z - LESIA - Observatoire de Paris

ed
efg
PLASMAS ASTROPHYSIQUES
Etude du mouvement d'une particule chargée dans des champs
électriques (E ) et magnétiques (B) donnés
Cours II : Dynamique d'une particule chargée
(1ere partie)
Ca n'a d'intérêt que s'il n'y a pas trop de particules chargées (champs créés
par ces particules négligeables devant les champs initiaux). Sinon, problème
couplé champs/particules (c.f. cours III et V)
On va surtout s'intéresser au mouvement dans un champ magnétique (on
trouve des champs magnétiques partout dans l'univers)
D'après la théorie de la relativité, on ne devrait pas faire de
distinction entre eux : E se transforme en B et vice-versa dans un
changement de repère
Nicole Meyer-Vernet
(Observatoire de Paris)
B
http://calys.obspm.fr/~meyer
E = E + V B + O(v 2/c 2 )
B = B − V E/c 2 + O(v2 /c2 )
"
#
&&%$
&
[email protected]
MASTER RECHERCHE (M2) SPECIALITE ASTRONOMIE & ASTROPHYSIQUE
Repère R':
(vitesse V)
E
! Repère R:
Störmer et Birkeland
Observatoire de Paris - Universités Paris VI - Paris VII - Paris XI
B=
0 J + ( 1/c
2)
E/ t
Sources: charge électrique mais pas de charge magnétique
Repère (R) où plasma a vitesse V : E=-VXB
B = B − V (V B)/c 2 + O(v 2 /c 2 )
B si v
c
I
JLK
NLM
O
JLM
PJ
L
RSQ
T
SSNNK
ST
NOKM
S
NU
Q
JWV
XNL
NQYM
T
Z[NWK
L
3
546
87
596
56
;:6
:<
=7
>7
79:?
6
=5
@>
A
D8BC
:6
5><
6?
8>E
F:GC
6H
courant électrique mais pas de courant magnétique
Repère (R') où plasma immobile : E'=0
`
b `
− B/ t
_
E=0
a
B =0
0
.0 +,
1
2
2
E= /
./ '(
)*
Equations de Maxwell
Tendent à annuler E à grande échelle
ih
kkjl
mn
oo
p
\
]
^
E=0 dans repère où plasma immobile
charges en mouvement J B O (et pas de
monopoles magnétiques pour annuler B
B indépendant du repère et en général 0
E dépend du repère et =0 dans repère plasma
c
Si pas d'autres forces, alors:
A@
AB
C
+
q<0
= v /r g
g
g
5
#
&
eB
mp
= 4 10 3 rad/s
électrons
eB
me
= 7 10 6 rad/s
8
6
protons
7
$
(
g
v
Grandville (Un autre Monde, ed.
H. Fournier, Paris, 1844)
1/2
( 2kT
m )
g
,
-
4
=
3
=
v
rc
2 10-2 m
dv
ds
=
g
v
rc
des électrons pas petit devant
?
v
>
rc
4
.
0
dv
dt
2
=
v dv
ds
1
2
/
0
ED
GF
GHI
JK
KB
dv
dt
1m
s
rayon courbure trajectoire rc
v2
rg
rg
électrons rg
à v donné, accélération maximale pour = /2
rayonnement vient surtout des part. ayant v B
protons
=
rg = v /
;
<
pc/IqI = "rigidité magnétique" : dimension= énergie /charge=Volts
=
,
9
:
ionosphère terrestre : T=10 K
particules injectées avec même valeur de mv/IqI et même
ont même trajectoire
2
q B
m
particules non relativistes
p sin
q B
0 , rg
=
rayonnement polarisé D interagit
davantage avec les é
charge crée B sens opposé à B initial:
diamagnétisme
3
Attention, si v
sens de gyration
"
gyrofréquence (angulaire) :
+
'
mv
q B
Application Voisinage Terre B 4 10-5 T
v
v
v = v sin
=
v B
rayon de gyration
*
*
)
mv sin
q B
*
*
rg =
rg =
+
%
!
