Chapitre I Cinématique relativiste des interactions

Physique des Particules
2016-2017
Chapitre I
Cinématique relativiste des interactions/désintégrations
des particules
L’étude de la cinématique des interactions et des désintégrations des particules repose sur les propriétés combinées d’invariance par transformation de Lorentz et de
conservation du quadrivecteur énergie-impulsion.
I) Cinématique relativiste (rappels)
I.1. Relativité retreinte
La théorie de la relativité restreinte introduite par A. Einstein en 1905 fut, entre
autre, motivée par l’expérience de A. Michelson et E. Morley qui montrèrent que la
vitesse c de la lumière est une constante indépendante du référentiel d’observation
et qu’il n’existe aucune vitesse supérieure à c dans aucun référentiel. Elle a permis
de ce fait de résoudre le problème de la non invariance des équations de Maxwell
sous la transformation de Galilée, en renonçant au principe de simultaneité absolue
i.e. de l’existence d’un temps absolu qui se traduisait par une vitesse infinie de
propagation des interactions.
La théorie de la relativité restreinte d’Einstein est construite à partir de deux postulats:
1. Postulat de relativité (Galilée): Toutes les lois de la nature sont invariantes
lorsqu’on passe d’un référentiel inertiel1 à un autre référentiel inertiel (i.e. en
mouvement uniforme par rapport au premier),
2. Universalité de la vitesse de la lumière (Einstein): La vitesse de la lumière est
la même dans tous les référentiels inertiels.
À ces postulats, Einstein ajouta deux hypothèses valables dans tous les référentiels
inertiels:
• Isotropie de l’espace i.e. invariance par rotation dans l’espace,
• Homogénéité de l’espace et du temps i.e. invariance par translation dans
l’espace et dans le temps.
I.2. Formalisme quadri-dimentionnel
Le formalisme quadri-dimentionnel utilisé en relativité restreinte repose sur la similitude entre les notions de temps et d’espace. L’espace utilisé est celui de Minkowski.
1
Un référentiel inertiel, on dit aussi référentiel Galiléen, est un référentiel dans lequel tout objet
ne subissant aucune force se déplace en ligne droite avec une vitesse constante. Tout référentiel en
translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel inertiel est un référentiel inertiel.
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C’est un espace quadri-dimentionnel dans lequel le vecteur position (quadrivecteur
espace-temps), par exemple, est représenté par:
xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) ≡ (x0 , ~x) avec x0 = ct et ~x = (x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z)
Dans l’espace de Minkowski la longueur d’un quadrivecteur espace-temps est définie
par2 :
x2 = gµν xν xµ = xµ xµ = (x0 )2 − ~x2
où gµν est le tenseur métrique de l’espace de Minkowski défini par:

1 0
0
0
 0 −1 0
0 

gµν 1I = 
 0 0 −1 0 
0 0
0 −1

Les quadrivecteurs xµ et xµ sont appelés respectivement quadrivecteur contravariant
(indice µ en haut) et quadrivecteur covariant (indice µ en bas). Ils sont reliés l’un
à l’autre par la relation:
xµ = gµν xν = (x0 , −~x)
À noter aussi qu’on peut définir une métrique inverse g µν telleque:
g µν gνλ = δλµ (symbole de Kronecker)
Il s’en suit que g µν est donnée par:


1 0
0
0
 0 −1 0
0 

g µν 1I = 
 0 0 −1 0 
0 0
0 −1
On a alors pour tout quadrivecteur aµ , les relations suivantes:
aµ = gµν aν
et aµ = g µν aν
Le produit scalaire de deux quadrivecteurs a et b dans l’espace de Minkowski est
défini par:
a · b = aµ bµ = gµν aν bµ = a0 b0 − ~a · ~b
de même a · b = aµ bµ = aµ gµν bν = a0 b0 − ~a · ~b
2
Nous adoptons ici et pour la suite de ce cours la convention de sommation dite d’Einstein,
dans laquelle tout indice répété correspond à la sommation sur toutes les valeurs de cet indice.
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I.3. Transformation de Lorentz
Un des résultats importants de la relativité restreinte est l’invariance des lois de la
physique lorsqu’on passe d’un référentiel inertiel à un autre référentiel inertiel. La
tranformation de Lorentz permet de relier les coordonnées d’espace-temps x′µ d’un
référentiel inertiel R′ à ceux xν d’un autre référentiel inertiel R. En effet on a:
x′µ = Λµν xν
où Λµν est une matrice 4 × 4 paramétrisant la transformation de Lorentz. C’est une
matrice qui n’est pas arbitraire. En effet dans le cas où la direction de mouvement
de R′ par rapport à R est, par exemple, suivant l’axe x1 (première coordonnée
d’espace) Λµν est donnée par:


γ
−γβ 0 0
 −γβ
γ
0 0 

Λµν = 
 0
0
1 0 
0
0
0 1
où β =
v
c
et γ = √ 1
1−β 2
lumière.
, avec v la vitesse de R′ par rapport à R et c la vitesse de la
remarque: On utilise aussi pour paramétrer la matrice de Lorentz la notion de rapidité qui correspond à l’angle hyperbolique y définit par:
1
E + pL
y = ln
2
E − pL
où pL est la composante longitudinale du vecteur impulsion i.e. la composante suivant la direction de mouvement3 du référentiel inertiel R′ par rapport au référentiel
inertiel R.
