REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE «Mohamed Boudiaf » ORAN FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE Ce mémoire intitulé : Placement optimal d’un SVC dans un réseau d’énergie électrique par un algorithme génétique Présenté par : BLAL Abdelkarim en vue de l'obtention du diplôme de : Magister Mémoire soutenu le 27 Avril 2011 devant le jury composé de : Président : Maitre de conférences USTO-MB Maitre de conférences USTO-MB Mr Kotni L. Maitre de conférences USTO-MB Mr Bouzeboudja H. Maitre de conférences USTO-MB Mr Allali A. Examinateurs : Mme Benzergua F. Encadreur : REMERCIEMENTS J’aimerais remercier toutes les personnes qui ont contribué à la réalisation de ce mémoire, J’aimerais remercier ma famille pour leur collaboration faite d'amour et de tendresse. Mes remerciements et ma gratitude la plus profonde à mon encadreur Mr H. Bouzeboudja pour sa disponibilité et sa patience, pour son amitié et compréhension dans son travail d'encadrement et pour son aide précieuse dans la révision de ce mémoire. Je tiens à remercier : Monsieur A. Allali, Maitre de conférences à USTO-MB pour m’avoir fait l’honneur de présider le jury de ce mémoire. Madame F Benzergua, Maitre de conférences à USTO-MB, et Monsieur L. Kotni, Maitre de conférences à USTO-MB pour avoir accepté d’être examinateurs de ce mémoire. Finalement, j’aimerais remercier mon Professeur Mr Zeblah Abdelkader et tous mes collègues qui on contribué de près ou de loin à la réalisation de ce mémoire À ma mère, à mes frères et sœurs Et la famille Hadj Belkadi Moustapha TABLE DES MATIERES Table des matières . TABLE DES MATIERES CHAPITRE I INTRODUCTION GENERALE CHAPITRE II REPARTITION DES CHARGES II-1 INTRODUCTION ............................................................................................................. 3 II-2 PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D’UN RESEAU ELECTRIQUE ........................ 4 II-3 RELATION PARAMETRIQUE DU SYSTÈME ............................................................. 6 II-4 FORMULATION DES EQUATIONS D’ECOULEMENT DES CHARGES .................. 9 II-5 CARACTERISTIQUES DES EQUATIONS D’ECOULEMENT DES CHARGES ...... 13 II-6 METHODES NUMERIQUES DE SOLUTION DU SLFE ............................................ 14 II-6-1 méthodes de Gauss-Seidel ............................................................................................. 15 II-6-2 méthode de Newton-Raphson ...................................................................................... 17 II-7 CONCLUSION ............................................................................................................... 20 CHAPITRE III METHODES D’OPTIMISATION III-1 INTRODUCTION ........................................................................................................... 21 III-2 TECHNIQUES D’OPTIMISATION .............................................................................. 21 III-2-1 Variable du problème ................................................................................................... 22 III-2-2 Espace de recherche ..................................................................................................... 22 III-2-3 Fonction objective ....................................................................................................... 22 III-3 METHODES D’OPTIMISATION ................................................................................. 23 III-3-1 Méthodes énumératives .............................................................................................. 24 III-3-2 Méthodes stochastiques .............................................................................................. 24 III-3-2-1 Méthode du recuit simulé ......................................................................................... 24 III-3-2-2 Méthode de recherche Tabou ................................................................................... 26 III-3-2-3 Algorithmes évolutionnistes ..................................................................................... 27 III-3-3 Méthodes analytiques ................................................................................................... 27 III-3-3-1 Méthode du Gradient ............................................................................................... 28 III-3-3-2 Méthode du Gradient conjugue ................................................................................ 29 III-3-3-3 Méthode de Newton et Quasi-Newton ..................................................................... 30 III-4 LES METHODES DE PENALITE ................................................................................. 30 III-4-1 Principe générale des méthodes de pénalité ............................................................... 30 III-4-2 Méthodes de Fiacco et Mc Cormick ............................................................................ 30 I Table des matières . III-4-3 Méthodes de pénalité extérieure ................................................................................. 31 III-4-4 Méthodes de pénalité intérieure .................................................................................. 31 III-4-5 Méthodes de pénalité mixte ........................................................................................ 32 III-5 CONCLUSIONS ............................................................................................................. 32 CHAPITRE IV LES ALGORITHMES GENETIQUES IV-1 INTRODUCTION .......................................................................................................... 33 IV-2 AVANTAGE DES ALGORITHMES GENETIQUES ................................................. 34 IV-3 PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT DES AG ........................................................... 35 IV-4 MISE EN ŒUVRE DE L’AG ........................................................................................ 37 a) Fonction objective ............................................................................................................... 37 b) Fonction de performance ..................................................................................................... 37 IV-4-1 Codage des variables ................................................................................................... 37 IV-4-1-1 Codage binaire .......................................................................................................... 38 IV-4-1-2 Codage réel ............................................................................................................... 38 IV-4-2 Population initiale ........................................................................................................ 39 IV-4-3 Évaluation .................................................................................................................... 39 IV-4-4 Les opérateurs génétiques ........................................................................................... 40 IV-4-4-1 La sélection ............................................................................................................... 40 a) Sélection par tournoi ........................................................................................................... 40 b) Sélection par roulette ........................................................................................................... 40 c) Sélection par classement ..................................................................................................... 41 IV-4-4-2 croisement ................................................................................................................ 41 a) Croisement binaire ............................................................................................................... 41 b) Croisement réel .................................................................................................................. 43 IV-4-4-3 Mutation ................................................................................................................... 43 IV-5 CRITERE D’ARRET ...................................................................................................... 44 IV-6 PARAMETRES DE CONTRÔLE DE L’AG ................................................................ 44 IV-7 CONCLUSION .......................................................................................................... 45 CHAPITRE V SYSTEMES DES DISPOSITIFS FACTS V-1 INTRODUCTION ............................................................................................................ 46 V-2 DISPOSITIFS FACTS SHUNT ...................................................................................... 47 V-2-1 Compensation shunt ...................................................................................................... 47 II Table des matières . V-2-2 Compensateurs shunt à base de thyristors ..................................................................... 48 V-2-3 Compensateur statique synchrone STATCOM ............................................................ 49 V-2-4 Générateur synchrone statique SSG ............................................................................. 51 V-3 DISPOSITIFS FACTS SERIES ...................................................................................... 52 V-3-1 Compensateurs séries ................................................................................................... 52 V-3-2 Compensateurs séries à thyristors ................................................................................ 52 V-3-2-1 Condensateur série commandé par thyristors TCSC ................................................ 52 V-3-2-2 Condensateur série commuté par thyristors TSSC ................................................... 53 V-3-2-3 TCSR (Thyristor Controlled Series Reactor) ............................................................ 54 V-3-2-4 Compensateurs statique série synchrone SSSC ........................................................ 54 V-4 REGULATEURS STATIQUE DE TENSIONET DE PHASE ...................................... 55 V-4-1 Régulateurs de tension contrôlée par thyristor TCVR ................................................. 56 V-4-2 Régulateur de phase ..................................................................................................... 56 V-5 DISPOSITIFS FACTS HYBRIDES ............................................................................... 57 V-5-1 Compensateurs hybrides à base de thyristors .............................................................. 57 V-5-1-1 TCPAR ( Thyristor Controlled Phase Angle Regulator) ........................................... 57 V-5-2 Compensateurs hybrides à base de GTO thyristors ..................................................... 58 V-5-2-1 Contrôleur de transit de puissance unifié UPFC ....................................................... 58 V-5-2-2 Contrôleur de transit de puissance entre ligne IPFC ................................................ 59 V-5-2-3 Régulateur de puissance Interphases IPC ................................................................. 60 V-6 COMPENSATEUR STATIQUE (SVC) ......................................................................... 61 V-6-1 Historique du SVC ........................................................................................................ 61 V-6-2 Définition du SVC ........................................................................................................ 62 V-6-3 Structure de principe ..................................................................................................... 63 V-6-4 Constitution du SVC ..................................................................................................... 