B
v
mouv. circulaire,
rayon rg dans
plan B
Hélice
= q
v
= qv B
m dv
dt
v = cste
v = cste
v
v
q>0
1) Cas le plus simple : E=0, B = cste (indep. r, t)
= qv B
m dv
dt
v
mouv. circulaire,
rayon rg
B
mv 2
rg
B
si E=0 alors W=cste, v=cste, =cste,
mouvt le même que particule non-relativiste (v c)
de masse m= m0
m=cste
B
v
= cste
p
= qv (E + v B) == qv E
dW
dt
m 0 v) = q(E + v B)
Energie:
mouv. B : m dvdt = qv
d
dt (
mouv. B : F = 0
charge q,
masse m= m0 (m0 = masse au repos)
vitesse v, =(1-v2/c2)-1/2
Equation du mouvt :
v = cste
v = cste
= qv B
m dv
dt
Mouvement d'une particule dans champs E, B
p
B va modifier la propagation des ondes dans
l'ionosphère terrestre
!"
m0
attention: si particule relativiste, alors m
Application
Gra ndvil le (Un a utre M ond e, e d. H.
Fo urnie r, Pa ris, 1 84 4)
"Rayons cosmiques"
...essentiellement des
particules chargées
Calcul du rayon de gyration d'une particule de masse
m0 et énergie W
rg p/ q B (pour sin
1)
1 particule
par km²
par siècle!
Modulation solaire
c):
Particule ultra-relativiste (v
p W/c
c):
Particule non relativiste (v
p (2Wm0)1/2
Space Sci. Rev. 89, 125 (1999)
Rayons cosmiques reçus sur Terre (en haut de l'atmosphère)
Pourquoi éléments ont diminution
pour ~ même énergie/nucléon?
Galaxies actives
Atténuation pour énergie/nucléon < 1 GeV spectre en énergie
Atténuation max. quand activité solaire max.
Restants de supernovae
(chocs)
Physics Rep. 327, 109 (2000)
Energie /nucléon (en eV)
(v
$#
&&%'
("
))*
voir par ex.: http://ipnweb.in2p3.fr/~auger/GDR/PARC/PARC.html
Goutelas 2003 (ed. Parizot et al., SF2A)
109 eV
énergie/nucléon
( − 1)m pc 2
..... ??? ...
Accélération et transport : champ magnétiques, ...
pc
W/e
q
q /e
Entre l'hélium et le fer, les noyaux
ont ~ le même (m/mp)/(IqI/e) 2
et on a vu que particules injectées avec
même pc/IqI = "rigidité magnétique" et
même ont même trajectoire
Particules ayant même
énergie/nucléon ont même
trajectoire (si v c)
Rigidité magnétique
c)
Webber & Lezniak 1974 Astrophys.
Space Sci. 30 361
Pourquoi la coupure est ~ 1 GeV ?
Cosmiques
Le champ magnétique de l'héliosphère
affecte la propagation des particules
Héliosphère
Rayons cosmiques de grande énergie
Soleil
B Structure à grande échelle +
irrégularités (diffusent)
Binterplanétaire à 1 U.A. ~ 5 10 -9 T
Galaxie
B Structure à grande échelle +
irrégularités (diffusent)
c
Milieu intergalactique
cosmiques ayant rg > 109 m, i.e. en./ch. > 1 GeV pas affectés
Perturbations de B:
augmentent diffusion particules
sont max. en max. d'activité solaire
Energie maximum de cosmiques accélérés par une
source de dimension Lparsec
Cosmiques d' énergie/nucléon > B c L ~ 1018 eV pas influencés
par B galaxie
2) E 0, B = cste (indep. r, t)
a) cas non-relativiste (v c)
Echelle irrégularités Binterplanétaire L < 0.01 U.A. ~ 109 m
Champ magnétique B ~ 3 10-10 T
Epaisseur du disque L ~ 300 pc ~ 1019 m
si v
109 m
dv
m = cste
= q(E + v
Dans R' le mouvt
B est la gyration trouvée en 1)
Dans R: mouvt
B = gyration + vitesse V =
E
VE la même pour toutes les particules
E B
B2
Difficile de comprendre ce qui accélère les
cosmiques les plus énergétiques
(1 parsec ~ 3. 1016 m)
B)
Peut-on se ramener au cas précédent en trouvant un repère
R' de vitesse V où E' =0 ?
