75.Montrer que tout graphe connexe posséde un graphe partiel qui

75.Montrer que tout graphe connexe posséde un graphe partiel qui est un arbre .
76. Un arbre d'ordre n  2 admet au moins deux sommets pendants
( un sommet qui n'est adjacent qu'à un seul sommet )
77. Montrer que tout arbre est un graphe biparti .
78. Un graphe G est dit " quasi-fortement connexe " si pour tout couple ( x , y ) de sommets il
existe un sommet z d'où partent à la fois un chemin allant à x et un chemin allant à y .
a) Vérifier qu'un graphe f-connexe est quasi-f-connexe et que la réciproque est en général
fausse .
b) Et qu'un graphe quasi-f-connexe est connexe .
On appelle racine un sommet " a " tel que pour tout autre sommet " x " de X il y a un
chemin de " a " à " x " .
On appelle " arborescence " un arbre muni d'une racine
c) Montrer qu'un graphe G = ( X , U ) admet une racine si et seulement si il est
quasi-fortement connexe
79. Montrer qu'un graphe G admet un graphe partiel qui soit une arborescence si et
seulement si G est quasi-fortement connexe .
80. Appliquer l'algorithme de KRUSKAL pour déterminer un graphe partiel du graphe
suivant qui soit un arbre de poids minimum .












81. Soient G = ( X , U ) un graphe connexe , C : U
R
(0)
(0)
et T
 U tel que ( X , T
) soit un arbre .
Montrer qu'on peut trouver une séquence T(0) , T(1) ,..., T(k) telle que :
( X , T ( j ) ) soit un arbre j =0 , 1 ,..., k
| T ( j-1 )  T( j ) | = n - 2
C (T ( 0) )  C (T ( 1) )  ...  C(T( k ) )
( X , T ( k ) ) est un arbre de poids minimum .
82. Appliquer l'exercice précédent pour trouver la séquence d'arbre qui donne un arbre de
poids minimum , en prenant T l'arbre en traits gras .

5
2


10

11
6
1
9

12
7
13

14
4

4

8
83..Soit G = ( X , U ) un graphe connexe , l : U
R une fonction coût .
Soit x  X et u x un arc de G tel que :
l(u)
l(ux) =
{ u  U / u est adjacent à x et u n'est pas une boucle }
Montrer qu'il existe T  U tel que ( X,T ) soit un arbre de poids minimum et tel que u x  T .
84. Soit u = (xy) un arc d'un graphe G = (X,U) . Le graphe Cu (G) résultant de la contraction
de l'arc u est obtenu à partir de G par identification des extrémités de x et y de u .
On remplace les sommets x et y de G par un sommet unique xy.
Les sommets de Cu (G) sont en bijection avec X - {x,y}  {xy} . D'autres part les arcs de Cu
(G) sont en bijection avec U - { u } .L'extrémité initiale ( resp.terminale ) d'un arc de Cu (G)
est xy si et seulement si l'extrémité initiale ( resp.terminale ) de l'arc correspondant dans G
est x ou y . Soit u = (xy)  U
Montrer que T est un arbre si et seulement si Cu (G) soit un arbre .
85.ALGORITHME DE PRIM POUR CONSTRUIRE UN ARBRE DE POIDS
MINIMUM
(0) Poser T =  , G = ( X , U ) un graphe connexe
(1) * Si G ne comporte qu'un sommet . Terminer .
( X , T ) est un arbre de longueur minimum .
* Si G comporte plus d'un sommet soit x un sommet de G . Aller en ( 2 ) .
(2) Soit v un arc de G adjacent à x tel que :
l(v) =
l(u)
{ u  U / u est adjacent à x et u n'est pas une boucle }
Poser :
T:T{v}
G : Cv (G)
Aller en ( 1 ) .
Justifier cet algorithme et montrer qu'il est fini . Appliquer le au graphe suivant :
Min
Min
2
1
3
6
5
4
86. Nous donnons ci dessous un autre algorithme pour déterminer un arbre de poids
minimum
appelé algorithme de SOLLIN -CALESTAGNE .
I) Soit U0 = ( x0 y0 ) une arête de coût minimum .Posez S = { x0 , y0 } et T = { U0 } aller à II)
II) Si S = X alors ( X , T ) est l'arbre cherché . sinon aller à III)
III) Parmis les arêtes ayant un sommet dans S et un sommet dans X-S , Choisir une ,
disons u = ( x y ) où x  S et y  X-S de coût minimum .
Remplacer S par S  { y } et T par T  { u } et aller à II) .
Justifier cette algorithme et montrer qu'il est fini . Appliquer le pour le graphe suivant :
15
c
12
b
6
a
8
d  14
8
18
5
e
9
f
11
6
11
g
7
4
5
19
i
9
h
13
10
17
12
2
j
15
l
k
3
7
87. Trouver un arbre de coût minimum dans chacun des graphes simples valués suivants :