65 V-6-4-1 Condensateur fixe (FC) .............................................................................................. 65 V-6-4-2 Réactance commandée par thyristors (TCR) ............................................................. 65 a) Principe de fonctionnement ................................................................................................. 65 V-6-4-3 Condensateur commuté par thyristors (TSC) ............................................................. 66 V-6-5 Les différents types et schémas ..................................................................................... 68 V-6-5-1 Dispositive type "TCR" ou "FC/TCR ........................................................................ 68 V-6-5-2 Dispositive type TCR/TSC ........................................................................................ 71 V-6-5-3 Dispositive type TSC/TSR ........................................................................................ 71 V-6-5-4 Dispositive mobile type TSC ..................................................................................... 72 III Table des matières . V-6-5-5 Différents schémas ..................................................................................................... 72 V-6-6 Modélisation du dispositif SVC .................................................................................... 73 V-6-6-1 Modèle de compensateur statique de puissance réactive SVC ................................. 73 V-6-7 Régulation des paramètres de la ligne .......................................................................... 75 V-6-8 Emplacement optimale du SVC dans le réseau ............................................................ 76 V-6-8-1 Emplacement dans un nœud ...................................................................................... 76 V-6-8-2 Emplacement du SVC au milieu d’une ligne ........................................................... 77 V-7 CONCLUSION ................................................................................................................ 78 CHAPITRE VI PLACEMENT OPTIMAL D’UN SVC VI-1 INTRODUCTION .......................................................................................................... 79 VI-2 PRESENTATION DU PROBLEME ............................................................................ 79 VI-3 MISE EN ŒUVRE DE L’AG ....................................................................................... 80 VI-3-1 Création de la population initiale ............................................................................... 80 VI-3-2 Codage du problème .................................................................................................... 80 VI-3-3 Reproduction .............................................................................................................. 81 a). Sélection ............................................................................................................................ 81 b). Croisement ........................................................................................................................ 81 c). Mutation ............................................................................................................................ 81 VI-4 Organigramme .............................................................................................................. 82 VI-5 ILLUSTRATION ............................................................................................................ 84 VI-5-1 Réseau test IEEE 30-nœuds ......................................................................................... 84 VI-5-2 Réseau test IEEE 57-nœuds ...................................................................................... 89 VI-6 ANALYSE DES RESULTATS ...................................................................................... 96 VI-7 CONCLUSION .............................................................................................................. 96 CHAPITRE VII CONCLUSION GENERALE CONCLUSION GENERALE ................................................................................................. 97 ANNEXE. A ........................................................................................................................... 99 ANNEXE. B ......................................................................................................................... 109 BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................ 115 IV CHAPITRE I INTRODUCTION GENERALE Chapitre I Introduction Générale CHAPITRE I INTRODUCTION GENERALE L'industrialisation et la croissance de la population sont les premiers facteurs pour lesquels la consommation de l'énergie électrique augmente régulièrement. Ainsi, pour avoir un équilibre entre la production et la consommation, il est à première vue nécessaire d'augmenter le nombre de centrales électriques, de lignes, de transformateurs etc. D’autre part des problèmes liés à des contraintes qui touchent différent aspects de la production, du transport et de la distribution de l'énergie. Les éléments FACTS (Flexible AC Transmission Systems) apportent des solutions nouvelles pour faire face à ces contraintes. Ils permettent un meilleur contrôle et une meilleure gestion de l'écoulement de puissance. Ils ont aussi comme objectif d'augmenter la capacité de transmission de puissance des lignes [1]. Le développement récent des dispositifs FACTS ouvre de nouvelles perspectives pour une exploitation plus efficace des réseaux par action continue et rapide sur les différents paramètres du réseau (déphasage, tension, impédance). Ainsi, les transits de puissance seront mieux contrôlés et les tensions mieux tenues, ce qui permettra d'augmenter les marges de stabilité. Plusieurs types de FACTS existent et le choix du dispositif approprié dépend des objectifs à atteindre. Ce travail est consacré à l’application d’une méthode d’optimisation metaheuristique qui est les algorithmes génétiques pour déterminer les emplacements et les paramètres optimaux des dispositifs SVC dans un réseau d’énergie électrique. Les algorithmes génétiques sont des méthodes d’optimisation metaheuristique qui utilisent des règles de transition probabilistes intelligentes pour parcourir l’espace des solutions. La particularité de ces algorithmes est le fait qu’ils font évoluer des populations d’individus codés par une chaine binaire. Ils utilisent les opérations de mutation et de recombinaisons. 1 Chapitre I Introduction Générale L’organisation générale de ce mémoire est articulée autour de six chapitres, dont le premier est consacré à l’introduction générale. Le deuxième chapitre est consacré au problème de l’écoulement statique des charges. Le troisième chapitre présente une étude des différentes méthodes d’optimisation. Le quatrième chapitre décrit les principes généraux des algorithmes génétiques, et leurs capacités et leurs domaines d’applications. Le cinquième chapitre portera sur la présentation des différents dispositifs d'électroniques de puissance développés et connus sous l'appellation FACTS pour le contrôle du réseau électrique, puis une étude sur le dispositif SVC. Le sixième chapitre traitera des cas d’emplacement des dispositifs SVC dans deux réseaux test IEEE-30 nœuds et IEEE-57 nœuds. En fin nous clôturons ce mémoire par une conclusion générale. 2 CHAPITRE II REPARTITION DES CHARGES Chapitre II Répartition des charges CHAPITRE II REPARTITION DES CHARGES II-1 INTRODUCTION L'un des états les plus importants d'un réseau électrique est son mode d'opération en régime permanent. Afin d'obtenir des informations sur ces points d'opération et d'être en mesure de les gérer pour des raisons de sécurité, de fiabilité ou d'économie, on introduit dans ce chapitre le concept général de la modélisation des systèmes électriques en traitant l'écoulement statique des charges ou de puissance. Les calculs d'écoulement statique des charges fournissent les écoulements de puissance et les profils de tensions (amplitude et phase) reliés aux conditions d'opération des barres (nœuds) et des lignes du système en régime permanent. A chaque barre du réseau sont associés quatre paramètres: puissances active et réactive, l'amplitude et la phase de tension. Les considérations premières pour le développement d'un programme informatique sont : 1. 2. la formulation d'une description mathématique du problème l'utilisation d'une méthode numérique de solution. La formulation mathématique (modélisation) résulte en un groupe d'équations non linéaires reliant les variables aux éléments d'une matrice caractérisant la physique du système. Ces équations sont établies en utilisant les relations de nœud ou de boucle. Leurs coefficients dépendent de la sélection du courant ou de la tension comme variable de base, alors une matrice d'admittances ou d'impédances est utilisée. La solution du système d'équations décrivant le modèle est basée sur une méthode numérique itérative à cause de leurs non linéarités. Différentes techniques de solution sont développées afin de faire ressortir la particularité de la formulation. On peut citer [1]: - la méthode de Gauss la méthode de Gauss-Seidel la méthode de Newton-Raphson la méthode des résidus. 3 Chapitre II Répartition des charges II-2 PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D’UN RESEAU ELECTRIQUE Le rôle essentiel d'un réseau électrique est de pourvoir les puissances actives et réactives demandées par les équipements variés qui y sont connectés. Les points de production et de consommation sont reliés entre eux par des lignes de transmission. Pour mieux comprendre le principe de fonctionnement, considérons le système de distribution à deux barres de la fig.II.1a. Les barres sont alimentées par des unités de production qui génèrent respectivement les puissances SG1 et SG2 . Les demandes se définissent à chaque barre comme étant SD1 et SD2 . Les deux barres sont connectées par une ligne de transmission Fig. II.1 b. Celle-ci est représentée par son modèle en π caractérisé par une impédance série, Z, et deux admittances shunt yshi . Les deux tensions de barres sont symbolisées respectivement par V1 et V2 [4]. Dans la formulation du modèle, on combine les puissances générées et demandées à chaque barre pour obtenir une puissance nette Si , définie comme la différence entre la production et la consommation de puissance de la barre i en question. Cette puissance nette est considérée comme injectée dans la barre par une "source de puissance de barre" dont le symbole est introduit dans la Fig. II.1 c. Pour le système à deux barres, ces puissances injectées sont [1]: S1 = P1 + jQ1 = ∆PG1 − PD1 + j QG1 − QD1 (II. 1) S2 = P2 + jQ2 = ∆PG2 − PD2 + j QG2 − QD2 (II. 2) 4 Chapitre II Répartition des charges Fig. II.1 Le système décrit fonctionne de la manière suivante: En agissant sur le couple moteur, ce qui peut être accompli à l'aide des régulateurs de chaque turbine, on établit un équilibre entre la puissance active générée, la puissance active demandée plus les pertes actives de transmission. Le critère essentiel pour maintenir un tel équilibre est une fréquence constante. Par une manipulation du courant de champ de chaque rotor, ainsi que la force électromotrice du stator, on établit un parfait équilibre entre la puissance réactive générée dont une portion provient des lignes, la puissance réactive demandée plus les pertes réactives. La constance de l'amplitude des tensions de barre est le critère essentiel pour maintenir un tel équilibre. 