemment un problème en ce qui concerne la définition de L. Pour le résoudre, on raisonne généralement en termes de courant sinusoïdal équivalent, de valeur efficace égale à I ( mais de valeur crête évidemment différente ), ce qui permet de retrouver la relation de proportionnalité V = jLωI, le courant restant en retard de π/2 sur la tension. Si, de plus, on tient compte des autres éléments, on peut continuer à raisonner en ces termes, donc en conservant le schéma équivalent représenté sur la figure 12. Ceci entraîne en particulier que le déphasage entre le courant sinusoïdal équivalent et la tension ne sera plus de π/2, mais de l'angle ϕ défini précédemment. MG 9 Soit le circuit magnétique représenté ci-dessous. Le bobinage comporte N = 1000spires et le courant i est constant et égal à 1A. On donne: la largeur de l'entrefer c e c i e = 5mm ainsi que les longueurs de ligne d'induction moyenne, les surfaN ces des sections droites et les perméabilités relatives − pour les sections identiques c, l 1 = 2,5cm s1 = 0,5cm² µr1 = 3000 d − pour la section d, l 2 = 12,5cm s2 = 1cm² µr2 = 1000. Par ailleurs, on note H1, He et H2 les excitations magnétiques dans les différentes sections, B1, Be et B2 les inductions correspondantes et on rappelle que µ0 = 4π10−7. 1) Appliquer le théorème d'Ampère à un contour fermé regroupant les différentes lignes d'induction moyenne pour obtenir une relation entre H1, l 1, He, e, H2, l 2, N et i. Exprimer ensuite les différentes excitations magnétiques en fonction des inductions correspondantes pour obtenir la relation liant B1, Be, B2, l 1, e, l 2, µr1, µr2 et µ0. 2) En admettant que les lignes de champ dans l'entrefer restent parallèles, la conservation du flux entraîne que Φ = B1s1 = Bes1 = B2s2. Remplacer alors les inductions par leurs expressions en fonction de Φ dans la relation précédente pour obtenir l'expression du flux en fonction des différentes caractéristiques du circuit magnétique. A.N: Calculer Φ, B1, Be, B2, H1, He et H2. 1 2 Un circuit magnétique en ferrite possédant les caractéristiques suivantes, perméabilité relative µr = 500, surface d'une section droite s = 2cm², longueur de la ligne d'induction moyenne l = 10cm, comporte un bobinage de N = 50spires. 1) Calculer la réluctance R du circuit magnétique ainsi que l'inductance L du bobinage. 2) Pour un courant I = 1A dans le bobinage, calculer le flux Φ, le champ B et l'excitation H dans le matériau magnétique. Soit le circuit magnétique ci-dessous, constitué par 3 noyaux N et 2 culasses C. On donne Pour les noyaux: longueur de la ligne d'induction moyenne l N = 21cm C surface d'une section droite sN = 64cm² perméabilité relative µrN = 1200 N N N Pour les culasses: longueur de la ligne d'induction moyenne l = 35cm C surface d'une section droite sC = 64cm² C perméabilité relative µrC = 1200 figure 1 1) Calculer les réluctances RN et RC d'un noyau et d'une culasse. 2) On place un enroulement de N = 125 spires sur le noyau central ( cf. figure 2 ). i a) En divisant chaque culasse en deux parties égales, tracer le schéma équivalent pour les composantes magnétiques et le simplifier compte tenu N des règles d'association des réluctances. b) Déterminer l'expression du flux Φ dans le noyau central en fonction de figure 2 N, i, RN et RC. En déduire la valeur numérique de l'inductance L du bobinage. 3 MG 10 c) On applique aux bornes du bobinage une tension sinusoïdale de valeur efficace V = 230V et de fréquence f = 50Hz. Calculer la valeur efficace I du courant. 3) Refaire la même étude si on place le bobinage sur un noyau latéral ( cf. figure 3 ). i N figure 3 4 On donne les caractéristiques du circuit magnétique d'une bobine à noyau de fer: − Longueur de la ligne d'induction moyenne l = 2,2m. − Surface d'une section droite 0,018m². − En fonctionnement nominal, la valeur maximale de l'induction magnétique BM est de 1,6T à laquelle correspond une excitation magnétique HM = 250A/m. − Les différents joints magnétiques des tôles sont équivalents à une force magnétomotrice "efficace" ε = 41At. Par ailleurs, le bobinage comporte N = 1560 spires et est alimenté en alternatif sinusoïdal de fréquence 50Hz. On note V et I les valeurs efficaces des grandeurs électriques correspondantes. 1) Calculer la perméabilité relative du matériau. 2) Ecrire le théorème d'Ampère en termes de grandeurs efficaces et en déduire la valeur IN de I permettant d'obtenir le point magnétique nominal. 3) Pour ce même point, calculer la valeur nominale VN de V. 4) Déduire des deux questions précédentes la valeur de l'inductance L du bobinage. 5) On tient compte en plus des pertes fer de la bobine. Sachant que, pour V = VN, ces pertes valent 1200W, calculer la résistance Rf équivalente à ces pertes. En raisonnant ensuite à partir d'un diagramme vectoriel, déterminer la valeur efficace totale du courant absorbé ainsi que le déphasage ϕ entre I et V.
