ESSABER Rim

UNIVERSITÉ MOHAMMED V
FACULTÉ DES SCIENCES
Rabat
N° d’ordre: 2856
THÈSE DE DOCTORAT
Présentée par :
ESSABER Rim
Discipline : Physique
Spécialité : Physique mathématique
Evolution des corrélations quantiques et processus de
décohérence en théorie quantique de l’information
Soutenue le 16 Avril 2016
Devant le jury :
Président :
Ahmed KASSOU-OU-ALI
Examinateurs :
Malika AIT BEN HADDOU
Bouzid MANAUT
Mohamed DAOUD
El Hassan SAIDI
Invités :
Rachid AHL LAAMARA
Mohamed El FALAKI
PES, Faculté des Sciences de Rabat.
PES, Faculté des Sciences de Meknès.
PH, Faculté Polydisciplinaire, Beni Mellal.
PES, Faculté des Sciences Ain Chock Casablanca.
PES, Faculté des Sciences de Rabat.
PA, CRMEF, Meknès.
PA, Faculté des Sciences d'El Jadida.
Faculté des sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat-Maroc
Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61, http :/www.fsr.ac.ma
Dédicace
A ceux qui ont toujours dévoué et sacrifié pour moi : ceux qui m’ont aidé du
mieux qu’ils pouvaient pour réussir : ceux qui m’ont accompagné
tout au long de ce parcours : ce qui ont toujours été
là dans mes moments de détresse,
A mes très chers parents,
A mon mari
A mon cher frère et ma chère sœur
A mes respectueux professeurs
A mes très cher(e)s ami(e)s
A tous ma famille sans aucune exception
Et à tous ceux que ma réussite leur tient à cœur.
ESSABER Rim
Remerciements
Les travaux présentés dans cette thèse ont été réalisés au sein du Lab/UFR de Physique
des Hautes Energies Modélisation et Simulation de la Faculté des Sciences de Rabat, sous
les directions de Monsieur El Hassan SAIDI, Professeur de l’enseignement supérieur à la
Faculté des Sciences de Rabat et Monsieur Mohamed DAOUD, Professeur de l’enseignement
supérieur à la Faculté des Sciences Ain Chock Casablanca, en collaboration avec Monsieur
Rachid AHL LAAMARA, Professeur Assistant à la CRMEF à Meknés.
Je remercie tout d’abord mon directeur de thèse, Monsieur le Professeur El Hassan SAIDI,
Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des Sciences de Rabat de m’avoir accepté
au sein de son laboratoire, ainsi d’avoir d’être parmi le jury.
Je remercie également mon encadrant Monsieur Mohamed DAOUD, Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des Sciences Ain Chock Casablanca, pour son encadrement
scientifique et pour la confiance qu’il m’a accordée depuis mes premiers pas dans l’équipe du
Lab/UFR de Physique des Hautes Energies Modélisation et Simulation à Rabat jusqu’à la rédaction de ce manuscrit. Il a su me laisser l’autonomie dont j’avais besoin, tout en étant présent
dans les moments de doute. Toujours encourageant, jamais défaitiste, il a eu le don de trouver
les mots qu’il fallait lorsque je m’interrogeais sur la pertinence de mon travail.
Je tiens à remercier mon co-encadrant Monsieur Rachid AHL LAAMARA, Professeur
Assistant à la CRMEF à Meknés, pour m’avoir aidé durant cette thèse et le remercier sincèrement pour sa disponibilité et pour m’avoir fait bénéficier de ses compétences. Et d’avoir partagé
avec moi ces connaissances informatiques.
Je remercie vivement Monsieur Ahmed KASSOU-OU-ALI, Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des Sciences de Rabat, pour l’honneur qu’il m’a fait de présider
Remerciements
mon jury de thèse.
Je tiens également à remercier Madame Malika AIT BEN HADDOU, Professeur de
l’enseignement supérieur à la Faculté des Sciences de Meknès, pour l’intérêt qu’elle a porté à
mon travail, ainsi d’avoir d’être parmi le jury.
Je voudrais remercier le rapporteur de cette thèse Monsieur Bouzid MANAUT, Professeur Habilité à la Faculté Polydisciplinaire de Beni Mellal, pour avoir accepté de faire partie
de mon jury de thèse et apporter des précisions en vue d’améliorer la qualité de ce document.
Je tiens aussi à remercier Monsieur Mohamed El FALAKI, Professeur Assistant à la
Faculté des Sciences d’El Jadida, qui a bien voulu faire partie du jury et d’apporter ses vives
contributions à l’enrichissement de ce travail.
Mes remerciements s’adressent également à toutes les autres personnes avec lesquelles j’ai eu
le plaisir de collaborer au cours de cette thèse. En particulier, je voudrais remercier H.ELHADFI,
S.SEDDIK et W.KAYDI. Finalement, un grand Merci chaleureux et de tout mon coeur à
mes parents H.ESSABER et R.MAANINOU, sans qui je ne serais absolument pas où j’en
suis aujourd’hui. Je les remercie sincèrement pour leur soutien inconditionnel et constant, pour
m’avoir donné du courage et de l’espoir, pour être toujours présents même à distance. Je leur
dois ce que je suis. Aussi un Merci de tout mon coeur à mon mari A.OTMANI mon cher
frère Hatim et ma chère soeur Nihal et mes ami(e)s pour m’avoir donné l’occasion d’avoir
mes véritables amis dans ma vie, pour leur gentillesses et leur encouragement à continuer mes
études. Je vous remercie de tout mon coeur. Enfin, je remercie toutes les personnes, qui de loin
ou de près ont contribué à l’aboutissement de cette étude.
A vous tous, du fond du cœur : Merci
Résumé
Dans le domaine de la physique de l’information quantique, les corrélations quantiques
constituent un outil essentiel pour améliorer certains processus de traitement de l’information
par rapport à leurs analogues classiques. Dans ce sens, la quantification, la caractérisation et
l’identification des mesures adéquates de ces corrélations revêt une importance capitale. D’un
autre coté, l’information codée dans un système quantique peut être facilement détruite au vue
de l’intrication du système avec son environnement et qui induit la décohérence du système
quantique.
Dans cette thèse intitulée "Evolution des corrélations quantiques et processus de décohérence en théorie quantique de l’information", nous étudions les mesures bipartites des corrélations quantiques dans des systèmes multipartites. Ces mesures sont faites par le biais de la
concurrence, l’entropie de formation, la discorde quantique et sa variante géométrique basée sur
le concept de la distance de Hilbert-Schmidt. Afin de tenir compte des effets du couplage des
états cohérents avec l’environnement, nous avons développé un modèle simple où les effets de
décohérence sont modélisés par un diviseur de faisceau. La distribution des corrélations quantiques entre le système bipartite et l’environnement est étudié en détail. En effet, nous avons
établit les conditions de violation de la relation de la monogamie de l’entropie de formation, la
discorde quantique et la discorde géométrique. Un autre aspect de ce travail concerne la distribution des corrélations quantiques dans un état tripartite constituée par des systèmes préparés
dans des états non-orthogonaux. Une relation de conservation entre les entropies de formation
et les discordes quantiques bipartites est obtenue. De plus une étude détaillée de la relation de
monogamie est présentée.
Mots clés :
Discorde quantique - Intrication quantique - Etats cohérents - Séparabilité - Systèmes quantiques ouverts - Equation d’évolution - Opérateurs de Krauss - Canaux quantiques Décohérence - Monogamie.
Abstract
In the field of physics of quantum information, quantum correlations are an essential tool
to improve some of the information processing compared to their conventional analogues. In
this sense, quantification, characterization and identification of appropriate measures of these
correlations is crucial. On the other hand, the information encoded in a quantum system can
be easily destroyed in view entanglement of the system with its environment and induces
decoherence of the quantum system.
In this thesis entitled "Evolution of quantum correlations and process of decoherence in
quantum information theory", we study the bipartite measurements of quantum correlations
in multi-party systems. These measurements are made through competition, the entropy of
formation, quantum discord and geometric variant based on the concept of distance HilbertSchmidt. To consider the effects of the coupling of coherent states with the environment, we
have developed a simple model where the effects of decoherence are modeled by a beam splitter.
The distribution of quantum correlations between the two-party system and the environment
is studied in detail. Indeed, we have established the conditions for a breach of the relationship
of monogamy entropy of formation, quantum discord and geometric discord. Another aspect of
this work concerns the distribution of quantum correlations in a tripartite state consists of systems prepared in states nonorthogonal. A conservation relationship between entropy training
and quantum discord bipartite is obtained. More detailed study of monogamy relationship is
presented.
Keywords :
Quantum discord - Quantum entanglement - Coherent states - Separability - Open quantum
systems - Master equation - Kraus operators - Quantum channels Decoherence - Monogamy.
Table des matières
Table des figures
v
Introduction générale
1
I
1
Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
Vers une technologie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
Structure de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Principes de la théorie classique et quantique de l’information
7
1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2
Théorie classique de l’information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1
Définition de l’entropie de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Entropie conjointe, conditionnelle et information mutuelle . . . . . . . . 10
3
4
Théorie quantique de l’information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1
Définition de l’entropie de von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2
Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3
Mesures quantiques et OMVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4
Qubit et sphère de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5
Opérateur et matrice densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II Les mesures des corrélations quantiques
19
1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2
Intrication quantique pour les systèmes à variables continues . . . . . . . . . . . 20
Table des matières
3
Quantification et caractérisation de l’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4
Décomposition de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5
Les mesures des corrélations quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6
7
5.1
La négativité logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2
La concurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3
La discorde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.4
La mesure géométrique de la discorde quantique . . . . . . . . . . . . . . 28
Schéma unificateur pour les corrélations des états mixtes de systèmes bipartites
32
6.1
Quantificateurs des corrélations basés sur l’entropie relative . . . . . . . . 32
6.2
Quantificateurs géométriques des corrélations . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3
Etat X à deux qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.3.1
Etat produit le plus proche d’un état X . . . . . . . . . . . . . 34
6.3.2
L’état classique le plus proche et son état produit le plus proche 35
6.3.3
Quantificateurs des corrélations géométriques . . . . . . . . . . 37
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III Modèles de décohérence et canaux quantiques
39
1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2
Dynamique des systèmes ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3
4
2.1
L’équation de Schrödinger (ou von Neumann) . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2
Equation d’évolution avec l’approximation de Born-Markov . . . . . . . . 41
2.3
Equation d’évolution avec l’approximation de l’onde tournante . . . . . . 44
2.4
Représentation de la dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Les opérateurs de Kraus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1
Opérateurs d’évolutions des systèmes dynamiques : approche qualitative
46
3.2
Correspondance entre les opérateurs Lindblad et les opérateurs de Kraus
46
3.3
Les canaux quantiques et opérateur de Kraus . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1
Le canal de dépolarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.2
Le canal d’amortissement de la phase . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.3
Le canal d’amortissement de l’amplitude . . . . . . . . . . . . . 49
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
IV La monogamie des corrélations quantiques dans les systèmes multipartites
51
1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2
Intrication dans un réseau et le concept de la monogamie d’intrication . . . . . . 52
Table des matières
3
4
5
Mesures d’intrication bipartite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1
Intrication des états purs bipartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2
Intrication des états mixtes bipartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Monogamie de l’intrication dans les systèmes à trois qubit . . . . . . . . . . . . 59
4.1
La monogamie de l’intrication des états W et états GHZ . . . . . . . . . 59
4.2
La monogamie de l’intrication pour des états mixtes de trois qubits et plus 62
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
V La dynamique des corrélations quantiques des états chat de Bell
65
1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2
Etats de type Bell en termes des états de Glauber . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3
Mécanisme de perte de photon pour un état chat de Bell . . . . . . . . . . . . . 67
4
Intrication de formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5
6
7
4.1
Concurrence et intrication de formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2
La monogamie de la concurrence et l’intrication de formation . . . . . . . 73
Discorde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1
la discorde quantique et la relation de Koashi-Winter . . . . . . . . . . . 77
5.2
Calcul analytique de la discorde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3
La monogamie de la discorde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Mesure géométrique de la discorde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.1
L’expression de la mesure géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2
La monogamie de la discorde géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
VI Corrélations quantiques globales dans des états tripartites non orthogonaux
et les propriétés de la monogamie
87
1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2
Etats tripartites non orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3
4
2.1
Bipartitions purs d’un état tripartite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.2
Bipartitions mixtes d’un état tripartite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
La discorde quantique et l’intrication de formation dans des états tripartite non
orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1
Mesures bipartites de l’intrication de formation et de la discorde quantique 92
3.2
La discorde quantique dans des états tripartites purs non orthogonaux . 94
La discorde quantique géométrique dans un état tripartite . . . . . . . . . . . . 96
Table des matières
4.1
4.2
5
6
Mesure géométrique de la discorde quantique pour les états bipartites pures 96
Mesure géométrique de la discorde quantique pour les états bipartites
mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Illustration : Les états chat de Schrödinger à trois modes . . . . . . . . . . . . . 98
5.1
Corrélations quantiques globales et la relation de monogamie . . . . . . . 100
5.1.1
La concurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.2
L’intrication de formation et la discorde quantique . . . . . . . 101
5.1.3
La discorde quantique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Conclusion générale
107
Bibliographie
111
Table des figures
I.1
Le système général de la communication de Shannon. . . . . . . . . . . . . . . .
8
I.2
L’entropie H(p) en fonction de la probabilité p . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
I.3
L’information mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.4
La sphère de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.1 Schéma unificateur des corrélations (totale, quantique et classique). . . . . . . . 33
III.1 Le modèle du système combiné S + E. Le système principal(ouvert) interagit
avec l’environnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
IV.1 Etat singulet de deux qubit et la monogamie du système de 3 qubits : si les
sous systèmes A et B sont dans l’état singulet, il ne peut y avoir de partage
d’intrication entre A et C, ni entre B et C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
IV.2 Caractérisation de l’intrication bipartite partagée dans les systèmes à trois qubits : l’inégalité Coffman, Kundu et Wootters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
V.1 Schéma d’un diviseur de faisceau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
V.2 Variation τA,B,E en fonction du paramètre de recouvrement p et le coefficient t2
pour m = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
V.3 Variation τA,B,E en fonction du paramètre de recouvrement p et le coefficient t2
pour m = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
V.4 E = EA,B,E en fonction du p et t2 pour m = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
V.5 E = EA,B,E en fonction du p pour les petites valeurs de t2 lorsque m = 0. . . . . 76
Table des figures
V.6 E = EA,B,E en fonction du p et t2 pour m = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.7 D = DA,B,E en fonction du paramètre de recouvrement p et le coefficient de
réflexion r2 pour m = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.8 D = DA,B,E en fonction du paramètre de recouvrement p pour t2 = 12 et m = 0.
V.9 D = DA,B,E en fonction du paramètre de recouvrement p et le coefficient de
réflexion r2 pour m = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.10 D = DA,B,E en fonction du paramètre de recouvrement p pour t2 = 12 et m = 1.
V.11 Dg = Dg (A, B, E) en fonction du paramètre de recouvrement p pour t2 = 12 et
m = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.1 E = Ei|jk en fonction du paramétre de recouvrement p pour m = 0 et m = 1.
VI.2 Corrélations quantiques tripartites en fonction du paramétre de recouvrement
pour m = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.3 Corrélations quantiques tripartites en fonction du paramétre de recouvrement
pour m = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
80
81
81
82
85
. . 102
p
. . 104
p
. . 105
Introduction générale
"I think it is safe to say that no one understands quantum mechanics."
Richard Feynman
1
Historique
La mécanique quantique est une branche de la physique élaborée par les physiciens de
la première moitié du XX e siècle pour rendre compte des phénomènes mis en évidence par
l’expérimentation à l’échelle des systèmes infiniment petit (atomes, électrons ou photons). Elle
a radicalement changé notre compréhension du monde microscopique de la matière [1, 2]. Au
niveau microscopique, les lois qui régissent les interactions physiques sont très différentes de ce
qu’on observe à notre échelle. Richard Feynman [3–5] a été le premier à avoir l’intuition qu’on
peut utiliser les phénomènes quantiques pour améliorer les capacités de calcul des ordinateurs
dit "classiques". Deux concepts principaux sont à la base de la formulation de la mécanique
quantique, celle de "observables" et celui de "l’état".
L’ensemble des états d’un système physique isolé est en correspondance avec l’espace projectif d’un espace de Hilbert H. En particulier, un état physique quelconque peut être représenté
par un vecteur normalisé |ψi ∈ H. De plus, toute propriété physique d’un système qui peut
être mesurée est une observable et toutes les observables sont représentés par des opérateurs
linéaires (hermitiques) agissant sur l’espace des états H. Chaque valeur propre d’une observable
correspond à une valeur physique possible de cet observable.
1
Introduction générale
En 1935, le paradoxe Einstein, Podolsky et Rosen [6] a été avancé comme un argument
selon lequel la mécanique quantique ne pouvait pas être une théorie complète, mais devrait être
complétée, en postulant l’existence de variables dites cachées. Ces variables supplémentaires
devraient reconstituer la causalité de la théorie et la localité [7]. De ce fait, Schrödinger a affirmé
qu’au lieu de renoncer à la théorie de la mécanique quantique, il faut abandonner l’hypothèse de
la localité [8]. Deux particules peuvent effectivement s’influencer non localement parce que leur
état combiné est décrit par une seule fonction d’onde. Dans son expérience de pensée "chat de
Schrödinger" (ou superpositions de deux états morts ou vivants), ces superpositions conduisent
à des résultats particulièrement dérangeants lorsqu’on les transpose à l’échelle classique : un
chat pourrait, par exemple, être mort et vivant en même temps [8].
Près de 30 ans plus tard, en 1964, John Bell propose ses fameuses inégalités [9], qui se sont
révélées être le moyen de régler cette discussion une fois pour toute, et faire place à un immense
champ de recherche nouveau. Il s’est ensuivi de nombreuses applications contre-intuitives de la
non localité quantique et souvent technologiquement très prometteuses, en particulier dans le
champ de l’information quantique.
2
Vers une technologie quantique
L’information quantique est un domaine de recherche assez jeune, qui utilise les principes
de la physique quantique avec celles de la théorie de l’information. Sans aucun doute, il pourra
conduire à des applications pour les communications quantiques et le calcul quantique en exploitant des propriétés quantiques comme le principe de superposition et l’intrication.
L’intrication quantique est une ressource physique associée avec les corrélations non classiques qui sont possibles entre les systèmes quantiques séparés. C’est une propriété fondamentale
des systèmes quantiques et aussi une ressource physique de base pour l’informatique quantique
[10], la cryptographie quantique [11, 12], la téléportation [13], le codage [14], et le calcul quantique [15]. D’autre part, il constitue également un ingrédient clé pour une variété de phénomènes
observés en physique, par exemple la supraconductivité [16], transitions de phase quantiques
[17, 18], ou l’effet Hall quantique fractionnaire [19]. L’intrication quantique peut être partagée
entre deux ou plusieurs particules, atomes, et les photons, etc., même si elles sont éloignées et
n’interagissent pas les unes avec les autres. Dans un système multi-partite, il est indispensable
de se doter de mesures et critères pour distinguer les états quantiques intriqués et non intriqués.
Par conséquent, la quantification et la caractérisation de l’intrication est nécessaire pour comprendre et développer la théorie des mesures des corrélations quantiques. Plusieurs mesures de
2
Introduction générale
corrélations quantiques ont été proposées pour les systèmes à deux particules, et étendues ensuite au cas multi-partite [20]. L’intrication dans le cas bipartite est relativement bien comprise
tandis que dans le cas multipartite l’évolution des corrélations requiert des calculs compliqués.
Pour les systèmes bipartites, les problèmes liés à l’intrication ont été résolus à l’aide de la
décomposition de Schmidt [21, 22]. Par conséquent sa généralisation aux états multipartite peut
résoudre des problèmes difficiles liés à l’intrication multipartite. Le système à trois qubits peut
être intriqué de deux façons inéquivalentes : l’état Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) [23] et
l’état W [24].
Cependant, tous les systèmes quantiques interagissent inévitablement avec leurs environnements. Ces interactions provoquent la disparition rapide des états superposés. Cette disparition
a été reconnue comme la décohérence. La décohérence est un phénomène quantique résultant du
couplage d’un système quantique avec l’environnement. Ce sont ces interactions qui provoquent
la disparition rapide du phénomène de la superposition et par conséquent des corrélations de
nature purement quantique. Cependant, dans la plupart des cas, on ne s’intéresse pas à la
dynamique globale du système mais à l’évolution du système quantique en tenant compte l’influence de l’environnement. Depuis les débuts de la mécanique quantique, la compréhension de
la transition quantique-classique restait une question ouverte. C’est dans les années 1980 que
W.H.Zurek [25] y apportera un élément de réponse concret. En effet, il a proposé un mécanisme simple permettant de comprendre pourquoi les propriétés quantiques ne se manifestent
pas généralement à notre échelle : l’interaction avec un environnement. A partir d’un article
de J.P.Paz et W.H Zurek [26], l’idée du modèle de la décohérence a été émise : pour chaque
expérience il faut distinguer trois sous-systèmes, que sont : l’objet, l’appareil de mesure et l’environnement. En raison du fait que n’importe quel système réaliste est soumis à un couplage
avec un environnement incontrôlable qui influence l’évolution dans le temps du système. Par
conséquent, la théorie des systèmes quantiques ouverts joue un rôle important dans tous les
domaines de la mécanique quantique, où il n’est pas possible d’isoler les systèmes ou contrôler
les degrés de libertés de l’environnement. Une autre raison plus fondamentale pour l’étude des
systèmes quantiques ouverts, est que le processus de mesure pourrait être interprété comme
une sorte de dynamique des systèmes ouverts.
La dynamique d’un système quantique ouvert est décrite en termes de l’opérateur de densité réduite, qui est obtenu à partir de l’opérateur de densité de l’ensemble du système en
effectuant une trace sur les degrés de liberté de l’environnement. Afin d’éliminer les degrés de
liberté de l’environnement diverses approximations sont nécessaires et qui conduisent à une
équation compacte pour décrire la dynamique de la matrice densité du système ouvert. Dans
un système multipartite, l’intrication peut être transférée d’une partie à une autre à travers un
3
Introduction générale
canal quantique [27]. Dans ce sens on dit que l’intrication est une ressource qui se partage entre
les différentes parties. Alternativement une partie peut consommer l’intrication avec d’autres
parties du système global. La distribution des corrélations quantiques au sein d’un système
multipartite suit des restrictions assez sévères contrairement à la distribution des corrélations
classiques. Ces restrictions ont conduit au concept de monogamie des corrélations quantiques.
La monogamie de l’intrication a d’abord été proposée par Coffman, Kundu et Wootters [28]
pour un système de trois qubits. C’est une caractéristique essentielle qui permet la sécurité
dans la distribution de clés quantiques (cryptographie quantique) [29]. Dans la littérature, le
concept de monogamie pour une mesure d’intrication E se traduit par l’inégalité suivante
EA/BC ≥ EA/B + EA/C ,
(1)
où A, B et C désignent les parties d’un système tripartite. Cette inégalité n’est pas satisfaite
par la plupart des mesures des corrélations quantiques à l’exception de la concurrence [30].
3
Structure de la thèse
Ce travail de thèse porte sur l’étude de l’évolution des corrélations quantiques présentes
dans quelques systèmes en contact avec l’environnement. En d’autre terme, il s’agit de comprendre les effets induisant la décohérence dans ces systèmes quantiques. Nous envisageons
de quantifier les mesures des corrélations pour quelques classes de superpositions particulières
d’états cohérents. En particulier, nous dérivons les mesures de l’entropie d’intrication, la discorde quantique et sa variante géométrique. Ensuite, l’étude de l’évolution des corrélations
quantiques dans des systèmes quantiques préparés dans des états cohérents pour mettre en
relief l’effet de l’environnement. Il s’agit de modéliser l’interaction avec l’environnement pour
comprendre les phénomènes de décohérence.
Le plan de ce manuscrit est développé en six chapitres organisés comme suit :
Dans le premier chapitre, nous allons rappeler les notions de base de la théorie classique
de l’information. Nous allons revenir sur les fondements de cette théorie en se basant sur les
travaux de Claude Shannon. Ensuite, nous nous intéressons à décrire les assises de base de la
théorie quantique de l’information. La première partie sera consacrée à expliquer le concept de
l’entropie de Shannon en utilisant l’exemple d’un schéma général d’un système de communication quantique, qui consiste à transmettre de l’information entre un émetteur vers un récepteur.
Puis on définira l’entropie conjointe, conditionnelle et l’information mutuelle. Dans la deuxième
partie, nous introduisons les notions essentielles à la compréhension de l’information quantique
4
Introduction générale
en présentant les outils mathématiques de base utilisés dans la description des états quantiques,
les mesures quantiques, le formalisme de l’opérateur densité. Ensuite, on aborde l’essentiel de
la théorie : l’entropie de von Neumann et ses propriétés.
Le deuxième chapitre, nous discutons l’intrication quantique pour les systèmes à variables continues, et comment quantifier et caractériser cette quantité. Ensuite, nous introduisons quelques mesures des corrélations quantiques pour les systèmes quantiques bipartites
discrètes, par exemple la négativité logarithmique, la concurrence, l’intrication de formation, la
discorde quantique et sa variante géométrique. Nous présenterons un schéma géométrique pour
les corrélations (totale, quantique et classique) des états mixtes dans des systèmes bipartites.
Nous donnons des expressions explicites pour la discorde quantique, sa variante géométrique,
et un schéma unificateur pour une classe d’états bipartites, notamment, une famille appelée
états X largement utilisés dans le domaine de l’information quantique.
Dans le troisième chapitre, nous donnerons brièvement un ensemble d’outils mathématiques nécessaire dans l’étude de la dynamique des systèmes quantiques ouverts. Nous introduisons, dans la première section, la dynamique des systèmes ouverts ainsi que l’équation de
Schrödinger (ou von Neumann). Dans la seconde section, nous dérivons l’équation d’évolution
via plusieurs approximations (Born-Markov, l’onde tournante...), et nous allons discuter la représentation du dissipateur. Dans la troisième section, nous donnons la représentation de Kraus
pour différents canaux quantiques (le canal de dépolarisation, le canal d’amortissement de la
phase, et le canal d’amortissement de l’amplitude) qui offre une façon alternative pour décrire
les systèmes quantique ouverts.
Le quatrième chapitre, nous allons introduire le concept de monogamie. Nous discutons
quelques mesures d’intrication des systèmes, purs et mixtes à deux qubits. Nous discutons
également l’évolution analytique de ces mesures pour des systèmes en basses dimensions afin
de disposer des outils pour discuter leurs monogamies dans des états de type W et GHZ. Nous
allons nous limiter aux mesures basées sur la concurrence, l’entropie linéaire et la notion de
tangle.
Dans la cinquième chapitre, nous introduirons les états chat de Bell en termes des états de
Glauber. Ensuite, nous discutons leur évolution sous l’effet de l’amortissement de l’amplitude
qui peut être modélisée par l’action d’un diviseur de faisceau. Nous exprimons les matrices
densités réduites des différents sous-composants du système des états chat de Bell couplés à
l’environnement. Nous allons aussi considérer la distribution des corrélations quantiques entre
eux. Pour approcher cette question, nous utiliserons les mesures bipartites : intrication de
formation, la discorde quantique et sa variante géométrique.
5
Introduction générale
Le sixième chapitre est organisé comme suit. Afin de discuter les corrélations quantiques
bipartites dans les états tripartites non orthogonaux, nous introduisons, dans la seconde section,
deux différents schémas de bipartition. Dans la troisième section, nous donnerons les expressions
analytiques de l’intrication de formation bipartite et de la discorde quantique. Nous discuterons
la relation de conservation entre ces deux mesures entropiques qui implique que la mesure
globale tripartite de la discorde quantique et l’intrication de formation sont identiques. Dans la
quatrième section, nous dérivons la discorde quantique géométrique pour tous les sous-systèmes
bipartites possibles. A titre d’illustration, nous considérerons dans la cinquième section, les états
chat de Schrödinger à trois modes, basés sur les états cohérents de Glauber. En particulier, nous
discutons la propriété de la monogamie de l’intrication mesurée par la concurrence, l’intrication
de formation, de la discorde quantique et la discorde quantique géométrique.
Finalement, en guise de conclusion nous allons terminer cette thèse par rappeler l’essentiel
des résultats de ce travail.
6
Chapitre I
Principes de la théorie classique et quantique de
l’information
1
Introduction
La théorie de l’information permet de répondre à deux problématiques. La première concerne
les ressources nécessaires pour stocker un message constitué de symboles, tirés selon une certaine
loi de probabilité. Puisque les symboles n’ont pas tous la même probabilité d’être choisis,
certains sont moins probables que d’autres, et apportent ainsi plus d’information. L’entropie
permet de quantifier cette notion, ainsi que les ressources nécessaires pour stocker une suite de
symboles sans perte d’information à la limite asymptotique. La seconde problématique concerne
les communications, qu’elles soient classiques ou quantiques.
Les outils mathématiques de la mécanique quantique et de la théorie de l’information classique sont nécessaires pour aborder la théorie de l’information quantique. Ceci vient du fait
que toute l’information codée sur un support quantique est décrite par l’entropie de von Neumann qui est un prolongement naturel de l’information classique en théorie de l’information
quantique.
Ce chapitre portera sur l’étude formelle de l’information classique et quantique [31]. Dans
la première partie nous décrirons les concepts de base de la théorie de l’information classique
qui a été introduite par Claude Shannon en 1948 [32], comme utile pour étudier la quantité de
l’information envoyée. Puis on définira l’entropie de Shannon, entropie conjointe, conditionnelle
et l’information mutuelle [33]. Dans la deuxième partie, nous allons nous concentrer sur la
7
Chapitre I. Principes de la théorie classique et quantique de l’information
théorie de l’information quantique [34] en présentant les outils mathématiques de base utilisés
dans la description des états quantiques, les mesures quantiques, et le formalisme de l’opérateur
densité. Ensuite, on aborde l’essentiel de la théorie : l’entropie de von Neumann et ses propriétés.
2
Théorie classique de l’information
La théorie de l’information a été introduite par Claude Shannon dans les années 40 [32]. Elle
s’agit d’une application de la théorie probabiliste permettant de quantifier le contenu moyen
en information d’un ensemble de messages, en particulier dans le domaine des communications
ou de transmissions de signaux à travers des canaux. La communication est d’abord perçue
comme un transfert d’information de l’émetteur vers le récepteur. D’une manière simplifiée, le
schéma général d’un système de communication peut être représenté comme suit
Figure I.1 – Le système général de la communication de Shannon.
Ce schéma est linéaire et on trouve deux pôles qui définissent une origine et une fin. La
communication repose alors sur une chaîne qui est constituée d’une source, un émetteur, un
canal, un récepteur, et un destinataire. Une personne (source de message) parle dans un appareil
téléphonique (émetteur), qui convertit le son de la parole en un signal électrique. Ce signal
électrique est alors transmis sur des lignes téléphoniques (canal) soumis à des interférences
(bruit). Lorsque le signal atteint le récepteur téléphonique (récepteur) à l’autre extrémité de la
ligne, il est reconverti en sons vocaux. Enfin, le destinataire (récepteur de message) entend le
message d’origine.
La théorie de l’information classique est une représentation mathématique et physique. Elle
est codée par des bits classiques qui peuvent prendre deux valeurs 0 ou 1. Un bit d’information
est envoyé avec une certaine probabilité. Sa transmission peut échouer à cause des bruits extérieurs induisant une distorsion du signal ou l’interception du signal par une personne indésirable.
La quantité d’information est quantifiée à l’aide de l’entropie de Shannon.
8
I.2 Théorie classique de l’information
2.1
Définition de l’entropie de Shannon
L’entropie de Shannon constitue un outil fondamental de la théorie de l’information classique
[35]. Elle peut être définie pour des variables aléatoires discrètes ou continues. Dans le cas
discret, où la variable ne prend qu’un nombre fini ou valeur dénombrable voir [36, 37], l’entropie
d’une variable aléatoire p est défini comme
H(p) =
k
X
−pi log2 pi ,
(I.1)
i=1
où pi est une distribution de probabilité. L’entropie peut également appelé l’incertitude moyenne
(la réduction moyenne de l’incertitude pour un récepteur). On note que la distribution de
probabilité d’une variable aléatoire X par PX qui est décrit par H(X).
Pour k = 2 (l’entropie binaire), on a une distribution de probabilité (p, 1 − p) d’une variable
aléatoire binaire. Elle est donnée par l’entropie de Shannon qui est une fonction de p
H(p) = −p log p − (1 − p) log(1 − p).
(I.2)
Pour p = 12 l’entropie est maximale, et pour p = 0, p = 1 l’incertitude de l’observateur est nulle
voir figure (I.2).
Figure I.2 – L’entropie H(p) en fonction de la probabilité p
9
Chapitre I. Principes de la théorie classique et quantique de l’information
Les propriétés de l’entropie de Shannon :
– Elle est positive H(p) ≥ 0.
– H(p) est une fonction continue de p.
– Elle est symétrique H(p).
– H(X) + H(Y ) ≥ H(X, Y ) si X et Y sont independants.
– Elle est concave (pour une matrice densité ρ, on a H(ρ) ≥
P
x
px H(ρx )).
– L’entropie d’un opérateur de densité est invariante sous les opérations unitaires
H(ρ) = H(U ρU † ).
2.2
Entropie conjointe, conditionnelle et information mutuelle
Les entropies conjointe et conditionnelle sont des extensions simples qui mesurent l’incertitude dans la distribution conjointe d’une paire de variables, et l’incertitude dans la distribution
conditionnelle d’une paire de variables aléatoires [33]. L’entropie conjointe H(X, Y ) représente
la quantité d’informations nécessaires en moyenne pour spécifier la valeur de deux variables
aléatoires discrètes, avec une distribution conjointe p(x, y). Elle est définie par
H(X, Y ) = −
X
p(x, y) log p(x, y).
(I.3)
x,y
Cette grandeur quantifie l’incertitude totale sur la paire (X, Y ). Elle peut s’écrire sous la forme
d’une somme
H(X, Y ) = H(X) + H(Y ),
(I.4)
seulement si X et Y sont des événements indépendants.
L’entropie conditionnelle mesure l’entropie restante provenant de la variable aléatoire Y , si
l’on connait parfaitement la seconde variable aléatoire X. C’est l’entropie de Y conditionnée
par X. L’entropie conditionnelle H(X/Y ), qui mesure l’information dans X sachant que Y est
connue, est donnée par
X
H(X/Y ) = −
p(x, y) log p(x/y).
(I.5)
x,y
Les entropies conditionnelle et conjointe sont reliées par :
H(X, Y ) = H(X) + H(Y /X)
= H(Y ) + H(X/Y ).
10
I.2 Théorie classique de l’information
L’information mutuelle c’est la quantité d’information moyenne que la connaissance d’un message reçu apporte sur le message émis. L’information mutuelle I(X, Y ) mesure l’écart par
rapport à l’indépendance entre X et Y . En d’autres termes c’est la quantité d’information que
l’une des deux variables du couple (X, Y ) apporte sur l’autre. L’information mutuelle entre les
deux variables aléatoires discrètes X et Y , dont la distribution commune est définie par p(x, y),
est donnée par la relation suivante
I(X, Y ) =
X
=
X
=
X
P (x, y) log
P (x, y)
P (x)P (y)
P (x, y) log
P (x/y)
P (x)
x,y
x,y
P (x, y) log P (x/y) −
x,y
= −(−
X
P (x, y) log P (x)
x,y
X
P (x, y) log P (x/y) +
x,y
X
P (x, y) log P (x))
x,y
= −H(x/y) + H(x)
= H(x) − H(x/y)
= H(x) + H(y) − H(x, y).
Il s’en suit que l’information mutuelle s’écrit
I(X, Y ) = H(x) + H(y) − H(x, y).
(I.6)
Figure I.3 – L’information mutuelle
11
Chapitre I. Principes de la théorie classique et quantique de l’information
L’information mutuelle satisfait les propriétés suivantes :
– I(X, Y ) = 0 si et seulement si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes.
– Elle est positive I(X, Y ) ≥ 0.
– Elle est symétrique I(X, Y ) = I(Y, X).
3
Théorie quantique de l’information
L’informatique quantique est une théorie récente. Elle date des années 80 [34]. C’est une
théorie qui se base sur l’information classique et utilise le concepts de la mécanique quantique.
Elle constitue un espoir pour le calcul, la communication, le stockage, et le cryptage etc..., en
utilisant les propriétés quantiques de la matière. En effet, le calcul quantique exploite certaines
propriétés quantiques fondamentales, tel que le principe de superposition des états, afin de
résoudre certaines taches plus rapidement qu’avec un ordinateur classique. Il y a aussi les
communications quantiques, pour transférer un état quantique d’un endroit à l’autre. Comme
par exemple la téléportation quantique et la sécurisation de l’échange de clés secrètes de codage
(cryptographie quantique)[38].
3.1
Définition de l’entropie de von Neumann
L’entropie de von Neumann est définie par John von Neumann en 1932 [39] comme le
prolongement du concept classiques de l’entropie. En mécanique quantique, un système physique
est décrit dans un espace de Hilbert, les observables correspondent aux opérateurs auto-adjoints
et les opérateurs statistiques sont associés avec les états. L’entropie de Shannon est remplacée
par l’entropie de von Neumann. Autrement dit les valeurs propres de la matrice densité d’un
système ρ forment une distribution de probabilité. Puis la densité des opérateurs peut être
considérée comme une généralisation pour les distributions des probabilités. L’entropie de von
Neumann est définie par la relation suivante
S(ρ) = −T r(ρ log ρ) = −
X
λi log λi ,
(I.7)
i
où λi : sont les valeurs propre de la matrice densité ρ.
L’entropie de von Neumann satisfait les propriétés suivantes :
– L’entropie est définie positive et nulle si et seulement si ρ est un état pur, S(ρ) ≥ 0.
– L’entropie est additive pour des systèmes indépendants, S(ρA ⊗ ρB ) = S(ρA ) + S(ρB ).
12
I.3 Théorie quantique de l’information
– L’entropie est sous-additive, S(ρAB ) ≤ S(ρA ) + S(ρB ).
– L’entropie est fortement sous-additive pour toutes les trois systèmes A, B et C,
S(ρABC ) + S(ρC )+ ≤ S(ρA ) + S(ρB ).
3.2
Espace de Hilbert
A tout système quantique S est associé un espace de Hilbert complexe H tel que tout
vecteur de norme 1 de l’espace H définit un état possible du système S. Un espace de Hilbert
est un q
espace vectoriel complexe linéaire menu d’un produit scalaire, et complet pour la norme
kxk = hx, xi. Soit H un espace vectoriel complexe. Une fonctionnelle hx, yi : H × H → C de
deux variables est appelée produit interne si
– Le produit scalaire hx, yi = hy, xi∗
– L’additivité hx + y, zi = hx, zi + hy, zi (x, y, z ∈ H).
– Une application linéaire conjuguée hλx, yi = λ hx, yi , (λ ∈ C, x, y ∈ H).
– La propriété symétrique-hermitienne hx, yi = hy, xi(x, y ∈ H).
– La norme positive hx, xi ≥ 0 pour x ∈ H et nulle hx, xi = 0 seulement pour x = 0.
3.3
Mesures quantiques et OMVP
Les mesures quantiques sont décrites par une collection d’opérateurs de mesure {Mm }, qui
vérifient la condition suivante
X
†
Mm
Mm = I,
(I.8)
m
où I est l’opérateur identité.
Lorsque le résultat d’une mesure sur l’état |ψi est m, l’état du système après la mesure est
Mm |ψi
|ψ 0 i = √
,
pm
(I.9)
où la probabilité d’obtenir le résultat m correspondant à l’opérateur Mm est
†
Mm |ψi
pm = hψ| Mm
(I.10)
Les mesures quantiques satisfaisant les propriétés suivantes :
–
P
m
†
Mm
Mm = I.
– Mi Mj = δij Mi .
13
Chapitre I. Principes de la théorie classique et quantique de l’information
†
– Mm = Mm
.
Les OMVP (Opérateurs de mesure à valeur positive) c’est la formulation la plus générale d’une
mesure dans la théorie de la physique quantique. Ils s’agissent d’opérateurs hermitiques {Em }
non négatives (à valeurs propres positives ou nulles) sur un espace de Hilbert qui satisfont la
condition de normalisation suivante :
X
Em =
m
X
†
Mm = I.
Mm
(I.11)
m
La probabilité d’obtenir l’élément Em du OMVP est
pm = T r(ρEm ),
(I.12)
et l’état du système après la mesure n’est pas simplement exprimé en fonction des Em .
3.4
Qubit et sphère de Bloch
La mécanique quantique nous dit que le système quantique le plus simple est un système à
deux états c’est le qubit (ou le bit quantique). Il est l’unité de base de l’informatique quantique.
Il s’agit d’un système quantique à deux niveaux (une superposition d’états), c’est à dire évoluant
dans un espace de Hilbert à deux dimensions H = C2 . En général, l’état d’un bit quantique
(qubit) est décrit par
|ψi = α |0i + β |1i ,
(I.13)
où α et β sont des nombres complexes qui doivent satisfaire la condition de normalisation
|α|2 + |β|2 = 1 et les états |0i et |1i doivent être orthogonaux. Si les qubits |ψi et |φi sont des
états α |0i + β |1i et γ |0i + δ |1i respectivement, l’état d’un système à deux qubits composée
de ces deux qubits est donné par leur produit tensoriel
|ψi ⊗ |φi = αγ |00i + αδ |01i + βγ |10i + βδ |11i .
(I.14)
Cette construction se formalisme à des systèmes à plusieurs niveaux et à des systèmes comprenant plus de deux sous-systèmes. Pour un système à d niveaux (états) (d > 2), le dit quantique
ou qudit peut prendre toutes les valeurs qui sont des superpositions de d différents états dans
l’espace de Hilbert H = Cd .
14
I.3 Théorie quantique de l’information
La sphère de Bloch fournit une représentation géométrique interessante de l’état d’un système de spin +1/2. Nous considérons un état fondamental |−1/2i et un état excité |+1/2i.
Tout état de superposition peut être exprimé comme suit :
θ
θ
|0i + eiφ sin |1i ,
(I.15)
2
2
où θ et φ sont réels. Le paramètre θ exprime l’amplitude relative des états de base, tandis que
φ exprime leur phase relative Voir (fig I.4).
|ψi = cos
Figure I.4 – La sphère de Bloch
La matrice densité du système d’états purs correspondante à |ψi peut être exprimée à travers
les matrices de Pauli et le vecteur de Bloch, tel que :
ρ = |ψi hψ|


