No d’ordre : 717 THÈSE présentée à l’Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse pour l’obtention du titre de DOCTEUR de l’Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse Spécialité : Automatique par Pascal ACCO Laboratoire d’Étude des Systèmes Informatiques et Automatiques École Doctorale Systèmes Titre de la thèse : Étude de la boucle à verrouillage de phase par impulsions de charge Prise en compte des aspects hybrides Soutenue le 17 Décembre 2003, devant le jury : Président : M. Germain Garcia Professeur, INSA Toulouse Rapporteurs : M. Claude Iung Professeur, ENSEM Nancy M. Jean–Paul Louis Professeur, ENS Cachan M. Jamal Daafouz Maı̂tre de conférence, ENSEM Nancy Mme Danièle Fournier–Prunaret Professeur, INSA Toulouse M. Jean–Louis Noullet Industriel, ChipYards Toulouse M. Abdel–Kaddous Taha Docteur de l’INSA de Toulouse M. Luca Bertolini Industriel, MOTOROLA Toulouse Examinateurs : Membre invité : Table des matières Introduction 2 Chapitre 1 Introduction 5 1.1 1.2 Réflexion sur la notion de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Phase et fréquence dans le cas des signaux périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Phase et fréquence dans le cas des signaux quasi–périodiques . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Observation de la phase d’un oscillateur à relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Le verrouillage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Les boucles à verrouillage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Classification des BVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4 État de l’art de l’analyse des BVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.5 La BVP–IC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.6 État de l’art de l’analyse des BVP–IC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.7 Apport personnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chapitre 2 Modélisation 2.1 2.2 2.3 2.4 19 Modélisation des différentes parties de la BVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Modèle du DPF et du générateur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Modèle du filtre passe–bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3 Modèle de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.4 Diviseur de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Choix des variables réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 BVP–IC similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Normalisation autour du point de fonctionnement unitaire . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3 Normalisation de la BVP–IC du troisième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Modèle linéaire continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 La boucle d’asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.2 Fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3 Validité du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Modèle linéaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1 Approximation de l’impulsion de courant de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.2 Modèle à base d’impulsions de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 i ii Table des matières 2.4.3 Modèle à base d’une impulsion approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.4 Modélisation avec un échantillonneur–bloqueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.5 Validité des modèles discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5 Modèle non–linéaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Modèle linéarisé discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.7 Modèle non–linéaire inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.8 Modèles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.8.1 Les différents types de modèles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.8.2 Définition du modèle hybride de Pettersson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.8.3 Modèle hybride continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.8.4 Discrétisation du modèle hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.8.5 Discrétisation du modèle hybride continu le long d’une séquence . . . . . . . . . . 47 2.8.6 Discrétisation périodique du modèle Hyb–CNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.8.7 Discrétisation quasi–périodique du modèle Hyb–CNC . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.8.8 Simulation des modèles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Modèles événementiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.9.1 Modèle événementiel du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.9.2 Modèle événementiel du troisième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.10 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.9 2.11 Quelques simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.11.1 Simulations locales en trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.11.2 Simulations globales en trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Chapitre 3 Analyse 3.1 3.2 3.3 59 Étude du modèle linéaire continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.1 Stabilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.2 Contrainte de stabilité robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.3 Contrainte de rapidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.4 Rejet des bruits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.5 Rejet du bruit en entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.1.6 Rejet du bruit à la sortie de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.7 Saturation de la commande à l’entrée de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1.8 Calcul du filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Étude du modèle linéaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2.1 Condition de stabilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2.2 Condition de stabilité robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2.3 Conclusion sur l’étude linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Stabilité d’une séquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.1 Calcul du multiplicateur d’un cycle limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.2 Calcul du multiplicateur à partir du modèle linéarisé discret . . . . . . . . . . . . 72 3.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 iii 3.4 Stabilité quelles que soient les séquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4.1 Un contre–exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4.2 Méthode directe de Lyapunov et extension aux systèmes hybrides . . . . . . . . . 75 3.4.3 Stabilité des systèmes non–linéaires commutés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Stabilité quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5.1 Représentation du système sous forme polytopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.5.2 Recherche d’une fonction de Lyapunov quadratique commune . . . . . . . . . . . 81 Stabilité Poly–quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6.1 Stabilité poly–quadratique dans un ensemble de séquences réduit . . . . . . . . . . 82 3.6.2 Validité du résultat pour le système non–linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Stabilité poly–quadratique relâchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.1 Linéarisation de Lyapunov des modèles non–linéaires discrets commutés . . . . . 83 3.7.2 La S–procédure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.7.3 Partitionnement du plan de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.8 Approximation de la région de stabilité par une grille de calcul . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.9 Vérification expérimentale des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.10 Optimisation par force brute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.5 3.6 3.7 Conclusion et perspectives 97 Annexe A Signaux Analytiques 99 A.1 Le concept de phaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 A.2 Extension aux signaux quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Annexe B Relation de similarité entre BVP–IC 101 B.1 Définition de la relation de similarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 B.2 Condition de similarité entre deux commutations du courant de charge . . . . . . . . . . . 101 B.2.1 Similarité des états E et E 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 0 B.2.2 Similarité entre voct et voct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 B.2.3 Similarité des phases ϕb et ϕb 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 B.3 Preuve pour tout t par raisonnement récurrent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 B.4 Extension aux BVP–IC du troisième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 B.4.1 Similarité des tensions vc et voct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 B.4.2 Relation de similarité des BVP–IC du troisième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Annexe C Calcul du modèle NL–DL 105 C.1 Calcul de τk+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 C.1.1 Cas de deux charges consécutives : cas « + + » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 C.1.2 Cas d’une charge suivie d’une décharge : cas « + - » . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 C.1.3 Cas d’une décharge suivie d’une charge : cas « - + » . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 C.1.4 Cas de deux décharges consécutives : cas « - - » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 C.2 Domaines de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1 Annexe D Calcul du modèle NL–D-1 109 D.1 Unicité du modèle inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 D.1.1 Exclusion d’une solution éligible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 D.1.2 Inversion du cas « - - » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 D.1.3 Inversion du cas « - + » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 D.2 Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Annexe E Réalisation expérimentale de la BVP–IC 113 E.1 Le détecteur de phase–fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 E.2 Le générateur d’impulsions de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 E.3 Le détecteur de séquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Annexe F Optimisation de la BVP–IC d’ordre deux 117 Liste des symboles 123 Liste des acronymes 129 Index 131 Index des auteurs 133 Bibliographie 135 Introduction Historiquement, le principe de la boucle à verrouillage de phase, appelée plus communément PLL (en anglais Phase-Locked loop), remonte aux années 1930. Il a été imaginé par le physicien français Henri de Bellescize qui, cherchant à améliorer les conditions de réception de signaux radioélectriques fortement noyés dans le bruit, a inventé le principe de la régulation automatique de phase. Bien que cette invention fut d’une grande importance, en particulier dans le domaine des télécommunications et de la télédétection, les contraintes technologiques de l’époque (utilisation de composants à tubes) ont limité son développement, et il a fallu attendre l’avènement des circuits électroniques à semi-conducteurs dans les années 1950 pour que le principe des asservissements de phase jouisse d’une expansion rapide dans beaucoup de domaines. De nos jours le verrouillage de phase trouve des applications aussi nombreuses que variées qui vont de la traditionnelle modulation/démodulation (application native) à la télémétrie par effet Doppler en passant par la reconstitution ou la synthèse des horloges de synchronisation des dispositifs électroniques analogiques et numériques. Il existe diverses architectures de boucles à verrouillage de phase et le choix de la structure à adopter dépend aussi bien de l’application dans laquelle elle est impliquée que de la nature analogique et/ou numérique des signaux qu’elle met en oeuvre. L’architecture communément rencontrée dans des applications de synthèse d’horloge et présentant des caractéristiques très attrayantes en termes d’accrochage et de comportement dynamique, est la Boucle à Verrouillage de Phase par Impulsion de Charges (nous préférons utiliser le sigle BVP–IC à son équivalent anglais CP–PLL signifiant Charge Pump–PLL). Ce travail de thèse s’articule autour de cette architecture particulière. Problématique La BVP–IC est un circuit très apprécié pour sa bonne capacité d’acquisition et la qualité de son régime transitoire. Ce circuit tire ses performances d’un détecteur très particulier constitué d’une machine à deux, trois ou cinq états qui lui confère la capacité de détecter les erreurs de phase et de fréquence. Ce détecteur de phase à logique séquentielle commande et coexiste avec des systèmes purement analogiques comme le filtre ou l’oscillateur contrôlé en tension. Bien qu’il soit facile de modéliser le détecteur de phase d’une part et les fonctions analogiques d’autre part, il est difficile de modéliser les interactions entre le système séquentiel à temps discret et les systèmes analogiques à temps continu. Jusqu’à présent cette difficulté a été franchie en assimilant le comportement du détecteur de phase séquentiel à celui d’un détecteur de type analogique très utilisé et très maı̂trisé. Ces travaux ont été initiés dans les années 1970 essentiellement par Floyd M. Gardner et font référence dans les milieux de la recherche et de l’industrie. Dans les années 1990, deux types de modèles prenant en compte de manière exacte le détecteur de phase ont été établis de manière indépendante par Mark van Paemel et par Christian D. Hedayat. En revanche, aucune méthode d’analyse n’a été proposée à partir de ces modèles dont les simulations laissent entrevoir une plage de stabilité beaucoup plus grande que celle estimée auparavant. Ces simulations montrent que l’analyse de la stabilité de la BVP–IC à partir des modèles exacts ne représente pas seulement une difficulté théorique intéressante pour un chercheur mais aussi une extension des possibilités de conception pour l’ingénieur. 2 3 L’avènement de la théorie des systèmes hybrides lors de ces trente dernières années devrait rendre possible une telle analyse. Cette théorie vise à modéliser et analyser les systèmes hybrides où coexistent des dynamiques continues dans le temps avec des systèmes événementiels à temps discret. Cette théorie a été surtout développée pour l’étude de systèmes automatiques supervisés par des systèmes décisionnels. Le cloisonnement entre la discipline des télécommunications traitant notamment du verrouillage de phase et la discipline de l’automatique traitant des asservissements de niveau décisionnel a empêché le rapprochement entre la BVP–IC et les systèmes hybrides dont elle fait pourtant partie. Nous proposons dans ce mémoire d’effectuer ce rapprochement qui devrait permettre d’effectuer la première analyse exacte de la stabilité de la BVP–IC. Organisation de ce mémoire Les travaux de thèse sont présentés en trois chapitres : Le Chapitre 1 – Introduction – tente d’amener une large gamme de lecteurs le plus loin possible dans la compréhension du principe et de l’utilité de l’asservissement de phase. Le choix d’exemples simples qui ne sont pas issus d’applications électroniques permet d’aborder le fonctionnement d’un oscillateur contrôlé, ainsi que la définition de sa phase instantanée. Toujours à l’aide d’un exemple simple le principe du verrouillage de phase et ses enjeux techniques sont abordés. Sous des termes plus techniques, les boucles à verrouillage de phase, l’historique et l’état de l’art de leur analyse sont présentés. Nous introduisons la BVP–IC et son principe de fonctionnement après un bref exposé des différentes architectures. Le chapitre 2 – Modélisation – aborde les nombreux modèles de la BVP–IC d’ordre deux et trois. Chaque bloc fonctionnel est d’abord décrit et mis en équation. Pour faire face au grand nombre de paramètres entrant en jeu dans l’écriture de ces équations nous démontrons que la dynamique de la BVP–IC dépend uniquement de deux ou trois paramètres. Ces paramètres réduits sont ensuite utilisés pour l’écriture des modèles linéaires et des modèles exacts. Les deux modèles exacts proposés dans la littérature sont mis sous la forme de systèmes hybrides. Des simulations significatives sont présentées pour caractériser le domaine de validité de quelques modèles et en proposer une classification sur cette base. Le chapitre 3 – Analyse – met en oeuvre la théorie des systèmes linéaires puis celle des systèmes hybrides pour dégager une condition de stabilité la plus large possible pour la BVP–IC d’ordre deux. Les analyses linéaires continue et discrète sont présentées de manière à démontrer la souplesse et la facilité avec laquelle elles peuvent être utilisées. Nous abordons ensuite l’analyse à partir des modèles exacts à l’aide d’une part de la section de Poincaré et d’autre part de la méthode directe de Lyapunov. Les résultats théoriques sont finalement confrontés à des mesures expérimentales réalisées sur une platine à composants discrets conçue à cet effet. 4 Introduction Chapitre 1 Introduction Sommaire 1.1 Réflexion sur la notion de phase . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Phase et fréquence dans le cas des signaux périodiques . . . . 1.1.2 Phase et fréquence dans le cas des signaux quasi–périodiques 1.1.3 Observation de la phase d’un oscillateur à relaxation . . . . . 1.2 Le verrouillage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Les boucles à verrouillage de phase . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Classification des BVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 État de l’art de l’analyse des BVP . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 La BVP–IC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 État de l’art de l’analyse des BVP–IC . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Apport personnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 7 8 11 13 14 15 16 16 17 17 6 1.1 Chapitre 1. Introduction Réflexion sur la notion de phase La phase et la fréquence instantanée sont des notions communément admises qui sont, la plupart du temps, utilisées sans être précisément définies. Dans l’étude d’un asservissement de phase, il est important de définir cette notion avec précision car elle intervient dans la modélisation des signaux. Ce problème de la représentation mathématique des signaux et de leur analyse sont l’objet de la théorie du signal [Rou79][dC84][Spă70]. La définition de fréquence et de spectre instantanés sont un problème ardu de cette théorie faisant appel à la relation d’incertitude entre la précision temporelle et la précision fréquentielle de l’observation d’un signal. L’étude de la stabilité d’un asservissement de phase ne nécessite pas, en général, une analyse des signaux très poussée comme par exemple l’analyse par ondelettes ; la transformée de Fourier est un outil suffisant pour ce genre d’étude. Par contre, l’étude fait appel à une représentation mathématique temporelle des signaux qui doit être adaptée aux signaux rencontrés, et qui permet une modélisation aisée du système. La modélisation des signaux d’un asservissement de phase se fait en calculant l’évolution de leur phase instantanée ou de leur fréquence instantanée, la fréquence étant définie comme la dérivée temporelle de la phase. Une modélisation rigoureuse doit définir ces deux notions et établir leur lien avec l’amplitude du signal. Nous envisageons, pour cela, une définition de la fréquence instantanée établie par approximation locale du signal. Une réflexion sur l’observabilité de la phase d’un signal carré, qui est la forme des signaux rencontrés dans ce mémoire, montre les limites de la définition. On définit alors la notion de phase instantanée à partir des variables d’état d’un oscillateur à relaxation. Cette définition permet de représenter le signal par un signal analytique de même phase et d’amplitude telle que le signal réel soit de forme carré. On obtient ainsi une représentation mathématique du signal faisant apparaı̂tre sa phase et sa fréquence instantanée qui, de plus, admet une représentation physique aisée de ces notions. 1.1.1 Phase et fréquence dans le cas des signaux périodiques Prenons les définitions des termes phase et fréquence issues du « Nouveau Petit Robert » : Définition 1 – Phase : n.f. – (1903) phys. Constante angulaire caractéristique d’un mouvement périodique. Le déphasage, différence de phase entre deux mouvements de même période. Mouvements de même période en phase (débutant en même temps, leurs fonctions ayant leurs maximums et leurs minimums pour des valeurs identiques de leurs variables), en opposition de phase (avec un angle de phase de 180◦ ), en quadrature retard ou avance de phase, déphasés d’un quart de période. Courant électrique constitué de plusieurs composantes sinusoı̈dales présentant des différences de phase. ⇒ polyphasé ; biphasé, triphasé. Définition 2 – Fréquence : n.f. – (1890 électr. ; 1753 phys.) Nombre de cycles identiques d’un phénomène par unité de temps (en général, par seconde). Fréquence d’un diapason. Fréquence sonore. Fréquence respiratoire : nombre de cycles respiratoires par minutes. Fréquence temporelle, circulaire, angulaire. Inverse de la fréquence ⇒ période. Fréquence d’un courant alternatif ou d’une onde électromagnétique (⇒ audiofréquence, hyperfréquence, radiofréquence). Bande de fréquence ( ⇒ fréquentiel ; passe–bas ; passe–haut). Intervalle de fréquence. ⇒ décade, octave.) Fréquence musicale ou acoustique, correspondant aux tons audibles. Modulation de fréquence. ⇒ F.M. La phase et la fréquence sont donc des caractéristiques constantes du signal établies pour des signaux périodiques. La phase est une constante angulaire définie par rapport à une référence temporelle, généralement l’instant initial, ou par rapport à la phase d’un signal de référence. La fréquence est définie par rapport à une durée d’observation pendant laquelle le nombre d’occurrences de cycles identiques est compté. Dans le cas d’un simple signal sinusoı̈dal, l’amplitude A, la phase ϕ, et la pulsation ω apparaissent explicitement dans l’écriture du signal e(t) : e(t) = A sin (ω t + ϕ) La phase étant exprimée en radians, la pulsation est exprimée en radians par secondes. Un simple changement d’unité permet de lier la pulsation ω et la fréquence f par ω = 2π f . 1.1. Réflexion sur la notion de phase Cette définition de la phase n’est plus valable lorsque les caractéristiques des signaux varient dans le temps. C’est le cas des signaux quasi– périodiques, comme les signaux modulés en phase et/ou en fréquence. La phase et la fréquence ne sont plus, dans ce cas–là, des caractéristiques constantes du signal et leur mesure dépend alors de la période d’observation. Par extension, une observation de durée infinitésimale permet de définir la notion de phase instantanée, de fréquence instantanée et de phase initiale. 1.1.2 Phase et fréquence dans le cas des signaux quasi–périodiques Une extension rigoureuse de la notion de fréquence instantanée des signaux quasi–périodiques est difficile car elle demande d’exprimer mathématiquement une notion extrapolée intuitivement du cas périodique. La phase instantanée est alors vue comme une information sur l’état d’avancement du cycle à un instant t, ayant pour valeur 2π à la fin du cycle, 0 à son début et de croissance monotone. La fréquence instantanée est liée à la vitesse d’exécution d’un cycle prise à un instant t. Dans le cas d’un signal sinusoı̈dal quasi– périodique A sin (φ(t)) d’amplitude constante, on assimile la valeur φ(t) à la phase instantanée du signal puisque celle–ci est une valeur en radian égale à 2π à la fin d’un cycle et nulle au début. La phase initiale φ(t0 ) est la valeur de la phase instantanée à l’instant initial. Par contre la définition de la fréquence instantanée n’est pas immédiate, car elle nécessite une observation du signal pendant au moins un cycle complet. Définition de la fréquence instantanée par approximation locale du signal Une première proposition de définition, illustrée par la fig. 1.1, consiste à approcher le signal quasi– périodique de forme quelconque s(t) à l’instant t par une sinusoı̈de e(t) de fréquence constante : cette fréquence définit la fréquence instantanée du signal à l’instant t. On dit que les fonctions s(t) et e(t) sont semblables à l’instant t, si leurs amplitudes sont égales et si le premier terme de leurs développements en 7 1 e(t) = s(t) et e0 (t) = s0 (t) 0.5 0 t 0.5 −0.5 1.5 2 temps s(t) e(t) −1 Fig. 1.1 : La fréquence instantanée du signal Chirp (en trait plein), modulée par un message m(t) = t, est déduite de celle d’une sinusoı̈de e(t) (en pointillés) semblable à s(t) à l’instant t. série de Taylor sont égaux : s(t + ∆t) = s(t) + ∆t s0 (t) + . . . e(t + ∆t) = e(t) + ∆t e0 (t) + . . . La fréquence instantanée du signal s(t) est alors celle du signal sinusoı̈dal e(t) de même amplitude vérifiant e(t) = s(t) et e0 (t) = s0 (t). On obtient ainsi les relations suivantes : e(t) = A sin (ω t) = s(t) i (1.1) e0 (t) = A ω cos (ω t) = s0 (t) i i À partir de ces égalités, l’expression de la fréquence instantanée, en fonction de la mesure s(t) du signal et de sa dérivée s0 (t), est unique : s0 (t) ωi (t) = p (1.2) A2 − s(t)2 Remarque 1 Ce résultat est obtenu en remplaçant le terme cos (ωi (t)) dans l’expression e0 (t) = qs0 (t) par sa valeur en fonction du si2 nus : ± 1 − sin (ωi (t)) . La fréquence instantanée étant par définition positive, l’inversion du carré du cosinus se fait sans ambiguı̈té de signe. Remarque 2 Dans le cas d’un signal sinusoı̈dal quasi–périodique à amplitude constante A sin (φ(t)), cette définition devient la relation bien connue entre phase et pulsation : ωi = ∂(φ(t)) ∂t . Remarque 3 Cette définition de la fréquence instantanée est dans une certaine mesure arbitraire. En imposant dans la définition l’égalité entre les seconds termes du développement de Taylor s00 (t) = e00 (t), on obtient une fréquence instantanée qui peut être complexe ou multiple. Une telle définition n’aurait pas de sens physique. 8 Chapitre 1. Introduction Illustrons cette définition avec le cas d’un signal modulé en fréquence par un message m(t). La pulsation instantanée du signal ωi (t) est, par définition de la modulation, celle de la porteuse ω0 augmentée de l’écart de fréquence k m(t) proportionnel au message. La fig. 1.1 représente un signal de type Chirp dont le message m(t) est proportionnel au temps et dont la fréquence porteuse est nulle. L’expression du signal faisant apparaı̂tre explicitement la pulsation instantanée ωi , et la phase initiale ϕ0 est : Zt s(t) = A sin 1.1.3 Observation de la phase d’un oscillateur à relaxation Le principe de l’oscillateur à relaxation est d’emmagasiner de l’énergie tant qu’une limite supérieure n’est pas atteinte – période de charge ; – le système change alors de comportement et libère l’énergie tant qu’une limite inférieure n’est pas atteinte – période de relaxation. Le système retrouve alors son comportement initial et commence une nouvelle période de charge : il oscille ainsi entre les deux limites. La fig. 1.2 représente un type simple d’oscillateur à relaxation : le shishi odoshi 1 . ωi (τ ) dτ + ϕ0 0 Zt = A sin ω0 t + (1.3) m(τ ) dτ + ϕ0 0 Si on approche à l’instant t ce signal par une sinusoı̈de de fréquence constante, déterminée à l’aide de l’équation(1.2) en remplaçant s(t) par l’expression précédente, on retrouve bien la fréquence instantanée du signal ω0 + k m(t). Dans le cas de signaux sinusoı̈daux modulés, cette définition est valable car la valeur physique du signal s(t) est liée à la phase du signal. Remarquons que la formule (1.2) est indéterminée au niveau des extrema de la courbe, lorsque s0 (t) = 0 et s(t) = A : le résultat dépend alors des seconds membres du développement de Taylor. Cette singularité apparaı̂t car, au niveau des extrema, la phase n’influence plus le signal et rend la mesure de ses variations impossibles en ces points isolés. Si le signal n’est pas lié à la phase à chaque instant, comme dans un signal carré, cette définition ne donne plus de résultats physiquement cohérents. Un signal carré est constant partout sauf en quelque points où il commute entre deux valeurs constantes. L’observation de la fréquence instantanée d’un tel signal conduirait à une fréquence nulle partout et infinie aux points de discontinuité. La définition n’est donc pas valable lorsque la phase du signal n’est pas observable partout à l’aide de la mesure du signal et de sa dérivée. Nous proposons de définir la phase d’un tel signal en observant les variables d’état du système générant ce signal. Dans cette étude, nous nous intéressons exclusivement aux signaux quasi– périodiques générés par un oscillateur à relaxation. Fig. 1.2 : Le shishi odoshi. Il s’agit d’un type de fontaine constitué d’une tige de bambou creuse, dont une extrémité est rendue étanche par un contre–poids, cette tige pouvant pivoter autour d’un axe solidaire du sol. Son fonctionnement est le même que celui d’un vase de Tantale : en position de repos, vignette gauche de la fig. 1.3, l’extrémité ouverte du bambou est dirigée vers le haut permettant ainsi à un filet d’eau de le remplir. Le niveau d’eau, augmentant progressivement, finit par faire basculer le bambou autour de son axe, vignette centrale de la fig. 1.3, et libère soudainement la masse d’eau emmagasinée. La tige retourne alors dans sa position initiale entraı̂née par le contre–poids et vient frapper le sol en émettant un son caractéristique, vignette droite de la figure. La fréquence de basculement du bam1 mot japonais signifiant « effrayer (odoshi) les biches (shishi) ». Ce type de fontaine était utilisé autrefois aux abords des rizières pour effrayer les animaux par son claquement soudain, ou comme clepsydre mesurant le temps de méditation des moines. De nos jours on le rencontre en décoration dans les fontaines des jardins japonais. 1.1. Réflexion sur la notion de phase 9 Fig. 1.3 : Description du cycle observé par le shishi odoshi : la tige se remplit – phase de charge – (vignette de gauche) ; puis bascule lorsqu’un certain niveau est atteint – phase de relaxation – (vignette centrale) ; la tige retombe en arrière et claque sur le sol (vignette de droite). Se retrouvant dans la configuration initiale un nouveau cycle commence . . . bou dépend, entre autre, du débit d’eau remplissant plus ou moins rapidement la tige creuse. Définition hybride simple de l’oscillateur à relaxation Cette fontaine est l’analogie hydraulique du montage très utilisé en électronique consistant à charger et décharger une capacité avec un courant dont on contrôle la valeur. Dans les deux cas, il s’agit d’un oscillateur à relaxation contrôlé en courant. Sans adopter le formalisme exact de la modélisation hybride, discuté plus en détail dans le § 2.8 (page 42), nous pouvons établir un modèle hybride simple des oscillateurs à relaxation. Nous avons vu que l’oscillateur à relaxation possède deux comportements : la charge pendant laquelle l’énergie du système augmente vers une valeur e ; et la relaxation, pendant laquelle cette énergie décroı̂t vers une valeur e. En choisissant un vecteur d’état X, on peut établir un modèle différentiel continu pour chaque comportement : Ce type de circuit est très utile car il permet de générer directement un signal carré dont on peut contrôler la fréquence d’oscillation. Un observateur, regardant la tige de bambou ne peut en connaı̂tre la fréquence d’oscillation à un instant t. Il ne peut que mesurer la période s’écoulant entre deux changements de position de la tige et obtenir une mesure de la fréquence moyennée sur cette période. La phase du shishi odoshi n’est pas observable à partir de la seule information de sa position, tout comme la phase du signal carré n’est pas observable à partir de la mesure de sa valeur physique. Par contre, un observateur pouvant mesurer la hauteur d’eau à l’intérieur du bambou ainsi que son évolution récupère une information sur l’état d’avancement du cycle périodique. Le niveau d’eau h est une variable d’état qui croı̂t à partir d’une valeur inférieure hmin vers une valeur supérieure hmax avant de faire basculer la tige et de revenir rapidement à la valeur hmin . Le niveau d’eau est donc une image instantanée de la phase du signal qui n’est pas exprimée en radian mais entre les deux valeurs hmin et hmax . Nous pouvons généraliser cette définition en établissant un modèle hybride simple des oscillateurs à relaxation. Ẋ = fi (X) i ∈ {0, 1} Le champ différentiel f0 correspondant au comportement de relaxation et le champ f1 à celui de charge. L’énergie est alors une fonction du vecteur d’état E(X) de l’oscillateur. La fig. 1.4 montre un exemple d’évolution de cette énergie dans un plan de phase de dimension deux. Dans l’état de charge, le système commute lorsque l’énergie E(X) atteint la valeur e. La relation E(X) = e définit une frontière de commutation dans le plan de phase du système f1 . De même, E(X) = e définit une frontière de commutation du système f0 . Le système hybride est alors défini par une équation différentielle jusqu’à ce que sa frontière de commutation soit atteinte. À ce moment l’équation différentielle change et le vecteur d’état conserve sa valeur lors de cette commutation. Remarque 4 Certains oscillateurs, comme le shishi odoshi, observent une période de relaxation 10 Chapitre 1. Introduction E(x, y) y E(x, y) = e e iso–énergie Arc de charge Ė > 0 Arc de relaxation Ė < 0 iso–énergie e E(x, y) = e x temps Charge Relaxation Fig. 1.4 : Évolution de l’énergie d’un oscillateur à relaxation dans le plan de phase. très courte que l’on peut négliger devant la période de charge. Dans ce cas, la modélisation peut se faire à l’aide d’un seul système différentiel f , correspondant à la charge, dont on ré–initialise tout ou partie des variables d’états lorsque la frontière de commutation E(X) = e est atteinte par le système. Le vecteur d’état est initialisé directement à sa valeur en fin de décharge sur la frontière E(X) = e. Remarque 5 Une entrée u(t) doit être ajoutée au modèle des oscillateurs à relaxation contrôlés. Un oscillateur contrôlé en fréquence comportera une entrée u(t) agissant sur la vitesse de variation de l’énergie du système, le débit du filet d’eau remplissant la tige du bambou dans l’exemple précédant. Il existe des conditions nécessaires à l’apparition d’oscillations dans un tel système, telle que la décroissance (resp. croissance) de l’énergie le long d’une trajectoire de f0 (resp. f1 ) lorsque E(X) ≥ e (resp. E(X) ≤ e). Ces conditions, utiles à la conception de l’oscillateur, ne sont pas discutées dans ce mémoire. Définition de la phase instantanée de l’oscillateur à relaxation Lorsque l’oscillateur est bien conçu, l’énergie E(X) oscille entre les deux limites en décrivant une trajectoire cyclique dans le plan de phase (voir la fig. 1.4) définie par deux arcs : un arc correspondant à la charge où E(X) est croissante Ė(X) > 0 et un arc correspondant à la relaxation avec une énergie décroissante Ė(X) < 0. La valeur de cette énergie et le signe de sa variation donne toute l’information nécessaire sur l’état d’avancement du mouvement cyclique : la phase. Nous pouvons donc proposer la définition suivante de la phase instantanée d’un signal généré par un oscillateur à relaxation. Définition 3 – Phase instantanée du signal d’un oscillateur à relaxation : – toute variable d’état à croissance monotone liée à l’énergie emmagasinée par l’oscillateur, et au signe de sa variation, prenant une valeur nulle en un point du mouvement cyclique – point de référence, – une valeur égale à 2π à la fin du premier cycle débuté en ce point de référence et k 2π à la fin du kème cycle. On peut adopter, de la même manière, une définition de la phase instantanée qui soit contenue dans l’ensemble [0, 2π[. La phase observe alors une discontinuité en 2π lors de la fermeture d’un cycle qui peut compliquer la définition de la fréquence instantanée. La modélisation d’un oscillateur à relaxation peut être faite en choisissant une variable d’état ϕ, correspondant à la définition 3, dont la représentation physique peut être facilement construite. En reprenant l’exemple du shishi odoshi , la phase est définie à partir du niveau d’eau oscillant entre les valeurs hmin et hmax . La période de relaxation étant très courte, on peut la négliger devant la durée de la phase de charge. La phase est obtenue par une simple homothétie ramenant la valeur du niveau d’eau entre min 0 et 2π : ϕ(t) = 2π hh(t)−h max −hmin Modélisation du signal carré et définition de sa fréquence instantanée Le signal carré s(t) est défini, sans perte de généralité, en fonction de la phase instantanée ϕ(t) 1.2. Le verrouillage de phase 11 par : 1 si 0 ≤ ϕ(t) mod 2π < π s(t) = 0 sinon L’utilisation du concept de signal analytique, décrit dans l’annexe A, permet de définir le signal carré et d’obtenir une définition de la fréquence instantanée. On peut représenter le signal carré sous la forme d’un signal analytique complexe zs (t) = a(t) e i ϕ(t) ayant pour phase instantanée la phase de l’oscillateur à relaxation ϕ(t) définie plus haut. Le module a(t), donnant une forme carrée au signal, est défini par : 1 si 0 ≤ ϕ(t) mod 2π < π cos ϕ(t) a(t) = 0 sinon Les propriétés des signaux analytiques sont vérifiées, c’est–à–dire, < [zs (t)] = s(t) et =[zs (t)] = H[s(t)]. Les termes <[.], =[.] et H[.] désignent respectivement la partie réelle, la partie imaginaire et la transformée de Hilbert. On hérite ainsi de la définition 4 de la fréquence instantanée d’un signal analytique. Définition 4 – Fréquence instantanée d’un signal analytique : – La dérivée temporelle de l’argument ϕ(t) du signal analytique zs (t) = a(t) e i ϕ(t) , défini comme sa phase instantanée, divisée par 2 π. fi (t) = 1 ∂(ϕs (t)) 2π ∂t (1.4) Lors de la modélisation de l’oscillateur à relaxation, la phase instantanée du signal sera prise comme variable d’état et la fréquence instantanée sera alors déduite de la dérivée de cette variable d’état, c’est–à–dire, son équation d’état. La modélisation de l’oscillateur constituant le circuit que l’on étudie est réalisée de cette manière par la suite. On obtient une modélisation du circuit dont les variables d’état ont un sens physique, et une notion de phase et de fréquence instantanée rigoureusement définies « en phase » avec la conception intuitive que l’on lie à ces grandeurs. 1.2 Le verrouillage de phase Le principe de verrouillage de phase est basé sur l’utilisation d’un oscillateur dont la fréquence est contrôlée. Il consiste à synchroniser les oscillations de cet oscillateur sur celles d’un signal d’entrée. Cette synchronisation fait tendre la phase de l’oscillateur vers celle du signal de référence par le biais d’une rétroaction. Un exemple simple est celui du rythme biologique d’un être vivant, tel que l’être humain, qui vit en phase avec l’alternance du jour et de la nuit. Les recherches récentes en biologie, résumées dans [Rei97], montrent que l’Homme comporte en lui des oscillateurs qui influencent et cadencent ses rythmes biologiques tels que l’alternance repos– activité, les sensations de faim et de soif, les variations de température du corps, la génération d’hormones. . . Chez l’être humain une des horloges biologiques a été identifiée : le noyau suprachiasmatique (NSC) situés dans l’hypothalamus au–dessus du chiasma optique2 . Il s’agit d’un réseau de neurones dont l’activité électrique varie toute les 24 heures. Ces cycles durant une journée sont dit circadiens. Le NSC sécrète à l’éveil de l’arginine–vasopressine (AVP) qui éveille les autres parties du cerveau, et la nuit le vasointestinal peptide à l’action hypnogène. Ces signaux sont transmis par le noyau suprachiasmatique à la glande pinéale qui, par l’intermédiaire de la sécrétion nocturne de mélatonine, informe l’organisme entier de la survenue de la nuit. Chez le rat, le NSC est l’horloge biologique principale ; son ablation entraı̂ne la perte de cohésion de tous ses rythmes biologiques. Le NSC se synchronise en fonction de signaux extérieurs tels que l’alternance jour–nuit mais aussi, de manière prépondérante chez l’homme, par des facteurs socio–écologiques : l’alternance bruit– silence ; chaud–froid ; activité–repos des autres individus de l’espèce. Chez l’Homme, ce sont essentiellement les impératifs horaires de la vie sociale qui synchronisent le NSC, l’alternance jour–nuit et les prises de repas sont des synchroniseurs faibles. Le noyau suprachiasmatique peut être qualifié d’horloge biologique car il garde une activité rythmique unitaire même déconnecté du reste du cerveau. Des expériences [Asc81][Wei81] montrent que des sujets en isolement temporel, à l’intérieur d’une grotte sans information temporelle et à température constante, maintiennent une rythmicité circadienne en libre cours d’une période de 25 heures et ce pendant quinze jours. 2 région où se croisent les deux nerfs optiques 12 Les signaux synchroniseurs, tels que l’heure du réveil chez l’Homme, permettent d’asservir le NSC de manière à ce que le maximum de mélatonine (entre 2 et 5 heures), signalant la période nocturne au reste du corps, soit en phase avec le rythme imposé par les facteurs socio–écologiques. Pour cela le cerveau humain capte les décalages de phase entre son activité électrique et celle perçue par les signaux synchroniseurs. En fonction de cette différence de phase le cortex cérébral agit sur le NSC de façon à maintenir un décalage faible entre la phase des cycles du NSC et celle de la société. L’être humain comporte donc en lui tous les éléments composant un asservissement de phase. Tout comme la plupart des oscillateurs éléctroniques, le NSC rejoint en l’absence de signaux synchroniseurs, une période d’oscillation qui lui est propre (environ 25 heures). Cette période d’oscillation est appelée période d’oscillation en libre cours par les chrono–biologistes et période d’oscillation libre par les électroniciens. Le mode de fonctionnement de ce « verrouillage de phase humain » est similaire à celui des circuits chargés de construire l’horloge d’un micro– processeur. En effet, l’horloge doit se synchroniser pour être en phase avec les signaux extérieurs afin de travailler en cohérence avec les autres éléments. L’analogie se poursuit en constatant qu’en général la fréquence d’oscillation libre d’un tel circuit est choisie légèrement inférieure à la fréquence nominale de fonctionnement du circuit (ceci dans le but d’augmenter la finesse de la plage de commande), tout comme le NSC oscille en libre cours à une fréquence légèrement inférieure au rythme circadien. Un autre mode de fonctionnement est la poursuite de la phase des synchroniseurs. Ceci apparaı̂t lors d’un long trajet traversant rapidement plus de 6 fuseaux horaires. Dans le cas d’un voyage Paris– Sydney, par exemple, les signaux synchroniseurs observent soudainement une avance de phase de 12 heures (180 degrés), voir la fig. 1.5. Le NSC du voyageur doit augmenter la fréquence de son cycle circadien pendant une phase transitoire et revenir à une période de 24 heures lorsque l’activité du voyageur est redevenue en phase avec la société locale. Pendant cette phase transitoire les cycles circadiens ne sont plus en phase et génèrent les symptômes gênants du syndrome du décalage horaire : fatigue, troubles du sommeil, manque de concentration et dans certains cas des troubles de l’humeur, de l’anorexie et des malaises gastro- Chapitre 1. Introduction Synchroniseur veille repos temps Taux de mélatonine Vol Phase transitoire temps Fig. 1.5 : Lors d’un vol Paris–Sydney, les signaux synchroniseurs (alternance activité–repos de la société) se décalent dans le temps. Le taux de mélatonine permet d’observer les perturbations de l’horloge interne du voyageur (NSC) qui se synchronise après une phase transitoire. intestinaux. Ce décalage horaire est absorbé plus ou moins rapidement selon les métabolismes et selon les cycles concernés : le cycle de veille–sommeil est recouvert plus rapidement que le cycle de variation de la température. Un être humain réagit plus rapidement à une avance de phase (voyage d’est en ouest), qu’à un retard de phase (de l’ouest vers l’est), son comportement n’est donc pas symétrique. Ce type de comportement en poursuite de phase correspond au comportement des circuits de démodulations dans les télécommunications ou dans la télémesure. La phase des signaux synchroniseurs est dans ce type d’applications modulée ou simplement perturbée par l’information à véhiculer (télécommunications) ou par l’information liée à la grandeur à mesurer (mesure par effet Doppler). Dans ces applications la phase transitoire doit être la plus courte possible. Pour cela on cherche à faire varier rapidement la fréquence de l’oscillateur, souvent par un procédé non–linéaire, jusqu’à ce que les fréquences soient suffisamment proches puis on corrige l’erreur de phase avec de faibles variations. Cette technique est utilisée pour corriger les effets du décalage horaire sur l’homme : en injectant pendant la nuit de la mélatonine dans le corps humain (ou simplement en s’obligeant à ne pas dormir le jour) on force la synchronisation pendant un cycle circadien, ce qui provoque un fort effet correctif dans le cerveau humain qui va faire varier rapidement la fréquence du NSC. Les systèmes modifiant la fréquence d’une horloge interne pour obtenir des variations qui soient en phase avec celles d’un signal de référence sont 1.2. Le verrouillage de phase des asservissements de phase. Il ne faut pas confondre l’asservissement de phase, comme celui de l’homme sur l’alternance jour–nuit, avec le couplage de phase entre oscillateurs, comme le couplage des cycles de veille– sommeil d’individus vivants dans la même pièce sans repère temporel. Dans le cas de l’asservissement de phase, l’horloge interne de l’homme s’adapte à la rotation de la Terre autour du Soleil ; dans le cas du couplage, les horloges internes de chaque individus sont interdépendantes et finissent par se synchroniser. 1.2.1 Historique Outre les asservissements de phase réalisés par la Nature, l’Homme a créé ses propres asservissements de phase à des fins multiples. La réalisation électronique d’un asservissement de phase par rétroaction est appelée une boucle à verrouillage de phase. L’utilisation des boucles à verrouillage de phase, que l’on notera BVP par la suite, est tellement répandue de nos jours qu’un foyer occidental moyen comporte au moins une dizaine d’exemplaires de ce circuit (au moins 2 exemplaires dans un téléviseur, 4 dans un ordinateur, 1 dans une radio, 1 dans un téléphone, 1 dans une télécommande, etc.). Une des premières observations scientifiques du phénomène de synchronisation a été celle de Huygens en 1673 qui a observé la synchronisation de deux horloges à balancier. Les premières études systématiques avec une réalisation électronique d’un asservissement de phase semblent être celle de Appleton en 1922 [App22], et de van der Pol en 1927 [vdP27], qui ont montré que l’on pouvait asservir la phase d’un oscillateur à triodes au moyen d’un signal de fréquence légèrement différente. La première description connue d’une BVP par rétroaction est publiée par l’ingénieur français de Bellescize en 1932 [dB32] à propos de la réception synchrone de signaux radio. de Bellescize proposait un asservissement de phase dans le but de reconstruire la porteuse d’un signal modulé en amplitude pour opérer à la réception de ce signal. Ce principe de réception dit hétérodyne a été en un premier temps délaissé, car trop complexe, au profit de la réception synchrone pendant quelques années. La réception hétérodyne est ensuite devenue incontournable avec le besoin d’accroı̂tre les performances et avec la réduction des coûts apportée par l’électronique intégrée. 13 La première utilisation intensive de la BVP a été la synchronisation horizontale et verticale des balayages des postes de télévision. Le départ du balayage de chaque ligne et celui de chaque demi– trame d’une image télévisée est donné par une impulsion dans le signal vidéo. Une méthode directe pour construire le balayage du tube de télévision consiste à faire partir une trame de balayage dès l’apparition d’une impulsion. Mais cette méthode étant très sensible à l’absence d’impulsion et aux bruits, l’utilisation de deux oscillateurs libres synchronisés sur les impulsions du signal vidéo a été mise en oeuvre en utilisant le verrouillage de phase. Ceci permet d’obtenir un balayage en l’absence d’impulsion et surtout de rejeter l’effet du bruit sur le déclenchement des trames provoquant des tremblements de l’image et une mauvaise résolution. Les vols spatiaux ont apporté des contraintes fortes sur les circuits de télécommunication : faible puissance des signaux porteurs (10mW) et donc fort rapport signal–bruit, mais aussi un déplacement de la fréquence porteuse dû à la dérive en température des oscillateurs embarqués et à l’effet Doppler lié au déplacement des satellites. Ces exigences ont inspiré d’énormes progrès dans la maı̂trise des BVP et ont étendu les domaines d’application : – les transpondeurs qui localisent et identifient le véhicule dans lequel ils sont embarqués en renvoyant le signal d’un radar en multipliant sa fréquence par un rapport n/m identifiant l’appareil ; – les modulateurs et démodulateurs de fréquence utilisés principalement dans les télécommunications ; – les onduleurs générant la commande des machines asynchrones, et la synchronisation d’un alternateur sur le réseau électrique ; – les multiplieurs et diviseurs de fréquence ; – la synchronisation des transmissions digitales utilisée notamment dans les transmissions NRZ3 , les réseaux ethernet, le stockage sur support magnétique ou optique, les télécommandes, etc. ; – les générateurs de fréquence dans les téléphones à fréquence vocale, les synthétiseurs musicaux ; – les générateurs d’horloge pour les microprocesseurs et leurs périphériques ; – les convertisseurs tension–fréquence et fré3 codage en Non Retour à Zéro 14 Chapitre 1. Introduction quence–tension ; – etc. De toutes ces applications se sont dégagées un nombre important de solutions, donnant naissance à des types de BVP qui différent selon les signaux traités et la réalisation de chacune des parties qui les composent. 