chapitre iii
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À LA DÉCOUVERTE DE L’EXPONENTIELLE (mercredi 30 janvier 2013) A. Looze L. Zanotto AL & LZ 2013 Page 1 1. Objectifs Donner du sens aux mathématiques et montrer leur utilité dans le domaine scientifique. 2. Approche expérimentale 2.1 Rappels d’électricité Un circuit électrique (figure 1.4a) est une suite ininterrompue de conducteurs. Le circuit électrique le plus simple comportement un générateur, un récepteur, un interrupteur et des fils de connexion. Le générateur transforme une énergie non électrique en énergie électrique. Par exemple, une pile transforme de l’énergie chimique en énergie électrique et une cellule solaire transforme de l’énergie lumineuse en énergie électrique. Son symbole est donné à la figure 1.3. Le récepteur transforme l’énergie électrique en une ou plusieurs autres formes d’énergie. Par exemple, une ampoule transforme de l’énergie électrique en énergie lumineuse et en énergie thermique. Lorsqu’un interrupteur est ouvert (position OFF ou 0), le circuit électrique est interrompu et le courant électrique ne peut pas circuler (figure 1.4b) ! Inversement, lorsque l’interrupteur est fermé (position ON ou 1), le courant électrique circulera (figure 1.4a). Un courant électrique est un déplacement de charges électriques à l’intérieur d’un conducteur. Un courant électrique est caractérisé par son intensité (notée I, elle se mesure en ampères A). L’intensité est analogue au débit d’eau dans une canalisation, elle représente la quantité de charges électriques qui traversent à chaque seconde une section du conducteur. La différence de potentiel (encore appelée tension) est liée à l’énergie électrique dont disposent les charges électriques. Notée V, elle se mesure en volts V. Une résistance est un récepteur particulier qui transforme de l’énergie électrique en énergie thermique. On en trouve notamment dans les fers à repasser, les grille-pain, les sèche-cheveux, etc. Notée R, elle se mesure en ohms . AL & LZ 2013 Page 2 Un voltmètre (appareil de mesure d’une différence de potentiel) est branché en parallèle. Le schéma ci-dessous montre le branchement d’un voltmètre « aux bornes » d’un générateur. Un ampèremètre (appareil de mesure d’une intensité électrique) est branché en série dans un circuit. Nous n’en utiliserons pas au cours de cette manipulation. 2.2 Le condensateur Un condensateur (figure 5.14) est un dispositif qui permet d’emmagasiner des charges électriques et donc de l’énergie électrique et de restituer celle-ci très rapidement. Il est constitué de deux surfaces conductrices (les armatures) séparées par une fine épaisseur d’un matériau isolant (le diélectrique). La figure 5.15 ci-dessous montre la représentation symbolique d’un condensateur. Pour caractériser un condensateur, le physicien a défini une nouvelle grandeur appelée capacité (notée C, elle se mesure en farads F). Cette grandeur est liée l’énergie électrique que le condensateur peut emmagasiner. Pour les plus curieux, la capacité d’un condensateur est le rapport constant entre la quantité de charges électriques qu’il porte sur ses armatures et la différence de potentiel entre ses armatures. Les applications pratiques des circuits électriques contenant des condensateurs sont légion ! Citons, entre autres, le flash d’un appareil photo, le défibrillateur cardiaque*, le récepteur radio, le circuit de démarrage d’un moteur électrique, le chargeur de gsm, … Le défibrillateur est un appareil qui permet d’appliquer un choc électrique sur le coeur afin de corriger d’éventuelles contractions désordonnées du muscle cardiaque. * AL & LZ 2013 Page 3 2.3 Description du matériel Plusieurs condensateurs et résistances sont rangés dans la partie supérieure du boîtier. La partie inférieure vous permet de réaliser différents circuits. Une alimentation de 12 V est disponible. Des emplacements sont prévus pour les différents éléments. Vous disposez également d’un chronomètre et d’un voltmètre numériques. AL & LZ 2013 Page 4 2.4 Préparation de l’expérience Attention ! Remarque importante sur la façon de placer les condensateurs. Les condensateurs sont de type électrolytique. Cela impose que le côté marqué + soit toujours connecté à la borne positive de l’alimentation. Réalisez le circuit de la figure 56.9 en utilisant le condensateur C1 et une résistance de 120 k. Avant de placer les éléments, ouvrez l’interrupteur de façon à ce que le condensateur ne commence pas à se charger avant que vous ne soyez prêts à prendre les mesures. Attention, n’oubliez pas de respecter la polarité du condensateur (côté + du côté positif de