cos2 2θ
e−iφ sin 2θ cos 2θ 
=  iφ
e sin 2θ cos 2θ
sin2 2θ


1 + cosθ
sinθ(cosφ − isinφ) 
1
=
2 sinθ(cosφ + isinφ)
1 − cosθ
1
=
(I + n1 σx + n2 σy + n3 σz )
2
1
−
−
=
(I + →
n→
σ ).
2
−
avec →
n = (n1 , n2 , n3 ) = (sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ) est le vecteur de bloch
15
Chapitre I. Principes de la théorie classique et quantique de l’information
et σx , σy , σz sont les matrices de Pauli usuelles.






0 1 
0 −i 
1 0 
σx = 
, σy = 
, σz = 
.
1 0
i 0
0 −1
3.5
(I.16)
Opérateur et matrice densité
Le formalisme de la matrice densité permet de décrire tout l’ensemble possible des états
quantiques d’un système physique donné à un instant donné, mariant ainsi la mécanique quantique et la physique statistique. La matrice densité ρ d’un état |ψi est l’opérateur défini comme
le produit extérieur
ρ = |ψi hψ| ,
(I.17)
qui est un état pur. Si toutefois un état n’est pas complètement connu, mais seules les probabilités {pi }, avec lequel l’un de plusieurs états |ψi i est connu, il est appelé un système d’états
mixtes. La matrice densité prend la forme
ρ=
X
pi |ψi i hψi | .
(I.18)
i
Pour qu’un opérateur soit une matrice densité, il doit satisfaire les propriétés suivantes
– Sa Trace doit être égale à 1 : T r(ρ) = 1.
– La matrice densité est hermitienne : ρ = ρ† .
– La matrice densité est positive : ρ > 0.
Une matrice densité ρ est pure si est seulement si T r(ρ2 ) = 1 et ρ2 = ρ, alors que pour
une matrice densité mixte T r(ρ2 ) < 1. La trace partielle a des applications dans des calcules
de quantités physiques dans le domaine de l’information quantique et l’étude des processus
induisant la décohérence. Soit l’opérateur densité ρAB décrivant un état du système composite
agissent dans l’espace de Hilbert H = HA ⊗ HB . On définit la trace partielle de l’opérateur
densité par
ρA = T rB (ρAB ) =
d−1
X
j=0
hj| ρAB |ji ,
ρB = T rA (ρAB ) =
d−1
X
hi| ρAB |ii ,
(I.19)
i=0
où {|ii : i = 0, ......d − 1} est une base de HA , et {|ji : j = 0, ......d − 1} est une base de HB .
16
I.4 Conclusion
4
Conclusion
La théorie quantique de l’information est une extension de la théorie classique de l’information et qui prend en compte les spécificités des systèmes quantiques. John von Neumann a
défini la théorie de l’information sur des définitions de bases différentes de celles de Shannon
mais dont les propriétés sont similaires.
Dans ce chapitre, nous avons définit les notions importantes de base de la théorie de l’information classique, à savoir l’entropie de Shannon, entropie conjointe, conditionnelle et l’information mutuelle. Nous avons introduit également les notions essentielles de l’information
quantique, qui sont : l’entropie de von Neumann, les mesures quantiques et les opérateurs
OMVP, le qubit, et opérateur et matrice densité.
17
Chapitre I. Principes de la théorie classique et quantique de l’information
18
Chapitre II
Les mesures des corrélations quantiques
1
Introduction
Le traitement de l’information quantique dépend essentiellement de divers phénomènes de
la mécanique quantique, parmi lesquels l’intrication a été considérée comme l’un des éléments
les plus cruciales. L’intrication quantique joue un rôle important dans plusieurs domaines de
l’information quantique tels que la téléportation quantique [13, 40], la cryptographie quantique
[12, 41], le codage [14, 42, 43] et le calcul quantique [44–46], etc... L’intrication quantique est
une forme de corrélation entre deux ou plusieurs particules (qui peuvent ou ne peuvent pas être
séparés). Le but principal dans les études de l’intrication est de trouver une manière générale
pour quantifier et caractériser la quantité d’intrication d’un état quantique donné. Il s’agit là
de questions centrales en théorie quantique de l’information. Beaucoup d’efforts ont été consacrés à ce domaine de recherche et plusieurs mesures de l’intrication ont été proposées pour les
systèmes quantiques bipartites et multipartites.
Dans ce chapitre, nous allons définir l’intrication quantique pour les systèmes à variables continues, et comment quantifier et caractériser cette quantité. Ensuite, nous introduirons quelques
mesures des corrélations quantiques pour les systèmes quantiques bipartites, par exemple la
négativité logarithmique [47], la concurrence [48], l’intrication de formation, la discorde quantique [49] et sa variante géométrique [50]. Enfin, nous présenterons un schéma unificateur pour
les corrélations (totale, quantique et classique) des états mixtes dans des systèmes bipartites.
19
Chapitre II. Les mesures des corrélations quantiques
2
Intrication quantique pour les systèmes à variables
continues
Le phénomène de l’intrication(entanglement) joue un rôle essentiel en théorie quantique de
l’information et en calcul quantique [51]. C’est une propriété spécifique de la physique quantique
qui n’existe pas en mécanique classique. Elle se manifeste, en général, par le fait que lorsque
plusieurs particules ont été préparées ensemble, et ont interagies pendant un certain intervalle
de temps, qui peut être très court, elles restent fortement corrélées même si elles sont séparées
par une très grande distance. L’intrication apparait presque dans tous les protocoles de la
communication et les algorithmes quantiques (la téléportation, le codage superdense, etc...).
Un système bipartite est composé de deux sous-systèmes dont les espaces de Hilbert sont HA
et HB , tels que l’espace de Hilbert total H est formé par le produit tensoriel H = HA ⊗ HB ,
par définition, les sous systèmes A et B sont définis dans un état intriqué. Si
|ψiAB 6= |ψiA ⊗ |ψiB ,
(II.1)
où |ψiA et |ψiB sont des états définis dans les espaces de Hilbert HA et HB respectivement.
3
Quantification et caractérisation de l’intrication
L’un des objectifs de la théorie d’intrication est d’obtenir un critère de séparabilité pour
distinguer les états séparables où les états non séparables (intriqués).
Etats séparables :
– Dans le cas d’un état pur bipartite ρAB , c’est à dire ρAB = |ψiAB hψ| est séparable si et
seulement si |ψiAB = |ψiA ⊗ |ψiB . Ainsi, un état pur est séparable si l’un des opérateurs
densités réduites, ρA ou ρB est dans un état pur.
– Un état mixte est dit séparable s’il peut être représenté comme un mélange statistique
des états purs séparables
ρAB =
X
i
B
pi ρ A
i ⊗ ρi =
X
pi |ψi iA hψi | ⊗ |ψi iB hψi | ,
(II.2)
i
avec |ψi iA et |ψi iB sont des vecteurs d’états sur les espaces HA et HB respectivement, et
P
les probabilités classiques pi ≥ 0, i pi = 1.
20
II.4 Décomposition de Schmidt
Etats non séparables(intriqués) :
– Un état pur est intriqué si et seulement si l’opérateur densité ρAB ne peut pas être écrit
comme un opérateur de produit, c’est à dire
ρAB 6= ρA ⊗ ρB ,
comme par exemple l’état |φ+ i =
√1 (|00i
2
(II.3)
+ |11i).
– Un état mixte est intriqué si et seulement si l’état est corrélé et non séparable
ρAB 6=
X
pi ρA ⊗ ρB .
(II.4)
i
Nous faisons remarquer que les deux systèmes en interaction deviennent en général non
séparables. La détermination de la séparabilité d’un état est un problème qui n’est pas aisé de
façon générale. Il y a une autre façon de déterminer la séparabilité des états purs et mixtes.
Cette méthode est basée sur la décomposition de Schmidt.
4
Décomposition de Schmidt
La décomposition de Schmidt, permet d’écrire n’importe quel état pur d’un système bipartite
comme une combinaison linéaire d’états produits orthogonaux [52]. Pour un état pur |ψAB i d’un
systéme AB, il existe des états orthonormés |αi iA et |βi iB c’est à dire
|ψAB i =
d
X
λi |αi iA ⊗ |βi iB ,
(II.5)
i=1
où les λi sont des coefficients Schmidt, avec λi ≥ 0 et i λi = 1. L’état |ψAB i est séparable si
et seulement si le nombre de coefficients est supérieur à 1. Un état quantique mixte ρAB est
séprable si et seulement si peut être écrit comme
P
2
ρAB =
d
X
λi ρiA ⊗ ρiB ,
(II.6)
i=1
où λi ≥ 0 , i λi = 1 et ρiA ∈ HA , ρiB ∈ HB .
En général, il est très difficile de vérifier la séparabilité d’un état mixte quelconque.
P
21
Chapitre II. Les mesures des corrélations quantiques
5
Les mesures des corrélations quantiques
Parmi les mesures des corrélations quantiques qui ont été proposées pour les systèmes composites, on cite la négativité logarithmique [47], la concurrence [48], l’intrication de formation,
la discorde quantique [49] et sa variante géométrique [50].
5.1
La négativité logarithmique
En mécanique quantique, la négativité est une mesure de l’intrication quantique qui est
facile à calculer [47]. C’est une mesure qui utilise le critère PPT comme critère de séparabilité
appelé aussi (Critère Peres-Horodecki)1 . Pour un opérateur A, nous définissons la norme trace
√
par la somme des valeurs singulières de l’opérateur A par kAk = tr |A| = tr A† A.
La négativité est définie par
ΓA ρ − 1
1
N (ρ) =
,
(II.7)
2
où ρΓA : est la transposition partielle de ρ par rapport au sous-système A. La négativité logarithmique est une quantité qui est facilement calculable, elle est définie comme
EN (ρ) = log2 ρΓA ,
1
(II.8)
avec ΓA : est l’opérateur de transposition partielle.
Elle est reliée à la négativité par la formule
EN (ρ) = log2 (2N (ρ) + 1).
(II.9)
La négativité logarithmique satisfait les propriétés suivantes :
– Elle peut être nulle, même si l’état est intriqué (si l’état est PPT intriqué).
– EN (ρ ⊗ σ) = EN (ρ) + EN (σ)(additif sur les produits tensoriels)
– Elle ne se réduit pas à l’entropie d’intrication sur l’état pur comme la plupart des autres
mesures d’intrication.
1
est une condition nécessaire, pour la matrice densité conjointe de deux systèmes quantiques A et B, pour
être séparable. Il est appelé aussi critère PPT, pour transposer partielle positif.
22
II.5 Les mesures des corrélations quantiques
5.2
La concurrence
Parmi les outils de la quantification des corrélations quantiques, la concurrence fournit un
moyen d’accéder à la séparabilité d’un système à deux qubits [48, 53]. On considère un état pur
|ψi de deux qubits. La concurrence C(|ψi) de cet état est définie comme
E
C(|ψi) = hψ ψe ,
(II.10)
E
où le tilde représente l’opérateur "spin-flip" ψe = (σy ⊗ σy ) |ψ ∗ i, avec σy est la matrice de
pauli suivant la direction y et |ψ ∗ i est le conjugué complexe de |ψi dans la base standard
{|00i , |01i , |10i , |11i}. Un état pur à deux qubits prend la forme
|ψi = α00 |00i + α01 |01i + α10 |10i + α11 |11i .
(II.11)
où α00 , α01 , α10 et α11 sont des nombres complexes qui remplissent la condition de normalisation
suivante
|α00 |2 + |α01 |2 + |α10 |2 + |α11 |2 = 1.
(II.12)
On peut montrer que |ψi est séparable si α00 α11 = α01 α10 . De sorte que l’on peut prendre la
différence entre α00 α11 et α01 α10 en tant que mesure de l’intrication et on définit la concurrence
par
C(ψ) = 2 |α00 α11 − α01 α10 | .
(II.13)
La concurrence est égal à 0 pour un état séparable et à 1 pour un état est maximalement
intriqué.
L’intrication de formation d’un état pur |ψi est exprimée en terme de la concurrence C(|ψi)
par la relation
E(|ψi) = ξ(C(|ψi)),
(II.14)
où la fonction ξ est définie comme
ξ(C) = H(
1+
q
1 + |C|2
),
2
(II.15)
avec H(x) = −x log2 x − (1 − x) log2 (1 − x) est l’entropie binaire.
La concurrence pour un état mixte de deux qubits est définie comme suit
C(ρ) = inf
X
pi C(|ψi i),
(II.16)
i
23
Chapitre II. Les mesures des corrélations quantiques
où C(|ψi i) est la concurrence de l’état |ψi i qui est donnée par l’équation (II.13). Wootters et
Hill ont obtenu une formule explicite de la concurrence [54]. Elle est donnée par
C(ρ) = max{0, λ1 − λ2 − λ3 − λ4 },
(II.17)
avec λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ λ4 sont les racines carrés des valeurs propres de la matrice ρ(σy ⊗
σy )ρ∗ (σy ⊗ σy ) (ρ∗ le complexe conjugé de ρ). L’intrication de formation d’un état mixte de
deux qubits est définie par
E(ρ) = ξ(C(ρ)).
(II.18)
5.3
La discorde quantique
Un état quantique bipartite contient à la fois des corrélations classiques et quantiques [49].
Elles sont quantifiées conjointement par leur "information mutuelle quantique" qui est une
mesure de l’information de la corrélation totale dans l’état quantique bipartite. Elle est donnée
par
I(A, B) = S(ρA ) + S(ρB ) − S(ρAB ),
(II.19)
où ρAB est l’état d’un système quantique bipartite composé de la particule A et B, ρA(B) =
T rB(A) (ρAB ) est l’état réduit de A(B), et S(ρ) est l’entropie de von Neumann de l’état ρ (voir
[55]). Considérons les opérateurs de projections {Mk } pour décrire une mesure de von Neumann
pour le système A. Nous rappelons que l’opérateur de mesure à valeur positive généralisé n’est
pas nécessaire. Alors l’état aprés mesure de la particule B qui correspond au résultat k est
ρAB →
ρB
k
=
(Mk
N
I)ρAB (Mk
pB
k
N
I)
,
(II.20)
où la mesure de von Neumann pour le sous-système A est écrite comme
Mk = U πk U † :
k = 0, 1,
(II.21)
avec πk = |ki hk| est le projecteur pour le sous-système A dans la base |ki, U ∈ SU (2) est
l’opérateur unitaire de déterminant unité et la probabilité pB
k est égale
pB
k = T r[(Mk ⊗ I)ρAB (Mk ⊗ I)].
(II.22)
En utilisant tous les éléments de l’ensemble η des OMVP, les états après mesure de la particule
B
B sont caractérisés par l’ensemble {pB
k , ρk }. Notons que ρB reste inchangée, pour tout ensemble
24
II.5 Les mesures des corrélations quantiques
après mesure. L’information sur la particule B que acquiert la partie A, en faisant usage d’un
ensemble des OMVP spécifique, est donnée par
S(ρB ) −
X
B
pB
k S(ρk ).
(II.23)
k
La dépendance de la procedure de la mesure peut être eliminée par une procedure de maximinisation sur tout les ensembles η possibles. Donc, la mesure des corrélations classiques résultante
est donnée par
J(ρAB ) = max[S(ρB ) −
X
M
B
pB
k S(ρk )]
(II.24)
k
= S(ρB ) − Semin ,
(II.25)
où Semin désigne la valeur minimale de l’entropie conditionnelle. Nous avons
Semin =
X
B
pB
k S(ρk )
(II.26)
k
La discorde quantique est une mesure de la corrélation quantique qui est développées par
Ollivier et Zurek en 2001 [56]. C’est la différence entre l’information mutuelle (une quantité qui
mesure la corrélation totale) entre deux sous-systèmes (classique et quantique) et la corrélation
classique. Il s’en suit le résultat suivant
D(ρAB ) = I(ρAB ) − J(ρAB ) = S(ρB ) + Semin − S(ρAB ).
(II.27)
Il n’y a aucun algorithme direct pour calculer la discorde quantique pour des états mixtes.
Des résultats partiels uniquement ont été obtenus pour certaines formes spéciales qu’on appelle
les états X [57–60].
La discorde quantique satisfait les propriétés suivantes :
– La discorde quantique est toujours positive D(ρAB ) ≥ 0.
– D(ρAB ) = 0 si et seulement si l’état ρAB est la diagonale de Bloch dans sa propre base
est
X
ρAB =
pj ρAB pj ,
j
P
où ρAB =
j
τj pj , avec {τ } c’est une distribution de probabilité.
– La valeur de la discorde quantique est supérieure ou égale à l’entropie de von Neumann
du sous système mesuré, c’est-à-dire D(ρAB ) ≤ S(ρA ).
25
Chapitre II. Les mesures des corrélations quantiques
Illustrons maintenant le concept de la discorde quantique par un exemple simple d’état de
type X. la matrice densité d’un état de ce système de deux qubits AB dans la base standard
{|00i , |01i , |10i , |11i} est donnée par

ρAB =







ρ00 0
0 ρ03
0 ρ11 ρ12 0
0 ρ21 ρ22 0
ρ30 0
0 ρ33




,



(II.28)
qui s’écrit dans la base {|00i , |11i , |01i , |10i} sous la forme suivante

ρAB =







ρ00 ρ03 0
0
ρ30 ρ33 0
0
0
0 ρ11 ρ12
0
0 ρ21 ρ22




.