À partir de cette définition, il est facile de montrer que (le faire à titre d’exercice):
β = tanh y et γ = cosh y
⇒ γβ = sinh y
Les conséquences de la tranformation de Lorentz sont les suivantes:
1. Deux événements se produisant au même instant à différentes positions dans
un référentiel inertiel R ne se produisent pas au même instant dans un autre
référentiel inertiel R′ . En effet on a:
t′A = t′B +
γβ
(~xB − ~xA )
c
En d’autres termes les événements qui sont simultanés dans un référentiel
inertiel ne le sont pas dans un autre référentiel.
3
Dans l’expression de la matrice Λµν , on a choisi la direction de mouvement suivant la composante x1 .
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2. Si un objet mesure une longueur L dans un référentiel inertiel R où il est au
repos, sa longueur L′ dans un autre référentiel inertiel R′ est reliée à L par:
L′ =
L
γ
Comme le facteur γ est toujours supérieur à 1, la longueur L′ est donc plus
petite que L. Par conséquent la longueur d’un object en mouvement est réduite
par un facteur γ par rapport à sa longueur dans un référentiel où il est au repos.
C’est ce qu’on appelle l’effet de la contraction des distances.
remarque: La contraction n’a lieu que dans la direction du mouvement.
3. Le temps T ′ mesuré par une horloge en mouvement est relié au temps T qu’elle
aurait mesuré si elle était au repos par:
T ′ = γT
Le temps coule donc plus lentement dans une horloge en mouvement que
dans une horloge au repos. C’est ce qu’on appelle le phénomène de dilatation du temps. Ce phénomène, est, comme on le verra, très utile lorsqu’on
veut mesurer la durée de vie moyenne d’une particule.
Un autre résultat important de la relativité restreinte est l’invariance du produit
scalaire entre quadrivecteurs:
a · b = aµ bµ = gµν aν bµ = a0 b0 − ~a · ~b
ce produit, qui est une quantité scalaire, possède la même valeur quelque soit le
reférentiel inertiel où elle est mesurée ou calculée. Cette quantité s’appelle un invariant de Lorentz. Dans le cas particulier où aµ = bµ = xµ , la quantité invariante
x2 n’est pas nécessairement positive et tout quadrivecteur xµ est dit:
• de type temps si x2 > 0,
• de type espace si x2 < 0,
• de type lumière si x2 = 0
I.3.1 Contrainte sur la matrice de transformation de Lorentz
L’invariance de Lorentz du produit scalaire entre deux quadrivecteurs, traduit la
conservation de cette quantité lorsqu’on passe d’un référentiel inertiel R à un autre
référentiel inertiel R′ . En effet si a′ et b′ sont deux quadrivecteurs mesurés dans un
référentiel inertiel R′ et a et b sont les mêmes quadrivecteurs mesurés dans un autre
référentiel inertiel R, alors on a:
a′ · b′ = a · b
Cette relation impose une contrainte sur la matrice de transformation de Lorentz
Λµν . En effet on a:
a′ · b′ = gµν a′µ b′ν = gµν Λµρ aρ Λν σ bσ = gµν Λµρ Λν σ aρ bσ
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or comme a′ · b′ = a · b, on alors:
gµν Λµρ Λν σ aρ bσ = gρσ aρ bσ
Soit4 :
gµν Λµρ Λν σ = gρσ
En multipliant cette dernière relation par g ρκ , il est facile de montrer que:
Λν κ Λν σ = g ρκ gρσ = δσκ
Cette dernière relation constitue une contrainte fondamentale sur la matrice de
transformation de Lorentz.
remarque: Une conséquence directe de ce résultat est5 : det(Λ) = ±1.
I.3.2 Transformations de Lorentz particulières
Parmi les transformations de Lorentz avec det(Λ) = −1, il existe deux transformations simples qu’on rencontre très souvent en physique des particules. Il s’agit du
renversement du temps (inversion du signe de la coordonnée temps), dont la matrice
de transformation de Lorentz est donnée par:


−1 0 0 0
 0 1 0 0 
µν

T µν = 
 0 0 1 0  = −g
0 0 0 1
et la transformation dite de parité qui consite à inverser les coordonnées d’espace et
dont la matrice de transformation de Lorentz est donnée par:


1 0
0
0
 0 −1 0
0 
µν

P µν = 
 0 0 −1 0  = g
0 0
0 −1
Ces transformations correspondent à des transformations de Lorentz dites discrètes
par opposition aux transformations de Lorentz continues qui représentent l’ensemble
des transformations de rotation et de boost.
remarque 1: Lorsqu’on parle de transformation de Lorentz, on fait, par défaut,
toujours référence aux transformations de Lorentz continues. Ces dernières sont
des transformations avec det(Λ) = +1.
remarque 2: Toutes les lois de la physique sont invariantes sous les transformations
de Lorentz continues. Ceci n’est pas toujours le cas sous les transformations de
4
Sous forme matricielle cette relation s’écrit: ΛT gΛ = g. En effet on a: gµν Λµρ Λν σ =
= (ΛT )ρ µ gµν Λν σ ≡ (ΛT gΛ)ρσ .
