ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ u uu = Π

UN APERCU DES NOTIONS ESSENTIELLES DE LA PHYSIQUE QUANTIQUE
Avertissement :
Ce document est un résumé très condensé des chapitres II, III et IV du support de cours écrit
de PA101. Il ne saurait constituer à lui tout seul la « base de données de révision »
permettant d’aborder sans risque les contrôles de connaissances. Il est avant tout destiné à
faciliter la hiérarchisation de l’apprentissage de la mécanique quantique (MQ) et la
structuration mentale associée, permettant ensuite d’affiner les connaissances.
Les états quantiques sont des éléments d’un espace vectoriel, on sait les additionner et les
multiplier par un coefficient complexe (principe de superposition). On note couramment l’état
quantique d’un système sous la forme ψ , avec la dénomination « ket ». La connaissance
de l’état quantique à un instant donné est la connaissance maximale autorisée par la
MQ.
A chaque grandeur physique issue de la physique classique est associé un opérateur
agissant sur les états quantiques du système. Ces opérateurs sont spécifiquement définis par
un postulat. On les appelle des « observables », et les postulats liés à la mesure montrent
qu’il faut leur imposer d’être diagonalisables (la somme directe de leurs espaces propres
forme l’espace entier). En outre ils doivent être hermitiques, ce qui assure que leurs valeurs
propres sont réelles. Par contrecoup les espaces propres sont orthogonaux.
Toute expérience et observation s’exprime dans le cadre des postulats liés à la mesure. Dans
le cadre de la mécanique quantique, on ne peut obtenir une information sur un système
physique que par le biais de la mesure d’une grandeur physique. Le résultat d’une mesure
ne peut être qu’une valeur propre de l’observable associée à la grandeur physique
mesurée. Cela impose de diagonaliser l’opérateur pour obtenir le spectre des résultats de
mesure possibles.
Le résultat d’une mesure est fondamentalement aléatoire. Cela signifie que pour un état
quantique donné, des résultats différents peuvent aléatoirement être obtenus. La
probabilité d’obtenir tel ou tel résultat est en revanche parfaitement déterminée, sa valeur fait
intervenir à la fois l’opérateur lui-même, l’état quantique juste avant la mesure, et l’espace
propre associé au résultat de mesure considéré :
gn
P( an ) = ∑
i =1
uni ψ
2
=
ψ ψ
ψ Πn ψ
ψ ψ
(base
{u } orthonormée)
i
n
(cas d’un spectre discret)
gn
Π n = ∑ uni uni
i =1
est le projecteur sur l’espace propre correspondant à
an
(base
othonormée).
Cette probabilité n’est rien d’autre que le module carré de la composante de l’état avant
mesure sur le sous-espace propre.
Après une mesure l’état quantique ψ
se trouve projeté en
Π n ψ sur le sous-espace propre
correspondant à an (principe de réduction du paquet d’ondes). Une mesure immédiatement
après la première garantit donc de trouver le même résultat. C’est d’ailleurs ce qui
permet de « préparer » un système dans un état quantique donné.
Après une mesure, on connaît donc bien la grandeur physique mesurée (parfaitement pour un
spectre discret, mais moyennant une incertitude de mesure pour un spectre continu). On peut
donc dire du système qu’il possède une grandeur physique valant tant. En revanche en
l’absence de mesure ou d’information préalable, une grandeur physique est fondamentalement
indéterminée, et il est même faux de dire que le système possèderait une certaine énergie, bien
définie, mais qu’on ne la connaît pas.
La connaissance de toutes les distributions de probabilité des diverses grandeurs physiques
revient à connaître l’état. Cette connaissance maximale est « lourde », et bien souvent
excessive. Toutefois on peut se faire une idée de la nature de l’état en question par une
information partielle, typiquement les valeurs moyennes et les écarts types de ces
distributions. On montre facilement la relation :
A = ∑ a n P ( an ) =
n
Bien sûr A ψ
ψ Aψ
ψψ
résulte de l’action de l’observable A sur ψ , ensuite le produit scalaire avec
ψ est calculé etc …
Entre deux mesures les états quantiques évoluent « par la grâce de l’équation de
Schrödinger dépendant du temps » :
ihd ψ / dt = H ψ
Ici l’opérateur H est l’hamiltonien, associé à l’énergie totale du système. Pour une particule
()
r
P2
+
V
R
, pour un moment magnétique dans un
dans un potentiel, c’est par exemple
2m r
r
r
r r
champ magnétique, on y inclura − M .B avec M = γL ou S etc …
Cette équation permet de montrer l’existence d’états stationnaires. Les états stationnaires
ont des distributions de probabilité de résultats de mesures constantes au cours du
temps, quel que soit la grandeur physique. Cela implique que seule la phase globale de ces
états peut dépendre du temps. On montre facilement que les états propres d’un opérateur
hamiltonien indépendant du temps sont stationnaires. Ils vérifient :
ψ (t ) = exp( −iEt / h) ψ ( 0 )
E étant l’énergie du système dans un tel état. Cette énergie est donc parfaitement déterminée,
ce qui n’est pas le cas d’un état non stationnaire.