5 Chapitre II Répartition des charges Le rôle de la ligne de transmission est de fournir un chemin de transfert du surplus de puissance d'une barre pour aller compenser la sur-demande de l'autre et ou de servir comme branche de secours pour les circonstances critiques. Le circuit de la fig.II.1c décrit un circuit électrique élémentaire très simplifié par rapport à un réseau ordinaire. Pour concevoir le modèle du système, on commence par établir une continuité entre le courant équivalent au rapport de la puissance injectée et de la tension de nœud et celui entrant dans les composants de la ligne de transmission. On obtient : S ∗1 = V1 Ysh 1 + V 1 −V 2 = V2 Ysh 2 + V 2 −V 1 V ∗1 S ∗2 V ∗2 (II. 3) Z ser (II. 4) Z ser De la théorie des réseaux, Ysh et Zser , paramètres constants des lignes, peuvent être regroupés à l'intérieur des matrices décrivant la constitution physique du système. C'est l'étape initiale de la modélisation. II-3 RELATION PARAMETRIQUE DU SYSTÈME Les relations décrivant la topologie d'un système de distribution de puissance peuvent être développées en utilisant les équations de continuité ou de courant de nœud pour obtenir [4]: I = Y barre barre ∗ V (II. 5) barre Dans laquelle: I barre = vecteur des courants de nœud Y barre V barre = matrice des admittances de barres (nœuds). = vecteur des tensions de barres. On peut écrire que : Z barre = Y −1 barre (II. 6) Où Z barre est la matrice des impédances de nœuds. 6 Chapitre II Répartition des charges Lorsqu'on fait usage des conditions de compatibilité ou relations de tension de boucle (maille), l'équation paramétrique du système devient: V = Z boucle boucle I (II. 7) boucle Dans laquelle: V boucle Z boucle I boucle = vecteur des tensions de boucle = matrice des impédances de boucle = vecteur des courants de boucle. D’où : Y boucle = Z −1 boucle (II. 8) Où : Y boucle : est la matrice des admittances de boucle. Les matrices des admittances et des impédances du système peuvent être formulées en incluant ou pas l'effet des éléments shunt telles les capacités statiques des réactances et les capacités de charge des lignes par rapport à la terre. Dans chacune des situations, les corrections qui s'imposent doivent être effectuées lors de l'écriture des équations de continuité du système. Soit le système de distribution d'énergie électrique de la page suivante composé de trois nœuds (barres) et cinq lignes de transmission. Fig.II.2 7 Chapitre II Répartition des charges Appliquons la relation (II.3) (II.4) à chacun des nœuds, on obtient: I1 = V1 y1 + V1 − V2 y12 + V1 − V3 y13 I2 = V2 y2 + V2 − V1 y12 + V2 − V3 y23 (II. 9) I3 = V3 y3 + V3 − V1 y13 + V3 − V2 y23 En réarrangeant les termes de (II.9), on a: I1 = V1 y1 + y12 + y13 − V2 y12 − V3 y13 I2 = −V1 y12 + V2 y2 + y23 + y12 − V3 y23 (II. 10) I3 = −V1 y13 − V2 y23 + V3 y3 + y13 + y23 Définissons Yij comme étant l'élément ij de la matrice des admittances de barre. On constate que: Y11 = y1 + y12 + y13 , Y12 = Y21 = −y12 Y22 = y2 + y23 + y12 , Y23 = Y32 = −y23 (II. 11) Y33 = y3 + y13 + y23 , Y13 = Y31 = −y13 Y D’où : barre Y11 = Y21 Y31 Y12 Y22 Y32 Y13 Y23 Y33 En résumé, les éléments diagonaux Yii sont obtenus en faisant la somme des admittances connectées au nœud i, et ceux hors diagonale sont donnés par 1'admittance de la ligne joignant le point i à j affectée du signe négatif. En appliquant simplement la définition (II.6) à (II.11), on obtient les éléments de la matrice des impédances de barres, soit: Z barre = Y −1 barre Z11 Z = 21 Z31 Z12 Z22 Z32 Z13 Z23 Z33 (II. 12) 8 Chapitre II Répartition des charges Ybarre ou Zbarre décrivent la physique du réseau, c'est-à-dire contiennent toutes les caractéristiques statiques des lignes. Une bonne composition de leur élément est la base du succès d'un modèle reflétant la topologie du système. II-4 FORMULATION DES EQUATIONS D’ECOULEMENT DES CHARGES [2] Dans le cas général, la relation d'injection de puissance de toute barre i d'un réseau électrique de N nœuds s'écrit: Si∗ = Pi − jQi = Vi∗ Ii S∗ Ii = Vi∗ = (II. 13) P i −jQ i i (II. 14) V ∗i Dans lequel Ii sont positif lorsque qu’il est entrant dans le système. Dans la formulation des équations du système, si les éléments shunt par rapport à la terre sont inclus dans la matrice paramétrique, la relation (II.14) est le courant total de barre. Dans le cas contraire, si les éléments shunt n'ont pas été inclus, le courant total de la barre i s'obtient par: Ii = P i −jQ i V ∗i − yi Vi (II. 15) Dans lequel Yi est le total des admittances shunt connectées à la barre i et yi Vi est le courant circulant de ce nœud vers la terre. Le membre de gauche de la relation (II.14) peut être remplacé par l'expression (II.10) écrite en fonction des éléments de la matrice des admittances de nœud. On obtient alors: P i −jQ i V ∗i = V1 Yi1 + V2 Yi2 + ⋯ VN YiN (II. 16) On obtient ainsi: Pi − jQi = Vi∗ V1 Yi1 + V2 Yi2 + ⋯ + VN YiN (II. 17) 9 Chapitre II Répartition des charges La relation (II.17) peut être écrite sous forme de sommation mathématique compacte pour obtenir: N Pi − jQi = VI∗ Vj Yij (II. 18) j=1 qui dans la littérature est la forme courante de l'équation d'écoulement statique des charges dans laquelle: Pi = PGi − PDi (II. 19) Qi = QGi − QDi (II. 20) Connaissant le profil des tensions du système, le courant sortant de la barre i et s'écoulant dans la ligne ij (de i vers j) à partir des composants du modèle en π, s'exprime par: iij = Vi − Vj yij + Vi y ′ij (II. 21) 2 où yij = admittance série de la ligne ij yij′ /2= admittance shunt de la ligne ij Alors, l'écoulement de puissance active et réactive est: Sij∗ = Pij − jQij = Vi∗ iij = Vi∗ Vi − Vj yij + Vi∗ Vi y ′ij 2 (II. 22) Où à partir de la barre i, Pij et Qij sont respectivement les puissances active et réactive transmises dans la ligne ij. Par similitude les écoulements de puissance de j à i sont: Sji∗ = Pji − jQji = Vj∗ Vj − Vi yij + Vj∗ Vj y ′ij (II. 23) 2 La puissance complexe perdue dans la ligne ij due à la transmission est obtenue en faisant la somme algébrique des écoulements de puissances déterminés par les équations (II.22) et (II.23). Ce qui suit est le développement détaillé des équations (II.13) (II.23). Considérons le nœud 1 comme la référence du réseau caractérisé par une tension de module v1 et de phase θ1 = 0. L'expression de toute autre tension peut s'écrire: Vi = vi ejθ i = vi cos θi + j sin θi = vi θi (II. 24) 10 Chapitre II Répartition des charges On sait d'une part: Vi∗ = vi −θi (II. 25) Vj = vj θj Ainsi : Vi∗ Vj = vi vj −θij = vi vj cos θij − j sin θij (II. 26) Où : θij = θi − θj (II. 27) D'autre part, tout élément Yij de la matrice des admittances de barre peut être écrit en fonction de sa partie réelle et imaginaire comme suit: Yij = Gij − jBij (II. 28) D’où : Vi∗ Vj Yij = vi vj cos θij − j sin θij Gij − jBij (II. 29) En appliquant (II.29) à (II.18), on obtient: N Pi − jQi = N vi vj Gij cos θij + Bij sin θij −j j=1 vi vj Gij sin θij − Bij cos θij (II. 30) j=1 En comparant et en égalant la partie réelle des 2 membres, puis l'imaginaire des 2 membres des équations d'écoulement statique des charges « SLFE », on constate que la puissance active injectée en tout nœud i du réseau est : N Pi = PGi − PDi = vi vj Gij cos θij + Bij sin θij (II. 31) j=1 et la puissance réactive injectée au même nœud s'obtient par: N Qi = QGi − QDi = vi vj Gij sin θij − Bij cos θij (II. 32) j=1 L'impédance Zser caractéristique de la ligne (fig. II.1a) peut être remplacée par ses éléments constitutifs, soit: la résistance et la réactance en série. Donc par définition on a: 11 Chapitre II Répartition des charges Zser ≡ Zik = ∆R ik + jXik L yi = ∆ Yshj ≡ j j=1 (II. 33) 1 XCi (II. 34) Alors on peut écrire la forme équivalente de Yij : Yij = ∆Gij + jBij = 1 j + XCi N k=1 R ik − jXik Zik 2 R ik − jXik − Zik 2 i=j (II. 35) i≠j=k Soit PLi et QLi respectivement les pertes actives et réactives au nœud i, Pij et Qij respectivement les pertes actives et réactives liées à la transmission de l'énergie à travers la ligne ij (écoulement positif de i+j) (II.31) et (II.32) peuvent être décomposées en: N Pi = PLi + Pij (II. 36) Qij (II. 37) i≠j=1 N Qi = QLi + i≠j=1 En substituant Yij par la définition (II.35) dans (II.31) les termes de (II.36) deviennent : −2 PLi = Zii R ii vi (II. 38) R ij vi2 − R ij vi vj cos θij + Xij vi vj sin θij (II. 39) −2 Pij = Zij La même démarche appliquée à (II.32) conduit aux termes de (II.37) qui sont: QLi = − Zii Qij = Zij Xii vi2 (II. 40) Xij vi2 − X ij vi vj cos θij − R ij vi vj sin θij (II. 41) −2 −2 Pour l'ensemble du réseau, les pertes globales de puissance active et réactive sont données respectivement par: N PL = N Pi = i=1 NL PLi + i=1 Pij (II. 42) i≠j=1 12 Chapitre II Répartition des charges N QL = N Qi = i=1 NL QLi + i=1 Qij (II. 43) i≠j=1 Finalement, après une manipulation mathématique de (II.39) on obtient les pertes actives totales liées seulement à la transmission par: NL vi2 + vj2 − 2vi vj cos θij PLT = i≠j R ij Zij (II. 44) 2 Les pertes réactives totales liées, seulement à la transmission sont données par: NL vi2 + vj2 − 2vi vj cos θij QLT = i≠j Xij Zij (II. 45) 2 II-5 CARACTERISTIQUES DES EQUATIONS D’ECOULEMENT DES CHARGES En observant la relation (II.18), forme originale ou ses deux termes constitutifs (II.31) et (II.32), on constate que : 1. Les équations sont algébriques, car elles représentent un modèle statique de système, ou un système opérant en régime permanent. 2. Les équations sont non linéaires, donc difficilement résolvables de façon analytique, d'où la nécessité d'utiliser une méthode numérique de solution par ordinateur. 3. Généralement, dans l'analyse des systèmes, les équations relient le courant et la tension, ces équations relient la puissance et la tension. 4. Dans les équations (II.31) et (II.32) les angles de phases θi et θj apparaissent sous forme de différences. 5. Pour chaque équation de barre (II.18), on peut écrire deux équations simultanées (réelle, imaginaire), ce qui donne pour un réseau de N barres, 2 N équations du type (II.31) et (II.32) contenant 6 N variables qui sont: N - amplitudes de tension de barre vi . N - phases de tension de barre θi . N - puissances actives générées PGi . N - puissances réactives générées QGi . 13 Chapitre II Répartition des charges N - puissances actives demandées PDi . N - puissances réactives demandées QDi . Par conséquent, il s'agit de réduire le nombre d'inconnues, de 6 N à 2N en spécifiant 4N variables afin d'égaler le nombre d'équations â celui des variables. En principe les 2N variables restantes pourront être déterminées. Les 6N variables du SLFE peuvent être regroupés en deux classes: 1. Les variables incontrôlables ou perturbation: ce sont les variables de demande PDi et QDi qui sont complètement déterminées par le client. 2. Les variables d'état et de contrôle. Les 4 N variables vi , θi , PGi et QGi peuvent se diviser en deux catégories: variables indépendantes et variables dépendantes qui dans la théorie du contrôle portent respectivement les noms de variables de contrôle et variables d'état. Parmi les premières, on inclut les variables dont en pratique, une manipulation est utilisée pour contrôler les dernières. Ainsi, les sorties des génératrices PGi et QGi sont les variables de contrôle, car elles affectent vi , θi , qui sont les variables d'état du système. II-6 METHODES NUMERIQUES DE SOLUTION DU SLFE [4] Pour résoudre les équations d'écoulement statique des charges, un grand nombre de techniques numériques ont déjà été utilisées (Gauss, Gauss Seidel, Newton-Raphson, ……). Dans cette partie de l'étude, on passera en revue deux méthodes : 1. la méthode de Gauss-Siedel 2. la méthode de Newton-Raphson Dans chacune des méthodes, on procède de la manière suivante: 1. une solution initiale des variables est supposée 2. cette solution est utilisée conjointement avec la relation (II.18) modifiée pour obtenir une deuxième et meilleure solution 3. cette deuxième solution estimée est ensuite utilisée pour trouver une troisième, etc. La procédure continue de façon répétitive jusqu'à l'obtention d'une convergence vers la solution finale. 