E '=0=E +VXB
E B
prenons: V = B 2
V B = EB2B B = −E
E '=0
energie/nucléon (eV) < B c L ~ (10 eV) B(unité 10 T) L(parsec)
= qE
-10
B
m dvdt
15
mouvt.
m
L
dv
dt
B
mouvt.
m dt = q(E + v B)
B
rg = énergie/nucléon/(Bc)
!!"
#$%
%&
Cosmiques
Milieu interstellaire
énergie/nucléon
W/e
r g = W/c
Bc
q B = ( q /e)Bc =
rg < L
Le champ magnétique de "la Galaxie"
affecte la propagation des particules
+
0
E'total=0
Mouv. dû à B et force F : gyration + vitesse
dépend de q
sens opposé pour
é. et ions
courant
=0
Note : VE <c
E<Bc
4) B variable dans l'espace (mais indépendant de t) et E=0
Cas général : affreusement compliqué
1
1
Plus simple si B varie lentement/gyration: BB
rg
L
on va faire une moyenne sur la gyration et ne
s'occuper que du mouvement du centre de gyration
3) B et force F (p.ex. gravitation), indépendants de r, t
Cas précédent: la vitesse VE =EXB/B² est juste ce qu'il
faut pour que FLaplace=qVEXB compense force qE
Résultat valable pour force F quelconque
(indép. de r,t) à la place de qE
mouvement de la particule = superposition de :
gyration
mouvement du centre de gyration ("centre-guide")
on va calculer le mouvt du
centre-guide en moyennant
l'effet des forces sur la gyration
on va considérer séparément les cas:
B B
gradient
gradient
B B
E'
Energie = cste
non-relativiste :(a))
( F/q) B
B2
on a:
Eq. du mouvt.= celle d'une particule non
relativiste de masse m= m0
Hélice trouvée en 1) + vitesse VE (comme en
dérive de vitesse VE
VE =
V E = E 2B
B
Dans repère R' de vitesse
ici, v est plus petit car le
champ a ralenti la particule,
donc rg est plus petit
si E
si E =0
B
b) Cas éventuellement relativiste, mais E =0
ici, v est plus grand car le
champ a accéléré la
particule, donc rg est plus
grand
Exemple: q > 0
!
!"#"
$
y
Autre effet du gradient
B
B
z
b) courbure des lignes de B
B
z
ici, B est plus grand, donc
rg est plus petit
+
RC
B et
mv 2
B RC
qB 2R2C
Cette vitesse dérive produit FLorentz
qui oblige les part. à suivre lignes
de B courbées
B
x
FC B
V C = qB2
=
ici, B est plus petit, donc rg
est plus grand
vitesse dérive
B
rg ∝1/B
x
RC
B
B
a) var. de B pdt la gyration
B
La particule qui se déplace le long
ligne de champ subit force
2
centrifuge F = − RC mv
C
RC
RC
v
vitesse dérive
B
Deux effets:
B
B
4.1) gradient
B
sens opposé pour él. et ions
courant électrique
Puisque E=0 , c'est valable en relativiste avec m= m0
z
Application : particules dans champ magnétique terrestre
En général: B dû au plasma
B 0
ambiant négligeable, i.e.
B
RC
B
x
approximativement dipole magnétique: Pôle N
magnétique du côté du pôle S géographique
B B
+ mv 2 ) qB3
+ VC
B
V
mv 2
( 2
B
Dérive totale due à
B
C
on peut montrer que RB R
= B
C RC
(sup.2)
on peut montrer que finalement
(sup.1)
Ngéo
&%
((')
*"
++
,
signe opposé pour é. et ions courant
important pour particules énergétiques
m
Sgéo
!"