Résultat que l’on peut obtenir à partir de la propriété det(XY )=det(X)·det(Y ), ∀ les matrices
X et Y .
Λµρ gµν Λν σ
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Lorentz discrètes (e.g. violation de la parité dans les processus de désintégration ou
d’interaction faibles).
I.4. Quadrivecteur énergie-impulsion
En relativité restreinte le quadrivecteur énergie-impulsion d’une particule est défini
par:
E
µ
p =
, ~p
c
où E et p~ sont respectivement l’énergie et le vecteur impulsion relativistes de la
particule, donnés par:
E = γmc2 et p~ = γm~v
où m et ~v sont respectivement la masse et la vitesse de la particule.
Le produit scalaire de pµ par lui même constitue une quantité invariante de Lorentz
donnée par:
2
E
2
µ
p = p pµ =
− ~p 2 = m2 c2
c
Cette relation reflète le fait que la masse est une quantité invariante.
En physique des particules on utilise souvent le système d’unités naturel (SI) dans
lequel on a ~ = c = 1 (cf. Appendice A). Dans ce système d’unités la composante
temporelle du quadrivecteur position, vitesse, énergie et p2 s’écrivent:
~ E = γm et p2 = E 2 − p~ 2 = m2
x0 = t, ~v = β,
Il est utile de noter les relations entre le facteur γ, l’énergie et la masse d’une part
~ l’impulsion et l’énergie d’autre part:
et la vitesse β,
γ=
E
p~
et β~ =
m
E
Il est utile aussi de noter que les quadrivecteurs énergie-impulsion pµ = (E, ~p) et
p′µ = (E ′ , p~′ ) d’une particule mesurés respectivement dans deux référentiels inertiels
R et R′ en mouvement l’un par rapport à l’autre avec une vitesse β sont reliés par
la transformation de Lorentz donnée par:
′ E
γ
−γβ
E
=
, p~ ′⊥ = p~⊥
p′k
−γβ
γ
pk
où pk et p⊥ (resp. p′k et p′⊥ ) sont les composantes du vecteur impulsion parallèle et
perpendiculaire à la direction de mouvement dans le référentiel R (resp. R′ ).
I.5. Quadrivecteurs courrament rencontrés en Physique des Particules
Parmi les quadrivecteurs rencontrés courrament en physique des particules on peut
noter les quadrivecteurs (système SN):
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Espace-temps:
Energie-impulsion:
Potentiel:
Courant:
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xµ
pµ
Aµ
jµ
=
=
=
=
(x0 , x1 , x2 , x3 )
(p0 , p1 , p2 , p3 )
(A0 , A1 , A2 , A3 )
(j 0 , j 1 , j 2 , j 3 )
=
=
=
=
(t, x, y, z)
(E, px , py , pz )
(φ, Ax , Ay , Az )
(ρ, jx , jy , jz )
=
=
=
=
(t, ~r)
(E, ~p)
~
(φ, A)
(ρ, ~j)
Il est aussi utile de noter la dérivée partielle covariante:
∂
∂ ~
∂ ∂ ∂ ∂
∂µ = µ =
=
, , ,
,∇
∂x
∂t ∂x ∂y ∂z
∂t
et contravariante:
∂
∂ =
=
∂xµ
µ
∂
∂
∂
∂
,− ,− ,−
∂t ∂x ∂y ∂z
=
∂
~
, −∇
∂t
En utilisant ∂µ , l’équation de continuité densité-courant:
∂ρ ~ ~
+∇·j =0
∂t
peut s’écrire sous la forme covariante:
∂µ j µ = 0
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II) Cinématique des interactions/désintégrations des particules
II.1. Collision entre particules
Considérons la réaction générique à 2 corps:
1+2→3+4
On peut définir pour cette réaction 3 quantités invariantes de Lorentz à partir des
quadrivecteurs énergie-impulsion pi (i = 1, 2, 3, 4) des particules:
s = (p1 + p2 )2 = (p3 + p4 )2
t = (p3 − p1 )2 = (p4 − p2 )2
u = (p3 − p2 )2 = (p4 − p1 )2
Ces 3 invariants de Lorentz s’appellent variables de Mandelstam.
Seules 2 de ces variables sont indépendantes car elles sont reliées par la relation:
s+t+u =
4
X
m2i
i=1
La variable s correspond au carré de l’énergie du centre de masse. La signification
des variables t et u dépend du système de référence utilisé.
L’avantage de définir des variables telles que s, t et u est que leurs valeurs pour une
réaction donnée sont indépendantes du reférentiel choisi pour les calculer.
remarque: Si les particules dans l’état final sont identiques à celles de l’état intial
i.e. 1 + 2 → 1 + 2, dans ce cas la réaction est appelée collision élastique (e.g
e+ e− → e+ e− ). Dans le cas où les particules dans l’état final sont différentes en
nombre et/ou en identité à celles de l’état intial, la collision est dite inélastique (e.g
e+ e− → µ+ µ− ou p p → t t X).
Etudions maintenant les proriétés cinématiques de la réaction 1 + 2 → 3 + 4 dans le
référentiel du centre de masse et le référentiel du laboratoire.
