Devoir surveillé, en groupes

T4
Le 27 / 11 / 2012
Devoir surveillé, en groupes
Recherche individuelle : 45 min
Mise en commun, en groupes : 45 min
Correction : 30 min
Exercice 1
sur 10 points
Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à
.
Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.
Partie A
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
- La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test)
- La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est 0,97 (spécificité du
test)
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note l’événement « la personne est contaminée par le virus » et
positif ».
l’événement « le test est
1. a.
En utilisant les données de l’énoncé, préciser les valeurs des probabilités
,
,
et
. Puis traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
b. En déduire la probabilité de l’événement
.
2. Montrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
3. a. Justifier par un calcul la phrase « Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de chances
que la personne soit contaminée ».
b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant
que son test est négatif.
Partie B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, et on considère que la taille
de cette population fait que les tirages sont indépendants les uns des autres.
On appelle la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus
parmi ces 10 personnes.
1.
2.
Justifier que suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
Exercice 2
sur 10 points
Un joueur début un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties.
La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0,2.
Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :


s’il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ;
s’il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1.
Le joueur joue plusieurs parties successivement.
1. On appelle :
l’événement « le joueur perd la première partie » ;
l’événement « le joueur perd la deuxième partie ».
On appelle la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des deux
premières parties.
a. Quelles sont les valeurs prises par ?
b. Montrer que la probabilité de l’événement
est égale à 0,22.
c. Déterminer la loi de probabilité de et calculer son espérance mathématique.
2. Pour tout entier naturel non nul, on note
l’événement : « le joueur perd la
et on désigne par la probabilité de l’événement .
Ainsi ,
.
En utilisant un arbre pondéré, montrer que pour tout entier
,
3. On considère la suite
définie pour tout entier
par :
partie »,
.
a. Montrer que
est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. En déduire, pour tout entier
,
puis en fonction de .
c. Calculer la limite de quand tend vers
.
Barème Exercice 1
Question
Points
Commentaires
1a
1,5
1b
1
2
1,5
3a
1,5
3b
1,5
1
1,5
2
1,5
Note Exercice 1 :
Partie A
 0,5 pour les 3 probabilités (0 si une au moins est fausse)
 1 pour l’arbre (
par erreur)
 1 si le calcul est bien posé (même si la formule de
l’intersection n’est pas citée) et cohérent avec l’arbre.
0 si le résultat n’est pas justifié, ou si le calcul n’est pas
cohérent avec l’arbre
Si le calcul est bien posé et justifié mais qu’il y a une erreur de
calcul : 0,5 seulement
 1 si le calcul est bien posé (même si la formule de
l’intersection n’est pas citée) et cohérent avec l’arbre.
Mêmes remarques qu’au 1b
 0,5 pour une phrase de conclusion bien rédigée.
 0,5 si c’est bien
qui est calculé
 0,5 si la formule
est bien écrite




0,5 pour le résultat et la conclusion
0,5 si c’est bien
qui est calculé
0,5 si la formule est bien écrite
0,5 pour le reste du calcul
Partie B
4 éléments doivent apparaître dans la rédaction :
- Epreuve de Bernoulli, avec le succès clairement
identifié
- La probabilité du succès
- La répétition des épreuves, de façon indépendante
compte le nombre de succès
1,5 si les 4 sont là
0,5 seulement s’il en manque un
0 s’il en manque plus d’un.
 0,5 pour
ou
) ou
 1 pour le reste du calcul
0 si la formule de la loi binomiale n’est pas citée
correctement, ou pas citée du tout
si le calcul est bien posé mais qu’il y a une erreur de
calcul.
Barème Exercice 2
Question
1a
Points
0,5
1b
2
1c
1,5
2
2
3a
2
3b
1
3c
1
Note Exercice 2 :
Note Globale :
Commentaires
0,5 si tout juste, 0 sinon
 1 pour un arbre bien fait
 1 si le calcul est bien posé et cohérent avec l’arbre.
0 si le résultat n’est pas justifié, ou si le calcul n’est pas
cohérent avec l’arbre
Si le calcul est bien posé et justifié mais qu’il y a une erreur de
calcul : 0,5 seulement
 1 pour la loi de probabilité
0 si les résultats ne sont pas justifiés
 0,5 pour l’espérance
0 si le résultat n’est pas justifié
 1 pour un arbre bien fait
 1 pour la formule bien justifiée
 1,5 pour la suite géométrique et sa raison
1 seulement si le raisonnement est correct mais si une valeur
approchée de 1/19 est utilisée.
 0,5 pour le premier terme
0 si c’est une valeur approchée.
 0,5 pour
 0,5 pour
0 si le résultat n’est pas justifié
Seulement 0,5 si oubli de
Devoir surveillé, en groupes – Corrigé
Partie B
Exercice 1
1. Un choix est une épreuve de Bernoulli :
Succès = ; Échec =
Probabilité du succès :
.
On répète
fois cette épreuve, de façon
indépendante. compte le nombre de succès.
Donc
.
Partie A
1. a.
,
,
.
0,99
0
0,76
1
0,22
2
0,02
2.
0,1
2.
0,9
0,02
0,01
0,03
: la probabilité qu’il y ait au
moins deux personnes contaminées parmi les 10
est environ 0,0162.
0,05
Exercice 2
0,95
0,98
0,97
b.
0,1
0,2
.
Donc
0,9
2.
Donc
0,05
.
3. a.
0,8
, ce qui
0,95
justifie la phrase de l’énoncé.
b.
3. a.
: la
probabilité qu’une personne ne soit pas
contaminée par le virus sachant que son test est
négatif est environ 0,9997.
1. a.
b.
prend les valeurs 0, 1 et 2.
Donc
: la suite
est bien une
suite géométrique, de raison 0,05 et de premier
terme
.
b.
Donc
c.
.
c.
Donc
car
.
.