(II.29)
Autrement, cette matrice densité ρAB s’écrit
ρAB = (ρAB )1 + (ρAB )2
avec


ρ00 ρ03 
(ρAB )1 = 
ρ30 ρ33

(II.30)

ρ11 ρ12 
(ρAB )2 = 
.
ρ21 ρ22
(II.31)
Les valeurs propres de la matrice densité ρAB de deux qubits sont données par
1
= tr(ρAB )1 ±
2
s
1
λ±
2 = tr(ρAB )2 ±
2
s
λ±
1
ou
1
( tr(ρAB )1 )2 − det(ρAB )1 ,
2
(II.32)
1
( tr(ρAB )2 )2 − det(ρAB )2 .
2
(II.33)
Donc pour que ρAB soit de rang 2, il suffit de considérer
det(ρAB )1 = 0,
det(ρAB )2 = 0.
(II.34)
Dans ce cas, les valeurs propres de la matrice densité ρAB de rang 2 de deux qubits sont données
par
λ+
1 = tr(ρAB )1 = ρ00 + ρ33 ,
26
II.5 Les mesures des corrélations quantiques
λ+
2 = tr(ρAB )2 = ρ11 + ρ22 .
(II.35)
+
λ+
1 + λ2 = 1,
(II.36)
On fait remarquer que
c’est à dire que
tr(ρAB )1 6= 0,
tr(ρAB )2 6= 0.
(II.37)
L’entropie conjointe de l’état ρAB est
+
+
+
S(ρAB ) = −λ+
1 log2 λ1 − λ2 log2 λ2 .
(II.38)
où ρA et ρB sont les états marginaux de ρAB avec


A
A
A
S(ρA ) = −λA
1 log2 λ1 − λ2 log2 λ2 ,
 S(ρ ) = −λB log λB − λB log λB ,
B
2 1
2 2
1
2
(II.39)
où les valeurs propres de ρA et ρB sont


λA
1 = ρ00 + ρ11 ,
 λB = ρ + ρ ,
00
22
1
λA
2 = ρ22 + ρ33 ,
λB
2 = ρ11 + ρ33 .
(II.40)
Il en résulte que l’information mutuelle, définie par (I.6), prend la forme
B
+
I(ρAB ) = H(λA
1 ) + H(λ1 ) − H(λ1 ).
(II.41)
Pour calculer la forme explicite de la corrélation classique J(ρAB ), nous utilisons la décomposition sepectrale de la matrice densité ρAB
+
ρAB = λ+
1 |ψ1 ihψ1 | + λ2 |ψ2 ihψ2 |,
(II.42)
+
où les valeurs propres λ+
1 et λ2 sont données par (II.35) et les états propres |ψ1 i et |ψ2 i sont
1
[ρ03 |00i + ρ33 |11i],
(II.43)
|ψ2 i = q
[ρ12 |01i + ρ22 |10i].
|ρ12 |2 + |ρ22 |2
(II.44)
|ψ1 i = q
2
|ρ03 | + |ρ33 |2
1
27
Chapitre II. Les mesures des corrélations quantiques
En attachant un qubit C au système bipartite AB, nous écrivons la purification de ρAB
comme
q
q
+
(II.45)
|ψi = λ1 |ψ1 i ⊗ |0i + λ+
2 |ψ2 i ⊗ |1i,
de telle sorte que l’ensemble du système ABC est décrit par l’état pur de densité ρABC = |ψihψ|
pour que ρAB = TrC ρABC et ρBC = TrA ρABC . D’après la relation de Koashi-Winter [65], la
valeur minimale de l’entropie conditionnelle coïncide avec l’intrication de formation de ρBC
Semin = E(ρBC ),
(II.46)
qui est donnée par
1 1q
Semin = E(ρBC ) = H( +
1 − |C(ρBC )|2 ),
2 2
où le concurrence de la matrice densité ρ23 est
4(ρ00 + ρ33 )(ρ11 + ρ22 )(|ρ03 ||ρ12 | − |ρ22 ||ρ33 |)2
.
|C(ρBC )| =
(|ρ03 |2 + |ρ33 |2 )(|ρ12 |2 + |ρ22 |2 )
2
(II.47)
(II.48)
Il en résulte que la discorde quantique est donnée par
D(ρAB ) = S(ρA ) − S(ρAB ) + E(ρBC ),
(II.49)
Finalement en utilisant les équations (II.38), (II.39) et (II.47), l’expression explicite de la discorde quantique s’écrit
D(ρAB ) = H(ρ00 + ρ11 ) − H(ρ00 + ρ33 )
v
u
1u
t1 −
1
+ H( +
2 2
4(ρ00 + ρ33 )(ρ11 + ρ22 )(|ρ03 ||ρ12 | − |ρ22 ||ρ33 |)2
)
(|ρ03 |2 + |ρ33 |2 )(|ρ12 |2 + |ρ22 |2 )
Pour obtenir la discorde quantique, il faut faire des efforts considérables pour réduire au minimum l’entropie conditionnelle Semin de toutes les mesures possibles sur les particules A. Dans
la prochaine partie, nous présentons une méthode géométrique sur le concept de la discorde
quantique.
5.4
La mesure géométrique de la discorde quantique
La mesure géométrique de la discorde quantique (MGDQ), a été introduite par Dakic et
al [50]. Elle quantifie la corrélation quantique à l’aide de la distance de Hilbert-Schmidt entre
28
II.5 Les mesures des corrélations quantiques
l’état consideré et l’état de discorde nulle [50]. Elle est donnée par
Dg (ρ) = min kρ − χk2 ,
χ∈Ω0
où Ω0 : l’ensemble des états de discorde nulle et kρ − χk2 = T r(ρ − χ)2 est la norme de
Hilbert-Schmidt. Un état χ ∈ HA ⊗ H B est de discorde zéro si et seulement si χ est un état
classique-quantique [69]. Elle s’écrit comme
χ=
m
X
pk |ψk i hψk | ⊗ ρk ,
(II.50)
k=1
où pk est une distribution de probabilité, {|ψk i} est une base orthonormale arbitraire dans HA
et ρk est un ensemble d’états arbitraires (opérateurs de densité) agissant sur HB . Dakic et al
[50] ont également obtenu une expression facilement calculable pour la mesure géométrique de
la discorde quantique pour un système à deux qubits. En effet, un état bipartite s’écrit dans la
décomposition de Fano-Bloch comme
3
3
X
X
1
Rij σi ⊗ σj ],
ρ = [I ⊗ I + (xi σi ⊗ I + yi I ⊗ σi ) +
4
i
i,j=1
(II.51)
où xi = T rρ(σi ⊗ I), yi = T rρ(I ⊗ σi ) sont les composantes des vecteurs locaux de Bloch,
σi (i ∈ {1, 2, 3}) sont les trois matrices de Pauli, et Rij = T rρ(σi ⊗ σj ) sont les composantes du
−
−
tenseur de corrélation, pour chaque état ρ, nous associons un triple {→
x ,→
y , R}.
Nous caractérisons l’ensemble Ω0 par les états de discorde nulle ayant la forme
χ = p1 |ψ1 i hψ1 | ⊗ ρ1 + p2 |ψ2 i hψ2 | ⊗ ρ2
(II.52)
où {|ψ1 i , |ψ2 i} est une base orhonormale d’un seul qubit, ρ1 et ρ2 sont les matrices densités
2 × 2 et p1 et p2 sont les nombres positifs tels que p1 + p2 = 1. Nous définissons t = p1 − p2 et
les trois vecteurs suivants par
→
−
−
e = hψ1 |→
σ |ψ1 i
(II.53)
→
−
s ± = T r(p1 ρ1 ± p2 ρ2 )
(II.54)
−
−
Il est facile de démontrer que t→
e et →
s + représentent les vecteurs de Bloch locaux du premièr
−
et du second qubit, respectivement, tandis que le vecteur →
s − est directement lié au tenseur
→
−
→
−
T
de corrélation qui est de la forme T = e s − . Par conséquent, un état de discorde nulle χ est
29
Chapitre II. Les mesures des corrélations quantiques
−
−
−
−
−
−
−
associé à →
χ = t→
e ,→
s +, →
e→
s T− , où k→
e k, k→
s ± k et t ∈ [−1, 1]. La distance entre les états ρ et
χ est donnée par
n
o
||ρ − χ||2 = ||ρ||2 − 2Trρχ + ||χ||2
1
(1 + ||~x||2 + ||~y ||2 + ||T ||2 )
=
4
1
(1 + t~x~e + ~y~s+ + ~eT~s− )
−
2
1
(1 + t2 + ||~s+ ||2 + ||~s− ||2 ).
+
4
(II.55)
−
Tout d’abord, nous optimisons la distance en fonction des paramètres →
s ± et t. Nous obtenons
∂ kρ − χk2
1 −→
= (−→
x−
e + t) = 0,
∂t
2
(II.56)
1 − →
∂ kρ − χk2
= (−→
y +−
s + ) = 0,
→
−
∂s+
2
(II.57)
− − →
1 →
∂ kρ − χk2
= (− T T →
e +−
s + ) = 0,
(II.58)
→
−
∂s−
2
−
−
−
−
−
−
qui donne la solution t = →
x→
e, →
s+ = →
y et →
s − = TT→
e . En utilisant ces résultats, nous
obtenons
− 2 − →
1 − 2 →
−
−
kρ − χk2 = (k→
x k + R − →
e (−
x→
x T + RRT )→
e ),
(II.59)
4
−
−
−
qui atteint le minimum quand →
e est un vecteur propre de la matrice K = →
x→
x T + RRT . Par
conséquent, la mesure géométrique de la discorde quantique est donnée par
1
Dg (ρ) = (kxk2 + kRk2 − λmax ),
4
(II.60)
où λmax est la plus grande valeur propre de la matrice K = xxT + RRT . Il est facile de voir que
kxk2 + kRk2 = λ1 + λ2 + λ3 ,
(II.61)
où λ1 , λ2 , et λ3 sont les valeurs propres de la matrice K. Il vient finalement que
Dg (ρ) =
1
min{λ1 + λ2 , λ2 + λ3 , λ3 + λ1 }.
4
(II.62)
Par conséquent, la comparaison de ces valeurs propres est un facteur clé dans le procédé de
30
II.5 Les mesures des corrélations quantiques
calcul de Dg (ρ).
A titre d’exemple du calcul de la discorde géométrique, on considère un état de type X de deux
qubit qui se pose généralement comme la matrice densité réduite à deux qubits dans la base de
calcul {|00i , |01i , |10i , |11i}. La matrice de densité d’un état X de deux qubits est

ρX =







ρ00 0
0 ρ03
0 ρ11 ρ12 0
0 ρ21 ρ22 0
ρ30 0
0 ρ33








(II.63)
L’état X peut être réécrite dans la représentation de Fano-Bloch avec la matrice de corrélation
R qui est donnée par




R=
ρ03 + ρ12 + ρ21 + ρ30 i(ρ03 − ρ12 + ρ21 − ρ30 )
0
i(ρ03 + ρ12 − ρ21 − ρ30 ) −ρ03 + ρ12 + ρ21 − ρ30
0
0
0
ρ00 − ρ11 − ρ22 − ρ33



,

(II.64)
et x = (0, 0, ρ00 + ρ11 − ρ22 − ρ33 )T , ainsi, la MGDQ peut être calculée selon l’équation (II.62)
qui est donnée par
1
Dg (ρ) = min{λ1 + λ2 , λ2 + λ3 , λ3 + λ1 },
(II.65)
4
où, les valeurs propres de la matrice K, en termes d’éléments de la matrice densité ρX , sont
λ1 = 4(|ρ12 | + |ρ03 |)2 ,
λ2 = 4(|ρ12 | − |ρ03 |)2 ,
λ3 = 2[(ρ00 − ρ22 )2 + (ρ11 − ρ33 )2 ].
(II.66)
Nous observons que λ1 est toujours plus grand que λ2 , alors on doit traiter les deux cas séparément de la MGDQ, qui est λ1 ≤ λ3 et λ1 ≥ λ3 .
Pour λ1 ≤ λ3 , la mesure géométrique de la discorde quantique est
1
Dg (ρX ) = (λ1 + λ2 ),
4
(II.67)
tandis que pour λ1 ≥ λ3 , nous avons
1
Dg (ρX ) = (λ2 + λ3 ).
4
(II.68)
31
Chapitre II. Les mesures des corrélations quantiques
6
Schéma unificateur pour les corrélations des états mixtes
de systèmes bipartites
6.1
Quantificateurs des corrélations basés sur l’entropie relative
L’entropie relative offre le schéma approprié pour unifier les différents types de corrélations
existantes dans les systèmes multipartites [70]. L’entropie relative est définie par
S(ρkσ) = −T r(ρlog2 σ) − S(ρ),
(II.69)
où S(ρ) = −T r(ρlog2 ρ) est l’entropie de von Neumann. Pour un système bipartite, la corrélation
totale T de l’état ρ est définie par la distance entre ρ et l’état produit le plus proche πρ = σA ⊗σB ,
où σA(B) désignent les matrices densités réduites des sous-systèmes. Elle est écrite comme la
différence des entropies de von Neumann des deux états ρ et πρ [70]
T = S(ρkπρ ) = S(πρ ) − S(ρ).
(II.70)
De même, la discorde quantique D est la distance entre ρ et l’état classique le plus proche
χρ =
X
pi,j |ii hi| ⊗ |ji hj| ,
i,j
où pi,j sont les probabilités et {|ii , |ji} bases locales indépendantes. Elle s’écrit aussi comme
la différence entre les entropies de von Neumann des états ρ et χρ
D = S(ρkχρ ) = S(χρ ) − S(ρ).
(II.71)
La corrélation classique est la distance entre χρ et son état produit le plus proche πχρ . Elle
coïncide avec la différence des entropies de von Neumann des états concernés
C = S(χρ kπχρ ) = S(πχρ ) − S(χρ ).
(II.72)
Dans cette approche, les corrélations quantiques basées sur l’entropie relative où la discorde
quantique D (II.71) ne coïncide pas avec la définition originale de la discorde introduite dans
les références [71, 72]. La différence est donnée par [70]
L = S(πρ kπχρ ) = S(πχρ ) − S(πρ ).
32
(II.73)
II.6 Schéma unificateur pour les corrélations des états mixtes de systèmes
bipartites
Les corrélations à base d’entropie T , D, C et L sont exprimées comme les différences des
entropies de von Neumann (équations (II.70), (II.71), (II.72) et (II.73)) et elles satisfont à la
relation d’additivité suivante [70]
T − D − C + L = 0.
(II.74)
Cette relation permet de dessiner un schéma simple, proposé dans la référence [70], qui traduit
l’additivité des différents corrélations dans un système bipartite
Figure II.1 – Schéma unificateur des corrélations (totale, quantique et classique).
6.2
Quantificateurs géométriques des corrélations
Un quantificateur plus gérable, appelé la discorde quantique géométrique, a été récemment
introduit les corrélations quantiques à l’aide de la norme de Hilbert-Schmidt qui donne la
distance entre l’état ρ du système et de son état classique le plus proche χρ [50]
Dg (ρ) = kρ − χρ k2 ,
(II.75)
où k.k2 = T r(.)2 est la norme de Hilbert-Schmidt. La discorde géométrique est utile pour
quantifier les corrélations quantiques dans un système. Elle semble être une mesure pour définir
les quantificateurs des corrélations totales et classiques comme [73]
Tg (ρ) = kρ − πρ k2 ,
2
Cg (ρ) = χρ − πχρ ,
(II.76)
où πρ et πχρ sont respectivement, les états produit les plus proches de ρ et χρ . Nous pouvons
aussi définir la quantité
2
Lg (ρ) ≡ πρ − πχρ ,
(II.77)
33
Chapitre II. Les mesures des corrélations quantiques
comme l’analogue de la quantité de L dans l’équation (II.73). Par analogie avec la discorde basée
sur l’entropie relative, Dg peut être écrit comme une différence de puretés, Dg = T r(ρ − χρ )2 =
T rρ2 − T rχ2ρ . On peut montrer que T r(ρχρ ) = T r(χ2ρ ) (voir [50]).
6.3
Etat X à deux qubits
Afin d’illustrer la quantification géométrique pour la discorde de Hilbert-Schmidt, on considère un état X. La structure générale d’une matrice densité rassemblant à l’alphabet X est
dans la base norme B = {|1i ≡ |11i , |2i ≡ |10i , |3i ≡ |01i , |4i ≡ |00i},

ρX =







ρ11 0
0 ρ14
0 ρ22 ρ23 0
0 ρ32 ρ33 0
ρ14 0
0 ρ44




.



Les paramètres de la représentation de Fano-Bloch (II.51) pour un état X, sont exprimés en
termes des éléments de la matrice densité comme
x3 = ρ11 + ρ22 − ρ33 − ρ44
y3 = ρ11 − ρ22 + ρ33 − ρ44
T11 = 2(ρ14 + ρ41 + ρ32 + ρ23 )
T12 = 2i(ρ14 − ρ41 + ρ32 − ρ23 )
T21 = 2i(ρ14 − ρ41 − ρ32 + ρ23 )
T22 = 2(ρ14 + ρ41 − ρ32 − ρ23 )
T33 = ρ11 − ρ22 − ρ33 + ρ44
6.3.1
Etat produit le plus proche d’un état X
L’état produit le plus proche de la matrice densité ρ s’écrit comme
X
X
X
1
ai σ i ⊗ 1 +
bi 1 ⊗ σ j +
ai bj σi ⊗ σj ]
πρX = ρA ⊗ ρB = [1 ⊗ 1 +
4
i
i
i,j
(II.78)
où ai = {a1 , a2 , a3 } et bi = {b1 , b2 , b3 } désignent les vecteurs de Bloch des états ρ1 et ρ2 . En
raison de la symétrie de l’état ρ, dans l’échange des qubits 1 et 2, l’état produit πρX est aussi
34
II.6 Schéma unificateur pour les corrélations des états mixtes de systèmes
bipartites
symétrique. Cela implique
ai = b i ,
i = 1, 2, 3.
(II.79)
En outre, la symétrie de parité de la matrice densité ρX ([ρX , σ3 ⊗ σ3 ] = 0) implique que
l’invariance de la parité de l’état πρX (II.78). Ceci impose
ai = bi = 0,
i = 1, 2.
La distance entre ρ et πρ est définie par
1
d = T r(ρX − πρX ) = [(x3 − a3 )2 + (y3 − b3 )2 + (T33 − a3 b3 )2 ].
4
(II.80)
La distance minimale est obtenue par la dérivation de la distance d (II.80), par rapport a3 et
b3 . On a
y3 + T33 a3
x3 + T33 b3
,
b3 =
.
(II.81)
a3 =
2
1 + b3
1 + a23
L’état produit le plus proche de l’état X a la forme
1
πρX = [1 ⊗ 1 + a3 σ3 ⊗ 1 + b3 1 ⊗ σ3 + a3 b3 σ3 ⊗ σ3 ]
4
(II.82)
avec a3 et b3 sont les solutions des équations (II.81).
6.3.2
L’état classique le plus proche et son état produit le plus proche
Le résultat général de la discorde quantique géométrique d’un état à deux qubits est
1 − 2
Dg (ρX ) = [k→
x k + kT k2 − kmax ]
4
(II.83)
Les valeurs propres de la matrice K, en termes d’éléments de la matrice densité ρX , sont
k1 = 4(ρ14 + ρ23 )2 ,
k2 = 4(ρ14 − ρ23 )2 ,
k3 = 2[(ρ11 − ρ33 )2 + (ρ22 − ρ44 )2 ].
(II.84)
Nous observons que k1 est toujours plus grand que k2 , alors on doit traiter deux cas séparément,
qui est, k1 ≤ k3 et k1 ≥ k3 . L’état classique le plus proche χρ est obtenue par une procédure
−
−
de minimisation par rapport aux paramètres →
x ,→
y et T de l’état d’origine ρX [50].
35
Chapitre II. Les mesures des corrélations quantiques
– Cas 1 : k1 ≤ k3
L’état classique le proche est
1
χ−
ρX = [1 ⊗ 1 + x3 σ3 ⊗ 1 + y3 1 ⊗ σ3 + T33 σ3 ⊗ σ3 ],
4
(II.85)
où l’exposant − se réfère à la condition k1 − k3 ≤ 0. Les éléments diagonaux de ρX et χρX
−
−
sont égaux, (ρ−
X )ii = (χρX )ii . En conséquence, l’état produit le plus proche χρX coïncide
avec l’état produit le plus proche de ρX donné dans l’équation (II.82) : πχ−ρ = πρX .
X
– Cas 2 : k1 ≥ k3
Si l’état X comporte des éléments de la matrice densité telles que k1 > k3 , nous obtenons
pour l’état classique le plus proche
1
e
e
e
χ+
ρX = [1 ⊗ 1 + y3 1 ⊗ σ3 + T11 σ1 ⊗ σ1 + T12 σ1 ⊗ σ2 + T21 σ2 ⊗ σ1 + T22 σ2 ⊗ σ2 ], (II.86)
4
où l’exposant
+
se réfère à la condition k1 − k3 > 0, et
Te11 =
=
Te12 =
=
Te21 =
=
Te22 =
=
1
{T11 [1 + cos(γ14 + γ23 )] − T21 sin(γ14 + γ23 )}
2
[cos(γ23 ) + cos(γ14 )](ρ14 + ρ23 ),
1
{T12 [1 + cos(γ14 + γ23 )] − T22 sin(γ14 + γ23 )}
2
[sin(γ23 ) − sin(γ14 )](ρ14 + ρ23 ),
1
{T21 [1 − cos(γ14 + γ23 )] − T11 sin(γ14 + γ23 )}
2
−[sin(γ23 ) + sin(γ14 )](ρ14 + ρ23 ),
1
{T22 [1 − cos(γ14 + γ23 )] − T12 sin(γ14 + γ23 )}
2
[cos(γ23 ) − cos(γ14 )](ρ14 + ρ23 ).
En particulier, la résolution de l’équation (II.81) pour χ+
ρX , l’état produit le plus proche
est
1
πχ+ρ = [1 ⊗ 1 + y3 1 ⊗ σ3 ].
(II.87)
X
4
Pour un état X dans le second cas, il en résulte, que l’état produit le plus proche de ρX
+
est différent de l’état produit le plus proche de χ+
ρX : πχρX 6= πρX .
36
II.6 Schéma unificateur pour les corrélations des états mixtes de systèmes
bipartites
6.3.3
Quantificateurs des corrélations géométriques
Après avoir obtenu les états produits les plus proches à un état X, nous pouvons donner
les expressions explicites des quantificateurs géométriques des différents types de corrélations
Tg , Dg et Cg . D’après les résultats de (Sec.6.3.1) relatifs aux états produits les plus proches,
il en résulte que le quantificateur géométrique des corrélations totales défini dans l’équation
(II.76) pour un état X est
Tg (ρ) =
(x3 − a3 )2 + (y3 − b3 )2 + (T33 − a3 b3 )2 1 2
2
2
2
+ (T11 + T12
+ T21
+ T22
),
4
4
(II.88)
dans les deux cas 1 et 2 précités. Nous rappelons que, en général, T r(ρπρ ) 6= T r(πρ2 ), et donc
Tg (ρX ) 6= T r(ρ2X ) − T r(πρ2X ).
Concernant les quantificateurs géométriques de corrélations quantique et classique Dg et Cg ,
respectivement, nous pouvons obtenir leurs expressions explicites. Toutefois, il faut distinguer
deux cas.
Pour les états X appartenant au cas 1 (k1 ≤ k3 ), les quantificateurs géométriques de corrélations quantique et classique définis dans les équations (II.75) et (II.76) sont
1 2
2
2
2
(T + T12
+ T21
+ T22
) = 2(ρ214 + ρ223 ),
4 11
(x3 − a3 )2 + (y3 − b3 )2 + (T33 − a3 b3 )2
−
.
Cg (ρX ) =
4
Dg− (ρX ) =
(II.89)
En ce qui concerne la quantité Lg définie dans l’équation(II.77), nous savons à l’aide de
(Sec.6.3.2) que, dans le cas 1, πχ−ρX = πρ−X de sorte que L−
g (ρX ) = 0.
D’après les équations (II.88) et (II.89), on observe alors que, dans ce cas, les quantificateurs
géométriques de corrélations sont satisfaits à la relation d’additivité
Tg = Dg− + Cg− .
(II.90)
D’autre part, pour les états X appartenant au cas 2 (k1 > k2 ), les quantificateurs géométriques
de corrélations quantique et classique s’écrivent
1
Dg+ = (ρ14 − ρ23 )2 + [(ρ11 − ρ33 )2 + (ρ22 − ρ44 )2 ],
2
Cg+ = (ρ14 + ρ23 )2 .
(II.91)
37
Chapitre II. Les mesures des corrélations quantiques
D’après les équations (II.88) et (II.91), nous remarquons que, dans ce second cas, la relation
d’additivité n’est pas satisfaite. En fait, nous avons
2
Tg −
7
Dg+
−
Cg+
a3 (T33 − a3 b3 )2 − (1 + b3 )
.
=
4
(II.92)
Conclusion
L’intrication quantique n’est pas seulement une caractéristique profonde de la mécanique
quantique, mais elle est également une ressource physique précieuse avec un énorme potentiel
pour des nouvelles applications technologiques, telles que le traitement et la transmission de
l’information. Cependant, notre compréhension de l’intrication est encore loin d’être achevée,
malgré les activités actuelles de recherches intenses. Comme d’autres ressources physiques, la
première étape vers l’exploitation pleine de l’intrication est de savoir comment la quantifier correctement. Il n’est pas donc surprenant qu’il y ait eu un intérêt croissant pour la quantification
et la caractérisation de l’intrication des systèmes quantiques.
Dans ce chapitre, nous nous sommes intéressés à la quantification de l’intrication des systèmes bipartite qui est le plus utilisé dans les processus de traitement de l’information quantique. Nous avons introduit plusieurs mesures de corrélations quantiques comme la négativité
logarithmique, la concurrence, l’intrication de formation, la discorde quantique et sa variante
géométrique. Finalement, nous avons définit un schéma unificateur géométrique pour les corrélations (totale, quantique et classique) des états mixtes dans des systèmes bipartites à l’aide
de la distance de Hilbert-Schmidt.
38
Chapitre III
Modèles de décohérence et canaux quantiques
1
Introduction
Avec les progrès technologiques récents, les expériences sur des systèmes quantiques sont de
plus en plus complexes et par conséquent, il est difficile de fournir une description adéquate en les
considérants comme des systèmes fermés. Donc, ils doivent être considérés comme des systèmes
ouverts [74], en raison du fait que n’importe quel système réaliste est soumis à un couplage
avec un environnement incontrôlable qui influence l’évolution dans le temps du système. La
théorie des systèmes quantiques ouverts joue un rôle majeur dans tous les domaines de la
physique : l’optique quantique [75], la physique de l’état solide [76], la nanotechnologie [77],
l’information quantique [78], et la spintronique [79]. Une description complète des systèmes
quantiques requiert la prise en compte des degrés de liberté de l’environnement. Par conséquent,
nous devons chercher une description simple et efficace de la dynamique des propriétés des
systèmes quantiques.
Habituellement, la dynamique d’un système quantique ouvert est décrite en termes de l’opérateur de densité réduite, qui est obtenu à partir de l’opérateur de densité de l’ensemble du
système en effectuant une trace sur les degrés de liberté de l’environnement. Afin d’éliminer les
degrés de liberté de l’environnement diverses approximations sont nécessaires et qui conduisent
à une équation compacte du mouvement pour la matrice densité du système ouvert.
Dans ce chapitre, nous donnerons brièvement un ensemble d’outils mathématiques qui permettent de prédire la dynamique des systèmes quantiques ouverts. Nous introduirons, dans la
première section, la dynamique des systèmes ouverts ainsi que l’équation de Schrödinger (ou
39
Chapitre III. Modèles de décohérence et canaux quantiques
von Neumann). Dans la seconde section, nous dérivons l’équation d’évolution via plusieurs approximations (Born-Markov, l’onde tournante...). Dans la troisième section, nous donnons en
bref la représentation de Kraus pour différents canaux quantiques qui est une façon alternative
pour décrire les systèmes quantiques ouverts.
2
Dynamique des systèmes ouverts
Un système ouvert est un système quantique S qui est couplé avec un environnement E
et qui représente un sous-système du système combiné S + E. La matrice densité réduite ρ
du système est un opérateur qui contient toutes les informations physiques qui concernent le
système S. Il est obtenu à partir de la matrice densité totale en traçant sur les degrés de liberté
de l’environnement, ainsi
ρ = T rE ρT ,
(III.1)
où la matrice densité totale est notée par ρT . En principe l’équation d’évolution pour ρ, peut être
obtenue à partir de l’équation de Schrödinger (ou von Neumann) de la matrice densité totale
et en prenant ensuite la trace. Cependant, cette tâche peut être analytiquement complétée
et l’étude de l’évolution de la matrice densité réduite devrait être faite en utilisant quelques
approximations.
2.1
L’équation de Schrödinger (ou von Neumann)
Tout d’abord nous voulons discuter de quelle façon il est possible de décrire l’évolution
temporelle des systèmes quantiques fermés [80]. On considère un vecteur d’état pur |ψ(t)i d’un
système quantique dont l’évolution est gouvernée par l’équation de Schrödinger
i~
d
|ψ(t)i = H(t) |ψ(t)i ,
dt
(III.2)
où H(t) est le hamiltonien du système. L’évolution de l’état peut être exprimée par un opérateur
d’évolution du temps unitaire U (t, t0 ) qui transforme l’état initial |ψ(t0 )i en l’état |ψ(t)i
|ψ(t)i = U (t, t0 ) |ψ(t0 )i
avec U (t, t0 )U + (t, t0 ) = 1.
(III.3)
En substituant cet état dans l’équation (III.2), nous obtenons une équation de l’opérateur
U (t, t0 )
∂
i U (t, t0 ) = H(t)U (t, t0 ).
(III.4)
∂t
40
III.2 Dynamique des systèmes ouverts
L’opérateur unitaire peut être alors écrit sous la forme
i
U (t, t0 ) = exp[− H(t − t0 )].
~
(III.5)
Pour les états mixtes, le système peut être caractérisé par une matrice densité ρ, et pour obtenir
l’équation d’évolution [81], nous commençons par l’état initial du système ρ(t0 )
ρ(t0 ) =
X
pj |ψj (t0 )i hψj (t0 )| ,
(III.6)
j
où pj sont les poids positifs et |ψj (t0 )i sont les vecteurs d’états propres du système.
L’évolution au cours du temps de la matrice densité est donnée par
ρ(t) = U (t, t0 )ρ(t0 )U + (t, t0 ).
(III.7)
Il s’en suit que l’équation du mouvement pour la matrice densité est
i
d
ρ(t) = − [H, ρ(t)],
dt
~
(III.8)
qui est appelée l’équation de Liouville (ou l’équation du von Neumann [82]). Il faut noter
que pour une distribution de probabilité en mécanique statistique classique, l’équation de von
Neumann s’écrit parfois comme
d
ρ(t) = Lρ(t),
(III.9)
dt
où L est l’opérateur de Liouville défini par la condition Lρ est égal à − ~i fois le commutateur
de H avec ρ(t). L est aussi appelé un superopérateur de Liouville, car il agit sur un opérateur
pour obtenir un autre opérateur.
2.2
Equation d’évolution avec l’approximation de Born-Markov
L’objectif de ce paragraphe est de préciser le rôle des différentes approximations appliquées,
pour la dérivation de l’équation d’évolution pour l’opérateur de densité réduite du système.
Nous considérons un système quantique ouvert S couplé avec un environnement E. L’espace de
N
Hilbert du système total S +E est donné par le produit tensoriel H = HS HE . Le hamiltonien
total peut être écrit sous la forme
H = HS ⊗ 1S + 1S ⊗ HE + HSE ,
(III.10)
41
Chapitre III. Modèles de décohérence et canaux quantiques
où HS est le hamiltonien du système S, HE est le hamiltonien de l’environnement E et HSE = V
est le hamiltonien d’interaction entre le système S et son environnement E.
Figure III.1 – Le modèle du système combiné S + E. Le système principal(ouvert) interagit avec l’environnement.
L’équation de von Neumann pour l’opérateur de densité totale est donnée par
d
−i
ρSE =
[HSE , ρSE ].
dt
~
(III.11)
Cette dernière équation se réécrit dans la représentation d’interaction comme
−i e
d
ρeSE (t) =
[V (t), ρeSE (t)],
dt
~
(III.12)
où le potentiel d’interaction et la matrice densité sont donnés par


