Liban 2013. Enseignement spécifique EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) On considère la suite numérique (vn ) définie pour tout entier naturel n par ⎧ ⎨ v0 = 1 9 . ⎩ vn+1 = 6 − vn Partie A 1) On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse. Algorithme No 1 Algorithme No 3 Algorithme No 2 Variables : v est un réel i et n sont des entiers naturels Variables : v est un réel i et n sont des entiers naturels Variables : v est un réel i et n sont des entiers naturels Début de l’algorithme : Lire n v prend la valeur 1 Pour i variant de 1 à n faire 9 v prend la valeur 6−v Fin pour Afficher v Fin algorithme Début de l’algorithme : Lire n Pour i variant de 1 à n faire v prend la valeur 1 Afficher v 9 v prend la valeur 6−v Fin pour Fin algorithme Début de l’algorithme : Lire n v prend la valeur 1 Pour i variant de 1 à n faire Afficher v 9 v prend la valeur 6−v Fin pour Fin algorithme 2) Pour n = 10, on obtient l’affichage suivant : 1 1, 800 2, 143 2, 333 2, 455 2, 538 2, 600 2, 647 2, 684 2, 714 2, 969 2, 969 2, 970 2, 970 2, 970 Pour n = 100, les derniers termes affichées sont : 2, 967 2, 968 2, 968 2, 968 2, 969 Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (vn ) ? 3) a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < vn < 3. b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 − vn = La suite (vn ) est-elle monotone ? (3 − vn )2 . 6 − vn c) Démontrer que la suite (vn ) est convergente. Partie B. Recherche de la limite de la suite (vn ) On considère la suite (wn ) définie pour tout n entier naturel par wn = 1 . vn − 3 1 1) Démontrer que (wn ) est une suite arithmétique de raison − . 3 2) En déduire l’expression de (wn ), puis celle de (vn ) en fonction de n. 3) Déterminer la limite de la suite (vn ). http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. ⃝ Liban 2013. Enseignement spécifique EXERCICE 4 Partie A 1) • L’algorithme no 1 n’affiche qu’un seul terme de la suite et ne convient donc pas. • L’algorithme no 2 remet à chaque étape la valeur 1 dans v avant d’afficher. L’algorithme no 2 fait donc afficher 1, 1, 1 . . . ce qui est faux. • On doit maintenant noter que malheureusement, l’algorithme no 3 n’affiche que les termes v0 , v1 , . . . ,vn−1 et n’affiche pas vn . L’algorithme no 3 ne convient pas non plus. C’est néanmoins l’algorithme le plus proche de ce que l’on veut. D’ailleurs dans la question suivante, quand n = 10, on a dix valeurs à l’affichage c’est-à-dire v0 , v1 , . . . , v9 et pas v10 . Un algorithme répondant à la question serait Algorithme No 3 bis Variables : v est un réel i et n sont des entiers naturels Début de l’algorithme : Lire n v prend la valeur 1 Pour i variant de 1 à n faire Afficher v 9 v prend la valeur 6−v Fin pour Afficher v Fin algorithme 2) Il semblerait que la suite (vn )n∈N soit strictement croissante et converge vers un réel proche de 3. 3) a) Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < vn < 3. • v0 = 1 et 0 < 1 < 3. Donc 0 < v0 < 3. L’encadrement à démontrer est vrai quand n = 0. • Soit n ! 0. Supposons que 0 < vn < 3 et montrons que 0 < vn+1 < 3. 0 < vn < 3 ⇒ −3 < −vn < 0 ⇒ 3 < 6 − vn < 6 1 1 1 < (par stricte décroissance de la fonction inverse sur ]0, +∞[) ⇒ < 6 6 − vn 3 9 9 9 ⇒ < < 6 6 − vn 3 ⇒ 0 < vn+1 < 3. On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 < vn < 3. b) Soit n un entier naturel. vn+1 − vn = 9 − vn (6 − vn ) v2 − 6vn + 9 (vn − 3)2 9 − vn = = n = . 6 − vn 6 − vn 6 − vn 6 − vn Pour tout entier naturel n, vn+1 − vn = (vn − 3)2 . 6 − vn Soit n un entier naturel. D’après la question vn < 3 et en particulier, 6 − vn > 0 et aussi (vn − 3)2 > 0. On en déduit que pour tout entier naturel n, on a vn+1 − vn > 0 et donc la suite (vn ) est strictement croissante. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. ⃝ c) La suite (vn ) est croissante d’après la question 3)b) et majorée par 3 d’après la question 3)a). On en déduit que la suite (vn ) converge. La suite (vn ) est convergente. Partie B. Recherche de la limite de la suite (vn ) 1) Puisque pour tout entier naturel n, on a vn ̸= 3, la suite (wn )n∈N est bien définie. Soit n un entier naturel. wn+1 = 1 = vn+1 − 3 1 1 1 6 − vn "= ! "= = ! , 9 9 − 3(6 − vn ) 3vn − 9 3(vn − 3) −3 6 − vn 6 − vn 6 − vn puis wn+1 − wn = 6 − vn 1 6 − vn − 3 −(vn − 3) 1 − = = =− . 3(vn − 3) vn − 3 3(vn − 3) 3(vn − 3) 3 Donc, pour tout entier naturel n, wn+1 − wn = − 1 et on en déduit que 3 1 la suite (wn ) est arithmétique de raison r = − . 3 2) Déjà, w0 = 1 1 1 = = − . Mais alors, pour tout entier naturel n, v0 − 3 1−3 2 1 n 2n + 3 wn = w0 + nr = − − = − , 2 3 6 puis vn = 3 + 1 6 =3− wn 2n + 3 Pour tout entier naturel n, vn = 3 − 3) lim (2n + 3) = +∞ puis en prenant l’inverse, lim n→+∞ n→+∞ 6 . 2n + 3 1 = 0 et donc 2n + 3 lim vn = 3 − 6 × 0 = 3. n→+∞ lim vn = 3. n→+∞ http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. ⃝