L’AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL I. L’AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL IDÉAL repère I.1 Circuit intégré Un Amplificateur Opérationnel (A.O.) est un circuit intégré accessible par 8 bornes. Il y a deux bornes d’entrée : VE ( 2 ) et VE ( 3) et une borne de 1 sortie VS (6). 2 − 8 + Pour fonctionner, un A.O. doit être alimenté par deux sources continues de + Vcc 3 S f.e.m. +VCC = 15V (7) et –VCC = -15V (4). Le point commun aux deux 4 sources définit la masse du montage1. borne 7 - Vcc 7 6 5 borne 4 + Vcc - Vcc Les bornes 1 et 5 servent à corriger une éventuelle tension de décalage. La borne 8 n’est pas connectée. Sur un schéma, on omet généralement de représenter les tensions d’alimentation de l’A.O. mais elles sont indispensables à son fonctionnement. i+ VE Représentation d'un A.O. i− + VE VS − Remarque importante : Des courants qui ne sont pas représentés sur le schéma arrivent et partent de la masse par les alimentations. Il ne faut donc pas appliquer la loi des nœuds (donc le théorème de Millman) à la masse. On ne l’appliquera pas en sortie de l’amplificateur opérationnel car on ne connaît pas le courant de sortie2. I.2 Régimes de fonctionnement On définit ε = VE − VE . + − Remarque : Attention à l’orientation de la tension ε. Les bornes (+) et (–) ne sont pas équivalentes. VS Vsat + régime de saturation positive εmin εmax régime de saturation négative ε régime linéaire Vsat − Caractéristique de l’amplificateur opérationnel 1 Il n’y a pas de borne pour la masse sur le circuit intégré. Le courant maximal débité par un A.O. est de l’ordre de grandeur de 20 mA. Ce courant n’est pas négligeable par rapport aux autres courants et dans certaines conditions (par exemple résistance de charge petite), on peut avoir une saturation en courant. 2 Q L’amplificateur opérationnel (32-009) Page 1 sur 8 JN Beury On a trois régimes possibles : régime linéaire : V = µ ε pour ε ∈ [ε ,ε ] . µ est le gain différentiel en continu ou gain statique. régime de saturation positive : V = V . régime de saturation négative : V = V . V et V ont des valeurs voisines en valeur absolue et très S 0 min 0 max sat + S S sat − sat + sat − légèrement inférieures à la tension d’alimentation. On prendra par la suite Vsat = Vsat et Vsat = −Vsat + (V sat − = 15 V ) . Ordres de grandeur : µ0 = 105 ; i + ≤ 10−11 A ; i − ≤ 10−11 A pour un TL081. Conséquences pratiques : • • Les courants i+ et i- sont négligeables devant les autres courants. V 15 Pour être en régime linéaire, on doit avoir : ε ≤ sat ≈ 5 = 1,5 ×10−4 V . On néglige ε devant les autres µ0 10 tensions. Étant donné l’ordre de grandeur de ε, l’amplificateur opérationnel sera sûrement saturé sans précaution particulière. La boucle de retour ou boucle de rétroaction doit revenir sur l’entrée inverseuse pour que l’amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire. Dans les exercices, l’énoncé précise si l’amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire ou en régime de saturation. S’il fonctionne en régime linéaire, il faut s’assurer qu’il n’y a pas de saturation en tension (V S < Vsat ) . On pourra éventuellement tenir compte d’autres défauts de l’amplificateur opérationnel. I.3 Modèle de l’amplificateur opérationnel idéal A.O. idéal : µ0 = ∞ et i+ = i- = 0 • • • i+ = 0 ε En régime linéaire : ε = 0 Si ε < 0, alors VS = −Vsat (saturation VE i− = 0 − VE négative). Si ε > 0, alors VS = Vsat (saturation positive). VS + Représentation d'un A.O. idéal VS Vsat régime de saturation positive ε régime de saturation négative régime linéaire −Vsat Caractéristique de l’A.O. idéal Q L’amplificateur opérationnel (32-009) Page 2 sur 8 JN Beury I.4 Méthode de résolution des montages comportant des amplificateurs opérationnels De façon systématique, on appliquera le théorème de Millman (éventuellement la loi des nœuds en termes de potentiel3 si on veut faire intervenir des intensités) à tous les nœuds sauf à la masse et à la sortie de l’amplificateur opérationnel. Il manque