Ve (t) = U † (t)V U (t)
 ρe (t) = U † (t)ρ U (t)
SE
SE
−i(Hs +HE )t
~
avec U (t) = e
est l’opérateur unitaire d’évolution du système découplé. A partir de
l’équation (III.12), nous obtenons
iZt
ρeSE (t) = ρeSE (0) −
dt1 [Ve (t1 ), ρeSE (t1 )].
~ 0
42
(III.13)
III.2 Dynamique des systèmes ouverts
Par itération de l’équation (III.12) et en prenant la trace sur l’environnement, nous trouvons
i
1 Zt
d
e
e
e
ρS (t) = − T rE [V (t1 ), ρSE (0)] − 2
dt1 T rE [Ve (t), [Ve (t1 ), ρeSE (t1 )]].
(III.14)
dt
~
~ 0
En supposant que le système et l’environnement sont initialement non corrélés ρSE (t = 0) =
ρS (0) ⊗ ρE (0) (ce qui donne T rE [Ve (t1 ), ρeSE (0)] = 0), nous obtenons
d
1 Zt
e
ρS (t) = − 2
dt1 T rE [Ve (t), [Ve (t1 ), ρeSE (t1 )].
(III.15)
dt
~ 0
A ce niveau nous allons utiliser l’approximation de Born. Nous supposons que le couplage entre
le système et l’environnement est faible de telle sorte que nous pouvons écrire l’état total comme
un état produit
ρeSE (t) ≈ ρeS (t) ⊗ ρeE (0).
(III.16)
L’équation (III.15) devient
1 Zt
d
dt1 T rE [Ve (t), [Ve (t1 )ρeS (t1 ) ⊗ ρeE (0)].
ρeS (t) = − 2
dt
~ 0
(III.17)
Une autre simplification consiste à utiliser l’approximation de Markov qui rend l’équation d’évolution local dans le temps en remplaçant ρeS (t1 ) au moment retardé par ρeS (t) à l’instant t
d
1 Zt
dt1 T rE [Ve (t), [Ve (t1 )ρeS (t) ⊗ ρeE (0)].
(III.18)
ρeS (t) = − 2
dt
~ 0
Pour obtenir l’équation du mouvement dans le cadre de l’approximation de Born-Markov, nous
devons remplacer t par t1 − t dans l’intégrale et considérer que la borne supérieure de l’intégrale
tend vers l’infini. Il s’en suit que l’équation d’évolution dans le cadre de l’approximation de
Born-Markov est donnée par
d
1 Z∞
ρeS (t) = − 2
dt1 T rE [Ve (t), [Ve (t − t1 )ρeS (t) ⊗ ρeE (0)].
dt
~ 0
(III.19)
Pour simplifier davantage la dérivation de l’évolution du système, nous utilisons l’approximation
des ondes tournantes. Celle ci est discutée dans le paragraphe suivant.
43
Chapitre III. Modèles de décohérence et canaux quantiques
2.3
Equation d’évolution avec l’approximation de l’onde tournante
Nous écrivons le hamiltonien d’interaction dans la forme la plus générale [83] comme
HSE = HI =
X
Ak ⊗ Bk .
(III.20)
k
Si, on suppose que le spectre HS est discret, les opérateurs de système peuvent être décomposés
dans une base propre
X
Ak (ω) =
|ei he| Ak |e0 i he0 | ,
(III.21)
e−e0 =ω
avec les propriétés [HS , Ak (ω)] = −ωAk (ω) et A†k (ω) = Ak (−ω). Ak (ω) et A†k (ω) sont les
opérateurs propres de HS avec leurs valeurs propres ∓ω. Donc, le hamiltonien d’interaction
peut être exprimé par
HI =
X
k,ω
Ak (ω) ⊗ Bk →
−t HI (t) =
X
e−iωt Ak (ω) ⊗ Bk (t)
(III.22)
k,ω
où Bk (t) = eiHE t Bk e−iHE t sont les opérateurs dans la représentation d’interaction de l’environnement. Si nous insérons le hamiltonien d’interaction de l’équation (III.22) dans l’équation
d’évolution de Born-Markov (III.19), et en négligeant les termes d’oscillation ω, nous obtenons
l’équation suivante
X
d
ρeS (t) =
Γkl (ω)(Al (ω)ρeS (t)A†k (ω) − A†k (ω)Al (ω)ρeS (t))
dt
k,ω,l
+Γ∗lk (ω)(Al (ω)ρeS (t)A†k (ω) − A†k (ω)Al (ω)ρeS (t))
où Γ est donnée par la transformation de Fourier de la fonction de corrélation de l’environnement
(réservoir)
Z ∞
D
E
(III.23)
Γkl (ω) =
dt1 eiωt1 Bk† (t)Bl (t − t1 ) .
0
Les éléments Γkl peuvent se décomposer comme suit
1
Γkl (ω) = γkl (ω) + iSkl (ω),
2
avec
Skl (ω) =
γkl (ω) = Γkl (ω) +
44
(III.24)
1
(Γkl (ω) − Γ∗lk (ω)),
2i
Γ∗lk (ω)
=
Z +∞
−∞
D
E
dt1 eiωt1 Bk† (t1 )Bl (0) .
(III.25)
III.2 Dynamique des systèmes ouverts
A l’aide de cette décomposition, nous obtenons
d
ρeS (t) = −i[HLS , ρeS (t)] − D(ρeS (t)),
dt
(III.26)
où les opérateurs HLS et D(ρeS (t)) sont définis par
HLS =
X
Skl (ω)A†k (ω)Al (ω)
k,ω,l
D(ρeS (t)) =
1X
γkl (ω)(A†k (ω)Al (ω)ρeS (t) + ρeS (t)A†k (ω)Al (ω) − 2Al (ω)ρeS (t)A†k (ω))
2 k,ω,l
Le terme HLS constitue une contribution du Hamiltonien d’évolution qui est appelée Hamiltonien de décalage de Lamb. On note aussi que HLS commute avec HS .
P 2 −1
γk (A†k Ak ρS + ρS A†k Ak − 2Ak ρS A†k ) du dissipateur est atteint en
La forme D(ρS ) = 21 nk=1
diagonalisant les matrices γkl (ω).
2.4
Représentation de la dissipation
L’équation d’évolution Lindblad
∂
ρ = −i[H, ρ] − D(ρ),
∂t
(III.27)
décrit le comportement de l’évolution temporelle d’un système quantique ouvert. La structure
la plus générale du dissipateur
2
−1
1 nX
D(ρ) =
γk (A†k Ak ρ + ρA†k Ak − 2Ak ρA†k ),
2 k=0
(III.28)
est déterminée par une application complètement positive ce qui signifie que la carte dynamique
quantique
V (t) : ρ(0) → ρ(t) = V (t)ρ(0)
(III.29)
doit être positif pour toutes les extensions possibles vers des espaces de dimensions supérieures.
Le dissipateur D(ρ) décrit deux phénomènes qui se produisent dans un système quantique
ouvert : la décohérence et la dissipation [84]. Lorsqu’un système quantique S est couplé avec
un environnement E, l’état initial du produit évolue vers un état intriqué de S + E au cours
du temps. Cela conduit à des états mixtes dans S et est appelé la décohérence. En outre nous
obtenons un échange d’énergie entre S et E ce qu’on appelle la dissipation.
45
Chapitre III. Modèles de décohérence et canaux quantiques
3
Les opérateurs de Kraus
3.1
Opérateurs d’évolutions des systèmes dynamiques : approche
qualitative
On définit l’évolution suivante sous l’effet d’un potentiel V (t)
V (t)
B(Hs ) → B(Hs )
:
ρs (0) → ρs (t) = V (t)ρs (0)
L’application V (t) est convexe, linéaire, positive et préserve la trace des opérateurs densités.
La forme la plus générale de cette application s’écrit en termes des opérateurs de Kraus [85]
définis par
ρs (0) → V (t)ρs (0) =
X
Eij ρs (0)Eij† (t),
avec
X
Eij Eij† (t) = 1,
(III.30)
ij
ij
où les opérateurs d’évolution unitaires Eij sont donnés par
Eij (t) =
q
λi hφi |U (t, 0)| φj i
(III.31)
en termes des états |φi i qui forment une base orthonormée et λi sont des coefficients réels positivs
P
satisfaisant λi = 1. L’équation (III.30) peut être écrite en réduisant la somme double à une
somme single
X
X
ρs (0) → ρs (t) =
Mi ρs (0)Mi† avec
Mi Mi† = 1.
(III.32)
i
3.2
i
Correspondance entre les opérateurs Lindblad et les opérateurs
de Kraus
.
La généralisation de l’équation de Liouville ρ(t) = − ~i [H, ρ(t)] au cas d’une évolution de
Markov, mais qui est non unitaire, conduit à
.
ρ(t) = Lρ(t),
(III.33)
où l’opérateur linéaire L qui génère une superopération finie dans le même sens que le hamiltonien H qui génère l’évolution unitaire dans le temps. L’opérateur L est appelé le Lindbladian.
46
III.3 Les opérateurs de Kraus
Les définitions des opérateurs Lµ et les opérateurs de Kraus Mi (voir éq (III.32)) sont
différentes. Cependant, il existe une correspondance entre les deux formulations (voir [86]).
En effet, nous allons discuter comment décrire l’évolution infinitésimale donnée par l’équation
de Lindblad dans des opérateurs de Kraus. Dans ce sens, nous écrivons l’évolution de l’opérateur
densité entre les instants t et t + dt comme suit
ρ(t + dt) =
X
Mµ (dt)ρ(t)Mµ† (dt).
(III.34)
µ
Cette évolution élémentaire peut être également écrite sous la forme
ρ(t + dt) = M0 ρ(t)M0† +
X
Mµ ρMµ† ,
(III.35)
µ>0
D’autre part, il est facile de voir que
ρ(t + dt) = ρ(t) + O(dt) = ρ(t) + dtdρ
= M0 ρ(t)M0† +
X
Mµ ρMµ†
µ>0
= (1 + (−iH + K)dt)ρ(1 + (iH + K)dt) + dt
X
Lµ ρL†µ
µ>0
= ρ − idt[H, ρ] + dt(Kρ + ρK) + dt
X
Lµ ρL†µ
µ>0
Il vient alors que l’un des opérateurs de Kraus doit être de la forme 1 + O(dt) et les autres sont
√
de l’ordre dt. Nous pouvons donc écrire
M0 = 1 + (−iH + K)dt,
Mµ =
√
dtLµ ,
(III.36)
où H et K sont tous les deux hermitiens et Lµ , H et K sont tous d’ordre 0 en dt. Nous pouvons
déterminer K en utilisant la condition somme des opérateurs de Kraus
1=
X
Mµ† Mµ = 1 + dt(2K +
µ
X
L†µ Lµ )
(III.37)
µ>0
où l’opérateur K est défini par
K=−
1X †
L Lµ
2 µ>0 µ
Nous pouvons remplacer les équations (III.34) et (III.36) dans (III.32) lorsque t → 0.
47
Chapitre III. Modèles de décohérence et canaux quantiques
Nous obtenons ainsi l’équation Lindblad
X
1
1
dρ
= −i[H, ρ] +
(L†µ ρLµ − L†µ Lµ ρ − ρL†µ Lµ ).
dt
2
2
µ>0
(III.38)
Chaque terme L†µ ρLµ décrit une possible modification des propriétés quantiques et les termes
− 12 L†µ Lµ ρ − 12 ρL†µ Lµ sont nécessaires pour normaliser correctement le cas où aucun couplage
avec l’environnement ne se produit.
3.3
3.3.1
Les canaux quantiques et opérateur de Kraus
Le canal de dépolarisation
Le canal de dépolarisation est un modèle pour la décohérence où, avec une certaine probabilité 3p
le qubit devient totalement mélangé en raison de l’apparition d’une erreur p qui peut
4
être une fonction qui dépend du temps. La probabilité pour que le qubit reste inchangé est
1 − 34 p. Trois erreurs sont possibles.
1. inversion |0i → |1i, |1i → |0i (ou |ψi = σx |ψi)
2. changement de phase |0i → |0i, |1i → − |1i( ou |ψi = σz |ψi)
3. inversion et changement de phase |0i → i |1i, |1i → −i |0i (ou |ψi = σy |ψi)
Par conséquent, les opérateurs de Kraus pour le canal de dépolarisation sont donnés par
s
M0 =
3p
1 − 1,
4
r
M1 =
p
σx ,
4
r
M2 =
p
σy ,
4
Pour des raisons de calcul pratique, généralement on pose p =
réécrivent
s
s
q
0
p
p0
M0 = 1 − p0 1, M1 =
σx , M2 =
σy ,
3
3
r
M3 =
4p
3
p
σz .
4
0
, les opérateurs de Kraus se
s
M3 =
p0
σz .
3
qui satisfont la condition de normalisation
X
µ>0
Mµ† Mµ = [(1 − p) +
3p
]1 = 1.
3
(III.39)
Dans un canal de dépolarisation, l’état ρ d’un qubit évolue comme
p
ρ → ρ0 = (1 − p)ρ + (σx ρσx + σy ρσy + σz ρσz ).
3
48
(III.40)
III.3 Les opérateurs de Kraus
3.3.2
Le canal d’amortissement de la phase
Le canal d’amortissement de la phase n’a pas d’analogue classique car il décrit la perte de
l’information quantique sans perte d’énergie [83]. L’amortissement de la phase peut se produire
par exemple en raison de phénomènes d’interférences introduisant des changements de phase
aléatoires ou des processus de diffusion. Nous pouvons modéliser ce type de processus par les
opérateurs de Kraus suivants
√
M0 = 1 − p1,
r
M1 =
p
(1 + σz ),
4
r
M2 =
p
(1 − σz ),
4
(III.41)
mais il ya aussi des situations où on a des représentations avec deux opérateurs de Kraus
uniquement
r
r
p
p
M1 =
σz ,
(III.42)
M0 = 1 − 1,
2
2
ou




1
0
1
0
 , M1 = 
M0 = 
√ 0 .
√
0
0
1 − p0
p
√
avec la relation 1 − p = 1 − p0 . L’évolution de l’état est alors donnée par
3
X
Mµ† ρMµ = (1 − p)ρ + p |0i h0| ρ |0i h0| + p |1i h1| ρ |1i h1|
(III.43)
µ=1
3.3.3
Le canal d’amortissement de l’amplitude
Le canal d’amortissement de l’amplitude permet de décrire par exemple la désintégration
d’un état excité à deux niveaux d’un atome en raison de l’émission spontanée d’un photon. En
détectant le photon émis (observation de l’environnement), nous pouvons effectuer une mesure
en utilisant des opérateurs OMVP qui nous donne des informations sur la préparation initiale
de l’atome [87]. Pour décrire ce canal nous avons besoin des opérateurs de Kraus suivants


1
0
,
M0 = 
√
0
1−p

0
M1 = 
0
√ 
p 
,
0
(III.44)
qui vérifient la relation de fermeture suivante




1
0   0 0 
M0† M0 + M1† M1 = 
+
=1
0 1−p
0 p
(III.45)
49
Chapitre III. Modèles de décohérence et canaux quantiques
L’opérateur M1 induit un "saut quantique" (la décroissance de |1iA à |0iA ) et M0 décrit comment
l’état évolue si aucun saut ne se produit. La matrice densité évolue comme

√
ρ
+
pρ
1
−
pρ
00
11
01
.
Mµ† ρMµ =  √
1
−
pρ
(1
−
p)ρ
10
11
µ>0

X
4
(III.46)
Conclusion
Dans la théorie des systèmes quantiques ouverts, la dynamique du système quantique étudié
est obtenue en effectuant une trace sur les degrés de liberté de l’environnement. Dans des
conditions réalistes, les systèmes quantiques ouverts interagissent avec les environnements et la
dynamique du système globale doit être unitaire. Toutefois, la dynamique des systèmes ouverts
ne peut pas être décrite par des transformations unitaires en raison de leurs interactions avec
les environnements. Mais, elle peut être décrite par les équations d’évolutions dans certaines
circonstances.
Dans le présent chapitre, nous avons introduit la dynamique des systèmes ouverts ainsi
que l’équation de Schrödinger (ou von Neumann). Nous avons dérivé l’équation d’évolution via
plusieurs approximations et nous avons discuté la représentation matricielle qui décrit les phénomènes de dissipation et de décohérence. Enfin, nous avons étudié les opérateurs de Kraus pour
différents canaux quantiques. Cette approche est utilisée en théorie de l’information quantique
et se généralise aisément aux systèmes multipartites.
50
Chapitre IV
La monogamie des corrélations quantiques dans
les systèmes multipartites
1
Introduction
Dans un système multipartite, l’intrication peut être transférée d’une partie à une autre
à travers un canal quantique [27]. Dans ce sens on dit que l’intrication est une ressource qui
se partage entre les différentes parties. La distribution des corrélations quantiques au sein
d’un système multipartite suit des restrictions assez sévères contrairement à la distribution des
corrélations classiques. Ces restrictions ont conduit au concept de monogamie des corrélations
quantiques.
La monogamie de l’intrication a d’abord été proposée par Coffman, Kundu et Wootters [28]
pour un système de trois qubits. Sur la base de ce cas à trois qubits, ils ont conjecturé la relation
de monogamie pour un système de plusieurs qubits. La relation de monogamie de l’intrication
stipulée par Coffman et al s’écrit
EA/BC ≥ EA/B + EA/C ,
(IV.1)
et lorsque l’intrication satisfait cette inégalité, elle est dite monogame.
Dans l’équation (IV.1), EA/BC est l’intrication partagée entre A et le système composite B et
C, et EA/B , EA/C désignent l’intrication partagée entre A et B et entre A et C respectivement.
Il faut signaler que dans le travail de Coffman, Kundu et Wootters [28], la relation de
51
Chapitre IV. La monogamie des corrélations quantiques dans les systèmes
multipartites
monogamie pour trois qubits a été prouvée en utilisant la concurrence comme mesure des
corrélations quantiques dans un système multipartite [88]. Cependant, d’autres mesures peuvent
être utilisées pour quantifier les corrélations. Ceci sera discuté dans les chapitres qui viennent.
Dans ce chapitre, nous allons introduire le concept de monogamie. Nous discutons quelques
mesures d’intrication des systèmes, purs et mixtes à deux qubits. Nous discutons également
l’évolution analytique de ces mesures pour des systèmes en basses dimensions afin de disposer
des outils pour discuter leurs monogamies dans des états de type W et GHZ. Nous allons nous
limiter aux mesures basées sur la concurrence, l’entropie linéaire et la notion de tangle.
2
Intrication dans un réseau et le concept de la monogamie d’intrication
L’état bipartite partagé entre deux parties A et B est notée ρAB . C’est un opérateur de
trace unité qui agit sur l’espace de Hilbert
HA ⊗ HB ,
(IV.2)
où HA , HB est l’espace de Hilbert pour les sous systèmes A et B respectivement.
L’intrication est un élément clé de nombreux phénomènes quantiques. C’est une ressource
non locale pour les tâches de l’information quantique. La communication de l’information classique est facile. Les opérations quantiques locales assistées pour la communication classique
sont connues comme les opérations locales de communications classiques (OLCC).
En théorie quantique, l’intrication est quantifiée par sa capacité de réaliser mieux que les
opérations de communication classique. Par conséquent, un état bipartite est intriqué si et
seulement s’il ne peut pas être préparé par OLCC entre les deux parties A et B. Cette définition
d’un état intriqué est compatible avec notre intuition que l’intrication se réfère aux corrélations
quantiques non-locales. Autrement dit, la communication classique ne peut pas générer des
corrélations quantiques, et les opérations locales ne peuvent pas générer des corrélations non
locales. Par conséquent, les OLCC ne peuvent pas générer de l’intrication. Pour cette raison,
l’intrication doit être quantifiée par des fonctions qui n’augmentent pas sous les opérations
locales.
Les états qui peuvent être préparés par OLCC (c’est à dire les états avec une intrication
nulle) sont les états séparables. Ils ont une forme particulière. Cette forme sera discutée dans
ce qui va suivre.
52
IV.2 Intrication dans un réseau et le concept de la monogamie d’intrication
Considérons deux parties A et B spatialement éloignés de sorte qu’on peut appliquer des
opérations locales indépendantes. Il est clair que si les deux parties sont très éloignées l’une
de l’autre, A peut préparer son système physique (local) dans un état σA et B peut préparer
son système dans un état σB . Donc, le système physique conjoint composite de A et B est
représenté par un état produit σA ⊗ σB .
On considère maintenant une situation dans laquelle A et B peuvent préparer leurs systèmes
(`)
(`)
physiques dans les états {σA } et {σB } respectivement selon une distribution de probabilité
fixe p` . Ici ` est un entier qui fait une distinction entre les différents états. Si A et B "oublient"
(ou perdent) les informations sur `, alors leur système physique composite est représenté par
un état ρAB séparable qui est donné par
ρAB =
X
(`)
(`)
p` σA ⊗ σB .
(IV.3)
`
N’importe quel état bipartite ρAB qui a la forme ci-dessus est appelé "un état séparable".
Les mesures d’intrication (IV.1) sont des fonctions réelles non négatives sur l’espace des
matrices densité (les états quantiques). Ils doivent satisfaire un certain nombre de conditions.
Elles doivent être nulles pour les états séparables. La propriété la plus importante de la mesure
de l’intrication est la monotonie. Cette propriété est essentielle vu que l’intrication (ou corrélation quantique) ne doit pas augmenter sous l’action d’une opération locale sur une partie
du système globale. Aussi, il est naturel de savoir que si les différentes mesures de l’intrication
sont monogames ou non. En fait, il y a seulement quelques mesures d’intrication qui sont monogames, c’est à dire qui ne violent pas la relation de la monogamie (IV.1). Il faut remarquer
que la relation de monogamie fait intervenir des corrélations quantiques bipartites seulement
bien qu’elle traite de trois qubits. En effet, dans cette relation la quantité EA/BC se réfère à la
mesure de l’intrication entre A et le sous-système composite BC considéré comme un second
sous-système. Ainsi, pour décider de la monogamie de la mesure E, la quantité
EABC = EA/BC − EA/B − EA/C ,
(IV.4)
doit être positive, lorsque E coïncide avec la concurrence de Wootters, cette différence est
interprétée comme l’intrication tripartite [28].
On considère maintenant un système à trois qubits. L’expression général d’un état pur d’un
système à trois qubits est donnée par
|ψi =
1
X
ψ1 ,2 ,3 |1 , 2 , 3 i ,
(IV.5)
1 ,2 ,3 =0
53
Chapitre IV. La monogamie des corrélations quantiques dans les systèmes
multipartites
où {|1 , 2 , 3 i ≡ |1 i ⊗ |2 i ⊗ |3 i} est la base de calcul pour les trois qubits.
Supposons ensuite que les deux premiers qubits A et B, partagent un état qui est maximalement
intriqué
E
|01i ± |10i
±
√
ψ
=
.
(IV.6)
AB
2
E
−
est un état singulet.
Si on identifie |0i et |1i avec les états d’un spin 21 , alors ψAB
Si A et B partagent un singulet, alors l’état pur pour le système composite ABC est un produit
tensoriel de l’état AB avec un qutrit C. Soit |ϕi ∈ C 2 l’état du qutrit C. L’état tripartite dans
l’équation (IV.5) doit avoir la forme |ψ − iAB |ϕiC . Il est clair que si, A et B partagent un
singulet alors l’état C est entièrement indépendant. La question est alors pourquoi l’état C
doit être entièrement indépendant et pourquoi le qubit C ne peut pas aussi être maximalement
intriqué avec A ? La réponse à cette question émerge le théorème de non clonage. Le théorème
de non clonage est un résultat de la mécanique quantique qui interdit la création de copies
identiques d’un état quantique arbitraire inconnue. Dans la figure (IV.1), on suppose que A et
B partagent également un état à deux qubits maximalement intriqué. Alors A peut téléporter
un état quantique inconnu à C.
Figure IV.1 – Etat singulet de deux qubit et la monogamie du système de 3 qubits : si les sous systèmes
A et B sont dans l’état singulet, il ne peut y avoir de partage d’intrication entre A et C, ni entre B et C.
Si A et B partagent un état maximalement intriqué, même si l’une des deux parties partage
n’importe quelle intrication que ce soit avec la troisième partie C, le théorème de non clonage
est violé [89]. Par conséquent, la monogamie de l’intrication a son fondement dans la linéarité
de la mécanique quantique.
A ce niveau, nous allons discuter la saturation de l’inégalité (IV.1) et déterminer les états qui
saturent les inégalités de la monogamie. Pour trois qubits, il existe deux types bien distincts
d’états [24] : Les états de type W et de type GHZ. L’état à trois qubits de type W est défini
par les opérations locales de communication classique
|W i = |001i + |010i + |100i ,
54
(IV.7)
IV.2 Intrication dans un réseau et le concept de la monogamie d’intrication
et l’état GHZ est de la forme [90]
|GHZi = |000i + |111i .
(IV.8)
Il est important de noter que tout état pur à trois qubit peut être transformé sous des opérations
locales en des états de type W et de type GHZ. Les corrélations quantiques restent intactes
sous ces opérations locales. Dans l’espace de Hilbert d’un système de trois qubits, l’ensemble des
états de type GHZ est deux tandis que l’ensemble relatif aux états W est de mesure nulle. De
plus, on note qu’un état |GHZiABC présente la spécifié d’être maximalement intriqué dans les
bipartitions (A/BC, AB/C et AC/B). D’un autre coté, les états W sont des états qui saturent
la relation de monogamie comme nous allons le discuter dans ce qui va suivre. Il est également
important de noter que les états de type W maximisent l’intrication bipartite moyenne dans
un système à trois qubits. Pour illustrer cela, nous considérons l’état ρAB que l’on obtient en
effectuant une trace sur le troisième qutrit C.
La matrice densité réduite pour AB de l’état W s’écrit donc
ρAB = trC |W i hW |
2 E D + 1
|00iAB h00| + ψ +
ψ ,
=
AB
3
3
(IV.9)
A cause de la symétrie de permutation, les états ρBC et ρAC sont similaires. Quelle que soit la
mesure d’intrication E choisie, il devrait être maximale pour l’état |ψ + i. Par convention, on
prend E = 1 pour les états maximalement intriqués et E = 0 pour les états non intriqués. Par
conséquent, l’intrication moyenne de la décomposition de ρAB en (IV.9) est donnée par
2 E D + 2
1
ψ ) = .
(IV.10)
E(ρAB ) = (E |00iAB h00|) + E(ψ +
AB
3
3
3
Il est important de souligner que d’autres décompositions spectrales de la matrice ρAB sont
possibles. La décomposition (IV.9) présente une intrication minimale [24] et par conséquent,
on prend E(ρAB ) = 23 . En utilisant la symétrie de permutation, nous obtenons aussi E(ρAC ) =
E(ρBC ) = 32 . Ainsi, l’intrication bipartite moyenne globale de l’état W à trois qubits est donnée
par
1
2
[E(ρAB ) + E(ρBC ) + E(ρAC )] = ,
(IV.11)
3
3
qui est la valeur maximale possible pour un état mixte de trois qubit ρABC [24]. Afin d’examiner
la relation de monogamie dans les états de type W et GHZ, nous allons discuter quelque mesures
55
Chapitre IV. La monogamie des corrélations quantiques dans les systèmes
multipartites
de l’intrication telles que la concurrence, l’entropie linéaire et la notion de tangle.
3
Mesures d’intrication bipartite
Dans ce paragraphe, nous discutons quelques mesures des corrélations quantiques des systèmes purs et mixtes, à deux qubits. Nous discutons également l’évaluation analytique de ces
mesures pour des systèmes en basses dimensions afin de disposer des outils pour discuter leurs
monogamies dans des états de type W et GHZ.
3.1
Intrication des états purs bipartites
Dans cette partie nous discutons comment quantifier l’intrication entre deux parties A et
B qui partage un état pur ρAB = |ψiAB hψ|. Comme l’intrication ne peut pas augmenter sous
une opération locale, elle doit rester inchangée sous l’opérateur inverse. Un opérateur locale
peut être par exemple une rotation locale ou un opérateur unitaire local UA . L’état du système
après la rotation locale agissent sur la partie A est UA ⊗ 1B |ψiAB . Plus généralement, étant
donné deux matrices unitaires UA et UB , l’intrication de |ψiAB est la même que l’intrication de
UA ⊗ UB |ψiAB .
Pour les états purs, l’invariance par les opérations unitaires locaux implique que le degré d’intrication pour ρAB = |ψi hψ| peut être compris en termes d’entropie de son état réduit soit
sur A ou sur B. L’état réduit d’un état bipartite, sur l’un des deux sous-systèmes A ou B, est
donné par
ρA(B) = T rB(A) ρAB .
(IV.12)
Plusieurs fonctions d’entropies classiques sont disponibles [91–95]. En effet, ces fonctions d’entropies peut être définies dans un cadre commun comme S(ρ) = tr[ρf (ρ)]. Chaque choix particulier de la fonction f conduit à une définition possible de l’entropie. En posant f (ρ) ≡ ρ,
l’entropie linéaire est définie par
Slin (ρA ) = 2(1 − trρ2A ),
(IV.13)
qui est exprimée en fonction de la pureté de l’état P = trρ2A . La pureté est maximale pour un
état réduit pur ρA . Pour un qudit (système quantique de dimension d) sa valeur minimale vaut
1
pour l’état mixte ρA = d1 1A .
d
Pour illustrer cela, nous calculons la pureté de l’état réduit obtenu à partir de l’état singulet
56
IV.3 Mesures d’intrication bipartite
|ψ − iAB de l’équation (IV.6). L’état ρA de cet état singulet prend la forme
ρA = trB ψ −
E
D
AB
1
1
ψ − = (|00iAB + |1iA h1|) = 1A .
2
2
(IV.14)
L’état maximalement intriqué |ψ − iAB , se réduit alors à l’état mixte maximal 12 I sur l’un ou
l’autre sous-système. La notion d’entropie linéaire et la pureté rendement compte de l’absence
d’intrication dans l’état du produit |00iAB . En effet l’état réduit s’écrit
ρA = T r(|00iAB h00|) = |0iA h0| ,
(IV.15)
et l’entropie linéaire est nulle. La mesure d’entropie quantifie l’incertitude associée avec le
spectre de ρ. En particulier, l’entropie linéaire s’annule si ρ est pur, et cette mesure atteint sa
valeur maximale lorsque l’état réduit d’un état mixte est maximal.
Il est clair que l’entropie linéaire peut constituer une mesure simple à évaluer pour quantifier
l’intrication dans des états bipartites purs. On définit le tangle d’un état pur |ψiAB par
τ (|ψiAB hψ|) := Slin (ρA ),
(IV.16)
en terme de l’entropie linéaire de la matrice de densité réduite ρA [88]. Dans le paragraphe
suivant, nous généraliserons cette mesure au cas des états mixtes.
3.2
Intrication des états mixtes bipartites
La notion de tangle discutée auparavant peut être prolongée au cas des états mixtes. Un
état mixte bipartite peut être écrit comme la somme
ρAB =
X
pi |ψi iAB hψi | .
(IV.17)
i
Intuitivement l’état mixte ρAB est un mélange d’états purs
{|ψi iAB , pi } ,
(IV.18)
avec |ψi iAB est un état bipartite pur et pi sa probabilité. Cette décomposition n’est pas unique.
Il existe d’autres mélanges possibles d’états purs. Si nous considérons l’état mixte comme un
ensemble d’états purs, nous pouvons caractériser le tangle de l’état mixte comme une fonction
de la collection d’éléments tangles dans l’ensemble. Ainsi, le tangle moyen dans l’ensemble
57
Chapitre IV. La monogamie des corrélations quantiques dans les systèmes
multipartites
{|ψi iAB , pi } est donné par
X
pi τ (|ψi iAB hψi |).
(IV.19)
i
Comme la décomposition de ρAB dans l’ensemble d’états purs n’est pas unique, la valeur du
tangle moyen dépend de l’ensemble sur lequel il est sélectionné.
Pour illustrer cela et spécialement la possibilité d’avoir des valeurs différentes de la mesure
tangle, nous allons considérer deux cas extrêmes. Le premier où la fonction tangle est nulle et
le second avec une valeur égale à l’unité pour la mesure tangle pour l’état à deux qubits suivant
1
1
(IV.20)
ρAB = 1AB = (|00iAB h00| + |01iAB h01| + |10iAB h10| + |11iAB h11|),
4
4
avec {|00iAB , |01iAB , |10iAB , |11iAB } est la base standard orthonormée "de calcul" pour le
système de deux qubits AB. Le tangle moyen de la décomposition (IV.19) est trivialement
nulle. Exprimé dans la base engendrée par les états de Bell {|ψ ± i , |φ± i := |00i ± |11i}, l’état
mixte maximal (IV.20) peut être écrit comme
1
1 E D + − E D − + E D + − E D − ρAB = 1AB = (φ+
φ + φ
φ + ψ
ψ + ψ
ψ ).
AB
AB
AB
AB
4
4
(IV.21)
Puisque chaque état de Bell 1 est maximalement intriqué, donc le tangle moyen de cette décomposition est maximal. Il est clair que ce résultat est différent de celui obtenu avec la première
décomposition. Le tangle moyen dépend fortement de l’ensemble de l’état pur ρAB .
Pour pallier à ce problème résultant des différents décompositions spectrales de la densité ρAB ,
on définit la fonction tangle τ (ρAB ) en effectuant une minimisation sur l’ensemble des décompositions de ρAB . Elle est donnée par
τ (ρAB ) := min
X
pi τ (|ψi iAB hψi |).
(IV.23)
i
Beaucoup de mesures d’intrication pour les états mixtes bipartites utilisent cette procédure de
minimisation [88, 94, 95]. Par exemple, l’intrication de formation d’un état mixte bipartite ρAB
est [96]
X
Ef (ρAB ) := min
pi SvN (ρiA ) avec ρiA := trB |ψi iAB hψi | ,
(IV.24)
i
1
Un état de Bell diagonal est un état à deux qubit est diagonal dans la base de Bell. En d’autres termes,
c’est un mélange de quatre états Bell. Il peut être écrit
(IV.22)
PI φ+ φ+ + Px ψ + ψ + + Py ψ − AB ψ − + Pz φ− AB φ− 58
IV.4 Monogamie de l’intrication dans les systèmes à trois qubit
où la minimisation est effectuée sur toutes les décompositions de ρAB et la fonction
SvN (ρ) = −trρ log ρ,
(IV.25)
est l’entropie de von Neumann de ρ [92].
Nous terminons cette discussion par présenter la formule de tangle de l’état mixte de deux
qubit [53]. On définit
ρeAB = (σy ⊗ σy )ρ∗AB (σy ⊗ σy ),
(IV.26)