14 Chapitre II Répartition des charges II-6-1 méthodes de Gauss-Seidel [2], [4] Dans cette partie, on doit résoudre le problème d’écoulement avec l’une des méthodes itératives la plus utilisée, il s’agit de la méthode de Gauss-Seidel. Alors on calcule les courants à l'aide de (II.13). Ii = P i −jQ i v ∗i i = 1,2 … . N et i≠S (II. 46) Comme on est intéressé aux valeurs des tensions, le réarrangement de (II.18) donne N-l équations de la forme: 1 Vi = Y ii Ii − N j=1≠i Yij Vj i = 2….N (II. 47) Pour calculer Vi , on procède comme suit : - Vj est supposée à partir de l'initialisation - Ii est calculée connaissant Pi et Qi spécifiée partout dans le système sauf au nœud de référence. Donc, en combinant (II.46) et (II.47), on obtient l'équation récurrente pour chaque voltage de barre. N Vik+1 1 Pi − jQi = − Yij Vjk k ∗ Yii Vi j=1,j≠i i = 1,2 … N, i≠S (II. 48) dans laquelle k est l'indice d'itération. L'équation de la tension de barre (II.48) peut être solutionnée aussi par la méthode de GaussSeidel. Dans cette méthode la nouvelle valeur de Vik+1 calculée remplace immédiatement Vik et est utilisée dans les équations subséquentes. Pour le système de distribution à trois barres, fig.II.2, l'application de ce principe donne: V1 = spécifiée (barre de référence) V2k+1 = 1 P2 − jQ2 − Y21 V1 − Y23 V3k k ∗ Y22 V2 (II. 49) 15 Chapitre II V3k+1 = Répartition des charges 1 P3 − jQ3 − Y31 V1 − Y32 V2k+1 k ∗ Y33 V3 (II. 50) La séquence des étapes de solution de cette méthode est montrée à Fig.II.3. Fig.II.3 : méthode de Gauss-Seidel 16 Chapitre II Répartition des charges II-6-2 méthode de Newton-Raphson La formulation générale du problème d'écoulement des charges (II-18) a été exprimée en deux équations simultanées non linéaires (II.31) et (II.32) fonction de Vi et θi comme cidessous. N Pi = Vi Vj Gij cos θi − θj + Bij sin θi − θj (II. 51) Vj Gij sin θi − θj + Bij cos θi − θj (II. 52) j=1 N Qi = Vi j=1 La méthode de Newton-Raphson nécessite de former un groupe d'équations linéaires exprimant une relation entre les changements des puissances actives et réactives et les composantes des tensions. Le développement doit donner 2(n-l) équations linéaires : ∆P2 ∆PN ∆Q2 ∆QN ∂P2 ∂θ2 ∂PN ∂θ2 = ∂Q2 ∂θ2 ∂QN ∂θ2 ∂P2 ∂θN ∂PN ∂θN ∂Q2 ∂θN ∂QN ∂θN ∂P2 ∂V2 ∂PN ∂V2 ∂Q2 ∂V2 ∂QN ∂V2 ∂P2 ∂VN ∆θ2 ∂PN ∂VN ∆θN ∗ ∆V2 ∂Q2 ∂VN ∆VN ∂QN ∂VN (II. 53) Sous forme matricielle, la notation devient: ∆P J = 1 J ∆Q 3 J2 ∆θ ∗ J4 ∆V (II. 54) Un réarrangement de l'équation précédente donne: ∆θ ∆P = J −1 ∆V ∆Q (II. 55) Où J −1 est l'inverse de J (Jacobien) dont les éléments sont composés des dérivées partielles indiquées dans (II.53). 17 Chapitre II Répartition des charges Le processus de solution débute ainsi: On suppose un profil de tension et des angles de phases. A l'aide de ces données, on calcule les puissances actives et réactives injectées (II.31) et (II.32). L'écart de puissance s'obtient par la différence entre les puissances injectées spécifiées et les puissances injectées calculées. ∆Pik = Pi spec − Pikcal ∆Qki = Qi spec − Qki cal i = 2,3 … N i≠S=1 (II. 56) A la suite de l'évaluation des éléments du jacobien, on calcule les valeurs des corrections à porter sur les variables d'état grâce à la relation (II.55). Le nouveau profil de tensions et les nouveaux angles sont donnés par: vik+1 = vik − ∆vik θk+1 = θki − ∆θki i i = 2,3 … N i≠S=1 (II. 57) La procédure est répétée jusqu'à ce que ∆Pik et ∆Qki pour toutes les barres soient à l'intérieur des tolérances spécifiées. La démarche est résumée sur la Fig.II.4. 18 Chapitre II Répartition des charges Fig.II.4 : méthode de Newton-Raphson. 19 Chapitre II Répartition des charges II-7 CONCLUSION Nous avons présenté dans ce chapitre le problème de l’écoulement statique des charges, nécessaire pour le calcul des pertes totales dans le réseau. Nous avons opté pour la méthode classique de Gauss Seidel. Ce choix n’été pas arbitraire mais basé surtout sur la simplicité et l’efficacité de la méthode. 20 CHAPITRE III METHODES D’OPTIMISATION Méthodes d’optimisation Chapitre III CHAPITRE III METHODES D’OPTIMISATION III-1 INTRODUCTION Dans la vie courante, nous sommes fréquemment confrontés à des problèmes plus ou moins complexes. Ces problèmes peuvent être exprimés sous la forme générale d'un "problème d'optimisation". Optimiser c’est trouver le minimum ou le maximum d’une fonction à plusieurs variables sur un certain domaine de définition ou bien utiliser pour déterminer les points optimales de la marche d’un système, de l’étude de leur existence à leur détermination, en général par la mise en œuvre d’un algorithme et par suite d’un programme. La résolution d’un problème d’optimisation est un problème complexe car de nombreux facteurs interviennent et interagissent entre eux. L’optimisation est donc une des branches les plus importantes des mathématiques appliquées modernes, et de nombreuses recherches à la fois pratiques et théoriques, lui sont consacrées. Pratiquement, toutes les méthodes d’optimisations opèrent par itération successive, à partir d’une estimation initiale xo qui est progressivement améliorée. La différence entre les méthodes réside dans le choix de la procédure adoptée pour passer d’une estimation xk à la nouvelle estimation xk+1. La complexité et la taille des problèmes d’optimisations posés ont permis d’élaborer plusieurs méthodes, on peut citer les méthodes de programmations linéaire, les méthodes de Lagrange, les méthodes de programmation quadratique successive…etc. le développement rapide de l’outil informatique associé aux méthodes mathématiques a permis d’améliorer les méthodes classique d’optimisation avec une orientation vers le développement des méthodes stochastique tel que, le recuit simulé, le recherche tabou et les algorithme génétique. III-2 TECHNIQUES D’OPTIMISATION La figure.III.1 présente les trois étapes du processus d’optimisation [8] : Analyse, synthèse et évaluation. Tout d’abord, il convient d’analyser le problème et d’opérer un certain nombre de choix préalable, il s’agit de : Variables de problème, espace de recherche, fonction objective et méthode d’optimisation. Une fois effectuée ces différents choix, la méthode 21 Méthodes d’optimisation Chapitre III choisie synthèse des solutions potentielles qui sont évaluées, puis éliminées jusqu'à l’obtention d’une solution acceptable. Fig.III.1 : Les étapes de processus d’optimisation. III-2-1 Variable du problème C’est à l’utilisateur de définir les variables du problème .Il peut avoir intérêt à faire varier un grand nombre de paramètres pour augmenter les degrés de liberté de l’algorithme afin de découvrir des solutions nouvelles .Ces variables peuvent être de nature divers. III-2-2 Espace de recherche Dans certaines méthodes d’optimisation, tel que les stratégies d’évolution, l’espace de recherche est infini : seule la population initiale est confinée dans un espace fini .Mais dans le cas des algorithmes de type Monte Carlo et génétique, il est généralement nécessaire de définir un espace de recherche fini. III-2-3 Fonction objective Les grandeurs à optimiser peuvent être par exemple une consommation, un rendement, un facteur de transmission, …etc. Un algorithme d’optimisation nécessite généralement la définition d’une fonction rendant compte de la pertinence des solutions potentielles à partir des grandeurs à optimiser. Cette fonction est nommée fonction d’adaptation. L’algorithme convergera vers un optimum de cette fonction, quelle que soit sa définition. Une fois cette fonction est définit, il s’agit de choisir une méthode adaptée au problème posé. 22 Méthodes d’optimisation Chapitre III III-3 METHODES D’OPTIMISATION La plus part des problèmes d’optimisation appartiennent à la classe des problèmes difficiles et ne possèdent donc pas de solutions algorithmiques efficaces valables pour toutes les données. Étant donnée l’importance de ces problèmes, de nombreuses méthodes de résolution ont été développées. Ces méthodes peuvent être classées suivant la figure (III.2) [18]: Méthodes d’optimisation Méthodes stochastiques Méthodes énumératives -Méthode du simplexe -Programmation dynamique Méthodes analytiques Méthode de Monte-Carlo Méthodes directes Recuit simulé Méthodes indirectes Recherche tabou Stratégies d’évolution Algorithmes évolutionnistes -Méthodes du gradient -Méthodes de Newton -Méthodes de Quasi-Newton Programmation évolutive Programmation génétique -Méthode de Hooke et Jeeves -Méthode de Rosenborg -Méthode du simplexe de Nelder et Mead Algorithmes génétiques Fig.III.2 : Principales méthodes d’optimisation 23 Méthodes d’optimisation Chapitre III III-3-1 Méthodes énumératives Dans un espace de recherche fini, ou infini mais discrétisé, un algorithme énumératif évalue la valeur de la fonction à optimiser en chaque point de l'espace solution. L'utilisation d'un tel algorithme est intéressante lorsque le nombre de points n'est pas très important. Mais en pratique beaucoup d'espaces de recherche sont trop vastes pour que l'on puisse explorer toutes les solutions une par une et tirer une information utilisable. Ces méthodes présentent deux inconvénients majeurs : Elles sont inadaptées aux problèmes de grande dimension ; Elles ne sont pas guidées par un raisonnement ou un processus intelligent, qui conduit la recherche vers des sous-espaces, susceptible de contenir une bonne solution, sans balayer tout l'espace des solutions. Parmi ces méthodes on peut citer : la méthode de simplexe, la programmation dynamique, … etc [18]. III-3-2 Méthodes stochastiques Ces méthodes ont connu un essor considérable lorsque la communauté scientifique a mis en évidence les limitations des méthodes analytiques et énumératives. Contrairement aux méthodes analytiques, elles sont basées sur un processus stochastique, utilisant un choix aléatoire comme outil pour guider une exploration hautement intelligente dans l’espace de recherche. Ces méthodes sont semblables au niveau de leur utilisation des mécanismes de recherche probabiliste, mais procèdent néo moins différemment. Elles ont une grande probabilité pour localiser un optimum global d’une fonction objective. Parmi les méthodes stochastiques, on distingue les techniques de recherche purement aléatoires (souvent regroupées dans la classe des méthodes de type Monte-Carlo), la recherche Tabou, le recuit simulé et les méthodes évolutionnistes. III-3-2-1 Méthode du recuit simulé Le recuit simulé est une technique d’optimisation de type Monte-Carlo généralisé à laquelle, on introduit un paramètre de température qui sera ajusté pendant la recherche. Les concepts fondamentaux de cette technique sont tirés de l’analogie entre l’optimisation et la thermodynamique dans lequel les déplacements dans l’espace de recherche sont basés sur la 24 Méthodes d’optimisation Chapitre III distribution de Boltzmann [18][19]. La probabilité de Boltzmann, notée i mesure la probabilité de trouver un système dans une configuration Ci d'énergie E(Ci), à une certaine température T donnée, dans l'espace de configurations U et elle est définie par : E C i K .T E C j i U exp K .T jU j exp (III.1) Où : k est appelé la constante de Boltzmann Dans cette expression, le facteur kT montre que lorsque la température est très élevée, tous les états sont à peu près équiprobables, c'est-à-dire un grand nombre de configurations sont accessibles. Au contraire quand la température est basse, les états à haute énergie deviennent peu probables par rapport à ceux de faible énergie. Pour appliquer ce principe au problème de minimisation de coût, le processus de recherche peut être assimilé à un processus de recuit comme en métallurgie. Quand on chauffe un métal à une température très élevée, le métal devient liquide et peut occuper toute configuration. Quand la température décroît, le métal va se figer peu à peu dans une configuration qu'il est de plus en plus difficile à déformer (on dit qu'il est refroidi). A moins de le réchauffer (recuit), le métal peut être retravaillé de nouveau pour lui donner la forme désirée. L'algorithme de Kirkpatrick simule ce processus en combinant dans l’algorithme les mécanismes de refroidissement et de recuit Figure III.3. Fig.III.3 : Parcours de l'espace de recherche avec le recuit simulé. Le principe de "recuit" qui se traduit par une augmentation du niveau d'énergie, permet de sortir des minima locaux. 