Effet Tunnel. Applications.

Leçon de Physique n◦
45
Geoffroy Aubry - Moussa Dicko
Effet Tunnel. Applications.
Correction : Loı̈c AUVRAY
Prérequis
Postulats de la Mécanique Quantique, en particulier l’équation de
Schrödinger. Cette leçon est une application directe de cette dernière.
Plan
1 Introduction
1
2 Traversée d’une barrière de potentiel
2.1 Généralisés : barrière quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Transparence d’une barrière rectangulaire . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
3 Applications
3.1 Traversée Classique . . . . . .
3.2 Microscope à effet tunnel . .
3.3 Radioactivité α . . . . . . . .
3.3.1 Position du problème .
3.3.2 Modèle de Gamow . .
4
4
5
5
5
6
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4 Conclusion
7
5 Questions, commentaires et remarques
7
6 Bibliographie
7
1
Introduction
L’effet Tunnel fut prédit dès le début de la mécanique quantique, et mis en
évidence dès le fin des années 30 pour expliquer différents phénomènes (Fowler/Nordheim 1928 pour l’extraction d’électrons d’un métal sous l’effet d’un
champ électrique fort, Gamow 1928 pour la radioactivité α, Frenkel 1930 sur la
resistance de contact entre deux matériaux conducteurs).
2
2.1
Traversée d’une barrière de potentiel
Généralisés : barrière quelconque
Traitons le problème à une dimension suivant. Une onde plane de particules
arrive de la gauche vers la droite et se heurte à la barrière de potentielle. Ces
1
Fig. 1 – Situation physique
2
p
particules ont une énergie purement cinétique E = 2m
< Vmax . Classiquement,
la particule ne peut pas passer dans la zone III et doit repartir dans l’autre sens.
Décrivons le problème à l’aide du formalisme quantique. Écrivons l’équation
de Schrödinger pour nos particules :
−i~
∂Ψ
b
(x,t) = HΨ(x,t)
∂t
(1)
b = pb2 + V (x)
avec ici H
2m
−itE
Pour un système isolé indépendant du temps, on peut écrire Ψ(x,t) = e ~ ϕ(x),
et l’équation devient :
b
Hϕ(x)
= Eϕ(x)
Soit en utilisant le fait que pb2 ↔
(2)
∂
−i~ ∂x
,
∂2ϕ
2m
(x) + 2 (E − V (x))ϕ(x) = 0
2
∂x
~
Régions I et III : V = 0 donc E − V > 0
(3)
L’équation peut donc s’écrire :
∂2ϕ
(x) + κ2 ϕ(x) = 0
∂x2
(4)
√
avec κ = 2mE
~
Les solutions générales de l’équation s’écrivent :
ϕI (x)
ϕIII (x)
= Aeiκx + Be−iκx
0 iκx
= Ae
0 −iκx
+B e
(5a)
(5b)
La situation physique étudiée nous impose qu’il n’y ait pas de particules
venant de la droite dans la région III. Donc B 0 = 0.
Remarque : ϕI (x) et ϕIII ne sont pas normalisables car
représentent des ondes planes qui sont non physiques car associées à une énergie infinie.
2
ΨI (x,t)
ΨIII (x,t)
=
−itE
Aeiκx + Be−iκx e ~
0 iκx
= Ae
e
−itE
~
(6a)
(6b)
Le nombre de particules qui passe par unité de temps au point d’abscisse
p
x est donné par le courant de probabilité j = m
|Ψ|2 , donc est proportionnel à
2
|Ψ| .
Une particule arrivant de la source a 2 devenirs possibles :
– soit elle est réflechie sur la barrière et repart vers −∞. On définit alors un
coefficient de reflexion :
2
B nombre de particules réfléchies par unité de temps
(7)
= R=
nombre de particules incidentes par unité de temps A – soit elle est passe à travers la barrière. On définit alors un coefficient de
transmition :
2
nombre de particules transmises par unité de temps A0 T =
= (8)
nombre de particules incidentes par unité de temps
A
Avec R + T = 1. Dans pas mal de situations physiques, T << 1, mais nous
nous intéresserons ici justement aux cas où T 6= 0 et où une particule peut
passer une barrière de potentiel même avec une énergie cinétique inférieure au
pic de potentiel (situation impossible classiquement).
2.2
Transparence d’une barrière rectangulaire
Intéressons nous maintenant à un cas que l’on peut résoudre analytiquement.
Les calculs ont déjà été été effectués dans les régions I et III.