1.2.2 Les boucles à verrouillage de phase Bien qu’il y ait de nombreuses manières de réaliser la BVP, sa structure globale, présentée dans la fig. 1.6, n’évolue pas. Une BVP est constituée des trois blocs suivants : – un Détecteur de Phase ou d’un Détecteur de Phase–Fréquence 4 fournissant une information sur l’erreur de phase entre le signal d’entrée vref et le signal bouclé vb , cette information dépend aussi de l’erreur de fréquence dans le cas du DPF ; – un Filtre Passe–Bas chargé de filtrer les perturbations, stabiliser la boucle, et lisser la tension voct transmise à l’oscillateur contrôlé en tension ; – un Oscillateur Contrôlé en Tension ou un Oscillateur Contrôlé Numériquement 5 qui délivre un signal de fréquence instantanée directement proportionnelle à la tension d’entrée. Sortie de la démodulation de phase Sortie de la démodulation de fréquence vref vb DP ou v DPF charge vref f Filtre Passe-Bas vs Signal reconstruit OCT La BVP effectue un asservissement sur la phase du signal bouclé vb . Lorsque le signal de sortie vs est en retard sur le signal d’entrée vref , le DP, à travers le filtre et l’OCT, augmente la fréquence du signal de sortie, ce qui a pour effet de réduire ce retard. Inversement, une diminution de la fréquence de l’OCT réduit l’écart de phase lorsque la sortie est en avance. La notion d’entrée et de sortie d’une BVP est relative au type d’application qui lui est destinée, la fig. 1.6 montre les points d’entrée–sortie de quelques applications. Dans le cas d’une modulation de fréquence, le signal de modulation est additionné à l’entrée du VCO et le signal modulé est récupéré à sa sortie, l’entrée du DPF étant cadencée par la fréquence porteuse. Dans le cas d’une démodulation de fréquence, le signal à démoduler entre sur le DPF, et le signal démodulé est récupéré à la sortie du filtre. Le bouclage de la BVP permet de réaliser une fonction directement mais aussi indirectement par asservissement du signal issu de la fonction inverse. Cela est utile lorsqu’une opération est techniquement difficile à réaliser directement, mais facile à réaliser à l’inverse. C’est le cas de la multiplication de la fréquence d’un signal par un nombre rationnel N/P . Il est facile de diviser la fréquence d’un signal binaire en utilisant par exemple des compteurs, par contre sa multiplication est beaucoup plus difficile. Pour multiplier la fréquence f d’un signal par N , on peut introduire un Diviseur de Fréquence, comme dans la fig. 1.7, pour boucler le signal de sortie vs vers le DPF. Le signal bouclé vb est alors de fréquence N fois inférieure à celle du signal de sortie. voct vb DP vcharge ou DPF voct OCT vs + + Entrée de la modulation de fréquence f Nf 1/N Diviseur de fréquence Fig. 1.7 : La BVP en multiplieur de fréquence Fig. 1.6 : La boucle à verrouillage de phase 4 Phase Detector ou Phase Frequency Detector en anglais, dénommé DP et DPF par la suite 5 Voltage Controlled Oscillator ou Numerically Controlled Oscillator en anglais, dénommé OCT et OCN par la suite L’asservissement de phase assure alors une fréquence f identique entre le signal bouclé vb et le signal d’entrée vref ce qui permet d’obtenir un signal de sortie de fréquence N f . Il suffit alors de diviser la fréquence de sortie par P pour finale- 1.2. Le verrouillage de phase 15 Tab. 1.1 : Nomenclature des BVP. Type de Détecteur de Phase Type d’Oscillateur Contrôlé Analogique (VCO) Numérique (NCO) S–PLL DS–PLL Sampled PLL Digital Sampled PLL A–PLL D–PLL Analog PLL Digital PLL Logique XOR–PLL XOR–DPLL Séquentiel CP–PLL CUDD–PLL Charge Pump PLL Counting Up/Down Digital PLL — Soft–PLL Échantillonneur Multiplieur Logiciel Software PLL ment obtenir le rapport de fréquence N/P . Pour plus de détails sur les différents types de BVP et leurs applications, on peut consulter les références suivantes [Kol99][Ste98]. 1.2.3 Classification des BVP De la littérature concernant les BVP se dégage un grand nombre d’appellations ne désignant parfois pas le même système. On peut remarquer par exemple l’appellation de DPLL désignant tantôt une BVP comportant un détecteur de phase logique, tantôt une BVP comportant un OCN. Globalement, une classification est utilisée implicitement distinguant les différents types de BVP selon : – le type de DP, pouvant être un détecteur échantillonneur, multiplieur, séquentiel ou logique ; – le type d’oscillateur, contrôlé par une commande numérique ou analogique. Le type de filtre utilisé pouvant être déduit de la nature du DP et de l’oscillateur, celui-ci n’influence pas en général l’appellation de la BVP. Le tableau 1.1 liste les différents types de BVP les plus courantes ainsi que l’appellation issue de l’anglais. Selon le détecteur de phase on distingue les BVP analogiques – dont le détecteur de phase et l’oscillateur sont analogiques, – des BVP semi– numérique – dont le détecteur de phase est numérique et l’oscillateur analogique. Le choix du détecteur de phase dépend principa- lement des signaux qu’il reçoit. Lorsque le signal en entrée et le signal bouclé sont de type sinusoı̈dal ou de manière plus générale à phase observable, les détecteurs de phases analogiques (multiplieurs, échantillonneurs, etc.) sont préférés aux détecteurs numériques car ces derniers sont très sensibles au bruit. Lorsque les signaux sont mixtes, dans les conversions de signaux carrés en signaux sinusoı̈daux par exemple, l’utilisation de détecteurs de phase analogiques demeure avantageuse, notamment celle d’un détecteur par échantillonnage qui se trouve particulièrement adapté à cette situation. Lorsque les signaux sont tous deux de forme carrée, dont la phase n’est pas observable à tout instant, les détecteurs numériques s’imposent car ils peuvent détecter les transitions successives du signal. Lorsque la BVP est intégrée sur une puce, celle– ci se trouve souvent être la seule partie analogique du circuit, c’est le cas dans les circuits purement numériques comme les microprocesseurs, les DSP, les micro–contrôleurs et leurs périphériques. Cette partie analogique devient coûteuse car elle empêche l’utilisation de certaines technologies à très basse tension utilisées en numérique et demande des efforts de conception qui doivent être renouvelés à chaque changement de technologie. C’est pourquoi des BVP entièrement numériques ont été réalisées en utilisant des détecteurs de phase numériques et en remplaçant le filtre et l’OCT par leurs équivalents numériques. 16 Chapitre 1. Introduction Elles sont alors conçues et intégrées avec les outils de conception numériques, fondues avec les mêmes technologies et peuvent être directement réutilisées lors de changement de technologies. La conception de l’OCN est faite à partir d’une horloge externe de haute fréquence dont on compte le nombre de cycles. Cependant il existe des OCN n’exploitant pas d’horloges externes [Ols01][Acc02b]. Dans certaines applications où un processeur est disponible, on peut remplacer les circuits numériques par un micro–programme exécuté par le processeur. Celui–ci mesure le signal d’entrée par un de ses périphériques, simule le fonctionnement du détecteur de phase, du filtre et de l’OCN – en utilisant l’horloge du processeur comme horloge de haute fréquence, – calcule le signal de sortie et le transmet via un périphérique. Ces types de BVP sont qualifiées de BVP logicielles, ou Software PLL en anglais. Beaucoup de micro–contrôleurs comportent une implémentation des éléments d’une BVP , et permettent de les contrôler par le micro–programme. Il ne faut pas confondre ces BVP dites programmables avec une BVP logicielle dont au moins une des parties de la BVP doit être implémentée par le micro–programme. 1.2.4 État de l’art de l’analyse des BVP Les BVP ont été surtout étudiées à partir de leur première utilisation intensive dans les postes de télévision. De 160 articles publiés en 1966, le nombre a franchi les 1000 articles en 1980 et a progressé avec la diversité des applications. De nos jours, une recherche sur internet avec la phrase « phase locked loop » atteint les 270000 réponses. La BVP analogique est la première et la plus étudiée des boucles à verrouillage de phase. Comme tous ses composants sont analogiques, elle peut être modélisée par un système d’équations différentielles ordinaires ; cette simplicité d’analyse en fait une base de référence pour l’étude des autres types d’architecture. De très bons livres [Vit66][Kla72][Bla76][Gar79], deux numéros spéciaux IEEE [Gar80b][Lin82], et un tutorial [Gup75] sont consacrés à la théorie et aux applications des APLL. Alors que la théorie des APLL est très développée, la théorie des BVP numériques et semi– numériques est en constant développement. D’une manière générale les non–linéarités des BVP entièrement numériques sont négligées et ont fait l’objet de relativement peu de travaux. Par exemple, l’effet de la quantification de la fréquence de l’OCN, initialement étudié par Gardner fait l’objet de travaux et de nouveaux résultats. La quantification provoque l’apparition d’un cycle limite dont le comportement a été analysé de manière empirique dans [Gar96] et explicité récemment à partir de l’analyse non–linéaire dans [Tep99][Tep00]. Une autre type de BVP est celui dont les détecteurs de phase comportent une mémoire des états passés. Citons les détecteurs de phase séquentiels et les détecteurs de phase échantillonneurs– bloqueurs qui ont fait l’objet de peu de travaux. La difficulté de l’analyse vient de l’aspect hybride du système mélangeant l’état continu du filtre et de l’OCT avec les états discrets du DP évoluant au cours d’événements. C’est dans l’optique de mieux maı̂triser les modèles et de fournir des résultats d’analyse concernant ces types de BVP que s’inscrivent ces travaux de thèse. 1.2.5 La BVP–IC Une étude exhaustive de toute les variétés de BVP à détecteurs de phase séquentiels serait beaucoup trop vaste. Nous nous limiterons par la suite à une variété de BVP dénommée Boucle à Verrouillage de Phase par Impulsion de Charge 6 (notée BVP–IC) ou encore Boucle à Verrouillage de Phase par Pompe de Charge. La figure 1.8 présente la structure générale de la BVP–IC. Le circuit comprend un détecteur de phase–fréquence séquentiel à trois états décrit dans le §2.1.1, commandant deux sources de courant stabilisées7 . Le courant est injecté dans un filtre passe bas, décrit au §2.1.2, lissant le signal délivré dans l’OCT, décrit au §2.1.3. La sortie de l’OCT peut être bouclée sur le DPF à travers un diviseur par N , ce qui permet d’obtenir un signal de sortie de fréquence N fois supérieure à celle en entrée. Un exemple de réalisation intégrée de ce type de BVP ainsi que les différentes caractéristiques mesurées sur un circuit réel sont publiés dans [You92]. 6 Charge 7 Charge Pump Phase Locked Loop en Anglais Pump en Anglais 1.2. Le verrouillage de phase 17 Ic vref vb vhaut DPF III ic voct vbas OCT vs R Ic C 1 N Fig. 1.8 : Structure d’une BVP–IC 1.2.6 État de l’art de l’analyse des BVP–IC La BVP–IC avec un détecteur de phase à trois états a été introduite dans les années 1976 par Sharpe dans [Sha76] afin d’améliorer la phase transitoire du circuit. La première modélisation a été proposée par Gardner dans [Gar80a] sous forme d’un système de récurrences non–linéaires quasi–exactes dont la résolution numérique permet d’obtenir une simulation du transitoire. Ces équations ont été linéarisées pour permettre l’analyse de stabilité de la boucle. Cette linéarisation est faite en remplaçant la forme exacte des signaux discrets issus du DPF par une approximation continue de leur moyenne. Le modèle se trouve être alors celui d’une BVP analogique. Cette méthode d’analyse, appelée l’approximation quasi–continue (AQC), fait référence et est encore très utilisée à l’heure actuelle. Dans ce même article, il est établi que l’AQC donne des résultats similaires à ceux obtenus avec les récurrences non–linéaires quasi– exactes, lorsque la fréquence de référence est largement supérieure à celle de la bande passante de la boucle. Un modèle discret non–linéaire exact a été proposé par van Paemel dans [vP94] sur la base de ces travaux. Les équations proposées sont établies sans approximation sur la forme des signaux, il en résulte une quadruple définition des équations du système. Le système d’équation à utiliser parmi les quatre possibles est déterminé à l’aide d’un algorithme. Ce modèle est valable uniquement lorsque l’erreur de phase n’excède pas un cycle complet, près de l’état d’accrochage. Une simulation exacte de la phase transitoire est tout de même possible en utilisant un algorithme de calcul analytique. Dans cet article l’analyse de stabilité n’est pas développée. Ce modèle a été établi uniquement pour les BVP–IC du second ordre. Les travaux d’Hedayat [Hed97] établissent un modèle événementiel de la BVP–IC. Ce modèle est composé d’une récurrence non–linéaire non– autonome permettant de simuler la phase transitoire de manière exacte. Ce modèle, dont le pas de calcul dans le temps est variable, est analytique et équivalent à celui de van Paemel pour le second ordre. Hedayat a étendu cette modélisation au cas de la BVP–IC du troisième ordre [Hed99]. Aucune analyse de stabilité spécifique à ce modèle n’est proposée, par contre une analyse statistique intéressante des caractéristiques du circuit est réalisée à partir des simulations de ce modèle exact. Des non–linéarités on été rajoutées dans le modèle telles que la zone morte du DPF et la saturation de la tension de commande. L’absence de facilité d’analyse mathématique de ces deux derniers modèles font que le modèle linéaire et les résultats obtenus par Gardner en 1980 sont encore utilisés. 1.2.7 Apport personnel Les modèles de van Paemel et Hedayat offrent la possibilité de faire des simulations rapides beaucoup plus précises que celles faites avec les modèles linéaires, par contre aucune méthode d’analyse de la stabilité n’est proposée pour ces modèles. Nous avons tenté de combler cette lacune pendant ces travaux de thèse afin de pourvoir à une analyse plus fine de la stabilité des BVP–IC, ce qui 18 permettrait de relâcher les contraintes de conception. Après une première recherche sur la base des modèles exacts de van Paemel et Hedayat, la traduction de ces modèles sous la forme de modèles hybrides s’est avérée très fructueuse. Les progrès effectués en analyse des systèmes hybrides, basés autour de la définition de fonctions de Lyapunov multiples, ont permis d’apporter une première preuve de stabilité locale faite sans approximation. Les travaux Étant donné le nombre de paramètres importants entrant en jeu dans la conception de la BVP– IC (6 paramètres pour l’ordre deux), une classe d’équivalence a été établie entre des circuits de paramètres différents. Cette classe d’équivalence donne les relations nécessaires et suffisantes entre les paramètres de deux BVP–IC pour que leurs comportements soient strictement similaires. On isole ainsi les deux paramètres déterminant totalement la dynamique du circuit, ce qui permet de réduire l’analyse de stabilité sur un espace des paramètres de dimension deux au lieu de six. Cet espace des paramètres de dimension deux est appelé l’espace des paramètres réduits. Chacune des modélisations suivantes a été écrite ou récrite en variables réduites puis étudiée : – Les modèles linéaires proposé par Gardner permettent d’obtenir facilement les conditions de stabilité du circuit. Des contraintes de rejet des bruits peuvent être aussi ajoutées. Les limites de stabilité et de rejet des bruits ont été établies par Gardner et sont écrites dans ce mémoire en variables réduites et présentées dans le plan des paramètres réduits. Cette représentation permet de dimensionner rapidement les composants et de minimiser la taille du circuit en fonction des contraintes de conception. – Le modèle non–linéaire discret proposé par van Paemel permet de traiter la linéarisation exacte du système proposé. Ce modèle a été repris en variables réduites avec le formalisme de la modélisation hybride. Pour certaines séquences simples du détecteur de phase, ce modèle a permis d’établir une condition de stabilité moins restrictive que celles obtenues avec les modèles linéaires. Ces résultats ont été publiés Chapitre 1. Introduction dans [Acc01c] [Acc01b]. La nouvelle limite de stabilité a été validée par une simulation comportementale sous Verilog–A et une réalisation expérimentale. – Le modèle événementiel proposé par Hedayat permet des simulations rapides du système et donc son optimisation. Il a été repris en variables réduites et légèrement modifié de manière à intégrer les phénomènes de bruit. Un critère d’optimisation facile à calculer et paramétrable permet d’estimer les performances principales du circuit : stabilité, rapidité, rejet des bruits. Une méthode de calcul des paramètres du système basée sur cette technique a été publiée dans [Acc01a]. – La modélisation sous forme hybride est proposée dans cette thèse. Elle a permis d’établir la première preuve de stabilité de la BVP–IC sans effectuer d’approximation sur les commutations du circuit : stabilité globale au sens de l’état discret. Grâce à l’utilisation du modèle inverse proposé dans [Acc02a], les contraintes de stabilité ont pu être relâchées donnant une condition de stabilité moins restrictive que celle donnée par l’analyse linéaire. Ces travaux n’ont pas encore été publiés. Pour valider les résultats théoriques précédents, une étude par force brute du plan paramétrique a été rendue possible grâce à un logiciel de calcul parallèle développé au sein du LESIA. La validation de cet outil et le principe de parallélisation du problème sont présentés dans [Ala02]. Cette puissance de calcul permet de balayer l’ensemble des valeurs des paramètres réduits et de tracer une carte de la stabilité observée. Les résultats ont aussi été vérifiés par une platine d’expérimentation réalisée en composants discrets. La méthode d’analyse de stabilité de la BVP– IC peut être étendue aux autres BVP hybrides (à détecteur de phase séquentiels). C’est dans ce but que les travaux ont été poursuivis lors d’un séjour dans le laboratoire du Departement of Electronic and Electrical Engineering à l’University College of Dublin où se trouvent des compétences en BVP numériques : les DPLL. Un nouveau type de DPLL, entièrement autonome (ne nécessitant pas d’horloge externe) et pouvant être fabriquée uniquement à partir de blocs logiques de base, a été proposé dans [Acc02b]. Le circuit a été modélisé en Verilog puis synthétisé avec Synopsys. Chapitre 2 Modélisation Sommaire 2.1 Modélisation des différentes parties de la BVP . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Modèle du DPF et du générateur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Modèle du filtre passe–bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Modèle de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Diviseur de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Choix des variables réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 BVP–IC similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Normalisation autour du point de fonctionnement unitaire . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Normalisation de la BVP–IC du troisième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Modèle linéaire continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 La boucle d’asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Validité du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Modèle linéaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Approximation de l’impulsion de courant de charge . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Modèle à base d’impulsions de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Modèle à base d’une impulsion approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Modélisation avec un échantillonneur–bloqueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Validité des modèles discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Modèle non–linéaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Modèle linéarisé discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Modèle non–linéaire inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Modèles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Les différents types de modèles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Définition du modèle hybride de Pettersson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Modèle hybride continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4 Discrétisation du modèle hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.5 Discrétisation du modèle hybride continu le long d’une séquence . . . . . . . . 2.8.6 Discrétisation périodique du modèle Hyb–CNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.7 Discrétisation quasi–périodique du modèle Hyb–CNC . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.8 Simulation des modèles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Modèles événementiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Modèle événementiel du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Modèle événementiel du troisième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Quelques simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.1 Simulations locales en trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.2 Simulations globales en trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 20 20 21 22 23 24 24 24 27 28 29 29 30 31 31 32 34 35 37 37 39 40 42 42 43 43 46 47 48 48 49 51 51 52 54 56 56 57 20 Chapitre 2. Modélisation Introduction au chapitre 2 Ce chapitre traite de la modélisation de la BVP–IC du second ordre et, autant que faire se peut, du troisième ordre. La difficulté de la modélisation d’un tel circuit tient dans la coexistence de systèmes de nature continue (l’oscillateur et le filtre linéaire) avec un système séquentiel (la logique du détecteur de phase). Nous cherchons à établir un modèle capable de représenter les interactions entre ces deux systèmes de nature différente. Ces modèles doivent permettre ensuite une analyse qui est traitée dans le chapitre 3. Plusieurs solutions ont été apportées dans la littérature et quelques unes le sont dans ce mémoire. Une dizaine de modèles du second ordre ainsi que cinq modèles du troisième ordre sont présentés ici. Pour permettre au lecteur de situer un modèle particulier parmi les autres, un récapitulatif est présenté dans le § 2.10 (page 54). La fig. 2.25 présente un récapitulatif des différents modèles. La section 2.1 établit les équations modélisant la fonction de chaque élément de la BVP–IC : le détecteur de phase, le filtre, l’oscillateur et le diviseur de fréquence. Pour faire face au grand nombre de paramètres agissant sur le circuit, la section 2.2 propose d’isoler un nombre restreint de paramètres agissant à eux seuls sur la dynamique du système. Un changement de variables utilisant ces paramètres restreints permet de modéliser simplement le système continu. Dans les sections 2.3 et 2.4 les modèles linéaires continus et discrets, initialement obtenus par Gardner, sont présentés en variables réduites. Les modélisations non–linéaires et leurs dérivées (modèle linéarisé, modèle inverse) sont présentées dans les sections 2.5 à 2.7. Ces modèles permettent des simulations précises au prix d’une certaine complexité. La modélisation hybride prenant explicitement en compte les interactions entre les parties continues et discrètes du système est abordée dans les sections 2.8 et 2.9. La section 2.10 présente un récapitulatif qui classifie tous les modèles présentés en fonction du type d’approximations utilisées pour les établir. Quelques simulations de ces modèles sont présentées dans la section 2.11 afin de souligner l’intérêt de porter l’analyse sur des modèles plus précis bien que plus complexes à analyser. 2.1 Modélisation des différentes parties de la BVP Nous présentons ici les modélisations des composantes de la BVP–IC. Il s’agit de modéliser le comportement que doit observer un circuit idéal. Les phénomènes parasites issus de circuits réels, comme la dynamique des générateurs de courant et l’existence d’une zone morte dans la caractéristique du détecteur de phase, ne sont pas considérés dans ce mémoire. Nous nous limitons à une modélisation fonctionnelle de chaque composante de la BVP–IC, présentée dans la fig. 2.2, dans le but d’en analyser le comportement. 2.1.1 Modèle du DPF et du générateur de courant L’élément caractéristique de la BVP–IC est son détecteur de phase à logique séquentielle. Nous nous intéressons à un détecteur de phase/fréquence ↓ vref ↓ vref vbas = 0 vhaut = 1 ic = +Ic ↓ vb ↓ vref vbas = 0 vhaut = 1 ic = 0 ↓ vb vbas = 0 vhaut = 1 ic = −Ic ↓ vb Fig. 2.1 : Diagramme d’état du DPF (↓ signifiant « front descendant de ») dit de type III car la machine à états finis qui le représente comporte trois états distincts. Le diagramme d’état du DPF de type III est présenté dans la fig. 2.1. Les sorties du DPF commandent deux commutateurs de courant de telle sorte que le courant ic à l’entrée du filtre passe–bas prend trois valeurs possibles −Ic , 0 et +Ic . Les états de la machine séquentielle sont donc 2.1. Modélisation des différentes parties de la BVP 21 Ic vhaut vref vb DPF III ic voct vbas vs OCT R Ic C 1 N Fig. 2.2 : Les composantes de la BVP–IC nommés −Ic , 0 et +Ic car ils correspondent aux trois combinaisons autorisées des sorties vbas et vhaut générant ces trois valeurs du courant de charge. Dans le cas d’une modélisation du comportement idéal, cette représentation par machine à état est utilisée. On utilise alors une variable d’état E(t) ∈ {−1, 0, 1} signifiant que le DPF se trouve dans les états respectifs −Ic , 0 et +Ic . La valeur du courant de charge est alors exprimée par l’équation : ic (t) = E(t) Ic (2.1) Le DPF étant à caractère discret asynchrone, des approximations doivent être effectuées pour obtenir un modèle linéaire. Une solution consiste à estimer le courant de charge moyen ic sur une période du signal d’entrée en fonction de l’erreur de phase θe entre le signal de référence et le signal bouclé. Cette approximation néglige l’influence de l’erreur de fréquence sur le comportement du DPF en supposant que les deux signaux sont accrochés à une fréquence voisine. La caractéristique linéaire par morceaux valable pour les petites erreurs de fréquence ainsi obtenue est présentée dans la fig. 2.3. Cette caractéristique s’obtient aisément en traçant la forme du signal ic (t) pour un déphasage constant entre les signaux d’entrée. Si l’on considère de plus que l’erreur de phase est inférieure en valeur absolue à 2π on obtient la i¯c +Ic −4π −2π 0 2π 4π 6π θe −Ic Fig. 2.3 : Caractéristique approchée du DPF relation linéaire simple i¯c = 2.1.2 Ic 2π θe . Modèle du filtre passe–bas Le filtre passe–bas peut être actif ou passif, linéaire ou non–linéaire. Nous nous limitons aux filtres les plus simples à concevoir et à modéliser : les filtres linéaires passifs. Les BVP–IC comportant un filtre du premier ordre sont appelées BVP–IC du second ordre car leur modèle linéaire est d’ordre deux. De même, on appelle BVP–IC du troisième ordre, les circuits comportant un filtre du second ordre. La conception rendant l’utilisation de source de courant plus aisée que celle de tension contrôlée, le filtre est attaqué en courant. La sortie du filtre doit fournir une tension la plus stable possible à l’entrée de l’OCT. Les filtres pas- 22 Chapitre 2. Modélisation t−t0 t−t0 voct (t) = vc (t) + (voct (t0 ) − vc (t0 )) e− τ + iCc 2τ 1 − e− τ h i t−t ic τ τ − τ0 avec vc (t) = vc (t0 ) + RC (v (t ) − v (t )) − 1 − e + oct 0 c 0 C +C 1 1 2 ic C1 +C2 (t − t0 ) (2.2) C2 et τ = R CC11+C 2 sifs linéaires du premier et second ordre considérés sont présentés dans la fig. 2.4. ic ic R C vc R voct C1 C2 voct vc voct voct t ic t ic t t Fig. 2.4 : Filtres linéaires passif du premier ordre à gauche et second ordre à droite Comme le montre cette figure, la tension de sortie du filtre RC du premier ordre est très irrégulière car elle comporte des sauts en tension dûs au passage du courant constant dans la résistance. Le filtre du premier ordre n’est donc que rarement utilisé. Le concepteur préfère rajouter une seconde capacité en sortie pour lisser ces sauts de tension. Ceci n’est pas sans compliquer l’étude du circuit. Nous étudions donc, en première approximation, la BVP–IC du second ordre et essaierons de prolonger l’étude au troisième ordre dans la mesure du possible. En négligeant les non–linéarités des composants, la fonction de transfert exprimant voct en fonction de ic correspond à l’impédance du filtre. Cette impédance est entièrement linéaire et peut donc être exprimée avec la variable de Laplace p. Les fonctions de transfert du filtre du premier ordre et du second ordre sont les suivantes : voct (p) RCp + 1 = ic (p) Cp (2.3) 1 RC1 p + 1 voct (p) = ic (p) p RC1 C2 p + (C1 + C2 ) (2.4) Le courant émis par le DPF est de forme linéaire commutée. La représentation de Laplace peut être utilisée sur les portions constantes du signal en y intégrant les conditions initiales. Dans ce cas, on peut calculer l’évolution de la tension aux bornes des capacités lorsque le courant est constant. L’hypothèse de continuité permet d’affirmer que la tension vc aux bornes des capacités reste constante lors des commutations de courants. On peut donc intégrer de commutation en commutation la valeur de ces tensions : le signal voct peut facilement être déduit de la connaissance de ces tensions et de la valeur du courant en entrée du filtre. L’évolution de voct et vc (t) entre deux commutations est donc déterminée en fonction de ic et de l’état initial par l’équation (2.5) dans le cas du filtre du premier ordre et l’équation(2.2) dans le cas d’un second ordre. voct (t) = vc (t) + ic (t)R vc (t) = 2.1.3 ic (t) C t (2.5) Modèle de l’OCT Le rôle de l’OCT est de générer un signal de fréquence instantanée proportionnelle à la tension en entrée. Sa conception est délicate car la caractéristique du circuit doit être linéaire et de plus la fréquence de sortie doit être élevée avec une pureté spectrale maximale. L’OCT est souvent réalisé à la manière d’un shishi odoshi dont on contrôle le débit d’eau l’alimentant, c’est–à–dire, en chargeant une capacité avec un courant i (voct (t)) dont la valeur est contrôlée par l’entrée de l’OCT. Lorsque la charge accumulée aux bornes de la capacité de l’OCT atteint une certaine valeur, le sens du courant de charge i (voct (t)) est inversé et 2.1. Modélisation des différentes parties de la BVP ainsi de suite. La sortie du comparateur commandant le sens du courant génère alors un signal de forme carrée dont la fréquence instantanée est proportionnelle à la commande en entrée. On assimile alors la phase instantanée du signal de sortie à la charge accumulée aux bornes de la capacité au cours du temps. On obtient une phase croissante en la définissant comme l’intégrale de la variation de charge quel que soit le sens de cette charge : Zt ϕ(t) = ϕ(t0 ) + |i (voct (t)) | dt C 23 foct Point de fonctionnement réelle affine linéaire Fol voct (2.6) 0 vs t0 Une autre technique de réalisation de l’OCT consiste à connecter un nombre impair d’inverseurs en boucle. Le temps de commutation de chaque inverseur est contrôlé par la tension d’entrée. Cette architecture, simple, génère des signaux de très bonne pureté spectrale, en revanche la caractéristique de la fréquence de sortie en fonction de la tension en entrée n’est pas très linéaire. Dans cette réalisation, la phase instantanée est assimilée à la charge accumulée dans les entrées de chaque inverseur. Dans le § 1.1 (page 6), on montre que la fréquence instantanée est liée à la fréquence par la relation : Zt ϕ(t) = ϕ(t0 ) + 2π F (τ ) dτ (2.7) t0 La fréquence instantanée foct du signal de sortie de l’OCT est donc assimilée directement à la variation de charge accumulée dans la capacité de l’OCT qui est directement proportionnelle au courant de charge i (voct ). Quelle que soit la manière dont l’OCT est conçu, sa caractéristique exprimant la fréquence instantanée de sortie en fonction de la tension en entrée dépend directement de la qualité de l’asservissement du courant de charge. Une caractéristique typique est présentée dans la fig. 2.5. Dans la suite, nous négligerons cette non–linéarité ainsi que la dynamique de l’asservissement du courant de charge (ou du temps de commutation des inverseurs) par la tension en entrée. La dérivée de la phase instantanée (2.6) proportionnelle à la valeur du courant chargeant la capacité de l’OCT est approchée par une relation affine avec la tension voct . La fréquence instantanée est alors donnée par la relation affine suivante : foct (t) = Koct voct (t) + Fol (2.8) Fig. 2.5 : Caractéristiques réelle, affine et linéaire de l’OCT La pente Koct de la caractéristique est appelée gain de l’OCT et l’abscisse à l’origine Fol de la caractéristique est appelée fréquence d’oscillation libre de l’OCT . On peut remplacer F (t) par l’expression (2.8) et obtenir l’expression de la phase du signal de sortie ϕoct en fonction de la tension en entrée : (2.9) ϕoct (t) = ϕoct (t0 )+ 2π (t − t0 )Fol + Koct Rt ! voct (τ ) dτ t0 Une représentation linéaire est obtenue en négligeant la part de la fréquence d’oscillation libre Fol devant la part apportée par le gain de fréquence Koct . On obtient ainsi la fonction de transfert de l’OCT idéal en utilisant la variable de Laplace : ϕoct (p) 2π Koct = voct (p) p (2.10) Comme le montre la fig. 2.5, cette approximation peut être forte selon le type de l’OCT. 2.1.4 Diviseur de fréquence Le diviseur de fréquence est un circuit logique qui fournit à sa sortie un signal de fréquence N fois inférieure à celle du signal en entrée. Dans le cas de signaux binaires, comme dans la grande majorité des BVP–IC, le diviseur compte les fronts du signal de sortie de l’OCT et génère un front à sa sortie lorsque la valeur du compteur atteint N . Le compteur est alors réinitialisé pour compter les prochains fronts. 24 Chapitre 2. Modélisation Le diviseur de fréquence permet de boucler un signal vb à l’entrée du DPF de même fréquence que le signal d’entrée tout en ayant une fréquence de sortie N fois supérieure. Dans le cas idéal, la phase de sortie du diviseur, ϕb (t), est alors simplement N fois inférieure à celle du signal de sortie de l’OCT : ϕb (t) = ϕoct (t) N (2.11) Dans beaucoup d’analyses, ce diviseur de fréquence n’est pas directement pris en compte : le comportement d’une BVP–IC est le même si on considère le circuit sans diviseur de fréquence mais avec un gain de l’OCT N fois inférieur. Ce genre de simplification très utile est le sujet de la section suivante. 2.2 Choix des variables réduites Les équations issues de la modélisation du système traitée dans la section précédente dépendent de beaucoup de paramètres. Pour un circuit d’ordre deux, le vecteur des paramètres Γ = [R, C, Ic , Koct , Fol , N, T ] est de dimension 7. Parmi ces paramètres, certains sont des degrés de liberté utiles à la conception, et d’autres sont des paramètres imposés par la fonction que doit exercer le circuit. Il est utile de discerner les degrés de liberté, qui vont influencer le comportement de la BVP, des autres constantes afin de réduire la dimension de l’espace des paramètres à étudier. Dans cette section, on définit une relation d’équivalence entre des BVP–IC de paramètres différents dans le but de déterminer et de regrouper sous la même classe les BVP–IC observant des comportements identiques. On considère alors le comportement d’une BVP– IC à travers un jeu de paramètres et de variables d’état réduit correspondant à une BVP–IC similaire unique. Ceci permet de passer d’un vecteur de paramètres Γ = [R, C, Ic , Koct , Fol , N, T ] à un vecteur de paramètres réduit de dimension deux. Remarque 6 La période du signal d’entrée T , qui n’est pas un paramètre intrinsèque de la BVP–IC, a été rajoutée dans le vecteur de paramètres afin de faciliter l’écriture des équations. 2.2.1 BVP–IC similaires On établit donc une classe d’équivalence qui lie deux BVP–IC dont les comportements sont similaires. On considère la dynamique des circuits en observant l’évolution des variables d’état de chacun, cette évolution dépendant des paramètres et des conditions initiales. L’état d’une BVP–IC peut être entièrement décrit par les trois variables d’état suivantes : – E(t) – l’état du DPF défini dans le § 2.1.1 (page 20), – vc (t) – la tension aux bornes de la capacité, – ϕb (t) – la phase du signal bouclé vb à travers le diviseur de fréquence. On considère alors deux BVP–IC comme équivalentes si leurs variables d’état évoluent identiquement à un facteur d’échelle près. Considérons une BVP–IC dont le vecteur de paramètres est appelé Γ, et une deuxième de paramètres Γ0 ; leur comportement sera similaire s’il existe un couple de facteurs d’échelle (α, β), et des conditions initiales, tels que la relation suivante soit vérifiée pour tout t>0: v (t, Γ) = β voct (α t, Γ0 ) oct ϕb (t, Γ) = ϕb (α t, Γ0 ) E (t, Γ) = E (α t, Γ0 ) (2.12) On démontre dans l’annexe B que deux BVP– IC sont similaires si et seulement si les relations entre les vecteurs de paramètres Γ et Γ0 suivantes sont vérifiées : 2.2.2 Fol Fol 0 N = α N0 Koct α Koct 0 N = β N0 Ic Ic 0 C = α β C0 (2.13) Ic R = β Ic 0 R0 Normalisation autour du point de fonctionnement unitaire Pour étudier une BVP–IC de paramètres Γ, nous considérons une BVP–IC similaire dont les paramètres Γ0 sont autant que possible simplifiés. Comme il existe une infinité de circuits similaires à un autre, il faut poser des conditions de manière à désigner un circuit équivalent qui soit unique. La première condition simplificatrice consiste à 2.2. Choix des variables réduites 25 fixer les facteurs d’échelle α et β en imposant un point de fonctionnement le plus simple possible à la BVP–IC similaire. Définition du point de fonctionnement Le point de fonctionnement d’un circuit est la valeur des variables d’état, où l’on désire les conduire, lorsque le système est stabilisé. Dans le cas de la BVP–IC, le point de fonctionnement est caractérisé par la tension vs à l’entrée de l’OCT générant un signal de sortie à la période T désirée N . La valeur de vs est donc la solution de l’équation : foct = Koct vs + Fol = ⇔ vs = N T N −Fol T Koct T (2.14) La fréquence du signal d’entrée, supposée connue, impose le point de fonctionnement vs autour duquel doit fluctuer le signal voct . Nous appelons point de fonctionnement unitaire un point de fonctionnement qui observe une tension vs égale à l’unité (1V), pour une fréquence d’entrée unitaire (1Hz). Ce point de fonctionnement unitaire sert à fixer les facteurs d’échelles de la relation d’équivalence. Réduction du vecteur de paramètres En choisissant le point de fonctionnement unitaire, la relation de similarité entre les BVP–IC (2.12) impose l’égalité β vs = 1. La BVP–IC similaire devant fonctionner pour une fréquence d’entrée de 1 Hertz, le facteur d’échelle temporel α est donc égal à T1 . Le couple (α, β) peut être remplacé par ces valeurs dans les relations (2.13) et définir la relation suivante entre les paramètres Γ de la BVP–IC et ceux de sa BVP–IC similaire simplifiée Γ : Fol T Fol = N N Koct Koct Koct T 2 = N N − Fol T N Koct Koct Ic R = Ic R T N N Koct Ic Koct Ic 2 = T N C N C (2.15a) circuits fonctionnant autour du point unitaire qui soient similaires à un circuit de paramètres Γ. Il faut de plus fixer deux autres paramètres du circuit similaire unitaire pour désigner à chaque vecteur de paramètres Γ un unique circuit équivalent. On peut donc fixer arbitrairement deux paramètres du circuit normalisé sans compromettre la relation de similarité. Si l’on choisit de fixer arbitrairement la valeur de N à l’unité, la valeur de Fol est imposée par la relation (2.15a) et la valeur de Koct par la relation (2.15b). Il reste à fixer une variable parmi les trois restante : Ic ; R et C. Nous choisissons de fixer la valeur du courant de charge à 1 Ampère, laissant ainsi les paramètres du filtre être les seuls degrés de liberté de l’analyse. On étudie donc un circuit de paramètres Γ en considérant le circuit équivalent fonctionnant autour du point unitaire, stimulé par une fréquence d’entrée de 1 Hertz, ne comportant pas de diviseur de fréquence (N = 1), et dont le courant de charge est de 1 Ampère. Ce circuit similaire unique est appelé par la suite circuit normalisé ou BVP–IC normalisée. Nous avons ainsi défini une unique BVP–IC similaire à une infinité de BVP–IC. Cette normalisation permet de ne considérer qu’un vecteur de paramètres normalisé comprenant deux degrés de liberté, dans ce cas–là R et C. L’espace de paramètres caractérisant les différents comportements de la BVP–IC est ainsi réduit à la dimension deux. Nous caractérisons par la suite le comportement d’une BVP–IC par les deux paramètres a et b, issus des relations (2.15c) et (2.15d), définis par : a= b= Koct N Ic R T Koct Ic 2 N CT (2.16) Les paramètres c et d, correspondant aux deux premières expressions de la relation (2.15), sont arbitrairement fixés sans perte de généralité : (2.15b) (2.15c) c= d= (2.15d) Nous obtenons quatre relations entre les six paramètres de la BVP–IC et les six paramètres de la BVP–IC normalisée. Il existe donc une infinité de T Fol N 2 1 (Koct T ) N N −Fol T (2.17) Les degrés de liberté du concepteur se trouvent souvent réduits au calcul des valeurs du filtre R et C. Les valeurs des autres paramètres sont imposées soit par la fonctionnalité du circuit (la valeur 26 Chapitre 2. Modélisation de N ), soit par les contraintes de performance (Ic est lié à la consommation du circuit, Koct et Fol sont liées à la plage de fonctionnement), soit à la technologie mise en oeuvre. Nous avons choisi de ne pas fixer a et b, car ils font intervenir, contrairement à c et d, les valeurs des degrés de liberté du concepteur : R et C. On facilite ainsi l’interprétation d’une étude dans le plan paramétrique réduit (a, b). Le paramètre a étant lié à l’élément dissipatif du circuit – R – et le paramètre b étant lié à l’élément réactif – 1/C – du circuit. Variables normalisées Au lieu d’étudier le circuit avec les variables d’état E(t), vc (t) et ϕb (t) nous utilisons des variables d’état normalisées. Ceci permet d’écrire les équations du système de manière simplifiée en faisant apparaı̂tre uniquement les paramètres réduits a et b déterminant le comportement du circuit. Les expressions que nous établissons ici sont valables lorsque l’état discret E(t) reste constant. Les interactions entre les états vc (t) et ϕb (t) avec l’état du DPF E(t) seront abordées dans le § 2.8 (page 42) traitant des systèmes hybrides. Nous reprenons les expressions (2.1) (2.5) et (2.11) des variables d’état vc (t) ϕb (t) et E(t) en les remplaçant par les variables d’état x(t) et y(t) définies par : t = t/T x(t) = ϕb ( Tt ) 2π K oct y(t) = N T vc ( Tt ) e(t) = E( Tt ) On constate que ces équations font apparaı̂tre le paramètre fixe c et que de plus le point de fonctionnement de ce circuit n’est pas l’origine. Variables normalisées centrées Il peut être intéressant d’écrire des équations telles que les variables d’états soient nulles lorsque le système est stabilisé autour de son point de fonctionnement. Pour obtenir ∂x/∂t|(x=0,y=0) = 0, le changement de variable y = y + c − 1 est immédiat. Pour remplacer x, il faut choisir une variable d’état qui permet d’exprimer la phase de l’OCT sans diverger, de sorte que la condition ∂y/∂t|(x=0,y=0) = 0 soit vérifiée. Lorsque le système converge vers son point fixe, l’erreur de phase entre le signal de référence et le signal bouclé tend vers 0. On peut donc définir la variable x comme l’erreur de phase normalisée entre le signal bouclé vb et le signal de référence vref . En temps normalisé, la phase du signal de référence est : Zt ϕref (t) = ϕref (t0 ) + t0 Si nous reprenons l’expression de la phase normalisée du signal bouclé (2.19) en y intégrant la nouvelle définition de y, nous obtenons l’égalité : (2.18) (y(τ ) + 1 + a e(τ ))dτ (2.22) x(t) = x(t0 ) + t0 ϕ −ϕ En posant x(t) = b 2 πref , on obtient, par soustraction de la phase du signal de référence à la définition (2.22), l’expression suivante : Zt x(t) = x(t0 ) + (y(τ ) + a e(τ ))dτ (2.23) t0 (2.19) Le système peut être représenté sous sa forme différentielle : dx (t) = y(t) + a e(t) + c dt (2.20) dy (t) = b e(t) dt (2.21) Zt On obtient ainsi, à partir des relations (2.5), (2.9) et (2.11), le système d’équations normalisées suivant : x(t) = x(t0 )+ Rt (y(τ ) + a e(τ ) + c)dτ t0 y(t) = y(t0 ) + b e(t) (t − t0 ) 1 dτ Finalement nous reprenons les expressions (2.5) et (2.11) des variables d’état vc (t) et ϕb (t) en les remplaçant par les variables d’état x(t) et y(t) définies par : t = t/T x(t) = ϕb (t)−ϕref (t) 2π (2.24) T Koct T vc (t) + Fol −1 y(t) = N N e(t) = E(t) 2.2. Choix des variables réduites 27 On obtient ainsi le système normalisé et centré sur l’origine suivant : Rt x(t) = x(t0 ) + (y(τ ) + a e(τ ))dτ (2.25) t0 y(t) = y(t0 ) + b e(t) (t − t0 ) Ce système peut être représenté sous sa forme différentielle : dx (t) = y(t) + a e(t) dt (2.26) dy (t) = b e(t) dt Les paramètres influençant la dynamique du système peuvent bien se réduire aux paramètres a et b, exprimant à eux seul la dynamique du système continu. 2.2.3 Normalisation de la BVP–IC du troisième ordre On peut réduire, avec la même technique que précédemment, l’espace des paramètres Γ = [R, C1 , C2 , Ic , Koct , Fol , N, T ] de la BVP–IC du troisième ordre à un espace paramétrique réduit de dimension trois. L’étude d’un circuit de vecteur de paramètres Γ peut être faite en considérant une BVP–IC équivalente fonctionnant autour du point de fonctionnement unitaire défini dans la section précédente. Le vecteur de paramètres Γ du circuit équivalent unitaire est déduit de la relation de similarité (B.16) établie dans l’annexe B. Le point de fonctionnement unitaire détermine la valeur des facteurs d’échelle : α = 1/T et β = Koct T 1 vs = N −Fol T . La relation entre les paramètres Γ d’un circuit quelconque et les paramètres Γ d’un circuit équivalent unitaire devient : Fol T Fol = N N Koct Koct Koct T 2 = N N − Fol T N τ τ= T R C1 R C1 = T Koct Ic Koct Ic = T2 N (C1 + C2 ) N C1 + C2 de paramètres unique Γ à chaque vecteur de paramètres Γ. En prenant N = 1 on fixe ainsi les valeurs de Fol et Koct, puisque les deux premières relations (2.27a) et (2.27b) sont les mêmes que dans le cas du second ordre. Les paramètres c et d définis dans la section précédente sont là aussi considérés fixés. Parmi les paramètres restants, seul Ic n’appartient pas aux paramètres du filtre. Pour les mêmes raisons, on fixe Ic à 1 Ampère, ce qui permet de conserver les paramètres du filtre comme degrés de liberté. On étudie donc une BVP–IC du troisième ordre de paramètres Γ en considérant le circuit similaire stimulé par une période d’entrée de 1 Hertz, ne comportant pas de diviseur de fréquence, ayant un courant de charge de 1 Ampère et se stabilisant autour du point de fonctionnement unitaire. Ce circuit similaire normalisé est unique. On définit alors les trois paramètres réduits du circuit normalisé, influençant à eux seuls sa dynamique continue, par les trois dernières relations de (2.27) : τ T τ1 = RTC1 oct Ic p = NK (C1 +C2 ) τn = (2.28) T2 Les paramètres τn et τ1 sont liés aux constantes de temps de charge de voct et vc , tandis que le paramètre p, à ne pas confondre avec la variable de Laplace, correspond à la pente de charge des deux capacités lors d’une impulsion de courant. Un changement de variable d’état permet d’écrire les équations du système à l’aide de ces paramètre réduits et en simplifie l’expression. (2.27a) Variables normalisées du troisième ordre (2.27b) L’écriture des équations du système du troisième ordre se trouve grandement simplifiée en opérant le changement de variable suivant : (2.27c) (2.27d) (2.27e) Ces cinq relations entre les sept paramètres des vecteurs Γ et Γ montrent qu’il faut fixer deux paramètres supplémentaires pour désigner un vecteur t = t/T ϕ (t) x(t) = b2πT y(t) = KNoct T vc ( Tt ) z(t) = KNoct T voct ( Tt ) e(t) = E( t ) T (2.29) 28 Chapitre 2. Modélisation En reprenant les expressions (2.1), (2.2) et (2.11) des variables d’état vc (t), voct (t) ϕb (t) et E(t) avec les nouvelles variables d’état, on obtient le système suivant : Zt x(t) = x(t0 ) + (z(τ ) + c) dτ t0 (2.30) y(t) = y(t ) + e(t) p (t − t ) + 0 0 t−t0 τn z(t0 ) − y(t0 ) − e(t) p τ1 1 − e− τn τ1 z(t) = z(t0 ) + e(t) p (t − t0 ), + t−t τ n − τ1 − τn0 z(t0 ) − y(t0 ) − e(t)pτ1 1 − e τ1 Le système peut être représenté sous sa forme différentielle : dx (t) = z + c dt dy (2.31) (t) = e(t) p + dt 1 t−t0 z(t0 ) − y(t0 ) − e(t) p e− τn τ1 dz (t) = e(t) p + dt t−t0 τn + τ1 z(t0 ) − y(t0 ) − τ1 e(t) p e− τn τn τ1 On constate que ces équations font apparaı̂tre le paramètre fixe c et que la variable x est divergente puisqu’elle représente la phase de l’OCT. Un second changement de variable permet d’obtenir un système dont le point de fonctionnement se trouve à l’origine. Variables normalisées centrées du troisième ordre On effectue le même type de changement de variable : ϕ ( t )−ϕ (t) t = Tt x(t) = b T 2π ref T y(t) = Koct T v ( t ) + Fol T − 1 c T N N (2.32) Fol T Koct T t v ( ) + −1 z(t) = oct T N N e(t) = E( t ) T Les équations d’une trajectoire deviennent : Zt (z(τ )) dτ = x(t ) + x(t) 0 t0 (2.33) y(t) = y(t ) + e(t) p (t − t ) + 0 0 t−t τn − τn0 z(t0 ) − y(t0 ) − e(t) p τ1 1−e τ1 z(t) = z(t0 ) + e(t) p (t − t0 ), + t−t0 τ n − τ1 z(t0 ) − y(t0 ) − e(t)pτ1 1 − e− τn τ1 En dérivant ces équations, on obtient le système différentiel suivant : dx (t) = z dt dy (2.34) (t) = e(t) p + dt 1 t−t0 z(t0 ) − y(t0 ) − e(t) p e− τn τ 1 dz (t) = e(t) p + dt t−t0 τn + τ1 z(t0 ) − y(t0 ) − τ1 e(t) p e− τn τn τ1 Le comportement du système d’ordre trois dépend uniquement des trois paramètres réduits τn , τ1 et p. Les équations établies dans cette section dépendent de l’état e(t) du DPF et sont valables lorsque cet état reste constant. Les interactions entre l’état du DPF et les états continus rendent la modélisation du circuit difficile. La méthode de modélisation la plus simple consiste à approcher le courant de charge Ic E(t) par une variable continue. 