Chapitre 4 Angles orientés Sommaire 4.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 Mesures de l’angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3.1 Ensemble des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3.2 Mesure principale d’un angle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3.3 Angle nul, angle plat, angles droits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.4 Propriétés des mesures des angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.4.1 Propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.4.2 Relation de C HASLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.4.3 Conséquences de la propriété de base et de la relation de C HASLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.5 Cosinus et sinus d’un angle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.6 Lignes trigonométriques des angles associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.6.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.6.2 Lignes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.1 Activité ¡ ¢ Soit un repère orthonormal O ;~ı,~ , le cercle C de centre O et de rayon 1 et la droite D d’équation x = 1 qui coupe l’axe (Ox) en I . D ×M À tout nombre a, on associe le point M de la droite D, d’abscisse 1 et d’ordonnée a. N « L’enroulement » de la droite D autour du cercle C met en coïncidence le point M avec un point N de C . Plus précisément, si a est positif, le point N est tel que × × O y I N = I M = a, l’arc étant mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et, si a est négatif, le point N est × J ×I y tel que I N = I M = |a|, l’arc étant mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre. Le point N est le point du cercle C associé au nombre a. Activité 4.1. 1. Placer les points de la droite Mi dont les ordonnées y i sont données par le tableau suivant : 33 4.2 Orientation du plan Première S – 2 007–2 008 Mi M1 yi 0 M2 π 2 M3 π − 2 M4 π 3 M5 π − 3 M6 M7 M8 M9 π −π 2π −2π Refaire le dessin sur votre feuille au besoin. 2. Placer les points N1 , N2 , N3 , N4 , N5 , N6 , N7 , N8 , N9 du cercle associés à ces nombres. 3. Indiquer un nombre associé à chacun des points I , J , B(−1; 0) et B ′ (0; −1). 4. Existe-t-il plusieurs nombres associés à un même point ? Si oui, donner quatre nombres associés au point J . 4.2 Orientation du plan Définition 4.1 (Orientation d’un cercle, du plan, cercle trigonométrique). On utilisera le vocabulaire suivant : • Orienter un cercle, c’est choisir un sens de parcours sur ce cercle appelé sens direct (ou positif). L’autre sens est appelé sens indirect (négatif ou rétrograde). • Orienter le plan, c’est orienter tous les cercles du plan dans le même sens. L’usage est de choisir pour sens direct le sens contraire des aiguilles d’une montre (appelé aussi sens trigonométrique). • Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct ¡ et de ¢ rayon 1. Lorsque le plan est muni d’un repère O ;~ı,~ , le cercle trigonométrique est le cercle orienté dans le sens direct, de centre O et de rayon 1. × × Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique. ¡ ¢ Définition 4.2 (Abscisse curviligne, arc orienté, mesures d’un arc orienté). Le plan est muni d’un repère O ;~ı,~ . Soit I (0; 1) un point du cercle trigonométrique C et D la tangente en I à C , munie du repère (I ; ~) (voir schéma 4.1). • On appelle abscisse curviligne d’un point M du cercle trigonométrique, l’abscisse de tout point N de la droite D associé à M par enroulement. (Remarque : un point à plusieurs abscisses curvilignes). • Si les points A et B du cercle trigonométrique ont pour abscisses curvilignes α et β, alors le couple (A ; B) est appelé y arc orienté et noté AB . y • Une des mesures de l’arc orienté AB est β − α. 4.3 Mesures de l’angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls 4.3.1 Ensemble des mesures ~ et ~ Définition 4.3 (Angle orienté). Soit u v deux vecteurs non nuls du plan orienté. On