0 −i 
avec ρAB l’état de deux qubits, ρ∗AB son complexe conjugué σy = 
l’opérateur de
i 0
Pauli. En désignant par {λi } l’ensemble des valeurs propres, par ordre décroissant, de l’opérateur
hermitien
q√
√
ρAB ρeAB ρAB ,
le tangle de ρAB est donné par [88]
τ (ρAB ) = (λ1 − λ2 − λ3 − λ4 )2 ,
(IV.27)
pour
λ1 ≥ λ2 + λ3 + λ4 .
Si cette dernière inégalité n’est pas satisfaite par les valeurs propres λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , alors
τ (ρAB ) = 0.
4
Monogamie de l’intrication dans les systèmes à trois
qubit
Nous allons discuter la monogamie des corrélations quantiques mesurées par la notion de
tangle dans des états à trois qubits. Nous nous concentrons sur les états de type W et les états
de type GHZ.
4.1
La monogamie de l’intrication des états W et états GHZ
On considère un état pur général à 3 qubits
|φiABC ∈ C2 ⊗ C2 ⊗ C2 ,
(IV.28)
59
Chapitre IV. La monogamie des corrélations quantiques dans les systèmes
multipartites
et on désigne son intrication bipartite par rapport aux trois bipartitions possibles par
τA/BC , τB/AC , τC/AB .
(IV.29)
Nous définissons la valeur du tangle moyen par
τ1 (|φiABC hφ|) =
τA/BC + τB/AC + τC/AB
.
3
(IV.30)
Le tangle moyen τ1 est toujours positif et pour des systèmes à trois qubits, le tangle ne peut
pas être supérieur à l’unité. Cette valeur maximale est obtenue par l’état GHZ, c’est à dire
τ1 (|GHZiABC hGHZ|) = 1.
(IV.31)
D’autre part, on définit une seconde mesure pour le tangle de trois qubits. Cette mesure, notée
par τ2 , est basée sur la notion de tangle de deux qubits inhérent à un état de trois qubit |φiABC .
Explicitement, elle est donnée par
τ2 (|φiABC hφ|) =
τA/B + τB/C + τA/C
,
3
(IV.32)
où τA/B (idem pour τB/C et τA/C ) désigne τ (ρAB ) où ρAB (idem ρBC et ρAC ) est la matrice de
densité réduite de deux qubits obtenue à partir de |φiABC . Pour l’état GHZ
τ2 (|GHZiABC hGHZ|) = 0,
(IV.33)
car chaque matrice de densité réduite de deux qubit dans |GHZiABC est séparable.
Il est intéressant de noter l’inégalité suivante
1 = τ1 (|GHZiABC hGHZ|) > τ2 (|GHZiABC hGHZ|) = 0.
(IV.34)
Cette inégalité entre τ1 et τ2 est toujours valable pour tout état pur arbitraire de trois qubit
|φiABC . On a
τ1 (|φiABC hφ|) ≥ τ2 (|φiABC hφ|).
(IV.35)
L’inégalité (IV.35) fournit une limite supérieure pour l’intrication de deux qubits, qui partage
simultanément τ2 (|φiABC hφ|) en termes de τ1 (|φiABC hφ|) pour un état de trois qubits |φiABC .
Cependant, cette inégalité n’est jamais saturée par un état intriqué de trois qubits : son égalité
détient seulement si |φiABC est un état de produit à trois parties.
60
IV.4 Monogamie de l’intrication dans les systèmes à trois qubit
Le tangle moyen τ2 (|φiABC hφ|) dans (IV.35) est maximal pour l’état W , et on a
4
τ2 (|φiABC hφ|) ≤ τ2 (|W iABC hW |) = .
9
(IV.36)
Cette limite supérieure résulte de la formule fermée donnée dans l’équation (IV.27) pour le
tangle entre deux qubits dans un état mixte et révèle la nature mutuellement exclusive de la
monogamie de l’état mixte dans les systèmes quantiques tripartites. Dans un système de trois
qubits, si l’intrication entre deux parties augmente, alors l’intrication entre les autres parties
doit diminuer tel que la somme de tout les intrications de deux qubits possible ne doit pas
dépasser la limite supérieure.
Les états de type W ont la forme
|φiABC = a |100iABC + b |010iABC + |001iABC ,
(IV.37)
où a, b, c ∈ C avec |a|2 + |b|2 + |c|2 = 1. L’état W est un cas particulier dans lequel a = b = c =
√
1/ 3. Pour les états de type W , en utilisant l’expression du tangle définit par (IV.27), il est
facile de voir que
τA/BC = τA/B + τA/C .
(IV.38)
Autrement dit, les états de type W saturent la relation de la monogamie. Par conséquent, cette
égalité implique aussi pour un état W de trois qubit de la forme |φiABC , nous avons
τ1 (|φiABC hφ|) = 2τ2 (|φiABC hφ|).
(IV.39)
A ce niveau, il faut signaler que la première caractérisation du concept de monogamie des
corrélations quantiques a été formulée dans la littérature par l’équation (IV.38). Spécifiquement
Coffman, Kundu et Wootters ont montré que
τA/BC ≥ τA/B + τA/C ,
(IV.40)
pour tout état à trois qubits [28]. Cette inégalité est représentée schématiquement sur la figure
suivante
61
Chapitre IV. La monogamie des corrélations quantiques dans les systèmes
multipartites
Figure IV.2 – Caractérisation de l’intrication bipartite partagée dans les systèmes à trois qubits :
l’inégalité Coffman, Kundu et Wootters.
Dans le paragraphe suivant, nous discuterons l’inégalité Coffman, kaundu et Wotters pour
des états mixtes de trois qubits et plus.
4.2
La monogamie de l’intrication pour des états mixtes de trois
qubits et plus
Considérons un état mixte de trois qubits de la forme suivante
ρABC =
X
pi |ψi iABC hψi | .
(IV.41)
i
Supposons que {pi , |ψi iABC } est la décomposition optimale minimisant le tangle moyen de ρABC
par rapport à la bipartition A/BC entre les sous systèmes A et BC. Autrement dit
τA/BC (ρABC ) =
X
pi τA/BC (|ψi iABC hψi |).
(IV.42)
i
Comme chaque |ψi iABC dans la décomposition est un état pur de trois qubits, il satisfait
l’inégalité de la monogamie (IV.2). Ainsi, pour chaque i,
τA/BC (|ψi iABC hψi |) ≥ τ (ρiAB ) + τ (ρiAC ),
(IV.43)
avec ρiAB et ρiAC sont les matrices de densité réduite de |ψi iABC sur les sous-systèmes AB et
AC, respectivement. L’inégalité de la monogamie (IV.43) et l’équation (IV.42) conduisent à
τA/BC ≥ τ (ρAB ) + τ (ρAC )
62
(IV.44)
IV.5 Conclusion
Pour un système avec un nombre arbitraire de qubits, l’inégalité (IV.44) devient
τ (ρA1 /A2 .......An ) ≥ τ (ρA1 A2 ) + ..... + τ (ρA1 An ),
(IV.45)
Pour n’importe quel état mixte de n qubits ρA1 A2 .......An où ρA1 Ai désigne la matrice densité
réduite agissant sur les sous-systèmes A1 Ai pour i = 2..., n.
5
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons commencé par une introduction de l’intrication et la monogamie d’intrication pour des cas simples. Nous avons examiné la relation de monogamie dans les
états de type W et GHZ. Nous avons aussi défini les mesures d’intrication bipartites pour les
deux états purs et mixtes. Nous avons évalué ces mesures pour des systèmes en basse dimension
afin de disposer des outils pour discuter leurs monogamies. Nous avons aussi mis en évidence
les différentes approches pour traiter la monogamie d’intrication ainsi que les principaux défis
dans le domaine. Enfin nous avons étudié la monogamie d’intrication et la notion de tangle
moyen dans des états à trois qubit.
63
Chapitre IV. La monogamie des corrélations quantiques dans les systèmes
multipartites
64
Chapitre V
La dynamique des corrélations quantiques des
états chat de Bell
1
Introduction
L’idée de coder de l’information dans des états cohérents multiphotoniques constitue un
outil prometteur dans le domaine de l’information quantique. En effet, les superpositions des
états cohérents ont été utilisés comme ressources pour réaliser des protocoles quantiques comme
la téléportation [97, 98], le calcul quantique [99–101] et pour la correction d’erreurs quantiques
[102]. Ces applications expliquent l’attention particulière accordée, à l’identification, la caractérisation et la quantification des corrélations quantiques dans les systèmes bipartites préparés
dans des états cohérents (voir par exemple les travaux [103–105]). Pour quantifier les corrélations quantiques au-delà de l’intrication, dans les systèmes des états cohérents, des mesures
telles que la discorde quantique [106, 107] [66, 67, 109–113] et sa variante géométrique [108]
[114–117] ont été utilisées.
D’autre part, la décohérence est un processus crucial pour comprendre l’émergence de classicisme dans les systèmes quantiques. Il décrit l’interaction entre le système et son environnement. Pour un qubit optique codé dans un état cohérent, l’influence de l’environnement est
principalement due à la perte d’énergie. L’amortissement de l’amplitude peut être modélisée en
supposant qu’une partie d’énergie et de l’information est perdue après la transmission à travers
un diviseur de faisceau [112, 118]. Une autre question importante dans l’analyse du processus
de décohérence concerne la distribution des corrélations quantiques entre les états cohérents
65
Chapitre V. La dynamique des corrélations quantiques des états chat de Bell
bipartites et l’environnement. Il s’en suit que, l’étude de la distribution des corrélations quantiques obéit à de sévères restrictions. Ces restrictions sont connues dans la littérature comme
la propriété de la monogamie. Le concept de la monogamie d’intrication pour les qubits a été
introduit par Coffman, Kundu et Wooters en 2001 [28]. Depuis lors, il a été étendu à d’autres
mesures de corrélations quantiques [119–123]. Pour un système tripartite ABE, la relation de
la monogamie s’écrit
QA|BE ≥ QA|B + QA|E ,
(V.1)
où QA|BE est la corrélation entre A et le sous-système BE et QA|B (reps. QA|E ) est la corrélation
entre A et B (resp A et E).
Dans ce chapitre, on s’intéresse à l’évolution des corrélations quantiques présentes dans les
états chat de Bell. Ces états sont des états cohérents de deux modes du champ électromagnétique. Nous étudierons la distribution des corrélations quantiques entre les états chat de Bell à
deux modes et de l’environnement. Pour approcher cette question, nous utiliserons les mesures
bipartites : intrication de formation, la discorde quantique et sa variante géométrique.
2
Etats de type Bell en termes des états de Glauber
En général, les états de type Bell se composent de quatre états orthogonaux [124]. Cependant, les quatre états intriqués basés sur les états non orthogonaux sont appelés les états chat de
Bell. Prenons les états cohérents d’un mode bosonique |αi et |−αi [125]. Les états |αi et |−αi
sont les états de Glauber de l’oscillateur harmonique quantique. Les états de type Bell sont
définis, pour un système bipartite AB, comme
|ψ1 iAB = h1 (|αiA |αiB + |−αiA |−αiB ),
(V.2)
|ψ2 iAB = h2 (|αiA |αiB − |−αiA |−αiB ),
(V.3)
|ψ3 iAB = h3 (|αiA |−αiB + |−αiA |αiB ),
(V.4)
|ψ4 iAB = h4 (|αiA |−αiB − |−αiA |αiB ),
(V.5)
où les facteurs de normalisation hi (i = 1, 2, 3, 4) sont donnés par
1
h1 = h3 = q
,
2(1 + p2 )
h2 = h4 = q
avec
p = hα |−αi
66
1
2(1 − p2 )
,
V.3 Mécanisme de perte de photon pour un état chat de Bell
L’expression des états cohérents de Glauber est
|αi = e
−
|α|2
2
∞
X
αn
√ |ni ,
n!
n=0
(V.6)
où |ni est un état de Fock et α l’amplitude complexe de l’état cohérent. Les quatre états chat
de Bell introduits ci-dessus se résument comme
−1
|α, ±α, mi = Nm 2 (|α, ±αi + eimπ |−α, ±αi),
(V.7)
où Nm est le facteur de normalisation défini par
2
Nm = (2 + 2e−4|α| cos mπ)
avec m = 0, 1(mod 2) est un nombre entier. Cette réécriture est pratique dans ce qui va suivre.
On note que les états de type Bell à deux modes peuvent être exprimés comme deux qubits
logiques (des états cohérents pairs et impairs) qui représentent une superpositions des deux
états de Glauber de même amplitude et phase opposée. Ces deux qubits logique sont
|±i = N± (|αi ± |−αi),
(V.8)
avec |+i et |−i sont les états pairs et impairs respectivement. Ils forment une base orthogonale
de l’espace de Hilbert. Les états cohérents de Glauber pairs et impairs jouent un rôle important
à l’échelle des corrélations des états de type Bell non orthogonaux. La production expérimentale
de ces états est possible. Par exemple l’état |α, α; 0i peut être produit par l’envoi d’un état de
√
√
la forme | 2αi + | − 2αi et le vide dans les deux ports d’entrée d’un diviseur de faisceau
50/50. Clairement, la génération des états de type Bell exige une source des états cohérents
bidimensionnelle dite états chats de Schrödinger. Il est intéressant de noter que les états de
type Bell pourraient être utilisés avec succès pour la téléportation quantique et dans beaucoup
d’autres domaines relatifs au traitement quantique de l’information [126].
3
Mécanisme de perte de photon pour un état chat de
Bell
La description du mécanisme de perte de photon, également appelé l’amortissement de
l’amplitude, peut être modéliser par l’action d’un diviseur de faisceau. Le diviseur de faisceau
67
Chapitre V. La dynamique des corrélations quantiques des états chat de Bell
offre une façon simple d’explorer la nature quantique de champ électromagnétique à travers des
expériences simples. L’étude des états intriqués a rétabli l’intérêt pour ce dispositif. Beaucoup
d’auteurs ont examiné le comportement des états quantiques lors de leur passage à travers un
diviseur de faisceau [127, 128]. Récemment, un réseau quantique des séparateurs de faisceaux
a été utilisé pour créer les états intriqués multi-partites avec des variables continues [129] et
aussi les états cohérents intriqués multi-partites [130].
On considère un système de deux qubits AB (les états de type Bell à deux modes) en
interaction avec un environnement E. L’état initial est donné par
ρABE (0) = ρAB (0) ⊗ ρE (0),
(V.9)
où
ρAB (0) = |α, ±α; miAB AB hα, ±α; m| ,
ρE (0) = |0iE E h0| .
(V.10)
La dynamique du système est unitaire. Elle est définie par
ρABE = U ρABE (0)U † .
(V.11)
Deux cas peuvent être envisagés. Le premier cas correspond au cas où les deux qubits intéragient
seulement avec leurs environnements locaux et le deuxième cas concerne la situation où un seul
qubit est affecté par son environnement local. Ici, nous considérerons le cas où le deuxième mode
d’états chat de Bell interagit avec l’environnement. Dans ce sens, nous écrivons l’opérateur
unitaire décrivant l’évolution dynamique de l’ensemble du système comme
U = I ⊗ B(θ),
(V.12)
où I est l’opérateur identité, B(θ) c’est l’opérateur décrivant l’action d’un diviseur de faisceau voir figure(V.1) qui peut produire de l’intrication quantique. L’opérateur B(θ) qui décrit
l’interaction entre le sous-système B et de l’environnement E est donné par
θ
+
+ −
B(θ) = exp[ (a−
B aE − aB aE )].
2
(V.13)
−
Les objets a+
L et aL (L = B, E) sont les opérateurs d’échelles de l’oscillateur harmonique
habituel agissant sur les modes de Fock des sous-systèmes B et E. Les coefficients de réflexion
et transmission sont
θ
θ
t = cos ,
r = sin .
(V.14)
2
2
68
V.3 Mécanisme de perte de photon pour un état chat de Bell
Figure V.1 – Schéma d’un diviseur de faisceau.
Le diviseur de faisceau modélise la dégradation de la corrélation quantique qui est transmise
avec un facteur t = e−λL (qui peut être liée à la perte d’énergie d’une fibre optique), où λ c’est
le coefficient de perte de la fibre sur une distance de transmission L. L’évolution dynamique du
système sous l’action d’un diviseur de faisceau s’écrite alors comme
ρABE = (I ⊗ B(θ))ρABE (0)(I ⊗ B(θ))† ,
= (I ⊗ B(θ))ρAB (0) ⊗ ρE (0)(I ⊗ B(θ))† ,
= (I ⊗ B(θ)) |α, ±α; miAB AB hα, ±α; m| ⊗ |0iE E h0| (I ⊗ B(θ))† ,
Il est simple de vérifier que le système total est décrit par la matrice densité
ρABE =
1
(|α, ±αt, ±αri hα, ±αt, ±αr| + eimπ |−α, ∓αt, ∓αri hα, ±αt, ±αr|
Nm
+ |−α, ∓αt, ∓αri h−α, ∓αt, ∓αr| + e−imπ |α, ±αt, ±αri h−α, ∓αt, ∓αr|).
(V.15)
l’état ρABE est pur. Puisque nous nous intéressons à la distribution des corrélations quantiques
dans ce système, on effectue une trace sur tous les modes de l’environnement. Nous obtenons
1
Nm (t) 1
[ (1+Cr ) |α, ±αt; mi hα, ±αt; m|+ (1−Cr )Z |α, ±αt; mi hα, ±αt; m| Z],
Nm 2
2
(V.16)
−2r2 |α|2
où la quantité Cr = e
et les états |α, ±αt; mi sont définis par
ρAB = T rE (ρABE ) =
|α, ±αt; mi = q
1
(|α, ±αti + eimπ |−α, ∓αti).
(V.17)
Nm (t)
69
Chapitre V. La dynamique des corrélations quantiques des états chat de Bell
Dans cette dernière équation le facteur de normalisation est
2 )|α|2
Nm (t) = 2(1 + e−2(1+t
cos mπ).
(V.18)
Dans (V.16) l’opérateur de Pauli Z est défini par
1
(|α, ±αti − eimπ |−α, ∓αti).
Z |α, ±αt; mi = q
Nm (t)
(V.19)
De même façon, nous effectuons une trace sur les modes du sous-système B pour obtenir la
matrice du sous-système AE. Elle est donnée par
1
Nm (r) 1
[ (1+Ct ) |α, ±αr; mi hα, ±αr; m|+ (1−Ct )Z |α, ±αr; mi hα, ±αr; m| Z],
Nm 2
2
(V.20)
où Nm (r), Ct et l’opération Z sont définis par des équations similaires à (V.18) et (V.19) modulo
la substitution t ↔ r (t + r = 1). On peut aussi vérifier que l’état réduit ρBE = T rA (ρABE ) est
donné par
ρAE = T rB (ρABE ) =
Nm (0) 1
1
[ (1 + C1 ) |αt, ±αr; mi hαt, ±αr; m| + (1 − C1 )Z |αt, ±αr; mi hαt, ±αr; m| Z]].
Nm 2
2
(V.21)
où Nm (0) = Nm (t = 0) et
ρBE =
|αt, ±αr; mi = √
1
(|αt, ±αri + eimπ |−αt, ∓αri)
Nm
(V.22)
Après avoir exprimé les matrices densités réduites des différents sous-composants du système
des états chat de Bell couplés à l’environnement, nous allons considérer la distribution des
corrélations quantiques entre eux et analyser la relation de la monogamie.
4
Intrication de formation
Avant de discuter la monogamie de l’intrication mesurée par la concurrence et l’intrication
de formation [131], nous allons d’abord dériver les expressions explicites de l’intrication de
formation dans les états ρAB , ρAE et ρA/BE . Pour cela, nous allons coder chacun des soussystèmes bipartites dans une paire de deux qubits logiques que nous avons déjà mentionné dans
la section précédente (les états cohérents pairs et impairs).
70
V.4 Intrication de formation
4.1
Concurrence et intrication de formation
En utilisant les résultats de la section précédente, la densité résultante ρAB (voir équation
V.16) est
ρAB =
1
Nm (t) 1
[ (1+Cr ) |α, ±αt; mi hα, ±αt; m|+ (1−Cr )Z |α, ±αt; mi hα, ±αt; m| Z]. (V.23)
Nm 2
2
Pour étudier les corrélations quantiques entre les modes A et B, un codage dans des qubits est
nécessaire. Il est introduit de la façon suivante. Pour le premier mode A, nous introduisons une
base à deux dimensions engendrée par les vecteurs |uα i et |vα i définis par
|αi = aα |uα i + bα |vα i
|−αi = aα |uα i − bα |vα i
(V.24)
où
|aα |2 + |bα |2 = 1
et |aα |2 − |bα |2 = h−α |αi .
(V.25)
Pour simplifier les calculs, nous prenons aα et bα réels tels que
s
aα =
1+p
2
s
bα =
1−p
2
2
avec p = h−α |αi = e−2|α| .
De même, pour le deuxième mode B, nous introduisons aussi une base à deux dimensions
engendrée par les vecteurs |uαt i et |vαt i définis comme
|αti = aαt |uαt i + bαt |vαt i
|−αti = aαt |uαt i − bαt |vαt i
(V.26)
La matrice densité (V.16) peut être rédigée sous la forme matricielle suivante

(1 + qr )a2α a2αt
0
0
(1 + qr )aα aαt bα bαt


2
2

0
(1 − qr )aα bαt
(1 − qr )aα aαt bα bαt
0
2

ρAB =

m
2
2
N (Bα,±α ) 
0
(1 − qr )aα aαt bα bαt
(1 − qr )bα aαt
0

(1 + qr )aα aαt bα bαt
0
0
(1 + qr )b2α b2αt
(V.27)
dans la base engendrée par les états produits de deux qubits
|1i = |uα iA ⊗ |uαt iB
|2i = |uα iA ⊗ |vαt iB
|3i = |vα iA ⊗ |uαt iB
|4i = |vα iA ⊗ |vαt iB .
71








Chapitre V. La dynamique des corrélations quantiques des états chat de Bell
Dans la matrice densité ρAB , la quantité qr est définie par
qr = cr cos(mπ).
En adaptant la formule qui conduit à la concurrence de Wootters, nous obtenons
q
√
1 − p2 1 − p2t2
,
C(ρAB ) = p
1 + p2 cos mπ
r2
(V.28)
qui coïncide avec la concurrence des états chat de Bell Bell |α, ±α; mi lorsque t = 1. Il en
résulte que l’intrication de formation pour l’état ρAB est
1 1
+
E(ρAB ) = H
2 2
q
1 + 2p2 cos mπ + p2r2 (p2 − 1)
1 + p2 cos mπ
!
(V.29)
où H(x) = −x log2 x − (1 − x) log2 (1 − x) est l’entropie binaire. Nous faisons remarque que la
densité réduite ρAE peut être obtenue à partir de la matrice densité ρAB en changeant les rôles
des paramètres de transmission t et de réflexion r. Il s’en suit que, l’état ρAE peut être exprimé
en termes de deux qubits logiques de façon analogue au schéma réalisé pour le système AB.
Ensuite, il est facile de voir que la concurrence est donnée
q
√
1 − p2 1 − p2r2
,
C(ρAE ) = p
1 + p2 cos mπ
t2
(V.30)
et par conséquent l’intrication de formation s’écrit comme
1 1
E(ρAE ) = H
+
2 2
q
1 + 2p2 cos mπ + p2t2 (p2 − 1)
.
1 + p2 cos mπ
!
(V.31)
Enfin, le système pur ABE peut être divisé en deux sous-systèmes A et BE. Pour le premier
mode A, nous considérons la base à deux dimensions engendrée par les vecteurs |uα i et |vα i
définie par l’équation (V.24). Pour le sous-système BE, nous introduisons deux qubits logiques
|0i et |1i comme suit
| ± αt, ±αri = aα |0i + bα |1i
où aα et bα sont donnés par
√
aα =
72
1+p
√
2
| ∓ αt, ∓αri = aα |0i − bα |1i,
√
bα =
1−p
√ .
2
(V.32)
V.4 Intrication de formation
Il en résulte que, pour m = 0 (mod 2), nous avons