2.3 Modèle linéaire continu Le modèle linéaire, nommé par la suite modèle LC, a été établi par Gardner dans [Gar80a] et beaucoup étudié dans la littérature. Il est cependant basé sur une modélisation du DPF approchée imposant des limites de validité. Le modèle linéaire du DPF est établi en estimant le courant moyen attaquant le filtre ; cette approximation, nommée Approximation Quasi Continue, n’est valable que si la fréquence des impulsions de charge corrigeant le système est très supérieure à la fréquence naturelle du circuit. Le problème de l’AQC est abordé par la suite. 2.3. Modèle linéaire continu 2.3.1 29 La boucle d’asservissement Le modèle linéaire continu est obtenu en assemblant les fonctions de transfert de chaque élément de la BVP–IC. On obtient donc le schéma d’asservissement de la fig. 2.6 à partir des modèles linéaires obtenus dans le § 2.1 (page 20). θref θe + Kdpf ic Zf (p) voct 2πKoct p θs lation (2.10), établie dans le § 2.1.3 (page 22), appliquée à la tension moyenne d’entrée voct : 2π Koct θs (p) = voct (p) p (2.39) L’angle de phase du signal bouclé θb est donné par la relation (2.11), déterminée dans le § 2.1.4 (page 23), appliquée au signal de sortie θs : − DPF θb Filtre OCT θb (p) 1 = θs (p) N 1 N 2.3.2 Fig. 2.6 : Modèle linéaire continu de la BVP–IC L’angle de phase du signal de référence θref est obtenu, pour un signal de fréquence constante et égale à Fref = T1 , en appliquant (2.7) : θref (t) = θref (t0 ) + 2π (t − t0 ) T (2.35) L’erreur de phase θe est définie par la différence entre l’angle de phase θref du signal d’entrée et celui du signal bouclé θb : θe (t) = θref (t) − θb (t) (2.36) Le courant de charge moyen ic , déterminé dans le § 2.1.1 (page 20), est approché par la valeur Ic Kdpf θe où le gain Kdpf a pour valeur 2π . L’impédance du filtre Zf (p), déterminée dans le § 2.1.2 (page 21), peut être du premier ordre (Zf 1 ) ou du second ordre (Zf 2 ) : RC p+1 Cp 1 R C1 p + 1 Zf 2 (p) = p R C1 C2 p + (C1 + C2 ) (2.40) Fonctions de transfert La fonction de transfert de ce système en boucle ouverte est donc : G(p) = Zf (p) θs (p) = Koct Ic θe (p) p En prenant en compte le bouclage à travers le diviseur de fréquence on obtient la fonction de transfert en boucle fermée suivante : H(p) = G(p) 1 + 1/N G(p) = Koct Ic N On appelle voct la tension moyenne à la sortie du filtre. Cette tension moyenne peut être obtenue directement à partir du courant moyen car le filtre est linéaire : (2.42) BVP d’ordre deux Dans le cas d’un filtre du premier ordre, on remplace Zf par Zf 1 , dès lors on obtient la fonction de transfert en boucle ouverte suivante : G2 (p) = Koct Ic RC p + 1 C p2 (2.43) La fonction de transfert du système en boucle fermée est celle d’un système du second ordre avec un zéro : H2 (p) = N N Koct Ic voct (p) = Zf (p) ic (p) Zf (p) Koct Ic Zf (p) + p Selon le type de filtre utilisé on obtient une BVP d’ordre deux ou trois. Zf 1 (p) = (2.37) (2.41) RC p + 1 C p2 + RC p + 1 (2.44) (2.38) L’angle de phase du signal à la sortie de l’OCT est appelé θs . Il est déterminé par la re- Ces équations s’expriment simplement avec les paramètres normalisés a et b établis dans le § 2.2.2 (page 24). Un tel changement de variable n’affecte 30 Chapitre 2. Modélisation H3 (p) = N N Koct Ic RC1 C2 p3 RC1 p + 1 N 2 + Koct Ic (C1 + C2 )p + RC1 p + 1 pas les fonctions de transfert car celles–ci sont le rapport entre des grandeurs de même nature : des angles de phase. On obtient donc les fonctions de transfert en fonction des paramètres normalisés suivantes : p+1 p2 a/b T p + 1 H2 (p) = N 2 2 T /b p + a/b T p + 1 G2 (p) = b N a/b T (2.46) (2.47) Remarque 7 Le paramètre N apparaı̂t dans les équations car les fonctions de transfert calculées sont le rapport entre la grandeur de sortie θs et celle d’entrée. Si nous prenons comme sortie l’angle de phase du signal bouclé θb le facteur N disparaı̂t. Les fonctions de transfert de la BVP–IC équivalente unitaire s’obtiennent en remplaçant T et N par 1 dans les expressions précédentes : 2.3.3 Validité du modèle Les fonctions de transfert que nous venons d’établir sont fondées sur une approximation qui ne prend en compte que le comportement moyen de la boucle, ce qui permet de considérer la BVP–IC comme un système continu. Or le courant de charge est commuté par les signaux vhaut et vbas du DPF. La modélisation du DPF ne prend pas en compte les commutations périodiques du circuit liées aux fronts descendants du signal d’entrée et celles liées aux fronts du signal bouclé vb . L’AQC est donc valide si la fréquence de ces commutations est suffisamment supérieure à la dynamique du système. Dans le cas de la BVP–IC du second ordre, on peut identifier la fonction de transfert du système à celle d’un système du second ordre classique comportant un zéro : H(p) = K Gu2 (p) =b a/b p +1 p2 a/b p + 1 H2u (p) = 1 2 a /b p + /b p + 1 (2.48) (2.49) BVP d’ordre trois RC1 p + 1 Koct Ic 1 C2 2 C1 + C2 p R CC1+C p+1 1 2 (2.50) La fonction de transfert du système en boucle fermée (2.45) est aussi celle d’un système du troisième ordre. On peut l’exprimer en variables réduites : 1 τ1 s + 1 s2 τn s + 1 τ1 s + 1 H3u (s) = N τn 3 1 2 s + p p s + τ1 s + 1 αp + 1 2 + 2ξ/ω p + 1 p n n 1/ω 2 (2.52) L’identification terme à terme permet de déterminer la valeur du gain K, de la pulsation naturelle ωn et du coefficient d’amortissement du système ξ : √ Koct Ic = b NC r a R Koct Ic C = √ ξ= N 2 2 b α = R C = a/b r De la même manière, si l’on utilise un filtre d’ordre deux, on obtient un système d’ordre trois. En remplaçant Zf par Zf 2 dans (2.41) on obtient : G3 (p) = (2.45) Gu3 (s) = N p (2.51) La variable de Laplace est notée s dans cette équation pour éviter la confusion avec le paramètre p. ωn = (2.53) La dynamique du système est caractérisée par sa pulsation naturelle ωn ; on peut ainsi quantifier la validité du modèle LC en comparant cette pulsation avec la pulsation des signaux de sortie du DPF. Cette dernière pulsation étant sensiblement égale à la pulsation du signal d’entrée ωref on obtient la condition de validité suivante : ωn ωref (2.54) De manière plus générale, le modèle reste valide si la bande passante du système est très inférieure à la pulsation d’entrée. On néglige ici l’influence du zéro sur la bande passante du système. 2.4. Modèle linéaire discret 31 vref vb T θb = 2πn Cas idéal T t θb = 2π(n + 2) θb = 2π(n + 1) tk+1 tk tk+2 t tp = |θe | Cas approché T 2π ic voct θe > 0 t θe < 0 Fig. 2.7 : Approximation du courant de charge par Gardner 2.4 Modèle linéaire discret Pour pallier le problème de validité du modèle LC, Gardner propose un modèle linéaire discret dans [Gar80a]. Dans cette modélisation, l’auteur effectue des approximations établies sur la forme du courant lui permettant d’aboutir à une récurrence discrète. Plusieurs manières de représenter la forme de l’impulsion du courant de charge sont abordées dans cette section. Trois récurrences discrètes sont proposées. 2.4.1 Approximation de l’impulsion de courant de charge Pour tenir compte de l’aspect granulaire8 du temps – notamment lorsque la pulsation des signaux est proche de la pulsation naturelle du circuit, – Gardner propose d’établir un modèle linéaire discrétisé par la période du signal d’entrée T considérée comme constante. Le courant de charge ic n’est plus approché par une valeur continue proportionnelle à l’erreur de phase. Il s’agit d’introduire des commutations périodiques du courant de charge liées aux fronts descendants du signal d’entrée dans le but de se 8 pour reprendre le terme granularity Gardner. utilisé par rapprocher le plus possible de la forme réelle des impulsions. Les commutations provoquées par les fronts du signal bouclé vb sont asynchrones par rapport à la période T du signal d’entrée. Il est alors nécessaire d’approcher l’effet de ces commutations asynchrones lors de chaque période T . Pour cela les impulsions de courant doivent être estimées en effectuant les deux approximations suivantes : – à chaque front du signal d’entrée tk = k T débute une impulsion du courant ic d’une durée tp , le courant reste ensuite nul jusqu’à l’itération suivante ; – la durée de l’impulsion tp est approchée par T , l’amplitude de la relation tp = |θref − θs | 2π l’impulsion dépend de l’erreur de phase à l’instant tk et vaut Ic signe (θe (tk ))9 . La fig. 2.7 compare la forme des signaux idéaux de la BVP–IC avec celle des signaux constituant l’approximation effectuée. Le courant de charge ip lors de l’impulsion est égal à ±Ic selon le signe de l’erreur de phase à l’instant tk . Lorsque l’erreur de phase est positive ip = Ic et lorsqu’elle est négative ip = −Ic . Les modèles discrets du second ordre sont établis 9 signe(x) désigne la fonction signe égale à 1 pour x > 0, −1 pour x < 0 et 0 pour x = 0 32 Chapitre 2. Modélisation à partir des équations normalisées centrées (2.25), que l’on représente ici sous forme intégrale : Rt x(t) = x(t0 ) + (y(τ ) + a e(τ ))dτ t0 Rt y(t) = y(t ) + b e(t)dτ 0 sur la figure), soit une impulsion d’amplitude −xk de durée 1 pour la variable d’état e(t). Impulsions approchées Impulsion de Dirac (2.55) Impulsion de largeur tp Impulsion de largeur T Ic θe < 0 t0 Le modèle discret est obtenu en intégrant les variables d’état x et y de l’instant normalisé tk = k à l’instant tk+1 = k + 1. Les valeurs de ces variables d’état à l’instant tk sont notées xk et yk respectivement. De même, on note xk+1 et yk+1 les variables d’état prises à l’instant tk+1 . Les modèles discrets du troisième ordre découlent du système d’équation centré (2.33), la variable d’état z ajoutée est notée zk et zk+1 aux instants respectifs tk et tk+1 . La forme de l’impulsion de courant influence le système différentiel par le biais de la variable d’état discrète e(t) représentant l’état du DPF. Une impulsion de courant d’amplitude Ic pendant une période réelle tp est alors représentée par une impulsion de l’état discret e(t) d’amplitude 1. La durée tp de cette impulsion en temps normalisé, qui est notée par le même symbole tp par la suite, s’exprime directement en fonction de la phase normalisée centrée x(t) par tp = |xk |, puisque x(t) correspond à l’opposé de l’erreur de phase en temps normalisé. Le sens de l’impulsion de e(t) est lié au signe de la phase normalisée centrée x(tk ) par la relation e(tk ) = signe (−x(tk )). À partir de l’impulsion de largeur tp proposée par Gardner, nous proposons dans ce mémoire d’autres durées d’impulsions tout en conservant la (tk ) même quantité de charge Ic T θe2π injectée dans le filtre. Les trois formes d’impulsions, présentées en valeur réelles dans la fig. 2.8, utilisées pour déterminer les modèles discrets sont les suivantes : – une impulsion de Dirac dont l’amplitude (tk ) équivaut à la quantité de charge Ic T θe2π à transmettre au filtre (bâtonnets en gras sur la figure), soit un Dirac d’amplitude −xk pour l’état e(t) ; – une impulsion de durée tp dont l’amplitude vaut Ic signe (θe (tk )) (trait plein et surface en gris clair sur la figure), soit une impulsion d’amplitude signe (−xk) et de durée normalisée tp pour la variable d’état e(t) ; – une impulsion de durée T dont l’amplitude est (tk ) Ic θe2π (petit tirets et surface en gris foncé t |θ | Ic e tp = T 2π θe 2π T T Fig. 2.8 : Les trois formes d’impulsion de courant considérées Chaque impulsion devant apporter une quantité de charge équivalente, les aires représentées à des instant différents par les surfaces en gris, doivent être égales entre elles et correspondre à l’amplitude de l’impulsion de Dirac. L’impulsion de Dirac permet de faciliter grandement les calculs du modèle discret, notamment pour le calcul du modèle du troisième ordre. L’impulsion de durée tp est la forme la plus proche du signal réel. C’est la voie adoptée par Gardner pour obtenir son modèle discret. L’impulsion de largeur T correspond à l’échantillonnage de période T de la valeur du courant de (tk ) charge moyen ic = Ic θe2π utilisé dans le modèle LC. L’échantillonnage d’un système continu est un classique de l’automatique. Des méthodes simples permettent d’obtenir un modèle discret à partir de la fonction de transfert du modèle continu. Chacune de ces trois méthodes permet d’obtenir des modèles dont le comportement peut être très différent des autres. Les différences seront mises en évidence dans le § 2.11 (page 56) confrontant les simulations des différents modèles. 2.4.2 Modèle à base d’impulsions de Dirac Dans cette modélisation, l’impulsion du courant de charge est alors représentée par une impulsion de Dirac dont l’amplitude correspond à la quantité de charge introduite dans le filtre au cours de chaque période. Ce modèle est noté par la suite modèle LDδ. La variable d’état discrète e(t) est donc repré- 2.4. Modèle linéaire discret 33 sentée à partir de l’instant tk par : e(t ≥ tk ) = −x δ(tk ) (2.56) où δ(t) représente l’impulsion de Dirac L’intégration des équations (2.55) en remplaçant e(t) par cette expression devient triviale. En effet, les termes devant l’impulsion de Dirac δ(t) sont extraits directement de l’intégrale en remplaçant le Dirac par un échelon de Heaviside. Système discret du second ordre En intégrant les équations du système du second ordre (2.55) de l’instant tk à tk+1 , on obtient directement le système récurent discret linéaire suivant : xk+1 = xk (1 − a − b) + yk yk+1 = yk − b xk (2.57) soit en écriture matricielle Xk+1 = A Xk xk avec Xk = yk (2.58) 1−a−b 1 et A = −b 1 Le polynôme caractéristique P (λ) de cette récurrence est obtenu à partir de la matrice dynamique A par la relation : P (λ) = det (A − λ I2 ) (2.59) 2 = (λ − 1) + (λ − 1) (a + b) + b où I2 est la matrice identité de rang deux Ce système d’équation est autonome puisque la période du signal d’entrée, considérée constante, est prise comme variable de discrétisation. Dans le cas d’une entrée non perturbée, on peut écrire l’équation autonome de l’erreur de phase θe . Cette erreur de phase peut être ajoutée comme sortie du système θe (tk ) = −2π xk = [−2π 0] Xk = C Xk . En utilisant la transformée en z, on exprime l’évolution de l’erreur de phase à partir du vecteur d’état initial X0 : −1 θe (z) = z C (z I2 − A) X0 z [1 − z − 1] X0 = P (z) (2.60) On obtient en choisissant un vecteur d’état initial X0 = [0 c − 1]T correspondant à une erreur de phase initiale nulle et à une tension vc initiale nulle : 2π z (2.61) θe (z) = 2 (z − 1) + (z − 1) (a + b) + b Remarque 8 La variable d’état xk est de signe opposé à l’erreur de phase normalisée. On peut donc facilement extraire la phase du signal d’entrée et la phase du signal bouclé de cette équation d’état. Le système comporte alors en entrée la phase du signal de référence, ce qui permettrait d’analyser l’influence des bruits ou des modulations de cette entrée. Cependant les paramètres réduits a et b sont dépendants de la période d’entrée T et ne sont donc plus valides lorsque la période d’entrée varie grandement. La notion d’entrée du système et de fonction de transfert n’a donc plus de sens en dehors de l’hypothèse des petites variations de la période T. Ce modèle permet tout de même d’étudier le comportement du système face à une entrée faiblement bruitée. Par contre les résultats correspondant à une entrée fortement bruitée ou modulée sont d’une précision relative à l’amplitude de ces phénomènes. L’avantage majeur de cette modélisation est de faciliter grandement les calculs, ce qui est très utile pour le système d’ordre trois. Système discret d’ordre trois De même, en intégrant les équations du système du troisième ordre (2.34) de l’instant tk à tk+1 , on obtient directement le système récurent discret linéaire (2.62). On obtient le polynôme caractéristique P (λ) (2.63) en appliquant la relation (2.59) à la matrice dynamique de dimension trois. Cette modélisation du courant de charge par une impulsion de Dirac est très proche de la réalité lorsque le circuit est proche de son point de fonctionnement. La largeur des impulsions diminue jusqu’à devenir idéalement nulle lorsque le système converge. Elles deviennent alors très similaires à une impulsion de Dirac. Représenter l’impulsion de courant avec une largeur non nulle semble être plus proche de la réalité lorsque le système est en phase transitoire. Une telle représentation devrait donner des résultats plus précis lorsque le système est éloigné du point de fonctionnement. 34 Chapitre 2. Modélisation 1 xk+1 yk+1 = 0 zk+1 −p ττn1 1+ τn τ1 h i 1 (τn − τ1 ) 1 − e− τn − 1 1 1 − ττn1 1 − e− τn 1 τ1 −τn 1 − e− τn τ1 τn h i 1 − ττn1 (τn − τ1 ) 1 − e− τn − 1 1 τn 1 − e− τn τ1 − τ1n τ1 −τn 1 − τ1 τn 1 − e i h i h 1 1 P (λ) = λ3 − λ2 2 + e− τn + λ 1 + e− τn (2 + p (τn − τ1 )) + p (1 + τ1 − τn ) 1 x k yk (2.62) zk (2.63) + p (τn − τ1 ) − e− τn (1 + p (1 + τn − τ1 )) 2.4.3 Modèle à base d’une impulsion approchée La forme de l’impulsion de courant la plus proche de la réalité est celle proposée par Gardner dans ces travaux et illustrée par la fig. 2.7. À partir de cette impulsion de durée variable tp , on obtient une récurrence discrète qui n’est pas linéaire. Ce modèle est noté par la suite modèle D–Brut. On représente cette impulsion en variable réduite par une impulsion de l’état discret e(t) d’amplitude signe(−xk ), apparaissant à l’instant tk et de durée tp = |xk |. La récurrence s’obtient alors en intégrant par morceaux les équations différentielles du système (2.55). Le vecteur d’état continu à l’instant tk+1 , noté Xk+1 , est obtenu en intégrant de tk à tk + tp puis de tk + tp à tk+1 : tk Z+tp ∂(X (t, e = signe(−xk ))) dt ∂t tk (2.64) tZk+1 ∂(X (t, e = 0)) = X(tk + tp ) + dt ∂t X(tk + tp ) = Xk + Xk+1 tk +tp Système du deuxième ordre En appliquant cette technique au système d’ordre deux (2.55), on obtient la récurrence non– linéaire suivante : xk+1 = xk (1 − a − b) + yk + b xk |xk | 2 (2.65) yk+1 = yk − b xk Le terme non–linéaire xk |xk | complique l’analyse d’une telle équation. Il faudrait alors considé- rer deux systèmes linéaires commutés selon le signe de xk . La modélisation et l’analyse de ce type de système est discuté plus loin dans le § 2.8 (page 42). Cette récurrence n’est pas utilisée dans ce mémoire car des modèles plus précis et de complexité équivalente sont utilisés. Néanmoins, on peut remarquer que le terme non–linéaire devient négligeable devant le terme xk (1 − a − b) lorsque xk tend vers zéro, c’est–à– dire, lorsque le système est près de son point de fonctionnement. On peut donc négliger ce terme lorsque |xk | 2 b (1 − a − b). Gardner obtient ainsi le même système linéaire que celui obtenu à partir d’impulsion de Dirac avec un effort calculatoire bien supérieur. Système du troisième ordre La même technique peut être appliquée avec le filtre du second ordre Zf 2 . Dans ce cas, les équations se compliquent car la tension à l’entrée de l’OCT n’est plus une relation affine mais une combinaison d’exponentielles (2.2 page 22). Dans [Gar80a], Gardner présente le dénominateur de la fonction de transfert du système du troisième ordre sans présenter les calculs et les approximations y menant. Ce dénominateur est différent de celui obtenu avec une impulsion de Dirac donné dans l’expression (2.63). Nous n’avons pas tenté de retrouver les approximations faites par l’auteur pour arriver à ce résultat, nous ne présentons donc pas cette modélisation dans ce mémoire. Les équations du système d’ordre trois peuvent également être issues soit de l’approximation par impulsion de Dirac, soit de l’approximation par échantillonneur–bloqueur abordée dans la section suivante. 2.4. Modèle linéaire discret θref + θe 35 Kdpf T − DPF θb B0 (p) ic Zf (p) voct Filtre Bloqueur 2πKoct p θs OCT 1 N Fig. 2.9 : Modèle linéaire échantillonné vref vb T θb = 2πn Cas idéal T θb = 2π(n + 1) tk+1 tk t θb = 2π(n + 2) tk+2 t ic Approximation t θe 2π Ic t Fig. 2.10 : Approximation du courant de charge par échantillonnage (en traits discontinus) 2.4.4 Modélisation avec un échantillonneur–bloqueur L’échantillonneur–bloqueur est très utilisé en automatique car il permet d’obtenir un modèle discret à partir d’un modèle continu. Il suffit pour cela de considérer la BVP–IC comme un système dont l’erreur de phase est échantillonnée à la période du signal d’entrée, et est maintenue à cette valeur par un bloqueur d’ordre zéro B0 (p) ; ce qui donne le schéma–bloc de la fig. 2.9. Cette modélisation est équivalente à l’utilisation d’une impulsion de largeur T discutée précédemment dans le § 2.4.1 (page 31). Nous présentons cependant ce modèle discret comme l’échantillonnage d’un système continu en utilisant les paramètres réels. C’est pourquoi il est noté modèle LD–Éch. par la suite. On peut retrouver ce type de modélisation appliquée à la BVP–IC en variables réelles dans [Joh96]. L’introduction d’un échantillonneur–bloqueur modifie le modèle du DPF : à un instant tk le DPF mesure l’erreur de phase entre le signal d’entrée et le signal bouclé ; la valeur du courant moyen pendant la période [tk tk+1 [ est estimée à partir de l’erreur de phase mesurée. Cette valeur est maintenue à l’entrée du filtre pendant l’intervalle [tk tk+1 [, permettant ainsi de prendre en compte l’aspect granulaire du temps. La fig. 2.10 montre le signal ic dans le cas idéal et son approximation par échantillonnage de l’erreur de phase. La fonction de transfert en boucle ouverte d’un système échantillonné avec un bloqueur d’ordre zéro s’obtient en calculant la transformée en z suivante : G(p) z−1 G(z) = Z z p z−1 Koct Ic = Z Zf (p) z p2 où Z{.} désigne la transformée en z (2.66) 36 Chapitre 2. Modélisation T T 2C + R z + 2C − R Koct Ic T T 2C + R − 2 z + N H2 (z) = Koct Ic T z2 + Koct Ic T N Le système étant bouclé via un diviseur de fréquence, on obtient la fonction de transfert en boucle fermée H(z) de manière similaire au cas continu : H(z) = G(z) 1+ (2.68) G(z) N Remarque 9 La fonction de transfert H(z) est le rapport entre la phase du signal de sortie θs (z) et la phase du signal d’entrée θref (z). Or, la période d’échantillonnage T correspondant aux fronts actifs du signal d’entrée est constante dans cette modélisation. Ce modèle est donc valide pour une période T du signal d’entrée fixe ou dans l’hypothèse de petite variations autour de cette période. La phase du signal d’entrée doit donc être augmentée de la valeur 2π à chaque itération pour que le modèle soit valide. L’expression en z d’une telle 2π z phase est donc θref (z) = (z−1) 2 . On peut rajouter à ce niveau un modèle du bruit en entrée pour l’étudier. Dans le cas d’un signal d’entrée pur, on enlève l’ambiguı̈té liée à la présence d’une entrée dans le système, en écrivant l’équation autonome de l’erreur de phase θe (z) à partir de la fonction de transfert de la manière suivante : H(z) θe (z) = θref (z) − θs (z) = θref (z) 1 − N 2π z H(z) = 1− (2.69) (z − 1)2 N = 2π z 2 (z − 1) + (z − 1) a + b 2 En remplaçant la fonction de transfert Zf (p) par celle du filtre adéquat, on obtient la fonction de transfert en boucle ouverte du système du deuxième ou du troisième ordre. Modèle discret du deuxième ordre Dans le cas d’un filtre du premier ordre, on remplace Zf par Zf 1 et on obtient la fonction de trans- (2.67) −R +1 fert en boucle ouverte suivante : G2 (z) = Koct Ic T T 2C +R z+ T 2C 2 −R (z − 1) (2.70) La fonction de transfert du système en boucle fermée, obtenue en appliquant (2.68), est le système du second ordre comportant un zéro exprimé par (2.67). Ces équations s’expriment simplement avec les paramètres normalisés a et b, on obtient alors les fonctions de transfert suivantes : G2 (z) = N (b/2 + a) z + (b/2 − a) 2 (2.71) (z − 1) (b/2 + a) z + (b/2 − a) H2 (z) = N 2 z + (b/2 + a − 2) z + (b/2 − a + 1) Remarque 10 Le facteur N apparaı̂t dans la fonction de transfert en boucle ouverte G2 (z) mais ne correspond pas au gain statique en boucle ouverte – qui est unitaire – car les paramètres a et b comportent un facteur 1/N dans leurs définitions. Modèle discret du troisième ordre Dans le cas d’un filtre du deuxième ordre, l’expression analytique des fonctions de transfert devient plus complexe. En remplaçant Zf par Zf 2 , on obtient la fonction de transfert en boucle ouverte suivante : Koct Ic n2 z 2 + n1 z + n0 C2 (C1 + C2 ) (z − 1)2 z − e−T/τ C1 C2 τ =R C1 + C2 C2 T n2 = T 2 + τ T C1 + τ 2 C1 e− /τ − 1 2 T 2 C2 2 (2.72) n1 = T + 2 τ C1 1 − e− /τ 2 T − τ T C1 e− /τ + 1 C2 T n0 = −T 2 + τ T C1 + τ 2 C1 e− /τ − τ 2 C1 2 G3 (z) = +b T 2C 2.5. Modèle non–linéaire discret H3 (z) = N Koct Ic n2 z 2 + n1 z + n0 2 N C2 (C1 + C2 ) (z − 1) z − e−T/τ + Koct Ic (n2 z 2 + n1 z + n0 ) La fonction de transfert du système en boucle fermée, obtenue en appliquant (2.68), correspond à celle du système du troisième ordre, comportant deux zéros, exprimé par (2.73). Remarque 11 Il est impossible d’exprimer ces fonctions de transfert en fonction des variables réduites. Cela veut dire que le fait d’échantillonner le système continu du troisième ordre ne permet pas de conserver la relation d’équivalence établie sur les équations exactes. Les modèles discrets de deux BVP–IC du troisième ordre dynamiquement similaires n’auront pas le même comportement dynamique. L’approximation de l’impulsion de courant par une impulsion de longueur T n’est donc pas concluante. Cette forme d’impulsion est trop éloignée de la forme véritable du signal pour en approcher correctement le comportement. 2.4.5 Validité des modèles discrets Les modèles discrets permettent de représenter l’aspect périodique de la mesure de l’erreur de phase. Contrairement au modèle LC, ces modèles devraient rester valides lorsque la dynamique du système est proche de la pulsation du signal d’entrée. Les simulations du § 2.3.3 (page 30) montrent qu’il n’en est rien. Ces modèles supposent que l’erreur de phase reste très inférieure à une période du signal d’entrée : ils ne sont donc pas valides dans les phases transitoires du système. De plus, des approximations sont faites sur la forme du courant de charge pour obtenir des équations linéaires. On peut obtenir une plus grande précision en n’effectuant aucune approximation mais les équations deviennent alors non–linéaires. Ces modèles non–linéaires prennent en compte les commutations du courant de manière exacte au prix d’une complexité d’analyse accrue. 2.5 37 Modèle non–linéaire discret En considérant un signal de période T à l’entrée du système, il est possible de déduire un modèle discret. La discrétisation du temps à la période T (2.73) conduit à un modèle non–linéaire non–autonome récursif d’ordre deux. Ce modèle a été établi par van Paemel dans [vP94] en émettant des hypothèses restrictives dans le plan de phase : – l’erreur de phase entre le signal de référence vref et le signal bouclé vb reste inférieure à la période T permettant d’exclure des cas de figure dont l’expression des équations est complexe ; – la tension à l’entrée de l’OCT reste positive afin de rester dans le domaine de validité du modèle de l’OCT. Le domaine de validité de ce modèle étant local, nous le nommerons par la suite modèle NL–DL : modèle Non–Linéaire Discret Local. Nous n’utilisons pas les mêmes variables d’état que dans [vP94], mais les variables normalisées suivantes : – νk – l’erreur de tension normalisée aux bornes de la capacité lorsque ic = 0 entre l’instant tk et tk+1 , soit νk = y max(tk , tk + τk ) ; – τk – le temps normalisé entre le prochain front descendant du signal bouclé vb et l’instant tk qui correspond au k ème front descendant du signal d’entrée (lorsque le signal de référence est en avance, τk est positif et inversement). Ces variables sont illustrées par la fig. 2.11. En temps normalisé, on considère la période du signal d’entrée vref constante et égale à l’unité. Sans perte de généralité, on considère la phase initiale du signal de référence nulle et on obtient ainsi tk = k. Le modèle non–linéaire discret doit exprimer les variables d’état à l’instant tk+1 , connaissant ces variables à l’instant tk . En utilisant les équations du système normalisé (2.19) et celles du système normalisé centré (2.25), on exprime νk+1 de manière unique en fonction de τk+1 et νk : νk+1 = νk + b τk+1 (2.74) Dans [vP94], on montre que l’expression de τk+1 en fonction de τk et νk dépend de l’état du DPF aux instants tk et tk+1 . On obtient quatre expressions distinguées par les signes de τk et τk+1 . van Paemel détermine alors l’équation à utiliser à partir d’un algorithme estimant le signe de τk+1 et utilisant le signe connu de τk . 38 Chapitre 2. Modélisation vref t T vb T =1 toct τk y τk+1 t T tk+1 = k + 1 t T b νk+1 a νk −1 tk = k Fig. 2.11 : Variables d’état du modèle non–linéaire discret Afin d’alléger la présentation de ce modèle, les calculs des quatre expressions de τk+1 au moyen des variables d’état normalisées figurent dans l’annexe C. On détermine aussi, dans cette annexe, les domaines de définition de chaque expression dans le plan de phase (τk , νk ). Ces domaines de définition permettent de compléter le modèle de manière analytique sans faire appel à un algorithme numérique. Le modèle discret non–linéaire peut être vu comme une transformation T qui associe le point Xk+1 , de coordonnées (νk+1 , τk+1 ), au point Xk de coordonnées (νk , τk ). Cette transformation T est définie à partir de quatre transformations composites, T++ , T+− , T−+ et T−− , par : νk+1 ν = Tij k T : τk+1 τk par les systèmes d’équations suivants : νk+1 = νk + b τk+1 √ : −b? + b2? −4 a? c++ τ k+1 = 2 a? ν k+1 = νk + b τk+1 : 1 τ k+1 = τk − 1 + 1+νk νk+1 = νk + b τk+1 √ : −b? + b2? −4 a? c−+ τ k+1 = 2 a? νk+1 = νk + b τk+1 : b 1−a τk − 2 τk 2 τ k+1 = τk − 1 + 1+νk T++ T+− T−+ T−− avec a? = 2b , b? = 1 + a + νk , c++ = (1 − τk ) (νk + 1) − 1 c−+ = c++ + a τk + (2.75) lorsque (νk , τk ) ∈ Rij avec (i, j) ∈ Ξ L’ensemble des indices ij repérant chacune des transformations composites est appelé Ξ. Cet ensemble Ξ correspond donc aux quatre combinaisons {++, +−, −+, −−}. Une transformation composite Tij est appliquée au point Xk lorsque ce point appartient à son domaine de définition Rij . Les transformations composites, définies dans l’annexe C, sont représentées (2.76) b 2 τk 2 Les domaines de définition Rij , représentés avec leurs frontières dans la fig. 2.12, sont définis par les inégalités suivantes : R++ R+− R−+ R−− avec et : {(ν, τ ) | (τ : {(ν, τ ) | (τ : {(ν, τ ) | (τ : {(ν, τ ) | (τ ≥ 0) & (ν ≤ ν+? (τ ))} ≥ 0) & (ν ≥ ν+? (τ ))} ≤ 0) & (ν ≤ ν−? (τ ))} ≤ 0) & (ν ≥ ν−? (τ ))} (2.77) τ ν+? (τ ) = 1+τ τ ν−? (τ ) = 1 − a − 2b τ 1+τ 2.6. Modèle linéarisé discret 39 νk quatre régions Rij : on ne peut donc pas déterminer sa stabilité avec des méthodes classiques. F?− R+− F+? ν+? (τk ) R−− τk R++ F−? R−+ F?+ ν−? (τk ) 2.6 Modèle linéarisé discret Le modèle NL–DL présenté dans la section précédente est difficile à analyser du fait de sa non– linéarité et de sa définition par morceaux. L’étude est simplifiée si on linéarise ces équations autour du point de fonctionnement (0, 0). On obtient alors un modèle linéaire que l’on note modèle NL–DLé signifiant modèle non–linéaire discret linéarisé. Pour cela, on calcule les jacobiens de chaque transformation composite Tij au point (0, 0). On obtient les quatre systèmes linéaires suivants : Fig. 2.12 : Plan de phase (τk , νk ) Xk+1 = Aij Xk En remplaçant judicieusement quatre inégalités de la définition (2.77) par des inégalités au sens strict, on obtient une partition de l’espace de phase. Cette partition permet de ne définir qu’une seule transformation composite à appliquer en chaque point de l’espace de phase. Les ensembles fermés, obtenus avec des inégalités au sens large, se recouvrent sur les quatre frontières Fij définies en annexe C. Sur une frontière, on applique indifféremment l’une des deux transformations composites car celles-ci sont toutes identiques au niveau de leurs frontières. Les intersections des domaines de définition sont : [ avec A++ A+− A−+ A−− lorsque Xk ∈ Rij 1 − b + a b 1 = 1+a −1 1 1−b b (2.79) = −1 1 1 1 − b + a b (1 − a) = 1+a −1 1−a 1 − b b (1 − a) = −1 1−a Les équations caractéristiques de ces systèmes ainsi que les conditions de stabilité qui en découlent sont : Rij couvre le plan de phase (i,j) ∈ Ξ et Rij \ Rkl = (i,j) ∈ Ξ (k,l) ∈ Ξ (i,j)6=(k,l) F i? F?j X q si i = k Cas « + + » : stable pour 0 < b < 4 + 2 a si j = l D(λ) = (1 + a) λ2 + (b − 2 − a) λ + 1 Cas « + - » : stable pour 0 < b < 4 sinon Le point Xq se trouve être le point fixe commun aux quatre transformations. On appelle point fixe d’une transformation T tout point solution de : D(λ) = λ2 + (b − 2) λ + 1 Cas « - + » : stable pour 0 < b < 4 (2.80) D(λ) = (1 + a) λ2 + (b − 2) λ + (1 − a) Cas « - - » : stable pour 0 < b < 4 − 2 a D(λ) = λ2 + (b − 2 + a) λ + (1 − a) Xq = T (Xq ) (2.78) La résolution de (2.78) dans les quatre régions Rij montre que Xq est unique ; ses coordonnées sont l’origine. La singularité est commune aux Les domaines de stabilité de chaque transformation composite issus de chaque équation caractéristique sont illustrées dans le plan paramétrique (a, b) par la fig. 2.13. 40 Chapitre 2. Modélisation b νk b = 4 + 2, a 0 ν+? (τk ) Tij instables 0 F?− Tij instables sauf T++ b=4 R0−− 1 R0++ Tij stables sauf T−− 0 F−? 0 ν−? (τk ) Tij stables 0 b = 4 − 2a 0 a Fig. 2.13 : Conditions de stabilité dans le plan paramétrique Dans un voisinage suffisamment proche de l’origine, les frontières des régions peuvent être considérées comme linéaires. On obtient ainsi, en linéarisant les inégalités (2.77), les nouvelles définitions des régions linéarisées, que l’on note R0ij , suivantes : R0++ : (ν, τ ) | (τ R0+− : (ν, τ ) | (τ R0−+ : (ν, τ ) | (τ R0−− : (ν, τ ) | (τ avec et 0 ≥ 0) & (ν ≤ ν+? (τ )) 0 ≥ 0) & (ν ≥ ν+? (τ )) 0 ≤ 0) & (ν ≤ ν−? (τ )) (2.81) 0 ≤ 0) & (ν ≥ ν−? (τ )) 0 ν+? (τ ) = τ 0 ν−? (τ ) = (1 − a) τ Ces domaines de définition sont représentés dans la fig. 2.14. Ce modèle va permettre dans le chapitre suivant d’établir une preuve de la stabilité de la BVP–IC. 2.7 0 F+? R0+− Modèle non–linéaire inverse Dans ce paragraphe nous allons nous attacher à l’obtention du modèle inverse non–linéaire. Il y a deux intérêts majeurs à l’obtention d’un tel modèle : – l’existence d’un modèle inverse génère une relation d’équivalence entre la topologie du plan de phase et celle de son image par la transformée non–linéaire discrète ; ceci induit τk a R0−+ 0 F?+ Fig. 2.14 : Les quatre domaines de définition linéarisés dans le plan de phase de bonnes propriétés comme, par exemple, la connexité des bassins d’attractions des singularités ; – le modèle inverse est un outil de base pour tracer l’antécédent d’une région, déterminer les courbes invariantes du système, mais aussi exclure l’existence de certaines séquences dans le plan de phase, ce qui est utile à l’analyse de stabilité. Ce modèle est obtenu à partir du modèle NL– DL, on le nommera par la suite modèle NL–D-1 pour modèle Non–Linéaire Discret Inverse. Soit T la transformation non–linéaire, définie dans le § 2.5 (page 37), transformant le point du plan de phase Xk en son image Xk+1 . On définit la transformation inverse T −1 de T par T −1 (T (Xk )) = Xk . La transformation T −1 existe si et seulement si il existe un point unique Xk tel que T (Xk ) = Xk+1 . Le modèle est dit non–inversible s’il existe plus d’une solution ou s’il n’en existe pas. Dans le cas où plusieurs solutions existent le modèle est dit multiplement inversible. Pour inverser le modèle NL–DL, il faut inverser chaque transformation composite Tij . Il ne doit exister qu’un seul antécédent à chaque transformation composite Tij dans son domaine de définition Rij . 2.7. Modèle non–linéaire inverse 41 ν ν F?− T (.) F+? I F+? I F?− R+− RI +− T (.) R−− T (.) R++ Xq RI ++ Xq RI −− F−? T (.) R−+ I F−? F?+ τ Domaines de définition de la transformée T RI −+ I F?+ τ Domaines de définition de la transformée inverse T −1 Fig. 2.15 : Domaines et frontières des domaines définition des transformées inverses Les calculs de chaque inverse, figurant dans l’annexe D, donnent le résultat suivant : −1 T++ −1 T−− −1 T+− −1 T−+ ν =ν k k+1 − b τk+1 : 2 b τk+1 /2+a τk+1 −1 τ =1+τ k k+1 + 1−b τk+1 +νk+1 νk = νk+1 − b τk+1 √ : τ = −b−? − b2−? −4a−? c−− k 2a−? (2.82) ν =ν k k+1 − b τk+1 : 1 τ =1+τ k k+1 − 1−b τk+1 +νk+1 νk = νk+1 − b τk+1 √ : τ = −b−? − b2−? −4a−? c−− k 2a−? avec a a−? = , b−? = b τk+1 − νk+1 + a − 1 2 c−− = − b τk+1 2 + τk+1 (b − νk+1 − 1) − νk+1 c−+ = c−− + b τk+1 2 + a τk+1 2 On montre dans cette annexe que deux transformations composites sont inversibles alors que les deux autres transformations comportent deux inverses possibles. Ces deux solutions possibles sont alors dites éligibles car l’une d’entre elles doit être rejetée et l’autre doit être retenue. En effet, si on ajoute les conditions d’appartenance aux domaines de définition de chaque transformation composite – on inverse Tij uniquement pour Xk ∈ Rij – et les conditions de validité du modèle NL–DL, on peut alors rejeter une des deux solution. On obtient ainsi l’unique représentation des équations du modèle inverse (2.82). Chacune des transformées inverses Tij−1 doit être appliqué à Xk+1 si ce point appartient à l’ensemble image de Rij par Tij . Les images des domaines de définition Rij , notées RIij , sont déterminées dans l’annexe D en utilisant les propriétés topologiques de l’espace de phase. Les transformations composites étant des homéomorphismes (voir la définition en annexe D), l’image d’une région définie par ces frontières est alors la région définie par l’image de ces mêmes frontières [Vir]. On applique donc au point (ν, τ ) la transformée inverse Tij−1 lorsque ce point appartient au domaine de définition RIij figurant parmi les définitions suivantes : I RI++ : {(ν, τ ) | ν ≥ ν+? (τ ) et τ ≥ 0} I RI−− : {(ν, τ ) | ν ≤ ν?− (τ ) et τ ≤ 0} I RI+− : {(ν, τ ) | ν ≥ ν?− (τ ) et τ ≤ 0} I RI−+ : {(ν, τ ) | ν ≤ ν+? (τ ) et τ ≥ 0} avec (2.83) b τ τ k+1 k+1 I ν+? b+ −1−a (τk+1 ) = 1 + τk+1 2 1 I ν?− (τk+1 ) = + b τk+1 − 1 1 + τk+1 Les domaines de définition des transformées composites Tij et les domaines de leurs inverses Tij−1 sont représentées dans la fig. 2.15. 42 2.8 Chapitre 2. Modélisation Modèles hybrides Les systèmes hybrides ne sont pas des nouveaux types de systèmes. Ils existent au moins depuis le premier shishi odoshi ou plus récemment depuis les premières commandes à relais. Malgré cela, la première référence à ces systèmes connue est celle publiée par Witsenhausen dans [Wit66]. Ces travaux présentent un modèle d’un système formé d’états continus et discret interagissant. Le comportement dynamique du système a été défini et un problème d’optimisation a pu être formulé. La formulation et les techniques de simulation ont été structurées dans la thèse de Celier [Cel79]. Depuis ces dix dernières années, un gros intérêt est porté par les ingénieurs sur les systèmes à événements discrets. Ceci est probablement la conséquence des travaux portant sur la supervision d’un système par une commande à événements discrets. Les articles [Ram87] et [Won87] sont précurseurs, ils proposent une synthèse automatique de lois de commandes basées sur des langages formels supervisant un système hybride lui même modélisé par un langage formel. Les langages formels ont été développés par les informaticiens au cours de leur recherche fondamentale sur les ordinateurs universels. La machine de Turin a permis de formaliser les notions d’algorithmes et d’introduire les langages formels [Hop79]. Beaucoup de versions dégradées de la machine de Turin sont utilisées : les machines à états finis, les réseaux de Pétri [Dav92]. Ces modèles sont composés d’états discrets dont les valeurs changent lors d’événements asynchrones, ce qui leur vaut l’appellation d’événements discrets Dans les applications, ces événements sont souvent liées aux informations générées par des capteurs mesurant l’évolution de phénomènes continus. Le contrôleur agit alors généralement par un actionneur de type discret sur ce système continu. L’intérêt grandissant porté à ces applications a poussé les informaticiens et les automaticiens à considérer d’une manière globale les interactions entre les états continus du système et les états discrets d’une commande modélisée par un langage formel. Le comportement dynamique d’un système hybride peut être modélisé par des équations différentielles dont le second membre est discontinu. Ce genre d’étude a été originellement effectuée par les chercheurs Russes, dont Filippov qui a laissé son nom à des espaces différentiels définis par morceaux [Fil88]. Beaucoup de travaux ont été effectués sur la modélisation et l’analyse des systèmes hybrides à l’aide de langages formels. Ils diffèrent soit par le type d’application, soit par le type de langage formel utilisé. Un survol des techniques d’analyse de tels système est proposé dans [Bra98] [Ant00] [Dav01] [DeC00] et permet de s’initier rapidement à la théorie des systèmes hybrides. Les différents modèles sont discutés dans la section suivante. Un type particulier de modèle hybride est ensuite adopté et utilisé pour modéliser la BVP–IC. 2.8.1 Les différents types de modèles hybrides Il existe une multitude de définitions de modèles hybrides dans la littérature. Ces modèles sont plus ou moins généralistes et plus ou moins adaptés à la simulation ou à l’analyse. Le modèle doit représenter mathématiquement le comportement et les interactions entre les parties continues et discrètes du système. Certains modèles sont basés sur une représentation d’un système continu supervisé par un réseau de Pétri dont les transitions sont influencées par l’état continu [Pel88][Pel89][Pel93]. D’autres modèles utilisent des transformations interfaces pour établir une relation entre le vecteur d’état réel et des événements. Ces événements animent un automate dont l’état discret agit à son tour sur le système continu [Sti92][Lem93][Ner93]. Beaucoup de modèles définissent des ensembles de commutation dans l’espace de phase. Un événement est généré lorsque l’état continu pénètre dans une de ces régions de commutation. Le système discret stimulé par ces événements agit sur le système continu en le faisant commuter [Tav87][Wit66][Doğ94][Pet95][Len96]. Avec ce genre de modèle, l’état discret peut aussi dépendre d’événements extérieurs en entrée du système. Le modèle le plus généraliste est obtenu par Branicky dans [Bra95a][Bra94][Bra95b] en ajoutant des sauts de valeurs dans les variables d’état continues lors des commutations du système discret. Ces sauts d’état discontinus n’apparaissant pas dans la BVP–IC, nous utilisons une représentation hybride simple, à base de systèmes continus commutés dans certaines régions. Ce type de modélisation est proposée par Pettersson dans [Pet99][Pet95]. 2.8. Modèles hybrides 2.8.2 43 Définition du modèle hybride de Pettersson La définition de modèle hybride, présentée ici, est assez générale et convient à une analyse de stabilité. La caractéristique essentielle d’un système hybride est de contenir à la fois un vecteur d’état continu X(t) à valeurs réelles, et un vecteur d’état discret E(t) dont les valeurs appartiennent à un ensemble discret dénombrable M. Le terme de système hybride vient de la coexistence de ces deux types de variables. Le système continu est modélisé par une équation différentielle ordinaire, ayant la particularité de dépendre du vecteur d’état discret E(t). Le système discret est un système événementiel dont les événements provoquant un changement d’état discret sont issus soit d’une entrée discrète, soit d’un événement lié à l’état du système continu. Dans cette étude ces derniers événements sont liés à la traversée par le vecteur d’état de surfaces du plan de phase dites surfaces de commutation. Bien qu’un système hybride puisse être aussi bien à temps continu qu’à temps discret, nous limitons la définition suivante aux systèmes à temps continu. Définition 5 Un système hybride H = (Rn × M , Rp ×Σ , f , φ)est défini par : – un ensemble non–vide H = Rn × M appelé l’espace d’état hybride de H ; – un ensemble Rp×Σ appelé l’espace des entrées externes de H ; – des fonctions de transition f : Df → Rn et φ : Dφ → M où Ẋ(t) = f (X(t), E(t), u(t)) E + (t) = φ (X(t), E(t), u(t), σ(t)) 2.8.3 Modèle hybride continu Le système différentiel normalisé (2.20) et le système normalisé centré (2.26) peuvent être remaniés sous la forme de deux modèles hybrides. L’équation d’état du système continu du premier modèle hybride est de forme affine avec une variable d’état divergente, tandis que celle du second modèle est de forme linéaire sans variable d’état divergente. Modèle hybride de la BVP–IC normalisé En mettant les équations du système normalisé de la BVP–IC sous la forme hybride exposée précédemment, on obtient un modèle hybride que l’on note par la suite modèle Hyb–CN, signifiant modèle Hybride Continu Normalisé. Dans le système différentiel normalisé (2.20), on distingue deux variables d’état continues réelles x et y, formant le vecteur d’état X et une variable d’état discrète e prenant ces valeurs parmi l’ensemble M = {−1, 0, 1}. La fonction de transition de l’état continu f est donnée directement par le système (2.20) que l’on peut exprimer sous forme matricielle affine : ˙ = A X + C + B e(t) f X(t), E(t) = X 0 1 c ,C= avec A = 0 0 0 (2.85) a et B = b (2.84) et Df ⊆ Rn ×M×Rp Dφ ⊆ Rn ×M×Rp ×Σ E + (t) désignant l’état de E(t) immédiatement après l’instant t. Chaque élément du vecteur d’état X à valeurs réelles du système hybride H est appelé variable d’état continue. De même, chaque élément du vecteur d’état E à valeurs discrètes est appelé variable d’état discrète. De manière identique pour les entrées du systèmes, on appelle chaque élément de u une entrée continue du système, et chaque élément de σ une entrée discrète. La variable discrète e(t) correspond aux valeurs du courant injecté par le DPF. Cette variable e(t) prend les valeurs {−1, 0, +1} lorsque le courant de charge ic est égal à {−Ic , 0, +Ic }. Les commutations sont régies par le diagramme d’état ci–dessous : ↓ vref ↓ vref E(t) = 1 ↓ vref E(t) = 0 ↓ vb ↓ vb E(t) = −1 ↓ vb Fig. 2.16 : Diagramme d’état du DPF (↓ signifiant « front descendant de ») 44 Chapitre 2. Modélisation Les deux événements ↓ vref et ↓ vb doivent être définis à partir des variables d’état continues et des entrées du système : – ↓ vref , le front descendant du signal de référence de fréquence constante, apparaı̂t lorsque le temps normalisé traverse une valeur entière t mod 1 = 0 ; – ↓ vb , le front descendant du signal bouclé, apparaı̂t lorsque la phase normalisée traverse une valeur entière x mod 1 = 0. À partir de ces définitions des événements et du diagramme d’état, on déduit la fonction de transition de l’état discret φ dont la représentation analytique est la suivante : φ X(t), E(t) = e+ (t) min(1, e(t) + 1) si t mod 1 = 0 = max(−1, e(t) − 1) si x mod 1 = 0 e(t) sinon (2.86) Le modèle Hyb–CN établi pour une fréquence d’entrée constante, ne comporte pas d’entrée continue u(t), ni d’entrée discrète σ(t) : c’est un système hybride autonome. Il peut être vu comme un système différentiel continu affine, commandé par l’entrée discrète e(t) émanant d’un contrôleur séquentiel. On peut adopter une définition équivalente avec une transformation définie par morceaux : A X + C0 si e(t) = 0 ˙ f X(t), E(t) = X = A X + C1 si e(t) = 1 AX + C si e(t) = −1 −1 c−a c , C0 = avec C−1 = (2.87) −b 0 c+a et C+1 = b On obtient une représentation hybride basée sur la commutation entre trois champs de vecteurs définis par les trois systèmes différentiels. Le seul et unique point fixe d’un tel système est le point tel que y = 1 − c. La variable x représentant la phase normalisée de l’OCT est par nature divergente. Modèle hybride de la BVP–IC normalisé centré On peut éviter d’avoir une variable d’état divergente et mettre les équations du système continu sous la forme Ẋ = f(X(t), e(t)) avec f(0, e) = 0, ∀e ∈ M en utilisant le système différentiel normalisé centré (2.26). Le modèle ainsi obtenu est noté par la suite modèle Hyb–CNC, signifiant modèle Hybride Continu Normalisé Centré. On obtient ainsi le système hybride de forme linéaire commandé par une commande commutée tel que : Ẋ = A X + B e(t) 0 1 a et B = avec A = 0 0 b (2.88) Les commutations de la commande e(t) ∈ M sont toujours régies par le diagramme d’état de la fig. 2.16. Les deux événements ↓ vref et ↓ vb doivent être redéfinis avec les nouvelles variables : – ↓ vref , le front descendant du signal de référence de fréquence constante, apparaı̂t lorsque le temps normalisé traverse une valeur entière lorsque t mod 1 = 0 ; – ↓ vb , le front descendant du signal bouclé, apparaı̂t lorsque la phase normalisée traverse une valeur entière. Ayant par définition ϕref (t) ϕb (t) et en injectant la va2π 2 π = x(t) + leur de ϕref (t) dans cette équation, on obtient l’expression de la phase du signal bouclé ϕref (t0 ) suivante ϕ2b (t) + t. On peut, π = x(t) + 2π sans perte de généralité, considérer la phase initiale du signal de référence nulle et obtenir ainsi une expression de la date de l’événement (x + t) mod 1 = 0. La définition de la fonction de transfert φ de l’état discret devient : φ X(t), E(t) = e+ t min(1, e(t) + 1) si t mod 1 = 0 = max(−1, e(t) − 1) si (x + t) mod 1 = 0 e sinon (2.89) Comme dans le modèle Hyb–CN précédant, on peut exprimer ce système hybride sous une forme 2.8. Modèles hybrides 45 affine par morceaux : f X(t), E(t) = Ẋ = A X + C0 A X + C1 AX + C −1 0 1 −a , C−1 = avec A = 0 0 −b 0 a et C0 = , C+1 = 0 b e(t) = 1 Ẋ = f(X, 1) si e(t) = 0 si e(t) = 1 si e(t) = −1 e(t) = 0 Ẋ = f(X, 0) (2.90) Le système est alors vu comme trois champs différentiels affines parmi lesquels le système hybride commute en fonction de l’état discret. Cette représentation est illustrée dans la fig. 2.17 du paragraphe suivant. La variable d’état x n’est plus divergente car elle représente l’erreur de phase. Par contre il existe une infinité dénombrable de points fixes de coordonnées (k, 0) pour k ∈ N. Ce nombre k correspond au nombre de cycles de retard (k < 0) ou d’avance (k > 0) pris par l’oscillateur pendant la phase transitoire avant d’accrocher la phase du signal de référence. L’étude de stabilité se fera autour du point (0, 0) faisant preuve pour tout point (k, 0) dans un voisinage tel que la trajectoire ne perde plus de cycle (lorsque x ne traverse pas de valeur entière autre que k), c’est–à–dire, lorsque la boucle est accrochée. e(t) = −1 Ẋ = f(X, −1) Fig. 2.17 : Le système hybride évolue dans trois champs de vecteurs selon la valeur de l’état discret e(t) Dans l’état +1 et −1 le système est instable, tandis que dans l’état 0 le système est en stabilité simple sur l’axe des abscisses et instable en dehors. Ces trois champs de vecteurs sont représentés dans la fig. 2.18. y Champ de vecteur Ẋ = f(X, e = 0) 1.0 y 1.0 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 −0.8 x − x0 = y = y0 y 2 −y0 2 + ab (y − y0 ) 2b 2 2 0 − y −y + ab (y − y0 ) 2b x −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 y Champ de vecteur Ẋ = f(X, e = −1) Un exemple qualitatif de trajectoire du modèle hybride de la BVP–IC est représenté dans la fig. 2.17. La trajectoire suit, selon la valeur de l’état discret, un des trois champs de vecteurs jusqu’à ce qu’une commutation ait lieu. Après cette commutation, la trajectoire emprunte une autre ligne de l’un des deux autres champs de vecteurs et ainsi de suite. Pour chacun des trois champs de vecteurs on détermine analytiquement les trajectoires dans le plan de phase : x − x0 = 0 −0.2 −1.0 −1.2 Trajectoires dans le plan de phase lorsque e = +1 lorsque e = −1 lorsque e = 0 (2.91) Champ de vecteur Ẋ = f(X, e = 1) −1.0 −1.2 1.0 y 1.0 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 Exemples de trajectoires Convergeance vers (−1, 0) 0.2 0 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 −0.8 −1.0 −1.2 x −0.8 x −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 −1.0 −1.2 e = −1 e=1 Convergeance vers (0, 0) e=0 x −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 Fig. 2.18 : Les différents champs de vecteurs du système hybride (graphes du haut et graphe en bas à gauche) et deux exemples de trajectoire dans le plan de phase convergeant vers des points fixes différents (graphe en bas à droite) Pour construire une telle trajectoire il faut faire appel à un algorithme de simulation des systèmes hybrides, ce qui a été réalisé pour la BVP–IC en premier par Hedayat sans utiliser explicitement la notion de système hybride. 