appelle angle orienté, noté ~ u ; v le couple de ces deux vecteurs. (~ ), Soit ~ u et ~ v deux vecteurs non nuls du plan orienté, O un point quelconque et C le cercle trigonométrique de centre O. −−→ −−→ On considère A ′ et B ′ les points définis par O A ′ = ~ u et OB ′ = ~ v. Les demi-droites [O A ′ ) et [OB ′ ) coupent le cercle trigonométrique C respectivement en A et en B (voir le schéma page suivante). Définition 4.4 (Mesures d’un angle orienté). Une mesure de l’angle orienté (~ u;~ v ), en radian, est une mesure de l’arc y orienté associé AB du cercle trigonométrique. Remarque. • Si une des mesures de (~ u;~ v ) est α, alors toutes les mesures sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z. • Par abus de langage, on confond un angle et ses mesures. On écrit par exemple (~ u;~ v ) = π2 signifiant qu’une des mesures de (~ u;~ v ) est π2 , les autres étant de la forme π2 + 2kπ avec k ∈ Z. On écrit aussi (~ u;~ v ) = π2 + 2kπ avec k ∈ Z, ou encore (~ u;~ v ) = π2 [2π] qui se lit « π2 modulo 2π ». 34 http://perpendiculaires.free.fr/ 4.4 Propriétés des mesures des angles orientés Première S – 2 007–2 008 F IG . 4.1 – Mesures d’un angle orienté A′ × ~ v B A ~ u × B′ × O 4.3.2 Mesure principale d’un angle orienté Définition 4.5 (Mesure principale). La mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure de cet angle orienté qui appartient à ] − π ; π]. 4.3.3 Angle nul, angle plat, angles droits Définition 4.6 (Colinéarité, orthogonalité). Soit ~ u et ~ v deux vecteurs non nuls du plan orienté. • Dire que ~ u et ~ v sont colinéaires revient à dire que la mesure principale de (~ u;~ v ) est 0 (angle nul) ou est π (angle plat). • Dire que ~ u et ~ v sont orthogonaux revient à dire que la mesure principale de (~ u;~ v ) est − π2 (angle droit indirect). π 2 (angle droit direct) ou ¡ ¢ ¡ ¢ Définition 4.7 (Repère orthonormal direct ou indirect). Soit O ;~ı,~ un repère du plan. On dit que O ;~ı,~ est : • direct si une des mesures de (~ı ; ~ ) est π2 ; • indirect si une des mesures (~ı ; ~ ) est − π2 . 4.4 Propriétés des mesures des angles orientés 4.4.1 Propriétés de base Propriété 4.1. Soit un vecteur non nul ~ u du plan orienté et k ∈ R. • (~ u; ~ u ) = 0 et (~ u ; −~ u ) = π. • Si k > 0 alors (~ u ; k~ u ) = 0. • Si k < 0 alors (~ u ; k~ u ) = π. Preuve. Cela découle de la définition 6. ♦ 4.4.2 Relation de C HASLES ~ trois vecteurs non nuls du plan orienté. u, ~ v et w Propriété 4.2. Soit ~ ~ ) = (~ ~) (~ u;~ v ) + (~ v;w u; w On l’admettra. 4.4.3 Conséquences de la propriété de base et de la relation de C HASLES Propriété 4.3. Soit ~ u et ~ u deux vecteurs non nuls du plan orienté, k et k ′ deux réels. • (~ u;~ v ) = −(~ v;~ u ). • (~ u ; −~ v ) = (~ u;~ v ) + π. • (−~ u;~ v ) = (~ u;~ v ) + π. Preuve. David ROBERT • (−~ u ; −~ v ) = (~ u;~ v ). • Si k et k ′ sont de même signe, (k~ u ; k ′~ v ) = (~ u;~ v ). ′ • Si k et k sont de signes opposés, (k~ u ; k ′~ v ) = (~ u;~ v ) + π. • (~ u;~ v ) + (~ v;~ u ) = (~ u; ~ u ) = 0 donc (~ u;~ v ) = −(~ v;~ u ). 35 4.5 Cosinus et sinus d’un angle orienté Première S – 2 007–2 008 u;~ v ) + π. u ; −~ v ) = (~ u ; −~ v ) = (~ v ; −~ v ) = π donc (~ u ) + (~ u ; −~ v ) + (~ v;~ u ) = (~ v;~ u;~ v ) = (~ u ; −~ v ) − (~ (~ u;~ v ) + π. u;~ v ) = (~ u ) = π donc (−~ u; ~ u;~ v ) + (~ v;~ u ) = (−~ u;~ v ) = (−~ u;~ v ) − (~ (−~ (−~ u ; −~ v ) − (~ u;~ v ) = (~ u ; −~ v ) + π − (~ u;~ v ) = (~ u;~ v ) + 2π − (~ u;~ v ) = 0 donc (−~ u ; −~ v ) = (~ u;~ v ). Si k et k ′ positifs alors (k~ u ; k ′~ v ) = (~ u ; k ′~ v ) = (~ u;~ v ). Si k et k ′ négatifs alors (k~ u ; k ′~ v ) = (~ u ; k ′~ v ) + π = (~ u;~ v ) + 2π = (~ u;~ v ). ′ ′~ • Si k négatif et k positif alors (k~ u ; k v ) = (~ u ; k ′~ v ) + π = (~ u;~ v ) + π. Si k positif et k ′ négatif alors (k~ u ; k ′~ v ) = (~ u ; k ′~ v ) = (~ u;~ v ) + π. • • • • ♦ 4.5 Cosinus et sinus d’un angle orienté ¡ Sauf ¢ indication contraire, l’unité utilisée est le radian. Le plan