Introduction à la mécanique quantique (janvier 2003) – La

Introduction à la mécanique quantique (janvier 2003)
– La mécanique quantique est la théorie fondamentale des systèmes microscopiques (particules, atomes, molécules,...)
– Grand succés : elle est conforme à toutes les observations expérimentales
– On l’illustre avec la polarisation de la lumière.
Plan :
1. Principe de superposition en mécanique quantique et Postulat de la mesure quantique
2. Expériences confirmant la théorie
3. Non localité de la mécanique quantique
1
1) Principes de la mécanique quantique :
1-1) Etats de polarisation rectiligne du photon (grain de lumière)
x
z
Photon, vitesse
c=300 000 km/s
y
Polarisation
|x>
Polarisation
|y>
1-2) Le principe de superposition
Etat général de polarisation :
|P i = a|xi + b|yi,
a, b ∈ C
(|xi, |yi) : base orthonormée de l’espace (de Hilbert) quantique de polarisation :
P = V ect (|xi, |yi) ∼
= C2 ,
norme2 : k|P ik2 = hP |P i = |a|2 + |b|2
2
Exemples :
x
|θi = cos θ|xi+sin θ|yi ∈ P
: polarisation rectiligne selon θ
θ
| θ>
z
1
|Di = √ (|xi + i|yi) :
2
1
|Gi = √ (|xi − i|yi) :
2
polarisation circulaire droite
polarisation circulaire gauche
3
y
1-3) (*)Remarque sur le principe de superposition :
Il est très général en physique quantique :
on peut considérer la superposition (C.L. complexe) de n’importe quelle
configuration classique :
– Superposition de position d’une particule :
Interférences
|ψi = a|x0i + b|x1i
plus généralement :
Z
ψ (x) |xid3x,
|ψi =
a|x 0>
Source
ψ (x) : fonction d’onde
R3
– Superposition de systèmes de particules :
0
+
−
π → a |e i|e i + b (|γi|γi)
4
b|x 1>
– Question majeure : Jusqu’à quelle “échelle macroscopique” le principe de
superposition s’applique t-il ?
Beaucoup d’expériences récentes à ce sujet (molécules, atomes en cavité, anneaux supraconducteurs, RMN,...)
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1-4) Postulat de la mesure quantique :
Si un photon intéragit avec un “objet macroscopique”, alors son état quantique |P i est modifié de façon probabiliste.
Mesure idéale de la polarisation du photon, par un filtre polarisant selon la
direction x :
x
x
z
Photon
Polar. |x>
y
Passe
z
Photon
Polar. |y>
Filtre // x
Absorbé
y
Filtre // x
Donc |xi, |yi est la base d’interaction avec l’objet macroscopique.
6
Pour un état quelqonque |P i ∈ P intéragissant avec le Filtre :
1. On décompose l’état quantique |P i dans la base d’interaction :
|P i = (a|xi)
+
Passage
(b|yi)
Absorbé
2. Le hasard décide si le photon passe ou est absorbé :
ka|xik2
|a|2
Proba(passage)=
2 =
2
2,
k|P ik
|a| + |b|
|b|2
kb|yik2
Proba(absorbé)=
2 =
2
2,
k|P ik
|a| + |b|
7
et après passage, |P i = a|xi
et après passage, |P i = b|yi (absorbé)
2) Expérience
Photons individuels :
x
θ
x
Etat
| θ >=cos( θ) |x> +sin( θ)|y>
z
Photons
si il passe,
2
Passe, Proba= cos ( θ)
Absorbé, Proba=sin2( θ
Filtre angle θ
Filtre // x
8
Haut flux de photons :
x
x
θ
z
Faisceau polarisé // θ
Faisceau non polarisé
Intensité I 1=I 0 /2
Intensité I 0
Filtre angle θ
Faisceau transmis // x
Intensité T=I 1 cos 2( θ)
Filtre // x
0.1
i
0
Montrer les filtres polarisants.
9
π/2
π
2-1) Remarques :
– La théorie quantique est probabiliste :
impossible de prévoir le prochain évènement ;
seulement une prévision statistique pour un grand nombre de préparations initiales identiques.
– La description en terme d’état quantique |P i ∈ P est un “intermédiaire de
calcul” qui n’a pas de “réalité observable”.
– Gisin et al. commercialisent un générateur de nombres aléatoires (carte PC)
basé sur la mesure quantique.