46 Chapitre 2. Modélisation 2.8.4 Discrétisation du modèle hybride L’analyse d’un modèle hybride continu peut se révéler difficile car ce système est à la fois continu et discret. La théorie des systèmes hybrides étant encore relativement jeune, elle n’offre pas de méthode d’analyse suffisamment générale pour apporter une solution à tous les problèmes formulés sous forme hybride continue. Il est parfois possible d’effectuer une discrétisation d’un tel modèle afin d’en ôter l’aspect continu. Une telle discrétisation consiste à calculer l’évolution des variables d’états continues et discrètes à des instants discrets, ceux–ci correspondent en général aux instants de commutations. Lorsque les trajectoires de l’état continu et les instants de commutations peuvent être déterminés analytiquement, on obtient un système de récurrences purement discret dont l’analyse peut être plus aisée. Ce système de récurrences est appelé modèle hybride discret par la suite dans le sens où ces équations d’états ne sont pas invariantes et dépendent des états discrets pouvant évoluer à chaque itération. X3 t = 3T X2 t = 2T X1 x La section de Poincaré est un procédé de discrétisation plus évolué décrit initialement dans [Poi99] pour analyser les trajectoires des corps célestes. On définit pour cela une hypersurface Πp dans l’espace de phase qui doit être de dimension entière immédiatement inférieure à celle de l’espace de phase (voir fig. 2.20). Lorsque la surface Πp est bien choisie, elle est transverse aux trajectoires du système. z y x Xk u Le procédé de discrétisation le plus courant, présenté dans la fig. 2.19, est l’échantillonnage ou la discrétisation périodique. Les variables d’états sont estimées à des instants périodiques t = k T où T est la période d’échantillonnage ou de discrétisation. y Section de Poincaré Xk+2 Xk+1 v Discrétisation périodique t périodique. Par contre l’intérêt est limité lorsqu’il existe des excitations externes ou internes qui sont apériodiques, comme dans les systèmes autonomes et les systèmes hybrides. t=T Fig. 2.19 : Discrétisation de période T d’un système continu Cette discrétisation paraı̂t naturelle lorsque le système est non–autonome et plus particulièrement lorsque ceci est dû à une excitation extérieure Πp e section Surface d Fig. 2.20 : Section de Poincaré dans un espace de dimension trois La succession de points Xi coupant l’hypersurface Πp dans un sens donné (le sens est indiqué par le signe du produit scalaire entre la tangente à la trajectoire et la tangente à l’hypersurface) constitue une suite numérique discrète appelée récurrence de Poincaré. Cette méthode de discrétisation présente le gros avantage de réduire la dimension de l’espace de phase, puisque la suite de points est exprimée par les coordonnées des points appartenant à l’hypersurface Πp . Dans l’exemple de la fig. 2.20 l’espace de phase (x, y, z) est réduit à la surface Πp . Les points de la récurrence sont exprimés dans le plan de phase (u, v) de dimension deux. Remarque 12 Le temps t peut être rajouté artificiellement dans le système d’équations : sa dynamique est définie par d(t) dt = 1. Ceci permet d’intégrer le temps dans l’espace de phase du système. 2.8. Modèles hybrides 47 On peut donc faire une discrétisation de période T en définissant une surface de Poincaré par t mod T = 0. Nous discutons dans la suite des différentes manières de sectionner l’espace hybride. 2.8.5 Section hybride Dans les systèmes hybrides, les événements du système discret sont aussi définis par une hypersurface de commutation dans le plan de phase continu et peuvent servir de section lors de la discrétisation. Ce type de discrétisation que l’on nomme discrétisation hybride peut être vu comme l’extension de la notion de section de Poincaré. La surface de section servant à discrétiser un système hybride peut, contrairement à la section de Poincaré, être définie dans l’espace hybride H entier et dépendre des états discrets de M. Cette extension offre la possibilité de traverser la surface de section du plan de phase continu dans le bon sens sans forcément itérer le modèle, comme le montre la fig. 2.21. Discrétisation du modèle hybride continu le long d’une séquence Lorsqu’une surface de section hybride est définie, il est difficile d’établir la trajectoire partant d’un point de la suite discrète au point suivant de cette suite car des événements peuvent intervenir et changer plusieurs fois l’allure de la trajectoire. Pour éviter de considérer toutes les éventualités possibles entre deux points de la récurrence, on suppose l’existence d’une séquence. Une séquence est définie lorsqu’un système répète une même séquence des états discrets le long d’une trajectoire. La fig. 2.22 illustre de manière assez abstraite une séquence de la BVP–IC où le courant de charge suit la séquence {+Ic , 0, −Ic, 0}. Π+0 X1 X2 Π0− f0 X3 Πh f+1 e=1 Xk+1 Π0+ e f−1 Xk X f0 ? Π−0 y e=0 x Fig. 2.21 : Section hybride dans un espace continu de dimension deux avec une variable discrète alternant entre deux valeurs. Dans cet exemple la frontière de section Πh (en traits discontinus) appartient au plan de l’état discret e(t) = 1. Si une trajectoire traverse cette frontière dans le plan discret e = 1, le point appartient à la suite numérique (points marqués en noir). Si la trajectoire traverse cette frontière dans le plan discret e = 0, le point n’appartient pas à la suite discrète (points encerclés), on traverse alors la frontière sans itérer le modèle discret. La discrétisation hybride ne réduit pas systématiquement la dimension de l’espace de phase continu, par contre elle permet d’éliminer une ou plusieurs variables d’état discrètes. Fig. 2.22 : Un exemple de séquence de la BVP–IC La surface de section est alors définie par l’événement menant à l’élément initial de la séquence et dont l’état discret au moment de cette commutation est celui du dernier élément de la séquence. On discrétise alors le système en considérant l’évolution d’un état continu Xk de cette section vers l’état continu Xk+1 de cette même section lui succédant à la fin de la séquence. Dans l’exemple de la fig. 2.22, on itère le modèle lorsque le système retourne dans l’état +. La surface de section Π0+ est définie dans l’espace de phase continu par la relation t mod 1 = 0 et e(t) = +1. La surface de commutation Π−0 est définie par t mod 1 = 0 et e(t) = 0. Une section de Poincaré simplement définie par la surface t mod 1 = 0 donnerait lieu à une discrétisation différente de celle proposée par la 48 Chapitre 2. Modélisation section hybride. En effet, on effectuerait une itération sur la section Π−0 (point X ? de la figure) car sa définition est identique à celle de Π0+ à l’état discret près. Ce genre de discrétisation a été appliquée par Ueta dans [Kou99][Uet01][Kou02] sur un circuit dont les équations sont très proches de la BVP– IC. Ces travaux proposent une méthode d’analyse de la stabilité d’une séquence. Dans le circuit étudié par Ueta la discrétisation n’offre pas de solution analytique et toute l’analyse est basée sur l’estimation numérique du jacobien de la transformation discrète. Cette méthode peut donc être appliquée analytiquement sur la BVP–IC du second ordre et numériquement sur celle du troisième ordre. Ce type de modèle est noté modèle Hyb.–Séq. par la suite. La supposition de l’existence d’une séquence est une hypothèse forte qui peut être difficile à vérifier. On peut envisager de calculer toutes les trajectoires possibles entre deux sections hybrides du modèle, mais les différents cas possibles se multiplient et rendent très complexe l’expression de ces trajectoires. Une solution intermédiaire consiste à envisager les séquences possibles dans un certain voisinage du point de fonctionnement. On réduit ainsi la quantité d’événements pouvant apparaı̂tre et la complexité des équations au prix d’une validité du modèle moins étendue. 2.8.6 Discrétisation périodique du modèle Hyb–CNC On effectue une discrétisation périodique du système en calculant la valeur des variables d’états aux instants tels que t mod 1 = 0. Ces instants correspondent aux fronts actifs du signal d’entré dont la fréquence est considérée constante et égale à l’unité. En ajoutant la phase du signal d’entrée ϕref dans le vecteur d’état continu du modèle Hyb– CNC, on peut définir une surface de section par la ϕ (t) relation ref mod 1 = 0 quel que soit l’état dis2π cret. Cette section de Poincaré permet ainsi d’effectuer une discrétisation périodique du système. L’avantage d’une telle section est de permettre de discrétiser le système avec des signaux en entrée dont la fréquence n’est pas constante. Ce type de section est utilisé dans le § 3.10 (page 94) pour optimiser le rejet des bruits en entrée. Lorsque la période T du signal d’entrée est constante, on obtient un modèle discret purement périodique. L’écriture des équations de ce modèle oblige à envisager toutes les séquences possibles apparaissant entre deux événements du signal d’entrée. Ce problème se simplifie si l’on reste dans un voisinage proche du point fixe. Le nombre de séquences possibles se réduit alors à quatre cas de figures. On obtient ainsi un modèle analytique non–linéaire défini par morceaux strictement équivalent au modèle NL–DL décrit dans le § 2.5 (page 37). En exprimant ce modèle avec le vecteur d’état continu X du modèle Hyb–CNC, les équations existent mais sont complexes. Le modèle NL–DL opère à cette discrétisation mais utilise d’autres variables d’état qui simplifient grandement les équations tout en conservant le jeu de paramètres réduits a et b. Le modèle NL–DL est donc une expression analytique simple de la discrétisation périodique du modèle Hyb–CNC que l’on note modèle Hyb.–DL pour modèle hybride discret local. La linéarisation du modèle NL–DL autour du point de fonctionnement, notée modèle NL–DLé, peut être effectuée sur le modèle Hyb.–DL. Ce modèle hybride discret linéarisé, noté modèle Hyb.– DLé, est utilisé dans le chapitre suivant pour établir une preuve de stabilité sans faire d’approximation sur les séquences. Le modèle NL–DL et le modèle Hyb.–DL excluent les cas où un événement apparaı̂t sans modifier l’état discret du système. Ceci apparaı̂t dans deux cas de figure : – un front du signal d’entrée se présente alors que le système est déjà en train de donner une impulsion de courant positive ; – un front du signal bouclé se présente alors que le système est déjà en train de donner une impulsion de courant négative. On observe ce phénomène lorsque l’erreur de phase est suffisamment grande, notamment pendant les transitoires. Le domaine de validité limité aux faibles erreurs de phase peut être étendu en redéfinissant la section du modèle Hyb–CNC de manière à ignorer les événements inactifs. 2.8.7 Discrétisation quasi–périodique du modèle Hyb–CNC On peut prendre en compte les événements inactifs et modifier les expressions analytiques de la récurrence. La discrétisation ignore alors certains événements du signal d’entrée qui ne provoquent pas de changement d’état. 2.8. Modèles hybrides 49 La section hybride est donc définie par la surface t mod 1 = 0 du plan de phase continu et par e(t) = 0 ou e(t) = −1 dans le plan de phase discret. Les événements du signal d’entrée ne provoquent pas de changement d’état lorsque le système est déjà en train de donner une impulsion positive de courant (e(t) = +1). Les équations du modèle NL–DL doivent être modifiées de manière à prendre en compte les événements inactifs. Les événements inactifs du signal d’entrée ne modifient que l’expression (C.8) de τk+1 du cas « + - ». Cette expression devient alors : τk+1 = τk −dτk e+toct = τk −dτk e+ 1 (2.92) 1 + νk Les événements liés au signal bouclé, définis par x mod 1 = 0, sont plus difficiles à prendre en compte. L’état discret ne change pas quand cet événement apparaı̂t lorsque le système donne déjà une impulsion de courant négative. Il faut intégrer les fronts inactifs de vb dans le calcul de la période de l’OCT toct . Pour cela, il suffit de remarquer que les périodes inactives devant être prises en compte apparaissent uniquement pendant les impulsions négatives de durée −τk (la valeur −τk est bien une durée positive car τk est négatif lors d’une impulsion de courant négative). Pendant cette impulsion, la phase normalisée de l’OCT atteint une valeur xδt qui est connue : xδt −τk Z = (1 + νk − a − b τ ) dτ = 0 b 2 (2.93) τk2 + (1 + νk − a) τk On détermine alors toct de telle sorte qu’à l’instant tk + τk + toct la phase normalisée soit l’entier immédiatement supérieur : dxδt e. L’expression (C.14) de τk+1 change pour le cas « - - » et devient : τk+1 = dxδt e − xδt −1 1 + νk (2.94) Pour le cas « - + » il suffit de remplacer la valeur de c−+ dans l’expression (C.11) par : c−+ = dxδt e − xδt (2.95) Le domaine de validité de ce modèle est ainsi étendu à toutes les séquences possibles. C’est pourquoi il est qualifié de modèle non–linéaire discret global (modèle NL–DG). Par contre ce modèle perd son aspect périodique pendant les phases transitoires puisque des événements du signal d’entrée sont ignorés. L’analyse de stabilité d’un tel modèle pose problème à cause de ses nombreuses non–linéarités. Il faut pour pouvoir analyser ce modèle le linéariser dans un voisinage du point fixe, ce qui enlève alors à ce modèle sa globalité. Bien que ce modèle ne soit pas utilisé dans ce mémoire, il est présenté ici dans l’espoir d’offrir à un lecteur avisé un point de départ pour une analyse de stabilité globale. 2.8.8 Simulation des modèles hybrides La simulation des modèles discrets précédents ne pose pas de problème spécifique. Il suffit pour cela d’itérer la récurrence, qu’elle soit analytique ou non, et de mémoriser les variables d’états ainsi que la date pour laquelle elles ont été calculées. Les simulations des modèles hybrides continus posent des problèmes spécifiques liés à l’interaction entre les états discrets et les états continus. Seuls quelques systèmes hybrides admettent des solutions analytiques. Les systèmes hybrides linéaires ou affines peuvent être résolus analytiquement, mais les efforts pour trouver les solutions augmentent avec l’ordre de l’espace continu, le nombre de variables discrètes et la complexité des frontières de commutations. En général, une solution approchée doit être trouvée. Comme pour les systèmes non–linéaires, les équations différentielles peuvent être résolues par des méthodes numériques standard, que l’on peut trouver dans [Lam91], combinées avec des algorithmes détectant et changeant les états discrets, modifiant ainsi le flot différentiel. Ces méthodes numériques sont implantées sur un calculateur et sont appelées des simulations. Une multitude d’algorithmes utilisant ces méthodes numériques sont disponibles. Ils permettent de représenter rapidement n’importe quel système hybride et de le simuler. Les plus connus sont Simulink combiné avec Stateflow [Mat97a][Mat92] ; Scicos (l’équivalent en logiciel libre) [INRa][INRb] ; Omola [And94] ; Dymola [Elm93] ; Modelica [Mat97b] et HyBrSym [Mos97]. Une étude comparative de ces logiciels est présentée dans [Mos99]. Il existe d’autres logiciels capables d’effectuer de telles simulations, notamment les logiciels plus adaptés aux applications de l’électronique comme H–Spice et Verilog–A. 50 Chapitre 2. Modélisation Le modèle Hyb–CNC étant un modèle affine en l’état, sa simulation analytique est donc possible. De plus il n’existe qu’une seule variable discrète et les frontières de commutations sont simples, ce qui rend les expressions analytiques très abordables. Il est donc possible d’effectuer des simulations analytiques du modèle discret de la BVP–IC. Ces simulations analytiques ont de gros avantages face aux logiciel énoncés précédemment : précision et rapidité. Simulation analytique d’un modèle hybride La simulation analytique d’un modèle hybride itère les variables d’états continues et discrètes d’événement en événement, comme le montre les points pleins sur la fig. 2.23. X(t) Xk+1 fi ϕ X (X k +1 ) , tk ϕX , t k+1 Xk , k (X Ek , E k +1 ∆p ) tk t tk+1 tk+2 Fig. 2.23 : Différence entre simulations hybrides analytiques (trait plein et points pleins) et numériques (pointillés et points encerclés) Pour cela on utilise un algorithme qui, à partir d’un instant tk où les variables d’état sont connues, détermine l’état du système à l’instant tk+1 où un événement intervient. Cette simulation nécessite une méthode appropriée que l’on peut décomposer en quatre étapes : – calcul des dates ti des événements pouvant se produire ; – sélection de l’événement arrivant en premier, on note sa date tk+1 ; – calcul des variables d’états continues à l’instant tk+1 , on les notes Xk+1 ; – calcul des variables discrète immédiatement après la commutation ayant lieu à l’instant tk+1 , notées Ek+1 . Il peut arriver, au cours d’une itération, qu’un ou plusieurs événements ne puissent pas se pro- duire. Leurs dates sont alors fixées à l’horizon de simulation. Ceci permet de ne pas prendre en compte ces événements car ils arrivent en fin de simulation. Lorsque les frontières de commutation sont simples, les dates ti des prochains événements possibles peuvent être exprimées analytiquement en fonction de l’état Xk et de tk . On peut ramener la simulation du modèle hybride continu à celle du modèle hybride discret suivant : tk+1 = min (ti (Xk , Ek )) i∈E Xk+1 = f (Xk , Ek , tk+1 ) Ek+1 = φ (Xk , Ek , tk+1 ) (2.96) On obtient une récurrence autonome permettant de simuler mais aussi d’analyser le système. Ce genre de modélisation et d’analyse a été étudié et appliqué aux redresseurs à thyristors par Mira dans [Mir90]. Les récurrences autonomes de la BVP–IC du deuxième et troisième ordre ont été établies sous forme d’algorithme par Hedayat. Cette modélisation, ou simulation analytique, est présentée dans la section suivante. Lorsque les frontières de commutations sont compliquées, les dates ti des événements doivent être calculées par un algorithme numérique. L’algorithme de Newton, ou un algorithme plus perfectionné, est utilisé pour trouver la solution implicite de la relation ϕX (Xk , Ek , ti ) = fi définissant la date ti . On parle dans ce cas de simulation hybride semi–analytique. Comme le montre la fig. 2.23 la modélisation analytique ou semi–analytique permet de repérer les instants de commutations avec une précision maı̂trisée (points pleins de la figure) contrairement aux simulations numériques (points encerclés). En effet le pas de simulation ∆p de la simulation numérique permet de passer au–delà de la frontière de commutation fi , engendrant une erreur qui peut être gênante. Remarque 13 Les simulateurs numériques actuels proposent cependant des méthodes pour affiner le pas de simulation autour des commutations (par exemple le bloc « hit zero crossing » permet dans Simulink de forcer une précision autour d’un événement). L’inconvénient majeur des méthodes numériques est le nombre important de pas effectués qui sont inutiles lorsque la trajectoire du système ne subit pas de variations importantes. 2.9. Modèles événementiels 51 Bien que les méthodes à pas variables tendent à diminuer ce défaut, le temps de calculs des différents pas reste bien supérieur à celui d’un calcul analytique direct suffisamment simple. La rapidité des simulations hybrides, analytiques pour la BVP–IC du deuxième ordre et semi– analytiques pour le troisième ordre, permettent de calculer les valeurs optimales des paramètres du filtre par force brute. Le critère et la technique d’optimisation sont présentés dans le § 3.10 (page 94). Les simulations analytiques de la BVP–IC sont présentées dans la section suivante sous la forme de récurrences autonomes que l’on appelle par la suite modèles événementiels. 2.9 La phase w est ajoutée dans le système d’équation car elle permet de modéliser les modulations de fréquence, le bruit en entrée, etc. Un événement du signal d’entrée se produit lorsque la phase normalisée traverse une valeur entière : w mod 1 = 0. À partir de l’instant tk , la date normalisée tr du prochain front actif du signal de référence vref est la date pour laquelle la phase w atteint la valeur entière qui lui est immédiatement supérieure. L’instant tr est donc défini par la relation suivante : Modèles événementiels Les travaux présentés par Hedayat établissent les équations de la BVP–IC du second ordre. La méthode de simulation exposée dans la section précédente a été utilisée sans employer le formalisme de la modélisation hybride. Nous reprenons ces travaux en utilisant les variables réduites du modèle Hyb–CNC pour la BVP–IC du deuxième ordre. On nomme par la suite le système d’équations autonomes obtenu modèle événementiel, noté modèle Évé. Les équations normalisées de la BVP–IC du troisième ordre sont ensuite utilisées pour déduire le modèle événementiel du troisième ordre. On obtient un système d’équation dont la date d’un événement est la solution implicite d’une relation. L’algorithme de Newton est utilisé pour trouver numériquement cette solution. Ce modèle est nommé par la suite modèle événementiel du troisième ordre, noté modèle Évé.–3. 2.9.1 Lorsque le signal d’entrée est de fréquence constante, la phase normalisée w est identique, à la phase initiale près, au temps normalisé. On considère sans perte de généralité que cette phase initiale est nulle. Modèle événementiel du second ordre Les trajectoires ϕX (Xk , Ek , tk ) des variables continues x et y s’obtiennent en intégrant les équation différentielles du modèle Hyb–CNC et en ajoutant la phase normalisée du signal d’entrée w : x(t) = xk + (yk + ek a) t − tk y(t) = yk + ek b t − tk w(t) = wk + t − tk b t − tk + ek 2 2 (2.97) tr : w(tr ) = dwk e ⇒ tr = tk + dwk e − wk (2.98) De même, un événement du signal bouclé vb apparaı̂t lorsque sa phase normalisée x + t (puisque 2π x = ϕb −ϕref en variables réelles) traverse la valeur entière qui lui est immédiatement supérieure. À partir de l’instant tk , la date tb du prochain événement du signal bouclé est alors définie par la relation x(tb ) + tb = dxk + tk e. Sa résolution donne les deux solutions suivantes : tb = t k + dxk +tk e−xk yk +1 si ek = 0 (2.99) √ −(yk +1+ek a)± (yk +1+ek a)2 +2 ek b (dxk +tk e−xk ) ek b sinon Lorsque ek 6= 0, il existe deux solutions. Une de ces solutions est rejetée car elle correspondrait à une date antérieure à tk , ce qui violerait le principe de causalité. En remarquant que le signe de b (dxk e − xk ) est toujours positif, on exclut la solution comportant le signe moins devant la racine. Le pas de simulation suivant tk+1 est donc la date du premier des deux événements déterminée par min(tr , tb ). En ajoutant l’équation (2.89) de l’état discret du modèle Hyb–CNC on obtient le modèle Évé. sous 52 Chapitre 2. Modélisation la forme d’une récurrence autonome : tk+1 = min(tr , tb ) xk+1 = xk + (yk + ek a) (tk+1 − tk ) + 2 ek b (tk+12−tk ) y = yk + ek b (tk+1 − tk ) k+1 wk+1 = wk + (tk+1 − tk ) (2.100) min(1, e + 1) k lorsque tk+1 = tr ek+1 = max(−1, ek − 1) lorsque t = tb k+1 avec tr = tk + dwk e − wk , et tb = t k + dxk +tk e−xk yk +1 −(yk +1+ek a)+ si ek = 0 √ (2.101) (yk +1+ek a)2 +2 ek b (dxk +tk e−xk ) ek b sinon Remarque 14 Dans l’expression de tb pour ek = −1, le terme sous la racine peut être négatif. Cela correspond physiquement au cas où lors d’une impulsion négative la tension à l’entrée de l’oscillateur diminue tellement que la fréquence de l’OCT serait négative. Il s’agit du phénomène de « collage » ou de saturation de l’oscillateur dont la sortie reste constamment bloquée. Lorsque le terme sous la racine est négatif, on donne à tb la date de la fin de simulation. Ceci permet de continuer la simulation dans le cas où un front du signal d’entrée apparaı̂t suffisamment tôt pour empêcher le collage de l’OCT. Si la fréquence de l’OCT devient négative, le principe de causalité ne sera pas respecté, on arrête alors la simulation lorsque y(t) + 1 + ek a < 0. 2.9.2 Modèle événementiel du troisième ordre Le modèle événementiel du troisième ordre, que l’on nomme modèle Évé.–3, est déterminé en remplaçant les équations du système continu du modèle Hyb–CNC par les équations du troisième ordre (2.33). Le système s’écrit alors sous la forme de la récurrence autonome (2.102). Les événements et l’équation de transition de l’état discret restent inchangés, par contre l’expression de tb ne peut plus être analytique, on note son expression transcendantale teb . La date de l’événement du signal bouclé teb est définie par la relation implicite xk teb − teb = dxk − tk e. Itération numérique du modèle L’itération du modèle se fait en déterminant la valeur de la fonction transcendantale teb x, y, z, w, t , induite par la relation précédente, à l’instant tk . Pour cela on isole l’expression x(t) du système et on cherche la racine selon t de la fonction fimp (x, y, z, w, t) = x(t) − t − dxk − tk e avec un algorithme numérique. Plusieurs méthodes numériques peuvent être utilisées pour calculer la valeur de la fonction transcendantale teb . On trouve un bref exposé de ces différentes méthodes adaptées à ce problème dans [Mir94], et de manière complète et plus générale dans [Dem91][Hen64]. Les problèmes liés à ces méthodes sont principalement les critères et la rapidité de convergence. Le choix de la méthode de Newton–Raphson permet de profiter de la connaissance analytique de la dérivée de la fonction implicite fimp . Cet algorithme est ainsi plus rapide et plus robuste ; cependant la convergence de l’algorithme n’est pas garantie et dépend fortement du point d’initialisation, comme le montre la fig. 2.24. L’algorithme de Newton–Raphson. Cet algorithme bien connu consiste à approcher la fonction par sa tangente. À partir d’une abscisse initiale t0 que l’on nomme « pari initial », on recherche l’intersection de la tangente en ce point avec l’axe des abscisses (voir la vignette en bas de la fig. 2.24). Cette intersection donne l’abscisse du point suivant t1 à partir duquel une nouvelle approximation est faite. Comme le montre la fig. 2.24, si le pari initial est trop éloigné de la solution, l’algorithme peut diverger (cas de l’initialisation avec td ) ou converger vers un cycle limite (cas de l’initialisation par t?0 ou t?1 ) ou même observer un comportement chaotique [Mir94] (non représenté). Des critères de convergence existent et peuvent être trouvés dans les ouvrages cités précédemment. Ces critères imposent l’existence d’une solution unique dans l’intervalle où la récurrence opère, 2.9. Modèles événementiels 53 tk+1 = min(tr , teb ) 2 t −tk τn − τ1 (τk+1 − τk ) − k+1 τn + [(z − y ) − e pτ ] τ − t + τ e x = x + (τ − τ ) x + e p k k k 1 k+1 k n k+1 k k+1 k k k 2 τ1 t −tk τ n − k+1 τn y = y + e p (t − t ) + [(z − y ) − e p τ ] 1 − e k+1 k k k+1 k k k k 1 τ1 t −tk τ − τ1 − k+1 τn zk+1 = zk + ek p (tk+1 − tk ) + n [(z − y ) − e pτ ] 1 − e k k k 1 τ1 wk+1 = wk + tk+1 − tk min(1, e + 1) k lorsque tk+1 = tr (2.102) e = k+1 max(−1, e − 1) k lorsque tk+1 = teb r avec t = tk + dwk e − wk et teb tel que xk (teb ) − teb = dxk − tk e fimp (t) ils excluent aussi la présence de points d’inflexion dans cet intervalle et garantissent une dérivée suffisamment grande en valeur absolue pour éviter la divergence. t?1 La vérification de ces critères par la fonction fimp n’est pas traitée dans ce mémoire, mais pourrait être développée. Hedayat dans ces travaux propose de faire un pari initial suffisamment proche de la solution en approchant la fonction implicite fimp par la fonction explicite issue du second ordre. La valeur t0 du pari initial est calculée à partir de la date tb établie dans la relation (2.99) pour une BVP–IC du deuxième ordre ayant les mêmes paramètres à l’exception de la valeur de la capacité du filtre C. Cette valeur est égale à la somme C1 + C2 des capacités du filtre du second ordre de manière à obtenir une constante de temps équivalente. Il suffit donc d’itérer, à partir de cette valeur tb , la récurrence suivante tant que la condition d’arrêt fimp (teb k ) < n’est pas atteinte : teb k+1 fimp teb k = teb k − 0 fimp teb k avec teb 0 = tb (2.103) pour C = C1 + C2 La valeur de fixe l’erreur absolue tolérée sur le calcul de la date de l’événement. t t?0 td fimp (t) t0 t1 t2 t3 t teb Fig. 2.24 : Convergence de l’algorithme de Newton– Raphson. En haut, une initialisation divergente td et un cycle limite t?i ; en bas un agrandissement de la zone entourée par les petits tirets montrant une initialisation convergente t0 . 54 2.10 Chapitre 2. Modélisation Récapitulatif Beaucoup de modélisations de la BVP–IC du deuxième et du troisième ordre ont été proposées dans le passé ainsi que dans ce mémoire. Dans la majorité des cas des approximations ont été faites pour obtenir les équations imposant un domaine de validité plus ou moins restreint. L’approximation la plus classique consiste à considérer que le système est proche de son point de fonctionnement permettant généralement de linéariser les équations autour de ce point. On parle dans ce cas de modèle local en opposition au modèle global où le domaine de validité englobe l’espace de phase. Ce domaine de validité est défini dans l’espace de phase du système. Mais la BVP–IC est un circuit hybride dont la modélisation complète nécessite un espace hybride constitué d’un espace de phase continu et d’un espace de phase discret. Une approximation parfois utilisée pour ce type de système consiste à imposer certaines séquences de commutation de l’état du DPF (comme dans les modèles linéaires discrets) et/ou à considérer que cet état du DPF suit un ensemble de certaines séquences (comme la discrétisation le long d’une séquence). Il est alors difficile d’établir un domaine de validité dans l’espace de phase garantissant ces suppositions. Pour obtenir ce domaine de validité on définit l’espace Stout de toutes les séquences générées par l’espace des états discrets et par S l’ensemble Stout privé des séquences ne pouvant être produites par le circuit lorsqu’il en existe. Le domaine de validité peut être alors exprimé dans un espace hybride composé de l’espace des séquences possible S et de l’espace de phase continu. Ceci nous permet de définir deux types de voisinages liés aux deux types d’approximations précédentes : l’un dans l’espace continu où se déroulent les trajectoires ; l’autre dans l’espace des séquences où une séquence de l’état discret du système correspond à un point de cet espace. Les approximations dans l’espace de phase continu conduisent aux définitions suivantes. Définition 6 On qualifie de : – global en trajectoire un modèle dont le domaine de validité inclut l’espace de phase continu ; – semi–global en trajectoire un modèle dont le domaine de validité inclut un voisinage relativement large de la projection du point de fonctionnement dans l’espace de phase continu ; – local en trajectoire un modèle dont la projection du domaine de validité sur l’espace de phase continu est incluse dans un ensemble de points adhérents à la projection du point de fonctionnement dans ce même espace de phase. Les approximations dans l’espace des séquences caractérisent les définitions suivantes. Définition 7 On qualifie de : – global en séquence un modèle dont le domaine de validité inclus l’espace des séquences possibles S ; – local en trajectoire un modèle dont la projection du domaine de validité sur Stout est strictement incluse dans S ; – négligé en séquence un modèle dont le domaine de validité ne peut pas être projeté sur l’espace des séquences Stout . Ces notions de globalité en séquence ou en trajectoire permettent, en ajoutant la notion de système à temps discret et à temps continu, de classifier l’ensemble des modèles présentés dans ce mémoire. Cette classification est présentée dans la fig. 2.25. On obtient en bas de cette figure les acronymes des modèles classés en fonction des types d’approximations effectuées. L’ensemble des modèles présentés dans ce mémoire est résumé ici : – le modèle LC – modèle linéaire continu obtenu en calculant le courant de charge moyen et en négligeant les séquences des états discrets ; – le modèle LDδ – modèle linéaire discret obtenu en approchant les impulsions de courant de charge par une impulsion de Dirac apparaissant à chaque période du signal d’entrée ; – le modèle D–Brut – modèle discret non– linéaire obtenu en approchant les impulsions de courant de charge par une impulsion de largeur variable débutant à chaque période du signal de référence ; – le modèle LD–Éch. – modèle linéaire discret obtenu en échantillonnant à la période du signal d’entrée le modèle LC ; – le modèle Hyb–CN et le modèle Hyb–CNC – modèles hybrides continus obtenus à partir des équations du système continu et en définissant les frontières de commutations dans le plan de phase ; – le modèle Hyb.–Séq. – modèle hybride discret obtenu en sectionnant le long d’une séquence particulière le modèle Hyb–CNC ; 55 2.10. Récapitulatif À séquence négligée e liq u im p Modèles de la BVP–IC Hyb–Séq NL–DG Quasi–Périodique À temps discret Local en Séquence Semi–Global en trajectoire Global en Séquence À temps discret NL–DL |θe | < T NL–DLé Hyb–DL À temps discret Global en séquence LD–Éch Échantillonné Local en trajectoire À temps discret par approchée Impulsion Impulsion Gardner D–Brut Hyb–DLé Modèle récrit en variable réduite à partir d’un modèle déjà existant Modèle établi di↑éremment pour le second et pour le troisième ordre Modèle établi pour le deuxième ordre uniquement Modèle établi pour le deuxième et troisième ordre LD–δ Dirac de À temps continu LC implique Global en trajectoire À temps discret Trajectoire numérique Hyb–Num Global en Séquence Évé Trajectoire Analytique Évé–3 Simulations du modèle Hyb–C À temps continu Hyb–C Fig. 2.25 : Classification des modèles présentés dans ce mémoire. Les modèles sont classés de gauche à droite en fonction du type d’approximation conduisant à ces modèles 56 Chapitre 2. Modélisation – le modèle NL–DL et le modèle Hyb.–DL – modèles hybrides discrets obtenus en discrétisant par la période du signal d’entrée le modèle Hyb–CNC ; chaque modèle est local en trajectoire ce qui rend des séquences impossibles (le modèle est ainsi global en séquence) ; – le modèle NL–DLé et le modèle Hyb.–DLé – modèles hybrides discrets obtenus en linéarisant le modèle NL–DL ou le modèle Hyb.–DL, ces modèles diffèrent seulement par leurs variables d’état continues ; – le modèle NL–DG – modèle hybride discrétisé par les fronts actifs de la période du signal d’entrée (section hybride des trajectoires), toutes les séquences sont alors prises en compte ; – le modèle Hyb.–Num. – modèle hybride discret numérique, obtenu par une simulation numérique des trajectoires continues et des événements discrets (technique de simulation de SciCos, Simulink, etc.) : – le modèle Évé. – modèle hybride discret analytique issu de la simulation du modèle Hyb– CNC. Ces simulations calculent analytiquement les valeurs des états continus à chaque événement ; les dates des événements sont déduites analytiquement des trajectoires pour le modèle du second ordre et numériquement pour le modèle d’ordre trois modèle Évé.–3 (simulation semi–numérique du modèle continu). Les simulations de ces différents modèles sont confrontées dans la section suivante. 2.11 Quelques simulations 2.11.1 Simulations locales en trajectoire On peut vérifier et comparer un modèle local en trajectoire en initialisant la simulation dans un état très proche du point de fonctionnement. Dans les simulations suivantes l’erreur de phase initiale est choisie nulle et la tension normalisée est légèrement augmentée de 10−3 par rapport à sa valeur en régime stabilisé 1. Ceci permet de comparer notamment le modèle LC avec les modèles discrets. Les simulations (non présentées) des modèles p faites pour (b) 1, ce qui correspond à la condition de validité du modèle LC ωn ωref , montrent que ce modèle donne des résultats très comparables aux modèles discrets LDδ, D–Brut et LD–Éch. On remarque que le modèle LD–Éch. ne donne pas les mêmes résultats que les autres modèles discrets. De nombreuses simulations de ce modèle montrent des écarts importants par rapport au modèle exact (le modèle Évé.). Cette différence peut aller jusqu’à l’instabilité du modèle LD–Éch. La représentation de la BVP–IC par un système continu échantillonné est trop éloignée de la forme réelle du courant de charge. Cette modélisation ne sera pas analysée par la suite en raison de sa très faible précision. Aucun écart entre le modèle LDδ et le modèle D–Brut n’a pu être mis en évidence au cours des simulations, c’est pourquoi nous ne présentons que les trajectoires du modèle LDδ. Lorsque la dynamique du système devient comparable à celle du signal d’entrée, pour une valeur de b commensurable à l’unité, le modèle continu et les modèles discrets s’éloignent du comportement réel. 1.02 modèle LC a = 0, 19 b = 3, 7 1.01 Les nombreux modèles sont présentés dans la classification précédente basée sur le type des approximations effectuées pour obtenir ces modèles. Il serait long et fastidieux de comparer chaque modèle dans une multitude de configurations différentes et de vérifier le domaine de validité de chacun. Ceci reviendrait à effectuer une analyse empirique de la dynamique des différents modèles. L’analyse de ces modèles est traitée dans le chapitre suivant. Nous présentons dans cette section quelques simulations significatives tendant à valider ou invalider le comportement des modèles. 1.00 0.99 modèle Évé. 0.98 modèle LDδ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Fig. 2.26 : Le modèle LC donne des résultats précis en comparaison du modèle LDδ qui est instable Les modèles discrets pourtant censés être plus précis que le modèle LC dans cette situation ne le sont pas dans tous les cas. La fig. 2.26 montre un 2.11. Quelques simulations 57 cas où le modèle LC est plus proche du comportement réel car le modèle LDδ devient instable. Pour une dissipation faible (a = 0, 001) la fig. 2.27 montre que le modèle LDδ est cette fois–ci plus précis car il prend mieux en compte les événements discrets. 1005e−3 a = 0, 001 b = 3, 7 modèle LC 1003e−3 1001e−3 999e−3 2.11.2 Simulations globales en trajectoire En initialisant les simulations dans un état éloigné du point de fonctionnement, on peut mettre en évidence les qualités des modèles globaux en trajectoire. Dans les simulations suivantes la phase initiale et la tension normalisée aux bornes de la capacité sont choisies nulles. Les modèles Hyb–DL, NL–DG et NL–DL ne sont pas présentés car ils donnent des résultats très similaires au modèle Hyb.–Num. et au modèle Évé. La fig. 2.29 confronte le modèle LDδ avec les modèles exacts, elle montre la phase transitoire de la trajectoire suivie de la phase de stabilisation. 997e−3 y modèle LDδ −1 3 modèle Évé. 7 11 15 19 2.0 23 27 31 Fig. 2.27 : Le modèle LDδ est beaucoup plus précis que le modèle LC modèle Évé. accrochage 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 La fig. 2.28 illustre les cas où l’on se trouve près du point de fonctionnement alors que les modèles linéaires ne sont pas exacts. 0.8 0.6 0.4 0.2 1.4 modèle LC convergent modèle LDδ t 0 0 1.2 20 Transitoire 1.0 40 60 80 100 120 Comportement linéaire Fig. 2.29 : Les modèles linéaires ne peuvent pas représenter correctement la phase transitoire 0.8 0.6 modèle Évé. a = 0, 5 b = 4, 5 modèle LDδ divergent 0.4 −1 3 7 11 15 19 23 27 31 Fig. 2.28 : Les modèles linéaires ne sont pas valides lorsque la dynamique du système est rapide Le domaine de validité des modèles discrets n’est donc pas plus étendu que celui du modèle LD. L’approximation faite sur les séquences lors des modélisations discrètes ne permet pas de déterminer un domaine de validité avec précision. On ne peut que donner un domaine de validité très restreint pour ces modèles correspondant à celui imposé pour le modèle linéaire : ωn ωref . L’analyse des modèles LC et LD–δ est présentée dans le chapitre suivant. Les modèles exacts permettent de représenter la phase transitoire avec précision contrairement au modèle linéaire discret. Une fois que le système est accroché (lorsque le système passe en phase de stabilisation), il se comporte alors de manière très similaire à un système linéaire. Les modèles issus de la discrétisation du modèle hybride continu sont donc les plus performants. Les équations du modèle Évé. sont vérifiées en confrontant ses trajectoires avec celles obtenues en simulant le modèle Hyb–CNC. Dans la simulation ci–dessous, le modèle Hyb–CNC est simulé à l’aide du logiciel SciCos. Les trajectoires correspondent parfaitement, mais lorsque le système est très proche de l’état final on remarque de légères différences. En effet le modèle Hyb.–Num. simulé par SciCos approche la trajectoire continue avec un algorithme numérique. 58 Chapitre 2. Modélisation y 2.9 modèle Évé. Simulateur numérique SciCos 2.5 2.1 1.7 1.3 0.9 0.5 0.1 t −0.3 0 4 8 12 16 20 24 28 32 Fig. 2.30 : Les erreurs des simulations numériques des systèmes hybrides peuvent inverser l’ordre des événements du systèmes. Comme cela est expliqué dans le § 2.8.8 (page 49), les erreurs d’intégration se répercutent sur les dates des événements qui sont alors légèrement modifiées. Ce phénomène devient apparent lorsque la largeur des impulsions devient très faible : l’erreur du modèle Hyb.–Num. place alors un événement juste avant un autre et change ainsi le sens de l’impulsion (en pointillés sur la fig. 2.30). Conclusion sur la modélisation Les simulations montrent que le modèle linéaire continu et les modèles linéaires discrets sont valides lorsque les trajectoires sont proches du point de fonctionnement et lorsque la dynamique du système est plus lente que la fréquence du signal d’entrée. Cette dernière condition est représentée grossièrement par la condition b 1 en négligeant l’effet du zéro de la fonction de transfert du modèle linéaire. Il apparaı̂t que la modélisation discrète n’améliore pas outre mesure le domaine de validité de ces modèles. La représentation de la BVP–IC par un système continu échantillonné, pourtant proposé dans des ouvrages destinés aux ingénieurs, donne des résultats complètement erronés même lorsque la dynamique du système est relativement lente. Ce dernier modèle ne sera donc pas analysé dans le chapitre suivant. Par contre on obtient des simulations quasi– exactes avec les modèles non–linéaires discrets et avec les modèles hybrides. Parmi ces modèles, les modèles analytiques, ou semi–analytiques pour la BVP–IC d’ordre trois, présentent une précision et une rapidité d’exécution largement supérieure aux modèles numériques. L’introduction de ces modèles hybrides nous a poussé à discerner les modèles qui prennent en compte avec exactitude ou non les commutations du système – modèles globaux en séquence. Un modèle global (ou local) au sens classique du terme est alors qualifiée de – modèle global (ou local) en trajectoires – pour spécifier que le domaine de validité se situe uniquement dans l’espace de phase continu. Le modèle linéarisé discret (modèle NL–DLé) est local en trajectoire mais, contrairement aux autres modèles linéaires, global en séquence. Ce modèle linéaire par morceaux permet d’établir la première preuve de stabilité qui soit globale en séquence, au prix d’un certain effort d’analyse présenté dans le chapitre suivant. Chapitre 3 Analyse Sommaire 3.1 Étude du modèle linéaire continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Stabilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Contrainte de stabilité robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Contrainte de rapidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Rejet des bruits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Rejet du bruit en entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Rejet du bruit à la sortie de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7 Saturation de la commande à l’entrée de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.8 Calcul du filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Étude du modèle linéaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Condition de stabilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Condition de stabilité robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Conclusion sur l’étude linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Stabilité d’une séquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Calcul du multiplicateur d’un cycle limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Calcul du multiplicateur à partir du modèle linéarisé discret . . . . . . . . . . 3.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Stabilité quelles que soient les séquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Un contre–exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Méthode directe de Lyapunov et extension aux systèmes hybrides . . . . . . . 3.4.3 Stabilité des systèmes non–linéaires commutés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Stabilité quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Représentation du système sous forme polytopique . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Recherche d’une fonction de Lyapunov quadratique commune . . . . . . . . . 3.6 Stabilité Poly–quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Stabilité poly–quadratique dans un ensemble de séquences réduit . . . . . . . . 3.6.2 Validité du résultat pour le système non–linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Stabilité poly–quadratique relâchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Linéarisation de Lyapunov des modèles non–linéaires discrets commutés . . . . 3.7.2 La S–procédure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Partitionnement du plan de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Approximation de la région de stabilité par une grille de calcul . . . . . . 3.9 Vérification expérimentale des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Optimisation par force brute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 61 61 62 62 63 64 65 66 66 67 67 67 68 69 69 69 72 73 74 74 75 78 79 80 81 81 82 82 83 83 85 85 89 92 94 60 Chapitre 3. Analyse Introduction au chapitre 3 Nous abordons dans ce chapitre l’analyse de stabilité de la BVP–IC d’ordre deux uniquement. Quatre types de modèles sont utilisés pour établir des preuves de stabilité du circuit. Dans les sections 3.1 et 3.2, nous étudions la stabilité des modèles linéaires continus et discrets. Ces résultats sont les seuls publiés à ce jour portant sur ce type de BVP et en constituent l’état de l’art. L’étude linéaire continue est faite de manière à démontrer l’extrême souplesse d’analyse de ce type de modèle. Elle permet notamment d’ajouter des contraintes de stabilité robuste, d’induire l’effet de différents bruits et d’assurer leur rejet. L’étude linéaire discrète porte uniquement sur les analyses de stabilité absolue et robuste. L’inconvénient majeur des techniques linéaires est de négliger les dynamiques propres à l’aspect hybride du système. Au lieu d’approfondir l’étude linéaire, notamment en considérant un système d’ordre trois, nous tentons de prendre en compte avec exactitude l’impact des interactions entre les états continus et les états discrets du système. Dans le section 3.3, une première approche simplificatrice analyse le système sans effectuer d’approximation en supposant que le système suit une séquence particulière. Nous nous intéressons alors au comportement d’une trajectoire fermée particulière que l’on appelle cycle limite. L’analyse de la stabilité d’une telle trajectoire se fait en définissant une section de Poincaré qui a la particularité d’être hybride. Une méthode d’analyse de la récurrence issue d’une telle section est ensuite présentée. Ce genre de méthode permet d’analyser tous les cycles limites du système dans leur voisinage. Une telle analyse permet de mettre en évidence des phénomènes particuliers tels que les bifurcations du système et l’apparition d’un comportement chaotique. Il n’est pas toujours possible de garantir la stabilité du système pour toutes les séquences possibles avec une telle étude. Les sections 3.4 et 3.7 traitent de la stabilité du système pour toutes les trajectoires possibles localisées autour du point origine. Ces analyses sont basées sur l’utilisation de la méthode directe de Lyapunov. Cette méthode permet d’apporter des conditions suffisantes mais non nécessaires de stabilité. Il en résulte un problème lié au conservatisme des conditions suffisantes proposées. La section 3.4 propose une méthode d’analyse par linéarisation autour du point fixe. Le conservatisme de cette méthode est considérablement réduit dans la section 3.7. Ces tests de stabilité s’appliquent à un système de paramètres réduits donnés. La section 3.8 adapte ces tests de manière à pouvoir établir une région du plan de paramètres dans laquelle la stabilité pour toutes les séquences est prouvée. Le concepteur peut ainsi choisir dans cette région le couple de paramètres qui l’intéresse. Ces résultats théoriques sont finalement confrontés, dans la section 3.9, à des mesures expérimentales effectuées sur un circuit réalisé en composants discrets. 