orienté est muni d’un repère orthonormal direct O ;~ı,~ ; on considère le cercle trigonométrique C de centre O. Définition 4.8 (Cosinus et sinus³ d’un réel). Pour tout réel x, il existe un point M unique du cercle trigonométrique −−→ −−→´ C tel que x soit une mesure de O A ; OM . • L’abscisse du point M est le cosinus de x (noté cos x). • L’ordonnée du point M est le sinus de x (noté sin x) ~ et ~ Définition 4.9 (Cosinus et sinus d’un angle orienté). Soit u v deux vecteurs non nuls du plan. Le cosinus (resp. le sinus) de l’angle orienté de vecteurs (~ u;~ v ) est le cosinus (resp. le sinus) de l’une quelconque de ses mesures. On note cos(~ u;~ v ) et sin(~ u;~ v ). Lien entre cosinus de l’angle orienté et cosinus de l’angle géométrique formé par ~ Notons α la mesure en radians de l’angle géométrique AOB u et ~ v , et notons x la mesure principale de (~ u;~ v ) . On a α = |x|. Deux cas se présentent : • si x ≥ 0, |x| = x et par suite cos α = cos x ; • si x ≤ 0, |x| = −x et par suite cos α = cos(−x) = cos x On a donc cos(~ u;~ v ) = cos( AOB). = | sin(~ u;~ v )| Ce n’est pas vrai pour le sinus : sin( AOB) 4.6 Lignes trigonométriques des angles associés 4.6.1 Rappels Propriété 4.5 (Sinus et cosinus des angles usuels). Propriété 4.4 (fondamentale). cos2 x + sin2 x = 1 x 0 sin x 0 cos x 1 π 6 1 2 p 3 2 π 4 p 2 2 p 2 2 π 3 p 3 2 1 2 π 2 1 0 4.6.2 Lignes trigonométriques Les formules ci-dessous sont vraies pour tout réel x, mais pour faciliter la mémorisation, on se place dans le premier cadran. Elles seront démontrées plus tard dans l’année. 36 http://perpendiculaires.free.fr/ 4.7 Exercices Première S – 2 007–2 008 ¡ ¢ cos π2 − x = sin x ¢ ¡π sin 2 − x = cos x ¡π ¢ + x = − sin x ¢ sin 2 + x = cos x cos ¡2π π 2 cos(π − x) = − cos x sin(π − x) = sin x cos(π + x) = − cos x sin(π + x) = − sin x π 2 +x −x π−x x π+x −x cos −x = cos x sin −x = − sin x 4.7 Exercices Exercice 4.1. Sur un cercle trigonométrique C , on considère les points A et B tels que : ³−→ −−→´ ³−→ −−→´ 5π 2π et OI ; OB = − OI ; O A = 6 3 × Déterminer angles suivants : ³−−→ −−→´la mesure principale³des −−→ −−→´ ′ 5. O A ; BO ; 1. O A ; O J ; ³−→ −−→´ ³−−→ −−→´ 2. O J ; OB ; ³−−→ −−→´ 6. AO ; BO ; 3. O A ; OB ; ³−−→ −−→´ ³ −−→ −−→´ 4. AO ; OB ; 7. 2O A ; −3OB . I ′ × × J′ J O × I × Exercice 4.2. ³ −→´ ¡ ¢ Dans un repère orthonormal O ;~ı,~ , on considère le point B(1; 1) et le point A d’asbcisse 2 tel que ~ı, B A = π3 . Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB]. A × × B ~ O ~ı Exercice 4.3. ABC D est un parallélogramme de centre O. D × × C O A David ROBERT × × B 37 4.7 Exercices Première S – 2 007–2 008 ³−→ −−→´ ³−→ −−→´ 1. Démontrer que AB ; AD + C B ; C D = 0. 2. Quelle propriété du parallélogramme a-t-on démontré ? ³−→ −−→´ 3. On suppose que AB ; AD = π4 . Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : ³−−→ −→´ ³−−→ −−→´ (a) C D ; C B ; (c) DC ; D A ; ³−→ −−→´ ³−→ −−→´ (b) B A ; D A ; (d) BC ; D A . Exercice 4.4. est un triangle et I est le milieu de [BC ]. On sait que ³ABC −→ −→´ π I A ; I B = 3 . Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : 1. ³−→ −→´ AI ; I B ; 2. ³−→ −→´ AI ; IC ; A ³−→ −→´ 3. I A ; C B . × π 3 B × × × I C Exercice 4.5. Pour chacune des équations suivantes : 1. les résoudre dans R, c’est-à-dire déterminer l’ensemble des réels xi vérifiant l’équation ; ³ −−−→´ −ı ; OM 2. placer sur le cercle trigonométrique les points M tels que → =x ; i 3. Donner leurs mesures principales. p 3 ; • cos 2x = 2 • cos 3x = 0 ; • cos 4x = −1 ; • cos x = 2 ; 1 • sin 2x = − ; 2 i i • sin 3x = − p 2 ; 2 • sin x2 = 0 ; • sin 6x = −4. Exercice 4.6. Mêmes questions que l’exercice précédent avec : • cos 2x = cos x ; • cos 2x = cos(3x + π) ; • sin 3x = sin x ; • sin x = sin x3 ; • cos 2x = sin 3x ; • cos x = − sin 2x ; Exercice 4.7. Mêmes questions que l’exercice précédent avec : p • tan x = 3 ; • tan 2x = 1 ; 38 • sin 4x = − cos 2x. ¢ p ¡ • tan 2x + π6 = − 3. http://perpendiculaires.free.fr/