Les suites de Syracuse

Les suites de Syracuse
A. Conjecture de Syracuse
On appelle suite de Syracuse une suite d’entiers naturels définie de la manière suivante :
On part d’un nombre entier plus grand que zéro ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair,
on le multiplie par 3 et on ajoute 1. En répétant l’opération, on obtient une suite d’entiers positifs
dont chacun ne dépend que de son prédécesseur.
Par exemple, écrire la suite des nombres obtenue à partir de 14. C’est ce qu’on appelle la suite de
Syracuse du nombre quatorze.
14, . . . , . . . , . . . , . . . , . . . , . . . , . . . , . . . , . . . , . . . , . . . , . . .
Pour la suite de Syracuse 14, après que le nombre 1 a été atteint, la suite des valeurs (1,4,2,1,4,2,
. . .) se répète indéfiniment.
Si l’on était parti d’un autre entier, en lui appliquant les mêmes règles, on aurait obtenu une suite
de nombres différente. A priori, il serait possible que la suite de Syracuse de certaines valeurs de
départ n’atteigne jamais la valeur 1. Or, on n’a jamais trouvé d’exemple de telle suite.
La conjecture de Syracuse, encore appelée conjecture de Collatz, conjecture d’Ulam, conjecture
tchèque ou problème 3x + 1 est l’hypothèse selon laquelle les suites de Syracuse de tous les
nombres strictement positifs atteignent 1.
En dépit de la simplicité de son énoncé, cette conjecture continue de défier les mathématicien.
B. Origine
Dès 1928, Lothar Collatz s’intéressait aux itérations dans les nombres entiers. Il inventa alors le
problème 3x + 1, et en 1952, lors d’une visite à Hambourg, il expliqua son problème à Helmut
Hasse. Ce dernier le diffusa en Amérique à l’université de Syracuse : le succès fut immédiat et
la suite de Collatz prit alors le nom de suite de Syracuse. Entre temps, le mathématicien polonais
Stanislas Ulam le répand dans le Laboratoire national de Los Alamos. Dans les années 1960, le
problème est repris par le mathématicien Shizuo Kakutani qui le diffuse dans les universités de
Yale et Chicago.
C. Algorithme et vocabulaire
Algorithme de Syracuse
a) Entrée
Saisir n : entier naturel non nul
b) Traitement
Tant que n 6= 1
Si n est pair alors n prend la valeur n/2
sinon n prend la valeur 3n + 1
Sortie
Afficher n
Fin
1
Exemples :
Déterminer les valeurs de la suite pour N = 15 et pour N = 127 et faire une représentation graphique.
1. Utlisisation du tableur Excel
La difficulté est de faire un test pour savoir si le nombre est pair ou impair.
On sait que la division euclidienne donne pour reste 0 dans le cas d’un nombre pair et 1
dans le cas d’un nombre impair. On utilise alors la fonction " MOD(nombre ;diviseur) "
du tableur qui renvoie le reste d’une division.
Tester le résultat de cette fonction en entrant dans une cellule " =MOD(nombre ;2) " et en
remplaçant " nombre " par des nombres entiers quelconques.
Ne pas oublier le signe " = ".
Pour obtenir la suite de Syracuse 15 :
– entrer le nombre 15 dans la cellule A1 ;
– pour le test on utilise la fonction logique " SI(test logique ; valeur si vrai ; valeur si
faux) " et on peut donc écrire dans la cellule A2 : " =SI(MOD(A1 ;2) = 0 ;A1/2 ;3*A1+1)
" puis recopier cette formule dans les cellules suivantes jusqu’à A40 par exemple.
– pour la représentation graphique, on sélectionne les cellules de A1 jusqu’à A40 et on
clique sur " insertion ", " graphique ", " courbes ".
2. Programmation
On peut écrire un programme, par exemple avec le logiciel Algobox.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
VARIABLES
n EST_DU_TYPE NOMBRE
u_n EST_DU_TYPE NOMBRE
u_n_temp EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
AFFICHER "Entrer un entier naturel : "
LIRE u_n
AFFICHER "u_n="
AFFICHER u_n
n PREND_LA_VALEUR 0
TANT_QUE (u_n!=1) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
SI (u_n%2==0) ALORS
DEBUT_SI
u_n_temp PREND_LA_VALEUR u_n/2
FIN_SI
SI (u_n%2==1) ALORS
DEBUT_SI
u_n_temp PREND_LA_VALEUR 3*u_n+1
FIN_SI
u_n PREND_LA_VALEUR u_n_temp
AFFICHER "u_n="
AFFICHER u_n
n PREND_LA_VALEUR n+1
FIN_TANT_QUE
2
26
27
28
29
30
AFFICHER "la valeur de u_n est : "
AFFICHER u_n
AFFICHER "le temps de vol est : "
AFFICHER n
FIN_ALGORITHME
Vocabulaire
On définit :
• le temps de vol : c’est le numéro du premier terme égal à 1 ;
vérifier qu’il est de 17 pour la suite de Syracuse 15 et de 46 pour la suite de Syracuse 127,
• le temps de vol en altitude : c’est le numéro du premier terme strictement plus petit que l’entier
initial ;
vérifier qu’il est de 10 pour la suite de Syracuse 15 et de 23 pour la suite de Syracuse 127,
• l’altitude maximale : c’est la valeur maximale de la suite ;
vérifier qu’elle est de 160 pour la suite de Syracuse 15 et de 4372 pour la suite de Syracuse 127.
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