3.1. Étude du modèle linéaire continu 3.1 61 Étude du modèle linéaire continu Le modèle linéaire continu est très utilisé car la souplesse de son analyse permet de caractériser plusieurs types de critères sans grande difficulté. De plus, beaucoup de travaux ont été effectués de cette manière sur les BVP analogiques [Ega00][Kol99][Bla76], ce qui permet d’utiliser les résultats trouvés dans la littérature pour des BVP dont les fonctions de transfert sont équivalentes. La fonction de transfert de la BVP–IC avec un simple filtre RC est celle d’un système du second ordre. Ce système présenté dans le § 2.3 (page 28) est répété ci–dessous : p+1 p2 a/b T p + 1 H2 (p) = N 2 2 T /b p + a/b T p + 1 G2 (p) = b N a/b T (3.1) Cette fonction de transfert est similaire à celle d’une BVP–IC analogique munie d’un filtre actif du premier ordre de pulsation propre ωn et d’amortissement ξ : p+1 2 + 2ξ/ω p + 1 p n n r √ Koct Ic = b ωn = NC r a R Koct Ic C = √ ξ= N 2 2 b K=N H(p) = K avec le rejet des bruits en entrée est une contrainte forte alors que la rapidité d’acquisition du système est une contrainte faible. Ceci est inversé dans le cas d’un synthétiseur de signaux modulés par déplacement de fréquence10 où le circuit doit pouvoir « sauter » rapidement d’une fréquence à une autre. Chacune des trois contraintes doit d’abord être spécifiée mathématiquement (par exemple en imposant une marge de stabilité de 45 degrés pour exprimer la contrainte de stabilité robuste). On détermine ensuite dans l’espace paramétrique (a, b) la région dans laquelle les paramètres vérifient la contrainte imposée. Cette région est nommée région de validité de la contrainte par la suite. Le concepteur choisit alors les paramètres du filtre a et b parmi l’intersection des régions de validité des contraintes. L’intégration du condensateur sur une puce électronique étant coûteuse, le concepteur choisit en général le couple (a, b) appartenant à cette intersection et dont l’ordonnée b est la plus grande possible. Ceci correspond au filtre respectant les contraintes dont le condensateur est de la taille la plus petite possible. 2ξ/ωn 3.1.1 1/ω 2 (3.2) On peut donc réutiliser les résultats portant sur la BVP analogique à filtre actif pour étudier la BVP–IC. Dans cette section nous cherchons à maı̂triser les trois caractéristiques suivantes du circuit : – la stabilité du système malgré la présence de variations des paramètres et de dynamiques négligées lors de la modélisation ; – la rapidité du système et sa capacité à suivre certaines modulations de phase ou de fréquence ; – le rejet des bruits générés dans le circuit ou à son entrée. Chacune de ces caractéristiques donne lieu à une contrainte de conception réduisant les degrés de liberté du concepteur. Certaines contraintes peuvent être plus ou moins critiques selon le type d’application. Dans le cas de la reconstruction de l’horloge d’un microprocesseur à partir d’un signal externe, Stabilité absolue La première qualité exigée d’un circuit est sa stabilité. Un système est dit stable si, excité par une impulsion de Dirac, il revient à sa position initiale d’équilibre. Il est instable dans le cas contraire. Pour un système linéaire d’ordre n de fonction de transfert F (p) en boucle fermée, sa réponse impulsionnelle est F (p) puisque la transformée d’une impulsion de Dirac est 1. F (p) peut être représentée sous forme de fractions rationnelles du premier et du second ordre : X X Ai Bj p + Cj F (p) = + 2 ξj p2 p − pi j 1 + ωnj p + ωnj 2 (3.3) i avec i + 2 j = n En retournant au régime temporel par la transformée inverse, on peut écrire : X f (t) = Ai epi t + i X (3.4) Aj e−ξj ωnj t cos (ωj t + φj ) j La réponse impulsionnelle tend asymptotiquement vers zéro si les termes pi et −ξj ωnj sont né10 Phase Shift Keying (FSK) en anglais 62 Chapitre 3. Analyse gatifs. En remarquant que ce dernier terme représente la partie réelle commune aux pôles conjugués, on en déduit le théorème 1 sur la stabilité des systèmes linéaires continus [Ahr51][dA81]. Théorème 1 Un système linéaire continu est asymptotiquement stable en boucle fermée si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert sont à partie réelle négative. Dans le cas d’un système du second ordre, cette condition de stabilité devient simplement ξ ωn > 0. La BVP–IC est donc stable si son facteur d’amortissement et sa fréquence propre sont positifs. Cette condition est toujours vérifiée car les paramètres a et b sont positifs. Le modèle linéaire continu de la BVP–IC d’ordre deux est donc toujours stable. Cependant il peut être utile de garantir une certaine marge de stabilité censée absorber les erreurs de modélisation. 3.1.2 Contrainte de stabilité robuste La problématique naı̂t des dynamiques et des non–linéarités négligées dans la modélisation : un des pôles du système peut devenir instable sous l’influence de ces dynamiques parasites. Nous cherchons alors à garantir la stabilité malgré les variations des paramètres et l’influence des dynamiques négligées. Cette problématique qui est celle de la stabilité robuste a été très développée depuis les années 80. Parmi les méthodes garantissant la stabilité robuste du circuit, nous utilisons la plus ancienne et la plus simple : on garantit une marge de stabilité minimale ΦM . Soit ϕ0 l’angle de phase du système lorsque son gain en boucle ouverte est unitaire, la marge de phase est obtenue en évaluant la différence entre ϕ0 et l’angle de phase du point d’instabilité qui vaut −π. Le système est instable selon le théorème de Nyquist [Jur82] lorsque cette marge de phase ϕ0 + π est négative. En imposant une marge de phase suffisamment importante, les dynamiques négligées ne devraient pas déstabiliser le système. La condition de stabilité robuste est donc : ϕ0 + π > ΦM > 0 (3.5) Cette condition exclut certaines combinaisons des paramètres a et b. Pour déterminer la région de validité de cette contrainte, il suffit d’exprimer ϕ0 en fonction des paramètres du système. Pour cela nous calculons la fréquence ω0 pour laquelle le gain en boucle ouverte est unitaire : ω0 tel que |G2 (j ω0 )| = 1 (3.6) où j est la variable complexe telle que j 2 = −1. La phase ϕ0 est l’argument de la fonction de transfert exprimée pour la fréquence ω0 : ϕ0 = arg (G2 (j ω0 )) (3.7) En remplaçant ϕ0 par cette valeur dans la condition (3.5) nous obtenons la relation entre les paramètres a et b suivante : b< a2 |tan(ΦM ) sin(ΦM )| (3.8) Cette relation a nécessité l’utilisation d’un logiciel de calcul formel pour pouvoir être écrite sous une forme aussi simple. Cette inégalité définit une frontière FM P représentée dans la fig. 3.6 (page 67). La marge de phase minimale ΦM sera respectée si le couple de paramètre (a, b) se situe en dessous de la parabole FM P de la relation précédente. 3.1.3 Contrainte de rapidité Dans certaines applications la fréquence du signal en entrée n’est pas constante. C’est le cas de la démodulation de fréquence où la fréquence instantanée oscille autour d’un valeur centrale. L’écart de fréquence est proportionnel au message m(t) à transmettre par modulation de fréquence. Si l’on veut démoduler ce signal, il faut que la BVP puisse suivre fidèlement l’évolution de la fréquence d’entrée. La tension à l’entrée de l’OCT est alors proportionnelle à l’amplitude de modulation de fréquence et est donc proportionnelle à m(t). Le message m(t) occupe une bande de fréquence plus ou moins étendue selon les applications : 8KHz pour une voie, 21KHz pour un son de Haute Fidélité, etc. Pour démoduler correctement le message m(t) la bande passante en fréquence de la BVP doit être plus large que la bande utile du signal m(t). La fonction de transfert en fréquence de la BVP– IC du second ordre est la même que la fonction de transfert en phase : H2 (p) = θs (p) p fs (p) fs (p) = = (3.9) θref (p) p fref (p) fref (p) Une manière de garantir cette bande passante, illustrée dans la fig. 3.1, consiste à imposer une atténuation maximale de Ndyn décibels du gain de la 3.1. Étude du modèle linéaire continu 63 b fonction de transfert en boucle fermée H2 (p) pour la plus haute pulsation de la bande utile ωdyn : |H2 (j ωdyn )|dB ≥ 20 log(N ) − Ndyn bma (3.10) H2 (ωdyn ) H2 (0) > −Ndyn dB x αdyn ωdyn |H2 (j ω)| (dB) dB 2 α2 dyn ωdyn α2 −1 dyn b > bmax b < bmin 80 H2 (ωdyn ) H2 (0) < −Ndyn b = bmax a αdyn ωdyn Ndyn αdyn ωdyn 2 αdyn −1 60 b min 40 Fdyn 20 0 b = bmin . bmin < b < bmax −20 f (Hz) −40 ωdyn 2π 10− 1 = 100 101 Fig. 3.1 : Exemple de contrainte avec une atténuation de Ndyn = 10dB sur la fonction de transfert H2 pour une fréquence de 1Hz. Les différentes valeurs de b montrent que la fonction de transfert observe une atténuation plus forte lorsque bmin < b < bmax Il suffit de remplacer le gain de H2 (j ωdyn ) par son expression en fonction de a et de b pour trouver la région de validité de cette contrainte. Cette région est délimitée par la frontière Fdyn définie par : 2 2 ωdyn αdyn ± 2 αdyn −1 r Fdyn (b) = ωdyn 2 2 2 2 (3.11) αdyn ωdyn − a2 αdyn −1 2 αdyn −1 avec αdyn = 10 N dyn 20 Le domaine de validité de la contrainte, présenté sur la fig. 3.2, correspond à la région concave (laissée en blanc sur la figure) délimitée par la frontière Fdyn de forme parabolique. Ce domaine garantit un gain suffisamment grand pour la plus grande des pulsations de la bande utile. Remarque 15 Dans certaines applications, comme la reconstruction de l’horloge d’un signal codé en NRZ11 , les variations de la fréquence en entrée ne doivent pas être suivies par la BVP. On impose alors une atténuation minimum de Ndyn décibels pour une fréquence ωdyn qui correspond cette fois–ci à la plus petite pulsation de la bande de fréquence parasite. 11 Codage en Non Retour à Zéro Fig. 3.2 : Exemple de région de validité de la contrainte dynamique. La frontière Fdyn impose une limite haute bmax et basse bmin à la valeur de b. La région grisée correspond à la zone où l’atténuation de la fonction de transfert est supérieure à Ndyn Cette contrainte est l’opposée de la précédente, son domaine de validité est donc la région convexe (en gris sur la figure) délimitée par la frontière Fdyn . 3.1.4 Rejet des bruits Aussi bien en télécommunication que dans les reconstructions d’horloge ou la synthèse de fréquence, le rejet des bruits est une contrainte importante portée sur le circuit. Les bruits sont issus de multiples sources : les agressions électromagnétiques extérieures ou issues du circuit lui-même, le bruit du signal d’entrée, le bruit thermique des composants du circuit, le bruit généré par l’OCT. La réduction des bruits influence majoritairement la conception électronique des éléments du circuit visant à réduire l’émission des agressions vers d’autres circuits et la susceptibilité vis–à–vis des agressions des autres circuits. La dynamique globale du circuit entre aussi en jeu afin d’éviter la contamination des bruits locaux dans tout le circuit, mais aussi les amplifications des bruits dues au phénomène de résonance. Nous allons considérer l’impact de bruits apparaissant à différents endroits de la boucle indiqués sur la fig. 3.3. L’effet d’un bruit sera représenté par une modulation de fréquence δf ajoutée à l’endroit de la boucle concerné. Cette modulation aléatoire est considérée comme stationnaire, permettant ainsi de représenter le bruit par sa densité spectrale de puissance. L’entrée du système n’est donc plus la fréquence 64 Chapitre 3. Analyse δvm δref ωref + + − N a p+b p δoct 1 p ωs 1 N Fig. 3.3 : Point d’impact des différents bruits sur la boucle d’asservissement ou la phase des signaux réels mais une modulation de fréquence ajoutée à la fréquence centrale. On considère ici les signaux comme des signaux à bande étroite centrés sur une fréquence de fonctionnement nominale, en général la fréquence du signal d’entrée sans bruit. Un bruit est représenté par sa densité de puissance S(ωm ) en fonction de la pulsation de modulation ωm autour de la pulsation centrale. En général cette densité est représentée par un bruit blanc gaussien centré sur zéro. Chaque bruit ajouté à un endroit de la boucle est transmis vers la sortie par le système bouclé. La densité spectrale du bruit transmis à la sortie est donc celle de la source du bruit S(ωm ) multipliée par le carré du module de la fonction de transfert 2 en boucle fermée |H(p = j ωm )| menant du point d’impact du bruit vers la sortie. Le spectre du signal de sortie est la somme des spectres des bruits transmis vers la sortie si l’on considère que les sources de bruits ne sont pas corrélées. Remarque 16 L’hypothèse de bruits non–corrélés peut être une hypothèse forte. En effet les parties numériques du circuit, telles que le diviseur de fréquence, sont très bruyantes du fait des commutations binaires. On récupère alors un bruit sur la tension à l’entrée de l’OCT qui est corrélé avec la fréquence des signaux du diviseur, c’est–à–dire principalement avec la fréquence de sortie. Une analyse des bruits corrélés n’est pas le propos de ce mémoire, le lecteur intéressé pourra trouver des éléments de réponse dans [Ega00][Wol91]. Nous supposons dans ce mémoire, que les fonctions continues et discrètes du circuit électronique sont bien découplées électriquement lors de la conception. 3.1.5 Rejet du bruit en entrée Pour évaluer l’aptitude d’une BVP à minimiser le bruit en entrée δref , on peut déterminer la bande passante relative à ce bruit. Supposons que la fréquence d’entrée soit modulée par un bruit δref de densité spectrale Sref (ωm ). La fonction de transfert menant ce bruit vers la sortie est la fonction de transfert du système. La densité spectrale Ss (ωm ) du bruit de modulation à la sortie est donc : 2 Ss (ωm ) = |H2 (j ωm )| Sref (ωm ) (3.12) En supposant un bruit blanc en entrée, sa densité de puissance Sref (ωm ) est donc constante et égale à Sref , la variance du bruit de modulation à la sortie est alors exprimée par : σs2 Sref = 2π +∞ Z 2 |H2 (j ωm )| dωm (3.13) −∞ On définit alors la bande passante BP de la BVP comme la bande passante d’un filtre passe– bas idéal dont la variance de sa sortie est σs2 pour un bruit blanc en entrée de puissance Sref : 1 BP = 2π +∞ Z 2 |H2 (j ωm )| dωm (3.14) 0 La bande passante relative au bruit de la BVP– IC d’ordre deux, calculée à partir de H2 , est la même que pour la BVP analogique d’ordre deux à filtre actif puisqu’elle possède la même fonction de transfert : ωn 1 a b BP = ξ+ = + (3.15) 2 4ξ 4 4a Le bruit en entrée est d’autant mieux rejeté que la bande passante est étroite puisque la variance du bruit de sortie est proportionnelle à la bande passante BP . On peut donc poser une contrainte de rejet des bruits en entrée en imposant une bande passante maximale. On déduit de l’expression de la bande passante (3.15) le domaine de validité de la contrainte suivant : b ≤ 4 a BP − a2 (3.16) Cette région est délimitée par la frontière FBP présentée dans la fig. 3.6. On peut en remplacement ou en complément de cette limite imposer une atténuation minimale de la fonction de transfert pour une fréquence de modulation donnée. 3.1. Étude du modèle linéaire continu 65 Ceci permet d’assurer un rejet raisonnable d’un bruit coloré comme, par exemple, le bruit véhiculé par un signal d’entrée démodulé. Un signal démodulé contient une composante résiduelle dont la fréquence est précisément celle de la fréquence porteuse du signal. Il est souvent nécessaire de rejeter efficacement ce résidu au spectre très coloré. Comme la fonction de transfert des bruits en entrée vers la sortie est la fonction de transfert H2 du système, ce type de contrainte est une contrainte opposée à celle posée sur la dynamique dans la section précédente. Le domaine de validité d’une contrainte d’atténuation de Ne décibels des bruits de modulation à la pulsation ωe est défini par la région convexe (en gris sur la fig. 3.2) délimitée par la frontière Fe . Cette frontière est définie par la même expression (3.11) en remplaçant Ndyn et ωdyn par leurs valeurs respectives Ne et ωe . étant de type passe–haut, la notion de bande passante relative au bruit n’a pas de sens. On obtient un bon rejet du bruit de l’OCT en imposant une atténuation minimale de Noct décibels à la fonction de transfert Hs (p), illustrée dans la fig. 3.4, pour une pulsation ωoct donnée : |Hs (j ωoct )|dB ≤ −Noct |Hs (j ωm )|dB (3.18) bmin < b < bmax b = bmax 40 Noct b > bmax 20 0 −20 −40 −60 b < bmin . b = bmin −80 3.1.6 Rejet du bruit à la sortie de l’OCT L’oscillateur contrôlé en tension génère un signal dont le spectre n’est pas idéalement pur. Au bruit thermique des composants qui le compose s’ajoute le bruit amplifié par le phénomène de résonance observé auprès de la fréquence d’oscillation d’un oscillateur à relaxation. Ce phénomène est spécialement décrit dans le chapitre 3.6 de [Ega00]. Il en résulte un bruit de modulation δoct dont le spectre Soct (ωm ) est décroissant en 1/ωm 12 avant de devenir négligeable devant le bruit de fond thermique à partir d’une certaine pulsation ωa . Ce bruit est transmis directement vers la sortie (voir la fig. 3.3) mais le bouclage peut contribuer à en atténuer l’effet. Le spectre du bruit de modulation résiduel en 2 boucle fermée est Soct (ωm ) |Hs (j ωm )| , où Hs est la fonction de transfert en boucle fermée de la sortie de lOCT vers la sortie du système : Hs (p) = p2 p2 + ap + b (3.17) C’est une fonction de transfert de type passe– haut, ce qui veut dire que le bruit thermique de haute fréquence ne peut pas être atténué par le bouclage. Par contre le bruit en 1/ωm peut être atténué pour les pulsations inférieures à ωa où ce bruit se fait ressentir. La fonction de transfert 12 flicker noise en Anglais 10−1 ωoct 2π =1 101 Fig. 3.4 : Exemple de contrainte d’atténuation Noct = 10dB sur la fonction de transfert Hs pour une fréquence de 1Hz. Les différentes valeurs de b montrent que la fonction de transfert observe une atténuation insuffisante (région grisée) lorsque bmin < b < bmax Le domaine de validité de la contrainte est la région concave (en gris sur la fig. 3.4) délimitée par la frontière parabolique Foct suivante : s 4 ωoct 2 2 2 Foct (b) = ωoct ± 2 − a ωoct αoct (3.19) avec αoct = 10 N oct 20 Remarque 17 Le bruit δvm récupéré sur la tension à l’entrée de l’OCT peut être pris en compte en considérant un bruit de modulation δoct du signal à la sortie de l’OCT équivalent. L’OCT délivrant un signal de fréquence instantanée proportionnelle à la tension en entrée, le bruit en entrée se traduit par une modulation de la fréquence de sortie qui lui est proportionnelle. Le bruit δvm de densité de puissance Svm (ω) est donc représenté par un bruit de modulation équivalent δoct de densité : 2 Soct (ωm ) = Koct Svm (ωm ) (3.20) On peut ainsi utiliser la relation (3.19) pour définir une frontière Fvm pour assurer le rejet de ce bruit. 66 Chapitre 3. Analyse b a par : Hs (ωoct ) H (∞) < −Noct s Ic R < dB bma x 2 ωoct αoct Hs (ωoct ) H (∞) > −Noct s dB 2 ωoct a 2 ωoct αoct ωoct αoct b min foct Fig. 3.5 : Exemple de région de validité de la contrainte de rejet du bruit de l’OCT. La frontière foct impose une limite haute bmax et basse bmin à la valeur de b. La région grisée correspond à la zone où l’atténuation de la fonction de transfert est trop faible Lorsque la BVP fonctionne en modulateur de fréquence, on introduit le message modulant m(t) à l’entrée de l’OCT. Ce message qui occupe une certaine bande passante ne doit pas être rejeté par la boucle. On utilise alors l’opposé d’une contrainte (3.19) garantissant un gain suffisant pour la fréquence la plus haute de la bande utile de m(t). 3.1.7 Saturation de la commande à l’entrée de l’OCT Lorsque la valeur de la résistance du filtre est importante, la tension à l’entrée de l’OCT peut devenir négative ou nulle. En effet, lors d’une impulsion de courant négative, la chute de tension Ic R aux bornes de la résistance peut être supérieure à la tension accumulée sur la capacité du filtre. Dans cette situation, l’oscillateur peut s’arrêter et avec certaines technologies ne plus fournir d’oscillation jusqu’à la prochaine mise hors tension. Il est donc important d’imposer une limite maximale à la valeur de la résistance pour éviter une saturation systématique. La chute de tension aux bornes de la résistance Ic R doit être inférieure à la valeur de la tension stabilisée vs si l’on veut espérer l’absence de saturation du système autour du point nominal de fonctionnement. Nous obtenons ainsi une condition de non– saturation que l’on exprime sur la variable réduite N − Fol T ⇔ a < T (1 − c) Koct T (3.21) L’étude se faisant pour la BVP–IC unitaire équivalente, nous posons sans perte de généralité c = 0 et T = 1. Tout les résultats présentés dans la suite de ce mémoire sont donc valide uniquement pour a < 1. Une valeur de a supérieure à l’unité impliquerait une tension voct systématiquement négative lors des impulsions de courant négatives. Or, le modèle de l’OCT n’est plus valable pour une tension négative à son entrée car cela correspondrait à une fréquence de sortie négative, ce qui n’as pas de sens physique. 3.1.8 Calcul du filtre Le calcul des paramètres du filtre doit respecter les contraintes de conception décrites précédemment. Pour cela, il suffit de représenter simultanément dans le plan paramétrique les frontières des contraintes : – FM P (3.8) – stabilité robuste fixée par la marge de phase minimale ΦM ; – Fdyn (3.11) – rapidité fixée par la pulsation maximale de fonctionnement ωdyn et son atténuation Ndyn tolérée ; – FBP (3.16) – rejet des bruits en entrée fixé par la bande passante maximale BP relative au bruit ; – Fe (3.11) – rejet des bruits colorés en entrée fixé de manière opposée à la contrainte de rapidité en imposant une atténuation Ne suffisante à partir de la pulsation ωe ; – Foct (3.19) – rejet du bruit à la sortie de l’OCT fixé par la pulsation minimale ωoct en dessous de laquelle les bruits doivent être atténués de Noct décibels au minimum. – Fvm (3.19) – rejet du bruit à l’entrée de l’OCT fixé de manière identique à un bruit sur la sortie de l’OCT avec une atténuation minimale Noct majorée de deux fois le gain Koct de l’OCT en décibels (voir la remarque 17). Ces contraintes définissent une zone (en gris sur la fig. 3.6) dans laquelle toutes les contraintes sont respectées ; on appelle cette zone la région de faisabilité. La région de faisabilité existe lorsque les contraintes sont réalistes. Si deux contraintes opposées (comme la contrainte de stabilité robuste FM P est opposée à la contrainte de rapidité Fdyn ) sont trop fortes, la région de faisabilité peut ne pas 3.2. Étude du modèle linéaire discret 67 b Le modèle linéaire étant le résultat de nombreuses approximations, la section suivante établit une étude prenant en compte l’aspect discret du système et de son signal d’entrée en partant du modèle discret de la BVP–IC. FM P 0.666 0.444 C1 FB C2 0.222 P 3.2 Fe Fdyn Foct 0.000 0.000 0.500 a Fig. 3.6 : Représentations des contraintes de conception dans le plan paramétrique exister ou peut exister dans un domaine du plan paramétrique correspondant à des valeurs de composants irréalisables. Il faut alors relâcher une des deux contraintes. Le concepteur choisit ensuite les valeurs du filtre parmi les points de la région de faisabilité. Il peut alors chercher à réduire le coût de réalisation en prenant une taille de la capacité du filtre la plus petite possible (b maximum correspondant au point C1 sur la figure), ou à réduire les bruits thermiques en prenant une résistance de valeur la plus petite possible (a minimum correspondant au point C2 ). Une autre méthode consiste à choisir le point le plus éloigné d’une des frontières de contraintes (le point C2 est le plus éloigné de la contrainte de rapidité par exemple), on optimise ainsi les performances du circuit au regard d’une contrainte en respectant le cahier des charges. 3.1.9 Conclusion Basée sur de fortes approximations, l’étude linéaire continue permet néanmoins de spécifier facilement les contraintes diverses de rejet du bruit et de stabilité. La représentation de ces contraintes dans le plan paramétrique permet de calculer les valeurs du filtre. Les contraintes de rejet du bruit en entrée, de bruit interne et de stabilité sont représentées dans le plan paramétrique. Cette représentation graphique permet d’optimiser une des performances tout en respectant le cahier des charges. Sans exploiter les derniers progrès effectués en stabilité robuste, ni aller jusqu’au bout de l’analyse des bruits, cette section montre la souplesse d’une analyse linéaire continue. Étude du modèle linéaire discret La BVP–IC est, de par la machine à état qu’elle contient, un système intrinsèquement discret. Le détecteur de phase délivre une information sur l’erreur de phase lors de chaque impulsion de courant délivrée à intervalles de temps quasi–périodique. L’analyse d’un tel modèle permet de mesurer l’effet de l’aspect discret du système sur sa stabilité. Une première prise en compte de cet aspect discret est faite en considérant que l’impulsion de courant apparaı̂t à des instants périodiques. On obtient ainsi le modèle LDδ proposé initialement par Gardner et présenté en variables réduites dans le § 2.4.2 (page 32). Contrairement aux systèmes continus d’ordre deux, la récurrence discrète linéaire du modèle LDδ (3.22) n’est pas toujours théoriquement stable. Une analyse de stabilité est nécessaire. Xk+1 = A Xk xk avec Xk = yk 3.2.1 (3.22) 1−a−b 1 et A = −b 1 Condition de stabilité absolue De la même manière que pour les systèmes continus, on considère un système discret stable s’il retourne à son état d’équilibre après avoir été excité par une impulsion de Dirac. Si l’on considère la fonction de transfert F (z) du système en boucle fermée, sa réponse impulsionnelle est F (z). Elle peut être représentée sous forme de fractions rationnelles : n X Ai z F (z) = z − zi i=1 (3.23) z Tous les termes sont de la forme z−z et admettent i pour originaux des termes de la forme eα k t avec α < 0 si |zi | < 1 et α ≥ 0 sinon. On en déduit le théorème 2 sur la stabilité des systèmes linéaires discrets. 68 Chapitre 3. Analyse Théorème 2 Un système linéaire discret est asymptotiquement stable en boucle fermée si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert sont de module inférieur à l’unité. Le critère de Jury permet de déterminer l’existence de racines de modules strictement inférieurs à 1 d’un polynôme de degré n à coefficients réels, et ceci sans expliciter ses racines. Théorème 3 Soit P (z) = an z n +. . .+a1 z+a0 un polynôme de degré n à coefficients réels, on pose a0i = ai ∀i = 0, . . . n tels que : j j a a n−j−i 0 aj+1 = i j an−j aji (3.24) avec 0≤j ≤n−3 et 0≤i≤n−j−1 Une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme P (z) ait toutes ses racines de module inférieur à l’unité est que les inégalités suivantes soient vérifiées : 0 0 a0 < aj j j a0 > an−j ∀j = 1, . . . , n − 2 (3.25) an P (1) > 0 (−1)n an P (−1) > 0 Le critère de Jury appliqué à l’équation caractéristique du système d’ordre deux (3.26) donne les trois contraintes de stabilité suivantes : b > 0 b < 4 − 2a (3.28) |1 − a| < 1 Ces contraintes définissent un triangle de stabilité dans le plan paramétrique (a, b) représenté en gris clair dans la fig. 3.7. 1 4 R (1 + P (z) = det (A − z I2 ) = a2 z 2 + a1 z + a0 avec a2 = 1 (3.26) a1 = a + b − 2 a0 = 1 − a Les inégalités du critère de Jury dans le cas d’un système d’ordre deux se réduisent à : |a0 | < |a2 | a2 P (1) > 0 a2 P (−1) > 0 (3.27) Re(zi ) R)2 2 1 − R2 (1 − R)2 0 0 1 − R2 1 1 + R2 2 a Fig. 3.7 : Région de stabilité absolue (gris clair) et de stabilité robuste (gris foncé) dans le plan des paramètres 3.2.2 Les pôles d’un système discret sont les solutions du polynôme caractéristique de la récurrence. À partir de la connaissance des coefficients du polynôme caractéristique, le critère de Jury donne ainsi les conditions nécessaires et suffisantes de stabilité du système discret. Le polynôme caractéristique de la BVP–IC d’ordre deux est : Im(zi ) b Condition de stabilité robuste Pour pallier les dynamiques non modélisées ainsi que les variations des paramètres, on peut imposer une certaine marge de stabilité. Celle–ci est censée permettre aux pôles du système de rester dans le cercle unité malgré les variations. Une technique simple consiste à conserver ces pôles à l’intérieur d’un cercle de rayon R inférieur à l’unité. La marge de stabilité est d’autant plus grande que le rayon R est petit. La contrainte |zi | < R imposée aux pôles zi du polynôme P (z) s’obtient en imposant |zi0 | < 1 aux pôles zi0 du polynôme P (z 0 ) avec z 0 = R z. On applique alors le critère de Jury au polynôme P (R z) pour garantir la stabilité robuste. Le critère de Jury garantissant la présence des pôles dans un cercle de rayon R devient pour le second ordre : |a0 | < R2 |a2 | a2 P (R) > 0 a2 P (−R) > 0 (3.29) 3.3. Stabilité d’une séquence Ce critère appliqué à la BVP–IC d’ordre deux donne les trois contraintes de stabilité robuste suivantes : 1−R a b>2−R+ R 1+R (3.30) a b<2+R− R |1 − a| < R2 Ces contraintes définissent un triangle de stabilité robuste, inscrit dans le triangle de stabilité absolue, représenté en gris foncé sur la même figure. 3.2.3 Conclusion sur l’étude linéaire Le modèle discret permet de prendre en compte l’effet de l’aspect périodique de la mesure de l’erreur de phase. La contrainte de stabilité proposée initialement par Gardner est présentée en variables réduites. Une contrainte de stabilité robuste est définie de manière à garantir une distance minimale entre les pôles et la zone d’instabilité. Il n’y a pas à notre connaissance d’étude de l’impact des bruits faite dans la littérature à partir du modèle discret. De plus les simulations du § 2.11 (page 56) montrent que la précision du modèle discret n’est pas meilleure que celle du modèle linéaire dans toutes les situations. Nous préférons donc concentrer les efforts d’analyse sur les modèles prenant en compte avec exactitude les séquences de la machine à états. Une méthode d’analyse de la stabilité du système le long d’une séquence particulière est proposée dans la section suivante. 3.3 Stabilité d’une séquence Une première approche simplificatrice permettant d’analyser le système sans effectuer d’approximation consiste à supposer que le système suit une séquence particulière. Pour chaque séquence nous définissons le modèle Hyb.–Séq., proposé dans le § 2.8.5 (page 47), qui discrétise le modèle hybride continu le long de la séquence étudiée. Pour cela une surface de section est définie dans l’espace de phase hybride. Le modèle discret est alors la récurrence de Poincaré exprimant l’évolution des coordonnées du point d’intersection de la trajectoire avec cette surface. 69 La fig. 3.8 reprend l’exemple de la discrétisation de la séquence {+Ic , 0, −Ic , 0} présentée dans le § 2.8.5 (page 47). Lorsque le système suit une séquence particulière, sa trajectoire traverse la surface de Poincaré à des instants périodiques. Elle peut tendre asymptotiquement vers une trajectoire fermée qui est appelée cycle limite. L’analyse de stabilité de ce cycle limite se fait en analysant la stabilité de la suite de points traversant la section hybride de Poincaré. Ce type d’analyse n’est pas une discipline nouvelle. Elle a été abordée par Poincaré pour étudier la stabilité des orbites des corps célestes [Poi99]. L’étude des trajectoires de trois corps célestes isolés a certainement été la première approche des systèmes chaotiques13 . L’analyse des cycles limites d’un système différentiel linéaire par morceaux a été introduite dans [Pon62] et poursuivie par Filippov dans [Fil88]. L’avènement de la théorie du Chaos a apporté beaucoup de travaux sur l’analyse des cycles limites de systèmes chaotiques basée sur les équations de sensibilité des trajectoires [Par89][Dia98][Kou99][Uet01]. Ces travaux ont été récemment généralisés pour établir une méthode d’analyse des cycles limites des systèmes hybrides [His00][His01]. Cette méthode générale permet notamment de prendre en compte les sauts des variables d’état continues du système lors des commutations. Ce genre de discontinuité de l’état continu n’existe pas dans les modèles des BVP–IC du deuxième et troisième ordre. L’analyse d’un cycle limite est faite dans la section suivante en exploitant la méthode moins générale, et donc plus simple, proposée par Ueta dans ces travaux [Uet01][Kou99]. Cette méthode propose de calculer numériquement le multiplicateur du cycle limite en prenant en compte les différentes commutations du flot différentiel. La méthode a été appliquée pour tracer le diagramme de bifurcation d’un oscillateur dont les équations sont proches de la BVP–IC (l’oscillateur d’Alpazur). 3.3.1 Calcul du multiplicateur d’un cycle limite Nous présentons la méthode d’analyse d’un cycle limite en abordant l’exemple de la séquence 13 Poincaré n’a pas utilisé le terme « chaos » dans son ouvrage, mais a qualifié la propriété essentielle d’un système chaotique : la sensibilité aux conditions initiales. 70 Chapitre 3. Analyse T1 R qx (X) = 0 3 f+1 f0 Π+0 Π 0− X1 R2 p X2 T0 X0 X3 Uk+1 T2 f−1 X4 Π 0+ Tl Uk p−1 Πp f0 Π−0 T3 qt (X) = 0 Fig. 3.8 : Cycle limite lié à la séquence {+Ic, 0, −Ic, 0} de la BVP–IC, et sa section de Poincaré hybride {+Ic , 0, −Ic , 0} présenté dans le § 2.8.5 (page 47) et illustré par la fig. 3.8. Cette méthode est proposée dans [Kou99] pour un circuit à deux états discrets dont les commutations sont liées uniquement à l’état du système. La méthode est étendue pour intégrer des événements périodiques extérieurs dans [Kou02]. À la lumière de la remarque 12 (page 46), les événements extérieurs de période T peuvent être inclus en ajoutant le temps normalisé t dans le vecteur d’état. Le modèle Hyb–CNC devient : Ẋ = fi (X) pour i = e(t) ∈ M avec fi = A X + Ci x 0 1 0 X = y , A = 0 0 0 (3.31) t 0 0 1 −a 0 a C−1 = −b , C0 = 0 et C+1 = b 0 0 0 Un événement périodique intervient lorsque la trajectoire du système atteint la surface Πt définie par : Πt = X ∈ R3 | qt (X) = 0 avec qt (X) = t − 1 = [0 0 1] · X − 1. (3.32) Dans l’espace hybride, la surface de l’espace continu Πt est l’union des deux surfaces hybrides Π0+ ∪ Π−0 l’une définie pour e(t) = 0 et l’autre définie pour e(t) = −1 (voir la fig. 3.8). De même, on définit les événements liés à l’OCT par la surface Πx = X ∈ R3 | qx (X) = 0 avec qx (X) = x + t − 1. Dans l’espace hybride la surface de l’espace continu Πx est l’union des deux surfaces hybrides Π+0 ∪ Π0− l’une définie pour e(t) = +1 et l’autre définie pour e(t) = 0. Pour établir la récurrence de Poincaré, nous définissons les quatre transformations locales suivantes : T0 T1 T2 T3 : Π0+ X0 : Π+0 X1 : Π0− X2 : Π−0 X3 → → → → Π+0 X1 = f+1 (X0 , τ0 ) Π0− X2 = f0 (X1 , τ1 ) Π−0 X3 = f−1 (X2 , τ2 ) Π0+ X4 = f0 (X3 , τ3 ) (3.33) où ϕi (Xk , t) est la trajectoire de l’état continu, lorsque l’état discret est i, partant du point Xk à l’instant t = 0. Cette trajectoire atteint la surface de commutation suivante lorsque t = τk . La transformation de Poincaré liée à la surface hybride Π0+ est donc la composition des transformations locales Tp = T0 ◦ T1 ◦ T2 ◦ T3 . La période du cycle limite est alors la somme des durées de 3.3. Stabilité d’une séquence 71 P3 chaque transformation locale τp = k=0 τk . La dérivée de la transformation de Poincaré par rapport à la condition initiale X0 est alors le produit des dérivées des transformations locales : 3 Y ∂Tk ∂τp = ∂X0 t=Tp ∂Xk t=τk (3.34) k=0 Multiplicateur d’une transformation locale La durée τk d’une transformation locale dépend de la condition initiale Xk . Chaque matrice jacobienne doit alors être écrite de la manière suivante : ∂ϕk ∂ϕk ∂τk ∂ϕk ∂τk ∂Tk = + = +fk (3.35) ∂Xk ∂Xk ∂t ∂Xk ∂Xk ∂Xk ∂τk Le terme ∂X doit être explicité en fonction de k la surface de commutation. La durée τk étant l’instant où la surface de commutation qk est atteinte (dans cet exemple qk est soit qt soit qx ), la relation suivante est vérifiée : qk (Xk ) = qk (ϕk (Xk , τk )) = 0 (3.36) Comme les surfaces qk sont différentiables il vient : ∂qk ∂Xk ∂ϕk ∂τk + fk ∂Xk ∂Xk =0 (3.37) ∂τk 1 ∂qk ∂ϕk = − ∂qk ∂Xk ∂X ∂Xk ∂X fk (3.38) En substituant ce terme dans (3.35) on obtient l’expression du multiplicateur d’une transformation locale : 1 ∂qk ∂X # 1 ∂qk = In − ∂qk ∂X ∂X fk ∂qk ∂X fk Multiplicateur de la transformation de Poincaré La transformée de Poincaré, équivalente au cycle limite, transforme le point X0 de la surface Π0+ en X4 de cette même surface. Comme tous les éléments X4k ∈ Rn de la suite de Poincaré appartiennent à cette surface nous pouvons les exprimer en coordonnées Uk ∈ Rn−1 locales au plan Π0+ que l’ on nomme alors Πp . On réduit ainsi la dimension du vecteur d’état de Rn à ∈ Rn−1 où n vaut trois pour une BVP d’ordre deux et quatre pour le système d’ordre trois (le temps étant rajouté dans le vecteur d’état pour rendre les équations autonomes). On définit une projection biunivoque p menant des points X4k du plan Π0+ aux points Uk du plan Πp . La projection inverse p−1 mène d’un point Uk au point X4k qui lui correspond (voir la fig. 3.8). La transformée de Poincaré Tl exprimée en coordonnées locales est donc : Tl Puisque les trajectoires sont transverses aux surk faces de commutation, le terme ∂q ∂t ·fk est non nul. On peut donc multiplier l’égalité précédente par l’inverse de ce terme scalaire et obtenir l’expres∂τk sion de ∂X suivante : k ∂Tk ∂ϕk = − ∂Xk ∂Xk " numériquement l’équation différentielle suivante : ∂fk ∂ϕk d ∂ϕk = dt ∂Xk ∂X ∂Xk (3.40) ∂ϕk avec ∂Xk t=0 ∂ϕk ∂Xk ∂ϕk ∂Xk (3.39) Pour une BVP d’ordre deux, tous les termes de cette relation peuvent être trouvés analytiquement. Par contre, dans le cas d’un système d’ordre trois on ne peut qu’obtenir une expression numé∂ϕk rique du terme ∂X . Il faut à cet effet résoudre k : Πp → Uk Πp p ◦ Tp ◦ p−1 (Uk ) (3.41) Remarque 18 Dans notre exemple, la section de Poincaré est définie par t mod 1 = 0. On peut considérer, sans perte de généralité, que t est égal à une valeur entière quelconque lorsque l’on se trouve sur la surface Πp . La projection p consiste simplement à enlever la variable t du vecteur d’état. On construit la projection inverse p−1 en ajoutant cette variable avec une valeur entière quelconque. Un cycle limite de la séquence {+Ic , 0, −Ic , 0} (il peut en exister plusieurs) est alors représenté par le point fixe U? solution de : U? : Tl (U? ) = U? (3.42) L’origine de l’espace de phase est l’unique cycle limite de la séquence {+Ic, 0, −Ic , 0} de la BVP– IC d’ordre deux. Il est rare que la solution U? puisse être trouvée analytiquement. On utilise en général l’algorithme de Newton pour résoudre l’équation du 72 Chapitre 3. Analyse point fixe. La jacobienne de la transformée JTl nécessaire à l’algorithme est alors donnée en injectant (3.34) et (3.39) dans : JTl (Uk ) = ∂Tl ∂p ∂Tp ∂p−1 = ∂Uk ∂X ∂Xk ∂U (3.43) Par définition, les multiplicateurs µi du cycle limite sont les solutions du polynôme caractéristique κl (µ) = |JTl − µ In−1 | = 0. L’analyse des bifurcations des cycles limites correspondants à une séquence se fait alors en résolvant l’équation suivante avec l’algorithme de Newton et pour un vecteur de paramètres λ donné : Tl (U ) − U =0 F (U, λ) = (3.44) κl (µ) On obtient ainsi la localisation du cycle limite U? et la valeur des multiplicateurs µi caractérisant le comportement de ce cycle. La résolution de cette équation pour plusieurs paramètres λ permet de mettre en évidence les bifurcations du système. Les méthodes numériques liées à l’analyse des bifurcations sont présentées dans [Mir87][Par89][Kuz96]. Il est possible d’obtenir la valeur analytique des multiplicateurs de l’unique cycle limite de la BVP– IC d’ordre deux en fonction des paramètres a et b. Le cycle limite est stable si et seulement si tous les multiplicateurs du cycle sont de module inférieur à l’unité. On en déduit la condition de stabilité du cycle limite : b < 4. – la condition b < 4 − 2a pour la séquence {0, −Ic }. Ces calculs analytiques sont cependant fastidieux surtout lorsque la séquence est longue. Les résultats de l’analyse de stabilité sont établis dans un voisinage proche de l’origine. On peut dans ce cas profiter du choix judicieux des variables d’état du modèle NL–DL pour étudier facilement la stabilité du cycle limite localisé à l’origine. 3.3.2 Calcul du multiplicateur à partir du modèle linéarisé discret Le modèle NL–DL permet de simplifier grandement les équations du système et de plus il permet d’exclure certaines séquences en se plaçant dans un voisinage proche de l’origine. On considère un certain type de séquence en déterminant l’ordre d´échange des différentes transformations composites Tij du modèle NL–DL lorsque l’on parcourt le cycle limite. Le graphe des séquences de la fig. 3.9 permet de déterminer tous les types de séquences possibles dans un voisinage proche de l’origine. T++ Xk ∈ R++ T++ Xk ∈ R+− Conclusion Avec cette méthode, on peut localiser les cycles limites d’une séquence particulière et déterminer les multiplicateurs de ces cycles. On caractérise alors leur comportement dans un voisinage suffisamment proche. Cette méthode est appliquée numériquement, dans la plupart des cas, comme celui de la BVP– IC d’ordre trois. Pour le système d’ordre deux, on peut appliquer cette méthode analytiquement et obtenir les conditions de stabilité dans l’espace des paramètres. En s’intéressant au cycle limite localisé à l’origine de l’espace de phase, on peut ainsi déduire les conditions de stabilité de quelques séquences : – la condition b < 4 pour la séquence {+Ic , 0, −Ic , 0} ; – la condition b < 4 + 2a pour la séquence {+Ic , 0} ; T+− T−+ Xk ∈ R−+ T−− Xk ∈ R−− T−− Fig. 3.9 : Graphe des séquences possibles dans un voisinage suffisamment proche de l’origine La séquence {+Ic , 0, −Ic , 0} est alors considérée comme la composition T+− ◦ T−+ des transformations composites du modèle NL–DL. La jacobienne du cycle est alors le produit des jacobiennes des transformations composites Tij . Ces jacobiennes sont les matrices d’état Aij du modèle NL–DLé présenté dans le § 2.6 (page 39). 3.3. Stabilité d’une séquence 73 νk Nous présentons dans la suite les conditions de stabilité des trois types de séquences les plus simples : T++ , T−− , T+− ◦ T−+ et T−+ ◦ T+− . F?− Convergences oscillatoires Les séquences T+− ◦T−+ et T−+ ◦T+− sont liées à un type de trajectoire dit oscillatoire car elles correspondent à l’alternance d’une charge puis d’une décharge de courant sur le filtre. Après un certain nombre d’itérations k, la fig. 3.10 montre que la trajectoire s’échange entre les régions R+− et R−+ à chaque itération respectant ainsi les deux séquences T+− ◦ T−+ et T−+ ◦ T+− . Selon la région R+− ou R−+ du point initial de la trajectoire, ces deux transformations génèrent les sous–séries {Xk+2n } et {Xk+2n+1 } de la même trajectoire. La condition de stabilité doit être la même pour ces deux séquences puisqu’elles décrivent la même trajectoire prise à des instants initiaux différents. Les jacobiennes des transformations T+− ◦ T−+ et T−+ ◦ T+− sont respectivement J+−+ = J (T+− ◦ T−+ ) |O et J−+− = J (T−+ ◦ T+− ) |O . Bien que ces deux jacobiennes soient différentes, F+? Xk+1 Convergences sur–amorties La séquence T++ (respectivement T−− ) correspond à un système qui charge (respectivement décharge) le filtre à chaque itération en se rapprochant asymptotiquement du point fixe. Cela correspond au comportement typique d’un système sur–amorti. Les jacobiennes de T++ et T−− calculées autour de l’origine sont les matrices A++ et A−− du modèle NL–DLé. Les conditions de stabilité des séquences sont donc directement celles des matrices A++ et A−− . Soit la condition b < 4 + 2a pour la séquence {+Ic , 0} et b < 4 − 2a pour la séquence {0, −Ic }. On retrouve de manière beaucoup plus aisée les mêmes conditions de stabilité qu’avec la méthode précédente. De multiples simulations du modèle NL–DL ont été effectuées pour des valeurs de (a, b) comprises dans [0 , 1] × [0 , 8], et pour un état initial choisi aléatoirement dans le voisinage du point statique : aucune occurrence des séquences T++ et T−− n’a été observée dans un voisinage arbitrairement proche de l’origine. L’hypothèse d’une convergence ou d’une divergence de type sur–amortie doit être une hypothèse forte. R+− R−− 0 R++ F−? Xk R−+ 0 −1 Xq F?+ τk 0 1 Fig. 3.10 : Exemple de trajectoire commune aux deux cycles T+− ◦ T−+ et T−+ ◦ T+− elles possèdent les mêmes valeurs propres. On obtient ainsi la condition de stabilité b < 4 qui est commune aux deux séquences. La condition de stabilité b < 4 est moins restrictive que la condition b < 4−2a trouvée dans l’analyse linéaire discrète du § 3.2 (page 67). Plusieurs simulations du modèle non–linéaire ont permis d’observer les séquences T+− ◦ T−+ et T−+ ◦ T+− [Acc01b]. Le système peut être stable pour un couple (a, b) tel que (4 − 2a) < b < 4. La condition de stabilité établie dans [Gar80a] n’est donc pas vérifiée pour ce type de séquence. Le point fixe opère une bifurcation de type « fourche » [Kuz96] pour b = 4 où le point origine devient instable et donne naissance à un cycle de période 2 T stable. 3.3.3 Conclusion Deux méthodes sont proposées pour analyser la stabilité d’un cycle limite, l’une étant plus générale que l’autre. La première méthode propose un algorithme numérique permettant de localiser les cycles limites d’une séquence arbitraire et d’obtenir la valeur numérique des multiplicateurs de ce cycle. On peut ainsi analyser le schéma de bifurcation de la BVP–IC d’ordre trois de manière numérique et celle d’ordre deux de manière analytique. Les résultats de stabilité d’un cycle limite sont donnés dans un voisinage proche du cycle limite. La seconde méthode permet d’analyser avec une grande facilité n’importe qu’elle séquence de la BVP–IC d’ordre deux pouvant se produire dans un voisinage proche de l’origine. Cette méthode 74 Chapitre 3. Analyse ne convient pas aux cycles limites éloignés de l’origine. En s’intéressant au cycle limite localisé à l’origine de l’espace de phase pour un système d’ordre deux, les deux méthodes donnent les mêmes conditions de stabilité : – la condition b < 4 pour les séquences {+Ic , 0, −Ic , 0} et {0, −Ic , 0, +Ic } ; – la condition b < 4 + 2a pour la séquence {+Ic , 0} ; – la condition b < 4 − 2a pour la séquence {0, −Ic }. On constate des différences importantes de comportement du système autour d’un seul et même point selon que l’on considère telle ou telle séquence. Il est donc important, mais malheureusement difficile, de déterminer les conditions d’existence de chacune des séquences. Il faudrait pour cela déterminer analytiquement les bassins d’attractions de chaque cycle limite. Le choix d’un couple de paramètres dans l’intersection des trois domaines de stabilité précédents ne permet pas de garantir la stabilité du système : il peut exister une autre séquence dont les trajectoires sont instables. Cette technique ne permet pas de conclure sur la stabilité du système quelles que soient les séquences suivies par la trajectoire. Une démonstration globale en séquence de la stabilité de la BVP– IC du second ordre est proposée dans la section suivante. 3.4 Stabilité quelles soient les séquences l’origine. Le modèle NL–DLé est utilisé par la suite pour démontrer la stabilité locale en trajectoire et globale en séquence de la BVP–IC d’ordre deux. 3.4.1 Un contre–exemple Le but de cette section est de montrer qu’en général la stabilité d’un système hybride ne dépend pas uniquement de la stabilité des systèmes continus qui le composent mais aussi des commutations de l’état discret. Il est commun de penser qu’un système qui commute entre plusieurs systèmes stables soit luimême stable. L’étude approfondie des systèmes hybrides a permis de prouver que cette assertion est fausse. Nous en présentons ici un contre–exemple souvent rencontré dans les publications permettant de s’initier à l’analyse des systèmes hybrides [Ant00][Dav01][Lib99]. Ce contre–exemple, illustré sur la fig. 3.11, est basé sur la commutation entre deux systèmes linéaires stables S1 (en trait plein, vignette en haut à gauche) et S2 (en trait discontinu, en haut à droite). Système linéaire S1 Système linéaire S2 Système hybride instable Système hybride stable que Dans cette section nous cherchons à prouver la stabilité du point fixe situé à l’origine du plan de phase quelles que soient les séquences qui peuvent se produire dans son voisinage. En utilisant les termes des définitions 6 et 7 (page 54), on cherche à démontrer la stabilité locale en trajectoire et globale en séquence. Les modèles se prêtant à une étude locale en trajectoire et globale en séquence sont le modèle NL–DL et le modèle NL–DLé. Le modèle NL–DL est semi–local en trajectoire (il est valide en dehors des phases transitoires caractérisées par |τk | < T ) mais ses équations sont non–linéaires et difficiles à étudier. En linéarisant le modèle NL–DL autour de l’origine, on simplifie les équations au prix d’un domaine de validité restreint au voisinage proche de Frontière S1 Frontière S2 Frontière S1 Frontière S2 Fig. 3.11 : Création d’un système hybride instable à partir de la commutation entre deux systèmes stables S1 et S2 La commutation du système hybride S entre les deux systèmes S1 et S2 stables peut aussi bien donner un système S stable (vignette en bas à droite) qu’un système S instable (vignette en bas à gauche). Inversement, la commutation entre deux 3.4. Stabilité quelles que soient les séquences systèmes S1 et S2 instables peut donner naissance à un système S aussi bien instable que stable. Ceci s’explique par le fait que les surfaces de commutations d’un système hybride S localisent les trajectoires de chaque système S1 et S2 dans une région particulière de l’espace de phase. L’analyse de stabilité du système S ne doit donc plus considérer les trajectoires de chaque système S1 et S2 dans l’espace de phase entier. Pour chaque système S1 ou S2 stable, il peut exister une région de l’espace de phase (représentée en gris sur la figure) où les trajectoires s’éloignent de l’origine. Le système S1 ou S2 est localement instable dans cette région, mais il reste cependant globalement stable car ses trajectoires finissent toujours par quitter cette région pour entrer dans une région de stabilité (les région laissées en blanc sur la figure). Le jeu des commutations d’un système hybride S peut amener ses trajectoires majoritairement dans les régions localement instables des systèmes S1 et S2 entre lesquels il commute. Dans notre exemple, pour créer un système S instable il suffit de commuter d’un système S1 ou S2 à l’autre, lorsque ce système quitte sa région d’instabilité. Il entre alors dans la région d’instabilité du second système. Comme le montre la vignette en bas à gauche, la trajectoire d’un tel système S est instable. Les frontières de commutation sont représentées en trait gras plein pour le système S1 et en trait gras discontinu pour le système S2. La vignette en bas à droite de la figure montre un système S stable créé en commutant dès que la trajectoire pénètre la région d’instabilité de chaque système S1 ou S2. On ne peut donc pas prouver la stabilité de la BVP–IC d’ordre deux en déterminant la région où les quatre transformations Tij composant le modèle NL–DL sont stables. La condition de stabilité b < 4 − 2a, qui correspond à cette région où tout les sous–systèmes sont stables, n’est donc pas justifiée. L’analyse de stabilité d’un système hybride doit se faire avec une méthode plus générale que celle de l’analyse linéaire basée sur la notion de valeur propre. Des bilans sur l’état d’avancement des recherches sur ce thème sont proposés dans les articles [Ant00][Dav01][DeC00][Lib99]. La grande majorité des méthodes d’analyse des systèmes hybrides est basée sur l’utilisation de la méthode directe de Lyapunov. 