une équation qui est l’équation de fonctionnement de l’AO : ¾ ¾ ε = 0 si l’amplificateur opérationnel idéal est en régime linéaire. VS = Vsat ou VS = −Vsat si l’amplificateur opérationnel est en régime de saturation. II. MONTAGES COMPORTANT DES AMPLIFICATEURS OPÉRATIONNELS IDÉAUX EN RÉGIME LINÉAIRE II.1 Montage soustracteur R R R Ve1 Ve 2 A B S Ru R VS M On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les entrées (+) et (–) et ε = VB − VA = 0 . Bilan des nœuds : 4 nœuds A, B, S et M. Remarque : Dans certains montages, on ne représente pas la résistance Ru puisque comme on va le voir, la tension de sortie est indépendante de Ru. On introduira toujours S comme inconnue. Équations : Il y a donc 4 – 1 = 3 nœuds indépendants. théorème de Millman en A théorème de Millman en B ε =0 ( régime linéaire ) On applique donc le théorème de Millman à tous les nœuds du montage sauf à la masse et en sortie de l’A.O. 1 VA + R 1 VB R + VA = VB 1 Ve1 VS = + R R R 1 Ve 2 = R R Remarque : On peut appliquer le théorème de Millman en B car aucun courant ne rentre par l’entrée non inverseuse. Il ne faut pas oublier la résistance entre B et la masse qui est un nœud. La deuxième équation donne : VB = Ve 2 . On en déduit que : 2VA = 2VB = Ve 2 = Ve1 + VS . D’où : VS = Ve 2 − Ve1 2 Commentaires : 3 • On a un montage soustracteur. • VS est indépendant de Ru. Le théorème de Millman n’est qu’une conséquence de la loi des nœuds en termes de potentiel. Q L’amplificateur opérationnel (32-009) Page 3 sur 8 JN Beury • La relation précédente est valable à condition d’être en régime linéaire. On a une rétroaction de la sortie sur l’entrée inverseuse. Un fonctionnement linéaire est donc possible. Il faut s’assurer qu’il n’y a pas de saturation en tension ( VS < Vsat ) ou en courant ( isortie AO < isortie AO max ) . Remarque : L’adjectif « opérationnel » de A.O. se justifie car des montages à base d’A.O. permettent de réaliser des opérations mathématiques (soustracteur, inverseur, non-inverseur, dérivateur, intégrateur,…). II.2 Montage inverseur R2 R1 A ε Ve S VS M On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les entrées (+) et (–) et ε = VM − VA = 0 . 1 1 Ve VS + théorème de Millman en A VA + = ⇒ R1 R2 R1 R2 ⇒ ε =0 ( régime linéaire ) VA = 0 Pour un montage inverseur, le gain du montage vaut : VS R =− 2 Ve R1 Commentaires : • On a un montage inverseur (signe –). Le gain est indépendant de montage qui est après S. Il ne dépend que de R1 et R2/ • La relation précédente est valable à condition d’être en régime linéaire. On a une rétroaction de la sortie sur l’entrée inverseuse. Un fonctionnement linéaire est donc possible. Il faut s’assurer qu’il n’y a pas de saturation en tension ( VS < Vsat ) ou en courant ( isortie AO < isortie AO max ) . II.3 Montage non-inverseur R2 R1 A S ε VS Ve M On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les entrées (+) et (–) et ε = VM − VA = 0 . 1 VS 1 théorème de Millman en A R VA + = 0 + ⇒ R R R2 ⇒ VS = 1 + 2 Ve 1 2 =0 régime linéaire ε ( ) R1 VA = Ve Q L’amplificateur opérationnel (32-009) Page 4 sur 8 JN Beury Pour un montage non-inverseur, le gain du montage vaut : VS R = 1+ 2 Ve R1 Commentaires : • On a un montage non-inverseur (signe +). Le gain est indépendant de montage qui est après S. Il ne dépend que de R1 et R2/ • La relation précédente est valable à condition d’être en régime linéaire. On a une rétroaction de la sortie sur l’entrée inverseuse. Un fonctionnement linéaire est donc possible. Il faut s’assurer qu’il n’y a pas de saturation en tension ( VS < Vsat ) ou en courant ( isortie AO < isortie AO max ) . II.4 Montage suiveur VS Ve On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les entrées (+) et (–) et ε = Ve − VS = 0 . L’impédance d’entrée est Z e = Ve Ie = ∞ et Z S = 0 (voir chapitre sur les impédances d’entrée et de sortie). Quel est l’intérêt du suiveur dans le montage n°2 ? Zg Eg Ve VS RC Zg Eg RC Ve montage n°1 VS montage n°2 Dans le montage n°1, la tension aux bornes de RC dépend de l’impédance