II.1.1 Référentiel du Centre de Masse (CM)
p⋆3
θ⋆
p⋆1
p⋆2
p⋆4
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Dans le référentiel du CM le système 1 + 2 est au repos. Il s’ensuit6 :
~p1⋆ + ~p2⋆ = 0
Les variables de Mandelstam s’écrivent dans ce cas:
s =
=
t =
=
u =
=
(p1 + p2 )2
(p3 + p4 )2
(p3 − p1 )2
(p4 − p2 )2
(p3 − p2 )2
(p4 − p1 )2
= (E1⋆ + E2⋆ )2
= (E3⋆ + E4⋆ )2
= m23 + m21 − 2(E3⋆ E1⋆ − |~p3⋆ ||~p1⋆ |cosθ⋆ )
= m24 + m22 − 2(E4⋆ E2⋆ − |~p4⋆ ||~p2⋆ |cosθ⋆ )
= m23 + m22 − 2(E3⋆ E2⋆ + |~p3⋆ ||~p2⋆ |cosθ⋆ )
= m24 + m21 − 2(E4⋆ E1⋆ + |~p4⋆ ||~p1⋆ |cosθ⋆ )
On montre (le faire comme exercice) que les variables cinématiques de la réaction
dans le référentiel du CM s’écrivent:
p
λ(s, m21 , m22 )
⋆
⋆
⋆
√
pi = |~p1 | = |~p2 | =
2 s
s + m21 − m22
√
E1⋆ =
2 s
s + m22 − m21
√
E2⋆ =
2 s
et
p⋆f = |~p3⋆ | = |~p4⋆ | =
p
λ(s, m23 , m24 )
√
2 s
s + m23 − m24
√
2 s
s + m24 − m23
√
=
2 s
E3⋆ =
E4⋆
où λ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 2xy − 2xz − 2yz.
L’angle θ⋆ entre p~3⋆ et ~p1⋆ est donné par:
cosθ⋆ = 1 −
t0 − t
u − u0
=1−
⋆
⋆
2|~p1 ||~p3 |
2|~p1⋆ ||~p4⋆ |
où
t0 =
=
u0 =
=
m23 + m21 − 2(E3⋆ E1⋆ − |~p3⋆ ||~p1⋆ |)
m24 + m22 − 2(E4⋆ E2⋆ − |~p4⋆ ||~p2⋆ |)
m24 + m21 − 2(E4⋆ E1⋆ + |~p4⋆ ||~p1⋆ |)
m23 + m22 − 2(E3⋆ E2⋆ + |~p3⋆ ||~p2⋆ |)
6
On utilise ici la notation avec ⋆ en exposant pour indiquer que les variables sont mesurées dans
le référentiel du centre de masse.
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remarque: Dans le cas où les masses des 4 particules sont identiques (collisions
élastiques), les variables de Mandelstam s’écrivent:
s = 4E ⋆2
t = −2p⋆2 (1 − cosθ⋆ )
u = −2p⋆2 (1 + cosθ⋆ )
Les variables cinématiques s’écrivent dans ce cas:
p
√
λ(s, m2 , m2 )
s − 4m2
⋆
⋆
⋆
√
p = pi = pf =
=
2 s
2
√
s
E⋆ =
2
t
u
cosθ⋆ = 1 + ⋆2 = −1 − ⋆2
2p
2p
avec m = mi , E ⋆ = Ei⋆ et p⋆ = |~pi⋆ |, (i = 1, 2, 3, 4).
II.1.2 Référentiel du laboratoire
p3lab
p1lab
m2
θ3
z
θ4
p4lab
Dans le référentiel du laboratoire une des 2 particules de l’état initial est au repos.
Supposons que c’est la particule 2. Dans ce cas les quadrivecteurs énergie-impulsion
des 4 particules s’écrivent:
p1
p2
p3
p4
=
=
=
=
(E1lab , 0, 0, p1lab )
(m2 , 0, 0, 0)
(E3lab , ~p3lab )
(E4lab , ~p4lab )
Nous avons considéré ici que la particule 1 se déplace le long de l’axe z.
Les variables de Mandelstam s’écrivent dans ce référentiel:
s =
=
t =
=
u =
=
(p1 + p2 )2
(p3 + p4 )2
(p4 − p2 )2
(p3 − p1 )2
(p3 − p2 )2
(p4 − p1 )2
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= m21 + m22 + 2m2 E1lab
= m23 + m24 + 2(E3lab E4lab − |~p3lab ||~p4lab |cos(θ3 + θ4 ))
= m24 + m22 − 2m2 E4lab
= m23 + m21 − 2(E3lab E1lab − |~p3lab ||~p1lab |cosθ3 )
= m23 + m22 − 2m2 E3lab
= m24 + m21 − 2(E4lab E1lab − |~p4lab ||~p1lab |cosθ4 )
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où θ3 (noté aussi des fois θlab ) et θ4 sont les angles que font respectivement les
particules 3 et 4 avec la particule 1.