ρA|BE =


4 

N0 


a4α
0
0
2 2
aα b α
0 a2α b2α
0
0
0
0
0 b4α
0
0
0
0




,



(V.33)
et pour m = 1 (mod 2), l’état ρA|BE est donnée par

ρA|BE
4a2 b2
= α α
N1







0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0




,



(V.34)
dans la base {|uα , 0i, |uα , 1i, |vα , 0i, |vα , 1i}. La concurrence et l’intrication de formation sont
donnés par
1 − p2
,
(V.35)
C(ρA|BE ) =
1 + p2 cos mπ
1 1 p cos mπ
2
+
.
E(ρA|BE ) = H
2 2 1 + p2 cos mπ
!
4.2
(V.36)
La monogamie de la concurrence et l’intrication de formation
La monogamie d’intrication a été introduite par Coffman, Kundu et Wootters [28] pour un
système à trois qubits. Le concept de monogamie a été généralisé à un système de N qubits.
Cette relation fait intervenir les concurrences bipartites au sein du système global. Elle est
donnée par
2
2
2
2
2
≥ C12
+ C13
+ C14
.....C1N
.
(V.37)
C1/23...N
Cette relation nous dit qu’une particule (particule 1) ne peut pas partager librement l’intrication
avec d’autres qubits. Pour un système à trois qubits A, B et E, la monogamie peut être définie
par
τA,B,E = C 2 (ρA|BE ) − C 2 (ρAB ) − C 2 (ρAE ).
(V.38)
En utilisant les résultats (V.35),(V.30) et(V.28), nous obtenons
2
τA,B,E
2
(1 + p2 ) − (p2r + p2t )
= (1 − p )
.
(1 + p2 cos mπ)2
2
(V.39)
73
Chapitre V. La dynamique des corrélations quantiques des états chat de Bell
Dans les figures (V.2) et (V.3), correspondant respectivement aux états chat de Bell symétriques
et anti-symétriques, nous traçons τA,B,E en fonction de p et t2 . Il est clair que τA,B,E est toujours
positive et donc la condition de la monogamie est satisfaite. Ceci traduit la monogamie de la
concurrence dans le système AB couplé à l’environnement E.
Figure V.2 – Variation τA,B,E en fonction du paramètre de recouvrement p et le coefficient t2 pour
m = 0.
Figure V.3 – Variation τA,B,E en fonction du paramètre de recouvrement p et le coefficient t2 pour
m = 1.
En particulier, lorsque l’effet de la décohérence est modélisé par un diviseur de faisceau
50/50 (c’est à dire que r2 = t2 = 21 ), on obtient
τA,B,E (m = 0) =
74
(1 − p2 )(1 − p)2
.
(1 + p2 )2
(V.40)
V.4 Intrication de formation
Pour les états chat de Bell symétriques, et pour les anti-symétriques, nous avons
τA,B,E (m = 1) =
1−p
1+p
(V.41)
Clairement, dans les deux cas τA,B,E est toujours positive en accord avec les résultats reportés
dans les figures (V.2) et (V.3). A la limite, p −→ 0 (resp. p −→ 1), on peut vérifier que la
monogamie τA,B,E = 1 (resp. τA,B,E = 0). Il y a lieu de noter que la monogamie d’intrication
de formation est une quantité positive.
EA,B,E ≡ EA,B,E (t2 , p) = E(ρA|BE ) − E(ρAB ) − E(ρAE ).
(V.42)
D’après les équations (V.29),(V.31) et (V.36), on trouve que
EA,B,E (t2 , p) = EA,B,E (r2 = 1 − t2 , p).
(V.43)
Dans ce qui va suivre, nous limiterons notre discussion à un coefficient de transmission 0 ≤
t2 ≤ 0.5. Le comportement de la fonction E = EA,B,E est reportée dans les figures (V.4) et
(V.5) pour les états chat de Bell pair (m = 0). Il est symétrique pour t2 = 21 . La figure (V.4)
montre que la fonction EA,B,E n’est pas toujours positive pour les états chat de Bell qui sont
symétriques et l’intrication de formation ne satisfait pas la relation de la monogamie pour les
petites valeur de t2 . Pour voir clairement cette caractéristique, nous reportons la figure (V.5), la
quantité EA,B,E pour les coefficients de transmission t2 prenant des valeurs entre 0.0125 et 0.2.
La figure (V.5) révèle que pour t2 ≤ 0.025, la relation de la monogamie est violée pour les états
chat de Bell impliquant d’états cohérents de Glauber ayant un paramètre de recouvrement tel
que 0 ≤ p ≤ 0.4.
Figure V.4 – E = EA,B,E en fonction du p et t2 pour m = 0.
75
Chapitre V. La dynamique des corrélations quantiques des états chat de Bell
Figure V.5 – E = EA,B,E en fonction du p pour les petites valeurs de t2 lorsque m = 0.
Pour les états chat de Bell impair (m = 1), la fonction E = EA,B,E est reportée sur la figure
(V.6). Cette figure montre que la fonction diminue rapidement de l’unité pour disparaître
lorsque p ' 0.33 quelque soit la valeur du paramètre de transmission t2 . Il s’en suit que pour
0 ≤ p ≤ 0.33 l’intrication de formation est monogame. La fonction E = EA,B,E devient négative
et l’inégalité de la monogamie est satisfaite pour 0.33 ≤ p ≤ 1.
Figure V.6 – E = EA,B,E en fonction du p et t2 pour m = 1.
76
V.5 Discorde quantique
5
5.1
Discorde quantique
la discorde quantique et la relation de Koashi-Winter
Dans le chapitre II, nous avons introduit la définition de la discorde quantique. Cette quantité est définie comme la corrélation totale et la corrélation classique [64]
D(ρAB ) = I(ρAB ) − J(ρAB ) = S(ρA ) + Semin − S(ρAB ).
(V.44)
La valeur minimale de l’entropie conditionnelle est exactement donnée par l’intrication de formation E(ρBC ) de l’état ρBC qui est le complément de la matrice densité ρAB . Cette relation a
été établit par Koashi-Winter [65]. Nous avons alors
!
Semin
1 1q
+
1 − |C(ρBC )|2 ,
= E(ρBC ) = H
2 2
(V.45)
une relation entre la corrélation classique d’un état bipartite ρAB et l’intrication de formation
de son complément ρBC . Cette connexion nécessite une purification de l’état ρAB par un qubit
C et fournit un algorithme explicite pour déterminer la discorde quantique pour un état mixte
à deux qubits de rang 2.
5.2
Calcul analytique de la discorde quantique
Pour évaluer la discorde quantique dans l’état (V.16), nous calculons d’abord l’information
mutuelle I(ρAB ). Les valeurs propres de la matrice densité ρAB de rang de deux qubits sont
données par
2
2
(1 ± pr cos mπ)(1 ± pt +1 )
AB
,
(V.46)
λ± =
2 + 2p2 cos mπ
et l’entropie conjointe est
AB
AB
AB
S(ρAB ) = −λAB
+ log2 λ+ − λ− log2 λ− .
(V.47)
L’information mutuelle quantique prend alors la forme suivante
I(ρAB ) = S(ρA ) + S(ρB ) +
X
λAB
log2 λAB
j
j ,
(V.48)
j=+,−
77
Chapitre V. La dynamique des corrélations quantiques des états chat de Bell
où ρA et ρB sont les états marginaux de ρAB avec
B
B
B
S(ρB ) = −λB
+ log2 λ+ − λ− log2 λ−
A
A
A
S(ρA ) = −λA
+ log2 λ+ − λ− log2 λ−
où
λA
±
1
1 ± p cos mπ
= (1 ± p)
2
1 + p2 cos mπ
(V.49)
2
λB
±
r +1
1
cos mπ
2 1 ± p
= (1 ± pt )
.
2
2
2 + 2p cos mπ
(V.50)
En reportant les résultats (V.49) dans (V.48), l’information mutuelle quantique s’écrit
B
AB
I(ρAB ) = H(λA
+ ) + H(λ+ ) − H(λ+ ).
(V.51)
Pour calculer la forme explicite de la corrélation classique J(ρAB ), nous utilisons la décomposition sepectrale de la matrice ρAB
AB
ρAB = λAB
+ |ψ+ ihψ+ | + λ− |ψ− ihψ− |,
(V.52)
où les valeurs propres λAB
± sont données par (V.46) et les états propres |ψ± i sont
1
|ψ+ i = q
(aα aαt |uα , uαt i + bα bαt |vα , vαt i)
a2α a2αt + b2α b2αt
1
|ψ− i = q
(aα bαt |uα , vαt i + bα aαt |vα , vαt i).
a2α b2αt + b2α a2αt
(V.53)
En attachant un qubit C au système bipartite ρAB , nous écrivons la purification de ρAB comme
|ψi =
q
λAB
+ |ψ+ i ⊗ |uα i +
q
λAB
− |ψ− i ⊗ |vα i
(V.54)
de telle sorte que l’ensemble du système ABC est décrit par l’état pur de densité ρABC = |ψihψ|
pour que ρAB = TrC ρABC et ρBC = TrA ρABC . La relation de Koashi-Winter simplifie le processus de minimisation d’entropie conditionnelle et la quantité minimale d’entropie conditionnelle
coïncide avec l’intrication de formation de ρBC . Donc, l’intrication de formation de l’état ρBC
est
!
1 1q
e
2
Smin = E(ρBC ) = H
+
1 − |C(ρBC )| ,
(V.55)
2 2
où
q
C(ρBC ) =
78
p2 (1 − p2r2 )(1 − p2t2 )
.
(1 + p2 cos mπ)
(V.56)
V.5 Discorde quantique
On note que ce résultat peut être obtenu par la procédure de minimisation présenté dans
[67](voir aussi [68]). En utilisant la définition de la corrélation classique donnée par
J(ρAB ) = max S(ρB ) −
X
M
e
pB
k S(ρBk ) = S(ρB ) − Smin ,
(V.57)
k
nous obtenons
r2 +1
J(ρAB ) = H
1
cos mπ
2 1 + p
(1 + pt )
2
4
1 + p cos mπ
!
−H
v
!
u
2r2
2t2
1u
t1 − p2 (1 − p )(1 − p ) ,
1
+
2 2
(1 + p2 cos mπ)2
(V.58)
Finalement en utilisant l’équation (V.44), l’expression explicite de la discorde quantique s’écrit
1 + p 1 + p cos mπ
D(ρAB ) = H
2 1 + p2 cos mπ
+H
!
2
2 +1
(1 + pr cos mπ)(1 + pt
−H
2 + 2p2 cos mπ
)
!
v
!
u
2r2
2t2
1u
t1 − p2 (1 − p )(1 − p )
1
+
2 2
(V.59)
(1 + p2 cos mπ)2
Nous notons que pour r = 0, les états ρAB se réduisent à des états purs de type Bell (V.7) et
la discorde quantique (V.59) donne
!
1 + p 1 + p cos mπ
,
D(|α, ±α; mi) = H
2 1 + p2 cos mπ
(V.60)
qui coïncide avec l’intrication de formation, des état de type Bell donnée par
!
1 1q
E(|α, ±α; mi) = H
+
1 − |C(|α, ±α; mi)|2 ,
2 2
(V.61)
où la concurrence est donnée par
C(|α, ±α; mi) =
1 − p2
.
1 + p2 cos mπ
(V.62)
La discorde quantique présente dans l’état bipartite ρAE peut être simplement obtenue à partir
de l’équation (V.59) en changeant r par t. Nous avons donc l’expression suivante
1 + p 1 + p cos mπ
D(ρAE ) = H
2 1 + p2 cos mπ
+H
!
2
(1 + pt cos mπ)(1 + pr
−H
2 + 2p2 cos mπ
v
!
u
2r2 )(1 − p2t2 )
1u
(1
−
p
t1 − p2
1
+
2 2
(1 + p2 cos mπ)2
2 +1
)
!
(V.63)
79
Chapitre V. La dynamique des corrélations quantiques des états chat de Bell
L’état ρA|BE est pur et la discorde quantique coïncide avec l’intrication de formation
D(ρA|BE ) = E(ρA|BE )
(V.64)
où E(ρA|BE ) est donnée par la formule (V.36).
5.3
La monogamie de la discorde quantique
Dans la section précédente, nous avons présenté la monogamie de la concurrence et de
l’intrication de formation. De façon similaire, nous examinons la monogamie de la discorde
quantique en évaluant la quantité
DA,B,E = D(ρA|BE ) − D(ρAB ) − D(ρAE ),
(V.65)
qui définie comme étant la différence entre D(ρA|BE ) et la somme D(ρAB ) + D(ρAE ).
Pour les états chat de Bell symétriques (m = 0), les résultats numériques présentes dans les
figures (V.7) et (V.8) montre que la discorde quantique est monogame quelque soit la valeur
du paramètre de réflexion r et de recouvrement p. Pour un diviseur de faisceau 50/50, le
comportement de la quantité DA,B,E est donné dans la figure (V.8). Il indique que DA,B,E est
maximale pour p = 0 et il diminu pour atteindre une valeur minimale pour p = 0, 5 et croit
lentement ensuite.
Figure V.7 – D = DA,B,E en fonction du paramètre de recouvrement p et le coefficient de réflexion r2
pour m = 0.
80
V.5 Discorde quantique
Figure V.8 – D = DA,B,E en fonction du paramètre de recouvrement p pour t2 =
1
2
et m = 0.
Pour les états chat de Bell antisymétriques (m = 1), la monogamie est violée lorsque le
paramètre de recouvrement p s’approche de l’unité (voir figures (V.9) et (V.10)). Cette variation
est clairement illustré dans la figure (V.10) où t2 = 1/2. La fonction D = DA,B,E devient
négative pour 0.85 ≤ p ≤ 1.
Figure V.9 – D = DA,B,E en fonction du paramètre de recouvrement p et le coefficient de réflexion r2
pour m = 1.
81
Chapitre V. La dynamique des corrélations quantiques des états chat de Bell
Figure V.10 – D = DA,B,E en fonction du paramètre de recouvrement p pour t2 =
6
1
2
et m = 1.
Mesure géométrique de la discorde quantique
6.1
L’expression de la mesure géométrique
L’expression explicite de la mesure géométrique de la discorde quantique est donnée par
Dg (ρ) =
1
||x||2 + ||R||2 − λmax ,
4
(V.66)
avec ||x||2 + ||R||2 = TrK, et λmax est la plus grande valeur propre de la matrice définie
par K := xxT + RRT (voir chapitre II). Explicitement la mesure géométrique de la discorde
quantique s’écrit
1
Dg (ρ) = min{λ1 + λ2 , λ1 + λ3 , λ2 + λ3 }.
(V.67)
4
Dans la représentation de Fano-Bloch, la matrice de densité ρAB s’écrit comme
3
X
1
=
σ0 ⊗ σ0 + R30 σ3 ⊗ σ0 + R03 σ0 ⊗ σ3 +
Rii σi ⊗ σi ,
4
i=1
!
ρAB
(V.68)
où les éléments de la matrice de corrélation sont donnés par
2
R03
q
R11 =
82
2
pt + p2−t cos mπ
=
,
1 + p2 cos mπ
(1 − p2 )(1 − p2t2 )
,
1 + p2 cos mπ
R30 =
q
r2
R22 = −p cos mπ
p(1 + cos mπ)
,
1 + p2 cos mπ
(1 − p2 )(1 − p2t2 )
,
1 + p2 cos mπ
(V.69)
2
R33 =
2
p1−t cos mπ + p1+t
.
1 + p2 cos mπ
V.6 Mesure géométrique de la discorde quantique
Les valeurs propres de la matrice K sont données par
2
2
2
p2t + p−2t + 4 cos mπ + 2
λ1 = p
,
(1 + p2 cos mπ)2
(1 − p2 )(1 − p2t )
λ2 =
,
(1 + p2 cos mπ)2
2
λ3 = p
2
− p2 )(1 − p2t )
.
(1 + p2 cos mπ)2
2r2 (1
Il est clair que λ3 ≤ λ2 , et il s’en suit que l’équation (V.67) se réécrit
Dg (ρAB ) =
1
min{λ1 + λ3 , λ2 + λ3 }.
4
(V.70)
Pour λ1 ≥ λ2 , la mesure géométrique de la discorde quantique est
Dg =
λ2 + λ3
.
4
(V.71)
Dg =
λ1 + λ3
.
4
(V.72)
Tandis que pour λ1 ≤ λ2 , nous avons
Explicitement, la condition λ1 ≥ λ2 s’écrit
2
2
p2r + p2t + p2 (4 cos mπ + 3) − 1 ≥ 0.
(V.73)
Pour les états symétriques (m = 0), cette dernière condition conduit à
2
2
p2r + p2t + 7p2 − 1 ≥ 0.
(V.74)
√
qui est satisfaite lorsque 2 72−1 ≤ p ≤ 1 pour toute les valeurs possibles de t. Il en résulte que,
√
pour 2 72−1 ≤ p ≤ 1, la discorde géométrique est donnée par
2
Dg (ρAB ) =
Pour 0 ≤ p ≤
√
2 2−1
,
7
2
λ2 + λ3
1 + p2r (1 − p2 )(1 − p2t )
=
.
4
4
(1 + p2 )2
(V.75)
la condition (V.74) est satisfaite pour
0 ≤ t2 ≤ t2−
t2+ ≤ t2 ≤ 1
83
Chapitre V. La dynamique des corrélations quantiques des états chat de Bell
où
"
t2∓
1 1
= +
2 2
ln
v
!2
u
u
1−7p2
1−7p2
t
±
2p
2p
#
−1
.
ln p
Dans ce cas, la mesure géométrique de la discorde quantique est
2
2
λ2 + λ3
1 + p2r (1 − p2 )(1 − p2t )
Dg (ρAB ) =
=
.
4
4
(1 + p2 )2
Toutefois, pour les états cohérents avec 0 ≤ p ≤
t satisfait t2− ≤ t2 ≤ t2+ , nous avons
2
√
2 2−1
7
(V.76)
et lorsque les paramètres de transmission
2
p2r + p2t + 7p2 − 1 ≤ 0,
(V.77)
et la discorde quantique géométrique est donnée par
2
2
2
λ1 + λ3
1 p2t + p−2t + 6 1 2(1−t2 ) (1 − p2 )(1 − p2t )
Dg (ρAB ) =
= p2
+ p
.
4
4
(1 + p2 )2
4
(1 + p2 )2
(V.78)
Pour les états chat de Bell antisymétriques (m = 1 (mod 2)), la condition λ1 ≤ λ2 est toujours
satisfaite et dans ce cas la discorde géométrique prend la forme sipmle
2
2
2
λ1 + λ3
p2r (2 − p2t − p2 ) 1 − p2t
Dg (ρAB ) =
=
.
4
4
(1 − p2 )2
(V.79)
La mesure géométrique de la discorde quantique présente dans l’état ρAE s’obtient à partir de
Dg (ρAB ) en changeant r par t
Dans le schéma de partition A|BE, il est facile de vérifier que la discorde géométrique est
donnée directement en terme de la concurrence de l’état ρA|BE comme suit
1 Dg (ρA|BE ) = C 2 ρA|BE
2
(V.80)
1
(1 − p)2
Dg (ρA|BE ) =
.
2 (1 + p2 cos mπ)2
(V.81)
qui se réécrit comme
en terme du paramètre de recouvrement p.
84
V.6 Mesure géométrique de la discorde quantique
6.2
La monogamie de la discorde géométrique
Pour illustrer l’analyse présenté dans le paragraphe précédent, nous allons considéré le cas
particulier où la décohérence des états chat de Bell est modélisée par l’action d’un diviseur
de faisceau 50/50. Nous traitons d’abord l’évolution de la mesure géométrique de la discorde
quantique pour des états chat quasi-Bell symétriques (m = 0). Dans ce cas et en utilisant les
√
résultats obtenus dans le paragraphe précédent, il est simplement vérifié que pour 0 ≤ p ≤ 2 72−1
Dg (ρAB ) = Dg (ρAE ) =
et pour
√
2 2−1
7
p p3 + 5p + 2
,
4 (1 + p2 )2
(V.82)
1 (1 − p2 )2
.
4 (1 + p2 )2
(V.83)
≤p≤1
Dg (ρAB ) = Dg (ρAE ) =
Nous avons aussi
Dg (ρA|BE ) =
1 (1 − p)2
,
2 (1 + p2 )2
(V.84)
pour 0 ≤ p ≤ 1. Afin d’étudier la monogamie de cette mesure géométrique, nous introduisons
la quantité Dg (A, B, E) s’écrit comme
Dg (A, B, E) = Dg (ρA|BE ) − Dg (ρAB ) − Dg (ρAE ).
(V.85)
Sur la figure (V.11), on reporte le comportement de la quantité Dg (A, B, E) en fonction du
paramètre de recouvrement p.
Figure V.11 – Dg = Dg (A, B, E) en fonction du paramètre de recouvrement p pour t2 =
1
2
et m = 0.
85
Chapitre V. La dynamique des corrélations quantiques des états chat de Bell
Clairement, la mesure géométrique de discorde quantique est monogame pour les états chat
de Bell lorsque p tel que 0 ≤ p ≤ 0.206783. Cependant elle ne suit pas la propriété de la
monogamie pour p en dehors de cet intervalle.
Pour les états chat de Bell antisymétriques (m = 1), nous avons
Dg (ρAB ) = Dg (ρAE ) =
et
Dg (ρA|BE ) =
1 p2 + 2p
,
4 (1 + p)2
1
1
.
2 (1 + p)2
(V.86)
(V.87)
√
Dans ce cas, la quantité définie par Dg (A, B, E) est positive pour 0 ≤ p ≤ 2 − 1 et la
discorde quantique géométrique est monogame. Cependant, la monogamie est violée lorsque
√
2 − 1 ≤ p ≤ 1.
7
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons étudié les propriétés de la décohérence des états chat de Bell
définis en termes des états cohérents de Glauber. Les effets de la décohérence sont qualitativement modélisés par l’action d’un diviseur de faisceau. Cet effet est paramétré par un coefficient
de transmission t pour tenir compte de la perte de l’information. Nous avons utilisé un codage
en qubits logiques pour convertir les variables continues (états cohérents pairs et impairs de
Glauber) en qubits discrets. Par la concurrence, l’intrication de formation, la discorde quantique et sa variante géométrique, nous avons caractérisé les corrélations quantiques entre les
états chat de Bell à deux modes. Les expressions analytiques explicites de ces mesures ont été
obtenues. Enfin, nous avons étudié la distribution de l’intrication de formation, de la discorde
quantique et de la discorde géométrique entre les états chat de Bell et l’environnement. Nous
avons démontré que les corrélations quantiques mesurées par la concurrence satisfont la relation
de la monogamie. Nous avons aussi montré que lorsque les corrélations sont mesurées par des
mesures entropiques ou géométriques comme l’intrication de formation et la discorde quantique
ou sa mesure géométrique, la monogamie est satisfaite dans certains cas particuliers pour des
valeurs spécifiques de la force du couplage avec l’environnement.
En particulier, pour chacune des mesures mentionnées ci-dessus, nous avons déterminé les
valeurs critiques du paramètre de transmission t et du paramètre de recouvrement p pour les
quelles la relation de la monogamie est satisfaite ou violée.
86
Chapitre VI
Corrélations quantiques globales dans des états
tripartites non orthogonaux et les propriétés de
la monogamie
1
Introduction
Des réalisations remarquables dans la caractérisation, l’identification et la quantification
des corrélations quantiques dans les systèmes quantiques bipartites ont été accomplies dans
les deux dernières décennies [132–136]. L’intrication quantique a été généralement considérée
comme un synonyme de corrélation quantique et par conséquent considérée comme le seul
type de corrélation non classique existant dans un système quantique multipartite. Cependant,
l’intrication quantique ne rend pas compte de tous les aspects des corrélations quantiques et des
états mixtes non intriqués peuvent posséder des corrélations quantiques. A cet égard, d’autres
mesures des corrélations quantiques au-delà de l’intrication ont été proposées et étudiées [106,
107].
La discorde quantique coïncide avec l’intrication de formation pour les états purs. Pour des
états mixtes, l’évaluation explicite de la discorde quantique requiert une procédure d’optimisation potentiellement complexe et cette procédure a été faite pour un ensemble limité de système
à deux qubits [66, 67, 109–113] (voir chapitre II, section 5.3).
D’autre part, la caractérisation des corrélations quantiques présentes dans les systèmes
multipartites rencontre beaucoup d’obstacles et l’extension des mesures bipartites habituelles
87
Chapitre VI. Corrélations quantiques globales dans des états tripartites non
orthogonaux et les propriétés de la monogamie
pour les systèmes à plusieurs particules n’est pas bien comprise [137]. Malgré d’intenses efforts
par résoudre ce problème [138–142], il reste encore beaucoup de questions non résolues. Les
différentes approches pour quantifier les corrélations multipartites dans les systèmes quantiques
ont été proposées dans la littérature [146–148]. En particulier, Rulli et Sarandy [147] ont définit
la mesure de corrélation quantique globale dans un système multipartite comme le maximum de
la corrélation existant entre toutes les bipartitions possibles du système quantique multipartite.
Dans cet article, et dans l’esprit des idées discutées dans [148], nous définissons la corrélation
quantique globale présente dans un système tripartite ABC de type (VI.2) comme la somme
de tous les corrélations bipartites du système. Explicitement, la corrélation quantique globale
est donnée par
Q(A,B,C) =
1
QAB + QBA + QAC + QCA + QBC + QCB
12
!
+ QA(BC) + Q(BC)A + QB(AC) + Q(AC)B + QC(AB) + Q(AB)C ,
(VI.1)
où la mesure Q désigne la concurrence, l’intrication de formation, la discorde quantique ou
entropique (basé sur la notion d’entropie) la discorde quantique géométrique.
Une autre caractéristique importante dans l’étude des corrélations quantiques multipartites
est la relation de la monogamie. Cette relation a été discutée dans les chapitres précédents. Elle
qui impose une restriction sévère de distribution des corrélations quantiques dans un système
quantique comprenant trois parties ou plus.
Dans ce chapitre, nous dérivons les corrélations quantiques globales, dans les états tripartites purs non orthogonaux, comme étant la somme des corrélations de toutes les bipartitions
possibles. Ceci est fait pour des mesures largement utilisées dans la littérature : la concurrence,
l’intrication de formation, la discorde quantique et la discorde quantique géométrique. Pour
convertir les états non orthogonaux en qubits, un état tripartite à trois qubits est réalisé. Cette
réalisation est similaire à celle récemment utilisée dans l’analyse des propriétés d’intrication
bipartites sans les états cohérents bipartites [103, 104, 112, 113, 117, 152], Comme cas particulier des superpositions d’états non orthogonaux, nous considérons les états chat de Schrödinger
à trois modes, définis à l’aide des états cohérents de Glauber. Nous donnons les expressions
explicites des corrélations tripartites globales. Nous discuterons également les limites de la
distribution des corrélations quantiques entre les trois modes.
Ce chapitre est organisé comme suit. Afin de discuter les corrélations quantiques bipartites
dans les états tripartites non orthogonaux, nous introduirons, dans la seconde section, deux
différents schémas de bipartition. Dans la troisième section, nous donnerons les expressions
88
VI.2 Etats tripartites non orthogonaux
analytiques de l’intrication de formation bipartite et de la discorde quantique. Nous discutons la
relation de conservation entre ces deux mesures entropiques qui implique que la mesure globale
tripartite de la discorde quantique et l’intrication de la formation sont identiques. Dans la
quatrième section, nous dérivons la discorde quantique géométrique pour tous les sous-systèmes
bipartites possibles. A titre d’illustration, nous considérons dans la cinquième section, les états
chat de Schrödinger à trois modes basés sur les états cohérents de Glauber. En particulier, nous
discutons la propriété de la monogamie de l’intrication mesurée par la concurrence, l’intrication
de formation, de la discorde quantique et la discorde quantique géométrique.
2
Etats tripartites non orthogonaux
Un état tripartie partagé entre trois parties A, B et C, est noté par l’opérateur ρABC de
trace unité. Dans ce paragraphe, nous allons examiner l’état pur tripartite comprenant trois
sous-systèmes identiques vivant dans l’espace de Hilbert H ⊗ H ⊗ H. La dimension de H peut
être finie ou infinie. Pour simplifier notre travail, nous nous focalisons sur un état intriqué
tripartite de la forme
|Ψ, mi = N(|ψ1 i ⊗ |ψ2 i ⊗ |ψ3 i + eimπ |φ1 i ⊗ |φ2 i ⊗ |φ3 i),
(VI.2)
où m ∈ Z, |ψi i et |φi i sont les états normalisés du sous-système i (i = 1, 2, 3). Ils sont les superpositions linéaires des états propres {|en i} du sous-système i. Les produits scalaires hψi |φi i = pi
sont en général non nulls. Dans l’équation (VI.2), le facteur de normalisation N de l’état tripartite est donné par
h
i−1/2
N = 2 + 2p1 p2 p3 cos mπ
.
Nous supposons que p1 , p2 et p3 sont réels. Pour déterminer les expressions explicites des
corrélations quantiques bipartites dans l’équation (VI.2). L’ensemble du système peut être
divisé de deux façons différentes. Pour chaque bipartition, les sous-systèmes sont convertis en
des systèmes à deux qubits. Cette transformation fait passer par d’états non orthogonaux à
une base orthonormale. Cette technique est similaire à celle utilisée dans [153–156], qui s’est
avéré utile pour examiner les propriétés d’intrication pour les états cohérents multipartites.
2.1
Bipartitions purs d’un état tripartite
Nous considérons d’abord la bipartition pure du système tripartite (VI.2). Dans ce cas,
l’ensemble du système se divise en deux sous-systèmes : un sous-système contenant une particule
89
Chapitre VI. Corrélations quantiques globales dans des états tripartites non
orthogonaux et les propriétés de la monogamie
et l’autre contenant les particules restantes. Trois partitions sont possibles.
En effet, l’état |Ψ, mi peut être décomposé comme
|Ψ, mi = N(|ψik ⊗ |ψiij + eimπ |φik ⊗ |φiij ),
(VI.3)
où
|ψik = |ψk i,
|φik = |φk i
k = 1, 2 ou 3,
et
|ψiij = |ψii ⊗ |ψij
i, j 6= k.
L’état du système |Ψ, mi peut être exprimé en terme des états de deux qubits logiques. Ceci
peut être réalisé en introduisant la base orthogonale {|0ik , |1ik } définie comme
|ψik − |φik
|1ik = q
.
2(1 − pk )
|ψik + |φik
|0ik = q
2(1 + pk )
(VI.4)
Pour le sous-système indexé par k(k = 1,2 ou 3). Pour le deuxième sous-système (ij), nous
introduirons, la base orthogonale {|0iij , |1iij } donnée par
|ψiij − |φiij
|1iij = q
.
2(1 − pi pj )
|ψiij + |φiij
|0iij = q
2(1 + pi pj )
(VI.5)
L’insertion (VI.4) et (VI.5) dans (VI.3), nous fournit l’expression de l’état pur |Ψ, mi dans la
base {|0ik ⊗ |0iij , |0ik ⊗ |1iij , |1ik ⊗ |0iij , |1ik ⊗ |1iij }. Elle est donnée par
|Ψ, mi =
X
X
Cα,β |αik ⊗ |βiij ,
α=0,1 β=0,1
où les coefficients Cα,β sont
+
C0,0 = N(1 + eimπ )c+
k cij ,
−
C0,1 = N(1 − eimπ )a+
k cij ,
−
C1,0 = N(1 − eimπ )c+
ij ck ,
−
C1,1 = N(1 + eimπ )c−
k cij ,
en termes des quantités
s
c±
k =
90
1 ± pk
2
s
c±
ij =
1 ± pi pj
.
2
(VI.6)
VI.2 Etats tripartites non orthogonaux
2.2
Bipartitions mixtes d’un état tripartite
La seconde bipartition peut être réalisée en considérant la matrice densité réduite bipartite
ρij qui est obtenue par la trace partielle de la matrice ρijk du troisième qubit logique k
ρij = Trk6=i,j (|Ψ, mihΨ, m|).
(VI.7)
Dans ce cas, les trois différents états bipartites mixtes possibles sont : ρ12 , ρ13 et ρ23 . La matrice
densité réduite ρij est donnée par
ρij = N2 (|ψi , ψj ihψi , ψj | + |φi , φj ihφi , φj | + eimπ qij |φi , φj ihψi , ψj | + e−imπ qij |ψi , ψj ihφi , φj |),
(VI.8)
avec qij ≡ p1 p2 p3 /pi pj . Il est intéressant de noter que la densité ρij est un état mixte de rang
2. En Effet, l’état (VI.8) peut être écrit comme
N2
ρij = 2 a2ij |Ψij ihΨij | + b2ij Z|Ψij ihΨij |Z ,
Nij
"
#
(VI.9)