Régions II : V − E > 0
∂2ϕ
(x) − α2 ϕ(x) = 0
∂x2
√
avec α =
2m(V −E)
~
(9)
Les solutions générales de l’équation s’écrivent :
ϕIII (x) = A00 eαx + B 00 eαx
(10)
Raccordement L’équation de Schrödinger nous impose que la solution soit
continue. On peut le voir de deux manières différentes. Soit analytiquement, et
pour ceci voir l’explication du Dalibard, soit comme ceci : la fonction d’onde et
sa dérivée représentent (ou plutôt leur module au carré) une quantité physique
(respectivement le nombre de particules par unité de volume et le nombre de
particules qui passent à l’endroit considéré). Vu que notre potentiel n’est pas
trop bizarre (il a seulement des discontinuités finies), ceci nous impose que ϕ et
ϕ0 soient continus en tout points de l’espace, et en particulier en 0 et en a, ce
qui nous donne les différentes relations :
3
– Continuité de ϕ :
A + B = A00 + B 00
x=0
x=a
0 iκa
Ae
00 αa
=A e
(11a)
00 −αa
+B e
(11b)
– Continuité de ϕ0 :
x=0
iκ(A − B) = α(A00 − B 00 )
(12a)
x=a
iκA0 eiκa = α (A00 eαa − B 00 e−αa )
(12b)
Soit un système avec 5 inconnues et 4 équations. Mais comme nous cherchons
le rapport de deux des inconues, nous pouvons écrire l’une en fonction de l’autre.
On cherche donc à résoudre de système :
 



A
0
1 1
−1
−1
 0 0
  B   A0 eiκa 
eαa
e−αa


  00  = 

 iκ −iκ −α
 A   0
α
B 00
iκA0 eiκa
0 0
αeαa −αe−αa
qui nous donne après résolution :
2
2
A
= 1 + 1 sh2 (αa) α + κ
A0 4
κ α
(13)
Soit finalement :
V02
1
=1+
sh2
T
4E(V0 − E)
!
p
2m(V0 − E)
a
~
(14)
Remarque : Généralement, dans la plupart des cas qui nous
intéressent lorsqu’on étudie l’effet tunnel, l’argument dans le
sh est suffisament suppérieur à 1 pour qu’on puisse dire sh ∼
exp/2. C’est l’approximation qui est faite dans beaucoup d’ouvrages.
3
3.1
Applications
Traversée Classique
Données :
– m = 50 g
– E = mgz0 , avec z0 = 5 cm
– V0 = mgh, avec h = 10 cm
– a = 1cm
30
Application numérique : T1 = 1 + sh2 (4,7.1030 ), soit T ∼ 10−4.10 . Si on
cherchait à écrire tous les 0 de ce nombre avec des chiffres de 2 mm, il faudrait
8.1027 m, soit 800 milliards d’années lumières (la taille de l’univers connu est
de 15 milliards d’années lumières).
4
3.2
Microscope à effet tunnel
En approchant une pointe conductrice taillé très finement (quelques atomes
seulement) à proximité (d ∼ 5 Å) d’une surface conductrice, et en imposant une
différence de potentiel de quelques mV , on mesure un courant de quelques nA.
Le nombre d’électrons qui passent à travers la barrière de potentiel (ici : c’est
le vide entre les deux électrodes conductrices) diminue de manière exponentielle
avec la largeur de la barrière. En analysant le signal d’erreur d’un asservissement
sur le courant passant dans le circuit, on peut avoir accés à une cartographie
très précise de la surface mesurée (résolution de l’ordre de 0,1 Å en vertical, et
de l’ordre de 5 Å en horizontal1 .
3.3
3.3.1
Radioactivité α
Position du problème
Pour des noyaux ayant un nombre de nucléons devenant trop important,
la répulsion coulombienne entre protons prend des valeurs significatives par
rapport à l’interaction forte qui assure la cohésion du noyau. On assiste au
phénomène de saturation, qui donne lieu à la désintégration α qui est un cas
particulier d’une fission spontannée.
Par exemple :
226
88 Ra
4
→224
86 Rn +2 α
La particule α est émise avec une énergie de 4,78 M eV .
Si on schématise le potentiel auquel est soumis la particule en fonction de sa
distance au noyau, on voit une barrière de potentiel très grande devant l’énergie
avec laquelle la particule sort du noyau. Gamow a proposé une explication à ce
phénomène en 1928. Il suppose que la particule α pré-existe dans le noyau et
cogne sur les parois. Elle a une probabilité non nulle de franchir la barrière de
potentiel par effet tunnel.