Les états stationnaires sont des intermédiaires de calcul bien commodes pour résoudre des
problèmes dépendant du temps : ils servent de base de décomposition bien adaptée :
ψ (t ) = ∑ cn (0) exp(−iEn t / h ) ϕ n
avec
H ϕ n = En ϕ n
n
Les coefficients sont calculés comme des produits scalaires avec les états de base :
c n (0) = ϕ n ψ (0)
On montre facilement qu’un état presque stationnaire vérifie une relation
exprime que plus un état évolue vite, moins bien est connue son énergie.
ΔE. Δt ≈ h
qui
L’évolution au cours du temps des états quantiques peut s’apprécier de façon parcellaire mais
utile par la variation temporelle des valeurs moyennes des diverses grandeurs physiques :
d
1
dA
A =
A, H +
dt
ih
dt
dA
est nul, sauf si l’opérateur dépend lui-même du temps. Bien sûr cette
dt
expression fait intervenir l’état quantique par l’intermédiaire des valeurs moyennes sur cet
état.
En général
Le principe de réduction du paquet d’ondes a une conséquence importante : la notion nouvelle
d’incompatibilité. Deux grandeurs physiques sont incompatibles s’il est fondamentalement
impossible de les mesurer simultanément. Cela se traduit par l’inexistence d’une base
d’états propres communs aux deux observables associées. Le critére d’incompatibilité est que
le commutateur [ A, B ] = AB − BA ≠ 0 , et dans ce cas on en déduit une relation d’incertitude
de Heisenberg :
σA.σB ≥
1
2
A, B
dont le second membre dépend de général de l’état quantique du
système. Cette relation exprime que si on connaît bien la grandeur A, en général on connaît
mal B et vice-versa.
Travailler dans l’espace des états quantiques revient à calculer des expressions du type A ψ ,
ψ A ψ etc … qui sont celles d’un espace vectoriel doté d’un produit scalaire hermitien,
ψ ϕ vérifiant entre autres ψ ϕ
*
= ϕ ψ , et ψ A ϕ = ϕ A + ψ , où A+ est l’adjoint
*
de A qui est justement défini par cette relation.
Il est donc souvent nécessaire de calculer des expressions duales, c'est-à-dire de passer de
l’espace des états quantiques à son dual. Cela se fait par la règle simple de « conjugaison
hermitique », consistant à remplacer les opérateurs par leurs adjoints (donc à ne pas les
changer si ce sont des observables), à remplacer les kets par les « bras » qui sont des formes
linéaires transformant des kets en nombres complexes, et à remplacer les complexes par leurs
conjugués. Une telle transformation peut être commode pour calculer un produit scalaire
ψ ϕ dans le cas où on connaît le ket ψ par exemple sous la forme ψ = A χ + α υ .