où Nij est le facteur de normalisation de l’état bipartite |ψij i donné par
|Ψij i = Nij (|ψi , ψj i + eimπ |φi , φj i),
(VI.10)
et l’opérateur Z est le troisième générateur de Pauli défini par
Z|Ψij i = Nij (|ψi , ψj i − eimπ |φi , φj i).
(VI.11)
Les coefficients aij et bij sont exprimés en termes de quantités qij comme suit
s
aij =
1 + qij
2
s
bij =
1 − qij
.
2
Dans ce cas aussi la matrice densité réduite ρij peut s’exprimer dans une base de l’espace des
états de deux qubits logiques. En effet, nous définissons, pour le sous-systèmes i et j dans les
bases orthogonales {|0i i, |1i i} et {|0j i, |1j i} par
|ψi i ≡ ai |0i i + bi |1i i
|φi i ≡ ai |0i i − bi |1i i ,
(VI.12)
|ψj i ≡ aj |0j i + bj |1j i
|φj i ≡ aj |0j i − bj |1j i ,
(VI.13)
91
Chapitre VI. Corrélations quantiques globales dans des états tripartites non
orthogonaux et les propriétés de la monogamie
où
s
ai =
1 + pi
2
s
bi =
1 − pi
.
2
En substituant les équations (VI.12) et (VI.13) dans l’équation (VI.8), il est simple de réexprimer la matrice densité(VI.9) dans la base de deux qubits {|0i 0j i, |0i 1j i, |1i 0j i, |1i 1j i}.
3
La discorde quantique et l’intrication de formation
dans des états tripartite non orthogonaux
3.1
Mesures bipartites de l’intrication de formation et de la discorde
quantique
Dans un système bipartite AB, l’information mutuelle IAB est la somme des corrélations
quantiques DAB et classiques CAB
IAB = DAB + CAB ,
(VI.14)
avec
CAB = max SB −
M
X
pB,k SB,k
k
= S(ρB ) − Semin ,
(VI.15)
où Semin désigne la valeur minimale de l’entropie conditionnelle (voir chapitres précédents)
Se =
X
pB,k SB,k .
(VI.16)
k
Lorsque l’optimisation est prise sur toutes les mesures possibles, la discorde quantique s’écrit
→
DAB ≡ DAB
= IAB − CAB = SA + Semin − SAB .
(VI.17)
Ainsi, la dérivation de la discorde quantique nécessite la minimisation de l’entropie conditionnelle. Ceci constitue un problème complexe lorsqu’il s’agit d’un état mixte arbitraire. Les expressions analytiques explicites de la discorde quantique ont été obtenues seulement pour quelques
systèmes d’états particulière, et spécialement ceux de rang 2. On peut citer par exemple les résultats obtenus dans [67, 149] [112, 113, 117]. Pour la matrice densité de rang 2, la minimisation
de l’entropie conditionnelle (VI.16) peut être réalisée en purifiant la matrice densité ρAB et en
92
VI.3 La discorde quantique et l’intrication de formation dans des états tripartite
non orthogonaux
utilisant la relation de Koashi-Winter [65, 66]. Cette relation établit une relation directe entre
la corrélation classique d’un état bipartite ρAB et l’intrication de formation de son complément
ρBC . Après, nous discuterons brièvement cette relation. Pour un état quantique de rang 2, la
matrice densité ρAB se décompose comme
ρAB = λ+ |φ+ ihφ+ | + λ− |φ− ihφ− |,
(VI.18)
où λ+ et λ− sont les valeurs propres de ρAB et les états propres sont notés par |φ+ i et |φ− i
respectivement. En attachant un qubit C au système des deux qubit A et B, la purification du
système s’écrit
q
q
(VI.19)
|φi = λ+ |φ+ i ⊗ |0i + λ− |φ− i ⊗ |1i,
de sorte que l’ensemble du système ABC est décrit par l’état pur ρABC = |φihφ|. Il est facile de
voir que ρAB = TrC ρABC . D’après la relation de Koachi-Winter, la valeur minimale de l’entropie
conditionnelle coïncide avec l’intrication de formation de ρBC [65]. Cette relation conduit à
1 1q
Semin = E(ρBC ) = H( +
1 − |C(ρBC )|2 ),
2 2
(VI.20)
où H(x) = −x log2 x − (1 − x) log2 (1 − x) est la fonction d’entropie binaire et C(ρBC ) est la
concurrence de la densité ρBC = T rA ρABC . Nous rappelons que pour une matrice densité ρ12
associée à une paire de deux qubits 1 et 2, la concurrence est [150]
C12 = max {λ1 − λ2 − λ3 − λ4 , 0}
(VI.21)
où λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ λ4 sont les racines carrées des valeurs propres de la matrice densité définie
par
%12 ≡ ρ12 (σy ⊗ σy )ρ?12 (σy ⊗ σy ),
(VI.22)
où le symbole * désigne le complexe conjugué dans la base {|00i, |01i, |10i, |11i}. Il en résulte
que la relation de Koachi-Winter et la procédure de purification nous fournissent une expression
analytique de la discorde quantique
→
DAB
= SA − SAB + EBC ,
(VI.23)
lorsque la mesure est effectuée sur le sous-système A. De la même manière, si on effectue la
mesure sur le sous-système B, on obtient
←
= SB − SAB + EAC .
DAB
(VI.24)
93
Chapitre VI. Corrélations quantiques globales dans des états tripartites non
orthogonaux et les propriétés de la monogamie
Il est simple de vérifier que pour la matrice densité pur. La discorde quantique se réduite à
l’intrication de formation donnée par l’entropie de la densité réduite de sous-système A.
3.2
La discorde quantique dans des états tripartites purs non orthogonaux
Dans le schéma de bipartition pur (VI.3), il est simple de vérifier que la concurrence bipartite
entre les sous-systèmes k et (ij) est
q
Ck(ij) =
(1 − p2k )(1 − p2i p2j )
1 + p1 p2 p3 cos mπ
(VI.25)
.
Il en résulte que l’intrication de formation s’écrit
!
Ek(ij)
1 1 pk + pi pj cos mπ
=H
+
,
2 2 1 + p1 p2 p3 cos mπ
(VI.26)
et coïncide avec la discorde quantique
Ek(ij) = Dk(ij) .
(VI.27)
Pour l’état mixte ρij résultat dans le second schéma de bipartition (VI.9), la concurrence (VI.21)
prend la forme suivante
q
(1 − p2i )(1 − p2j )
.
(VI.28)
Cij = qij
1 + p1 p2 p3 cos mπ
En utilisant la procédure présentée dans le paragraphe précédent. La discorde quantique bipartite dans les états mixtes ρij peut être facilement calculée. Ainsi, lorsque la mesure est effectuée
sur le sous-système A ≡ i, la discorde quantique est
→
= Si − Sij + Ejk ,
Dij
(VI.29)
où k représente le troisième qubit logique. L’entropie de von Neumann de la densité réduite ρi
est
!
1 (1 + pi )(1 + pj qij cos mπ)
Si = H
,
(VI.30)
2
1 + p1 p2 p3 cos mπ
et l’entropie de la densité bipartite ρij est explicitement donnée par
!
1 (1 + pi pj cos mπ)(1 + qij )
Sij = H
.
2
1 + p1 p2 p3 cos mπ
94
(VI.31)
VI.3 La discorde quantique et l’intrication de formation dans des états tripartite
non orthogonaux
L’intrication de formation, qui mesure le degré d’intrication entre le sous-système j et le qubit
k, est donnée par
v
!
u
2
2
2
(1
−
p
)(1
−
p
)
p
1 1u
i
j
k
+ t1 −
.
(VI.32)
Ejk = H
2 2
(1 + p1 p2 p3 cos mπ)2
En utilisant les équations (VI.30), (VI.31) et (VI.32), on obtient
!
→
Dij
(1 + pi )(1 + pj qij cos mπ)
(1 + pi pj )(1 + qij cos mπ)
=H
−H
2(1 + p1 p2 p3 cos mπ)
2(1 + p1 p2 p3 cos mπ)
v
u
p2 (1 − p2j )(1 − qij2 )
1 1u
+H
+ t1 − i
,
2 2
(1 + p1 p2 p3 cos mπ)2
!
!
(VI.33)
Il faut noter que, puisque l’ensemble du système est pur, nous avons les relations suivantes
Sij = Sk
i, j 6= k.
(VI.34)
A l’aide des équations (VI.30), (VI.31) et (VI.32), on obtient la relation de conservation importante suivante
→
→
→
D12
+ D23
+ D31
= E12 + E13 + E23 ,
(VI.35)
Cette relation de conservation traduit que la somme de la discorde quantique bipartite présente
dans tous les états mixtes ρij est exactement la somme de l’intrication de formation bipartite
dans les systèmes ρij . Il est important de noter que la loi de conservation pour la distribution
de l’intrication de formation et de la discorde quantique, dans un système tripartite pur, a été
tout d’abord dérivé dans [158, 159]. On note également que lorsque la mesure est effectué sur
le qubit j, la discorde est
←
Dij
= Sj − Sij + Eik .
(VI.36)
Il est important de souligner la relation d’asymétrie suivant
←
→
Dij
= Dji
.
(VI.37)
←
→
La discorde quantique Dij
(resp. Dij
) est la partie de l’information mutuelle dans l’état bipartite ρij qui est localement inaccessible par i (resp. j). Dans ce sens la discorde quantique
peut être interprétée comme la fraction de l’information mutuelle bipartite qui ne peut pas être
accessible par une mesure locale. Vue la relation (VI.37), nous introduisons les deux quantités
95
Chapitre VI. Corrélations quantiques globales dans des états tripartites non
orthogonaux et les propriétés de la monogamie
utiles suivantes [159]
∆+
ij =
1 →
←
Dij + Dij
2
∆−
ij =
1 →
←
.
Dij − Dij
2
La somme ∆+
ij représente la moyenne de l’information localement inaccessible lorsque les mesures sont effectuées sur des sous-systèmes i et j. Elle quantifie la perturbation causée par
n’importe quelle mesure locale. La différence ∆−
ij a été appelée par Fanchini et al [159] l’équilibre de l’information au niveau local inaccessible et quantifie l’asymétrie entre les sous-systèmes
pour répondre à la perturbation de la mesure. En utilisant les expressions de la discorde quantique donnée par (VI.33) et la relation asymétrique (VI.37), on vérifie que les quantités ∆+
ij et
−
∆ij vont satisfaire les relations de distribution suivantes
+
+
∆+
12 + ∆13 + ∆23 = E12 + E13 + E23 ,
(VI.38)
−
−
∆−
12 + ∆13 + ∆23 = 0.
(VI.39)
et
Par conséquent, en utilisant les résultats (VI.27) et (VI.38), la discorde quantique globale (VI.1)
!
D(1,2,3)
1
=
E12 + E13 + E23 + E1(23) + E2(13) + E3(12) ,
6
(VI.40)
s’exprime simplement en termes des entropies de formation bipartites. Cela montre que la
somme de la discorde quantique pour toutes les partitions possibles coïncide avec l’intrication
de formation globale
D(1,2,3) = E(1,2,3) .
(VI.41)
4
La discorde quantique géométrique dans un état tripartite
4.1
Mesure géométrique de la discorde quantique pour les états bipartites pures
En utilisant les outils présentés dans le chapitre II, nous allons déterminer la discorde quantique géométrique globale dans l’état tripartite (VI.2). Nous évaluerons d’abord la discorde
géométrique bipartite dans les états bipartites pures (VI.3). Pour cela, en utilisant la décom-
96
VI.4 La discorde quantique géométrique dans un état tripartite
position de Schmidt, nous écrivons l’état |Ψ, mi comme
|Ψ, mi =
q
λ+ |+ik ⊗ |+iij +
q
λ− |−ik ⊗ |−iij ,
(VI.42)
où |±ik et |±iij représentant les vecteurs propres de la matrice densité réduite associée au
premier sous-système contenant la particule k et le deuxième sous-système comprenant les
particules i et j respectivement. Les valeurs propres λ± sont données par
!
q
1
2
1 ± 1 − Ck(ij)
λ± =
,
2
(VI.43)
où la concurrence bipartite Ck(ij) est donnée par l’équation (VI.25). Dans ce cas, la matrice K,
(voir la définition dans le chapitre II) prend la forme diagonale
K = diag(4λ+ λ− , 4λ+ λ− , 2(λ2+ + λ2− )).
Il s’en suit que, la discorde géométrique bipartite est donnée par
g
Dk(ij)
=
1 (1 − p2k )(1 − p2i p2j )
.
2 (1 + p1 p2 p3 cos mπ)2
(VI.44)
Nous faisons remarquer que la discorde quantique géométrique peut être exprimé comme
g
Dk(ij)
=
1 2
C
.
2 k(ij)
(VI.45)
Cette équation établit une relation remarquable entre la discorde géométrique et la concurrence
pour les états bipartites pures.
4.2
Mesure géométrique de la discorde quantique pour les états bipartites mixtes
Nous considérons maintenant les états mixtes de la forme (VI.8) obtenue dans le deuxième
schéma de bipartition. Dans cet ordre d’idées, nous écrivons la matrice ρij comme suite
ρij =
X
Rαβ σα ⊗ σβ ,
(VI.46)
αβ
97
Chapitre VI. Corrélations quantiques globales dans des états tripartites non
orthogonaux et les propriétés de la monogamie
où les éléments non nuls de la matrice de corrélation Rαβ (α, β = 0, 1, 2, 3) sont donnés par
q
q
R33 = 2N2 (pi pj + pk cos mπ),
R03 = 2N2 (pj + pi pk cos mπ),
R00 = 1,
R11 = 2N2 (1 − p2i )(1 − p2j ) R22 = −2N2 (1 − p2i )(1 − p2j ) pk cos mπ,
R30 = 2N2 (pi + pj pk cos mπ).
Dans ce cas, les valeurs propres de la matrice K s’écrivent comme
"
4
λ1 = 4N (1 +
#
p2i )(p2j
+
p2k )
+ 4(p1 p2 p3 ) cos mπ ,
λ2 = 4N4 (1 − p2i )(1 − p2j ),
λ3 = 4N4 (1 − p2i )(1 − p2j )p2k .
Puisque 0 ≤ pi ≤ 1, il est facile de voir que λ3 ≤ λ2 . La mesure géométrique de discorde
quantique est donnée par (voir chapitre II)
1
g
Dij
= min{λ1 + λ3 , λ2 + λ3 }.
4
(VI.47)
Par conséquent, pour les états mixtes ρij , l’expression explicite de la discorde quantique géométrique s’écrit
1 (1 − p2i )(1 − p2j )(1 + p2k )
g
,
(VI.48)
Dij =
4 (1 + p1 p2 p3 cos mπ)2
lorsque la condition λ1 > λ2 est satisfaite ou alternativement elle est donnée par
g
Dij
=
1 (1 + p2i )(p2j + p2k ) + (1 − p2i )(1 − p2j )p2k + 4(p1 p2 p3 ) cos mπ
,
4
(1 + p1 p2 p3 cos mπ)2
(VI.49)
dans le cas où λ1 < λ2 . Finalement la mesure de la corrélation quantique multipartite (VI.1)
pour la discorde quantique géométrique, dans l’état tripartite pur (VI.2) s’écrit
!
g
D(1,2,3)
5
!
1
1
g
g
g
g
g
g
2
2
2
=
D12
+ D21
+ D13
+ D31
+ D23
+ D23
+
C1(23)
+ C2(13)
+ C3(12)
.
6
12
(VI.50)
Illustration : Les états chat de Schrödinger à trois
modes
Pour illustrer les résultats obtenus dans les paragraphes précédents, nous considérons un
exemple particulier de système tripartite impliquant des états non orthogonaux. Dans ce sens,
98
VI.5 Illustration : Les états chat de Schrödinger à trois modes
on considère les états chat de Schrödinger à trois modes
!
|α, mi = Nm (|α|) |αi1 |αi2 |αi3 + e
imπ
| − αi1 | − αi2 | − αi3 ,
(VI.51)
définis à l’aide des états cohérents de Glauber |αi
|αi = e−
|α|2
2
∞
X
αn
√ |ni,
n!
n=0
(VI.52)
où le nombre complexe α caractérise l’amplitude de l’état cohérent |αi et |ni est un état de
Fock (aussi connu comme un état nombre). Le facteur de normalisation dans (VI.51) est donné
par
1
2
Nm (|α|) = (2 + 2e−6|α| cos mπ)− 2 .
En considérant ce type d’état tripartite, nous allons dans, ce qui suit, donner les corrélations
quantiques globales Q(1,2,3) (voir (VI.1)) lorsque les corrélations bipartite sont mesurées par la
concurrence, l’intrication de formation, la discorde quantique et sa variante géométrique. De
plus, cet état particulier tripartite, nous permet de décider de la monogamie de chacune de ces
mesures.
Deux limites intéressantes des états chat de Schrödinger (VI.51) sont obtenus lorsque α → ∞
et α → 0. Nous considérons d’abord la limite asymptotique α → ∞. Dans cette limite, les deux
états |αi et | − αi deviennent orthogonaux, c’est à dire |0i ≡ |αi et |1i ≡ | − αi. Ainsi, l’état
|α, mi s’approche d’un état tripartite de type GHZ
1
|α, mi ∼ |GHZi3 = √ (|0i ⊗ |0i ⊗ |0i + eimπ |1i ⊗ |1i ⊗ |1i).
2
(VI.53)
Dans le cas où α → 0, il convient de distinguer séparément les cas m = 0 (mod 2) et m =
1 (mod 2). Pour m pair, la superposition tripartite (VI.51) se réduit à l’état fondamental
|0, 0 (mod 2)i ∼ |0i ⊗ |0i ⊗ |0i,
(VI.54)
et pour m impair, l’état |α, 1 (mod 2)i se réduit à un état multipartite de type W [24]
1
|0, 1 (mod 2)i ∼ |Wi3 = √ (|1i ⊗ |0i ⊗ |0i + |0i ⊗ |1i ⊗ |0i + |0i ⊗ |0i ⊗ |1i) .
3
(VI.55)
Ici |ni (n = 0, 1) indiquent les états de Fock.
Il en résulte que les états |α, m = 0 (mod 2)i, interpolent entre les états de type GHZ
99
Chapitre VI. Corrélations quantiques globales dans des états tripartites non
orthogonaux et les propriétés de la monogamie
(α → ∞) et un état séparable |0i⊗|0i⊗|0i (α → 0). D’autre part, les états |α, m = 1 (mod 2)i,
peuvent être considérés comme une interpolation entre les états de type GHZ (α → ∞) et les
états de type W (α → 0).
5.1
5.1.1
Corrélations quantiques globales et la relation de monogamie
La concurrence
En utilisant l’équation (VI.25) et en remarquant que les états ρ1(23) , ρ2(13) et ρ3(12) sont
identiques, il est simple de vérifier que les concurrences dans la bipartition pure sont égales.
Explicitement, elles sont données par
q
C1(23) = C2(13) = C3(12) =
(1 − p2 )(1 − p4 )
1 + p3 cos mπ
.
(VI.56)
2
où p = hα| − αi = e−2|α| . Dans le cas de la deuxième bipartition (VI.7), les matrices densités
mixtes ρ12 , ρ23 et ρ13 sont identiques et la concurrence (VI.28) prend la valeur
C12 = C23 = C13 =
p(1 − p2 )
.
1 + p3 cos mπ
(VI.57)
Pour étudier la relation de monogamie de l’intrication mesurée par la concurrence de systèmes
quantiques à trois qubits, Coffman et al introduit la notion de tangle qui définie comme suite
2
2
τi|jk = Ci(jk)
− Cij2 − Cik
.
(VI.58)
En injectant les équations (VI.56) et (VI.57) dans (VI.58), on obtient
τ1|23 = τ2|13 = τ3|12 ≡ τ,
avec
τ=
(1 − p2 )2 (1 − p)2
.
(1 + p3 cos mπ)2
(VI.59)
Le tangle τ est toujours positif. Ce résultat reflète la monogamie de l’intrication mesurée
par le concurrence. D’autre part, en utilisant les expressions (VI.56) et (VI.57) et en remplaçant
la corrélation quantique bipartite Q dans (VI.1) par la concurrence, la corrélation quantique
globale tripartite (VI.1), dans les états chat de Schrödinger tripartites (VI.51), prend la forme
100
VI.5 Illustration : Les états chat de Schrödinger à trois modes
suivante
2
C(1,2,3)
5.1.2
1 (1 + 2p2 )(1 − p2 )2
=
.
2 (1 + p3 cos mπ)2
(VI.60)
L’intrication de formation et la discorde quantique
Quand la corrélation quantique est quantifiée par l’intrication de formation, la monogamie
est étudiée par le biais de la quantité
Ei|jk = Ei(jk) − Eij − Eik .
(VI.61)
Pour les états chat de Schrödinger, l’intrication de formation correspondant au schéma de
bipartition pur (VI.3) peut être obtenue à partir de l’équation (VI.26). Nous obtenons
E1(23) = E2(13) = E3(12)
1 1 p + p2 cos mπ
+
=H
2 2 1 + p3 cos mπ
!
(VI.62)
Dans le second schéma de bipartition (VI.7), nous avons ρ12 = ρ23 = ρ13 . Dans ce cas, le résultat
(VI.32) conduit à
E12 = E23 = E13
v
u
1u
t1 −
1
+
=H
2 2
!
p2 (1 − p2 )2
.
(1 + p3 cos mπ)2
(VI.63)
En substituant les expressions (VI.62) et (VI.63) dans l’équation (VI.61), nous avons
E1|23 = E2|13 = E3|12 ≡ E,
(VI.64)
où la quantité E est donnée par
1 1 p + p2 cos mπ
E=H
+
2 2 1 + p3 cos mπ
!
v
u
!
1 1u
p2 (1 − p2 )2
− 2H
+ t1 −
.
2 2
(1 + p3 cos mπ)2
(VI.65)
Le comportement de la quantité E en fonction du paramétre de recouvrement p est représenté
dans la figure (VI.1).
101
Chapitre VI. Corrélations quantiques globales dans des états tripartites non
orthogonaux et les propriétés de la monogamie
Figure VI.1 – E = Ei|jk en fonction du paramétre de recouvrement p pour m = 0 et m = 1.
L’intrication de formation est monogame pour les états chat de Schrödinger à trois modes
symétriques (m = 0) pour toute valeur de p. les états anti-symètiques (m = 1) possèdent
la propriété de monogamie lorsque 0 ≤ p . 0.8. La figure (VI.3) montre que l’état |GHZi3
(p → 0) suit la monogamie et l’état |W i3 (p → 1) la viole.
La somme de l’intrication de formation bipartite, dans l’ensemble des bipartitions possibles, est
alors donnée par
"
E(1,2,3)
v
u
1u
t1 −
1
1
+
= H
2
2 2
p2 (1 − p2 )2
(1 + p3 cos mπ)2
!
1 1 p + p2 cos mπ
+H
+
2 2 1 + p3 cos mπ
!#
.
(VI.66)
Pour calculer la discorde quantique globale dans les états (VI.51) et examiner la relation de
la monogamie, deux remarques importantes sont à signaler. Dans un état pur, l’intrication de
formation et la discorde quantique coïncident. Il s’en suit que, dans le schéma de bipartition
pur (VI.3), nous avons
E1|23 = D1|23
E2|13 = D2|13
E3|12 = D3|12 .
(VI.67)
De plus, en utilisant les équations (VI.32) et (VI.33), on peut vérifier que pour les états mixtes
réduits ρ12 = ρ13 = ρ23 , l’intrication de formation coïncide avec la discorde quantique. En effet,
nous avons
E12 = D12
E23 = D23
E13 = D13 .
(VI.68)
Il est très important de signaler que les états mixtes bipartites ρ12 ρ13 et ρ23 constituent
102
VI.5 Illustration : Les états chat de Schrödinger à trois modes
une classe particulière des états mixtes où l’intrication de formation coïncide avec la discorde
quantique. Dans les états chat de Schrödinger (VI.51), la discorde quantique globale coïncide
avec l’intrication globale de formation donnée par (VI.66).
5.1.3
La discorde quantique géométrique
Nous considérons la corrélation quantique globale mesurée par la distance de HilbertSchmidt. Pour les états (VI.51), et à partir de l’équation (VI.44), nous obtenons
avec
g
g
g
D1(23)
= D2(13)
= D3(12)
,
(VI.69)
1 (1 − p2 )(1 − p4 )
1 2
g
=
.
D1(23)
= C1(23)
2
2 (1 + p3 cos mπ)2
(VI.70)
Pour les états mixtes ρ12 , ρ13 et ρ23 qui sont identiques, nous traitons les cas symétriques et antisymétriques séparément. Pour m = 0, en utilisant (VI.48), la discorde quantique géométrique
s’écrit
1 p2 (1 + p)2 (2 + (1 − p)2 )
g
g
g
=
= D13
,
(VI.71)
= D23
D12
4
(1 + p3 )2
√
pour 0 ≤ p ≤ 2 − 1, et à l’aide de (VI.49), on obtient
g
D12
=
g
D23
=
g
D13
1 (1 + p2 )(1 + p)2 (1 − p)2
=
,
4
(1 + p3 )2
(VI.72)
√
lorsque 2−1 ≤ p ≤ 1. Pour les états chat de Schrödinger antisymétriques (m = 1), la discorde
quantique géométrique est
g
g
g
D12
= D23
= D13
=
1 p2 (2 + (1 + p)2 )
.
4 (1 + p + p2 )2
(VI.73)
Il en résulte que, même pour les états chat de Schrödinger tripartites (m = 0), la quantité
totale de la corrélation quantique mesurée par la discorde géométrique est
g
D(1,2,3)
=
pour 0 ≤ p ≤
√
1 (1 + p)2 (2p2 + (1 − p2 )(2 + 3p2 ))
,
8
(1 + p3 )2
(VI.74)
3 (1 + p2 )(1 − p2 )2
,
8
(1 + p3 )2
(VI.75)
2 − 1, et
g
D(1,2,3)
=
103
Chapitre VI. Corrélations quantiques globales dans des états tripartites non
orthogonaux et les propriétés de la monogamie
√
lorsque 2−1 ≤ p ≤ 1. Pour les états chat de Schrödinger impairs (m = 1), la somme de toutes
les paires possibles de la discorde quantique géométrique est donnée par l’équation suivante
g
D(1,2,3)
=
1 2p2 + (1 + p)2 (2 + 3p2 )
8
(1 + p + p2 )2
(VI.76)
pour 0 ≤ p ≤ 1.
On note que la valeur maximale de la discorde quantique, pour les états de deux qubits est
1/2 et elle n’est pas normalisée à l’unité. Ainsi, si pour comparer avec les autres mesures qui sont
normalisées, nous considérons que 2Dg comme une mesure appropriée. Une comparaison des
corrélations quantiques tripartite pour la concurrence au carré, la discorde quantique habituelle
et sa version géométrisée sont représentées dans les figures (VI.2) et (VI.3). La figure (VI.2)
montre que ces trois mesures donnent approximativement la même quantité de corrélation
quantique pour m = 0. Cela confirme que l’intrication de formation, la discorde quantique et
la discorde géométrique possèdent la propriété de la monogamie comme la concurrence prise
au carré. La figure (VI.2), montre que pour m = 1 la somme de l’intrication de formation (ou
de manière équivalente la discorde quantique habituelle) devient plus grande que la somme
des corrélations quantiques bipartites mesurées par la concurrence et la discorde quantique,
et particulièrement quand p s’approche de l’unité. Il y a lieu de remarquer que, la somme
globale des concurrences se comporte comme la somme de la discorde géométrique bipartite
pour 0 ≤ p ≤ 0.5 et augmente lentement après, bien que ce comportement reste légèrement le
même que celui de discorde géométrique.
Figure VI.2 – Corrélations quantiques tripartites en fonction du paramétre de recouvrement p pour
m = 0.
104
VI.5 Illustration : Les états chat de Schrödinger à trois modes
Figure VI.3 – Corrélations quantiques tripartites en fonction du paramétre de recouvrement p pour
m = 1.
Enfin, pour examiner la monogamie de discorde quantique géométrique, on doit analyser la
positivité de la quantité
g
g
g
g
Di|jk
= Di(jk)
− Dij
− Dik
.
(VI.77)
Pour les états tripartite (VI.51), nous avons
g
g
g
D1|23
= D2|13
= D3|12
≡ Dg .
Dans le cas symétrique (m = 0), la quantité Dg s’annule pour
par
(VI.78)
√
2 − 1 ≤ p ≤ 1 et elle est donnée
√
√
1 (1 + p)2 (1 − ( 2 + 1)p)(1 − ( 2 − 1)p)
D =
,
2
(1 + p3 )2
g
(VI.79)
√
pour 0 ≤ p ≤ 2 − 1. Il est simple de vérifier que, dans ce cas, la discorde géométrique est
monogame. Pour les états chat de Schrödinger antisymétriques (m = 1), on obtient
1 (1 + 2p − p2 )
D =
,
2 (1 + p + p2 )2
g
(VI.80)
qui est toujours positive. À cet égard, La discorde quantique géométrique suit la propriété de
monogamie pour toute valeur de p.
105
Chapitre VI. Corrélations quantiques globales dans des états tripartites non
orthogonaux et les propriétés de la monogamie
6
Conclusion
En résumé, nous avons dérivé explicitement les corrélations quantiques dans un système
tripartite impliquant des états non orthogonaux. La quantité totale de corrélations quantiques
est définie comme la somme de toutes les corrélations bipartite quantiques. Elle est évaluée
en utilisant des mesures qui vont au-delà de l’intrication, par exemple, la discorde quantique
entropique et sa version géométrique. Nous avons montré que la somme de toutes les intrications
de formation bipartite dans un état tripartite pure intriqué, est exactement la somme de discorde
quantique bipartite dans toutes les bipartitions possibles. Ce résultat particulier provient de
la relation de conservation de l’intrication de formation et de la discorde quantique. Nous
avons aussi examiné la relation de monogamie de la concurrence, l’intrication de formation,
de la discorde quantique et la discorde quantique géométrique dans le cas particulier des états
chat de Schrödinger à trois modes non orthogonaux. L’intrication de formation et la discorde
quantique suivent la propriété de monogamie dans les états tripartites symétriques (m = 0).
Toutefois, dans le cas antisymétrique (m = 1), ces mesures cessent d’être monogames lorsque
les états chat à trois modes approchent les états à trois qubits de type W3 correspondant à la
situation p → 1.
Finalement, il faut noter que l’étude de la monogamie et la polygamie des corrélations
quantiques dans les systèmes quantiques multipartites est très dépendant du choix des mesures
des corrélations. Beaucoup de questions intéressantes, en ce qui concerne ce problème, ils restent ouvertes. La quantification des corrélations multipartites réelles constitue un défi majeur
dans le domaine de la théorie de l’information quantique pour comprendre la distribution des
corrélations quantiques dans les systèmes comprenant plusieurs parties.
106
Conclusion générale
Cette thèse porte sur la dynamique des corrélations quantiques dans des systèmes multipartites. En effet, la principale motivation de ce travail concerne le développement des moyens
et outils pour stabiliser la quantité de corrélations dans un système quantique composite. Le
couplage inévitable du système avec son environnement conduit à la dégradation de la quantité
de l’information quantique et conduit à la décohérence du système. Pour un qubit optique codé
dans un état cohérent de type Glauber, l’influence de l’environnement se manifeste par une
perte de l’énergie. Cette perte peut être modélisée par un opérateur unitaire qui représente
un diviseur de faisceau. Cette modélisation mathématique fournit un moyen simple pour comprendre la perte de l’information et la dynamique conduisant à la décohérence du système. De
ce fait, il devient possible d’imaginer les stratégies adéquates pour prévenir contre ces effets
indésirables. Un autre aspect important dans l’analyse des processus de décohérence concerne
la distributions des corrélations entre un système bipartite et son environnement. Cette distribution obéit à une relation assez restrictive connue dans la littérature comme la relation de
monogamie. Dans ce sens, nous étudions cette propriété pour des états cohérents et des états
