Valeurs d`une fonction définie par morceaux (algorithme)

Seconde – 2009/2010
Lycée Émile Duclaux
Premiers algorithmes
A. Premier programme de calcul permettant le calcul des valeurs d’une fonction 𝑓 :




Choisir un nombre 𝑥.
Calculer 𝑦 égal au carré de 𝑥.
Calculer 𝑧 égal à 4 fois 𝑥.
Calculer 𝑓(𝑥) égal à 𝑦 − 𝑧 + 5.
1. Tester ce programme de calcul en partant de trois nombres 𝑥 différents de votre choix.
2. En calculant avec la lettre 𝑥, exprimer 𝑓(𝑥) en fonction de 𝑥.
B. Second programme de calcul permettant le calcul des valeurs d’une fonction 𝑔 :




Choisir un nombre 𝑥.
Calculer 𝑦 égal à 𝑥 − 2.
Calculer 𝑧 égal à 𝑦 2 .
Calculer 𝑔(𝑥) égal à 𝑧 + 1.
1. Tester ce programme de calcul en partant de trois nombres 𝑥 différents de votre choix.
Que constatez-vous ? Quelle conjecture peut-on faire ?
2. En calculant avec la lettre 𝑥, exprimer 𝑔(𝑥) en fonction de 𝑥.
3. Prouver la conjecture faite à la question précédente.
On appelle algorithme tout procédé permettant de résoudre un problème, à condition que ce
procédé puisse être décrit en plusieurs étapes bien identifiées.
Le mot « algorithme » est une déformation du nom du mathématicien arabe Al-Khwarizmi.
Les deux programmes de calculs ci-dessus sont donc des algorithmes permettant de calculer les
valeurs d’une fonction.
C. Écriture d’algorithmes
Un tel programme de calcul est appelé un algorithme.
En prenant exemple sur les parties A et B ci-dessus, écrire trois algorithmes permettant de calculer
les valeurs de la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 5)2 − 7.
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Une fonction en deux morceaux
Le téléphone portable de Toto ne fonctionne
plus. Fou de rage, il le projette par sa fenêtre,
située à 4 mètres au-dessus du sol.
Le téléphone touche le sol à 2 mètres du mur
de la maison et rebondit.
Le graphique ci-contre
trajectoire du téléphone.
représente
la
La fonction 𝑓 correspondant à cette trajectoire
est définie sur l’intervalle [0; 4] par :
{
𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 2
𝑓(𝑥) = −0,2𝑥 2 + 2𝑥 − 3,2
si 𝑥 ∈ [0; 2[
si 𝑥 ∈ [2; 4]
1. Écrire un algorithme permettant de
calculer la valeur de 𝑓(𝑥) pour une
valeur de 𝑥 donnée.
Attention ! Cet algorithme doit
Trajectoire du téléphone
retourner la bonne valeur de 𝑓(𝑥)
quelle que soit la valeur de 𝑥 choisie.
2. Voir au tableau la traduction de cet algorithme dans le logiciel Algobox.
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3. Voici maintenant sa traduction en programme pour la calculatrice TI-83 :
Étudier ce programme et noter la signification des différentes commandes utilisées : Input,
If…Then…End, Disp.
4. En s’inspirant de l’exemple ci-dessus, écrire un algorithme permettant de calculer les valeurs
de la fonction 𝑔 définie sur [0; 10] par :
𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 3
si 𝑥 ∈ [0; 4[
{
2
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 10𝑥 + 30
si 𝑥 ∈ [4; 10]
Vous écrirez l’algorithme en langage naturel, puis vous essaierez de le traduire en langage
calculatrice.
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Lycée Émile Duclaux
Traduction de l’algorithme avec Xcas :
Traduction de l’algorithme dans Scratch :
Tableau comparatif
Logiciel
Points positifs
Rigueur dans l’écriture de l’algorithme
Algobox
En français
Présentation structurée
L’étendue des différents blocs est bien
visible
Logiciel sur mesure
Toutes les commandes de calcul
Xcas
numérique et formel sont utilisables
Commandes de programmation en
français
Scratch
Calculatrice
Points négatifs
Pas un vrai langage de programmation
Peu de fonctions mathématiques
Lourdeur pour entrer un algorithme un
peu long
Pas très pratique à utiliser
Sortie mal présentée
Sourcilleux sur la syntaxe (points
virgule, etc)
Syntaxe à apprendre
Structuration de l’algorithme
Aspect gadget ( ?)
Comme dans Algobox, pas de syntaxe à Pauvreté des fonctions mathématiques
retenir.
Imprécision des calculs
Rigueur
En français
L’étendue des différents blocs est bien
visible
Toujours à disposition
Moins puissante pour les boucles un
Toutes les fonctions mathématiques peu longues
sont utilisables
Lourdeur pour entrer les programmes
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Morale
Dans un premier temps, choix de Xcas pour sa richesse mathématique.
Préparation du premier sujet, tests  abandon de Xcas car l’interface n’est vraiment pas
assez simple pour utilisation efficace avec les élèves (ne pas pinailler sur des détails, passer
des heures à chercher des erreurs, etc.)
Essai avec Scratch : c’est pas mal, mais pour entrer un test du style 𝑥 ≥ 2, il faut entrer 𝑥 > 2
ou 𝑥 = 2. La structuration par blocs est pédagogique et le petit chat peut être une
motivation.
Avec Algobox : c’est bien. La structuration par blocs est pédagogique.
La calculatrice : il ne faut pas s’en passer, car les élèves l’ont toujours et doivent savoir
bidouiller avec.
Choix final : Algobox + calculatrice pour ne pas perdre du temps avec des détails inutiles.
À la rigueur, initier les meilleurs à Scratch, ou leur laisser la possibilité de s’en servir en
autonomie pour rendre certains algorithmes en DM ?
Garder Xcas pour le calcul formel et peut-être pour l’algo en S ??? Mais pas en seconde.