On montre (le faire comme exercice) que les variables cinématiques de la réaction
dans le référentiel du laboratoire s’écrivent:
p
λ(s, m21 , m22 )
s − m21 − m22
E1lab =
; |~p1lab | =
2m2
2m2
E2lab = m2
; |~p2lab | = 0
p
m22 + m23 − u
λ(u, m22 , m23 )
E3lab =
; |~p3lab | =
2m2
2m2
p
2
2
λ(t, m22 , m24 )
m2 + m4 − t
; |~p4lab | =
E4lab =
2m2
2m2
et
t − m21 − m23 + 2E1lab E3lab
2|~p1lab ||~p3lab |
2
u − m1 − m24 + 2E1lab E4lab
=
2|~p1lab ||~p4lab |
cosθ3 =
cosθ4
remarque 1: Dans le cas où les masses des 4 particules sont identiques on a:
s =
=
t =
=
u =
=
2m(m + E1lab )
2(m2 + E3lab E4lab − |~p3lab ||~p4lab |cos(θ3 + θ4 ))
2m(m − E4lab )
2(m2 − E3lab E1lab + |~p3lab ||~p1lab |cosθ3 )
2m(m − E3lab )
2(m2 − E4lab E1lab + |~p4lab ||~p1lab |cosθ4 )
remarque 2: les expressions de |~p1lab | et p⋆1 sont reliées par:
m2
p⋆1 = |~p1lab | √
s
de même on a:
⋆
E1,2
m21,2 + m2 E1lab
√
=
s
remarque 3: Dans la limite ultra-relativiste i.e. lorsque l’on peut négliger les masses
des particules par rapport à leurs énergies, on obtient:
r
√
p
√
s
m2 E1lab
⋆
⋆
⋆
=
⇒
E = E1 = E2 =
s = 2m2 E1lab
2
2
Cette relation montre que l’énergie au CM augmente comme la racine carrée de
l’énergie mesurée dans le référentiel du laboratoire.
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II.2. Désintégration d’une particule instable en 2 corps
La désintégration d’une particule instable en 2 corps est un cas particulier de la
collision à deux corps. En effet soit P le quadrivecteur énergie-impulsion de la
particule instable et p1 et p2 les quadrivecteurs énergie-impulsion des deux particules
issues de la désintégration. Dans le référentiel CM on a P = (M, 0, 0, 0). Grâce à la
conservation du quadrivecteur énergie-impulsion on a:
P = p1 + p2 ⇒ p~1 = −~p2
et s = P = (p1 + p2 )2 = (E1 + E2 )2 = M 2
2
Une des conséquences immédiates de la relation E1 + E2 = M est M ≥ m1 + m2
i.e. qu’une particule instable ne peut se désintégrer que vers des particules dont la
somme des masses est inférieure ou égale à sa masse.
On peut en partant des expressions déjà établies dans le cas des collisions à 2 corps
écrire:
p
λ(M 2 , m21 , m22 )
⋆
⋆
⋆
pf = |~p1 | = |~p2 | =
2M
2
2
2
M + m1 − m2
E1⋆ =
2M
2
M
+
m22 − m21
E2⋆ =
2M
remarque 1: l’impulsion des particules dans l’état final est fixée par les masses M,
m1 et m2 des 3 particules.
remarque 2: les particules filles sont émises dos à dos. Si aucune direction n’est
privilégiée, on dit que la désintégration est isotrope.
remarque 3: dans le cas où les particules filles sont identiques i.e. m1 = m2 = m
(e.g. KS0 → π + π − ), les expressions de p⋆f , E1⋆ et E2⋆ se simplifient considérablement:
1√ 2
M − 4m2
2
1
= E2⋆ = M
2
p⋆f =
E1⋆
Pour établir les expressions des quadrivecteurs énergie-impulsion des particules filles
dans le référentiel du laboratoire, on va supposer que la particule mère se déplace
suivant l’axe z et on va utiliser la transformation de Lorentz pour obtenir à partir
des expressions obtenues dans le CM celles que l’on cherche.
Dans le référentiel du laboratoire on a:
P = (E, 0, 0, pz )
p1 = (E1 , p~1⊥ , p1z )
p2 = (E2 , p~2⊥ , p2z )
La conservation du quadrivecteur énergie-impulsion nous permet d’écrire:
p~1⊥ = −~p2⊥
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La transformation de Lorentz nous permet d’écrire:
⋆ Ei
γ γβ
Ei
,
=
p⋆iz
γβ γ
piz
⋆
~pi⊥ = p~i⊥
soit donc:
Ei = γ(Ei⋆ + βp⋆iz )
piz = γ(p⋆iz + βEi⋆ )
⋆
p~i⊥ = p~i⊥
avec i = 1, 2 et:
β=
pz
E
et γ =
E
M
II.3. Taux de désintégration et section efficace
Considérons le processus de désintégration d’une particule a de quardivecteur énergieimpulsion pa = (Ea , ~pa ) en n particules de quardivecteurs énergie-impulsion p1 , p2 ,
· · · , pn :
a → 1+2+···+n
Le taux7 (on dit aussi largeur) différentiel de désintégration de ce processus est
donné par8 :
dΓ =
(2π)4
|Mf i |2 d3n Φ(pa ; p1 , p2 , · · · , pn )
2Ea
où Mf i = hf |H|ii est l’élément de matrice qui décrit la dynamique de la réaction
i.e. la transition entre l’état initial et l’état final. Le hamiltonien H est le potentiel
d’interaction traité ici comme une perturbation. Le facteur d3n Φ(pa ; p1 , p2 , · · · , pn )
est le facteur de l’espace de phase différentiel. Il est donné par:
d3n Φ(pa ; p1 , p2 , · · · , pn ) = δ 4 (pa −
n
X
pj )
j=1
d 3 p1
d 3 pn
d 3 p2
·
·
·
(2π)3 2E1 (2π)3 2E2
(2π)3 2En
La fonction δ exprime la conservation de l’énergie-impulsion entre les états intial et
final.