2 3 2
1





1
3
3
1
2
3
2
1

1
18
1

13

17
15
15
3
14


10
12
9

11
88. Dire quelles modifications doivent être apportées aux algorithmes de KRUSKAL
,de PRIM et de SOLLIN- CALESTAGNE si on cherche un arbre de poids maximum ( on ne
changera pas les poids en leurs opposés ) .
89. Dans le graphe valué ci-dessous , chercher un arbre de poids maximum .

5

2
3
4

2
1


1

4
3

2
1
A l'arbre trouvé , on associe une base de cycle .
Exprimer le cycle ( x2 u2 x3 u6 x4 u5 x2 ) dans cette base .
90. Déterminer un graphe partiel du graphe suivant qui soit un arbre de poids maximum .
-1


-2

3
2
-2

1

-1
3
1
-1
-2
-3



5
-2
91. Soit G = ( X , U ) un graphe connexe et l : U
R .
Montrer que l'algorithme suivant permet de déterminer un graphe partiel ( X , T ) de G qui
est un arbre de poids minimum .
(0) Les arcs sont supposés rangés dans l'ordre des poids décroissants .
l(u1 )  l(u 2)  ...  l(um ) .
Poser T : = U , i = 1
(1) .Si ( X , T - { ui } ) n'est pas connexe aller en (3)
.Si ( X , T - { u i } ) est connexe , aller en (2)
(2) Poser T : = T - { ui }
Aller en (3)
(3) . Si i = m , terminer
. Si i < m , faire i : = i + 1 , aller en (1)
Dans quel sens peut-on dire que cet algorithme est " dual " de celui de KRUSKAL ?
Résoudre les exemples de la série en utilisant cet algorithme .
92. Dans chaque cas lorsqu’on détermine un arbre de poids minimum ou maximum
,déterminer une base de cycles et une base de cocycles du graphe considéré .
BIBLIOGRAPHIE :
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[2] BONDY , J.A et MURTY , U.S.R . Graph Theory with applications . MacMillan
Press.1976.
[3] DESBAZEILLE , G . Exercices et Problèmes de Recherche Opérationnelle .2 ième édition
nouveau Tirage . Dunod 1976 .
[4] GOUJET , C et NICOLAS , C .Mathématiques appliquées . Probabilités , initiation à la
Recherche Opérationnelle .
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[6] KUNTZMANN , J . Théorie des Réseaux . Graphes . Dunod 1972 .
[7] KAUFMAN , A et COSTER , D . Exercices de Combinatoires avec solutions . Tome 2
Propriétés des graphes et méthodes d’énumération .Dunod .
[8] LABELLE , J . Théorie des graphes . Modulo .
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[10] SADI , B . Théorie des Graphes . Complexité Algorithmique . OPU 1988 .
[11] SAKAROVITCH , M . Optimisation combinatoire . Méthodes Mathématiques et
Algorithmiques . Graphes et Programmation Linéaire .
[12] SAKAROVITCH , M . Techniques Mathématiques de La Recherche Opérationnelle . II
Eléments de théorie des Graphes . ENSIMAG 1977 .