Fig. 2 – Radioactivité alpha
1 La limite de résolution horizontale est due à la taille de la pointe qui sonde la surface.
On choisit une pointe très dure pour éviter que les atomes déplacent tout seuls à la surface
de celle ci afin de former une pointe sphérique (phénomène de tension superficielle à l’échelle
microscopique).
5
3.3.2
Modèle de Gamow
Si le noyau est suffisament gros, l’énergie de la particule α est positive (l’interation forte n’agit qu’entre plus proches voisins, mais l’interaction coulombienne
a des effets cumulatifs).
Dans la première partie de l’exposé, nous avons calculé le coefficient de transmition pour une barrière carré. Nous allons ici utiliser l’approximation due à
Wentzel, Kramers et Brillouin (WKB) afin de calculer ce coefficent T.
Dans la zone II, nous allons supposer que la fonction d’onde radiale s’écrit :
ϕ(r) = Ce−γ(r) + Deγ(r)
(15)
avec γ une fonction réelle positive (donc D = 0, car on cherche une solution
qui s’atténue quand on s’enfonce dans la barrière de potentiel) et que γ(r) varie
suffisament lentement pour que :
∂ 2 ϕ(r)
=
∂r2
∂γ
∂r
2
ϕ
(16)
L’équation de Schrödinger indépendante du temps devient donc :
∂γ
∂r
2
2m
+ 2
~
2(Z − 2)q 2
−E ϕ=0
r
(17)
Soit :
∂γ
=
∂r
s
2m
~2
2(Z − 2)q 2
−E
r
(18)
2
Posons r1 = 2(Z−2)q
, sachant que γ(R) = 0 (la particule n’est pas encore
E
rentré dans la barrière de potentielle),
p
Z r
4m(Z − 2)q 2 r 1
1
− dr
(19)
γ(r) =
~
r
r
1
R
Donc :
ϕ(r1 ) 2 −γ(r ) 2
1
= e
T = ϕ(R) (20)
On doit donc calculer γ(r1 )2 . On trouve après calculs :
π
γ(r1 ) = q 2 (Z − 2)
~
2 On
r
2m 4 p 2
−
mq (Z − 2)R
Eα
~
utilise un changement de variable en cos2 (u) =
6
r
r1
(21)
Données : 226
88 Ra
– Eα = 4,78 M eV
– Z = 88
– mα = 4 × 940 M eV /c2
– R = a0 A1/3 = 7,3.10−15 m3
– ~ = 1,05.10−28 J.s
– q 2 = 2,3.10−28 (SI)
Application Numérique :
γ(r1 ) = 40,8, donc T = e−81,6
T nous donne la probabilité que la particule α sorte du noyau une fois qu’elle
a frappé la paroi de celui-ci. Notons
q τ0 la durée moyenne entre deux chocs
successifs. On a τ0 =
2R
v ,
avec v =
2E
m,
donc τ0 = 9,73.10−22 s.
Durée entre deux désintégration : τ =
τ0
T
τ = 8,4.106 années.
Conclusion : On remarque, grace à un transparent montrant la période des
différents émetteurs alpha en fonction de l’énergie de la particule émise la
bonne concordance des résultats. On peut souligner l’incroyable performance
du modèle qui, malgré sa simplicité, reste vérifié sur environ 30 ordres de grandeurs ! ! !
4
Conclusion
On aurait pu aussi parler de l’effet Josephson (voir le Feynman).
5
Questions, commentaires et remarques
Dans beaucoup de livres, la radioactivité α est traité dans l’approximation
logaritmique (en particulier dans le Berkeley). C’est plus simple, plus physique
et on arrive exactement au même résultat.
L’approximation WKB nous fait passer de l’optique ondulatoire à l’optique
géométrique.
La formule de la transmition dans une barrière carrée doit nous faire penser
à la formule du Fabry-Perrot dans le plan complexe.
6
Bibliographie
– Les phénomènes quantiques, Elie BELORINZKY, Nathan Université
Pour la barrière carrée, et une partie de la radioactivité α
3 avec
le modèle de la goutte liquide pour le noyau (a0 = 1,2.10−15 m
7
– Mécanique Quantique, DALIBARD et BASDEVANT, Éditions de l’X
Pour une vision générale, et pour les explications sur l’effet tunnel
– La Recherche octobre 86
pour quelques détails techniques sur le microscope à effet tunnel
– Berkeley - 4. Physique Quantique, Eyvind H. WINCHMANN, Dunod
pour la radioactivité α
8