+
*
Alors ψ = χ A + υ α , et
ψ ϕ = ( χ A+ + υ α * ) ϕ = χ A+ ϕ + α * υ ϕ = ϕ A χ + α * υ ϕ
*
Le formalisme général des kets admet des représentations particulières commodes. Ainsi
lorsqu’on s’intéresse à un système à une particule, connaître
ψ
r
revient à connaître la
r
fonction d’onde ψ (r, t ) (représentation R), ou de façon équivalente à connaître ψ ( p, t )
(représentation P). Ces deux fonctions sont transformées de Fourier l’une de l’autre :
r
r
1
i rr
ψ ( p, t ) exp( p.r )d 3 p
3/ 2 ∫
h
(2πh )
r
r
1
i r r
ψ ( p, t ) =
ψ (r , t ) exp(− p ⋅ r )d 3 r
3/ 2 ∫
h
(2πh)
ψ (r , t ) =
et vérifient (normalisation)
r
r
3
3
∫ ψ ( r , t ) d r = ∫ ψ ( p, t ) d p = 1
2
2
Les produits scalaires s’expriment comme des intégrales :
ψ ϕ = ∫ψ *ϕ .d 3 r (expression
équivalente dans l’espace des impulsions)
et les opérateurs sont de nature multiplicative et/ou différentielle agissant sur ces fonctions
d’ondes. En particulier
r
r
⎛ϕ ⎞
⎛ ϕ (r ) ⎞
⎛ xψ ( r ) ⎞
⎜ ⎟ r
⎜ r ⎟ r r ⎜
r ⎟
⎜ χ ⎟ = R ψ ⇔ ⎜ χ ( r ) ⎟ = r ψ (r ) = ⎜ yψ ( r ) ⎟
⎜ξ ⎟
⎜ ξ ( rr ) ⎟
⎜ zψ ( rr ) ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
r
r
⎛ϕ ⎞
⎛ ϕ (r ) ⎞
⎛ − ih∂ xψ (r ) ⎞
⎜ ⎟ r
r r ⎜
⎜ r ⎟
r ⎟
P
(
r
)
i
=
⇔
=
−
∇
χ
ψ
χ
h ψ (r ) = ⎜ − ih∂ yψ (r ) ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜ξ ⎟
⎜ ξ (rr ) ⎟
⎜ − ih∂ ψ (rr ) ⎟
z
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
()
r
r
r
r
ϕ = V R ψ ⇔ ϕ (r ) = V (r ).ψ (r )
r
r
P2
h2
ϕ =
ψ ⇔ ϕ (r ) = −
Δψ ( r )
2m
2m
Les moments cinétiques sont quantifiés. Il en existe de deux sortes : les moments cinétiques
orbitaux, qui résultent du mouvement des particules dans l’espace, et les moments cinétiques
de spin, qui traduisent l’existence d’un mouvement interne des particules. Dans tous les cas
les spectres de valeurs propres des composantes de ces moments cinétiques (qui sont des
triplets d’opérateurs, puisqu’un moment cinétique est un vecteur) sont discrets :
On a pour le moment cinétique orbital :
l = ypz − zpy
r r r x
l = r Λp ly = zpx − xpz
⇒
r r r
L = RΛP
lz = xpy − ypx
r r
Lx = YPz − ZPy
Ly = ZPx − XPz
Lz = XPy − YPx
r
On en déduit LΛL = ihL , qui devient la relation de définition générale d’un moment
cinétique et est donc également vérifiée pour les spins.
Partant de cette relation pour un moment cinétique orbital ou spin
r
J
On en déduit :
r
J , J = 0 , ce qui permet de rechercher les états propres d’une composante de moment
2
cinétique (usuellement Jz) en lui imposant d’être également état propre de son carré. On a
alors les relations aux valeurs propres :
J 2 j , m = j ( j + 1)h 2 j , m
J z j , m = mh j , m
nécessairement j est entier ou demi-entier et de plus:
-j≤ m ≤ +j (m= -j, -j+1, -j+2, ..., j-1, j)
si j est demi-entier alors m est demi-entier
si j est j entier alors m est entier
Pour un moment cinétique orbital, j (qu’on note l) ainsi que m est nécessairement entier ;
En revanche pour un spin, s (qu’on note s) ainsi que m sont entiers ou demi-entiers.
L’électron, le proton et le neutron sont des spins ½ : s=1/2, et m=±1/2. Le photon est une
particule de spin 1, mais c’est un cas particulier lié à sa nature relativiste : la valeur m=0 est
interdite, les valeurs m=±1 correspondent aux polarisations circulaires droite ou gauche.
3
1
S 2 ± = h2 ±
Sz ± = ± h ±
4
2
On a pour un spin 1/2 :
S+ + = S− − = 0 S+ − = h +
S− + = h −
avec S + = S x + iS y
S − = S x − iS y
les états + et − étant des états propres communs à S2 et à Sz.
Les opérateurs S+ et S- (qui ne sont pas des observables) sont des intermédiaires de calcul qui
permettent en particulier de calculer l’action des opérateurs Sx et Sy sur la base des états
propres de Sz.