75 3.4.2 Méthode directe de Lyapunov et extension aux systèmes hybrides L’analyse d’un système linéaire est chose aisée puisque l’on peut en déterminer la stabilité à partir des valeurs propres. Cette méthode n’est pas applicable aux systèmes non–linéaires, linéaires commutés ou linéaires d’ordre très élevé. D’autres méthodes ont été proposées. L’étude de la stabilité d’un point singulier à partir des équations linéarisées a été développée de manière indépendante par Poincaré et Lyapunov à la fin du XIXème siècle. Lyapunov a appelé ce type d’étude locale la première méthode. Lorsque le système est différentiable, il est alors établi que le système non–linéaire se comporte de manière similaire à son système linéarisé dans un voisinage du point singulier. Cette méthode trouve ses limites pour des systèmes non–différentiables et ne permet pas d’établir de stabilité globale. Lyapunov propose alors une seconde méthode appelée aussi méthode directe permettant d’établir une condition suffisante mais non nécessaire de stabilité. Cette condition n’est plus limitée à un voisinage arbitrairement proche du point singulier mais dans un voisinage plus large pouvant s’étendre sur tout l’espace de phase. Méthode directe de Lyapunov Cette méthode directe est basée sur l’existence d’une fonction scalaire, appelée fonction de Lyapunov, respectant les conditions du théorème 4. Ce théorème impose à la fonction de Lyapunov, qui joue le rôle d’une mesure abstraite de l’énergie du système, d’être décroissante le long de n’importe quelle trajectoire du plan de phase. Théorème 4 Un système est asymptotiquement stable dans un voisinage du point origine si et seulement si il existe une fonction scalaire V (x) telle que : (i) V (x) est continûment différentiable dans une région S autour de l’origine ; (ii) V (x) > 0 ∀ x 6= 0 ; (iii) V (0) = 0 ; (iv) V̇ (x) = dV (x) dt < 0 pour x 6= 0. Un exemple de fonction de Lyapunov est donné dans la fig. 3.12. Les conditions (i) à (iii) assurent que V (x) est définie positive. Ainsi la relation 76 Chapitre 3. Analyse x2 V (x) ∇V Trajectoire stable V (x) = c ∇V · f < 0 V (x) = c f (x) x1 x2 ∇V · f > 0 x1 Trajectoire instable f (x) V (x) = c ∇V Trajectoire Fig. 3.12 : Une fonction de Lyapunov et sa projection dans le plan de phase Fig. 3.13 : Une fonction de Lyapunov et sa projection dans le plan de phase V (x) = c définit une surface fermée contenue dans la région S. La condition (iv) implique que V̇ (x) = dVdt(x) pour x décrivant la trajectoire soit définie négative. En décomposant cette dérivée on obtient dVdt(x) = dV (x) dx dx · dt = ∇V · f où ẋ = f (x). La fig. 3.13 montre que la condition (iv) imposant ∇V · f < 0 oblige ainsi toute trajectoire de S à traverser la surface V (x) = c de l’extérieur vers l’intérieur. Comme cette condition doit être vérifiée quel que soit c, les trajectoires ne peuvent que converger vers le point origine où V (0) = 0. pas unique. L’échec du test de stabilité effectué avec une fonction que l’on appelle fonction candidate n’implique pas l’instabilité du système. Remarque 19 Cette preuve de stabilité est valide uniquement dans la région S. On peut étendre ce théorème pour assurer une stabilité globale du point origine en modifiant la condition (i) pour couvrir l’espace de phase entier et en ajoutant la condition (v) suivante pour garantir l’unicité du point fixe à l’origine. Les conditions du théorème deviennent donc : (i) V (x) est continûment différentiable dans tout l’espace de phase ; (ii) V (x) > 0 ∀ x 6= 0 ; (iii) V (0) = 0 ; (iv) V̇ (x) < 0 pour x 6= 0. (v) Fonctions de Lyapunov quadratiques pour le cas discret La méthode directe s’applique de la même manière au système discret xk+1 = T (xk ) en interprétant la condition (iv) par : V̇ (x) , V (xk+1 ) < V (xk ) (3.45) On obtient ainsi le théorème 5 permettant de déterminer l’existence d’une fonction de Lyapunov pour un système discret. Théorème 5 Le système discret xk+1 = T (xk ) est asymptotiquement stable dans un voisinage du point origine si et seulement si il existe une fonction définie positive V (xk ) telle que : (i) V (xk ) est continûment différentiable pour tout xk élément d’une région S autour de l’origine ; (ii) V (xk ) > 0 ∀ xk 6= 0 ; (iii) V (0) = 0 ; (iv) V (T (xk )) − V (xk ) < 0 pour x 6= 0. lim V (x) = ∞ pour x 6= 0. kxk→∞ La difficulté d’application de cette méthode vient du fait qu’une fonction de Lyapunov n’est Il est fréquent de rechercher une fonction de Lyapunov candidate de forme quadratique V (x) = xT P x. Les conditions (i) à (iii) sont alors 3.4. Stabilité quelles que soient les séquences vérifiées si et seulement si la matrice P est définie positive. La condition (iv) devient : T T (xk ) P T (xk ) − xk T P xk < 0 (3.46) Un système admettant une fonction de Lyapunov de ce type est dit quadratiquement stable. Ce type de fonctions a été proposé initialement pour l’analyse des systèmes robustes avec une matrice P = P constante [Bar84]. Il y a deux principaux intérêts à la recherche de fonctions de Lyapunov quadratiques : – la condition (iv) se présente alors sous la forme d’une optimisation convexe dont la solution peut être trouvée à l’aide d’algorithmes numériques ; – ce problème est décidable, c’est–à–dire que l’on peut déterminer s’il existe une fonction de Lyapunov de forme quadratique au problème. Remarque 20 Ce théorème appliqué à un système discret linéaire xk+1 = A xk donne la condition de stabilité suivante : xk T (AT P A − P ) xk < 0 (3.47) Il s’agit d’une inégalité matricielle linéaire14 (IML) que l’on résout en général par des algorithmes numériques. Cette IML peut être cependant résolue de manière analytique en appliquant le théorème de Sylvester à la matrice P ? solution de AT P ? A − P ? = N 77 On retire beaucoup de conservatisme à la méthode en définissant plusieurs fonctions de Lyapunov Vi chacune attachée à une région Ωi de l’espace hybride. La fonction d’énergie globale V commute entre ces différentes fonctions Vi selon l’état du système hybride. On parle alors de fonctions de Lyapunov multiples 15 que l’on note FLM. Lors des commutations de la fonction de Lyapunov globale, on peut imposer de différentes manières la décroissance de V le long des trajectoires. Quelques unes de ces méthodes se trouvent dans [Pel91][Bra98][Ye98]. L’ensemble de ces résultats porte sur l’analyse de systèmes hybrides continus qui ne sont plus considérés comme des systèmes autonomes invariants dans le temps. L’application de la méthode directe de Lyapunov se fait par le biais d’un théorème plus général adapté aux systèmes variants dans le temps [Slo91][Hah67]. Le théorème 6 présente les conditions nécessaires et suffisantes de stabilité asymptotique uniforme dans le cas des systèmes discrets variants dans le temps. Théorème 6 Le système discret xk+1 = T (xk , k) est uniformément asymptotiquement stable dans une domaine Ω si et seulement si il existe une fonction de Lyapunov V (xk , k) et des fonctions α, α et α0 de classe K telles que V (O, k) = 0 et α(kxk k) ≤ V (xk , k) ≤ α(kxk k) ∀xk ∈ Ω/{0} (3.48) et sa différence le long de la solution de toutes trajectoires du système est décroissante : avec N une matrice définie positive arbitraire. On montre dans [Kal60] que cette condition revient à appliquer le critère de Jury à la matrice A. V (xk+1 , k + 1) − V (xk , k) ≤ −α0 (kxk k) (3.49) ∀xk ∈ Ω/{0} Application de la méthode directe de Lyapunov aux systèmes hybrides Si, de plus, la fonction α est de classe K∞ 16 et le domaine Ω est étendu à tout l’espace de phase, alors la stabilité est globale uniforme et asymptotique. Il y a beaucoup de résultats dans la littérature qui utilisent la méthode directe de Lyapunov pour démontrer la stabilité d’un système hybride. La manière la plus simple est de chercher une fonction de Lyapunov quadratique commune à tous les systèmes continus du modèle hybride. Cette solution proposée dans [Doğ94] est dans la plupart des cas très restrictive. Les auteurs montrent qu’il suffit que tous les systèmes soient instables pour qu’il n’existe pas de fonction de Lyapunov commune. 14 linear Matrix Inequalities en Anglais, que nous notons IML dans la suite Remarque 21 Contrairement aux systèmes à temps continu, il n’est pas nécessaire d’imposer à la fonction de Lyapunov V (Xk , k) d’être continûment différentiable pour les systèmes discrets. Ce théorème très général est difficile à exploiter car il n’y a pas de méthode systématique pour tester l’existence d’une telle fonction V . Par contre, 15 multiple Lyapunov functions en Anglais désignées par l’acronyme MLF. 16 On appelle fonction de classe K ∞ toute fonction de classe K non bornée : lim α(s) = ∞ s→∞ 78 Chapitre 3. Analyse il est possible de tester l’existence de certaines formes de fonctions de Lyapunov candidates. Le principal problème réside alors dans le conservatisme imposé par le choix d’une forme particulière de fonction de Lyapunov. L’application de l’un de ces théorèmes au modèle Hyb–CNC permettrait d’établir une preuve globale en trajectoire et globale en séquence de la BVP–IC. Malheureusement, la présence d’événements périodiques extérieurs dans le modèle Hyb– CNC exclut l’utilisation des quelques méthodes de recherche proposées jusqu’ici. La modification des théorèmes précédents dans le but de prendre en compte l’apparition d’événements extérieurs périodiques reste un problème ouvert d’un grand intérêt en ce qui concerne la preuve de stabilité globale de la BVP–IC. Nous nous débarrassons des événements périodiques extérieurs en les utilisant pour discrétiser le modèle Hyb–CNC. Nous obtenons ainsi, par le biais d’un changement de variable, le modèle NL– DL qui est entièrement autonome. En revanche, ces équations sont non–linéaires discrètes définies par morceaux. Nous proposons d’utiliser le théorème 6 pour prouver la stabilité du modèle modèle NL–DLé issu de la linéarisation du modèle NL–DL. La linéarisation de Lyapunov permettrait ensuite de déduire la stabilité du modèle NL–DL à partir de celle de son modèle linéarisé, le modèle NL–DLé. Mais la première méthode de Lyapunov ne peut être appliquée aux systèmes variants dans le temps sans précautions particulières. Nous proposons dans la section suivante de démontrer la validité de la linéarisation de Lyapunov dans le cas des systèmes discrets variants dans le temps à partir de l’utilisation d’un fonction de Lyapunov continûment différentiable. 3.4.3 Stabilité des systèmes non–linéaires commutés Nous appelons système non–linéaire discret commuté tout système de la forme : Xk+1 = Tξ(Xk ) (Xk ) avec ξ(Xk ) = i lorsque Xk ∈ Ri (3.50) où i appartient à l’ensemble fini Ξ L’indice ξ(Xk ) est une fonction de Rn dans Ξ qui dépend entièrement de Xk . Cette fonction ξ(Xk ) est une fonction qui désigne la transformation Ti utilisée pour itérer le terme Xk . Pour alléger l’écriture, nous notons Ti (Xk ) le terme Tξ(Xk ) (Xk ). Les transformations Ti sont des fonctions de Rn dans Rn continûment différentiables dans un voisinage de l’origine. La fonction ξ(Xk ) est entièrement définie si les régions Ri forment une partition de l’espace de phase. Nous supposons, sans perte de généralité, que l’origine est un point fixe de la récurrence. Les fonctions Ti s’annulent donc toutes à l’origine : Ti (O) = O où O désigne le vecteur nul de Rn . Il est possible de déduire la stabilité locale d’un système non–linéaire à temps continu en prouvant la stabilité asymptotique uniforme du système obtenu par linéarisation. Bien que l’extension d’un tel résultat aux systèmes discrets soit facile à obtenir, elle n’a pas été trouvée dans la littérature. Nous présentons donc ici la démonstration du théorème 7 portant sur l’analyse locale de stabilité uniforme et asymptotique d’un système non–linéaire discret commuté. Théorème 7 Soit un modèle non–linéaire discret commuté de la forme (3.50). On définit à partir de (3.50) le système discret linéaire commuté par : Xk+1 = Aξ(Xk ) Xk avec ξ(Xk ) ∈ Ξ (3.51) où Ai sont les jacobiennes des transformations Ti du système non–linéaire définies à l’origine O du plan de phase : Ai = J(Ti )|O . Le système (3.50) est uniformément stable asymptotiquement dans un voisinage du point origine si le système (3.51) admet une fonction de Lyapunov définie par le théorème 6 qui soit continûment différentiable. Preuve : La démonstration se fait en montrant qu’il existe un voisinage S 0 du point origine tel que la fonction de Lyapunov continûment différentiable V du système linéaire (3.51) soit aussi une fonction de Lyapunov du système (3.50). La fonction V remplit les conditions du théorème 6 dans un voisinage S de l’origine. La condition (3.49) est donc vérifiée pour tout i ∈ Ξ : V (Ai Xk ) − V (Xk ) < −α0 (kxk k) pour tout Xk ∈ Ri ∩ S (3.52) Cherchons les conditions telles que V soit une fonction de Lyapunov du système non–linéaire (3.50) au sens du théorème 6. Les conditions (3.48) ne dépendent pas du système : elles sont donc vérifiées par V. 3.5. Stabilité quadratique 79 La condition (3.49) dépendant du système restant à vérifier est : L = V (Ti (Xk )) − V (Xk ) < −α0 (kxk k) (3.53) pour tout Xk ∈ Ri ∩ S Effectuons un développement de Taylor du premier ordre des fonctions Ti autour de l’origine : Ti (Xk ) = Ti (O) + Ai Xk + Oi (Xk ) avec Oi (Xk ) telle que ∀αi , ∃ri tel que (3.54) kOi k < αi kXk k2 pour tout Xk ∈ B(ri ) On note B(r) la boule de rayon r centrée sur l’origine. La majoration αi kXk k2 du reste de Lagrange est valide dans la boule B(ri ) et donc, à fortiori, dans B(ri ) ∩ Ri . Les fonctions Ti étant nulles à l’origine, la condition (3.53) devient alors, pour tout i ∈ Ξ : L = V (Ai Xk + Oi (Xk )) − V (Xk ) < −α0 (kxk k) pour tout Xk ∈ Ri ∩ S (3.55) En choisissant αv = 1 dans le développement (3.56), on majore |Ov (Oi (Xk ))| par kOi (Xk )k si Xk ∈ B(rvi ). Soit rv = min rvi , la condition (3.58) i∈Ξ est vérifiée a fortiori pour tout i ∈ Ξ et pour tout Xk ∈ Ri ∩ B(rv ) ∩ S si : k∇V k kOi (Xk )k + kOi (Xk )k < kXk k2 soit kOi (Xk )k < (3.59) kXk k2 = β kXk k2 k∇V k + 1 La fonction V étant continûment différentiable sur S, la norme du gradient ∇V est bornée dans le voisinage de l’origine S. Le terme β est donc strictement positif. On choisit alors les αi du développement (3.54) égaux à β2 pour majorer le terme kOi (Xk )k par β 2 2 kXk k pour Xk ∈ B(ri ). Définissons le voisinage S 0 par : ! \ S 0 = S ∩ B(rv ) ∩ B() ∩ B(ri ) (3.60) i∈Ξ La fonction V est continûment différentiable, on peut donc effectuer un développement de Taylor de V autour du point Xk Ai pour Oi (Xk ) suffisamment petit, (3.55) devient pour tout i ∈ Ξ : Dans le voisinage S , la condition (3.59) devient alors pour tout Xk ∈ S 0 : L = V (Ai Xk + Oi (Xk )) − V (Xk ) = V (Ai Xk ) − V (Xk ) + (3.56) h∇V , Oi (Xk )i + Ov (Oi (Xk )) où hu , vi est le produit scalaire de u et v, La fonction V est donc une fonction de Lyapunov du système (3.50) au sens du théorème 6. avec Ov (Oi (Xk )) tel que ∀αv , ∃rvi tel que |Ov (Oi (Xk ))| < αv kOi (Xk )k, ∀ Oi (Xk ) ∈ B(rvi ) On utilise ici le reste de Cauchy pour majorer le terme |Ov (Oi (Xk ))| par αv kOi (Xk )k. Les inégalités (3.52) étant définies au sens strict et appliquées à un système linéaire, pour chaque i ∈ Ξ il existe un i positif non nul tel que V (Ai Xk ) − V (Xk ) < −i kXk k2 < 0. Soit = min i , la condii∈Ξ tion (3.56) est vérifiée à fortiori si l’on remplace V (Ai Xk ) − V (Xk ) par − kXk k2 ce qui donne pour tout i ∈ Ξ et Xk ∈ Ri ∩ S : L < h∇V , Oi (Xk )i + Ov (Oi (Xk )) − kXk k2 < 0 (3.57) On majore l’expression L en utilisant les normes des termes du produit scalaire h∇V , Oi (Xk )i et la valeur absolue de Ov (Oi (Xk )), (3.57) devient pour tout i ∈ Ξ : L < k∇V k kOi (Xk )k + |Ov (Oi (Xk ))| − kXk k2 pour tout Xk ∈ Ri ∩ S (3.58) 0 L = V (Ti (Xk )) − V (Xk ) < − kXk k2 (3.61) 2 Ce théorème suppose que la fonction de Lyapunov est continûment différentiable, il ne peut donc pas être appliqué au cas des FLM. Par contre il permet de rechercher une fonction de Lyapunov quadratique commune pour le modèle NL–DL à partir du modèle NL–DLé. 3.5 Stabilité quadratique Le modèle NL–DL de la BVP–IC d’ordre deux a la forme d’un système non–linéaire discret commuté. Contrairement aux modèles linéaires, ce modèle a la propriété d’être global en séquence. À l’aide du théorème 7, nous pouvons établir la stabilité locale en trajectoire et globale en séquence de la BVP–IC d’ordre deux à partir de la linéarisation du modèle NL–DL : le modèle NL–DLé. Le modèle NL–DLé permet de poser le problème de la stabilité du système sous la forme de la résolution d’une IML. Des algorithmes performants existent et permettent d’optimiser un critère linéaire quadratique sous des contraintes exprimées par des IML avec une grande souplesse. 80 Chapitre 3. Analyse Les premiers résultats portant sur l’analyse des systèmes linéaires commutés sont issus de la recherche sur les systèmes robustes. Il s’agit alors de prouver la stabilité de systèmes dont les paramètres sont incertains et/ou variants dans le temps. Bien qu’il y ait relativement peu de travaux concernant les systèmes discrets variants dans le temps, d’intéressants résultats sont apportés dans [Had94][dO99][Ama98][Tro99]. La matrice dynamique est alors représentée comme une pondération de plusieurs matrices connues et invariantes dans le temps. Dans la section suivante nous récrivons le modèle NL–DLé sous cette forme pondérée. Le système est alors qualifié de système polytopique. 3.5.1 Représentation du système sous forme polytopique Reprenons les équations du modèle NL–DLé présentées dans le § 2.6 (page 39) : Xk+1 = Aij Xk lorsque Xk ∈ Rij (3.62) avec ij ∈ Ξ Ce modèle est de forme linéaire autonome commutée. L’ensemble des valeurs possibles des indices ij des matrices dynamiques Aij est l’ensemble Ξ = {++ ; +− ; −+ ; −−}. Nous cherchons à représenter les commutations des coefficients de la matrice dynamique par les variations d’une matrice dynamique incertaine. On appelle matrice incertaine une matrice dont les coefficients peuvent varier en fonction d’un paramètre λ dont on ne connaı̂t pas la valeur avec précision. Dans le cas d’un système commuté, on peut considérer que l’on ne connaı̂t pas la matrice Aij utilisée pour itérer Xk , ce qui revient à dire que l’on ne connaı̂t pas la séquence suivie par la trajectoire. Prouver la stabilité d’un tel système incertain revient alors à prouver la stabilité pour toutes les séquences possibles du système. Les résultats de l’analyse robuste garantissant la stabilité de ce genre de matrices incertaines peuvent être utilisés pour des systèmes commutés. Une matrice incertaine est représentée comme la pondération entre plusieurs matrices fixes bien définies. Dans l’espace des matrices dynamiques d’ordre deux, représenté de manière abstraite dans la fig. 3.14, ces matrices fixées délimitent un polygone que l’on nomme polytope. En poursuivant cette représentation géométrique, on appelle ces matrices les sommets du polytope. A1 fermeture convexe du polytope A(t1 ) A11 A10 polytope A7 A(t0 ) A9 A2 A3 A8 A(ti ) A4 A6 A5 Fig. 3.14 : Un polytope de 11 sommets, A1 à A11 , incluant le domaine de variation (en gris) de la matrice dynamique A(ti ). Sa fermeture convexe est représentée en trait gras. La matrice incertaine évolue à l’intérieur d’un domaine de variation représenté en gris sur la figure. Les sommets du polytope sont définis de manière à ce que le polytope inclut le domaine de variation de la matrice incertaine. L’ensemble des matrices atteintes par la pondération de ces sommets, que l’on appelle la fermeture convexe du polytope, contient à fortiori cette région. Nous appelons par la suite système polytopique tout système pouvant être écrit en fonction des sommets d’un polytope selon la relation (3.63). Xk+1 = X ξij (k)Aij Xk (3.63) ij∈Ξ Les coefficients ξij (k) sont les pondérations à l’instant k de chaque matrice dynamique Aij . On regroupe ces coefficients dans la fonction indicatrice ξ(k) : ξ++ (k) ξ+− (k) ξ(k) = ξ−+ (k) ξ−− (k) (3.64) La matrice incertaine se trouve à l’intérieur de la fermeture convexe du polytope si les composantes 3.6. Stabilité Poly–quadratique 81 ξij de la fonction indicatrice respectent les conditions suivantes : ξij ∈ [0 , 1] X ξij = 1 ∀ ij ∈ Ξ (3.65) ij ∈ Ξ On peut donc récrire le système commuté (3.62) sous la forme d’un système polytopique. Ce système est alors vu comme un cas particulier des matrices incertaines dans lequel la matrice dynamique évolue uniquement sur les sommets du polytope. Les composantes ξij de la fonction indicatrice prennent alors leurs valeurs dans l’ensemble discret {0 ; 1}. La somme des composantes devant être égale à 1, il ne peut y avoir qu’une seule composante ξij égale à 1 indiquant la matrice dynamique utilisée à l’instant k. Les résultats obtenus sur la stabilité des systèmes polytopiques peuvent donc être utilisés pour les systèmes commutés. 3.5.2 Recherche d’une fonction de Lyapunov quadratique commune La fonction candidate la plus simple est une fonction de Lyapunov constante P(ξ k ) = P qui soit commune à tous les systèmes, la matrice P étant semi–définie positive. On trouve dans [Bar84][Joh98][Bra98] une extension du théorème de stabilité du cas linéaire discret invariant au cas des systèmes polytopiques. Théorème 8 La fonction V (xk , ξ k )) = xTk P xk est une fonction de Lyapunov du système (3.63) si et seulement si ATij P Aij − P < 0, ∀ij ∈ Ξ (3.66) Cette condition devient, en appliquant le Lemme de Schur : −P ATij P < 0, ∀ij ∈ Ξ (3.67) P Aij −P Le système est dit quadratiquement stable lorsque les conditions de ce théorème sont respectées. L’avantage est que la démonstration de l’existence d’une telle fonction de Lyapunov se pose sous la forme d’une IML17 . L’existence 17 Inégalité matricielle linéaire d’une solution d’une IML peut être décidée à l’aide de la programmation semi–définie positive [Boy94][Gha95][Gah94][Nik]. L’inconvénient d’une telle méthode est que la condition de stabilité obtenue est souvent très restrictive. Dans le cas de la BVP–IC, les résolutions des IML montrent qu’il n’existe pas de matrice P remplissant ces conditions dans une portion raisonnable du plan paramétrique (a, b). La résolution de ces IML a été réalisée par les deux logiciels suivants : le solveur SeDuMi utilisé avec la boı̂te à outils Lmi de Matlab [Gah94] et le paquet LmiTool fourni pour Scilab [Nik]. L’application graphique de LmiTool permettant de saisir les inégalités matricielles a été modifiée pour générer les fichiers destinés aux deux logiciels à partir d’un seul et même fichier initial : ceci permet d’éviter les erreurs de saisie. 3.6 Stabilité tique Poly–quadra- Les travaux publiés dans [Daa01][Daa02][Joh98] proposent de réduire le conservatisme de la méthode en choisissant une fonction de Lyapunov propre à chaque matrice dynamique Aij . La foncP tion P s’écrit alors P(ξ k ) = ξ ij (k)Pij . ij ∈ Ξ L’existence d’une fonction de Lyapunov de ce type est alors prouvée par le théorème 9. Théorème 9 La fonction xTk P(ξ(k)) xk avec P(ξ(k)) V (xkP , ξ k )) = = ξ ij (k)Pij ij ∈ Ξ est une fonction de Lyapunov de (3.63) si : ATij Pkl Aij − Pij < 0 , ∀(ij, kl) ∈ Stout (3.68) où Stout est l’ensemble des transitions du système Ξ × Ξ. En appliquant le Lemme de Schur la condition devient : Pij ATij Pkl < 0 , ∀(ij, kl) ∈ Stout (3.69) Pkl Aij Pkl Un système remplissant les conditions de ce théorème est dit poly–quadratiquement stable. L’inégalité matricielle (3.69) imposant la décroissance de la fonction de Lyapunov doit être vérifiée pour toutes les séquences contenues dans Ξ × Ξ. Nous appelons l’ensemble de toutes les séquences Stout . Cette méthode réduit considérablement le conservatisme des résultats. 82 Chapitre 3. Analyse Néanmoins, dans le cas de la BVP–IC l’utilisation des algorithmes numériques montre qu’aucune fonction de Lyapunov quadratique multiple n’existe pour les couples de paramètres (a, b) testés. Pour réduire encore le conservatisme des résultats, nous allons ajouter de l’information sur les commutations de la BVP–IC permettant ainsi de relâcher des contraintes. 3.6.1 Stabilité poly–quadratique dans un ensemble de séquences réduit Dans le cas de la BVP–IC, il existe des séquences qui ne sont pas réalisables par le système. Par exemple, la matrice A++ active à l’instant tk ne peut pas commuter vers la matrice A−− à l’instant tk+1 . Il suffit pour cela de consulter le diagramme des transitions de la fig. 3.9 (page 72). Le second symbole j de l’identificateur de la matrice Aij , active à l’instant tk , indique l’état du DPF à l’instant tk+1 . Le premier symbole k de la matrice Akl , active à l’instant tk+1 , indique l’état discret au début de la période, soit à l’instant tk+1 . Le second symbole j de la matrice dynamique Aij doit donc être égal au premier symbole k de la matrice dynamique Akl . Ainsi, ne peuvent succéder à la matrice A+− que les matrices dont le premier symbole est « − », c’est–à–dire les matrices A−+ et A−− . On peut ainsi éliminer la moitié des commutations possibles et donc réduire de moitié le nombre de contraintes. Pour cela, on définit un ensemble des séquences réalisables S ⊂ Stout par S : {(ij, kl) tels que (ij, kl) ∈ Stout et j = k} Le théorème 9 est alors appliqué en remplaçant l’ensemble des transitions Stout par l’ensemble des transitions réalisables S. Les algorithmes numériques ont permis de trouver, pour plusieurs couples (a, b) du plan paramétrique, des matrices Pij définissant bien une fonction de Lyapunov. On peut donc établir pour certains couples paramétriques (a, b) une preuve locale en trajectoire et globale en séquence de la BVP–IC d’ordre deux. La domaine de stabilité dans le plan (a, b) est déterminé en balayant l’ensemble des paramètres (a, b) dans un domaine suffisamment étendu. On effectue alors le test de stabilité pour une grille de points (a, b) répartie le plus finement possible sur l’espace paramétrique. L’ensemble des points de la grille pour lesquels le test de stabilité a réussi forme une région où le système est très vraisemblablement stable. Cependant, il est possible qu’un couple (a, b) à l’intérieur de la région de stabilité présumée, et situé entre des points de la grille de calcul, échoue au test de stabilité. On suppose que les variations des paramètres d’un point de la grille à un point adjacent sont suffisamment faibles pour que le résultat de stabilité soit conservé. Un élément de réponse à ce problème est apporté dans le § 3.8 (page 89). La fig. 3.15 montre que cette région de stabilité présumée (en gris) se situe à l’intérieur du triangle défini par b < 4 − 2a, a > 0 et b > 0 ; ce triangle correspondant à la région où les quatre matrices dynamiques Aij sont stables. b 4.0 3.6 b < 4 − 2a 3.2 2.8 2.4 2.0 1.6 poly-quadratiquement stable 1.2 0.8 0.4 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 a Fig. 3.15 : Région de stabilité poly-quadratique 3.6.2 Validité du résultat pour le système non–linéaire Grâce au théorème 9, on a pu établir une preuve de stabilité dite poly–quadratique pour le modèle NL–DLé. Dans ce théorème, la fonction de Lyapunov utilisée est continue par morceaux. Les discontinuités de la fonction lors des commutations du système empêchent l’utilisation du théorème 7 pour déduire la stabilité locale du modèle NL–DL. Bien que la démonstration du théorème 7 puisse être étendue facilement au cas de la stabilité poly– quadratique, nous n’en présentons pas la démonstration directe ici. Cette démonstration peut être inclue, selon la remarque 23 (page 85), dans celle du théorème plus général présenté dans le § 3.7.1. La méthode utilisant ce théorème tend à réduire encore le 3.7. Stabilité poly–quadratique relâchée conservatisme du résultat précédant, en relâchant la contrainte liée à une transition dans la région du plan de phase où cette transition ne peut pas se produire. Nous présentons cette technique dans la section suivante. 3.7 Stabilité poly–quadratique relâchée Comme le montre le contre–exemple du § 3.4.1 (page 74) illustré dans la fig. 3.11, il est important de considérer la stabilité d’un système hybride en prenant en compte les phénomènes dans les régions du plan de phase où ils se produisent et non pas dans l’espace de phase global. Dans le contre–exemple de la fig. 3.11, le système hybride est composé des deux sous–systèmes S1 et S2. On appelle sous–système, un système continu composant le modèle hybride. Dans le cas discret du modèle NL–DLé, le système hybride est composé des quatre sous–systèmes Aij . Les résultats de la section précédente proposent des fonctions de Lyapunov liées à chaque sous– système. Ces fonctions de Lyapunov sont de forme quadratique définies par les matrices Pij . La stabilité est alors prouvée en imposant aux matrices Pij d’être, d’une part définies positives (Pij > 0), et d’autre part d’être décroissantes le long de toutes les transitions ij → kl possibles (ATij Pkl Aij − Pij ). On appelle transition de ij ∈ Ξ vers kl ∈ Ξ le passage du vecteur d’état continu Xk de la région Rij vers la région Rkl par la transformation non– linéaire T ij ou par la transformation linéaire Aij . On notera par la suite ij → kl une telle transition. L’ensemble des transitions possibles est l’ensemble S défini précédemment. Ces conditions de stabilité portent sans discernement sur l’ensemble de l’espace de phase. On réduit considérablement le conservatisme des contraintes en : – imposant Pij > 0 uniquement lorsque Xk ∈ Rij ; – relâchant la contrainte de décroissance ATij Pkl Aij − Pij liée à une transition ij → kl dans la région de l’espace de phase où cette transition ne peut pas apparaı̂tre. Par le biais de la S–procédure (présentée dans le § 3.7.2 (page 85)), il est alors possible de relâcher une contrainte de type F (X) > 0 lorsque X se trouve dans des régions Ωi d’une certaine forme. On peut donc appliquer cette technique pour relâ- 83 cher les deux contraintes ci-dessus dans des régions Ωi définies de manière adéquate. Cette méthode a été appliquée aux systèmes hybrides continus dans [Joh98][Pel93][Ye98], puis adaptée au cas discret affine par morceaux dans [FT02]. Nous présentons dans la section suivante un théorème permettant d’appliquer la linéarisation de Lyapunov à un système non–linéaire discret défini par morceaux et d’en démontrer la stabilité en appliquant les techniques développées pour les systèmes linéaires affines par morceaux. La S–procédure permettant de relâcher les contraintes dans des régions spécifiques du plan de phase est présentée dans le § 3.7.2 (page 85). Le § 3.7.3 (page 85) propose un découpage du plan de phase par des régions Ωi permettant de relâcher judicieusement les contraintes de stabilité. Le § 18 (page 88) formule finalement le test de stabilité de la BVP–IC d’ordre deux à l’aide de cette procédure et présente les résultats apportés par cette méthode. 3.7.1 Linéarisation de Lyapunov des modèles non–linéaires discrets commutés L’utilisation de fonctions de Lyapunov multiples nécessite des précautions particulières lorsqu’il s’agit de prouver la stabilité d’un système non–linéaire à partir de sa linéarisation. Nous proposons ici une manière de prouver la stabilité d’un système non–linéaire discret commuté de la forme (3.70) à l’aide de fonctions de Lyapunov multiples calculées pour le système linéarisé. Xk+1 = T (Xk ) = Ti (Xk ) lorsque Xk ∈ Ri (3.70) où i appartient à l’ensemble fini Ξ, les régions Ri forment une partition de plan de phase et les transformations Ti (X) sont continûment différentiables sur leur domaine Ri . Considérons sans perte de généralité que le point fixe d’intérêt de la récurrence T (X) se trouve à l’origine. Nous attachons une fonction quadratique Vi (X) = X T Pi X à une région Ωi du plan de phase. Les régions Ωi sont en nombre fini (i ∈ ΞΩ = 1 . . . n) et doivent former une partition du plan de phase pour définir correctement la FLM candidate par V (X) = Vi (X) lorsque X ∈ Ωi avec i ∈ ΞΩ 84 Chapitre 3. Analyse Pour tout triplet {ijk} ∈ Ξ × ΞΩ × ΞΩ , nous i définissons de plus les ensembles Zj→k des points X tels que les trois conditions suivantes soient vérifiées simultanément : – X ∈ Ri – X ∈ Ωj – T (X) = Ti (X) ∈ Ωk i En d’autres termes, Zj→k est l’ensemble des points menant de la région Ωj à la région Ωk par la transformation Ti . La preuve de stabilité se fait alors en imposant une condition de décroissance du type Vk (Ti (X))−Vj (X) < 0 uniquement pour les points i de Zj→k . Il suffit de trouver, pour une partition Ωi de l’esi pace de phase donnée, les régions Zj→k incluant les i ensembles de points Zj→k pour pouvoir appliquer le théorème 10. Ce théorème fournit une condition suffisante de stabilité locale, asymptotique et uniforme du système non–linéaire discret commuté à partir de sa linéarisation autour du point origine. Théorème 10 Soit un modèle non–linéaire discret commuté de la forme (3.70). On définit, à partir de la linéarisation de (3.70), les jacobiennes Ai des transformations Ti du système non–linéaire calculées à l’origine O du plan de phase : Ai = J(Ti )|O . Le système (3.70) est uniformément et asymptotiquement stable dans un voisinage de l’origine s’il existe des matrices symétriques Pi avec i ∈ ΞΩ telles que pour tout triplet {ijk} ∈ Ξ × ΞΩ × ΞΩ on ait : ATi Pk Ai − Pj < 0 i ∀X ∈ Zj→k (3.71) et pour tout i ∈ ΞΩ Pi > 0 ∀X ∈ Ωi (3.72) Preuve : La preuve se fait en démontrant que la fonction V (X) = Vi (X) lorsque X ∈ Ωi est une fonction de Lyapunov multiple au sens du théorème 6. Démontrons tout d’abord que la fonction V (X) est encadrée par deux fonctions de classe K. Pour chaque matrice Pi il existe une valeur propre maximale λmax (Pi ). La fonction λmax kXk2 , avec λmax = max λmax (Pi ), est de classe K et majore i ∈ ΞΩ V (X). De même, les inégalités (3.72) imposent que dans chaque région Ωi la fonction V (X) est minorée par un terme λi kXk2 strictement positif qui n’est pas forcément la valeur propre minimale de Pi . Si l’on prend la fonction de classe K définie par λmin kXk2 , où λmin = min λi , elle minore la fonction de i ∈ ΞΩ Lyapunov candidate. La fonction de Lyapunov multiple V (X) est donc encadrée par les deux fonctions de classe K suivantes : λmin kXk2 < V (X) < λmax kXk2 (3.73) Démontrons que la fonction de Lyapunov candidate est décroissante le long de toute trajectoire contenue dans un voisinage S du point origine. Les inégalités (3.71) étant linéaires et définies au sens strict, elles peuvent être majorées par un terme −αijk kXk2 avec αijk strictement positif. Le nombre i de régions Zj→k étant fini, nous pouvons désigner par α la valeur minimale des αijk pour tous les triplets {ijk}. La décroissance X T Lijk X = Vk (Ai X) − Vj (X) de la fonction de Lyapunov le long d’une trajectoire du système linéarisé est garantie par (3.71). Les inégalités suivantes sont donc vérifiées pour tous les triplets {ijk} : Lijk = ATi Pk Ai − Pj < −α kXk2 < 0 i ∀X ∈ Zj→k (3.74) Pour chaque point Xk de S, la trajectoire du système non–linéaire part d’un région Ωj vers une région Ωk par une transformation Ti . Chaque point Xk du voisinage de l’origine appartient donc, par définition, i à une région Zj→k qui correspond à la trajectoire issue de ce point. À chaque point Xk de la trajectoire du système non–linéaire correspond alors une inégai i lité linéaire (3.74) adéquate puisque Zj→k ⊂ Zj→k . La transformation Ti ainsi que la fonction de Lyapunov Vk (Xk+1 ) étant différentiables, on peut effectuer un développement de Taylor de manière similaire à celui effectué dans la démonstration du théorème 7 (3.56 page 79). On définit alors le voisinage S tel que le reste de Lagrange soit majoré par α2 par exemple. Le terme V (T (Xk )) est alors majoré par Vk (Ai Xk ) + α 2 2 kXk k . La décroissance L = V (T (Xk )) − V (Xk) = Vk (Ti (Xk )) − Vj (Xk ) de la fonction de Lyapunov est alors majorée en utilisant (3.74) par : L < Lijk + α α kXk k2 < − kXk2 < 0 (3.75) 2 2 La fonction de Lyapunov candidate, bien que discontinue, remplit toutes les conditions du théorème 7 pour tout point contenu dans le voisinage S du point origine non vide ainsi défini. 3.7. Stabilité poly–quadratique relâchée 85 Remarque 22 La méthode est intéressante si le point origine O appartient à une des régions Ωi et est adhérent à toutes les autres. Dans le cas contraire cela revient à rechercher une fonction de Lyapunov unique pour ce point fixe appartenant à la région Ωi entourant l’origine. i Remarque 23 La recherche des régions Zj→k i contenant la région Zj→k peut être difficile. Si l’on i l’espace de phase prend pour chaque région Zj→k entier, la condition de décroissance de chaque transition est imposée dans tout l’espace de phase. En choisissant, de plus, une partition du plan de phase Ωi = Ri , cette méthode revient à établir la stabilité poly–quadratique du système non–linéaire selon le théorème 9 utilisé précédemment. La preuve du théorème 10 permet de garantir la stabilité du système non–linéaire à partir de la stabilité poly–quadratique du modèle linéarisé. Remarquons, de plus, que dans le cas où une transition de l vers m est impossible, on peut i vides si j = l et k = m. prendre des régions Zj→k Cela permet de réduire l’ensemble des séquences réalisables comme dans le § 3.6.1 (page 82). La preuve précédente permet d’étendre la validité du résultat établi pour le modèle NL–DLé au modèle NL–DL. 3.7.2 La S–procédure La S–procédure est une technique générale permettant de remplacer une inégalité sur une fonction soumise à des contraintes par une inégalité sur une fonction sans contrainte. Nous détaillons cette procédure dans le cas de fonctions quadratiques pour des inégalités au sens large. Soient F 0 , . . . , F κ des formes quadratiques de la variable x ∈ Rn définies par : T F k (x) = xT Qk x + 2 (q k ) x + Φk pour k = 0, . . . κ (3.76) Considérons la condition sur F 0 suivante : F 0 (x) ≥ 0 pour tout x tels que F k (x) ≥ 0, k = 1, . . . κ (3.77) Théorème 11 S’il existe des λk ≥ 0, k = 1, . . . κ tels que : κ X k=1 λk F k (x) Ainsi, en introduisant des variables supplémentaires λk ≥ 0, la condition (3.77) est exprimée sous forme d’IML par : κ 0 0 k k X Q q Q q x̃ ≥ x̃ x̃T λk x̃T T 0 T 0 (q ) Φ (q k ) Φk k=1 x (3.79) avec x̃ = 1 On peut ainsi remplacer une condition F 0 valide sur une région définie par les contraintes Fi , par une condition non–bornée mise sous forme de IML. Remarque 24 Ce théorème est écrit pour des contraintes quadratiques ne contenant pas forcément le point origine du plan de phase. Dans le cas où les fonctions F 0 (X), . . . , F κ (X) sont nulles pour X = 0, les termes q k et Φk sont nuls. La condition (3.79) sous forme d’IML du théorème 11 se simplifie alors en : xT Q0 x ≥ κ X λk xT Qk x (3.80) k=1 De manière intuitive, la S–procédure relâche une contrainte F (X) > 0 dans une région Ω en imposant la contrainte X F (X) + λK Qk (X) > 0 P où le terme λK Qk (X) est défini positif si X ∈ Ω et défini négatif sinon. En imposant des formes quadratiques à F (X) et Qk (X), la condition relâchée devient une contrainte sous forme d’IML que l’on peut résoudre numériquement. Pour imposer la contrainte Pij > 0 uniquement dans la région Rij il suffit d’imposer une IML du type (3.81) avec Q0 = Pij et un ensemble de matrices Qk telles que : X T Qk X ≥ 0 ∀k = 1 . . . κ =⇒ X ∈ Rij (3.81) Cette condition (3.77) soumise à des contraintes, peut être remplacée par une condition sans contrainte de la manière suivante : ∀x ∈ Rn , F 0 (x) ≥ alors la condition (3.77) est vérifiée. (3.78) La section suivante montre comment représenter les régions Rij sous cette forme quadratique. 3.7.3 Partitionnement du plan de phase Dans cette section nous proposons une partition du plan de phase de type Ωi = Ri . Nous cheri chons ensuite à déterminer les régions Zj→k dans lesquelles des conditions doivent être relâchées. 86 Nous proposons finalement une manière de rei présenter ces régions Zj→k sous une forme quadratique propre à l’utilisation de la S–procédure. Il y a deux types de régions dans lesquelles des contraintes doivent être maintenues ou relâchées : – Rij – la fonction de Lyapunov X T Pij X doit être définie positive uniquement dans les régions où la matrice dynamique Aij est active, c’est–à–dire, la région Rij ; – Rijk – la condition de décroissance ATij Pjk Aij − Pij liée à une transition ij → jk doit être maintenue uniquement dans la région où cette transition peut apparaı̂tre, nous la notons Rijk par la suite. Nous rappelons que, pour la BVP–IC, il ne peut pas exister de transition ij → kl avec j 6= k. C’est pourquoi nous notons une transition du système ij → jk et la région où elle apparaı̂t Rijk . La partition de l’espace de phase avec Ωi = Ri pour tout i ∈ Ξ est un cas particulier du théoi rème 10. Les régions Zj→k correspondant au passage de Ωj à Ωk par la transformation Ti avec i 6= j sont vides puisque l’on applique Ti uniquement si X ∈ Ri = Ωi . Les seules régions non vides à déterminer sont ij les régions Zij→jk pour tout ij et jk pris dans Ξ. On note ces régions de manière plus allégée Rijk . Les régions de définition Rij du modèle NL–DL sont définies dans le § 2.5 (page 37) par les frontières Fij décrites dans (2.77). Il faut déterminer les régions Rijk où la transition ij → jk se produit. Pour cela nous utilisons le modèle NL–D-1 . Régions de définition des transitions Chaque transformation Tij est définie dans son domaine Rij où i et j sont des symboles éléments de l’ensemble fini {+; −}. Tout point Xk de la région Rij est transformé par Tij en un point noté Xk+1 . Le graphe des transitions de la fig. 3.9 montre que le point Xk+1 appartient soit à la région Rj+ soit à la région Rj− . Pour tout point Xk de la région Rij , il ne peut donc exister que les deux séquences ij → j+ et ij → j− selon que le point itéré Xk+1 se trouve respectivement dans les régions Rj+ et Rj− . La région Rij est donc l’union des deux régions disjointes Rij+ et Rij− . Remarque 25 On peut tester la stabilité du système en ne définissant que les quatre régions Rij sous forme quadratique. On maintient alors dans Chapitre 3. Analyse la région Rij uniquement les trois contraintes suivantes : Pij > 0 ATij Pj+ Aij − Pij > 0 ATij (3.82) Pj− Aij − Pij > 0 La région de stabilité ainsi obtenue est étendue en dehors du triangle de stabilité du système linéaire discret. Le découpage plus fin par des régions Rijk permet de ne retenir qu’une seule condition de décroissance dans chaque région et donne des résultats significativement moins restrictifs. Nous poursuivons donc la détermination des régions Rijk jusqu’au bout. Pour définir les région Rijk , il est nécessaire de déterminer l’ensemble des points Xk tels que Xk+1 = Tij (Xk ) appartient à Rjk . Cet ensemble est celui des antécédents par Tij de Rjk . Il peut être défini grâce à la transformation inverse par Tij−1 (Rjk ). Nous avons vu dans l’annexe D.2 que l’existence d’une transformation inverse continue permet d’établir une relation d’équivalence entre la topologie du plan de phase et celle de son conséquent par la transformation. Les transformations Tij étant des difféomorphismes, on peut utiliser le théorème 14 de cette annexe pour déterminer la région Tij−1 (Rjk ) à partir de l’image des frontières de Rjk par la transformation inverse Tij−1 . La définition de l’ensemble Rijk est alors l’ensemble des points de Rij tels que leur image par Tij appartient à Rjk . Les régions Rijk sont donc définies par l’intersection suivante : Rijk = Rij ∩ Tij−1 (Rjk ) (3.83) Le théorème 14 permet de définir analytiquement les régions Rijk à partir de l’une des deux frontières de Rij et de l’image par Tij−1 de l’une des deux frontières de Rjk . Remarque 26 Pour les régions R+++ et R−−− , l’intersection de la définition (3.83) est vide lorsque respectivement b < 2 et b > 2. Les séquences ++ → ++ et −− → −− sont donc irréalisables par le système pour certaines valeurs du paramètre b. Dans ce cas, on enlève simplement les contraintes de décroissance liées à ces transitions. Le plan de phase est ainsi découpé par les régions Rijk et Rij dans lesquelles sont imposées 3.7. Stabilité poly–quadratique relâchée des contraintes de stabilité locales à ces régions. Pour pouvoir formuler ce type de problème sous forme d’IML à l’aide de la S–procédure, il est impératif de représenter ces régions sous une forme quadratique. 87 Comme le montre la fig. 3.16, la région Ωi (en gris foncé) n’est pas forcément incluse dans sa région approchée Ω0i (en gris médian). ∂FΩ ∂x Inclusion des régions dans une forme quadratique i ∂FΩ x+ ∂y i y>ι ∂FΩ i ∂x x+ ∂FΩ ∂y i y>0 y Pour chacune des régions du type Rij et Rijk , nous cherchons à représenter l’appartenance du point X à une de ces régions par une inégalité de type X T Qi X > 0. On peut ainsi relâcher, ou imposer, une contrainte en y ajoutant, ou en retirant, cette égalité. Nous appelons indifféremment Ωi une région de type Rij ou Rijk . Chacune des régions Ωi est définie à l’aide de deux frontières FΩi (X) = 0 et FΩi (X) = 0 par : FΩ i Ωi O(x, y) > 0 x F Ωi Ωi 2 Ωi = {X ∈ R tels que FΩi (X) > 0 et FΩi (X) > 0} (3.84) Les régions Ωi issues du découpage du plan de phase de la BVP–IC ont l’avantage d’occuper chacune un voisinage de l’origine du plan de phase : la remarque 24 (page 85) nous permet d’affirmer que les termes q k et Φk de l’expression quadratique du type (3.79) sont nuls. Les frontières FΩi (X) = 0 et FΩi (X) = 0 passent donc par l’origine. Les frontières des régions Ωi ne sont pas des coniques du plan de phase. Il est donc impossible de représenter la totalité de ces régions par une forme quadratique. La démonstration de stabilité se faisant dans un voisinage proche de l’origine, il est alors possible de définir une région de forme quadratique incluant la région Ωi dans ce voisinage. Le conservatisme de la méthode est d’autant plus réduit que la région quadratique est proche de la région Ωi . On approche la région Ωi en linéarisant ses frontières autour du point origine, comme proposé dans l’expression (2.81) du § 2.6 (page 39) pour les régions Rij . On définit la région approchée Ω0i de Ωi par : Ω0i = {(x, y) ∈ R2 | et ∂FΩi (X) ∂FΩi (X) x+ y>0 ∂x ∂y ∂FΩi (X) ∂FΩi (X) x+ y>0 } ∂x ∂y (3.85) Ω0i O(x, y) < 0 Ω0i ci Ω ci Ω ∂FΩ i ∂x x+ ∂FΩ i ∂y y>ι ∂FΩ i ∂x x+ ∂FΩ i ∂y y>0 ci reFig. 3.16 : Définition d’une région quadratique Ω couvrant Ωi dans un voisinage de l’origine. La valeur de ι est choisie exagérément grande pour faciliter la représentation En remplaçant les frontières f (x, y) par leur li(x,y) (x,y) x + ∂f ∂y y, néarisation du premier ordre ∂f∂x on néglige le reste de Cauchy O(x, y). Ce terme O(x, y) tend en valeur absolue vers zéro lorsque la norme du vecteur (x, y) tend vers zéro. Lorsque le reste O(x, y) est négatif, le respect de l’inégalité non–linéaire f (x, y) > 0 implique le respect de l’inégalité linéaire ∂f (x, y) ∂f (x, y) x+ y > −O(x, y) > 0 ∂x ∂y Par contre, lorsque le reste O(x, y) est positif, le respect de l’inégalité non–linéaire n’implique pas le respect de l’inégalité linéaire. Il existe alors des points de Ωi qui n’appartiennent pas à Ω0i . ci Définissons maintenant la région englobante Ω de Ωi (représentée par l’union des régions en gris clair et gris médian sur la figure) par les inégalités 88 Chapitre 3. Analyse condition quadratique stricte X T Qi X > 0 pour qu’il existe un ι suffisamment petit de manière à ci . ce que X T Qi X > 0 implique X ∈ Ω suivantes : ci = {(x, y) ∈ R2 | Ω ∂FΩi (X) ∂FΩi (X) y>ι x+ ∂y ∂x ∂FΩi (X) ∂FΩi (X) x+ y>ι } ∂x ∂y (3.86) et où ι est un scalaire positif très petit18 . Le respect d’une inégalité non–linéaire implique (x,y) (x,y) x + ∂f ∂y y > ι − O(x, y). Il existe un que ∂f∂x voisinage suffisamment proche de l’origine tel que |O(x, y)| < ι et donc ι − O(x, y) > 0. Tout point ci dans ce voisinage. de Ωi est donc un point de Ω L’utilisation du terme ι très petit permet d’élargir le cône Ω0i de manière à englober Ωi . ci incluant Ωi On construit ainsi une région Ω ci est dédans un voisinage de l’origine. La région Ω finie par l’intersection de deux demi–plans définis par les inégalités linéaires (3.86). Ce type de région est facilement mis sous la forme quadratique. ci une matrice Ei On associe à chaque région Ω de la manière suivante : ∂FΩ (X) i Ei = ∂F ∂x(X) Ωi ∂x ∂FΩ (X) i ∂y ∂FΩi (X) ∂y ci ⇒ X ∈ Ωi Ei X ≥ ι2 ⇔ X ∈ Ω ι avec ι2 = ι (3.87) Dans ce cas, l’inégalité signifie que chaque composante du vecteur Ei X doit être supérieure à ι ; cette condition est strictement équivalente à la ci . condition X ∈ Ω La condition Ei X − ι2 ≥ 0 n’est pas une IML. On obtient une IML semblable en « l’élevant au carré », c’est–à–dire en la multipliant à gauche par sa transposée. On obtient ainsi l’inégalité suivante : X T Ei T Ei X+ ≥ 0 (3.88) X T Ei T ι2 + ι2 T Ei X + ι2 T ι2 Le premier terme X T Ei T Ei X que l’on note X Qi X est sous forme quadratique. Les autres termes peuvent être rendu aussi petits que possible en diminuant ι. Il suffit alors d’imposer une T 18 Le symbole ι est la neuvième lettre de l’alphabet grec, la plus petite de toutes, qui se prononce iota Remarque 27 La condition quadratique X T Qi X > 0 n’est pas équivalente à la condition Ei X > 0. La condition Ei X > 0 définit l’intersection de deux demi–plans de l’espace de phase. Cette intersection n’est pas une région symétrique par rapport à l’origine. Or, le passage en écriture quadratique implique que si X remplit la condition X T Qi X > 0 alors −X la vérifie aussi. La région de forme quadraci et la région symétique englobe donc la région Ω ci par rapport au point origine. trique à Ω Pour tout point X ∈ Ωi on a X T Qi X > 0, par contre la réciproque X T Qi X > 0 ⇒ X ∈ Ωi n’est pas vraie. Nous appelons par la suite Eij les matrices liées aux régions Rij par la relation (3.87) et Eijk celles liées aux régions Rijk . Nous imposons donc une contrainte F (X) > 0 dans une région Rij en cherchant un réel positif λ tel que la condition F (X) + λ Qi > 0 soit vérifiée. Pour simplifier l’implantation des IML dans le logiciel de résolution numérique, nous remplaçons la recherche d’un lambda positif par la recherche d’une matrice Uij à éléments positifs telle que F (X) + Eij T Uij Eij > 0. De même, on applique la S–procédure dans une région Rijk en cherchant une matrice Uijk telle que F (X) + Eijk T Uijk Eijk > 0. Formulation de la condition de stabilité Poly–Quadratique relâchée par la S– procédure Les conditions de stabilité poly–quadratique du théorème 10 peuvent donc être appliquées uniquement dans les régions Rijk où celles–ci sont nécessaires en utilisant la S–procédure. On utilise alors les matrices Eij et Eijk , définies dans la section précédente, pour imposer une contrainte dans la région Rij et respectivement Rijk . On impose ainsi les contraintes Pij > 0 dans les régions Rij et les contraintes de décroissance Aij T Pjk Aij − Pij dans les régions Rijk . Le théorème 12 appliquant cette méthode est une variante des résultats exposés dans [FT02] qui permet de déduire la stabilité du système non–linéaire à partir de sa linéarisation. 