Z g du générateur. Si on souhaite avoir une tension indépendante de Z g , on utilisera le montage n°2. Le montage suiveur est très souvent utilisé dans les problèmes de concours : VS = Ve L’impédance d’entrée est : Z e = ∞ L’impédance de sortie est : Z S = 0 Le montage suiveur permet d’avoir une tension aux bornes de la charge indépendante de l’impédance interne du générateur utilisé. On a transformé le générateur réel en générateur parfait (car i+ = 0). On dit qu’on a réalisé une adaptation d’impédances pour le transfert en tension. Q L’amplificateur opérationnel (32-009) Page 5 sur 8 JN Beury II.5 Montage sommateur inverseur Ve1 Ve2 R1 R2 Ve3 R R3 A ε S VS M On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les entrées (+) et (–) et ε = VM − VA = 0 . Équations : ε = 0 ( régime linéaire ) théorème de Millman en A ε = 0 ⇒ VA = 0 Ve1 − VA Ve 2 − VA Ve 3 − VA VS − VA + + + =0 R R2 R3 R 1 • • V V V On en déduit que : VS = − R e1 + e 2 + e 3 R1 R2 R3 Cas particulier : R1 = R2 = R3 = R : VS = − (Ve1 + Ve 2 + Ve 3 ) Le montage est un additionneur inverseur. Pour avoir un montage sommateur, il suffit de rajouter un montage inverseur derrière la sortie. II.6 Montage dérivateur a) Comportement temporel – régime transitoire R i q C A S ε Ve VS GBF M On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les entrées (+) et (–) et ε = VM − VA = 0 . Équations : ε = 0 ⇒ VA = 0 régime linéaire ⇒ ε = 0 ⇒ VS − VA loi des noeuds en termes de potentiel en A i + R = 0 Il faut relier l’intensité i à la tension d’entrée Ve. Q L’amplificateur opérationnel (32-009) Page 6 sur 8 JN Beury dq et q = C (Ve − VA ) = CVe dt dV VS = − RC e . dt Soit q la charge du condensateur. On a i = On a donc C dVe VS + =0 ⇒ dt R La sortie est donc proportionnelle à la dérivée du signal d’entrée. Remarque : Cette expression est valable pour des signaux d’entrée en basse fréquence. Pour expliquer le comportement du montage à haute fréquence, il faut prendre le modèle du premier ordre de l’amplificateur opérationnel. Expérimentalement, on place en série une résistance R1 en série avec le condensateur pour diminuer l’acuité de la résonance qui apparaît pour une certaine fréquence. b) Comportement fréquentiel Un GBF délivre une tension sinusoïdale ve ( t ) = Em cos (ωt ) . On cherche la tension de sortie en régime sinusoïdal forcé. La tension de sortie est de la forme : vS ( t ) = Sm cos (ωt + ϕ ) . On utilise les amplitudes et vS ( t ) = Sm cos (ωt + ϕ ) ve ( t ) = Em cos (ωt ) impédance complexes : et ¨ Ve = Em VS = S m exp ( jϕ ) ε = 0 ⇒ VA = 0 régime linéaire ⇒ ε = 0 ⇒ 1 , d’où VS = − jRCωVe VS théorème de Millman en A VA R + jCω = R + Ve jCω V = S = − jRCωV = RCω E m e m π S On obtient : . La tension de sortie vaut : vS ( t ) = RCω Em cos ωt − π 2 arg VS = ϕ = − 2 II.7 Montage intégrateur q i R C A S ε Ve VS GBF M On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les entrées (+) et (–) et ε = VM − VA = 0 . ε = 0 ⇒ VA = 0 régime linéaire ⇒ ε = 0 ⇒ Ve loi des noeuds en termes de potentiel en A R −i = 0 Il faut relier l’intensité i à la tension de sortie VS. dq et q = C (VA − VS ) = −CVS Soit q la charge du condensateur. On a i = dt On a donc Ve dV −C S = 0 ⇒ R dt VS ( t ) − VS ( 0 ) = − t 1 Ve ( t ') dt ' . RC 0 ∫ On a donc un montage intégrateur. Remarque : Expérimentalement, le montage va saturer car une petite perturbation va être intégrée et entraîner une saturation de l’amplificateur opérationnel. On place alors une résistance en parallèle avec le condensateur. On parle de montage pseudo-intégrateur. Q L’amplificateur opérationnel (32-009) Page 7 sur 8 JN Beury II.8 Montages de base à reconnaître R2 R1 R2 A R1 S Ve VS Ve2 montage suiveur R R1 R A R R2 Ve1 Ve3 VS Ve VS R = 1+ 2 Ve R1 montage non inverseur VS − R2 = Ve R1 montage inverseur Ve1 VS Ve M R R3 B VS R Ve2 A ε montage soustracteur S Sommateur inverseur VS M R i q C A ε Ve i R S Ve A S VS GBF M M montage intégrateur montage dérivateur Q L’amplificateur opérationnel (32-009) C ε VS GBF q Page 8 sur 8 JN Beury