25 Méthodes d’optimisation Chapitre III Cependant, le concept de température d'un système physique n’a pas d'équivalent direct avec le problème à optimiser. Le paramètre température T doit être simplement un paramètre de contrôle, indiquant le contexte dans lequel se trouve le système (ex: stade de la recherche). En fait, le paramètre T contrôle les déplacements vers les points voisins les moins bons pour échapper aux optima locaux, sans pour autant trop s'écarter du chemin vers le vrai minimum. L’équivalent de l'énergie sera la valeur de la fonction de coût f. Ainsi, dans l’algorithme de recuit simulé, la probabilité de Boltzmann n’est pas directement appliquée, mais le critère de Metropolis est utilisé. Le critère de Metropolis permet de décider si une nouvelle configuration générée présente une variation de coût acceptable. Il permet de décider aussi de sortir des minima locaux quand le critère d'arrêt n'est pas encore atteint. Le principe de Metropolis est basé sur le calcul de la fonction coût, après chaque passage d'une configuration u à une configuration v. On calcule la variation de la fonction coût : f f v f u La transformation est acceptée selon la probabilité p(u,v) telle que: pu, v e f T (III.2) Lorsque la variation ∆f ≤ 0 , l'exponentielle est supérieure ou égale à 1, la nouvelle configuration doit être acceptée, on lui affecte alors la probabilité maximale de 1. Si ∆f > 0 , on compare p(u,v) à un nombre aléatoire r 0, 1 : Si r < p(u,v), la configuration v est acceptée. Sinon, elle est rejetée et on essaie une autre configuration. Les configurations ayant une forte augmentation en ∆f sont donc moins probables pour une température donnée, d'autant moins que la température est faible. Au début de l'algorithme, le facteur T est élevé, la probabilité p(u, v) est proche de 1 et presque toutes les variations ∆g sont acceptables. Au contraire, quand T diminue, les remontées sont de plus en plus difficiles et seules de très faibles variations peuvent être acceptées. Si une configuration est rejetée, le système essaie d'en trouver une autre, sinon elle est acceptée et la recherche continue avec celle-ci jusqu'à ce que le critère d'arrêt soit atteint. III-3-2-2 Méthode de recherche Tabou La recherche Tabou a été introduite par Glover [20] et a montré ses performances sur de nombreux problèmes d’optimisation. C’est une technique d’exploration locale combinée 26 Méthodes d’optimisation Chapitre III avec un certains nombre de règles et de mécanismes permettant à celle-ci de surmonter l’obstacle des optima locaux, tout en évitant de cycler. Le principe de l’algorithme est le suivant : à chaque itération, le voisinage (complet ou sous-ensemble de voisinage) de la solution courante est examiné et la meilleure solution est sélectionnée, même si elle est moins bonne que la solution courante. Afin d’éviter le phénomène cyclique entre plusieurs solutions, la méthode interdit les mouvements aboutissant à une solution récemment visitée. Pour cela, une liste taboue contenant les attributs des dernières solutions visitées est tenue à jour. Chaque nouvelle solution considérée enlève de cette liste la solution la plus anciennement visitée. Ainsi, la recherche de la solution suivante se fait dans le voisinage de la solution courante sans considérer les solutions appartenant à la liste taboue. Dans certains cas, on mémorise les mouvements réalisés plutôt que les solutions complètes, essentiellement dans le but de mémoriser le moins d’informations possibles. III-3-2-3 Algorithmes évolutionnistes Les algorithmes évolutionnistes sont basés sur des principes simples. En effet, peu de connaissances sur la manière de résoudre ces problèmes sont nécessaires, même si certaines peuvent être exploitées afin de rendre plus efficace l’évolution. C’est pourquoi, dans de nombreux domaines, les chercheurs ont été amenés à s’y intéresser. Les algorithmes évolutionnistes sont une classe d’algorithmes d’optimisation par recherche probabiliste basés sur le modèle de l’évolution naturelle. Ils modélisent une population d’individus par des points dans un espace. Ils ont montré leur capacité à éviter la convergence des solutions vers des optima locaux, Plusieurs types d’évolution ont été développés, donnant naissance à quatre grandes tendances: les stratégies d’évolution, la programmation évolutive, la programmation génétique et les algorithmes génétiques, qui vont être décrits en détaille dans le chapitre suivant. III-3-3 Méthodes analytiques Ces méthodes sont basées sur l'existence de dérivées, donc sur l'existence d'équations ou de systèmes d'équations, linéaires ou non linéaires. Le principe général consiste à rechercher un extremum hypothétique en déterminant les points de pente nulle dans toutes les directions. La méthode du Gradient ou de Quasi-Newton consiste à se déplacer dans une 27 Méthodes d’optimisation Chapitre III direction dépendant du gradient de la fonction objective. On trouve essentiellement deux types de méthodes : les méthodes indirectes et les méthodes directes [21]. Les méthodes indirectes cherchent des optimums locaux en résolvant l’ensemble des équations généralement non linéaires, résultant de l’annulation du gradient de la fonction objective. Les méthodes directes évaluent ce gradient en certains points de l’espace de recherche et se déplacent dans une direction liée à la valeur locale du gradient. C’est la notion de descente de gradient dans la direction de la plus forte pente. Bien que ces deux méthodes aient été développées, améliorées et étudiées sous toutes les formes, elles présentent des inconvénients. Elles s'appliquent localement. Les extremums qu'elles atteignent sont optimaux au voisinage du point de départ et l'existence de dérivées n'est pas systématique. Ces méthodes sont donc difficilement applicables telles quelles pour l'optimisation d’une fonction multimodale comportant plusieurs optimums locaux. Parmi les méthodes analytiques on peut citer : les méthodes du Gradient, Newton, quasi-Newton,…etc. III-3-3-1 Méthode du Gradient Cette méthode fait partie d’une grande classe de méthodes numériques appelées méthodes de descente. Le principe de base de ces méthodes repose sur les démarches suivantes [22] : On part d’un point initial arbitraire x0 et on calcule le gradient f(x0) en x0 , comme f(x0) indique la direction de plus grande augmentation de f , on se déplace d’une quantité 0 dans la direction opposée au gradient, et on définit le point : x1 x0 0 f(x0) f(x0) (III.3) La procédure est répétée et engendre les points x0, x1,....xk suivant la relation : xk 1 xk k f(xk ) f(xk ) (III.4) Où : k est le pas de déplacement ( k >0) Cette méthode a pour avantage d’être très facile à mettre en œuvre, mais malheureusement, les conditions de convergence sont assez lourdes. 28 Méthodes d’optimisation Chapitre III III-3-3-2 Méthode du Gradient conjugue On suppose que la fonction à minimiser est quadratique de la forme suivante [23] : q(x) 1 xT Ax bT xc 2 (III.5) Où: A: une matrice n n définie positive et symétrique ; b: un vecteur de n éléments ; c: une constante. L’idée de la méthode est de construire progressivement les directions d 0 , d1 , ..., d k par rapport à la matrice A. A chaque étape k la direction d k est obtenue par combinaison linéaire du gradient q(xk ) en x k , et des directions précédentes d 0 , d1 , ..., d k 1 . En notons gk q(xk ) le gradient de la fonction q en x k , l’algorithme de résolution de la méthode prend la forme suivante : Etape1 Soit x0 le point de départ, on calcul g0 q(x0) Ax 0 b On pose d 0 g 0 , k 0 Etape2 A l’itération k, on est au point x k Définir xk 1 xk k.dk Avec k T g k .dk T dk. .A.dk Puis dk 1gk 1 k dk Avec k gk A.dk T dk .A.dk Etape3 : Test d’arrêt sinon aller à l’étape 2. 29 Méthodes d’optimisation Chapitre III III-3-3-3 Méthodes de Newton et quasi-Newton D’origine, cette méthode itérative est utilisée pour résoudre un système d’équations non linéaires. Ensuite, elle a été utilisée pour rechercher un extremum d’une fonction objective. Elle permet, à partir d’un point initial quelconque, d’approcher un optimum local d’aussi près que nous le désirons. Cependant, il s’agit d’une méthode du second ordre, car nous utilisons, pour déterminer la direction et le pas de déplacement, non seulement la valeur du gradient, mais aussi celle du hessien de la fonction ( 2 f ( x k ) ). L’inconvénient majeur de cette méthode qui appartient aussi aux méthodes de descente, est sa convergence locale [24]. Une autre difficulté peut apparaître lorsque le hessien n’est pas défini positive. Dans ce cas, en effet, la direction de déplacement peut ne pas être une direction de descente et la convergence n’est pas assurée. III-4 METHODES DE PENALITE III-4-1 Principe général des méthodes de pénalité Le principe de base de cette méthode consiste à modifier le critère en lui ajoutant une fonction de pénalisation P(x). C'est à dire, qu'on ramène le problème de programmation avec contraintes en un problème de programmation sans contraintes. Les méthodes de pénalité constituent une famille d'algorithmes particulièrement intéressants du double point de vue de la simplicité de principe et de l'efficacité pratique. Il existe plusieurs possibilités du choix de la fonction de pénalité : III-4-2 Méthode de Fiacco et Mc Cormick Cette méthode consiste à ramener le problème d’optimisation en la minimisation de la fonction pénalisée suivante [24] : n f m ( x, rk ) f obj x rk g i2 ( x) i 1 1 rk m h j 1 2 j ( x) (III.6) Où : rk est une constante de réglage de calcul (coefficient de pénalité). Elle est choisie de telle sorte que : rk > 0 et limite de rk = 0 quand k 30 Méthodes d’optimisation Chapitre III Avec : rk rk 1 p r0 1 et Où : p est une constante choisie. III-4-3 Méthode de pénalité extérieure Dans cette méthode, on introduit les deux types de contraintes égalités et inégalités. La fonction objective fm s’écrit sous la forme suivante [24] : f m f obj ( x) E (rk , g , h) (III.7) Où : E (rk , g , h) est le terme de pénalisation extérieure. E (rk , g , h) 1 rk n D g i i 1 2 i ( x) 1 rk m B h j j 1 2 j ( x) (III.8) On aura donc fm sous la forme suivante : f m f obj ( x) 1 rk n Di g i2 ( x) i 1 1 rk m B h j 1 j 2 j ( x) ( I I I. 9 ) Avec Di 0, si g i ( x) 0 Di 0, si g i ( x) 0 (III.10) Et B j 0, si h j ( x) 0 B j 0, si h j ( x) 0 (III.11) Di et Bj sont des constantes. III-4-4 Méthode de pénalité intérieure * Le principal inconvénient de la méthode de pénalité extérieure est que l’optimum x est approché vers l’extérieur, ce qui a conduit de chercher une autre méthode de pénalité dans laquelle l’optimum est approché vers l’intérieur (d’où le nom de pénalité intérieur) [23]. 