7
Un taux de désintégration se mesure en s−1 , alors qu’une largeur de désintégration se mesure
en unité d’énergie (GeV, MeV, ...). Les deux quantités sont reliées par la constante de Plank ~:
Taux = Largeur/~.
8
Dans le système d’unité international où c 6= ~ 6= 1, le taux différentiel de désintégration s’écrit:
dΓ =
n
X
c d3 p1
c d3 p2
c d3 pn
(2π)4 c2
pj )
|Mf i |2 δ 4 (pa −
···
3
3
2~Ea
(2π) 2E1 (2π) 2E2
(2π)3 2En
j=1
où la dimension de l’élément de matrice Mf i est [Mf i ] = (p)4−m , avec m correspondant au nombre
total de particules dans la réaction i.e. ici m = n + 1. Sur le plan dimentionnel, le taux ou la
largeur de désintégration d’une particule en n particules se mesure en unité d’énergie (GeV) dans
le système d’unité naturel (~ = c = 1), et en unité inverse d’un temps (s−1 ) dans le système d’unité
international.
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II.3.1 Taux de désintégration d’une particule en 2 corps
Le taux différentiel de désintégration s’écrit dans ce cas (n = 2):
dΓ =
(2π)−2
d 3 p1 d 3 p2
|Mf i |2 δ 4 (pa − p1 − p2 )
2Ea
2E1 2E2
or comme δ 4 (pa − p1 − p2 ) = δ(Ea − E1 − E2 )δ 3 (~pa − p~1 − ~p2 ), en intégrant sur
δ 3 (~pa − ~p1 − ~p2 ) par rapport à p~2 , on obtient:
dΓ =
d 3 p1
(2π)−2
|Mf i |2 δ(Ea − E1 − E2 )
2Ea
4E1 E2
L’intégrale sur δ 3 (~pa − p~1 − p~2 ) impose que p~a − p~1 = p~2 .
Dans le référentiel du CM on a: Ea⋆ = ma , p~a⋆ = 0 et donc p~1⋆ = −~p2⋆ .
On a alors:
3 ⋆
1
2
⋆
⋆ d p1
|M
|
δ(m
−
E
−
E
)
fi
a
1
2
32π 2 ma
E1⋆ E2⋆
p
p
⋆
2
2
avec E1⋆ = p⋆2
p⋆2
p1⋆ |=|~p2⋆ |.
1 + m1 et E2 =
1 + m2 , car |~
En introduisant la fonction:
q
q
⋆
⋆
⋆
⋆2
2
2
f (p1 ) = ma − E1 − E2 = ma − p1 + m1 − p⋆2
1 + m2
dΓ =
⋆
En posant d3 p⋆1 = p⋆2
1 dp1 dcosθ dφ, et en utilisant la propriété suivante de la distribution de Dirac δ:
1 ⋆
δ(p⋆1 − p0 )
δ(f (p1 )) = df /dp⋆1 p⋆ =p0
1
avec p0 racine9 de f (p⋆1 ) i.e. f (p0 ) = 0. Le taux différentiel de désintégration en 2
corps d’une particule au repos s’écrit alors:
dΓ =
1
1
⋆
|Mf i |2
δ(p⋆ − p0 )p⋆2
1 dp1 dcosθdφ
⋆
2
32π ma
p0 (E1 + E2⋆ ) 1
En intégrant sur p⋆1 , on obtient:
dΓ =
p0
|Mf i|2 dcosθdφ
32π 2 m2a
Qu’on peut aussi écrire sous la forme:
p0
dΓ
|Mf i |2
=
dΩ
32π 2 m2a
où dΩ = dcosθdφ.
9
Dans le CM on a: p0 = p⋆f =
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√
λ(m2a ,m21 ,m22 )
2ma
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Si la particule se désintégrant est une particule de spin 0 i.e. une particule scalaire,
la désintégration est isotrope (pas de direction prévilégiée pour les particules dans
l’état final) et donc la quantité |Mf i |2 doit être indépendante des angles θ et φ.
Dans ce cas le taux de désintégration s’écrit:
Z
p0
p0
2
Γ=
|M
|
dΩ
=
|Mf i|2
f
i
2
2
2
32π ma
8πma
remarque 1: Le taux ou largeur de désintégration d’une particule est une quantité
qui est homogène à une énergie, elle se mesure en GeV (MeV, KeV ou eV).
remarque 2: Le taux total de désintégration d’une particule est égal à la somme des
taux de désintégration partiels Γi vers les différents modes de désintégration qui lui
sont ouverts:
X
Γtot =
Γi
i
La durée de vie moyenne τ d’une particule est, dans le système d’unité naturel,
reliée à Γtot par la relation simple:
τ=
1
Γtot
Le rapport d’embranchement Bi d’une particule vers un mode de désintégration i
est donné par:
Bi =
Γi
Γtot
Loi de décroissance d’une particule instable:
Pour toute particule instable, la probabilité qu’elle puisse se désintégrer dans un
intervalle de temps ∆t est proportionnelle à ∆t et le facteur de proportionnalité
n’est autre que son taux total de désintégration. En effet si au temps t on a N(t)
particules instables de durée de vie moyenne τ , le nombre de particules restant après
un intervalle de temps ∆t est donné par:
N(t + ∆t) = (1 − Γ∆t)N(t)
Il s’ensuit donc, pour ∆t → 0, que:
dN
= −ΓN(t)
dt
La loi de décroissance de la particule instable s’écrit donc:
t
N(t) = N(0) e−Γt = N(0) e− τ
où N(0) est le nombre de particules à l’instant t = 0.