3.8. Approximation de la région de stabilité par une grille de calcul Théorème 12 La fonction V (Xk ) = Vij (Xk ) lorsque Xk ∈ Rij est une fonction de Lyapunov de (3.70), au sens du théorème 10, s’il existe des matrices Pij , et des matrices à entrées positives Uij et Uijk telles que : Pij − Eij T Uij Eij ≥ 0, ∀ij ∈ Ξ T Aij Pjk Aij − Pij ≥ 0, ∀(ij, jk) ∈ S +Eijk T Uijk Eijk (3.89) Un système vérifiant les conditions du théorème 12 est dit S–poly–quadratiquement stable. En appliquant ce test de stabilité sur une grille suffisamment fine du plan de paramètre (a, b), on obtient la région de stabilité présumée représentée en gris sur la fig. 3.17. Cette région de stabilité peut être approchée par la condition b . 5 − a beaucoup moins restrictive que la condition de stabilité b < 4 − 2a du modèle linéaire discret (en gris foncé sur la figure). 8 7 b.5− 4 b< 4− 3 a 2a S–p 2 stabilité du modèle linéaire discret stabilité du système. Les algorithmes utilisés pour résoudre les IML testant la stabilité permettent ce genre d’optimisation. On peut notamment optimiser un critère de forme quadratique tout en respectant des contraintes émises sous forme d’IML. Une technique plus immédiate est de tester par force brute un ensemble de couples de paramètres réalisables techniquement. Cet ensemble doit couvrir la région des paramètres réalisables et être le plus dense possible (la densité des points étant limitée par la puissance de calcul). On affiche le résultat des tests de chaque point sur le plan paramétrique. Le plus souvent ces points stables sont adjacents, c’est le cas de la BVP–IC. L’ensemble formé par ces points adjacents définit une région que l’on appellera par la suite la région de stabilité présumée. Le concepteur peut alors choisir un couple de paramètres à l’intérieur de cette région. Cette méthode devient de plus en plus intéressante car la puissance de calcul des processeurs s’améliore d’année en année. Remarque 28 La méthode de calcul par grille se prête facilement au calcul distribué. Il est possible de distribuer le calcul des points du plan de phase sur différents processeurs communiquant par un réseau local [Ala02][pag]. On divise ainsi le temps de calcul par le nombre de processeurs utilisés avec un certain rendement qui dépend du coût engendré par les communications inter–processeurs. 6 5 89 stab ili oly– té quad ratiq ue 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 Fig. 3.17 : Région de stabilité S–poly–quadratique b . 5 − a moins restrictive que la condition de stabilité du modèle linéaire discret b < 4 − 2a 3.8 Approximation de la région de stabilité par une grille de calcul Les méthodes présentées précédemment permettent de conclure sur la stabilité du circuit pour un couple de paramètres (a, b) précis. Ce ne sont pas des méthodes de conception, puisqu’elles ne fournissent pas les valeurs des paramètres, mais des méthodes de test de stabilité. Une technique de synthèse consiste à introduire les paramètres de conception comme les variables d’un problème d’optimisation sous contrainte de Il est cependant possible qu’un point à l’intérieur de la région de stabilité présumée échoue au test de stabilité s’il est situé entre des points de la grille de calcul. Ce calcul par grille suppose que les variations des paramètres d’un point de la grille à un point adjacent sont suffisamment faibles pour que le résultat de stabilité soit conservé. Même si les présomptions de stabilité sont d’autant plus forte que la grille est dense, il est impossible d’obtenir de cette manière une preuve formelle de stabilité dans cette région. Il faut alors adapter les tests de stabilité précédents au calcul par grille. Ceci peut se faire en effectuant un test qui soit valide pour un couple de paramètres contenu dans un carré du plan de phase dont les sommets sont des points adjacents de la grille. La preuve de stabilité d’un système, malgré des variations de paramètres, est la problématique de la stabilité robuste. Nous utilisons à nouveau les résultats issus de l’analyse de stabilité robuste pour adapter le test de stabilité au calcul par grille. 90 Chapitre 3. Analyse Stabilité des systèmes dépendants des paramètres Supposons que les paramètres (a, b) se situent dans un carré Dab dont les coordonnées de deux sommets opposés sont (a, b) et (a, b). Les matrices dynamiques Aij dépendent de ces paramètres. Chacune de ces matrices incertaines Aij se situent alors dans un domaine Dij de l’espace des matrices dynamiques. Il suffit de trouver N sommets Anij , n ∈ {1 . . . N } = Nij tels que la fermeture convexe du polytope de sommets Anij contient le domaine Dij de la matrice Aij . La recherche d’un tel polytope est traitée dans la section suivante. La matrice incertaine est alors représentée par la combinaison convexe des sommets du polytope P Aij = λn Anij avec Σλn = 1. On prouve donc n∈Nij la stabilité du système incertain en imposant la stabilité pour toute les combinaison des sommets du polytope. Le test de stabilité du théorème 12 est modifié pour obtenir le test de stabilité du théorème 13 garantissant la stabilité sur tout le carré Dab . Théorème 13 La fonction V (xP = k , ξ k )) xTk P(ξ(k)) xk avec P(ξ(k)) = ξ ij (k)Pij ij ∈ Ξ est une fonction de Lyapunov de (3.63) si il existe des matrices Pij , et des matrices à entrées positives Uij et Uijk telles que : Pij − Eij T Uij Eij ≥ 0, Anij T Pjk Anij − Pij +Eijk T Uijk Eijk ∀ij ∈ Ξ (3.90) ≥ 0, ∀(ij, jk) ∈ S, et ∀n ∈ Nij Remarque 29 Les régions de définitions Rij et Rijk sont elles aussi dépendantes des paramètres a et b. Il est donc nécessaire de partitionner l’espace ci incluant la région de phase avec des régions Ω Rij ou Rijk pour tout couple (a, b) ∈ Dab . Ceci se fait sans difficulté en raisonnant sur les inégalités linéaires (3.86) utilisées pour déterminer les matrices Eij et Eijk . Recherche d’un polytope englobant le domaine d’une matrice incertaine La recherche des sommets d’un polytope dont la fermeture convexe englobe le domaine Dij d’une matrice incertaine Aij est un point crucial de l’analyse robuste. Ce polytope doit détourer au plus près le domaine Dij car l’utilisation d’un polytope trop éloigné de Dij engendre un résultat trop restrictif. Cette recherche revient à écrire toute matrice Aij élément de Dij sous la forme d’une pondéraP tion convexe de matrices fixes : Aij = λn Anij . n∈Nij Lorsque la matrice dépend linéairement d’un paramètre p, cette mise en forme est immédiate puisque l’on peut écrire Aij = A0 + p Ap . Pour p variant entre p et p (avec p < p), on obtient Aij = λ (A0 + p Ap ) + (1 − λ) A0 + p Ap où la p−p pondération λ qui vaut p−p varie entre zéro et un. Les matrices Aij de la BVP–IC sont récrites par commodité ci–dessous : 1 1 − b + a b A++ = 1+a −1 1 1−b b A+− = −1 1 (3.91) 1 1 − b + a b (1 − a) A−+ = 1+a −1 1−a 1 − b b (1 − a) A−− = −1 1−a Chacune de ces quatre matrices peut être mise sous la forme d’un polytope à deux sommets dans le cas où l’on fixe un des deux paramètres. En effet, si l’on fixe a, les matrices Aij sont linéaires en b et permettent ainsi d’être décomposée par la pondération de deux sommets fixes. Si l’on fixe b, la matrice A+− est constante et la matrice A−− linéaire en a. Les matrices A++ et A−+ peuvent être mise sous la forme pondérée suivante : 1−b b 1 0 + (1 − λ) A++ = λ −1 1 0 0 1−b b 1 −b (3.92) + (1 − λ) A−+ = λ −1 1 0 −1 1 1 1 avec λ = ∈ , 1+a 1+a 1+a En utilisant ces sommets, on peut démontrer la stabilité pour tout b variant entre b et b et pour a fixé. De même on peut démontrer la stabilité pour tout a entre a et a pour b fixé. La fig. 3.18 montre une situation idéale où la matrice dynamique A dépend linéairement des paramètres et peut être écrire sous la forme A = 3.8. Approximation de la région de stabilité par une grille de calcul 91 A(a, b) Dépendance linéaire A(a, b) − → db (a, b) A(a, b) Dij A(a, b) − → da A(a, b, c) − → db (a, b) − → dc Dab A(a, b, c) A(a, b, c) − → da Dépendance non–linéaire A(a, b, c) Dij A(a, b, c) − → dc terme croisé c = ab A(a, b, c) Fig. 3.18 : Domaine de variation des matrices dynamiques en fonction des paramètres. À gauche, le couple de paramètres varie dans un carré Dab . À droite, la matrice dynamique varie dans une région de l’espace des matrices dynamiques A0 +a Aa +b Ab . Le domaine de variation de la matrice dynamique A est alors le polytope de quatre sommets construit en calculant A(a, b) pour tout (a, b) ∈ {a; a} × {b; b}. Il existe dans les matrices Aij des termes croib , qui empêchent d’utiliser ces sés, tels que a b et 1+a seuls sommets pour encadrer le domaine de variation. Dans ce cas, on ne peut pas décomposer les matrices Aij sous forme de termes constants pondérés. Par contre, on peut majorer et minorer les termes croisés. Il suffit de considérer ces termes non–linéaires comme des paramètres variant entre leurs bornes inférieure et supérieure de manière indépendante des paramètres a et b. On obtient ainsi un polytope incluant la région Dij . Prenons par exemple le cas de la matrice A−− représenté dans la fig. 3.18 : son domaine de variation (en gris sur la vignette du bas) peut être inclus dans un polytope à huit sommets. Les paramètres a et b varient entre leurs bornes respectives, tandis que le terme croisé a b est représenté par un paramètre supplémentaire c = a b. On majore les variations de la matrice A−− en considérant que le paramètre c varie indépendamment de a et b entre les bornes c et c définies par c = a b et c = a b. La matrice A−− peut ainsi être représentée par la pondération des huit sommets suivants : 1−b b−c A−− (a, b, c) = (3.93) −1 1 − a pour tout (a, b, c) ∈ {a; a} × {b; b} × {c; c} La fermeture convexe du polytope de sommets A−− (a, b, c) inclut le domaine de variation de cette matrice en imposant un certain conservatisme. Conclusion sur la méthode de calcul par grille En appliquant cette méthode pour définir les polytopes englobant les variations des matrices Aij , on peut utiliser le théorème 13 pour démontrer la stabilité du système pour des paramètres a et b variant à l’intérieur d’un carré Dab . On applique alors la méthode de calcul par grille pour des carrés Dab répartis sur l’espace des para- 92 Chapitre 3. Analyse mètres recouvrant la région des paramètres réalisables physiquement. Les polytopes calculés pour les matrices Aij , décrivent des régions plus larges que les domaines Dij induisant ainsi du conservatisme dans le test de stabilité. Ce conservatisme est d’autant plus réduit que l’on impose une taille restreinte aux carrés Dab . Prenons le cas limite d’un carré de taille nulle, ce carré est confondu au point (a, b) de l’espace des paramètres ; l’application du théorème 13 revient à appliquer le théorème 12 pour le couple (a, b). Les non–linéarités des coefficients des matrices b sont des non–linéarités Aij tels que a b et 1+a faibles (différentiables), il doit exister un voisinage Dab du couple (a, b) tel que le théorème 13 est vérifié. L’inconvénient d’une telle technique est le grand nombre de sommets de polytopes à déterminer. De plus, ce nombre augmente considérablement le temps de calcul d’une grille suffisamment fine. C’est pourquoi cette technique n’a pas encore été appliquée à la BVP–IC. 3.9 Vérification expérimentale des résultats Dans cette section les résultats obtenus sur la stabilité de la BVP–IC sont confrontés à des mesures expérimentales. Les études théoriques ont été effectuées jusqu’à présent sur des modèles fonctionnels de la BVP– IC. Le but de ces modèles n’est pas de représenter le plus finement possible le comportement d’une réalisation spécifique de la BVP–IC, mais de représenter le comportement général d’une BVP–IC dont les blocs qui la constituent sont idéaux. La validation de ces résultats consiste donc à réaliser un circuit physique dont le comportement est le plus proche possible de son modèle théorique. Grâce à ce circuit, on vérifie d’une part l’exactitude des calculs et on mesure d’autre part l’impact de faibles bruits et de dynamiques négligées sur ce résultat. En première approche, une étude de faisabilité de cette vérification a été faite par des simulations réalisées avec verilog–A. Ce logiciel est un véritable simulateur de systèmes hybrides adapté aux réalisations électroniques et micro–électroniques analogiques. Les trois phénomènes indésirables suivants ont été ajoutés dans la modélisation : La dynamique des générateurs de courant tout d’abord modélisée par une simple pente représentant le temps de montée du courant, une modélisation du second ordre a été adoptée en filtrant le courant idéal par un filtre du second ordre sous–amorti (z = 0.5) et de fréquence propre telle que le temps de montée tm soit celui spécifié ωn = t √π1−z2 . m Le bruit représenté par des retards ou avances δt apparaissant sur chaque front des signaux d’entrée et de sortie. On assure ainsi une gigue19 de forme gaussienne centrée sur 0 et d’écart type relativement petit σ = T /1000. Les δt apparaissant à chaque demi–période sont tirés d’une série aléatoire gaussienne √ centrée sur zéro et d’écart type σ1/2 = 2 σ. La caractéristique de l’OCT Cette caractéristique n’étant pas linéaire, une fonction arc– tangente permet de mieux représenter l’OCT. La fréquence d’oscillation est donc ainsi bornée par vmin et vmax avec une pente autour du point de fonctionnement de Koct . Ceci permet d’effectuer des simulations avec des tensions momentanément négatives sans « coller » l’OCT. L’étude a montré que le phénomène de bifurcation observé lorsque b = 4 reste observable si : – l’écart type du bruit en entrée et en sortie de la BVP–IC est inférieur à T /1000 ; – le temps de montée des générateurs de courant est inférieur à T /100. Ces performances peuvent être rencontrées pour des fréquences très basses de l’ordre de 10KHz. Il suffit d’utiliser la relation de similarité pour en déduire le comportement de BVP–IC fonctionnant à de hautes fréquences. Nous avons donc réalisé une BVP–IC fonctionnant autour d’une fréquence centrale de 5KHz, présentée dans l’annexe E, à l’aide de composants discrets du commerce. Méthode de mesure de la stabilité du circuit Plusieurs couples des paramètres du filtre (a, b) ont été testés de manière à effectuer une grille de mesure de la stabilité du circuit réel. Il est difficile de conclure sur la stabilité du circuit à partir de l’observation de voct à l’oscilloscope du fait de la présence d’un fort bruit sur le signal. De plus, une observation effectuée par un manipulateur humain comporte un caractère subjectif gênant. 19 jitter en Anglais 3.9. Vérification expérimentale des résultats 93 Pour pallier ce problème, un signal électrique variant en fonction de la qualité de la stabilité du circuit est généré et mesuré. Pour cela, il suffit de disposer un discriminateur de tension à l’entrée de l’OCT. Ce discriminateur de tension délivre une tension positive V cc lorsque l’amplitude de voct se situe dans une fourchette [Vmin , Vmax ], et une tension nulle lorsque voct se situe en dehors de cette fourchette. Il suffit ensuite de mesurer la tension moyenne V de la sortie du discriminateur, à l’aide d’un voltmètre. En plaçant la fourchette [Vmin , Vmax ] autour de la tension de fonctionnement idéale, on mesure par VVcc le pourcentage du temps passé par le circuit à l’intérieur de la fourchette de stabilité du circuit. On déclare alors le système instable lorsque le ratio VVcc descend en dessous d’une certaine valeur fixe V? (V? = 12 dans les mesures suivantes). La fig. 3.19 montre la région de stabilité ainsi mesurée. Cette région correspond vaguement à celle obtenue théoriquement. Méthode de mesure de l’ instabilité du circuit b 5.5 mesure theorie 5 4 3 2 1 0 du filtre, les mesures deviennent difficiles à établir. Le système est dans cette région très peu amorti et converge très lentement vers le point fixe. De plus, le bruit maintient la tension voct dans un voisinage du point fixe qui devient de plus en plus étendu lorsque la valeur de a diminue. L’écart entre la courbe théorique et la courbe mesurée pour des valeurs de a faibles peut être justifié par le fait que les mesures ont été effectuées dans un temps fini et par une sensibilité au bruit accrue dans cette région. Au vu des difficultés de mesure, les résultats expérimentaux semblent corroborer relativement bien les résultats théoriques. Une tentative d’infirmation des résultats théoriques moins subjective est obtenue en traçant expérimentalement une région où l’observation d’un comportement instable est sans appel. L’observation de l’instabilité du système pour un couple de paramètres à l’intérieur de la région de stabilité théorique mettrait à défaut les résultats théoriques. 0 0.5 1 1.5 2 a Fig. 3.19 : Confrontation du résultat théorique avec la mesure expérimentale de la région de stabilité Remarque 30 Le choix arbitraire du ratio limite V? et de la largeur de la fourchette [Vmin , Vmax ] influence directement la position de la frontière de la région de stabilité. Ainsi, le choix d’un ratio V? plus faible permet d’agrandir considérablement la région de stabilité mesurée. Un ratio minimal plus grand rendrait le résultat plus restrictif. Nous avons choisi un ratio de 0.5 de manière subjective. Cette valeur simple correspond à une observation faite à l’oscilloscope pour laquelle le système semble commencer à osciller entre deux valeurs proches du point de fonctionnement. Il faut de plus souligner que pour les faibles valeurs de a, ce qui correspond à une faible résistance Les nombreuses observations du circuit montrent que le circuit semble toujours se déstabiliser en commençant par osciller entre deux valeurs proches du point fixe. Lorsque l’on fait évoluer un paramètre vers l’instabilité, ces deux valeurs s’éloignent de plus en plus du point fixe. On peut ainsi observer dans certains cas une cascade de bifurcations correspondant à des dédoublements de période [Mir87][Mir90]. Lorsque le circuit se met à osciller entre deux valeurs assez éloignées, l’état du DPF suit la séquence particulière correspondant à l’alternance entre une charge et une décharge de courant. Une machine à états finis a été réalisée physiquement dans le but de détecter ce type de séquence. Ce circuit séquentiel délivre un signal logique à 1 tant que cette séquence est suivie et à 0 dès qu’elle est interrompue. Il se trouve que lorsque le point fixe est stable, le bruit perturbe les séquences du DPF et empêche l’observation de cette séquence particulière. Par contre, lorsque le point fixe se déstabilise (la largeur des impulsions augmente), l’influence du bruit sur les séquences devient négligeable : la sortie du détecteur de la séquence particulière passe à 1. On applique alors la même technique de mesure que précédemment en mesurant la tension 94 Chapitre 3. Analyse moyenne du détecteur de séquence. Lorsque celle-ci devient supérieure à une valeur arbitraire on peut conclure à une instabilité. Remarquons que cette mesure est une mesure suffisante de l’instabilité mais non nécessaire : le système peut se déstabiliser par le biais d’une séquence différente. Malgré tout les efforts pour augmenter la sensibilité de ce détecteur de séquence, aucune mesure n’a permis d’observer d’instabilité pour des valeurs de b inférieures à 14. Cette technique de mesure n’est pas suffisamment performante pour apporter de l’information sur la zone d’instabilité du circuit. Aucune mesure n’a donc permis d’infirmer le résultat théorique. 3.10 Optimisation par force brute Nous présentons ici un bref résumé d’une technique d’optimisation numérique de la BVP–IC développée pendant ces travaux de thèse. Ces résultats ont été publiés dans [Acc01a] dont une copie figure dans l’annexe F pour complément d’information. Ces travaux sont d’un intérêt théorique faible, c’est pourquoi ils ne sont pas complètement développés dans ce mémoire. Par contre, la méthode numérique proposée peut être d’un grand intérêt pour le concepteur, car elle permet de prendre en compte l’influence des bruits à partir d’un modèle de la BVP–IC exact. De plus, cette méthode peut être facilement étendue au circuit d’ordre trois. Le modèle hybride continu, utilisé pour cette optimisation, offre une précision et une rapidité d’exécution remarquable. Il est alors possible d’exécuter un très grand nombre de simulations différentes de manière à rechercher le meilleur comportement possible du circuit. La technique d’optimisation proposée dans l’ annexe F balaye tout un ensemble de valeurs des paramètres (a, b) et calcule la valeur d’un critère à partir de chaque trajectoire simulée. Les résultats sont alors reportés sur un graphique et le couple de paramètres optimal au sens de ce critère est identifié. Le critère d’évaluation choisi est l’erreur quadratique de tension à l’entrée de l’OCT facilement calculable pendant une simulation. Ce critère mesure ainsi les erreurs de fréquences cumulées tout au long d’une simulation. Ainsi, lors de la réponse à un échelon de fréquence, un système lent ou très oscillatoire va donner une valeur du critère importante ; un système rapide et bien amorti tend à minimiser le critère. Il a été possible d’ajouter l’effet du bruit dans les simulations du modèle Hyb–CNC. Le calcul du critère effectué pour une simulation avec de forts bruits permet ainsi de mesurer l’erreur quadratique de fréquence provoquée par ce bruit. La minimisation du critère permet de trouver un système qui rejette le bruit de manière optimale. Cette technique permet donc d’optimiser un critère évaluant l’erreur quadratique de fréquence provoquée par une réponse à un échelon et par la présence de bruits. Cette optimisation peut être facilement étendue au système du troisième ordre au prix d’un temps de calcul plus élevé mais réalisable. Conclusion sur le chapitre 3 Dans ce chapitre, nous avons mené une analyse de stabilité sur plusieurs types de modèles. Nous avons cherché à étendre le plus possible le domaine de validité de l’analyse de stabilité en utilisant des modèles de plus en plus globaux. L’étude linéaire continue a été reprise sous forme de variables réduites. Des contraintes fort utiles, comme la stabilité robuste et le rejet des bruits, ont été proposées sous forme de limites de validité décrites dans le plan des paramètres réduits. Ainsi, nous proposons une méthode de calcul des paramètres simple consistant à fixer les contraintes de conception et à choisir les paramètres réduits parmi une région de faisabilité. L’étude du modèle discret apporte des résultats différents sur la stabilité du système. Ce modèle a été introduit par Gardner dans le but de mieux prendre en compte l’aspect discret de la mesure de l’erreur de phase effectuée. Les simulations réalisées à la fin du chapitre 2 sont une réelle mise en garde contre les modèles linéaires. Les modèles exacts prenant en compte l’aspect hybride du système, mettent à défaut les modèles linéaires aussi bien pendant les phases transitoires que dans un voisinage du point fixe. Une première approche du système hybride est faite en considérant que l’état discret du système suit une séquence particulière. On s’intéresse alors à la stabilité d’un cycle limite particulier en proposant une extension de la méthode de Poincaré aux systèmes hybrides. Les conditions nécessaires et suffisantes de stabilité de trois séquences élémentaires ont pu être éta- 3.10. Optimisation par force brute blies. On montre qu’il existe un cycle limite stable pour des paramètres se trouvant en dehors de la limite de stabilité du système linéaire discret. Une première preuve de stabilité basée sur un modèle exact a été apportée en appliquant la méthode directe de Lyapunov au modèle hybride. Cette preuve de stabilité, tout comme celles apportées par les systèmes linéaires, porte sur toutes les trajectoires pouvant se produire dans un voisinage de l’origine du plan de phase. Cependant, ces résultats sont significativement différents de l’analyse linéaire et beaucoup moins restrictifs. Les mesures effectuées sur une platine expérimentale tendent à confirmer ces résultats théoriques. Le domaine de stabilité locale de la BVP– IC d’ordre deux serait donc beaucoup plus étendu que celui proposé par les études linéaires. 95 96 Chapitre 3. Analyse Conclusion et perspectives À la lumière de la théorie des systèmes hybrides, l’étude de la BVP–IC s’est révélée fructueuse. Ces nouveaux modèles et leurs méthodes d’analyses émergentes ont permis de rendre compte avec exactitude de l’interaction entre le détecteur de phase séquentiel et les parties analogiques de ce type de BVP. Les principaux résultats apportés par cette étude sont les suivants20 : L’identification des paramètres réduits (2+3) – Ces paramètres caractérisent à eux seuls la dynamique du circuit. L’écriture des équations s’en trouve facilitée et les degrés de liberté de l’analyse sont clairement définis. Les résultats peuvent donc être représentés dans un espace de dimension deux ou trois. La totalité des modèles existants et les modèles développés dans ce mémoire sont écrits à l’aide des équations réduites. La modélisation hybride de la BVP–IC (2+3) – Le formalisme de la théorie des systèmes hybrides a été adopté pour la BVP–IC. Les modèles exacts préexistants dans la littérature ont été repris et inclus dans ce formalisme. Une classification de la totalité de ces modèles, basée sur le type de domaine de validité, est proposée. Une première preuve exacte de la stabilité locale de la BVP–IC (2) – La stabilité du circuit a été prouvée sans approximation pour tous types de trajectoires se produisant dans un voisinage de l’origine. La condition de stabilité communément admise b < 4 − 2 a, qui a été déterminée à partir du modèle linéaire discret, peut être remplacée par la condition beaucoup moins restrictive b . 5 − a développée dans ce mémoire. Une méthode d’optimisation par force brute de la BVP–IC (2+3) – La précision et la rapidité d’exécution du modèle hybride continu permettent de tester une fine grille de valeurs de paramètres de manière à optimiser un critère. Le critère proposé est une pondération entre des contraintes de rapidité et de rejet des bruits. Perspectives Bien évidemment beaucoup de problèmes restent ouverts et beaucoup de voies de recherche ont été momentanément écartées pour éviter la dispersion. Nous formulons ici les principaux axes de recherche envisagés pour la poursuite de ces travaux sous forme de questions : Que se passe–t–il lors du démarrage d’une BVP ? La preuve de stabilité proposée dans ce mémoire est une preuve locale. Comment garantir la stabilité de la BVP–IC lors de la mise en tension du système ou lors d’un saut en fréquence ? Dans ces situations, le système se trouve soudainement loin de l’origine et pose le problème de la stabilité globale du système. Les solutions envisagées à ce jour sont l’utilisation du modèle hybride continu : des théorèmes permettent de prouver la stabilité d’un système hybride continu mais les événements extérieurs périodiques ne sont pas pris en compte dans ces démonstrations. . . Le résultat obtenu est il encore trop restrictif ? Nous avons tenté de proposer une preuve de stabilité la moins conservative possible. Peut-être en découpant l’espace de phase plus finement nous 20 On indique par (2) les résultats valables uniquement pour la BVP–IC d’ordre deux, et par (2+3) les résultats étendus jusqu’à l’ordre trois 97 98 Conclusion et perspectives obtiendrions des résultats plus étendus ? Les efforts développés risquent de mener à une faible amélioration du résultat. Il serait intéressant d’utiliser le théorème sur l’instabilité des systèmes proposé par Lyapunov pour établir une condition suffisante d’instabilité du système : ceci permettrait de donner une limite supérieure à la zone de stabilité qui indiquerait la marge de résultat susceptible d’être gagnée au prix d’efforts supplémentaires. Peut–on enfin proposer un algorithme de synthèse du filtre ? La méthode de calcul par grille permet de dessiner une région de stabilité dans le plan des paramètres. Mais quelle valeur choisir ? Les algorithmes de résolution d’IML offrent la possibilité d’optimiser un critère quadratique. L’écriture d’un critère quadratique pertinent permettrait de proposer une certaine valeur du filtre au concepteur. Il obtiendrait ainsi un système stable et optimal au sens d’un critère tel que ceux utilisés dans les synthèses robustes de type H∞ ou H2 . Comment maı̂triser le bruit ? Jusqu’à présent, seuls les modèles linéaires proposent des résultats sur le rejet des bruits. La prise en compte de ces bruits dans un système hybride pose le problème plus large de l’existence d’une entrée de nature stochastique au système. Un autre élément de réponse serait l’utilisation des équations de sensibilité d’un cycle limite qui constituerait un premier pas vers une analyse du bruit qui soit globale en séquence. Un autre problème lié au bruit tient dans sa modélisation. Les circuits logiques du détecteur de phase et du diviseur de fréquence sont très bruyants ; ces bruits parasitent les signaux analogiques du filtre et de l’oscillateur. Il est important d’analyser dans quelle mesure ces bruits sont corrélés à l’état du système et de proposer une modélisation du bouclage par auto–induction de ce bruit. L’hypothèse de bruits non–corrélés peut être forte et mener dans certains cas à une instabilité du système. Quel est l’impact d’une zone morte ? Un autre problème lié à la modélisation est la présence de la zone morte du détecteur de phase fréquence. En effet, lorsque la largeur d’une impulsion de courant devient faible, la rétroaction du système logique peut ignorer cette impulsion. Au contraire, le concepteur peut introduire artificiellement une durée d’impulsion minimale pour pallier ce problème. Dans les deux cas, il serait intéressant de modéliser ce changement de comportement, qui se situe dans un voisinage de l’origine, par une commutation du système hybride lorsque son état continu pénètre cette zone morte. Et le troisième ordre ? La BVP–IC d’ordre deux est très peu utilisée dans l’industrie à cause de la gigue observée en sortie du système causée par les sauts de tensions provoqués par la résistance du filtre. On utilise alors une seconde capacité pour filtrer ces sauts. L’extension de cette analyse à l’ordre trois peut se faire en écrivant le modèle hybride discret d’ordre trois qui n’existe pas sous forme analytique. Il devrait alors être possible de linéariser numériquement le système près de l’origine et d’étudier la stabilité du modèle linéaire commuté ainsi défini. Une autre technique consisterait à étudier numériquement les principaux cycles limites du système avec la méthode exposée dans ce mémoire déjà éprouvée numériquement sur d’autres circuits notamment par Ueta. Et si on adaptait le système à la méthode ? La solution technique proposée par la BVP–IC est le fruit de l’intuition de son créateur et n’est pas issue d’une démarche de synthèse de commande : son analyse s’en trouve être difficile. Il peut être intéressant de proposer un nouveau type de BVP à partir d’une synthèse de commande hybride. Ceci donnerait de nouveaux résultats issus du rapprochement entre le verrouillage de phase et la théorie des système hybrides. Annexe A Signaux Analytiques de construire une grandeur complexe ayant pour partie réelle le signal s(t) et dont la transformée de Fourier soit la forme unilatérale de celle de la partie réelle. Le spectre U (f ) du signal analytique u(t) est obtenu par suppression des fréquences négatives de s(t) et multiplication par deux des amplitudes de la partie positive du spectre21 . Cette opération s’effectue par la multiplication du spectre de s(t) par un échelon de Heaviside de gain deux : 2(f ). Soit s(t) et š(t) la partie réelle et la partie imaginaire du signal analytique ; S(f ) et Š(f ) leurs transformées de Fourier, on a la relation : Par analogie avec le formalisme de la mécanique quantique, Gabor puis Ville [Gab46][Vil48] décident de manipuler, comme signal ou fonction d’analyse, uniquement des grandeurs complexes (l’introduction de l’exponentielle complexe permettant de simplifier le problème et les opérations). Le signal analytique peut être vu comme une extension aux signaux non–sinusoı̈daux de la représentation complexe instantanée d’un signal sinusoı̈dal utilisée en électrotechnique. A.1 Le concept de phaseur U (f ) = S(f ) + i Š(f ) = 2(f ) S(f ) = (1 + sign(f )) S(f ) Une grandeur sinusoı̈dale, de fréquence ω0 et de phase initiale α, de la forme u(t) = U sin (ω0 t + α) peut être représentée par la grandeur complexe suivante : On en déduit que le spectre de la partie imaginaire est égal à i sign(−f ) S(f ) ce qui donne, en appliquant la transformation inverse, la transformée de Hilbert de s(t) : u(t) = U ei (ω0 t+α) = U ei α ei ω0 t où U = |u| dénote le module, (ω0 t + α) = arg(u) est la phase instantanée de u et α sa phase initiale.La grandeur réelle u(t) correspond ainsi à la partie réelle de la grandeur complexe : u(t) = <[u] La transformée de Fourier u b de la valeur complexe devient U ei α δ(f − f0 ), où δ est l’impulsion de Dirac et f0 = ω0/2π. La transformée de Fourier de la grandeur complexe u(t) est donc nulle aux fréquences négatives. La valeur U ei α , appelée phaseur , contient l’information d’amplitude et de phase initiale. Le phaseur est utilisé pour représenter le signal et effectuer des calculs simples tels que les additions et multiplications de signaux sinusoı̈daux fréquents en électrotechnique. A.2 1 1 š(t) = ? s(t) = πt π Z∞ s(τ ) dτ = H[s(t)] t−τ −∞ Le signal analytique complexe u(t), ainsi mis en avant, se déduit de s(t) par : u(t) = s(t) + i H[s(t)] = as (t) ei ϕs (t) où H[s(t)] désigne la transformée de Hilbert de s(t) définie plus haut. On calcule ensuite l’amplitude locale par as (t) = |u(t)| et la phase instantanée par ϕs (t) = arg u(t). La pulsation instantanée est définie par la dérivée temporelle de l’argument du signal : Extension aux signaux quelconques νi (t) = Pour étendre la notion de valeur instantanée complexe aux fonctions non–sinusoı̈dales, il suffit ∂ (arg u(t)) ∂(ϕs (t)) = ∂t ∂t 21 la troncature des fréquences négatives n’altère pas le contenu d’un signal réel, dont le spectre est symétrique. 99 100 Annexe A. Signaux Analytiques Annexe B Relation de similarité entre BVP–IC B.2 Dans cette annexe nous définissons une relation d’équivalence entre des BVP–IC de paramètres différents dans le but de déterminer et de regrouper sous la même classe les BVP–IC observant des comportements identiques. Ceci permet de ne considérer le comportement d’une BVP–IC qu’à travers un jeu de paramètres et de variables d’état réduits. Tout d’abord nous définissons la relation de similarité entre les BVP–IC du deuxième ordre. Nous en déduisons ensuite la relation liant les paramètres de deux BVP–IC garantissant cette similitude. Finalement ces travaux sont étendus aux BVP–IC du troisième ordre. B.1 Condition de similarité entre deux commutations du courant de charge Supposons d’abord qu’à l’instant tn , la relation de similitude soit vérifiée : 0 voct (tn , Γ) = β voct (α tn , Γ ) (B.2) ϕb (tn , Γ) = ϕb (α tn , Γ0 ) E (t , Γ) = E (α t , Γ0 ) n n La variable tn+1 représente l’instant où l’état du DPF change. Entre l’instant tn et l’instant tn+1 , l’état E(t) est constant et égal à une valeur e ∈ {−1, 0, 1}. La similarité de l’état du DPF sera donc vérifiée si les instants où le DPF change d’état sont similaires. Définition de la relation de similarité On considère deux BVP–IC dynamiquement équivalentes si leurs variables d’état E(t), vc (t) et ϕb (t), évoluent identiquement à un facteur d’échelle près. Nous allons considérer une BVP–IC dont le vecteur de paramètres est appelé Γ et une deuxième de paramètres Γ0 . Leurs comportements sont dit similaire s’il existe un couple de facteur d’échelle (α, β) et des conditions initiales tels que les équations suivantes soient vérifiées pour tout t>0: 0 voct (t, Γ) = β voct (α t, Γ ) (B.1) ϕb (t, Γ) = ϕb (α t, Γ0 ) E (t, Γ) = E (α t, Γ0 ) B.2.1 Similarité des états E et E 0 L’état du DPF change soit lors d’un front du signal de référence – aux instants t = k T , – soit lors d’un front du signal bouclé – aux instants où ϕb (t) = l 2π avec l ∈ N. Si l’on veut garantir la relation de similarité avec E 0 , il faut que la date de ces instants soit divisée par α. On obtient donc la relation entre T et T 0 suivante : t = kT = t0 T0 T0 =k ⇔ =T α α α (B.3) Les dates des fronts des signaux bouclés des deux circuits respectent la relation de similarité si les phases de ces signaux ϕb et ϕb 0 sont similaires. La similarité des états E et E 0 sera donc vérifiée si l’équation (B.3) et la similarité entre les états ϕb et ϕb 0 sont vérifiées simultanément. La similarité de ϕb et ϕb 0 s’établit facilement à partir de la 0 similarité de voct et voct . Nous voulons trouver quelles relations entre Γ et Γ0 garantissent la similarité entre les deux BVP– IC. Pour cela nous allons considérer les relations de similarité vérifiées à un instant initial, puis dégager les contraintes induites par chacune de ces trois relations. 101 102 Annexe B. Relation de similarité entre BVP–IC B.2.2 0 Similarité entre voct et voct B.3 Si nous remplaçons voct (t, Γ ou Γ0 ) par son expression (2.5) dans la relation (B.1) nous obtenons pour tout t ≥ tn : (B.4) voct (tn ) + ICc e(t − tn ) + Ic eR 0 = β voct 0 (α tn ) + ICc0 e α (t − tn ) + Ic 0 eR0 La similarité à l’instant tn permet de garantir l’égalité voct (tn ) = β voct 0 (α tn ). La relation doit être valide pour tout tn ≤ t ≤ tn+1 ; on peut donc identifier les termes constants et les termes en t. On obtient ainsi les relations (B.5) garantissant la similitude des tensions voct et voct 0 : α β Ic 0 = Ic C0 C (B.5) β I 0 R0 = I R c c On peut maintenant établir la dernière relation de similarité : la similarité de ϕb et ϕb 0 . B.2.3 Similarité des phases ϕb et ϕb 0 De même, remplaçons ϕb (t, Γ ou Γ0 ) par son expression (2.11) dans la relation (B.1) ; il vient pour tout t ≥ tn : ϕb (tn ) + Rt 2π N ϕb 0 (α tn ) + (Koct voct (τ ) + Fol ) dτ = tn 2π N0 α Rt (Koct 0 voct 0 (τ 0 ) + Fol 0 ) dτ 0 α tn (B.6) Si nous opérons au changement de variable τ 0 = α τ dans la deuxième intégrale, nous pouvons remplacer le terme voct 0 (α τ ) apparaissant, par le terme voctβ(τ ) . L’égalité devient donc : ϕb (tn ) + 2π N ϕb 0 (α tn ) + Rt (Koct voct (τ ) + Fol ) dτ = tn 2π N0 α Rt Koct 0 tn β voct (τ ) + Fol 0 dτ (B.7) La similarité à l’instant tn garantit l’égalité ϕb (tn ) = ϕb 0 (α tn ). La relation doit être valide pour tout tn ≤ t ≤ tn+1 , on peut donc identifier les termes constants et les termes en t sous l’intégrale. On obtient ainsi les relations (B.8) garantissant la similitude des phases ϕb et ϕb 0 : α Koct 0 = Koct β N0 N (B.8) α Fol 0 = Fol N0 N Preuve pour tout t par raisonnement récurrent Nous venons de montrer ci–dessus que, si les conditions sur les paramètres (B.3), (B.5) et (B.8) sont vérifiées et que la similarité est vérifiée à l’instant tn , alors la similarité sera vérifiée jusqu’à la prochaine commutation de courant à l’instant tn+1 . Par récurrence et par continuité lors des commutations, nous pouvons affirmer la similarité pour tout t ≥ t0 à condition que la similarité soit vérifiée à l’instant initial t0 . La vérification de la similarité à l’instant initial permet de déterminer la relation entre les conditions initiales. Deux BVP–IC ont des comportements similaires si leurs états initiaux respectent les relations suivantes : E(t0 ) = E(α t0 ) (B.9) voct (t0 ) = β voct 0 (α t0 ) ϕ (t ) = ϕ 0 (α t ) b 0 b 0 et si leurs paramètres respectent les contraintes de similitude : Koct α Koct 0 β N0 = N 0 α Fol = Fol N0 N (B.10) Ic 0 α β C 0 = ICc β I 0 R0 = I R c B.4 c Extension aux BVP–IC du troisième ordre Pour étendre la relation de similarité au troisième ordre, il suffit de rajouter une variable d’état et de reprendre le raisonnement précédant avec les nouvelles équations d’état. L’expression de la tension voct change et devient la relation (2.2) faisant appel à la nouvelle variable d’état vc . Cette nouvelle variable d’état rajoute une contrainte dans la définition de la relation de similarité qui devient : voct (t, Γ) = β voct (α t, Γ0 ) vc (t, Γ) = β vc (α t, Γ0 ) ϕb (t, Γ) = ϕb (α t, Γ0 ) E (t, Γ) = E (α t, Γ0 ) (B.11a) (B.11b) (B.11c) (B.11d) Les conditions de similarité de ϕb et E ne changent pas puisque leurs équations ne sont pas B.4. Extension aux BVP–IC du troisième ordre 103 h i n ic τ τ − t−t c τ vc (tn ) + RC (v (t ) − v (t )) − 1 − e (t − tn ) + C1i+C oct n c n C1 +C2 1 2 h 0 i 0 0 t−tn i0c i τ 0 = β vc0 (α tn ) + Rτ0 C 0 (voct (α tn ) − vc0 (α tn )) − C 0c+C 0 1 − e−α τ 0 + C 0 +C 0 α (t − tn ) 1 1 2 1 t−tn t−tn vc (t) + (voct (tn ) − vc (tn )) e− τ + iCc 2τ 1 − e− τ t−tn t−tn i0c τ 0 0 = β vc0 (α t) + (voct (α tn ) − vc0 (α tn )) e−α τ 0 + C 1 − e−α τ 0 0 (B.12) 2 (B.13) 2 modifiées. Par contre la similarité de voct doit être redéfinie et celle de vc rajoutée. B.4.1 Similarité des tensions vc et voct En remplaçant le terme vc par l’expression (2.2) dans la relation (B.11b) on obtient la relation (B.12). La similarité à l’instant tn permet d’obtenir les 0 égalités voct (tn ) = voct (α tn ) et vc (tn ) = vc0 (α tn ). La relation de singularité devant être vérifiée pour tout t ≥ tn et quels que soient voct (tn ) et vc (tn ), on peut identifier les termes en t, les termes devant l’exponentielle et les termes devant les conditions initiales. On obtient les contraintes supplémentaires suivantes : 0 τ =τ α R0 C 0 1 α αβ = R C1 + C20 = (B.14) Ic C1 + C2 La similarité de voct est facilement déduite en remplaçant le terme voct par l’expression (2.2) dans la relation (B.11a). On obtient la relation (B.13). En identifiant les termes on obtient des contraintes redondantes avec celles déjà établies. B.4.2 b 0 b Relation de similarité des BVP–IC du troisième ordre Les contraintes (B.3) et (B.8) garantissant la similarité des variables d’état E et ϕb dans le cas du deuxième ordre sont inchangées. Par contre les deux contraintes (B.5) garantissant la similarité de voct des BVP–IC du deuxième ordre doivent être remplacées par les trois contraintes déduites précédemment. 0 et si les contraintes suivantes sont vérifiées : Koct α Koct 0 β N0 = N 0 α FNol0 = FNol τ0 (B.16) α =τ 0 0 R C α 1 = R C1 Ic0 Ic α β C 0 +C 0 = C +C 1 2 1 Ic0 C10 Deux BVP–IC du troisième ordre ont donc des comportement similaires si leurs conditions initiales sont similaires : E(t0 ) = E(α t0 ) v (t ) = β v 0 (α t ) oct 0 oct 0 (B.15) 0 vc (t0 ) = β vc (α t0 ) ϕ (t ) = ϕ 0 (α t ) 2 Remarque 31 La relation de similarité des BVP–IC du troisième ordre comporte une contrainte de plus que celle établie pour le deuxième ordre. Le vecteur des paramètres réduits de la BVP–IC du troisième ordre comporte donc bien un paramètre de plus que celui du deuxième ordre. 104 Annexe B. Relation de similarité entre BVP–IC Annexe C Calcul du modèle NL–DL les figures C.1 à C.5), de l’instant tk +τk à l’instant tk +τk +toct , soit égale à l’unité. Comme le montre ces figures, il existe quatre configurations menant à quatre expressions de toct et τk+1 . Dans cette annexe sont reportés les calculs concernant le modèle NL–DL établi par van Paemel dans [vP94]. Les variables d’état utilisées sont présentées dans le § 2.5 (page 37). Les calculs portent sur l’expression de τk+1 en fonction de τk et νk qui dépend de l’état du DPF aux instants tk et tk+1 . Dans cet article, van Paemel obtient quatre expressions de τk+1 déterminées selon le signe de τk et τk+1 . van Paemel détermine alors l’équation à utiliser à partir d’un algorithme estimant le signe de τk+1 et utilisant le signe connu de τk . Nous allons d’une part déterminer les quatre expressions de τk+1 en variables réduites, et d’autre part déterminer les domaines de définition de chaque expression dans le plan de phase (τk , νk ). C.1.1 Cas de deux charges consécutives : cas « + + » τk+1 T = 1 τk y toct νk+1 νk −1 C.1 tk = k Calcul de τk+1 Dans le cas de la fig. C.1, la relation (C.2) devient en intégrant par parties sur les deux morceaux linéaires de y(t) la relation suivante : (C.1) tZ k +1 Où toct est le temps qui s’écoule entre les deux fronts descendant du signal bouclé. Le temps toct est défini comme la période telle que la phase normalisée du signal bouclé x atteigne sa prochaine valeur entière. On définit donc toct grâce à la relation (2.22) par l’expression : toct : x(k + τk + toct ) = dx(k + τk )e k+τZk +toct = x(k + τk ) + t T Fig. C.1 : Cas « + + » de deux charges consécutives L’illustration de la fig. C.1 montre que la valeur de τk+1 s’exprime de manière unique en fonction de τk et toct par : τk+1 = τk + toct − 1 tk+1 = k + 1 dx(k + τk )e − x(k + τk ) = 1 = (1 + νk ) dτ tk +τk tk +1+τ Z k+1 + (C.3) (1 + νk + a + b (τ − (tk + 1))) dτ tk +1 Les primitives de ces deux intégrales étant élémentaires, on obtient la relation reliant τk+1 à νk et τk suivante : (C.2) (y(τ ) + 1 + a e(τ )) dτ 2 a?+ τk+1 + b?+ τk+1 + c++ = 0 k+τk dxe = l’entier immédiatement supérieur à x avec La valeur de toct est donc telle que l’aire entre la courbe y(t)+b e(t) et la courbe y ≡ −1 (en gris sur 105 a?+ = 2b (C.4) b?+ = 1 + a + νk c++ = (1 − τk ) (νk + 1) − 1 106 Annexe C. Calcul du modèle NL–DL Il existe deux expressions de τk+1 nommées τ + et τ − ; elles correspondent aux intersections de la parabole présentée dans la fig. C.2 avec l’axe des abscisses. Par définition du cas « + + », la valeur de τk+1 doit être une solution positive de l’équation (C.4). En raisonnant sur les signes des coefficients de la parabole, on détermine l’unique solution positive et sa condition d’existence. Nous savons que la parabole est positive à l’infini puisque 2 a?+ = b > 0. En considérant que la tension aux bornes de la capacité doit rester positive, vc (t) > 0, on obtient en valeur normalisée y(t) > −1 et donc νk + 1 > 0. La pente à l’origine de la parabole, b?+ = 1 + νk + a, est donc positive puisque a > 0. La figure ci–dessous montre qu’il existe une solution positive unique si et seulement si c++ < 0. C.1.2 Cas d’une charge suivie d’une décharge : cas « + - » Dans le cas de la fig. C.3, la relation (C.2) devient une simple intégrale du signal constant y(t) = νk + 1 : dx(k + τk )e − x(k + τk ) = 1 tk +τ Zk +toct = (1 + νk ) dτ = toct (1 + νk ) (C.7) tk +τk T = 1 y τk toct τk+1 νk a?+ τ 2 + b?+ τ + cj+ νk+1 a?+ > 0 −1 tk = k On obtient immédiatement avec la relation (C.1) l’expression unique de τk+1 : τ+ τ τ− b?+ > 0 cj+ < 0 Fig. C.2 : Illustration des deux solutions L’expression de τk+1 dans le cas « + + » est donc : τk+1 = q b2?+ − 4 a?+ c++ 2 a?+ lorsque c++ < 0 (C.5) La relation (C.6) permet de distinguer le cas « + + » du cas « + - ». Lorsque c++ devient positif, la valeur de τk+1 devient négative ; il s’agira alors du cas « + - ». Dans ce nouveau cas, l’équation (C.3) n’est plus valide et doit être modifiée. τk+1 = τk − 1 + toct = τk − 1 + (C.6) 1 (C.8) 1 + νk Cette définition n’est valable que pour τk+1 < 0. 1 La condition τk+1 = τk − 1 + 1+ν < 0 est k bien la condition opposée à c++ < 0 qui sépare le cas « + + » du cas « + - ». C.1.3 Cas d’une décharge suivie d’une charge : cas « - + » Dans le cas de la fig. C.4, la relation (C.2) devient en intégrant par parties sur les trois morceaux linéaires de y(t) : dx(k + τk )e − x(k + τk ) = 1 Ztk (1 + νk − a − b (τ − tk )) dτ = tk +τk tZ k +1 + c++ = (1 − τk ) (νk + 1) − 1 < 0 t T Fig. C.3 : Cas « + - » d’une charge suivie d’une décharge cj+ > 0 −b?+ + tk+1 = k + 1 (1 + νk ) dτ (C.9) tk tk +1+τ Z k+1 + (1 + νk + a + b (τ − (tk + 1))) dτ tk +1 C.2. Domaines de définition 107 y y toct toct τk+1 τk τk τk+1 T = 1 T = 1 νk νk+1 νk+1 νk −1 tk+1 = k + 1 tk = k −1 tk = k t T tk+1 = k + 1 Fig. C.4 : Cas « - + » d’une décharge suivie d’une charge t T Fig. C.5 : Cas « - - » de deux décharges consécutives ceaux linéaires de y(t) : dx(k + τk )e − x(k + τk ) = 1 Les primitives de ces trois intégrales étant élémentaires, on obtient la relation reliant τk+1 à νk et τk suivante : 2 a?+ τk+1 Ztk = (C.13) tk +τ Zk +toct + b?+ τk+1 + c−+ = 0 + avec (1 + νk ) dτ tk a?+ = 2b b?