31 Méthodes d’optimisation Chapitre III La pénalisation intérieure peut être appliquée uniquement dans le cas, où on a des contraintes de type inégalité. La fonction objective f m s’écrit sous la forme suivante : f m f obj ( x) I (rk , g ) (III.12) Où : I (rk , g ) : Le terme de pénalisation intérieur. Le terme I (rk , g ) peut être donné par l’expression suivante : n I (rk , g ) rk i 1 Ai g i ( x) (III.13) On aura donc f m sous la forme suivante : n f m f obj ( x) rk i 1 Ai g i ( x) (III.14) Avec Ai 0, si g i ( x) 0 Ai 0, si g i ( x) 0 (III.15) Où : Ai : est une constante. III-4-5 Méthode de pénalité mixte Cette méthode englobe les termes de pénalisation intérieure représentés par I (rk , g ) et les termes de pénalisation extérieure représentés par E (rk , g , h) . La fonction pénalisée s’écrit sous la forme suivante [24] : n A 1 f m f obj ( x) rk i rk i 1 g i ( x) n 1 Di g ( x) rk i 1 2 i m B h j 1 j 2 j ( x) (III.16) III-5 CONCLUSIONS Ce chapitre nous a permis d’avoir un aperçu global sur les différentes méthodes d’optimisation. Dans notre travail nous avons opté pour une méthode stochastique dans la famille des méthodes évolutionnistes, cette méthode est l’Algorithme Génétique. Le principe de base de cette méthode est décrit en détail dans le chapitre IV. 32 CHAPITRE IV LES ALGORITHMES GENETIQUES Chapitre IV Les Algorithmes Génétiques CHAPITRE IV LES ALGORITHMES GENETIQUES IV-1 INTRODUCTION Les algorithmes génétiques reposent sur l’analogie entre la théorie de l’évolution naturelle de Darwin et l’optimisation. Selon la théorie de Darwin, les individus d’une population les mieux adaptés à leur environnement ont une plus grande probabilité de survivre et de se reproduire, en donnant des descendants encore mieux adaptés. Comme dans les mécanismes naturels de la reproduction, les principaux opérateurs qui affectent la constitution d’un chromosome, qui code les caractéristiques des individus, sont le croisement et la mutation. Les AG ont été proposées par Holland en 1975, puis développés par d’autres chercheurs tels que De Jong, Goldberg et Michalewicz. C’est actuellement une des méthodes les plus diffusées et les plus utilisées dans la résolution de problèmes d’optimisation dans de nombreux domaines d’application [9][21]. Généralement, nous pouvons dire qu’un algorithme génétique dans sa forme générale nécessite de préciser les points suivants [10]: - le codage des solutions et la génération d’une population initiale. - la fonction de performance pour calculer l’adaptation de chaque individu de la population. - le croisement des individus d’une population pour obtenir la population de la génération suivante. - l’opération de mutation des individus d’une population afin d’éviter une convergence prématurée. - les paramètres de réglage : taille de la population, probabilités de croisement et de mutation, critère d’arrêt. Les applications des AG sont multiples : intelligence artificielle, recherche opérationnelle, optimisation combinatoire, optimisation des fonctions numériques difficiles (discontinues, multimodales, …..), optimisation d’emploi du temps, contrôle de systèmes industriels et apprentissage des réseaux de neurones. Ils sont peu employés en 33 Chapitre IV Les Algorithmes Génétiques électrotechnique comparativement avec d’autres domaines comme l’automatique, par exemple. IV-2 AVANTAGE DES ALGORITHMES GENETIQUES Quatre différences essentielles séparent les algorithmes génétiques des techniques d’optimisation plus conventionnelles [9]: a) La manipulation directe d’un codage des paramètres : Les algorithmes génétiques utilisent le codage des paramètres, et non les paramètres eux même. Dans les algorithmes génétiques, les chromosomes ont une représentation binaire, ce choix le rend intuitivement applicable à tous les problèmes dont les solutions sont transposables en binaire. Les chromosomes sont alors représentés par une chaîne de bits, cette représentation est indépendante du problème posé et rend l’algorithme génétique d’autant plus robuste. b) L’exploration au moyen d’une population, et non d’un point unique : Les algorithmes génétiques travaillent sur une population de point au lieu d’un seul ; dans beaucoup de méthodes d’optimisation, on se déplace avec précaution d’un point unique à un autre dans l’espace de recherche en utilisant une règle de transition pour déterminer le nouveau point .cette méthodes qui fonctionne point par point est dangereuse parce qu’elle a une forte tendance à trouver de faux pics dans des espaces de recherche multi pics .en revanche, les algorithmes génétiques utilisent simultanément un ensemble de point (une population de chaînes) , escaladant plusieurs pics en parallèle, ainsi , la probabilité de trouver un faux sommet est réduit par rapport à d’autres méthodes qui explorent point par point. c) Les algorithmes génétiques n’utilisent que les valeurs de la fonction étudiée et non ses dérivés, ou une autre connaissance auxiliaires : Les algorithmes génétiques réalisent une optimisation efficace en ne tenant compte que des valeurs de la fonction .Les autres méthodes utilisent beaucoup d’informations auxiliaires, si bien que dans les problèmes pour les quels cette information n’est pas disponible ou difficile à obtenir, ces techniques sont bloquées. d) Les algorithmes génétiques utilisent des règles de transition probabilistes, et non déterministes : Contrairement à beaucoup de méthodes, les algorithmes génétiques utilisent des règles de transition probabiliste afin de guider leur exploration. Pour les personnes habituées aux méthodes déterministes, cela semble 34 Chapitre IV Les Algorithmes Génétiques bizarre, mais l’utilisation de probabilité ne signifie pas que cette méthode n’est q’une exploration aléatoire, cela n’a rien à voir avec un simple tirage à pile ou face. Les algorithmes génétiques utilisent des choix aléatoires comme des outils pour guider l’exploration à travers les régions de l’espace de recherche, avec une amélioration probable .par contre dans la majorité des autres méthodes d’optimisations, on se déplace avec précaution d’un point a un autre dans l’espace de recherche en utilisant une règle de transition pour déterminer le nouveau point et par conséquent elle a une forte tendance à trouver de faux pics dans des espaces de recherches multi pics. IV-3 PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT DES AG Depuis une trentaine d’années l’intérêt pour les algorithmes génétiques va croissant en raison de leurs nombreux avantages sur les autres techniques d’optimisation : ils sont robustes, rapides, suffisamment généraux pour pouvoir s’adapter à un grand nombre de situations et enfin ne demandent aucune connaissance précise sur le système à optimiser. Les algorithmes génétiques ont été développés dans les années 70, ils sont certainement la branche des AE la plus connue et la plus utilisée. La particularité de ces algorithmes est le fait qu’ils font évoluer des populations d’individus codés par une chaîne binaire. Ils utilisent les opérateurs de mutation binaire et de recombinaison de différents types. Le but d’un algorithme génétique est d’optimiser une fonction donnée dans un espace de recherche précis. Dans le cas général, un algorithme génétique a besoin de quatre composants fondamentaux [8][21]: Une fonction de codage qui transforme les données de l’espace de recherche en données utilisables par un ordinateur : par exemple une séquence de bits ou bien un nombre réel. Un moyen de créer une population initiale à partir des solutions potentielles. Une fonction qui permet d’évaluer l’adaptation d’un chromosome, ce qui offre la possibilité de comparer des individus. Cette fonction sera en fait construite à partir du critère que l’on désire optimiser. L’application de cette fonction à un élément de la population donnera sa performance (évaluation). Des opérateurs qui altèrent les enfants après la reproduction On choisit une population initiale de taille n, c’est à dire que l’on tire au hasard le plus uniformément possible un certain nombre d’éléments qui seront appelés chromosomes dans l’espace des données. Afin de réaliser l’analogie avec la génétique, il faut disposer comme 35 Chapitre IV Les Algorithmes Génétiques nous l’avons vu d’opérateurs de sélection et de recombinaison qui va permettre à cette population d’évoluer (on se reportera à la figure IV.1). L’utilisation de ces trois opérateurs permet de conserver une population bien diversifiée (c’est à dire bien réparti dans l’espace) et par conséquent d’accéder à tout l’espace de recherche. Fig.IV.1 Principe d’un AG 36 Chapitre IV Les Algorithmes Génétiques IV-4 MISE EN ŒUVRE DE L’AG a). Fonction objective A l’inverse des méthodes déterministes d’optimisation, les algorithmes génétiques ne requièrent pas d’hypothèse particulière sur la régularité de la fonction à optimiser (objectif). Ainsi, les algorithmes génétiques n’utilisent pas les dérivées successives de la fonction objective, ce qui rend leurs domaines d’application très vaste. Aucune hypothèse sur la continuité n’est également requise. Le peu d’hypothèses requises permet de traiter des problèmes très complexes. La fonction objective peut être le résultat d’une simulation ou d’un modèle mathématique. b). Fonction de performance Chaque chromosome apporte une solution potentielle au problème à optimiser. Néanmoins, ces solutions n’ont pas toutes le même degré de pertinence. C’est à la fonction de performance (fitness) de mesurer cette efficacité pour permettre à l’AG de faire évoluer la population dans un sens bénéfique en cherchant la solution meilleure. Autrement dit, la fonction de performance, doit pouvoir attribuer à chaque individu un indicateur représentant sa pertinence pour le problème que nous cherchons à résoudre. La performance sera donc donnée par une fonction à valeurs positives réelles. La construction d’une fonction de performance appropriée est très importante pour obtenir un bon fonctionnement de l’AG. Dans le cas du codage binaire, la fonction de performance doit affecter une valeur positive au codage binaire correspondant (phénotype) à chaque chaîne binaire (génotype). Ainsi, elle permet de déterminer l’efficacité de la solution présentée par le génotype pour résoudre le problème. La fonction de performance est généralement dérivée de la fonction objective du problème. La réalisation de l’algorithme génétique consiste à développer ces différentes phases [21]: IV-4-1 Codage des variables La première étape lors de l’application d’un AG à un problème est le choix du codage des paramètres sous la forme de chaînes. La représentation choisie est primordiale car l’efficacité d’un AG dépend principalement de la manière dont elle capte les régularités de l’espace de recherche. 37 Chapitre IV Les Algorithmes Génétiques La méthode classique consiste à coder les paramètres du problème d’optimisation par des chaînes de bits, ensuite les concaténer pour avoir un codage des individus. Ce codage luimême présente plusieurs choix. Prenons par exemple, le cas d’un espace de recherche à éléments entiers. Un premier codage consiste à remplacer chaque élément par son expression binaire. On peut même utiliser d’autres codages tels que le codage réel. IV-4-1-1 Codage binaire Son principe est de coder la solution selon une chaîne de bits (qui peuvent prendre les valeurs 0 ou 1). Ce type de codage est certainement le plus utilisé car il présente plusieurs avantages : Alphabet On minimum. peut ainsi facilement coder toutes sortes d’objets, réels, des entiers, des valeurs booléennes, des chaînes de caractères. Cela nécessite simplement l’usage de fonctions de codage et de décodage pour passer d’une présentation à l’autre. A chaque variable réelle x i tel que 0 g i g max ximin xi ximax on associe donc un entier g i : i =1,2,……, n (IV.1) Avec : g max 2 l 1 (IV.2) Le codage des variables réelles xi en binaire est donné par l’équation suivante : xi ximin g i max max * g max xi xi (IV.3) Le décodage des valeurs binaires g i en valeurs réelles xi est donné par l’équation suivante : xi ximin ( ximax ximin ) * gi g max (IV.4) IV-4-1-2 Codage réel Pour certain problèmes d’optimisation, il est plus pratique d’utiliser un codage réel des chromosomes .Un gène est ainsi représenté par un nombre réel au lieu d’avoir à coder les réels en binaire puis de les décoder pour les transformer en solutions effectives .Le codage réel permet d’augmenter l’efficacité de l’algorithme génétique et d’éviter des opérations de 38 Chapitre IV Les Algorithmes Génétiques décodage supplémentaires. En effet, un chromosome codé en réel est plus court que celui codé en binaire. IV-4-2 Population initiale Le