l’alimentation). Placez un voltmètre aux bornes du condensateur et de la résistance et choisir l’échelle « DCV 200 ». Sur le voltmètre, vous devez utiliser les bornes « COM » et « V ». La borne « COM » doit être reliée à borne négative du générateur. Fermez le circuit. Vous constatez qu’une tension d’environ 12,0 V apparaît très rapidement aux bornes du condensateur. En fermant le circuit, vous avez chargé le condensateur. Au cours de ce processus, il a emmagasiné de l’énergie électrique 𝟏 qu’on peut calculer à l’aide de la relation 𝑬 = 𝟐 𝑪𝑽𝟐 . Ouvrez le circuit et observez l’évolution de la tension mesurée par le voltmètre. Question n°1. Comment varie cette tension (cochez la bonne réponse parmi les propositions ci-dessous) ? La tension reste constante. La tension augmente de plus en plus vite. La tension augmente de moins en moins vite. La tension « oscille » autour de la valeur de 12,0 V. La tension diminue de moins en moins vite. La tension diminue de plus en plus vite. Question n°2. Citez la variable dépendante et la variable indépendante de ce phénomène. AL & LZ 2013 Page 5 Pour confirmer ou infirmer notre première observation, étudions la décharge du condensateur à travers la résistance. La décharge du condensateur est le phénomène au cours duquel les charges électriques quittent le condensateur libérant ainsi l’énergie électrique emmagasinée ! 2.5 Principe des mesures Pour étudier l’évolution de la tension aux bornes du condensateur dans un circuit donné, on relève les temps qui correspondent à différentes valeurs de la tension choisies au préalable. Vous indiquerez les valeurs de la tension dans le tableau ci-dessous avant le début de l’expérience. On utilise le chronomètre en mode « affichage intermédiaire† ». Chaque fois qu’une valeur de la tension est atteinte, on appuie sur le bouton « stop » du chronomètre et on note la valeur du temps indiquée au chronomètre. Étant donné notre temps de réaction, on arrondit les mesures au dixième de seconde. 2.6 Représentation numérique de la relation étudiée (tableau de mesures) Travaillez au crayon ! Considérez que la tension initiale (notée V0) est de 12,0 V même si le voltmètre indique une valeur très légèrement différente. Mesurez le temps tous les 0,5 V jusque 1,5 V et tous les 0,1 V ensuite pour terminer à la valeur de 0,5 V (ne pas remettre le chronomètre à zéro à la fin des mesures) et notez-les dans le tableau ci-dessous en respectant les variables énoncées à la question n°2. † Lorsque ce mode est sélectionné, chaque pression sur « stop » affiche la valeur instantanée alors que la mesure continue. AL & LZ 2013 Page 6 2.7 Représentation graphique de la relation étudiée Portez vos résultats en graphique sur papier « millimétré » (voir page suivante). Utilisez la feuille de papier « millimétré » en mode paysage. Échelle à respecter impérativement : 1 « cm » 10 s et 1 « cm » 1 V. N’oubliez pas les symboles des grandeurs et des unités sur chaque axe ! Tracez une courbe « lisse » qui passe au mieux à travers les points expérimentaux. Question n°3. Le graphique obtenu permet-il de confirmer l’observation préalable ? Justifiez ! AL & LZ 2013 Page 7 AL & LZ 2013 Page 8 2.8 Exploitation du graphique Nous allons à présent interroger le graphique pour rechercher les informations à mettre sur sa carte d’identité ! Répondez aux questions suivantes… 1. Quel est de domaine de validité de la fonction obtenue ? 2. Quel est son ensemble image ? 3. Le graphique présente-t-il des asymptotes ? Si oui, donnez leurs équations ! 4. Dressez le tableau de signe de cette fonction ainsi que de ses dérivées ! V V’ V’’ 2.9 Exploitation du tableau de mesures Interrogeons les chiffres pour essayer de caractériser cette décroissance ! Quel est le temps nécessaire pour qu’une tension quelconque diminue de moitié ? Complétez le tableau suivant à partir de la représentation numérique de la relation ! Temps (s) Tension (V) 12,0 ÷2 ÷2 AL & LZ 2013 ÷2 Page 9 Observations. Cochez la ou les bonne(s) affirmation(s) ! La tension diminue de moitié toutes les 42 secondes environ. La tension diminue de moitié sur des intervalles de temps différents. La tension diminue de moitié sur des intervalles de temps approximativement de même durée. Le rapport des tensions mesurées toutes les 42 secondes est constant. V(t+42) = 2V(t). Quel est le temps nécessaire pour qu’une tension quelconque diminue de deux tiers ? Complétez le tableau suivant à partir de la représentation numérique de la relation ! Temps (s) Tension (V) 9,0 ÷… … ÷… … Observations. Cochez la ou les bonne(s) affirmation(s) ! V(t+65) = 3V(t) V(t+65)-V(t) = 1/3 V(t+65)/V(t) = 2/3 V(t+65)/V(t) = 1/3 V(t+65) = V(t) -2/3V(t) Justifiez l’affirmation suivante : « Sur des intervalles de temps de même durée, la tension décroit dans un même rapport ». 