+ = 1 + a + νk c−+ = c++ + a τk + (1 + νk − a − b (τ − tk )) dτ tk +τk (C.10) b 2 τk2 = (1 − τk ) (νk + 1) + a τk + b 2 τk2 − 1 Comme dans le cas « + + », il existe deux expressions de τk+1 qui correspondent aux intersections d’une parabole avec l’axe des abscisses. Par définition du cas « - + », la valeur de τk+1 doit être une solution positive de l’équation (C.10). Il existe une solution positive unique si et seulement si c−+ < 0. L’expression de τk+1 dans le cas « - + » est donc : q −b?+ + b2?+ − 4 a?+ c−+ τk+1 = (C.11) 2 a?+ lorsque c−+ < 0 On distingue, grâce à la relation (C.12) ci–après, le cas « - + » du cas « - - ». Lorsque c−+ devient positif, la valeur de τk+1 devient négative ; il s’agira alors du cas « - - ». Dans ce nouveau cas, l’équation (C.9) n’est plus valide et doit être modifiée. On obtient immédiatement avec la relation (C.1) l’expression unique de τk+1 : τk+1 = τk − 1 + 1 − a τk − 2b τk2 1 + νk (C.14) Cette définition n’est valable que pour τk+1 < 0. On remarque que la condition τk+1 < 0 est bien la condition opposée à la condition c−+ < 0 qui sépare le cas « - + » du cas « - - ». C.2 Domaines de définition Dans le plan de phase (νk , τk ) ces équations définissent une transformation du point T qui associe le point Xk+1 , de coordonnées (νk+1 , τk+1 ), au point Xk de coordonnées (νk , τk ). Les quatre expressions, différentes selon le signe de τk et τk+1 , divisent le plan de phase en quatre régions – R++ , R+− , R−+ et R−− , – montrées dans la fig. C.6. Dans cette notation, le premier indice indique le signe de τk et le second indice celui de τk+1 . Ces régions, correspondant aux domaines de définition des quatre cas, sont donc définies par : c−+ = (1 − τk ) (νk + 1)+a τk + 2b τk2 −1 < 0 (C.12) C.1.4 Cas de deux décharges consécutives : cas « - - » Dans le cas de la fig. C.5, la relation (C.2) devient en intégrant par parties sur les deux mor- R++ R+− R−+ R−− : {(νk , τk ) | (τk : {(νk , τk ) | (τk : {(νk , τk ) | (τk : {(νk , τk ) | (τk ≥ 0) & (τk+1 ≥ 0) & (τk+1 ≤ 0) & (τk+1 ≤ 0) & (τk+1 ≥ 0)} ≤ 0)} (C.15) ≥ 0)} ≤ 0)} 108 Annexe C. Calcul du modèle NL–DL νk F?− R+− F+? ν+? (τk ) R−− τk R++ F−? R−+ F?+ ν−? (τk ) Fig. C.6 : Plan de phase (τk , νk ) Les conditions sur les signes de τk et τk+1 , séparant les différentes régions, définissent les quatre frontières F+? , F−? , F?+ et F?− – où ? indique le signe changeant en passant d’un côté à l’autre de la frontière. Les frontières F+? et F−? correspondent au changement de signe de τk+1 . Cette condition de changement de signe τk+1 = 0 doit être exprimée par une condition sur τk et νk afin d’éviter de déterminer les régions par le biais d’un algorithme comme dans [vP94]. La frontière F+? sépare le cas « + + » du cas « + - ». La condition de changement de signe de τk+1 séparant ces deux cas est donc directement issue de l’équation (C.6). De même, la frontière F−? sépare le cas « - + » du cas « - - ». La condition de changement de signe de τk+1 séparant ces deux cas est alors directement issue de l’équation (C.12). Ces frontières F+? et F−? sont donc définies par les équations suivantes, l’une définie lorsque τk ≥ 0 séparant les cas « + ? », et l’autre définie lorsque τk ≤ 0 séparant les cas « - ? » : F+? : (1 − τk ) (νk + 1) − 1 = 0 τk ⇔νk = ν+? (τk ) = 1 + τk lorsque τk ≥ 0 (C.16a) F−? : (1 − τk ) (νk + 1) + a τk + 2b τk 2 − 1 = 0 τk ⇔νk = ν−? (τk ) = 1 − a − 2b τk 1 + τk lorsque τk ≤ 0 (C.16b) Les frontières F?+ et F?− correspondent au changement de signe de τk et sont donc définie par τk = 0. Lorsque τk = 0, les conditions sur le changement de signe de τk+1 (C.16) deviennent la condition νk = 0. Les frontières F?+ et F?− sont donc définies par les équations suivantes ; l’une définie lorsque νk ≥ 0 séparant les cas « ? + », et l’autre définie lorsque νk ≤ 0 séparant les deux autres cas : F?+ : τk = 0 lorsque νk ≥ 0 F?− : τk = 0 lorsque νk ≤ 0 (C.17a) (C.17b) Les domaines de définition des transformations composites sont obtenus à partir de leurs frontières : R++ R+− R−+ R−− : {(νk , τk ) | (τk : {(νk , τk ) | (τk : {(νk , τk ) | (τk : {(νk , τk ) | (τk ≥ 0) & (νk ≥ 0) & (νk ≤ 0) & (νk ≤ 0) & (νk ≤ ν+? (τk ))} ≥ ν+? (τk ))} ≤ ν−? (τk ))} ≥ ν−? (τk ))} (C.18) Annexe D Calcul du modèle NL–D-1 Dans cette annexe nous déterminons le modèle inverse du modèle NL–DL. Cet inverse est un outil important qui permet d’analyser le modèle dans le plan de phase. Soit T la transformation non–linéaire, définie dans le § 2.5 (page 37), transformant le point du plan de phase Xk en son image Xk+1 ; on définit la transformation inverse T −1 de T par la transformation telle que T −1 (Xk+1 ) = Xk . T −1 existe si et seulement si il existe un point unique Xk tel que T (Xk ) = Xk+1 . Le modèle est dit non–inversible s’il existe plus d’une solution ou s’il n’en existe pas. Dans le cas où plusieurs solutions existent le modèle est dit multiplement inversible. Pour inverser le modèle NL–DL, il faut inverser chaque transformation composite Tij définies dans le § 2.5 (page 38). Il ne doit exister qu’un seul antécédent à chaque transformation composite Tij dans son domaine de définition Rij . Les propriétés de chaque transformée inverse composite permettent de déterminer que l’image des régions connexes Rij par les transformée Tij sont des régions connexes que l’on nomme RIij . Ces régions images RIij seront de fait les domaines de définition des transformées composites inverses Tij−1 . D.1 νk ij (νk+1 , τk+1 ) = νk+1 − b τk+1 avec i, j ∈ {+, −} Les expressions de τk+1 dépendent de la transformée composite à inverser. Dans le cas des régions R++ et R+− , il existe une unique expression inverse de τk qui sont les expressions (D.2a) et (D.2b) respectivement : 2 b τk+1 /2 + a τk+1 − 1 1 − b τk+1 + νk+1 pour le cas « + + » 1 τk =1 + τk+1 − 1 − b τk+1 + νk+1 pour le cas « + - » τk =1 + τk+1 + (D.2a) (D.2b) Par contre dans le cas des régions R−− et R−+ il existe deux solutions éligibles. Cela impliquerait que le modèle soit non–inversible et que les frontières F?− et F?+ sont des lignes critiques, mais il n’en est rien. Unicité du modèle inverse Pour chacune des quatre transformations composites Tij , définies par (2.76), on peut trouver les solutions νk ij (νk+1 , τk+1 ) et τk ij (νk+1 , τk+1 ) des quatre systèmes d’équations définis par ij (D.1) D.1.1 Exclusion d’une solution éligible Les deux cas R−− et R−+ se traitent de la même manière : pour cela nous remplaçons l’identificateur par « −j » ; la lettre j signifiant + pour le cas « - + » et − pour le cas « - - ». ij Tij (νk , τk ) = (νk+1 , τk+1 ) connaissant (νk+1 , τk+1 ). L’expression de νk est obtenue directement de (2.74) ; elle est identique pour les quatre transformations composites : Les deux expressions éligibles de τk −j (νk+1 , τk+1 )j∈{+,−} sont les intersections avec l’axe des abscisses d’une parabole d’équa109 Annexe D. Calcul du modèle NL–D-1 110 tion : a−? τ 2 + b−? τ + c−j = 0 pour j ∈ {+, −} (D.3) avec a−? = a 2, et c−+ . Les deux paraboles possèdent des asymptotes en +∞ car le coefficient a−? est positif. La condition C3 implique que le signe de b−? est négatif – soit une dérivée négative de la parabole au point d’abscisse nulle. La forme des deux paraboles est donnée dans la fig. D.1. b−? = b τk+1 − νk+1 + a − 1 a−? τ 2 + b−? τ + c−j c−− = −b τk+1 2 + τk+1 (b − νk+1 − 1) − νk+1 , c−+ = c−− + b τk+1 2 2 + a τk+1 a−? > 0 Dans ce cas les deux solutions éligibles sont exprimées par : √ −b−? ± b2−? −4a−? c−j τk−j (νk+1 , τk+1 ) = (D.4) 2a−? c−j > 0 pour j ∈ {+, −} En rajoutant des contraintes sur les valeurs possibles de τk , νk et τk+1 on peut alors rejeter une des solutions éligibles. Les contraintes suivantes sont issues des conditions d’appartenance aux domaines de définition des transformations composites et du domaine de validité du modèle NL–DL : C1 par définition on applique les transformations T−+ et T−− si Xk ∈ R−− ∪ R−+ , ce qui est exprimé par la condition τk ≤ 0 – l’union de ces deux régions correspond au demi–plan gauche ; – C2 par définition T−− (respectivement T−+ ) est la transformation qui associe à un point de R−− (respectivement R−+ ) un point dont la coordonnée τk+1 est de signe négatif (respectivement positif), ce qui donne les conditions τk+1 ≤ 0 pour T−− et τk+1 ≥ 0 pour T−+ ; C3 le domaine de validité du modèle NL–DL implique que l’erreur de phase soit suffisamment petite (−T < τk+1 < T ) et que la tension à l’entrée de l’OCT soit positive à tout instants – soit y > −1 en variables réduites. Si l’on observe les représentations de l’évolution de la tension normalisée y dans la figure fig. C.5 et fig. C.4, on en déduit que la condition C3 est exprimée à l’instant tk par νk − a > −1. En remplaçant νk par son expression (D.1) on obtient l’expression commune de la condition C3 : a − 1 + b τk+1 − νk+1 > 0. Les conditions C2 et C3 permettent de prouver que les deux solutions éligibles sont de signes opposés. La condition C1 permet alors de rejeter la solution de signe positif prouvant ainsi l’existence d’une solution admissible unique. Le signe des solutions éligibles est déterminé par le signe des coefficients des paraboles a−? , b−? , c−− τ− τ+ τ b−? < 0 c−j < 0 Fig. D.1 : Forme des paraboles donnant les solutions éligibles de τk+1 Dans le cas où la constante c−j est positive : soit il existe deux solutions réelles positives ; soit il n’existe pas de solution réelle. Il n’y a donc pas de solution admissible à l’inversion du modèle car les solutions, lorsqu’elles existent, ne respectent pas la condition C1 . Dans le cas où cette constante est négative il existe alors une solution réelle positive et une solution réelle négative. La seule solution admissible est, dans ce cas, la solution de signe négatif selon C1 . D.1.2 Inversion du cas « - - » I ν?− (τk+1 ) Soit la relation implicite induite par l’égalité c−− (νk+1 , τk+1 ) = 0 : I ν?− (τk+1 ) = 1 + b τk+1 − 1 1 + τk+1 (D.5) On trouve que l’inégalité c−− (νk+1 , τk+1 ) ≤ 0 a pour équivalent dans le plan de phase l’inégalité I νk+1 ≤ ν?− (τk+1 ). L’unique inverse de T−− ayant un τk négatif existe si et seulement si la condition I νk+1 ≤ ν?− (τk+1 ) et la condition τk+1 < 0 sont vérifiées. Dans le cas où l’une de ces deux conditions n’est pas vérifiée, il n’existe pas de solution −1 négative et T−− n’est pas définie. D.2. Domaine de définition 111 L’équation donnant l’unique solution négative, lorsqu’elle existe, à l’inversion de T−− est donc : −b−? − τk = q b2−? − 4a−? c−− 2a−? (D.6) avec a a−? = , b−? = b τk+1 − νk+1 + a − 1 2 c−− = − b τk+1 2 + τk+1 (b − νk+1 − 1) − νk+1 D.1.3 Théorème 14 Soit T une transformation de R2 dans R2 ; soit R un ensemble fermé de R2 ; si T est un homéomorphisme alors la propriété suivante est vérifiée : Inversion du cas « - + » I De la même manière, soit ν+? (τk+1 ) la relation implicite induite par l’égalité c−+ (νk+1 , τk+1 ) = 0 : I ν+? (τk+1 ) = τk+1 1 + τk+1 b+ b τk+1 −1−a 2 (D.7) on trouve que l’inégalité c−+ (νk+1 , τk+1 ) ≤ 0 a pour équivalent dans le plan de phase l’inégalité I νk+1 ≤ ν+? (τk+1 ). L’unique inverse de T−+ ayant un τk négatif existe si et seulement si la condition I νk+1 ≤ ν+? (τk+1 ) et la condition τk+1 < 0 sont vérifiées. Dans le cas où l’une de ces deux conditions n’est pas vérifiée, il n’existe pas de solution −1 négative et T−+ n’est pas définie. L’équation donnant l’unique solution négative, lorsqu’elle existe, à l’inversion de T−+ est donc : q −b−? − b2−? − 4a−? c−− τk = 2a−? avec (D.8) a a−? = , b−? = b τk+1 − νk+1 + a − 1 2 b τk+1 2 c−+ =c−− + + a τk+1 2 D.2 deux continus. Cela permet d’établir une relation d’équivalence entre les topologies du plan de phase et de son image [Vir]. Pour déterminer l’image d’une région nous allons utiliser la propriété topologique suivante : Domaine de définition Le domaine de définition de Tij−1 , noté RIij , est par définition l’image par la transformée composite Tij de son domaine de définition : RIij = Tij (Rij ) pour tout i, j ∈ {+, −} (D.9) Ces régions doivent être exprimées analytiquement, afin de définir complètement le modèle inverse. Remarquons que chacune des transformations composite est un homéomorphisme, c’est–à– dire que la transformation et son inverse sont tous Fr (T (R)) = T (Fr (R)) (D.10) où Fr (X) est la frontière de X On définit alors l’image d’une région Rij par la région ayant pour frontière l’image de la frontière I de Rij . Nous notons donc Fij l’image par Tij de la frontière Fij . Rappelons que les frontières F+? et F−? (voir la figure fig. D.2) sont définies dans (C.16) par la relation τk+1 (νk , τk ) = 0. Les images de ces deux frontières sont alors exprimées par τk+1 = 0 et νk+1 = νk (la valeur de νk+1 étant déduite de l’équation (2.74)). I I Les frontières images F+? et F−? sont donc définies par : I F+? : τk+1 = 0 lorsque νk+1 > 0 (D.11a) I F−? (D.11b) : τk+1 = 0 lorsque νk+1 < 0 Ces frontières constituent l’axe des ordonnées et coı̈ncident avec les frontières F?− et F?+ : I I = F?+ . = F?− et T (F−? ) = F−? T (F+? ) = F+? Les frontières F?− et F?+ sont définies dans (C.17) par la relation τk = 0. Les images resI I sont obtenues en éliminant la pectives F?− et F?+ variable νk des relations respectives T−− (νk , 0) = (νk+1 , τk+1 ) et T++ (νk , 0) = (νk+1 , τk+1 ). Ces deux ensembles d’équations induisent une relation entre τk+1 et νk+1 définissant les deux frontières images. Ces deux relations correspondent aux deux conditions d’existence d’un unique inverse du cas « - + » et du cas « - - ». Les frontières sont donc définies par les deux re- Annexe D. Calcul du modèle NL–D-1 112 ν ν F?− T (.) F+? I F+? I F?− R+− RI +− T (.) R−− Xq RI ++ T (.) R++ Xq RI −− F−? T (.) R−+ I F−? F?+ τ Domaines de définition de la transformée T RI −+ τ Domaines de définition de la transformée inverse T −1 Fig. D.2 : Domaines et frontières des domaines de définition des transformées inverses lations suivantes : I F?− : I νk+1 =ν?− (τk+1 ) lorsque τk+1 ≥ 0 avec 1 I ν?− (τk+1 ) = + b τk+1 − 1 1 + τk+1 (D.12a) I F?+ : I νk+1 =ν+? (τk+1 ) lorsque τk+1 ≤ 0 avec b τk+1 τk+1 I b+ −1−a ν+? (τk+1 ) = 1 + τk+1 2 (D.12b) Les domaines de définition des transformées inverses composites sont définis à partir de leurs frontières : I RI++ : {(ν, τ ) | ν ≥ ν+? (τ ) et τ ≥ 0} I RI−− : {(ν, τ ) | ν ≤ ν?− (τ ) et τ ≤ 0} I RI+− : {(ν, τ ) | ν ≥ ν?− (τ ) et τ ≤ 0} I RI−+ : {(ν, τ ) | ν ≤ ν+? (τ ) et τ ≥ 0} (D.13) I F?+ Annexe E Réalisation expérimentale de la BVP–IC Nous expliquons dans la suite le principe de fonctionnement des autres parties de la BVP–IC nécessitant quelques explications. Cette annexe présente la réalisation d’une BVP– IC à partir de composants du commerce. Pour tester la stabilité du circuit deux circuits de mesure ont été créés. Leur utilisation est expliquée dans le § 3.9 (page 92). Un de ces circuits détecte la présence de la tension d’entrée de l’OCT dans une certaine fenêtre – détecteur de stabilité – et l’autre détecte l’apparition d’une séquence particulière du DPF – détection de l’instabilité. Il existe plusieurs circuits intégrés contenant les blocs d’une BVP prêts à câbler. Par contre, les constructeurs ne proposent pas de BVP par impulsion de charge : l’architecture la plus proche est celle du HC4046 proposant un détecteur de phase logique de type III. Mais celui–ci commande le filtre par des impulsions de tension et non de courant. Nous avons donc été contraint de réaliser le détecteur de phase/fréquence et le générateur d’impulsions de courants à partir de composants discrets. Nous avons choisi le XR2206 comme oscillateur contrôlé en tension pour sa bonne linéarité et la qualité de son rapport cyclique. La fig. E.3 montre le schéma de câblage de la platine expérimentale comportant les références et valeurs des composants. On discerne dans ce schéma, entouré en pointillé, les principales parties de la BVP–IC : le détecteur de phase/fréquence ; le générateur d’impulsions (appelé « pompe de charge » sur le schéma) ; l’oscillateur contrôlé en tension (VCO) ; le discriminateur de tension (détecteur de proximité) et le détecteur de séquences. La réalisation de l’oscillateur contrôlé en tension est entièrement assurée par le XR2206 : nous n’en présentons donc pas le fonctionnement. Le discriminateur de tension est réalisé par un simple montage en comparateur de tension, la lecture sur le schéma de la fig. E.3 suffit à sa compréhension. E.1 Le détecteur de phase– fréquence Le détecteur de la fig. E.1 est réalisé à partir de deux bascules D et d’une commande de mise à zéro. 1 D Q’ vref Q vhaut R raz 1 vb R D Q vbas Q’ Fig. E.1 : Le détecteur de phase/fréquence de type III L’arrivée d’un front sur une des bascules provoque le mise à 1 de la sortie qui lui correspond. Si l’autre sortie est déjà active, les bascules sont remises à zéro par le signal raz de la porte ET. Les trois états +, − et 0 du DPF sont donc représentés par les combinaisons 10, 01 et 00 des sorties vhaut et vbas . Cette réalisation simple du DPF a le désavantage d’effectuer un aléa de course passant par l’état 11 lors d’une remise à zéro. Cette brève impulsion n’a pas d’effet significatif sur le reste du circuit. 113 114 E.2 Annexe E. Réalisation expérimentale de la BVP–IC Le générateur d’impulsions de charge Le schéma de principe du générateur d’impulsions est présenté dans la fig. E.2. Il est composé de deux sources de courant stabilisées et de quatre commutateurs de type CMOS. 12V Rz Vz Commutateurs CMOS Ic vhaut − Vm + voct (t) vbas ic (t) R Ic C Vz Rz -12V choisi dans cette application une tension d’alimentation symétrique de ±12V compatible avec les commutateurs CMOS, et un courant de charge Ic = 1mA. E.3 Le détecteur de séquence Le fonction du détecteur de séquence est de détecter l’alternance répétée entre une impulsion de courant positive et une impulsion négative. Si l’on note ↑ vhaut et ↑ vbas les fronts actifs de vhaut et vbas , cette alternance correspond à la séquence d’événements {↑ vhaut ; ↑ vhaut ; ↑ vbas ; ↑ vbas }. Pour détecter cette séquence particulière, on construit la machine à état dont le graphe est donné dans la fig. E.3. Sa réalisation est simplifiée en utilisant un compteur binaire dont les deux sorties S0 et S1 codent l’état du graphe de la fig. E.3. Ce compteur est réalisé par deux bascules D mises en cascade possédant une entrée de remise à zéro commune. On remarque que le compteur doit être incrémenté par ↑ vhaut lorsque S1 = 0 ou par ↑ vbas lorsque S1 = 1. Le compteur doit être remis à zéro par ↑ vhaut lorsque S1 = 1 ou par ↑ vbas lorsque S1 = 0. Il est alors facile de diriger les fronts ↑ vhaut et ↑ vbas , soit vers l’entrée d’horloge, soit vers la remise à zéro du compteur, selon l’état de S1 . ↑ vbas Fig. E.2 : Le générateur d’impulsions Les deux sources de courants stabilisées sont assurées par deux transistors et deux diodes Zener. On fixe ainsi une tension Vz − VBE aux borne de la résistance Rz , VBE étant la tension base–émetteur des transistors. La valeur du courant stabilisé est BE donc Ic = Vz −V . Rz Le courant de chacune de ces deux sources est dirigé, par les commutateurs de type CMOS, vers le noeud du filtre ou détourné vers le noeud de potentiel Vm . On fixe, via l’amplificateur opérationnel, le noeud Vm au même potentiel voct que celui du filtre ; de cette manière on favorise la rapidité des commutations de courant. On obtient ainsi une impulsion de courant positive lorsque vhaut est actif et vbas inactif, et une impulsion négative dans le cas inverse. Lorsque vhaut et vbas sont tout deux inactifs, aucun courant n’est transmis vers le noeud du filtre. Cette réalisation permet d’obtenir des commutations suffisamment rapides au dépend d’une consommation en courant accrue. Nous avons S1 S0 00 ↑ vhaut ↑ vbas ↑ vbas 01 ↑ vhaut ↑ vhaut 10 ↑ vbas 11 Fig. E.3 : Le graphe d’état du détecteur de séquence On génère la sortie du détecteur de séquence avec une bascule mise à 1 lorsque S1 = 1 et S0 = 1 E.3. Le détecteur de séquence (c’est à dire lorsqu’une séquence entière a été observée sans erreur) et remise à zéro par le même signal de remise à zéro que le compteur (c’est à dire lorsque il y a eu une erreur dans la séquence). On obtient ainsi une sortie qui est 1 lorsque l’alternance de charge positive et négative est observée, et à zéro dès que cette alternance est rompue. La mesure de cette sortie permet de tester l’instabilité du système. 115 116 Annexe E. Réalisation expérimentale de la BVP–IC Fig. E.4 : schéma Annexe F Optimisation de la BVP–IC d’ordre deux 117 118 Annexe F. Optimisation de la BVP–IC d’ordre deux USING AN EVENT-DRIVEN MODEL TO OPTIMISE CHARGE PUMP PHASE LOCKED LOOPS. Pascal ACCO LESIA – Laboratoire d’Étude des Systmes Informatiques et Automatiques, INSA – Institut National des Sciences Appliques, DGEI, 135 avenue de Rangueil, 31000 Toulouse, France. e-mail: [email protected] WWW: http://www.lesia.insa-tlse.fr/ Abstract — The design of CP-PLL is a difficult exercise because of the wide range of applications and the complexity of modelling. As shown in [1] a good behavioural model of the second order CP-PLL is the event driven model proposed in [3]. The eventdriven model can run very fast simulations with a good accuracy. In this paper we will define a criterion to measure the quality of a design. This criterion will be suitable for most applications. An optimisation of this criterion is possible and will help to design the filter parameters. 1 Ip vr vδtv U vb N PFD III ip vc D VCO vv R Ip C1 1 N Introduction In [1] the event-driven model for a CP-PLL is compared to the Spice transistor-level model. It appear that the event-driven model gives almost the same results than the Spice model. The differences are due to non-linearities that are not modelled in the system such as the VCO characteristic and the current source dynamics. The cost of the high accuracy of the Spice-model is the time taken to run one simulation. This time can reach one day to simulate a 20 µs long response (Sparc 5 - 200 MHz). Event-driven simulation on the same computer is 140 millions times faster. Moreover, the model equations are very easy to determine compared to those found in the discrete time non-linear model in [4]. This relative simplicity allows one to add some complex phenomena such as overload and noise generation in the circuit. To help the designer, a simulation can be done for each set of parameter values. A criterion can be applied to these simulations to determine the quality of each design. The parameters that give the best criterion value will be taken as a starting point by the designer. 2 vδtr Introduction of noise in the model In this paper we will consider the same CP-PLL and use the same notation as in [3]. We will introduce Figure 1: CP-PLL model with input and output noise white Gaussian noise at the input and at the output of the model as shown in 1. This noise will allow us to develop a criterion to measure the noise rejection of the CP-PLL. The noise effects are represented in the model by small variable delays on the expected input and output falling edges. The input delay δtr and the output delay δtv have a Gaussian distribution centred on zero with respective standard deviations σr and σv . The noise in the VCO input voltage vδtv can not be directly represented in the model because it is not constant between two events. So, we consider that the time of the next falling edge of the VCO output is delayed of δtv . The relation between vδtv and δtv is not explicit as it is the solution of a variable bound integration of the noise vδtv . Usually those standard deviations are smaller than the input signal period T and their values are around 200 ps. The probability of a noise value greater than the period T is small but not zero. So, to respect the principle of causality, noise samples whose absolute values are greater than T will 119 be erased from the sequence. The dates of the events are disturbed by the introduction of these noise. When the noise sample is large and negative the date of the next event can be smaller than the date of the initial event. In these cases the date of the next event will be chosen at tmin seconds after the initial event. To introduce noise in the event-driven model, the equation which determines next event date (1) is changed in (2): tk+1 = min(tvk+1 , trk+1 ) (1) tk+1 = max(min(tvk+1 + δtv , trk+1 + δtr ), tmin ) (2) With equation (2) the PFD pulse width can not be smaller than tmin . This time correspond to the delay introduced by the gates and the buffers in the reset feedback signal of the state machine described in [5]. When the event is a VCO feedback signal falling edge the VCO phase must be a multiple of 2π which means the VCO falling edge. This is obtained by replacing the term tk+1 by tvk+1 in the VCO phase equation (3). When the input noise is introduced the phase of the input signal can no longer be deduced from the time variable. A falling edge will not appear when the time is a multiple of the period T because this period is not constant but noisy. A new variable ϕrk is added to represent the phase of the input signal. Its equation (4) has to be added to the event-driven model. ϕrk+1 = ϕrk + (tk+1 − tk ) 2π T (4) As for equation (4) when the event is an input signal falling edge the term tk+1 is replaced by trk+1 in (4). With these equations the output or input signal falling edge event are recognised by testing respectively whether ϕvk or ϕrk is a multiple of 2π. 3 Optimisation criterion The PLL design constraints chosen in this study are the input noise rejection constraint, the VCO noise rejection constraint and the fast locking time constraint (which include the stability constraint). A criterion which estimates all these constraints and displays the relative strength of each constraint will be defined. This criterion will be used to design a PLL for different kinds of applications. The design of a frequency synthesiser makes the fast dynamics more important than the noise rejection, whereas in the design of a clock recovery system noise rejection is the most important constraint. In [2] a linear combination of the locking time and the residual noise at the N-divider output is proposed to solve this problem. This criterion is not used here because it can not measure directly the noise at the VCO output. An image of the VCO output frequency is the instantaneous VCO input voltage. The event-driven model permits us to calculate very easily this voltage at any moment of the simulation. The criterion proposed in this paper is described by (5). Ak+1 = Ak + Z tk+1 |vgoal − vc (t)| dt (5) tk with A0 = 0 Fr N and vgoal = Kv This equation is the recurrence equation that calculates at each step the integration of the difference between the steady-state voltage value vgoal and the instantaneous voltage value of the VCO input vc (t). The steady-state voltage value is the VCO input voltage for which VCO frequency is equal to N Fr . The expression for vc (t) is linear between events, so a simple analytical expression of the primitive of the integration exists and is very rapidly calculated. The criterion function F chosen is the VCO input voltage error mean value. After one simulation the criterion value is obtained by dividing the last value of the integration An by the length of the simulation tn where n is the number of the last iteration. A bad input and/or output noise rejection will increase the criterion. The strength of input and output noise constraints increases with the values of the white Gaussian standard deviation σr and σv . A low dynamic or an unstable system will increase the criterion because of its long acquisition time. The strength of this criterion is increased by choosing an initial capacitor voltage value far from its steady-state value. The jump voltage across the resistor which appears directly on the VCO input also increases the cost function F . This permits us to take into account the modulated noise generated at the VCO output by these jump voltages. This is the main advantage compared to the criterion proposed in [2] which can not “see” these modulations from the N-divider output. This criterion can assess the strength of each design constraint (noise rejection and dynamics) and also measures the noise generated by the jump voltage across the resistor. This recursive criterion can be calculated in the same time of the simulation and does not significantly increase the simulation time. 120 Annexe F. Optimisation de la BVP–IC d’ordre deux ϕvk+1 = ϕvk + 2π · ¸ ¢ αKv ¡ 2 tk+1 − t2k + [fv0 − Kv (αtk − vk − αIp R)] (tk+1 − tk ) 2 The relative choice of σr and σv is easy because those two variables are defined as the standard deviation of the noise that can be measured and is in the range of 200 ps. But the choice of the initial error voltage at the VCO input is not immediate and need to be adjusted on some well known good design to get an idea of its value. 4 Optimisation by parametric sweep As the simulation and evaluation time cost are very low, a sweep of all physically reachable values of (R,C) could be done. For each point in the (R,C) parametric plane a simulation and an evaluation is done. The results are stored in a matrix which could be plotted to see the evolution of the criterion as a function of R and C. The optimal value is immediately found without complex algorithm. This sweep also allows one to see the criterion degradation when the parameters are different from the optimal values. For example, in the case of clock recovery systems the noise rejection is the most important constraint. In this case the criterion is calculated with a strong noise at the input and in the VCO. As the fast dynamic is not important in these designs the initial voltage error is zero. A parametric sweep of all the resistor values from 0 to 100 KΩ and all the capacitor value from 50 pF to 1000 pF is done for a simulation horizon of 20 µs. This kind of sweep represents 65025 simulations computed in 40 seconds with a Sparc 5 processor running at 200 MHz. The equivalent time with the Spice model is around a few centuries. To help the design it is interesting to evaluate what can be the best design for a given capacitor value. For each capacitor value, all the resistors values are swept and the value that gives the best criterion is stored. fig. 3 displays the optimal resistor for each capacitor value. fig. 2 represents the criterion value for each capacitor value and their corresponding optimal resistor. When the capacitor is smaller than a few pF, the criterion value increases suddenly, this is connected to the overload phenomenon. This phenomenon occurs when the VCO input voltage becomes greater than the power supply Vcc . The modelling of overload phenomenon is not described in this paper. For larger capacitors, the quality in- (3) crease up to the optimal value. With fig. 2, the designer can directly choose the value of the capacitor and manage the compromise between a large and expensive capacitor and a good design. In this case a good compromise is a 300pF capacitor and a 17.5KΩ resistor. 5 Conclusion An optimisation method using the event-driven model for the CP-PLL has been proposed. This method gives the optimal design considering an evaluation criterion of the noise rejection and the fast dynamic of the circuit. The very low run time execution of this model permits a designer to try all possible values. With this method help is given to improve the compromise between a small capacitor and a good design. This kind of model could be applied to the third-order CP-PLL model. The corresponding event-driven model needs to solve an implicit equation at each step. An optimisation algorithm should be used instead of brute force in this case. References [1] P. Acco, M. P. Kennedy, C. Mira, B. Morley, and B. Frigyik. Behavioral modeling of charge pump phase locked loops. In ISCASS’99, pages 375–378, Orlando, Florida, may 1999. IEEE Publishers. [2] R. S. Co and J. H. Mulligan. Optimization of phase-locked loop performances in data recovery systems. IEEE Journal of Solid-State Circuits, 29:1022–1034, September 1994. [3] C. D. Hedayat, A. Hachem, Y. Leduc, and G. Benbassat. High-level modeling apllied to the second-order charge-pump pll circuit. Technical report, Texas Instrument Technical Journal, volume 14, number 2, March - April 1997. [4] M. van Paemel. Analysis of a charge pump pll: a new model. IEEE Transactions on Communications, 42(7):2490–2498, July 1994. [5] I. A. Young, J. K. Greason, and K. L. Wong. A pll clock generator with 5 to 110 mhz of lock range for microprocessor. IEEE Journal os Solid-State Circuits, 27(11), November 1992. 121 Criteria in Volts 0.10 System overloaded by Vcc 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 Log(C) 0 −12.0 −11.6 −11.2 −10.8 −10.4 −10.0 −9.6 −9.2 −8.8 Figure 2: Criterion vs capacitor Log(R) 6.3 5.9 System overloaded by Vcc 5.5 5.1 4.7 4.3 3.9 3.5 Log(C) 3.1 −12.0 −11.6 −11.2 −10.8 −10.4 −10.0 −9.6 −9.2 Figure 3: Optimal resistor vs capacitor Parameters for this optimisation: Input signal frequency Fr = 4 MHz Divider value N = 50 VCO gain Kv = 100 MHz/V Current pump value Ip = 10 µA PFD minimal pulse width tmin = 1 ps Power supply voltage Vcc = 3.3 V −8.8 122 Annexe F. Optimisation de la BVP–IC d’ordre deux Liste des symboles Symboles Grecs αdyn Atténuation maximale désirée pour la pulsation ωdyn , page 63 αe Atténuation minimale désirée pour la pulsation ωe , page 65 αoct Atténuation minimale désirée pour la pulsation ωoct , page 65 δoct Bruit à la sortie de l’OCT, page 65 δref Bruit du signal de référence, page 64 δvm Bruit sur la tension de l’entrée de l’OCT, page 65 Ξ Ensemble des indices repérant les quatre transformations composites, page 38 ξ Coefficient d’amortissement d’un système du deuxième ordre, page 30 ξij Fonction indicatrice, page 80 ν Erreur de tension normalisée du modèle discret non–linéaire, page 37 ν+? Tension normalisée séparant le cas « + + » du cas « + - » du système discret non–linéaire, page 108 I ν+? Tension normalisée séparant le cas « + + » du cas « + - » du système discret non–linéaire inverse, page 111 0 ν+? Tension normalisée séparant le cas « + + » du cas « + - » du système discret linéarisé, page 40 I ν?− Tension normalisée séparant le cas « + - »du cas « - - »du système discret non–linéaire inverse, page 110 0 ν−? Tension normalisée séparant le cas « - + » du cas « - - » du système discret linéarisé, page 40 ν−? Tension normalisée séparant le cas « - + » du cas « - - » du système discret non–linéaire, page 108 ω0 Pulsation pour laquelle le gain du système en boucle ouverte est 1, page 62 ωdyn La plus grande pulsation de la bande de fréquence utile, page 63 ωe Pulsation du bruit de modulation coloré à rejeter , page 65 ωm Pulsation de modulation d’un signal, page 64 ωn Pulsation naturelle d’un système du deuxième ordre, page 30 ωoct Pulsation du bruit de modulation coloré à rejeter , page 65 ωref Pulsation du signal d’entrée, page 30 ωs Pulsation du signal de sortie, page 63 φ Fonction de transition discrète d’un système hybride, page 43 ϕ0 Phase du système linéaire lorsque le gain en boucle ouverte est unitaire, page 62 123 124 Liste des symboles ϕb Phase du signal rebouclé sur le DPF, page 24 ϕi Trajectoire de l’état continu du système hybride lorsque l’état discret est i, page 70 ΦM Marge de phase minimale, page 62 ϕoct Phase du signal de sortie de l’OCT, page 23 ϕref Phase du signal de référence à l’entrée de la BVP–IC, page 26 ϕX Trajectoire de l’état continu, page 50 Πij Plans de section du modèle hybride continu, page 70 σs Écart type du bruit de modulation à la sortie, page 64 τ Retard, en temps normalisé, du signal bouclé sur le signal de référence dans le modèle discret non–linéaire, page 37 τ1 Paramètre réduit de la BVP–ICdu troisième ordre, page 27 τn Paramètre réduit de la BVP–ICdu troisième ordre, page 27 θb Angle du signal bouclé, page 29 θe Angle de l’erreur de phase, page 29 θref Angle de phase du signal de référence, page 29 θs Angle du signal de sortie, page 29 Symboles Romans Aij Matrices dynamiques du modèle discret commuté, page 83 Anij Sommet du polytope dont la fermeture convexe inclue Dij , page 90 BP Bande passante relative au bruit, page 64 C Capacité du condensateur du filtre linéaire du 1er ordre, page 22 C1 Capacité du condensateur du filtre linéaire du 2nd ordre, page 22 C2 Capacité du condensateur de lissage du filtre linéaire du 2nd ordre, page 22 Dab Carré de l’espace des paramètres dans lequel varie les paramètres incertains, page 90 Df Domaine de définition de la fonction de transition continue d’un système hybride, page 43 Dij Domaine de l’espace des matrices dynamiques dans lequel se situe la matrice incertaine Aij , page 90 Dφ Domaine de définition de la fonction de transition discrète d’un système hybride, page 43 E État du DPF, page 21 e État du DPF en temps normalisé du système normalisé centré sur (0, 0), page 27 Ek État discret du modèle hybride autonome, page 50 e État du DPF en temps normalisé, page 26 f Frontière de commutation dans l’espace de phase, page 50 F+? , F−? , F?+ , F?− Frontière séparant les régions du système discret non–linéaire, page 108 I I I I F+? , F−? , F?+ , F?− Frontière séparant les régions du système discret non–linéaire inverse, page 111 0 0 0 0 F+? , F−? , F?− , F?− Frontière séparant les régions linéarisées du système discret linéarisé, page 40 FBP Frontière dans le plans des paramètres assurant une bande passante relative au bruit BP maximale, page 64 125 Fdyn Frontière dans le plans des paramètres assurant un gain suffisant à la pulsation ωdyn , page 63 Fe Frontière dans le plans des paramètres assurant une atténuation suffisante à la pulsation ωe , page 65 fi vecteur différentiel de la variable d’état du système hybride continu, page 70 fimp Fonction implicite permettant de déterminer la date du prochain front actif du signal bouclé dans le modèle Évé.–3., page 52 FM P Frontière dans le plans des paramètres assurant une marge de phase minimale ΦM , page 62 foct Fréquence instantannée de l’OCT, page 23 Fol Fréquence d’oscillation libre de l’OCT, page 23 fref Fréquence du signal de référence, page 62 Foct Frontière dans le plans des paramètres assurant une atténuation suffisante à la pulsation ωoct , page 65 Fvm Frontière dans le plans des paramètres assurant une atténuation suffisante du bruit de tension à l’entrée de l’OCT, page 65 f Fonction de transition continue d’un système hybride, page 43 G Fonction de transfert en boucle ouverte du modèle linéaire, page 35 G2 Fonction de transfert en boucle ouverte du modèle linéaire du second ordre, page 36 G3 Fonction de transfert en boucle ouverte du modèle linéaire du troisième ordre, page 36 H2 Fonction de transfert en boucle fermée du modèle linéaire du second ordre, page 36 H3 Fonction de transfert en boucle fermée du modèle linéaire du troisième ordre, page 36 H Fonction de transfert en boucle fermée du modèle linéaire, page 36 Hs Fonction de transfert en boucle fermée de la sortie de l’OCTvers la sortie, page 65 H Espace d’état hybride d’un système hybride, page 43 H Ensemble définissant un système hybride, page 43 Ic Intensité des générateurs de courants du DPF, page 21 ic Courant à la sortie du DPF, page 20 ic Courant moyen à la sortie du DPF, page 21 ip Courant de charge constant pendant une impulsion utilisé dans le modèle linéaire discret, page 31 j Le nombre imaginaire tel que j 2 = −1, page 62 Koct Gain de l’OCT, page 23 M Espace d’état des variables discrètes d’un système hybride, page 43 N Valeur entière du diviseur de fréquence, page 23 Ndyn Atténuation maximale désirée pour la pulsation ωdyn en décibels, page 62 Ne Atténuation minimale désirée pour la pulsation ωe en décibels, page 65 Noct Atténuation minimale désirée pour la pulsation ωoct en décibels, page 65 p Paramètre réduit de la BVP–ICdu troisième ordre, page 27 R Ensemble des nombres réels, page 43 R Impédance de la résistance du filtre linéaire, page 22 126 Liste des symboles R Rayon du cercle dans lequel les pôles du système discret doivent se situer afin de garantir une stabilité robuste, page 68 Rij Domaine de définition du cas « i j » du système discret non–linéaire, page 107 RIij Domaine de définition du cas « i j » du système discret non–linéaire inverse, page 41 Rijk Domaine d’existence d’une séquence ij → jk du système discret non–linéaire, page 86 R0ij Domaine de définition, linéarisé autour de (0, 0), du cas « i j » du système discret linéarisé, page 40 Soct Densité spectrale du bruit de modulation généré par l’OCT(en rad2 s), page 65 Sref Densité spectrale du bruit de modulation en entrée (en rad2 s), page 64 Ss Densité spectrale du bruit de modulation à la sortie (en rad2 s), page 64 Svm Densité spectrale du bruit à l’entrée de l’OCT(en Σ Espace de définition des entrés discrètes d’un système hybride, page 43 t b V 2/s), page 65 Date normalisée du prochain événement du signal bouclé, page 51 teb Date normalisée du prochain événement du signal bouclé du système d’ordre trois, page 52 t Temps normalisé à la période du signal de référence du système normalisé centré sur (0, 0), page 27 ti T Date de l’événement i, page 50 −1 Transformation inverse du système discret, page 40 T −1 Transformation inverse du système discret, page 109 Tij Transformations composites du système discret, page 38 Tk Transformations locales composant un cycle limite du système hybride continu, page 70 t Temps normalisé à la période du signal de référence, page 26 toct Période en temps normalisé du signal bouclé, page 105 tp Durée approchée d’une impulsion de charge dans le modèle linéaire discret, page 31 t r Date normalisée du prochain événement du signal d’entré, page 51 vb Tension du signal rebouclé sur leDPF, page 24 vbas Tension de sortie du DPF commandant une décharge de courant, page 21 vc Tension aux bornes de la capacité du filtre, page 22 vcharge Tension du signal de sortie du DPF, page 14 vhaut Tension de sortie du DPF commandant une charge de courant, page 21 voct Tension en entrée de l’oscillateur contrôlé en tension, page 22 voct Tension moyenne à l’entrée de l’oscillateur contrôlé en tension, page 29 vref Signal d’entrée ou de référence, page 14 vs Tension à l’entrée de l’OCT en régime stabilisé, page 14 w Phase normalisée du signal d’entré, page 51 wk Phase normalisée du signal d’entré à l’instant tk , page 51 X Vecteur d’état du système normalisé centré sur (0, 0), page 44 x Erreur de phase normalisée à l’unité, page 26 xδt Valeur de la phase normalisée à la fin d’une impulsion négative, page 49 127 X Vecteur d’état du système normalisé, page 43 x Phase normalisée du signal bouclé, page 26 Xq Point fixe du modèle NL–DL, page 39 y Erreur de tension normalisée aux bornes de la capacité C ou C1 , page 26 y Tension normalisée aux bornes de la capacité C ou C1 , page 26 Z Transformée en z, page 35 z Erreur de tension normalisée aux bornes de la capacité C2 , page 28 Zf Impédance linéaire du filtre, page 29 Zf 1 Impédance linéaire du filtre du premier ordre – RC –, page 36 Zf 2 Impédance linéaire du filtre du deuxième ordre – RC1 C2 –, page 36 z Tension normalisée aux bornes de la capacité C2 , page 28 128 Liste des symboles Liste des acronymes APLL Boucle à Verrouillage de Phase Analogique. Le sigle est issu de l’appellation anglaise Analog Phase Locked Loop AQC Approximation Quasi–Continue BVP Boucle à Verrouillage de Phase BVP–IC Boucle à Verrouillage de Phase par Impulsion de Charge DP Détecteur de Phase DPF Détecteur de Phase Fréquence DPLL Boucle à Verrouillage de Phase entièrement Numérique. Le sigle est issu de l’appellation anglaise Digital Phase Locked Loop Évé. (modèle) Modèle Événementiel Évé.–3 (modèle) Modèle Événementiel d’ordre trois FLM Fonctions de Lyapunov multiples abrégées par MLF en Anglais IML Inégalités Matricielles Linéaires abrégé par LMI en Anglais Hyb–CN (modèle) Modèle Hybride Continu Normalisé Hyb–CNC (modèle) Modèle Hybride Continu Normalisé Centré Hyb–DL (modèle) Modèle hybride discret local en trajectoire Hyb–DLé (modèle) Modèle hybride discret linéarisé Hyb–Num. (modèle) Modèle hybride discret linéarisé Hyb–Séq. (modèle) Modèle discrétisé le long d’une séquence LC (modèle) Modèle Linéaire Continu LD (modèle) Modèle Linéaire Discret LDδ (modèle) Modèle Linéaire Discret à impulsion de Dirac LD–Brut (modèle) Modèle Discret par impulsion approchée LD–Éch. (modèle) Modèle Linéaire Discret par échantillonnage du courant moyen NL–D-1 (modèle) Modèle Non–Linéaire Discret Local Inverse NL–DG (modèle) Modèle Non–Linéaire Discret Global NL–DL (modèle) Modèle Non–Linéaire Discret Local NL–DLé (modèle) Modèle Discret Linéarisé NSC Noyau Suprachiasmatique OCN Oscillateur Contrôlé Numériquement OCT Oscillateur Contrôlé en Tension 129 130 Liste des acronymes Index Événements discrets, 42 Lyapunov fonction multiples, 77 méthode directe, 75 première méthode, 75 Modèle non-linéaire discret, 37 Normalisation des paramètres, 24 des variables, 24 troisième ordre, 27 ACQ, 17 approximation quasi continue, 28 Oscillateur shishi odoshi, 8 Oscillateur à relaxations, 8 modèle hybride, 9 phase instantanée, 10 Oscillateur contrôlé, 14 Oscillateur contrôlé en tension, 22 fréquence d’oscillation libre, 23 gain de l’OCT, 23 Boucle à verrouillage de phase, 13, 14 BVP à Impulsion de Charge, 16 Cycle limite, 69 Détecteur de phase, 14 Détecteur de phase–fréquence, 14, 20 Diviseur de Fréquence, 14 Diviseur de fréquence modélisation, 23 Paramètres réduits, 24 Phase, 6 Phase instantanée d’un oscillateur à relaxations, 10 Phaseur, 99 Point de fonctionnement définition, 25 unitaire, 25 Point fixe, 39 Polytope fermeture convexe, 80 sommet, 80 polytope, 80 Filtre passe–bas, 14, 21 Fréquence, 6 Fréquence instantanée, 7 Matrice incertaine, 80 Modélisation hybride, 42 Modèle hybride discret, 46 Modèle événementiel du second ordre, 51 du troisième ordre, 52 Modèle hybride normalisé, 43 normalisé centré, 44 trajectoires, 45 Modèle inverse calculs, 109 définition, 40 Modèle linéaire continu, 28 Modèle linéaire discret, 31 Modèle linéarisé discret, 39 Modèle local, 54 en trajectoire, 54 en séquence, 54 Récurrence de Poincaré, 46 Rythme biologique, 11 Séquence, 47 Saturation, 17 Signal chirp, 8 analytique, 11 carré, 10 Simulation hybrides, 49 Sommet d’un polytope, 80 Stabilité poly–quadratique, 81 quadratique, 81 S–poly–quadratique, 89 131 132 stabilité quadratique, 77 Système hybride oscillateur à relaxations, 9 Transformations composites, 38 Variables réduites, 24 Verrouillage de phase historique, 13 la boucle, 14 principe, 11 Zone morte, 17, 20 Index Index des auteurs Acco , P. 14, 16, 71, 87, 92, 133 Ahrendt 60, 133 Alary , F. 16, 87, 133 Amato , F. 78, 133 Andersson , M. 47, 133 Antsaklis , P. J. 40, 72, 73, 133, 136, 137 Appleton , E. V. 11, 133 Aschoff , J. 9, 133 Balakrishnan , V. 79, 133 Barmish , B.R. 75, 79, 133 Benbassat , G. 15, 135 Bernstein , D. S. 78, 135 Bernussou , J. 78, 79, 134 Bertram , J. E. 75, 135 Biham , O. 67, 134 Biswas , G. 47, 136 Blanchard , A. 14, 59, 133 Borkar , V. S. 40, 133 Boyd , S. 79, 133 Branicky , M. S. 40, 133 Branicky , M.S. 40, 73, 75, 79, 134 Celier , F. E. 40, 134 Cellier , F. E. 47, 134 Chen , G. 46, 67, 137 Chie , C. M. 14, 136 Chilali , M. 79, 134 Chua , L. O. 67, 70, 136 Crusius , C. 78, 137 Cuzzola , F.A. 81, 86, 134 Daafouz , J. 79, 134 David , R. 40, 134 Davrazos , G. 40, 72, 73, 134 DeCarlo , R. 40, 73, 75, 81, 134, 136, 137 Delebecque , F. 79, 135, 136 Demailly , J.-P. 50, 134 Diakonos , F. K. 67, 134 Doğruel , M. 40, 75, 134 Egan , W. F. 59, 62, 63, 134 Egardt , B. 40, 136 Elmqvist , H. 47, 134, 136 Feely , O. 14, 16, 133, 137 Feron , E. 79, 133 Ferrari-Trecate , G. 81, 86, 134 Filippov , A. F. 40, 67, 134 Fournier-Prunaret , D. 14, 16, 87, 133 Frankle , J. T. 14, 135 Gabor , D. 97, 134 Gahinet , P. 79, 134 Gardner , F. M. 14, 15, 26, 29, 32, 71, 134, 135 Geromel , J. C. 78, 134 Ghaoui , L. 79, 135 Ghaoui , L. El 79, 136 Ghaoui , L.E. 79, 133 Greason , J. K. 14, 138 Gupta , S. C. 14, 135 Hachem , A. 15, 135 Haddad , W. M. 78, 135 Hahn , W. 75, 135 Halla , H. 40, 134 Hedayat , C. D. 15, 135 Henrici , P. 50, 135 Hiskens , I. A. 67, 135 Hopcropt , J. E. 40, 135 Hou , L. 75, 81, 138 Houpis , C. H. 60, 134 Iung , C. 79, 134 Johansson , M. 79, 81, 135 Johns , D. 33, 135 Jury , E. I. 60, 135 Kalman , R. E. 75, 135 Kawabe , T. 46, 67, 137 Kawakami , H. 46, 67, 68, 135 Kharlamov , V. M. 39, 109, 137 Klapper , J. 14, 135 Kohn , W. 40, 136 Kolumbàn , G. 13, 59, 135 Kousaka , T. 46, 67, 68, 135 Koussoulas , N. T. 40, 72, 73, 134 Kuznetsov , Y. A. 70, 71, 136 Lambert , J. D. 47, 136 Laub , A. J. 79, 134 Leduc , Y. 15, 135 Lemmon , M. D. 40, 136 Lennartson , B. 40, 73, 134, 136, 137 Li , W. 75, 137 Liberzon , D. 72, 73, 136 Lindsey , W. C. 14, 135, 136 Martin , K. 33, 135 Mattei , M. 78, 133 Mattsson , S. 47, 136 133 134 Michel , N. 75, 81, 138 Mignone , D. 81, 86, 134 Mira , C. 48, 50, 70, 91, 136 Mitter , S. K. 40, 133 Morari , M. 81, 86, 134 Morse , A. S. 72, 73, 136 Mosterman , P. J. 47, 136 Mosterman , P.J. 47, 136 Nemirowski , A. 79, 134 Nerode , A. 40, 136 Netsvetaev , N. Y. 39, 109, 137 Nikoukhah , R. 79, 135, 136 Nilsson , P. 14, 136 Olsson , T. 14, 136 Otter , M. 47, 134 Pai , M. A. 67, 135 Parker , T. S. 67, 70, 136 Peleties , P. 40, 75, 81, 136, 137 Pettersson , S. 40, 73, 134, 136, 137 Pironti , A. 78, 133 Poincaré , H. 44, 67, 137 Pontryagin , L. S. 67, 137 Ramadge , P. J. 40, 137, 138 Rantzer , A. 79, 81, 135 Reinberg , A. 9, 137 Riedinger , P. 79, 134 Rogers , A. 14, 137 Roubine , E. 4, 137 Schmelcher , P. 67, 134 Sharpe , C. A. 15, 137 Slotine , J.-J. E. 75, 137 Spăratu , A. 4, 137 Stephens , D. R. 13, 137 Stiver , J. A. 40, 136, 137 Taplin 60, 133 Tavernini , L. 40, 137 Teplinsky , A. 14, 137 Tittus , M. 40, 136 Trofino , A. N. 78, 137 Ueta , T. 46, 67, 68, 135, 137 Ullman , J. D. 40, 135 Ville , J. 97, 137 Viro , O. Y. 39, 109, 137 Viterbi , A. J. 14, 137 Weitzman , E. D. 9, 138 Witsenhausen , H. S. 40, 138 Wolaver , D. H. 62, 138 Wong , K. L. 14, 138 Wonham , W. M. 40, 137, 138 Ye , H. 75, 81, 138 Young , I. A. 14, 138 Yvanov , O. A. 39, 109, 137 Özguner , Ü. 40, 75, 134 Index des auteurs d’ Azzo , J. J. 60, 134 de Bellescize , H. 11, 134 de Coulon , F. 4, 134 de Oliveira , M. C. 78, 134 van Paemel , M. 15, 35, 103, 106, 138 van der Pol , B. 11, 137 Bibliographie [Acc01a] P. Acco. « Using an event-driven model to optimise charge pump phase locked loops. » Dans ISCASS’01, pp. 389–392. Espoo, Finland, august 2001. [Acc01b] P. Acco. « Vers une linéarisation exacte de la boucle à verrouillage de phase. » Dans JDA’01, pp. 249–254. Toulouse, France, september 2001. [Acc01c] P. 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