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II.3.2 Section efficace de diffusion
Considérons le processus de diffusion:
a +b → 1+2+···+n
Le taux différentiel de transition dΓ de l’état initial a+b vers l’état final 1+2+· · ·+n
est donné par:
n
X
(2π)4−3n
d 3 p1 d 3 p2
d 3 pn
dΓ =
|Mf i |2 δ 4 (pa + pb −
pj )
···
2Ea 2Eb
2E1 2E2
2En
j=1
Tous les termes dans l’expression de dΓ sont des invariants de Lorentz à l’exception
du premier terme où le facteur Ea1Eb n’est pas un invariant de Lorentz.
On peut rendre dΓ invariant de Lorentz en le divisant par la somme va + vb des
vitesses des deux particules dans l’état intial. On obtient dans ce cas:
n
X
(2π)4−3n
d 3 p1 d 3 p2
d 3 pn
dΓ
=
|Mf i |2 δ 4 (pa + pb −
pj )
···
va + vb
F
2E1 2E2
2En
j=1
où
F = (va + vb ) · 2Ea 2Eb
= 4(|~pa |Eb + |~pb |Ea )
q
= 4 (pa · pb )2 − m2a m2b
Comme on peut le constater, F est un invariant de Lorentz, il correspond au flux
incident, i.e. le nombre de particules par unité de surface, invariant de Lorentz, des
particules dans l’état initial.
L’expression dΓ/(va + vb ) invariante de Lorentz est homogène à une surface10 , et
n’est autre que la section efficace différentielle dσ de collision a + b → 1 + 2 + · · ·+ n:
n
X
d 3 pn
d 3 p1 d 3 p2
(2π)4−3n
···
|Mf i |2 δ 4 (pa + pb −
pj )
dσ =
F
2E1 2E2
2En
j=1
Essayons maintenant, à titre d’exercice, de calculer la section efficace différentielle
dσ/dΩ dans le cas de la diffusion à 2 corps a + b → 1 + 2 dans le référentiel du CM
et le référentiel du laboratoire.
10
Dans le système d’unité naturel, F se mesure en GeV2 , Mf i en GeV4−m , avec ici m = n + 2 et
la section efficace en GeV−2 . Dans le système d’unité international, F se mesure en GeV2 /c2 , Mf i
en GeV4−m cm−4 et la section efficace en unité de surface (m2 ). La section efficace différentielle
s’écrit dans ce système:
n
X
c d3 p1 c d3 p2
c d3 pn
(2π)4−3n ~2
2 4
pj )
···
|Mf i | δ (pa + pb −
dσ =
F
2E1 2E2
2En
j=1
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II.3.2.1 dσ(a + b → 1 + 2)/dΩ dans le CM
La section efficace différentielle du processus a + b → 1 + 2 est donnée par:
(2π)−2
d 3 p1 d 3 p2
2 4
dσ =
|Mf i| δ (pa + pb − p1 − p2 )
F
2E1 2E2
d 3 p1 d 3 p2
(2π)−2
|Mf i|2 δ(Ea + Eb − E1 − E2 )δ 3 (~pa + p~b − ~p1 − ~p2 )
=
F
2E1 2E2
Dans le référentiel du CM on a:
p~a⋆ + p~b⋆ = 0 et Ea⋆ + Eb⋆ = E1⋆ + E2⋆ =
√
s
soit donc:
dσ =
√
d3 p⋆ d3 p⋆2
(2π)−2
|Mf i |2 δ( s − E1⋆ − E2⋆ )δ 3 (~p1⋆ + ~p2⋆ ) ⋆1
F
2E1 2E2⋆
En intégrant δ 3 (~p1⋆ + ~p2⋆ ) par rapport à p~2⋆ , on obtient:
3 ⋆
√
1
2
⋆
⋆ d p1
s
−
E
|M
|
δ(
−
E
)
fi
1
2
16π 2 F
E1⋆ E2⋆
⋆2
⋆
√
1
2
⋆
⋆ p1 dp1
|Mf i| δ( s − E1 − E2 ) ⋆ ⋆ dcosθdφ
=
16π 2 F
E1 E2
√
remarque: Si on fait les substitutions s → ma et F → 2ma dans l’expression de
dσ, on obtient une expression semblable à celle de dΓ obtenue dans le cas de la
désintégration en 2 corps a → 1 + 2.