– (*) Autres expériences d’interférences
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2-2) Formalisme des observables quantiques :
On code le résultat :
A = +1 :
si le photon passe (etat |xi)
A = −1 :
si le photon est absorbé (etat |yi)
Alors en moyenne (après plusieurs mesures) :
hAi = (P robapasse) (+1) + (P robaabsorb) (−1)
On introduit l’opérateur autoadjoint  sur P appelé observable, défini par :
Â|xi = (+1) |xi
Â|yi = (−1) |yi
11
Alors si |P i = a|xi + b|yi,
hP |Â|P i
1
=
2 ahx| + bhy| (a (+1) |xi + b (−1) |yi)
hP |P i
k|P ik
ka|xik2
kb|yik2
=
2 (+1) +
2 (−1) = hAi
k|P ik
k|P ik
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3) Non localité de la mécanique quantique :
3-1) Dispositif expérimental :
x
Photon 1
Photon 2
z
y
Dé−excitation d’un
atome de Calcium
Etats de base (o.n.) des deux photons : |x1i|x2i, |x1i|y2i, |y1i|x2i, |y1i|y2i
Principe de superposition : état général de polarisation des deux photons :
|P12i = a|x1i|x2i + b|x1i|y2i + c|y1i|x2i + d|y1i|y2i,
(a, b, c, d) ∈ C
(donc P12 = P1 ⊗ P2)
Après l’emmission, les deux photons sont dans l’état non factorisé (enchevétré)
1
|P12i = √ (|x1i|y2i − |y1i|x2i)
2
13
Remarque : si autre base :
x
θ
x’
|xi = cos θ|x0i − sin θ|y 0i
|yi = sin θ|x0i + cos θ|y 0i
θ
y’
y
Alors
|P12i =
=
=
=
1
√ (|x1i|y2i − |y1i|x2i)
2
1
√ ((cos θ|x01i − sin θ|y10 i) (sin θ|x02i + cos θ|y20 i))
2
− (sin θ|x01i + cos θ|y10 i) (cos θ|x02i − sin θ|y20 i)
1
√ (|x01i|y20 i − |y10 i|x02i) : même écriture
2
i
√ (|G1i|D2i − |D1i|G2i) :
moment angulaire nul
2
14
3-2) Mesure de la polarisation des photons : |P12i =
√1 (|x1 i|y2 i−|y1 i|x2 i)
2
x
|P 12>
z
résultat
A=+1 : passe
A=−1 : absorbé
y
Filtre 1 //x
Filtre 2 //y
résultat
B=−1 : passe
B=+1 : absorbé
pour Filtre 1, puis Filtre 2, le hasard décide entre :
2
– Ax = 1 (état |x1i passe), avec proba PA=1 = k|P1ik2 √12 |x1i|y2i = 12 ,
0
Après : |P12
i = |x1i|y2i, donc on mesure ensuite By = +1.
2
– Ax = −1 (état |y1i absorbé), avec proba PA=−1 = k|P1ik2 √12 |y1i|x2i = 12 ,
0
Après : |P12
i = |y1i|x2i, donc on mesure ensuite By = −1.
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3-3) Remarques :
– Corrélation parfaite : Ax = By = +1 ou Ax = By = −1.
– L’expérience est en parfait accord avec l’expérience (voir photo1, photo2)
– Dans cette description, chaque photon n’a pas décidé (±1) avant la mesure,
– Il y a une action “instantanée” à distance, plus rapide que la vitesse de la
lumière. Mesure de Gisin et al. (Phys.Lett.A 276,(2000)) :
|vcorrelation| > 2.104c
dans le référentiel cosmique
– Contradiction avec la relativité ? Cependant cette action ne plus rapide
que c ne permet pas de transmettre de l’information, car on ne décide pas
si Ax = By = +1 ou Ax = By = −1.
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– Cette description n’est cependant pas conforme avec une description relativiste :
t
rayon lumineux
Mesure
B=+1
Mesure
A=+1
Réduction
Filtre 1
Filtre 2
|x 1>|y 1>
−|y 1>|x 2>
17
z
3-4) Objection de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR, 1935) sur la non localité
Partisans d’une théorie (inconnue) locale de “variables cachées”
c.a.d., que dès le départ, l’état Ax = By = ±1 serait décidé,
R
et hAxi = Axdµproba
t
|x 1>
t
|y2 >
|y 1>
ou
z
|x2 >
z
Débat ouvert par E.P.R :
– Méca. Quantique non locale ou théorie à variable cachée locale ?