!#
m (2
)
Br =
4 r3 sin
0 m
(− cos )
B =
4 r3
m>0 si dirigé vers z>0
= 2 du
u u = cos
2
g
7
VE
4.2) gradient
Petit rappel:
rappel
B
B Force : gravitation F=mg
protons au voisinage Terre
montrer que c'est négligeable
B
B=0 (pas de monopoles magnétiques)
B dS = 0
B
B
surface fermée
Produit un anneau de courant de particules
énergétiques autour de la Terre
ce courant produit champ magnétique
quand perturbations du vent solaire
injection ou énergétisation de particules dans
cet anneau
courant augmente
diminue BTerre:"orages magnétiques"
(protons)
Champ terrestre: m=8. 10 Am RTerre=0.64 10 m
BPôle 6. 10-5 T 0.6 Gauss 2 BEquateur
B B 3B/r
VD Calculer la période de
rotation autour de la Terre
Autre contribution à la vitesse de dérive
22
B
L=distance r où ligne de
champ coupe équateur
r = L cos 2
B
dr = −2 sin d
r
cos
Br
B
cos 2
u2
r
=
dr
rd
r =L RTerre
(pour la terre, m<0)
m
B(r)=BEquateur/L3
L
Lignes de champ
Gra ndvil le (Un a utre M ond e, e d.
H . Fourni er, P aris , 18 44 )
Dérive des protons dans le champ magnétique terrestre
protons d'énergie 10 keV, =45° , plan équatorial mag.
r
B
z
Application
0
Dipôle magnétique
Flux de B=cste le long tube de flux (tube
B)
B
S
ici les lignes de B se resserrent
%$
'&(
')
!*
*"
(Source: Space Environment Center)
B est maximum
on peut voir IBI comme proportionnel au nombre de lignes
de champ traversant surface S B
transformateur détruit par surtension
B S = cste
S
ƒ ‚‚
„
ƒ…
†
„
)
*
,+
.
/
0
12
3
4
+
1
5
/
*2
6
4
+
7
1
ˆ‡
Š‰
Š‹Œ
„


Ž
9
8
'
(
&
(
"
#
!
"
$
%
vitesse dérive V F =
F B
qB2
Puisque E=0 , c'est valable en
relativiste avec m= m0

=
Bx
z
i i
Bz
x
B/RC
dx
dz
=
Bx
Bz
d 2x
d Bx
1
R C = dz 2 = dz ( Bz )
1 dBx 1 dBx
B z dz
B dz
j
B)
x
j
D
C
D
= mv 2 /( q
RC
l
= B
k
}~
t
w
xr

€
m
n
po
q
r

€
U
S
T
S
R
g
r2g /2
I
G
H
mv 2 B B
2 qB3
L
M
=
g
B RC
RC RC
B
i i
W
B/ y y 2
N
J
B
K
E
F
V
mv 2 B
2 B
= v 2/
B
A
A
2
g rg
B=0
B
]
\
V
V
B
g
X
Q
O
P
Y
Z
[
\
=− q
y 2 = r 2g /2
x
@
F = −q sgn(q)
y =0
0
z
B=0
z
B + y B/ y
y = r g sin t
F =−
<
B
B
sgn(q)
@
?
B( y)
et vx opposés
moyenne sur orbite
;
:
;
:
:
;
F = F y = −q v x B
g
dû à vx
F = Fy = −q v x B z = −q v x B
B
=
>
x
F = Fy
voit B plus grand que
y
vx = y
+
voient le même B mais vy opposés
effets opposés pour les 2 moitiés
de l'orbite
Fx = 0
s
t
u
v
w
t
u
x
y
z
{
x|
F =−
mv2 /2
B
Fz = −
Calcul de
y
rg B
2 z
mv
q B
^
_
a`
b
c
d
_e
f
g
h
=
B r = − qv
mv 2 B
2B z
F z = qv
B
z
+
x
z
+
rg =
Soit:
et
z est accéléré si B diminue (lignes divergent)
ralenti si B augmente (lignes convergent)
B r = − 2r
Fx est dû à vy
+
B=0
B
Fz=0
B
Fz a le même signe que Br (opposé au signe de dB/dz)
Mouv.
B=Bz
Vrai aussi si q<0 car alors v
est de signe opposé
Br
une gyration
+
v
B B
gradient
vient de la force de Lorentz moyennée sur uney gyration
F = qv B moyenne sur
B v
Cas dB/dz<0
Br>0
B
z qvXB a une comp. z
Bz Fz = qv Br>0 si q>0
rg
q>0