choix de la population initiale d'individus conditionne fortement la rapidité et l'efficacité de l'algorithme. Si la position de l'optimum dans l'espace d'état est totalement inconnue, il est naturel de générer aléatoirement des individus en faisant des tirages uniformes dans chacun des domaines associés aux composantes de l'espace d'état en veillant à ce que les individus produits respectent les contraintes. Si par contre, des informations a priori sur le problème sont disponibles, il parait bien évidemment naturel de générer les individus dans un sous domaine particulier afin d'accélérer la convergence. Dans l’hypothèse ou cet objectif est trop difficile à atteindre ; on peut tenir compte des contraintes en les incluant dans le critère sous forme de pénalités .Ainsi, un individu qui viole une contrainte se verra attribuer une mauvaise adaptation et sera éliminé par le processus de sélection. IV-4-3 Évaluation La fonction d'évaluation (fitness) est le seul lien direct entre l’AG et le problème à résoudre. Elle permet de mesurer la qualité d’une solution et de guider la recherche vers des régions performantes de l’espace des solutions. Son choix est primordial pour le bon fonctionnement de l’algorithme. Lors de la sélection proportionnelle à la fonction d’évaluation, un individu est reproduit un nombre de fois proportionnelles. La pression qu’il exerce dans la population est d’autant plus grande que sa fonction d’évaluation est élevée. Il faut distinguer entre la fonction objective et la fonction d’évaluation ou d’adaptation. Dans cette la fonction objective, laquelle dépend de la nature du problème à résoudre. La solution optimale du problème est obtenue à partir de la fonction d’évaluation. Dans le cas d’un problème de minimisation, la solution est associée à la plus petite valeur trouvée de la fonction d’adaptation calculée pour chaque individu de la population. Dans le cas d’une maximisation, alors la valeur la plus grande de la fonction sera prise en compte. 39 Chapitre IV Les Algorithmes Génétiques IV-4-4 Les opérateurs génétiques Les opérateurs génétiques jouent un rôle prépondérant dans la possible réussite d’un AG. Ils définissent la manière dont les chaînes binaires se recombinant pendant la phase de reproduction .ils permettent ainsi la création de nouvelles chaînes. IV-4-4-1 La sélection Une fois réalisée l’évaluation de la génération, on opère une sélection à partir de la fonction d’adaptation. La sélection permet d'identifier statistiquement les meilleurs individus d'une population et d'éliminer les mauvais. Seuls les individus passant l’épreuve de sélection peuvent accéder à la génération intermédiaire et s’y reproduire. En réalité, il existe plusieurs types de sélection, chacune étant adaptée à un type particulier de problèmes. On en site les trois plus classiques qui sont : a). Sélection par tournoi Deux individus sont choisis au hasard et combattent (on compare leurs fonctions d’adaptation) pour accéder à la génération intermédiaire. Le plus adapté l’emporte avec une probabilité, que nous avons généralement prise égale à 1 (une valeur inférieure permet de réduire la pression de sélection si nécessaire). Cette étape est répétée jusqu’à ce que la génération intermédiaire soit remplie. Il est tout à fait possible que certains individus participent à plusieurs tournois : s’ils gagnent plusieurs fois, ils auront donc droit d’être copiés plusieurs fois dans la génération intermédiaire, ce qui favorisera la pérennité de leurs gènes. b). Sélection par roulette Elle consiste à créer une roue de loterie pour laquelle chaque individu de la population occupe une section de la roue proportionnelle à sa valeur d’évaluation. Ainsi même les individus les plus faibles ont une chance de survivre (Fig.IV.2). Si la population des individus est de la taille égale à N, alors la probabilité de sélection d’un individu (x) est : p( xi ) F ( xi ) n (IV-5) (F ( xk )) k 1 40 Chapitre IV Les Algorithmes Génétiques Avec une telle sélection, un individu fort peut être choisi plusieurs fois. Par contre, un individu faible à moins de chance d’être sélectionné. Fig.IV.2 : Sélection par roulette. c). Sélection par classement Elle consiste à ranger les individus de la population dans un ordre croissant (ou décroissant selon l’objectif) .Ainsi, seuls les individus les plus forts sont conservés. IV-4-4-2 croisement Le croisement a pour but d'enrichir la diversité de la population en manipulant la structure des chromosomes. Classiquement, les croisements sont envisagés avec deux parents et génèrent deux enfants. Il consiste à échanger les gènes des parents afin de donner des enfants qui portent des propriétés combinées. Bien qu'il soit aléatoire, cet échange d'informations offre aux algorithmes génétiques une part de leur puissance : quelque fois, de " bons " gènes d'un parent viennent remplacer les " mauvais " gènes d'un autre et créent des fils mieux adaptés aux parents. Parmi les différents types de croisement ; on peut citer : a). Croisement binaire Ce croisement peut avoir recourt à plusieurs types en occurrence : Croisement en un point. Croisement en deus points. Croisement uniforme 41 Chapitre IV Les Algorithmes Génétiques Fig.IV.3 : Principe du croisement en un point Fig.IV.4 : Principe du croisement en deux points Le croisement uniforme est obtenu à partir d’un masque binaire initialisé aléatoirement et possédant un nombre de bits égal au nombre de bits des individus de la population. Le premier enfant est créé en prenant les gènes du premier parent lorsque les bits correspondant dans le masque valent 1 et les gènes du deuxième parent si ces derniers valent 0. Le deuxième enfant s’obtient de la même manière en complémentant le masque. Exemple : Masque de croisement : 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 Fig.IV.5 : Principe du croisement uniforme 42 Chapitre IV Les Algorithmes Génétiques b). Croisement réel Le croisement réel ne se différencie du croisement binaire que par la nature des éléments qu'il altère: ceux ne sont plus des bits qui sont échangés à droite du point de croisement, mais des variables réelles. IV-4-4-3 Mutation Cet opérateur est appliqué sur chaque chromosome issu de l’opération de croisement ou appartenant à une population. L’action de l’opérateur de mutation consiste à changer ou à permuter des valeurs des gènes du chromosome C avec une probabilité Pm. Cette probabilité de mutation est assez faible en pratique. On peut observer à un moment du cycle de l’AG que des individus générés n’évoluent plus. Pour les faire évoluer, l’opération de mutation peut modifier les valeurs des gènes pour constituer des individus non similaires. Cet opérateur permet une recherche de la solution au problème à optimiser dans un domaine très restreint. L’utilité de cet opérateur est donc l’exploitation de l’espace de recherche des solutions. Ces mutations ne créent généralement pas de meilleures solutions au problème mais elles évitent l’établissement de populations uniformes incapables d’évoluer. Ceci permet à l’AG de converger vers des solutions globales. A partir d’une exploration de l’espace de recherche, la mutation permet de passer de l’exploration vers l’exploitation et de trouver un ensemble de solutions. Cependant, plusieurs techniques de mutation ont été développées dans la littérature. Fig.IV.6 : représentation schématique d’une mutation dans un chromosome. 43 Chapitre IV Les Algorithmes Génétiques IV-5 CRITERE D’ARRET Déterminer l’arrêt d’un processus génétique est l’une des difficultés majeures de l’approche génétique. En effet, si l’on excepte le cas des problèmes artificiels ; on ne sait jamais si l’on a trouvé l’optimum .dans la pratique, l’utilisateur déclare un nombre de générations maximum. La recherche peut également être stoppée lorsque tous les individus d’une même population sont des copies d’une même population sont des copies d’un même individu. On dit alors qu’il y a perte de diversité génétique. Les critères d’arrêt se résument alors en : Arrêt après un nombre de générations fixées a priori. Arrêt lorsque la population cesse d’évoluer ou en présence d’une population homogène. IV-6 PARAMETRES DE CONTRÔLE DE L’AG Les opérateurs de l’algorithme génétique sont guidés par un certain nombre de paramètres fixés à l’avance. La valeur de ces paramètres influence la réussite ou non d’un algorithme génétique. Ces paramètres sont les suivants : La taille de la population, N, et la longueur du codage de chaque individu l (dans le cas du codage binaire). Si N est trop grand le temps de calcul de l’algorithme peut s’avérer très important, et si N est trop petit, il peut converger trop rapidement vers une mauvaise solution. Cette importance de la taille est essentiellement due à la notion de parallélisme implicite qui implique que le nombre d’individus traité par l’algorithme est au moins proportionnel au cube du nombre d’individus. Le nombre maximal de génération. La probabilité de croisement pc. Elle dépend de la forme de la fonction de fitness. Son choix est en général heuristique. Plus elle est élevée, plus la population subit de changements importants. Les valeurs généralement admises sont comprises entre 0:5 et 0:9. La probabilité de mutation pm. Ce taux est généralement faible puisqu’un taux élevé risque de conduire à une solution sous-optimale. Plutôt que de réduire pm, une autre 44 Chapitre IV Les Algorithmes Génétiques façon d’éviter que les meilleurs individus soient altérés est d’utiliser la reconduite explicite de l’élite dans une certaine proportion. Ainsi, bien souvent, les meilleurs 5%, par exemple, de la population sont directement reproduits à l’identique, l’opérateur de reproduction ne jouant alors que sur les 95% restant. Cela est appelé une stratégie élitiste. Partant du constat que les valeurs des paramètres des différents opérateurs sont euxmêmes inconnus et ne peuvent être améliorés au fur et à mesure que de façon expérimentale. IV-7 CONCLUSION Les algorithmes génétiques sont des méthodes méta-heuristiques d’optimisation globale basées sur des concepts de génétique et de sélection naturelle. Le composant principal des AG est le gène qui se compose d’une chaîne de caractères (souvent binaire). Les gènes s’enchaînent et forment les chromosomes. Ces derniers forment les individus dans l’espace de recherche. Ainsi, les AG travaillent sur une population d’individus, où chacun de ces derniers représente une solution possible pour le problème donné. Dans chaque itération de l’AG, la performance de chaque individu de la population courante est calculée. Les opérateurs de génétiques, sélection, croisement et mutation, sont appliqués successivement pour créer une nouvelle population jusqu’à l’approche rigoureuse de la solution optimale. 45 CHAPITRE V SYSTEMES DES DISPOSITIFS FACTS Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS CHAPITRE V SYSTEMES DES DISPOSITIFS FACTS V-1 INTRODUCTION L’industrie de l’énergie électrique est de plus en plus confrontée à des problèmes liés à de nouvelles contraintes qui touchent différents aspects de la production, du transport et de la distribution de l’énergie. On peut citer entre autres les restrictions sur la construction de nouvelles lignes de transport et l’optimisation du transit dans les systèmes actuels. De plus le synchronisme doit être maintenu, ou tout ou moins, en cas de perturbation, être rapidement rétabli, pour éviter surtout une rupture du synchronisme et une défaillance du réseau. Les éléments FACTs (Flexibles AC Transmission Systems) apportent des solutions nouvelles pour faire face à ces contraintes. Ils permettent un meilleur contrôle et une meilleure gestion de l’écoulement de puissance. Ils ont aussi comme objectif d’augmenter la capacité de transmission de puissance des lignes en s’approchant des limites thermiques de celle-ci. Enfin ils devraient permettre d’améliorer la stabilité du réseau que ce soit pour des défaillances majeures dans le réseau ou pour éliminer l’effet d’oscillations parasites telles que la résonance sous synchrone. Avec leur aptitude à modifier l'impédance apparente des lignes, les dispositifs FACTs peuvent être utilisés aussi bien pour le contrôle de la puissance active que pour celui de la puissance réactive ou de la tension. Depuis les premiers compensateurs, trois générations des dispositifs FACTS ont vu le jour. Elles se distinguent par la technologie des semi-conducteurs et des éléments de puissance utilisés [7]: 1- La première génération est basée sur les thyristors classiques. Ceux-ci sont généralement utilisés pour enclencher ou déclencher les composants afin de fournir ou absorber de la puissance réactive dans les transformateurs de réglage. 