On peut donc sans faire de calcul utiliser le résultat obtenu précédement:
dσ =
1
p0
dσ
=
· √ |Mf i |2
2
dΩ
16π F
s
√
λ(s,m21 ,m22 )
⋆
⋆
⋆
√
est l’impulsion dans le CM de l’une ou l’autre
où p0 = pf = |~p1 | = |~p2 | =
2 s
des deux particules dans l’état final.
L’expression du flux F dans le CM est donnée par (le faire comme exercice):
√
F = 4p⋆i s avec p⋆i = |~pa⋆ | = |~pb⋆ |
La section efficace différentielle s’écrit alors:
1 p⋆f
dσ
|Mf i|2
=
⋆
2
dΩ
64π s pi
Dans le cas des collisions élastiques et à la limite ultra-relativiste où l’on peut négliger
les masses des particules dans les états initial et final par rapport à leurs énergies
on a p⋆i = p⋆f et la section efficace différentielle s’écrit:
dσ
1
=
|Mf i|2
dΩ
64π 2 s
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II.3.2.2 dσ(a + b → 1 + 2)/dΩ dans le référentiel du laboratoire
Nous avons vu que la section efficace différentielle du processus a + b → 1 + 2 s’écrit:
dσ =
d 3 p1 d 3 p2
(2π)−2
|Mf i |2 δ(Ea + Eb − E1 − E2 )δ 3 (~pa + p~b − p~1 − p~2 )
F
2E1 2E2
Dans le référentiel du laboratoire les quadrivecteurs énergie-impulsion s’écrivent:
pa = (Ea , ~pa ) ; pb = (mb , 0, 0, 0) ; p1 = (E1 , ~p1 ) ; p2 = (E2 , ~p2 )
et le facteur F est donné par (le faire comme exercice):
F = 4pa mb avec pa = |~pa |
En intégrant sur p~2 , on obtient:
1
d 3 p1
1
2
|M
|
δ(E
+
m
−
E
−
E
)
fi
a
b
1
2
64π 2 pa mb
E1 E2
2
p dp1 dcosθdφ
1
1
|Mf i |2 δ(f (p1 )) 1
=
2
64π pa mb
E1 E2
dσ =
avec p1 = |~p1 | et:
f (p1 ) = Ea + mb −
= Ea + mb −
q
q
p21 + m21 −
p21
+
m21
−
q
q
(~pa − p~1 )2 + m22
p2a + p21 − 2pa p1 cosθ + m22
où θ est l’angle entre ~p1 et ~pa .
remarque 1: la racine de f (p1 ) dépend de cosθ.
En utilisant la propriété de la distribution de Dirac:
1 δ(p1 − p0 )
δ(f (p1 )) = df /dp1 p1 =p0
où p0 est la racine de f (p1 ), i.e. f (p0 ) = 0, on a:
Z
g(p1 )
g(p1 )δ(f (p1 ))dp1 =
|df /dp1| p1 =p0
En calculant df /dp1:
df
p1 − pa cosθ
p1
−p
= −p
dp1
p21 + m21
p2a + p21 − 2pa p1 cosθ + m22
p1 − pa cosθ
p1
−
= −
E1
E2
p1 E2 + E1 p1 − E1 pa cosθ
= −
E1 E2
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On obtient:
1
E1 E2
p21
1
2
dσ =
dcosθdφ
|Mf i |
64π 2 pa mb
p1 E2 + E1 p1 − E1 pa cosθ E1 E2 p1 =p0
p21 |Mf i |2
1
1
dΩ
=
64π 2 pa mb p1 (E1 + E2 ) − E1 pa cosθ p1 =p0
soit donc en utilisant la conservation d’énergie Ea + mb = E1 + E2 :
dσ
p21 |Mf i|2
1
1
=
dΩ
64π 2 pa mb p1 (Ea + mb ) − E1 pa cosθ p1 =p0
remarque 2: les variables dans cette expression de la section efficace différentielle
dans le référentiel du laboratoire ne sont pas toutes indépendentes. Une fois l’angle
θ spécifié, l’impulsion p1 = p0 estpfixée par l’équation f (p1 ) = 0 et l’énergie E1 est
déterminée par la relation E1 = p21 + m21 .
remarque 3: La section efficace est une quantité homogène à une surface. Elle
est reliée au nombre attendu d’événements diffusés Ns lorsque deux faisceaux de
particules comportant, par exemple, Na particules de type a et Nb particules de
type b rentrent en collision. Le nombre Ns de particules diffusées après collisions est
donné par:
Ns = L · σ
où L est la luminosité, donnée par:
L∝
Na · Nb
f
A
où A est la surface correspondant à la section transversale de croisement des deux
faisceaux, et f leur fréquence de croisement.
L’unité utilisée en physique des particules pour la mesure de la section efficace est
le barn:
1 barn = 10−24 cm2 = 2568 GeV−2
Les sections efficaces typiques en physique des particules correspondent à des fractions très faibles du barn. Pour les exprimer on utilise les préfixes micro- (10−6 ),
nano- (10−9), pico- (10−12 ) ou femto- (10−15 ):
1 µb
1 nb
1 pb
1 fb
Master 1 Physique
=
=
=
=
10−30
10−33
10−36
10−39
cm2
cm2
cm2
cm2
= 2.568 × 10−3 GeV−2
= 2.568 × 10−6 GeV−2
= 2.568 × 10−9 GeV−2
= 2.568 × 10−12 GeV−2
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