Notes de cours Division et factorisation CARACTÈRE DE DIVISIBILITÉ Un nombre est divisible par … 2 Lorsque … Le dernier chiffre est pair 3 La somme des chiffres est divisible par 3 4 Le nombre constitué des deux derniers chiffres est divisible par 4 5 Le dernier chiffre est 0 ou 5 6 Le nombre est divisible par 2 et par 3 9 La somme des chiffres est divisible par 9 10 Le dernier chiffre est 0 NOMBRES PREMIERS ET COMPOSÉS Un nombre premier a exactement deux facteurs : 1 et lui−même. Un nombre est dit composé s’il n’est pas premier. Le crible d’Ératostène permet de retrouver les nombres premiers inférieurs à 100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 FACTORISATION ET FACTORISATION PREMIÈRE La factorisation d’un nombre est son écriture sous la forme d’un produit de facteurs. La factorisation est dite première lorsque les facteurs sont seulement des nombres premiers. On utilise l’arbre des facteurs pour retrouver la factorisation première d’un nombre. Exemples : Nombre Factorisation Factorisation première 24 2 × 12 ou 4 × 6 ou … 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3 300 30 × 10 ou 3 × 4 × 5 × 5 ou … 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 22 × 3 × 5 2 300 24 4 × 30 6 × 10 3 × 10 × 2 × 5 2 × 2 × 2 × 3 2 × 5 PGCD ET PPCM Le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple se déterminent rapidement à l’aide de la factorisation première et d’un diagramme de Vennes. Le pgcd est le produit des facteurs premiers de la partie centrale et le ppcm est le produit de tous les facteurs premiers du schéma. Exemples : 24 = 2 × 2 × 2 × 3 300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 126 = 2 × 3 × 3 × 7 270 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5 24 300 2 2 270 3 5 7 3 2 126 5 5 3 2 3 pgcd (24, 300) = 22 × 3 = 12 pgcd (126, 270) = 2 × 32 = 18 ppcm (24, 300) = 23 × 3 × 52 = 600 ppcm (126, 270) = 2 × 33 × 5 × 7 = 1890