2.10 Pour aller plus loin : graphique sur papier semi-logarithmique Portez vos résultats de mesure en graphique sur papier semi-logarithmique (voir page suivante). Utilisez la feuille de papier semi-logarithmique en mode portrait. Échelle à respecter impérativement : 1 cm 10 s. N’oubliez pas les symboles des grandeurs et des unités sur chaque axe. Quel type de relation obtenez-vous ? Ce comportement sera justifié dans la suite du cours de mathématiques ! AL & LZ 2013 Page 10 AL & LZ 2013 Page 11 3. Traitement informatique des données (Excel) 3.1 Encodage des données Ouvrir le fichier Excel intitulé « Exponentielle – Traitement des données.xlsx ». Sauvegarder une copie de ce fichier en ajoutant vos initiales dans le nom du fichier. Exemple : « Exponentielle – Traitement des données (AL & LZ).xlsx ». Voici à quoi doit ressembler la feuille de calcul Excel au moment de l’ouverture. Encoder les valeurs de temps et de tension. Voici un aperçu d’un tableau rempli. AL & LZ 2013 Page 12 3.2 Nuage de points Cliquer sur « Insertion » et ensuite sur « Nuage ». Dans la fenêtre déroulante « Nuage de points », choisir le premier type de graphique. Il faut maintenant sélectionner les données qui nous intéressent. Cliquer sur l’icône correspondante. Une nouvelle fenêtre « Sélectionner la source des données » s’ouvre. Cliquer sur « Ajouter ». AL & LZ 2013 Page 13 Une fenêtre « Modifier la série » s’ouvre alors et l’ébauche d’un graphique apparaît sur la feuille. Donner un nom à la série en complétant le champ ad hoc, ce nom sera le titre du graphique final. Sélectionner ensuite les données à placer en abscisse et en ordonnée. Pour cela, cliquer dans le champ « Valeurs de la série des abscisses X ». Le pointeur prend la forme d’une croix. Cliquer-tirer sur les données de la colonne adéquate. Le champ se remplit automatiquement. Avant de recommencer cette procédure pour l’axe des ordonnées, il faut supprimer ce qui est présent par défaut dans le champ. Cliquer sur « OK » et la fenêtre se ferme. Cliquer à nouveau sur « OK ». Le graphique est maintenant tracé. On peut éventuellement agrandir et/ou déplacer la fenêtre du graphique sur la feuille de calcul. AL & LZ 2013 Page 14 3.3 Mise en forme du graphique Il faut maintenant toiletter le graphique. Cliquer sur l’onglet « Disposition ». Cliquer sur l’icône « Titres des axes ». Suivre le menu déroulant « Titre de l’axe horizontal principal » et cliquer sur « Titre en dessous de l’axe ». Donner le bon titre à l’axe horizontal (grandeur + unité) en remplissant le cadre dans la zone de graphique. AL & LZ 2013 Page 15 Recommencer la procédure pour l’axe vertical. Attention, le menu déroulant propose plus d’options. Choisir « Titre pivoté ». On aboutit finalement à ceci… Avant de poursuivre, ajouter un quadrillage et reproduire 3 fois le graphique sur la feuille de calcul (en utilisant la fonction « copier-coller »). AL & LZ 2013 Page 16 3.4 Ajouter une courbe de tendance Pour ce faire, cliquer-droit sur un des points du graphique. Une fenêtre apparaît. Cliquer sur « Ajouter une courbe de tendance ». Une fenêtre s’ouvre. À ce stade, les manipulations se feront en live avec vos professeurs préférés ! AL & LZ 2013 Page 17 3.5 Exploitation On constate que, d’une part, les différents types de régression (linéaire et polynomiale) ne collent pas au comportement observé au laboratoire lorsqu’on laisse le temps s’écouler. D’autre part, la propriété algébrique décrite au laboratoire n’est pas respectée par les modèles choisis : Sur des intervalles de temps de même durée, le facteur de croissance est constant. Quel est le facteur de croissance pour des intervalles de temps de 10 secondes ? Complétez le tableau suivant à partir de la représentation graphique du modèle « exponentiel ». Conseil : agrandir la zone de graphique ! Temps (s) Tension (V) 0 12,0 10 x ? … 20 x ? x ? Toutes les 10 secondes, le facteur de croissance vaut … Quel est le facteur de croissance toutes les secondes si nous respectons les hypothèses émises à partir de l’étude de la régression « exponentielle » ? Références bibliographiques : Physique 5ème, Sciences générales, Y. Verbist et al, De Boeck, Bruxelles, 2006. Travaux pratiques de Physique Expérimentale (1er baccalauréat sciences biologiques, pharmaceutiques, géographiques et géologiques), Facultés Universitaires Notre-Dame de la Paix, Namur, 2009. Cours de mathématiques (6ème année, 6 périodes/semaine), A. Looze, 2012. AL & LZ 2013 Page 18