– Peut on départager ces deux interprétations par l’expérience ?
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3-5) Bell (1964) a montré que l’on peut trancher le débat :
Dispositif avec orientations arbitraires :
θu
x
u
|P 12>
θv
v
z
y
Filtre 2 //v
Filtre 1 //u
⊥
Etat quantique enchevétré : |P12i = √12 (|x1i|y2i − |y1i|x2i) = √12 |u1i|u⊥
i
−
|u
2
1 i|u2
On mesure le produit AuBv = ±1, après chaque désintégration (fruit du
hasard). (Remarque : AxBy = +1).
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Choix des directions u, v, w.
On déduit la moyenne :
u
∆ (φ) = |hAuBv i − hAuBw i| + |hAv Bv i + hAv Bw i|
D’après l’hypothèse d’une “théorie locale à variables cachées” :
∆locale (φ) ≤ 2 :
inégalité de Bell
D’après la théorie quantique :
∆quant. (φ) = |1 + cos φ| + |cos 2φ − cos φ|
20
φ/2
v
φ/2
w
∆(φ)
2 2
Violation de
l’inégalité de Bell
2
∆ quantique
j
i
0
πφ
21
Verdict de l’expérience :
Alain Aspect (1976,82), et récement Gisin et al. sur 10km.
Parfait accord avec la mécanique quantique,
qui est une théorie non locale, avec “action instantanée” à distance.
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3-6) Preuves des inégalités :
Pour une théorie locale à variables cachées :
En effet : si A = Au, A0 = Av , B = Bv , B 0 = Bw , (et non pas A (u, v)qui est non
local...)
et hOi =
R
Odµ, |A| , |B| < 1
∆loc (A, A0; B, B 0) = |hABi − hAB 0i| + |hA0Bi + hA0B 0i|
= |hA (B − B 0)i| + |hA0 (B + B 0)i|
≤ h|B − B 0| + |B + B 0|i
= h|(B − B 0) + (B + B 0) (±1)|i
≤ 2
on a utilisé :
|a| + |b| = |a + b signe(ab)| ≤ 2,
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a, b ∈ R
Pour la théorie quantique :
1
|P12i = √ (|x1i|y2i − |y1i|x2i)
2
1
⊥
⊥
= √ |u1i|u2 i − |u1 i|u2i
2
On a :
hAuBv i =
1
1 2
1 2
hP12|ÂuB̂v |P12i = (+1) (+1)
sin φ + (+1) (−1)
cos φ
hP12|P12i 2
2
1 2
1 2
cos φ + (−1) (−1)
sin φ = sin2 φ − cos2 φ = − cos (2
+ (−1) (+1)
2
2
donc
∆quant. (φ) = |hAuBv i − hAuBw i| + |hAv Bv i + hAv Bw i|
= |− cos (φ) + cos (2φ)| + |−1 − cos (φ)|
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Plus généralement,
le calcul pour ∆loc.,
en suivant
(pour hP |P i = 1, Â , B̂ ≤ 1) :
∆quant. (A, A0; B, B 0) = |hABi − hAB 0i| + |hA0Bi + hA0B 0i|
0
0
0
= hP |Â B̂ − B̂ |P i + hP |Â B̂ + B̂ |P i
≤ B̂ − B̂ 0 |P i + B̂ + B̂ 0 |P i
s 2 2
≤ 2 B̂ − B̂ 0 |P i + B̂ + B̂ 0 |P i
s 2 2
=
4 B̂|P i + B̂ 0|P i
√
≤ 2 2
On a utilisé :
r 2
2
kak + kbk ≤ 2 kak + kbk
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Conclusion :
– La mécanique quantique malgré ses succés est une théorie qui a des aspects bien surprenants et insaisissables.
– Le paradoxe E.P.R. est mis à profit dans la cryptographie quantique (commercialisée) :
Car la mesure quantique perturbe le système ⇔On peut savoir si le signal (quantique) a été intercepté.
– Actuellement un grand essor de “l’informatique quantique” basée sur la
nonlocalité, quête de l’ordinateur quantique.
Références :
– Bransden & Joachaim, “Introduction to quantum mechanics”, Addison Wesley Longman 1989, p.670
– Stamatescu p.305, dans “Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory”, SpringerVerlag 1996.
– Gisin et al.,”Quantum Cryptography” to appear in Reviews of Modern Physics, e-print : quant-ph/0101098.
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