Liste d`exercices 9 - PHY2500 Hiver 2011 - Vincent Tabard

Liste d’exercices 9 - PHY2500 Hiver 2011
Prof.: Vincent Tabard-Cossa
à faire avant le 18 avril 2011
1
Onde de Broglie
1. (a) À quelle vitesse la longueur d’onde de de Broglie d’un électron est-elle
égale au rayon de Bohr, qui est de 0.053 nm ? (b) Comparez le module de
la vitesse trouvé à la question (a) avec le module de la vitesse de l’électron
à l’état fondamental d’après le modèle de Bohr.
2. Dans un microscope, la dimension du plus petit détail observable correspond
à la longueur d’onde du rayonnement utilisé. Ce paramètre correspond à la
puissance de résolution. À quelle vitesse la longueur d’onde de Broglie d’un
électron est-elle égale à 0.1 nm, qui est la taille approximative d’un atome ?
2
Applications de la mécanique ondulatoire
3. Un électron se déplace à l’intérieur d’un puits de potentiel infini à une dimension de longueur 0.1 nm. (a) Calculez les énergies de l’état fondamental
et du premier état excité. (b) Quelle est la longueur d’onde du photon émis
si l’électron passe de l’état excité à l’état fondamental ? (Réponse: (a) 37.7
eV, 151 eV; (b) 11.0 nm)
4. On suppose qu’un électron est enfermé dans un puits de potentiel infini
de largeur 10−14 m, valeur qui correspond à la dimension approximative d’un
noyau. (a) Calculez l’énergie de l’état fondamental de l’électron. (b) Sachant
que les énergies nucléaires sont de l’ordre de quelques dizaines de MeV, que
pouvez-vous dire quant à la possibilité pour les électrons d’être à l’intérieur
du noyau?
5. L’énergie potentielle d’un oscillateur harmonique simple est donnée par U =
2
1
mω 2 x2 . Démontrez que ψ = Ae−Bx est une solution de l’équation d’onde
2
de Schrödinger, où E = ~ω/2 est l’énergie mécanique de cet oscillateur. Que
représente B, en comparant à la distribution normale (voir feuille de formule)
?
3
Principe d’incertitude de Heisenberg
6. Soit un électron dans un état excité. La différence d’énergie entre cet état
et l’état fondamental est de 2.25 eV et la durée de vie de cet état excité
est de 0.13µs. (a) Quelle est la fréquence du photon émis au moment de
la désexcitation ? (b) Quelle est l’incertitude sur la fréquence de ce photon
selon le principe d’incertitude de Heisenberg ?
7. Un proton est enfermé dans un noyau de rayon 2 × 10−14 m. (a) Estimez
l’incertitude sur sa quantité de mouvement. (b) Si la quantité de mouvement
était égale à l’incertitude trouvée en (a), quelle serait l’énergie cinétique en
MeV ?
Constantes: c = 3 × 108 m/s, e = 1.6 × 10−19 C, 1eV = 1.6 × 10−19 J, h = 6.626 ×
10−34 J · s (~ = h/2π), me = 9.109 × 10−31 kg, k = 1/4πε0 = 9 × 109 Nm2 /kg2
Formules: f λ = c, p = hf /c = h/λ, E = hf , transition: hf = En0 − En ,
Bohr: mvr = n~, rn =
n2 ~2
,
mke2
En =
−13.6Z 2
eV,
n2
accélération centripède a = v 2 /r,
quantité de mouvement p = mv, energie cinétique K = mv 2 /2; fonction d’onde:
d2 ψ
dx2
+
2m
(E
~2
− U )ψ = 0, ψ 2 dV = probabilité, puits infini: ψ(x) = A sin(nπx/L)
2 2
n h
et En = 8mL
2 où n = 1, 2, 3, ..., Heisenberg: ∆x∆p ≥ h et ∆E∆t ≥ h Relativité:
p
γ = 1/ 1 − v 2 /c2 , E = mc2 , masse relativiste: m = γm0 , distribution normale
P (x) =
2
2
√1 e−(x) /2σ
σ 2π
2