Académie de Martinique Préparation Agrégation Sciences Physiques B. Pontalier Analyse harmonique et synthèse d'un signal périodique Introduction L'analyse spectrale des signaux temporels est basée sur la transformation mathématique de Fourier qui, à une fonction temporelle f(t) associe une fonction fréquentielle F(ω) appelée spectre du signal f(t); cette transformation admet 2 formulations: transformation directe +∞ F(ω) = F [ f(t)] = ∫ f(t) e- jωt dt −∞ transformation inverse f(t) = F -1 [F(ω)] = +∞ ∫ F(ω) e jωt dω -∞ la transformation de Fourier est entièrement symétrique et réciproque; de ce fait on peut aussi bien la j t -j t définir par e ω pour la transformation directe et e ω pour la transformation inverse. L'analyse de Fourier montre de plus, que pour les signaux périodiques de période T, le spectre F(ω) n'est pas une fonction continue de ω mais un spectre de raies correspondant à des fréquences bien particulières, puisqu'il s'agit de multiples entiers de la pulsation fondamentale ω0 = 2π / T Le théorème de Fourier stipule donc que tout signal périodique de période T = 1 / f est décomposable en série harmonique appelée série de Fourier, de la forme: ∞ f(t) = Ao + ∞ ∑ A n cos nωt + n=1 ∑B n sin nωt n=1 Les 3 formules ci-dessous donnent les valeurs des coefficients A0 , An et Bn de la série ci-dessus: A0 = 1 T 2 An = T θ+ T ∫ f(t) dt θ− T θ +T ∫ f(t) cos nω t dt 0 θ−T 2 Bn = T θ+ T ∫ f(t) sin nω t dt 0 θ− T 1) analyse de signaux périodiques simples enregistrer avec un dispositif d'EXAO (ESAO+Généris, ORPHY+Regressi, etc.) un signal sinusoïdal, triangulaire et rectangulaire délivré par un GBF à l'aide d'un logiciel d'analyse harmonique de Fourier (Regressi Windows par exemple) afficher le spectre de chaque signal; Analyse d'un signal périodique; exemples page 1 Académie de Martinique Préparation Agrégation Sciences Physiques B. Pontalier remarque: on peut faire l'acquisition avec ESAO+Généris et faire l'analyse du spectre avec Regressi; pour celà, dans Généris faire apparaître le tableau de mesure et Copier (Ctrl-C) dans le pressepapier; puis immédiatement dans Regressi faire Fichier Nouveau Presse-Papier; la courbe de mesure apparaît sur l'écran graphique; il suffit d'appuyer sur le bouton Spectre on constate: - sinus: une seule raie de fréquence égale à la fréquence de la sinusoïde 2 - triangle: plusieurs raies décroissantes d'amplitude 1/n (pas de raie pour n pair) - rectangle: plusieurs raies décroissantes d'amplitude 1/n (pas de raie pour n pair) on déduit que: 1) une raie spectrale correspond à une sinusoïde 2) un signal non sinusoïdal est la somme de plusieurs sinusoïde (décomposition d'une fonction périodique en série harmonique) 2) synthèse de signaux périodiques simples à l'aide d'un synthétiseur de Fourier matériel ou logiciel, synthétiser un signal ayant la même composition harmonique que le Rectangle; observer el résultat et expliquer pourquoi le signal obtenu n'est pas une copie conforme 3) analyse et synthése de signaux périodiques complexes - à l'aide du dispositif d'EXAO enregistrer et analyser le spectre de sons divers issus d'un microphone, d'un orgue électronique, etc. - écouter sur haut-parleur la différence de tonalité de deux sons ayant la même note mais des spectres différents; un son métallique est caractérisé par une richesse en harmoniques de rangs élévés, de même qu'un son contenant des sifflements; - reconstituer ces sons sur le synthétiseur de Fourier 4) cryptage du signal (son) par inversion ou translation du spectre nous allons étudier comment réaliser le cryptage d'un signal sonore (ex: Canal +) en réalisant la translation ou l'inversion de son spectre de fréquences. nous utiliseropns pour faire cette expérience 2 multiplieurs analogiques, ou la platine modulateurdémodulateur AM; dans tous les cas, l'entrée (Z) sommatrice du multiplieur devra être mise à zéro afin de ne pas réaliser une modulation d'amplitude. le signal utile (son) est appliqué à l'entrée (X) du premier multiplieur, l'entrée (Y) recevant la "porteuse" de translation de fréquence fT. on disposera d'une source de son (lecteur CD, walkman, récepteur radio muni d'une sortie (jack) pour écouteurs) pour obtenir le signal utile, et d'un amplificateur sonore muni d'un haut-parleur afin d'écouter le résultat simultanément avec l'observation du spectre. Analyse d'un signal périodique; exemples page 2 Académie de Martinique Préparation Agrégation Sciences Physiques B. Pontalier Alimentations Y1 X Y G1 - 15V + 15V X Sortie x Y - 15V + 15V X Sortie ➩ x Y Z G2 ➩ X Masse Z Masse Y2 P C Platine modulateur-démodulateur 1. appliquer à l'entrée (Y) un signal translateur de fréquence nulle (tension continue): - observer le chronogramme et le spectre du signal de sortie du multiplieur et les comparer à ceux du signal d'entrée. 2. appliquer à l'entrée (Y) un signal translateur de fréquence très basse et progressivement croissante: - observer le chronogramme et le spectre du signal de sortie du multiplieur et les comparer à ceux du signal d'entrée. - écouter sur haut-parleur la différence de tonalité de deux sons à l'entrée et à la sortie du multiplieur; 3. appliquer à l'entrée (Y) un signal translateur de fréquence fT = 20 kHz: - observer le chronogramme et le spectre du signal de sortie du multiplieur et les comparer à ceux du signal d'entrée. - écouter sur haut-parleur la différence de tonalité de deux sons à l'entrée et à la sortie du multiplieur; - afin de supprimer la partie supérieure du spectre ( > fT = 20 kHz) nous plaçons à la sortie du multiplieur un filtre passe-bas (circuit RC) de fréquence de coupure fC = 15 kHz - observer le chronogramme et le spectre du signal de sortie du filtre et écouter le résultat sonore - interpréter la notion d'inversion du spectre sonore et sa conséquence acoustique 4. appliquer le signal obtenu à la sortie du filtre RC à l'entrée (X) du second multiplieur: - observer le chronogramme et le spectre du signal de sortie du second multiplieur et les comparer à ceux du signal d'entrée; faut-il placer à cette sortie un filtre, et quelle doit être sa fréquence de coupure ? - écouter sur haut-parleur le son à la sortie du second multiplieur avec et sans filtre; conclure. 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