non orthogonaux pour établir les conditions de distribution des corrélations quantiques dans
des systèmes tripartites.
Dans le chapitre 1, nous avons introduit les concepts de base de la théorie de l’information
classique. Ensuite, nous avons défini les notions importantes de cette théorie à savoir l’entropie
de Shannon, entropie conjointe, conditionnelle et l’information mutuelle. Nous avons introduit
également les notions essentielles de l’information quantique, tels que l’entropie de von Neumann, espace de Hilbert, les mesures quantiques et OMVP, la notion qubit, et le formalisme
de l’opérateur densité.
107
Conclusion générale
Le chapitre 2 est consacré à la quantification de l’intrication des systèmes bipartite qui
est le plus utilisé dans les processus de traitement de l’information quantique. La définition des
états séparables et non séparables (intriqués) est donnée aussi lien pour les états purs que pour
les états mixtes. Nous avons introduit plusieurs mesures des corrélations quantiques comme : la
négativité logarithmique, la concurrence, l’intrication de formation, la discorde quantique et sa
variante géométrique. Finalement, nous avons définit un schéma unificateur géométrique pour
les corrélations (totale, quantique et classique) des états mixtes dans des systèmes bipartites.
Nous avons obtenu des expressions explicites pour la discorde quantique, la mesure géométrique.
Un schéma unificateur des corrélations pour la classe des états X est établit.
Dans le chapitre 3, nous avons introduit la dynamique des systèmes ouverts ainsi que
l’équation de Schrödinger (ou von Neumann). Nous avons précisé le rôle des différentes approximations (Born-Markov, l’onde tournante) appliqués, pour la dérivation de l’équation d’évolution
pour l’opérateur de densité réduite du système et nous avons discuté la représentation matricielle qui décrit les phénomènes de dissipation et de décohérence. Enfin, nous avons étudié les
opérateurs de Kraus pour différents canaux quantiques. Cette approche est utilisée en théorie
de l’information quantique et se généralise aisément aux systèmes multipartites.
Le chapitre 4 est consacré à l’étude de l’intrication et la monogamie de l’intrication pour
des cas simples. Nous avons examiné la relation de monogamie dans les états de type W et
GHZ. Nous avons aussi défini les mesures d’intrication bipartites pour des états purs et mixtes.
Nous avons évalué ces mesures pour des systèmes en basse dimension afin de disposer des outils
pour discuter leurs propriétés de monogamie. Nous avons aussi mis en évidence les différentes
approches pour traiter la monogamie d’intrication. Enfin nous avons étudié la monogamie
d’intrication et la notion de tangle moyen dans des états à trois qubits.
Dans le chapitre 5, nous avons étudié les propriétés de la décohérence des états de type Bell
définis en termes des états cohérents de Glauber. Les effets de décohérence sont qualitativement
modélisés par l’action d’un diviseur de faisceau 50/50. Cet effet est paramétré par un coefficient
de transmission t pour tenir compte de la perte de l’information. Nous avons utilisé un codage
en qubits logiques pour convertir les variables continues (états cohérents pairs et impairs de
Glauber) en qubits discrets. Par la concurrence, l’intrication de formation, la discorde quantique
et sa variante géométrique, nous avons caractérisé les corrélations quantiques entre les états de
type Bell à deux modes. Les expressions analytiques explicites de ces mesures ont été obtenues.
Enfin, nous avons étudié la distribution de l’intrication de formation, de la discorde quantique
et de la discorde géométrique entre les états de type Bell et l’environnement. Nous avons
démontré que les corrélations quantiques mesurées par la concurrence satisfont la relation de la
monogamie. Nous avons aussi montré que lorsque les corrélations sont mesurées par des mesures
108
Conclusion générale
entropiques ou géométriques comme l’intrication de formation et la discorde quantique ou sa
mesure géométrique, la monogamie est satisfaite dans certains cas particuliers pour des valeurs
spécifiques de la force du couplage avec l’environnement.
En particulier, pour chacune des mesures mentionnées ci-dessus, nous avons déterminé les
valeurs critiques du paramètre de transmission t et du paramètre du recouvrement p pour les
quelles la relation de la monogamie est satisfaite ou violée.
Enfin, dans le chapitre 6, nous avons dérivé explicitement les corrélations quantiques dans
un système tripartite impliquant des états non orthogonaux. La quantité totale de corrélations
quantiques est définie comme la somme de toutes les corrélations bipartite quantiques. Elle
est évaluée en utilisant des mesures qui vont au-delà de l’intrication, par exemple, la discorde
quantique entropique et sa version géométrique. Nous avons montré que la somme de toutes
les intrications de formation bipartite dans un état tripartite pure intriqué, est exactement
la somme de discorde quantique bipartite dans toutes les bipartitions possibles. Ce résultat
particulier provient de la relation de conservation de l’intrication de formation et de la discorde
quantique. Nous avons aussi examiné la relation de monogamie de la concurrence, l’intrication de
formation, de la discorde quantique et la discorde quantique géométrique dans le cas particulier
des états chat de Schrödinger à trois modes non orthogonaux. L’intrication de formation et
la discorde quantique suivent la propriété de monogamie dans les états tripartites symétriques
m = 0. Toutefois, dans le cas antisymétrique m = 1, ces mesures cessent d’être monogames
lorsque les états chat à trois modes approchent les états à trois qubits de type W3 correspondant
à la situation p → 1.
Finalement, il faut noter que l’étude de la monogamie et la polygamie des corrélations
quantiques dans les systèmes quantiques multipartites est très dépendante du choix des mesures des corrélations. Beaucoup de questions intéressantes, en ce qui concerne ce problème,
restent ouvertes. La quantification des corrélations multipartites réelles constitue un défi majeur dans le domaine de la théorie de l’information quantique pour comprendre la distribution
des corrélations quantiques dans les systèmes comprenant plusieurs parties.
109
Conclusion générale
110
Bibliographie
[1] C.Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloë. Quantum Mechanics, Vol. I. Wiley, New York
(1977). 1
[2] M. Le Bellac, A Short Introduction to Quantum Computation and Quantum Information,
Cambridge University Press (2006). 1
[3] R. P. Feynman, Simulating physics with computers, International Journal of Theoretical
Physics 21 (1982) 467-488. 1
[4] R. P. Feynman, Quantum-mechanical computers. J. Opt. Soc. Am. B(1984). 1
[5] R. P. Feynman, Quantum-mechanical computers.Foundations of physics 16 (1986) 507-531.
1
[6] A. Einstein, N. Rosen and B. Podolsky, Phys. Rev. 47 (1935) 777 ; N. Bohr, Ibid. 48 (1935)
696 ; W. H. Furry, Ibid. 49 (1936) 393 and 476 ; D. R. inglis, Rev. Mod. Phys. 33 (1961)
1. 2
[7] Albert Einstein, Philosopher-Scientist, The Library of Living Philosophers Volume 7 (1949)
85. 2
[8] E. Schrödinger, Naturwissenschaften 23 (1935) 807. 2
[9] J.S.Bell, Originally published in physics 1 (1964) 195-200. 2
[10] R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, and K. Horodecki, Quantum entanglement,
Rev. Mod. Phys. 81 (2009) 865. 2
[11] C. Bennett and G. Brassard, Quantum cryptography : Public key distribution and coin tossing, in Proceedings of IEEE International Conference on Computers Systems and Signal
Processing, Bangalore, India (1984) 175-179. 2
111
Bibliographie
[12] A. K. Ekert, Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 661. 2, 19
[13] C. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres and W. K. Wootters, Phys.
Rev. Lett. 70 (1993) 1895 . 2, 19
[14] C. H. Bennett and S. J. Wiesner. Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 2881. 2, 19
[15] A. Ekert and R. Jozsa, Rev. Mod. Phys. 68 (1996) 733. 2
[16] Y. Shi, J. Phys. A : Math. Gen. 37 (2004) 6807. 2
[17] A. Osterloh, L. Amico, G. Falci, and R. Fazio, Nature. 416 (2002) 608. 2
[18] E. R. G. Vidal, J.I. Latorre and A. Kitaev, Phys. Rev. Lett. 90 (2003) 227902. 2
[19] A. Kitaev and J. Preskill, Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 110404. 2
[20] M.B.Plenio and S.Virmani, An introduction to entanglement measures, Quant.Inf.Comp
7 (2007) 1. 3
[21] E. Schmidt, Zur theorie der linearen und nichtlinearen integralgleighungen, Math. Ann.
63 (1907) 433. 3
[22] A. Ekert and P. L. Knight, Entangled quantum systems and the Schmidt decomposition,
Am. J. Phys. 63 (1995) 415. 3
[23] D. Greenberger, M. Horne and A. Zeilinger, Going Beyond Bell’s Theorem, Phys. Today,
(1993), arXiv :0712.0921[quant-ph]. 3
[24] W. Dur, G. Vidal and J. I. Cirac, Three qubits can be entangled in two inequivalent ways,
Phys Rev. A 62 (2000) 062314. 3, 54, 55, 99
[25] W. H. Zurek, Pointer basis of quantum apparatus :Into what mixture does the wave packet
collapse, Phys. Rev. D 24 (1981) 1516. 3
[26] J.P.Paz and W.H.Zurek, Environment-Induced-Dechorence and The transition from Quantum to Classical (2000), arxiv :0010011[quant-ph]. 3
[27] J.S.kim, G.Gour and B.C.Sanders, Limitations to sharing entanglement (2012),
arxiv :1112.1776[quant-ph]. 4, 51
[28] V. Coffman, J. Kundu and W.K. Wootters, Phys. Rev. A 61 (2000) 052306. 4, 51, 53, 61,
66, 73
[29] M. Pawlowski, Phys. Rev. A 82 (2010) 032313. 4
[30] Thiago R. de Oliveira, Marcio F. Cornelio, and Felipe F. Fanchini Phys. Rev. A 89 (2014)
034303. 4
112
Bibliographie
[31] C.G.Timpson, Quantum Information Theory and The Foundations of Quantum Mechanics(2004), arXiv :0412063[quant-ph]. 7
[32] O.J.E.Maroney, Lecture Notes :Information and Entropy in Quantum Theory (2002),
arxiv :0411172[quant-ph]. 7, 8
[33] Li Yu, Robert B. Griffiths, and Scott M. Cohen Phys. Rev. A 81 (2010) 062315. 7, 10
[34] Joseph M. Renes, Lecture notes Quantum Information Theory (2013). 8, 12
[35] lecture notes :chapter 28 Shannon Entropy and Kullback- Leibler Divergence. 9
[36] H.Nyquist, Certain topics in telegraph transmission theory, AIEE Trans, vol. 47 (1928)
617-644. 9
[37] Mark M. Wilde, From Classical to Quantum Shannon Theory(2013), arXiv :1106.1445
[quant-ph]. 9
[38] Hoi-Kwong Lo and Yi Zhao, Quantum Cryptography(2008), arXiv :0803.2507 [quant-ph].
12
[39] D.Petz, Entropy, von Neumann and the von Neumann entropy, In John von Neumann and
the foundations of quantum physics, Springer Netherlands (2001) 83. 12
[40] D. Bouwmeester, J. W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurter and A. Zeilinger, Nature
390 (1997) 575. 19
[41] C. H. Bennet, G. Brassard, Quantum cryptography : Public key distribution and coin
tossing, Proceedings of IEEE International Conference on Computers, Systems and Signal
Processing (1984) 175. 19
[42] S.L. Braunstein and H.J. Kimble, Phys. Rev. A 61 (2000) 042302. 19
[43] K. Mattle, H. Weinfurter, P. G. Kwait and A. Zeilinger, Phys. Rev. Lett. 76 (1996) 4656.
19
[44] M. A. Nielsen and I. L. Chuang , Quantum computation and information, Cambridge
university press (2000). 19
[45] A. Barenco, D. Deutsch, A. Ekert and R. Jozsa, Phys. Rev. Lett. 74 (1995) 4083. 19
[46] D. Deutsch, Proc. R. Soc. Lond. A 425 (1985) 73. 19
[47] M.B.Plenio, Logarithmic negativity : A full entanglement monotone that is not convex,
Physical review letters 95 (2005) 090503. 19, 22
[48] William K. Wootters, Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits,
Physical Review Letters, 80 (1997) 2245. 19, 22, 23
113
Bibliographie
[49] B. Groisman, S. Popescu, and A. Winter, Phys. Rev. A 72 (2005) 032317. 19, 22, 24
[50] B. Dakic, V. Vedral, and C. Brukner, Phys. Rev. Lett. 105 (2010) 90502. 19, 22, 28, 29,
33, 34, 35
[51] D.Kurzy, Introduction to Quantum Entanglement, Theoretical and Applied Informatics,
Vol. 24 (2012). 20
[52] L.Schneiderbauer, Entanglement or Separability (2012). 21
[53] William K. Wootters, Quantum Information and Computation, Vol. 1 (2001) 27-44. 23,
59
[54] S. Hill and W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 5022. 24
[55] Henderson L and Vedral V, J. Phys. A : Math. Gen. 34 (2001) 6899. 24
[56] H.Ollivier and W.H. Zurek Phys. Rev. Lett. 88 (2001) 017901. 25
[57] N. Li and S. Luo, Phys. Rev. A 76 (2007) 032327 ; S. Luo, ibid 77 (2008) 022301. 25
[58] R. Dillenschneider, Phys. Rev. B 78 (2008) 224413. 25
[59] M. S. Sarandy, Phys. Rev. A 80 (2009) 022108. 25
[60] T. Werlang, S. Souza, F. F. Fanchini, and C. J. Villas Boas, Phys. Rev. A 80 (2009)
024103. 25
[61] T. Yu and J.H. Eberly, Quantum Inform. Comput. 7 (2007) 459.
[62] A.R.P. Rau, J. Phys. A 42 (2009) 412002.
[63] S. Luo, Phys. Rev. A 77 (2008) 042303 ; S.Luo, Phys. Rev. A 77 (2008) 022301.
[64] S. Hamieh, R. Kobes and H.Zaraket, Phys. Rev. A 70 (2004) 052325. 77
[65] M. Koachi and A. Winter, Phys. Rev. A 69 (2004) 022309. 28, 77, 93
[66] M. Shi, W. Yang, F. Jiang and J. Du, J. Phys. A : Mathematical and Theoretical 44 (2011)
415304 . 65, 87, 93
[67] M. Ali, A.R.P. Rau and G. Alber, Phys. Rev. A 81 (2010) 042105. 65, 79, 87, 92
[68] X-M Lu, Jian Ma, Z. Xi and X. Wang, Phys. Rev. A 83 (2011) 012327. 79
[69] S. Luo, Phys. Rev. A 77 (2008) 042303. 29
[70] K. Modi, T. Paterek, W. Son, V. Vedral and M. Williamson, Phys. Rev. Lett. 104 (2010)
080501. 32, 33
[71] L. Henderson and V. Vedral, J. Phys. A 34 (2001) 6899 ; V. Vedral, Phys. Rev. Lett. 90
(2003) 050401 ; J. Maziero, L.C.Céleri, R.M. Serra and V. Vedral, Phys. Rev A 80 (2009)
044102. 32
114
Bibliographie
[72] H. Ollivier and W.H. Zurek, Phys. Rev. Lett. 88 (2001) 017901. 32
[73] B. Bellomo, R. Lo Franco, and G. Compagno, Physical Review A 85 (2012) 032318. 33
[74] H. P. Breuer and F. Petruccione, The Theory of Open Quantum Systems Oxford University
Press, New York (2002). 39
[75] D. F. Walls and G. J. Milburn, Quantum Optics, Springer-Verlag, Berlin (1994). 39
[76] U. Weiss, Quantum Dissipative Systems, Volume 2 of Series in Modern Condensed Matter
Physics :World Scientific, Singapore (1999). 39
[77] I. O. Kulik and R. Ellialtioglu, Quantum Mesoscopic Phenomena and Mesoscopic Devices
in Microelectronics, NATO Series, Series C : Mathematical and Physical Sciences, Vol.
559 Kluwer Academic Publishers, Dordrecht(2000). 39
[78] M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, Cambridge (1997). 39
[79] D.D. Awschalom, D. Loss, and N. Samarth, Semiconductor Spintronics and Quantum
Computation, Series on Nanoscience and Technology, Springer-Verlag, Berlin (2002). 39
[80] A. Rivas and S. F. Huelga Open Quantum Systems, Phys.Springer (2012), arXiv :1104.5242
[quant-ph]. 40
[81] A. Nazir, Photon statistics from a resonantly driven quantum dot, Physical Review B 78
(2008) 153309. 41
[82] H. P. Breuer and F.Petruccion, Stochastic dynamics of reduced wave functions and continuous measurement in quantum optics, Fortschritte der Physik/Progress of Physics Volume
45 (1997) 39-78 . 41
[83] M. K Durstberger, Thesis of Geometry of Entanglement and dechorence in quantum systems (2005). 44, 49
[84] F. Marquardt and A. Puttmann, Introduction to dissipation and decoherence in quantum
systems (2008), arXiv :0809.4403[quant-ph]. 45
[85] K.Kraus, A.Böhm, J.Dollard and W.H.Wootters, Lecture Notes in Physics, vol. 190 (1983).
46
[86] J. Preskill, Lecture Notes for Physics 229 : Quantum Information and Computation (1998).
47
[87] J. Preskill, Lecture Notes "Quantum Computation" Chapter 3 Foundations II : Measurement and Evolution (2015). 49
[88] W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 2245. 52, 57, 58, 59
115
Bibliographie
[89] W. K. Wootters and W. H. Zurek, A single quantum can not be cloned, Nature. 299 (1982)
802. 54
[90] D. M. Greenberger, M. A. Horne and A. Zeilinger, Bell’s Theorem, Quantum Theory and
Conceptions of the Universe Volume 37 of the series Fundamental Theories of Physics
(1989) 69-72. 55
[91] J.von Neumann, Gott. Nach. 1 (1927) 273. 56
[92] J.von Neumann, Mathematische Gründlagen der Quantenmechanik. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, volume Bd, 38 (1932). 56, 59
[93] A.Renyi, Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics and
Probability (University of California Press, Berkeley) (1960). 56
[94] C.Tsallis, J. Stat. Phys. 52 (1988) 479. 56, 58
[95] D.W.Berry and B.C.Sanders, J.Phys. A : Math. Gen. 36 (2003) 12255. 56, 58
[96] C. H. Bennett, D. P. Divincenzo, J. A. Smolin and W.K.Wootters, Phys. Rev. A 54 (1996)
3824. 58
[97] S.J. van Enk and O. Hirota, Phys. Rev. A 64 (2001) 022313. 65
[98] H. Jeong, M.S. Kim and J. Lee, Phys. Rev. A 64 (2001) 052308. 65
[99] H. Jeong and M.S. Kim, Phys. Rev. A 65 (2002) 042305. 65
[100] T.C.Ralph, W.J.Munro, G.J.Milburn,Phys. Rev. A 70 (2002) 020101. 65
[101] T.C. Ralph et al., Phys. Rev. A 68(2003) 042319. 65
[102] P.T. Cochrane, G.J. Milburn and W.J. Munro, Phys. Rev. A 59(1999) 2631 ; S.
Glancy, H. Vasconcelos, and T.C. Ralph,Transmission Of Optical Coherent State Qubits,
arXiv :0311093 [quant-ph]. 65
[103] B.C Sanders, J. Phys. A : Math. Theor. 45 (2012) 244002. 65, 88
[104] B.C. Sanders, Phys. Rev. A 45 (1992) 6811. 65, 88
[105] X. Wang, B.C. Sanders and S.H. Pan, J. Phys. A 33 (2000) 7451. 65
[106] H. Ollivier and W.H. Zurek, Phys. Rev. Lett.88 (2001) 017901. 65, 87
[107] L. Henderson and V. Vedral, J. Phys. A 34 (2001) 6899 ; V. Vedral, Phys. Rev. Lett. 90
(2003) 050401 ; J. Maziero, L. C. Celéri, R.M. Serra and V. Vedral, Phys. Rev A 80 (2009)
044102. 65, 87
[108] B. Dakic, V. Vedral and C. Brukner, phys. Rev. Lett. 105 (2010) 190502. 65
[109] S. Luo, Phys. Rev. A 77 (2008) 042303 ; Phys. Rev. A. 77 (2008) 022301. 65, 87
116
Bibliographie
[110] D. Girolami and G. Adesso, Phys. Rev. A 83 (2011) 052108. 65, 87
[111] M. Shi, F. Jiang, C. Sun and J. Du, New Journal of Physics 13 (2011) 073016. 65, 87
[112] M. Daoud and R. Ahl Laamara, J. Phys. A : Math. Theor. 45 (2012) 325302. 65, 87, 88,
92
[113] M. Daoud and R. Ahl Laamara, International Journal of Quantum Information 10 (2012)
1250060. 65, 87, 88, 92
[114] G. Adesso and A. Datta, Phys. Rev. Lett. 105 (2010) 030501 ; G. Adesso and D. Girolami,
Int. J. Quant. Info. 9 (2011) 1773. 65
[115] P. Giorda and M.G.A. Paris, Phys. Rev. Lett. 105 (2010) 020503. 65
[116] X. Yin, Z. Xi, X-M Lu, Z. Sun and X. Wang, J. Phys. B : At.Mol. Opt. Phys. 44 (2011)
245502. 65
[117] M. Daoud and R. Ahl Laamara, Phys. Lett. A 376 (2012) 2361. 65, 88, 92
[118] R. Wickert, N.K. Bernardes, P. van Loock, Phys. Rev. A 81 (2010) 062344. 65
[119] G.L. Giorgi, Phys. Rev. A 84 (2011) 054301. 66
[120] R. Prabhu, A. K. Pati, A.S. De and U. Sen, Phys. Rev. A 86 (2012) 052337. 66
[121] M. Allegra, P. Giorda and A. Montorsi, Phys. Rev. B 84 (2011) 245133. 66
[122] X. J. Ren and H. Fan, Quant. Inf. Comp. Vol. 13 (2013) 0469. 66
[123] A. Streltsov, G. Adesso, M. Piani and D. Bruss, Phys. Rev. Lett.109 (2012) 050503. 66
[124] H.Takeuchi, S.Yamaguchi and T.S.Usuda,Proceedings of the First International Workshop on ECS and Its Application to QIS ;T.M.Q.C (2013) 115-119. 66
[125] O.Hirota, Error free Quantum Reading by Quasi Bell State of Entangled Coherent States
(2011), arXiv :1108.4163[quant-ph]. 66
[126] H. Jeong and T.C. Ralph in "Quantum Information with Continuous Variables of Atoms
and Light" Imperial College Press (2007) 159. 67
[127] S.M. Tan, D.F. Walls and M.J. Collett, Phys. Rev. Lett. 66 (1991) 252. 68
[128] M.G.A. Paris, Phys. Rev. A 59 (1999) 1615. 68
[129] P. van Loock and S.L. Braunstein, Phys. Rev. Lett. 84 (2000) 3482. 68
[130] X. Wang, J. Phys. A : Math. Gen. 35 (2002) 165. 68
[131] W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 2245. 70
[132] M.A. Nielsen and I.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2000). 87
117
Bibliographie
[133] G. Alber, T. Beth, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, M. Rötteler, H. Weinfurter,
R. Werner and A. Zeilinger, Quantum Information (2001)ch. 5. 87
[134] V. Vedral, Rev. Mod. Phys. 74 (2002) 197. 87
[135] R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki and K.Horodecki, Rev. Mod. Phys. 81 (2009)
865. 87
[136] O. Gühne and G. Tóth, Phys. Rep. 474 (2009) 1. 87
[137] K. Modi, A. Brodutch, H. Cable, T. Paterek and V.Vedral, Rev. Mod. Phys. 84 (2012)
1655. 88
[138] D.L. Zhou, B. Zeng, Z. Xu, and L. You, Phys. Rev. A 74 (2006) 052110. 88
[139] D. Kaszlikowski, A. Sen(De), U. Sen, V. Vedral, and A. Winter, Phys. Rev. Lett. 101
(2008) 070502. 88
[140] C.H. Bennett, A. Grudka, M. Horodecki, P. Horodecki, and R. Horodecki, Phys. Rev. A
83 (2011) 012312. 88
[141] G.L. Giorgi, B. Bellomo, F. Galve, and R. Zambrini, Phys. Rev. Lett. 107 (2011) 190501.
88
[142] N. Li and S. Luo, Phys. Rev. A 84 (2011) 042124. 88
[143] J. Hald, J.L. Sørensen, C. Schori and E.S. Polzik, Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 1319.
[144] A. Kuzmich, L. Mandel and N.P. Bigelow, Phys. Rev. Lett.85 (2000) 1594.
[145] V. Meyer, M. A. Rowe, D. Kielpinski, C.A. Sackett, W.M. Itano, C. Monroe and D.J.
Wineland, Phys. Rev. Lett. 86 (2001) 5870.
[146] I. Chakrabarty, P. Agrawal and A.K. Pati, The European Physical Journal D 65 (2011)
605. 88
[147] C.C. Rulli and M.S. Sarandy, Phys. Rev. A 84 (2011) 042109. 88
[148] Z-H Ma, Z-H Chen and F.F. Fanchini, New Journal of Physics, 15 (2013) 043023. 88
[149] G. Adesso and F. Illuminati, New J. Phys. 8 (2006) 15. 92
[150] W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 2245 ; W.K. Wootters, Quant. Inf. Comp. 1
(2001) 27. 93
[151] T.Hiroshima, G. Adesso, and F. Illuminati, Phys. Rev.Lett. 98 (2007) 050503.
[152] B.C. Sanders, Phys. Rev. A 46 (1992) 2966. 88
[153] H. Fu, , X. Wang and A.I. Solomon, Phys. Lett. A 291 (2001) 73. 89
118
Bibliographie
[154] X. Wang, J. Phys. A : Math. Gen. 35 (2002) 165. 89
[155] X. Wang and B.C. Sanders, Phys. Rev. A 68 (2003) 012101. 89
[156] X. Wang and B.C. Sanders, Phys. Rev. A 65 (2002) 012303. 89
[157] Z-H. Ma and Z-H. Chen, Witness for a measure of genuine multipartite quantum discord
for arbitrary N partite quantum state(2011), arXiv :1108.4323[quant-ph].
[158] F.F. Fanchini, M.F. Cornelio, M.C. de Oliveira and A.O.Caldeira, Phys. Rev. A 84 (2011)
012313. 95
[159] F.F. Fanchini, L.K. Castelano, M.F. Cornelio, M.C. de Oliveira, New Journal of Physics
14 (2012) 013027. 95, 96
119
Bibliographie
120
Liste des publications et des Communications
Liste des publications et des Communications
Publications :
1. M. Daoud, R. Essaber and R. Ahl Laamara, Geometric quantum discord for multimode even and odd Glauber states, AJMP Volume 11 Number 1 (2012) pages 11-18.
2. M. Daoud, R. Ahl Laamara and R. Essaber, Quantum correlation dynamics of
quasi-Bell cat states, International J. Quantum information Volume 11 Number 6 (2013)
21 pages.
3. M. Daoud, R. Ahl Laamara, R. Essaber and W.Kaydi, Global quantum correlations in tripartite nonorthogonal states and monogamy properties, Phys. Scr Volume 89
Number 6 (2014) 12 pages.
Communication orale et poster :
1. Geometric quantum discord for multi-mode even and odd Glauber states, à
l’école de l’information quantique, Rabat les 30 Novembre et 01 décembre (2012).
2. Autour de la Discorde quantique, Ecole Nationale : Cryptography and Quantum
Information Theory, 31 Janvier et 01 février (2014), ENSET-Rabat and Fac SciencesRabat.
3. Poster "The Evolution of geometric quantum discord of Two Qubits in Independent Reservoirs", à l’école CIMPA de Meknès, "Operator theory and the principle
of quantum mechanics", 8-17 September (2014).
4. Evolution de la discorde quantique dans des systèmes bipartites couplés à
l’environnement, Ecole de la théorie de l’information quantique et cryptologie, 6-7
Février (2015).
5. Schéma unificateur pour les corrélations des états mixtes dans des systèmes
bipartites, les journées doctorales CPM-2015, Juin 11-13, (2015), Institut Scientifique.
ESSABER Rim ([email protected])
Université Mohammed V de Rabat - Maroc
Lab/UFR de Physique des Hautes Energies
Modélisation et Simulation
UNIVERSITÉ MOHAMMED V
FACULTÉ DES SCIENCES
Rabat
DOCTORAT
Résumé de la Thèse
Discipline : Physique
Spécialité : Physique Mathématique
Laboratoire : Physique des Hautes Energies, Modélisation et Simulations
Responsable de laboratoire : El Hassan SAIDI
Titre de la thèse : Evolution des corrélations quantiques et processus de
décohérence en théorie quantique de l’information
Prénom, Nom : ESSABER Rim
Résumé:
Dans le domaine de la physique de l’information quantique, les corrélations quantiques
constituent un outil essentiel pour améliorer certains processus de traitement de
l’information par rapport à leurs analogues classiques. Dans ce sens, la quantification,
la caractérisation et l’identification des mesures adéquates de ces corrélations revêt
une importance capitale. D’un autre côté, l’information codée dans un système
quantique peut être facilement détruite au vue de l’intrication du système avec son
environnement et qui induit la décohérence du système quantique.
Dans cette thèse intitulée "Evolution des corrélations quantiques et processus de
décohérence en théorie quantique de l’information", nous étudions les mesures
bipartites des corrélations quantiques dans des systèmes multipartites. Ces mesures
sont faites par le biais de la concurrence, l’entropie de formation, la discorde quantique
et sa variante géométrique basée sur le concept de la distance de Hilbert-Schmidt. Afin
de tenir compte des effets du couplage des états cohérents avec l’environnement,
nous avons développé un modèle simple où les effets de décohérence sont modélisés
par un diviseur de faisceau. La distribution des corrélations quantiques entre le
système bipartite et l’environnement est étudiée en détail. En effet, nous avons établit
les conditions de violation de la relation de la monogamie de l’entropie de formation, la
discorde quantique et la discorde géométrique. Un autre aspect de ce travail concerne
la distribution des corrélations quantiques dans un état tripartite constituée par des
systèmes préparés dans des états non-orthogonaux. Une relation de conservation
entre les entropies de formation et les discordes quantiques bipartites est obtenue. De
plus une étude détaillée de la relation de monogamie est présentée.
Mots clés: Discorde quantique - Intrication quantique - Etats cohérents Séparabilité –
Systèmes quantiques ouverts - Equation d’évolution - Opérateurs de Krauss - Canaux
quantiques –Décohérence - Monogamie.
Faculté des sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat-Maroc
Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61, http :/www.fsr.ac.ma