2- La deuxième génération, dite avancée, est née avec l'avènement des semi-conducteurs de puissance commandable à la fermeture et à l'ouverture, comme le thyristor GTO. 46 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS Ces éléments sont assemblés pour former les convertisseurs de tension ou de courant afin d'injecter des tensions contrôlables dans le réseau. 3- Une troisième génération de FACTS utilisant des composants hybrides et qui est adaptée à chaque cas. Contrairement aux deux premières générations, celle-ci n'utilise pas de dispositifs auxiliaires encombrants tels que des transformateurs pour le couplage avec le réseau. Une autre classification des contrôleurs FATCS basée sur les cinq caractéristiques indépendantes : 1. Selon le type de Raccordement sur le réseau (Connexion) ; 2. Selon le mode de Commutation ; 3. Selon la Fréquences de Commutation ; 4. Selon le mode de Stockage d'énergie ; 5. Selon le mode de Connexion au Port DC. Selon ces critères, trois familles de dispositifs FACTS peuvent être mises en évidence [25]: · Les dispositifs shunt connectés en parallèle dans les postes du réseau. · Les dispositifs série insérés en série avec les lignes de transport. · Les dispositifs combinés série-parallèle qui recourent simultanément aux deux couplages V-2 DISPOSITIFS FACTS SHUNT [7, 11,12] V-2-1 Compensation shunt L'objectif principal de la compensation shunt est l'accroissement de la puissance transmissible dans le réseau. Le principe consiste à fournir ou à absorber de la puissance réactive de façon à modifier les caractéristiques naturelles des lignes pour la rendre plus compatibles avec la charge. 47 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS En régime permanent, la compensation réactive est utilisée pour la sectionnalisation des lignes ainsi que le maintien de la tension aux nœuds. En régime transitoire, les dispositifs shunt permettent un contrôle dynamique de la tension pour l'amélioration de la stabilité transitoire et l'amortissement des oscillations de puissance et réduction des oscillations de tension. V-2-2 Compensateurs shunt à base de thyristors Il s'agit de [11, 12, 13]: • TCR (Thyristor Controlled Reactor ) : Dans le TCR (ou RCT: Réactances Commandées par Thyristors), la valeur de l’inductance est continuellement changée par l'amorçage des thyristors. • TSC (Thyristor Switched Capacitor) : Dans le TSC (ou CCT : Condensateurs Commandés par Thyristor), les thyristors fonctionnent en pleine conduction. • SVC (Static Var Compensator) : L’association des dispositifs TCR, TSC, bancs de capacités fixes et filtres d’harmoniques constitue le compensateur hybride, plus connu sous le nom de SVC (compensateur statique d’énergie réactive) Tous sont utilisés pour contrôler la tension (la puissance réactive). • TCBR (Thyristor Control Breaking Resistor): Ce type de compensateur connecté en parallèle est utilisé pour améliorer la stabilité du réseau pendent la présence des perturbations [26]. 48 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS Fig.V.1 : Schéma du SVC et TCBR V-2-3 Compensateur statique synchrone STATCOM Le compensateur statique synchrone STATCOM (Static Synchronous Compensator), autrefois appelé compensateur statique de puissance réactive avancé, est également désigné par les acronymes SSC et STATCON (Static Condenser). Le STATCOM est basé sur la structure d'un convertisseur de tension triphasé. Il correspond à l'équivalent statique exact de la machine synchrone classique fonctionnant en compensateur, mais sans inertie. Il est principalement utilisé pour la compensation dynamique des réseaux, afin de faciliter la tenue en tension, d'accroître la stabilité en régime transitoire et d'amortir les oscillations de puissance. Le convertisseur ne fournit ou n'absorbe que de la puissance réactive. Ceci est réalisé en contrôlant les tensions de sortie de manière à ce que ces dernières soient en phase avec les tensions du réseau. De ce fait, la puissance active fournie par la source de tension continue (le condensateur chargé) doit être nulle. De plus, la puissance réactive étant par définition nulle en régime continu (fréquence égale à zéro), le condensateur ne joue pas de rôle dans la génération de puissance réactive. En d'autres mots, le convertisseur fait tout simplement 49 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS l'interconnexion entre les trois phases, de manière à ce que les courants de sortie réactifs puissent circuler librement entre ces dernières. En pratique, les semi-conducteurs utilisés dans les convertisseurs ne sont pas sans pertes. De ce fait, de l'énergie stockée dans le condensateur sera consommée par les pertes internes des thyristors. La puissance réactive nécessaire pour couvrir ces pertes peut être fournie par le réseau en sorte que les tensions à la sortie du convertisseur soient légèrement déphasées par rapport aux tensions du réseau. Dans ce cas, le convertisseur absorbe une faible quantité de puissance active. Fig.V.2 : Schéma de base du STATCOM L’échange d’énergie réactive se fait par le contrôle de la tension de sortie de l’onduleur Vsh, laquelle est en phase avec la tension du réseau V (Fig.V.2). Le fonctionnement peur être décrit de la façon suivante : 𝜋 Si la tension Vsh est inférieure à V, le courant circulant dans l’inductance est déphasé de − 2 par rapport à la tension V ce qui donne un courant inductif. 𝜋 Si la tension Vsh est supérieur à V, le courant circulant dans l’inductance est déphasé de + 2 par rapport à la tension V ce qui donne un courant capacitif. 50 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS Si la tension Vsh est égale à V, le courant circulant dans l’inductance est nul et par conséquent il n’y a pas d’échange d’énergie. Le STATCOM est un circuit avec un seul port monté en parallèle avec le réseau, il utilise la commutation forcée, la fréquence de commutation des interrupteurs est élevée, son élément de stockage d'énergie est un condensateur et ceci implique un port DC. Par rapport au compensateur statique de puissance réactive conventionnel de type SVC, le STATCOM présente les avantages suivants: l'espace nécessaire pour l'installation est réduit en raison de l'absence de bobines d'inductance et de condensateur; le recours à des filtres d'harmoniques n'est pas nécessaire; les performances en régime dynamique sont meilleures. L'avantage de ce dispositif est de pouvoir échanger de l'énergie de nature inductive ou capacitive uniquement à l'aide d'une inductance. Contrairement au SVC, il n'y a pas d'élément capacitif qui puisse provoquer des résonances avec des éléments inductifs du réseau. V-2-4 Générateur synchrone statique SSG Un générateur synchrone statique SSG (Static Synchronous Generator) est une combinaison d'un STATCOM et d'une source d'énergie capable de fournir ou d'absorber de la puissance. Cette source a pour rôle de maintenir la tension aux bornes du condensateur à la valeur désirée. Le terme SSG inclut toutes les sources d'énergie telles que les batteries, volants d'inertie, aimants supraconducteurs, etc. toutefois, deux dispositifs particuliers peuvent être mis en évidence : 1. Le système de stockage par batterie BESS (Battery Energy Storage System) utilise une source de nature chimique. Généralement, les unités BESS sont relativement petites mais permettent un échange de puissance élevé. Leur capacité à ajuster rapidement la quantité d'énergie à fournir ou à absorber est utilisée pour la stabilité transitoire. Lorsqu'il ne fournit pas de la puissance active au système, le convertisseur est utilisé pour changer la batterie de manière appropriée. 51 Chapitre V 2. Le Systèmes des Dispositifs FACTS système de stockage d'énergie par aimant supraconducteur SMES (Superconducting Magnetic Energy Storage) est un dispositif permettant d'injecter ou d'absorber de la puissance active et réactive. Le SMES sert principalement au contrôle dynamique des transits de puissance dans le réseau électrique. V-3 DISPOSITIFS FACTS SERIES [11, 13, 26] V-3-1 Compensateurs séries La réactance des lignes est une des limitations principales de la transmission de courant alternatif à travers les longues lignes. Pour remédier à ce problème, la compensation série capacitive a été introduite il y a plusieurs dizaines d'années afin de réduire la partie réactive de l'impédance de la ligne. Les dispositifs FACTS de compensation série sont des évolutions des condensateurs série fixes. Ils agissent généralement en insérant une tension capacitive sur la ligne de transport qui permet de compenser la chute de tension inductive. Ils modifient ainsi la réactance effective de la ligne. La tension insérée est proportionnelle et perpendiculaire au courant dans la ligne. V-3-2 Compensateurs séries à thyristors Il y a trois conceptions principales de compensateurs série à thyristors peuvent être distinguées: le condensateur série commandé par thyristors; le condensateur série commuté par thyristors; le condensateur série commandé par thyristors GTO. En pratique, les compensateurs série à thyristors sont souvent des combinaisons de branches contrôlées et 'éléments de valeurs fixes. V-3-2-1 Condensateur série commandé par thyristors TCSC Un condensateur série commandée par thyristors TCSC (Thyristor Controlled Series Capacitor) est formé d'une inductance commandée par thyristors en parallèle avec un condensateur. Ce montage permet un réglage continu sur une large gamme de la réactance capacitive à la fréquence fondamentale. Les montages peuvent varier selon les fabricants. En 52 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS pratique, une varistance à oxyde métallique ou MOV (Metal Oxide Varistor) est insérée en parallèle afin de protéger le condensateur contre les surtensions. Trois régimes de fonctionnement peuvent être distingués : a) Les thyristors sont bloqués; le courant de la ligne passe uniquement par le condensateur. Le TCSC a alors une impédance fixe correspondant à celle du condensateur. b) Les thyristors sont en pleine conduction; l'impédance du TCSC est fixe et correspond à l'impédance équivalente résultant de la mise en parallèle de la capacité et de l'inductance. c) Les thyristors sont commandés en conduction partielle. Un courant de boucle circule dans le TCSC et la réactance apparente de ce dernier est supérieure à celle de la capacité (ou de l'inductance) seule. V-3-2-2 Condensateur série commuté par thyristors TSSC Le schéma de base d'un condensateur série commutée par thyristors TSSC (Thyristor Switched Series Capacitor) est constitué de plusieurs capacités montées en série, chacune étant shuntée par une valve à thyristors montée en dérivation. Le degré de compensation est contrôlé par paliers. Une capacité série est insérée dans le circuit en bloquant les thyristors lui correspondant. L'extinction a lieu de manière spontanée lors du passage par zéro du courant. Une fois la valve bloquée, la capacité se charge sur une demi-période puis se décharge le demi-cycle de la polarité opposée. Pour minimiser les transitoires, les thyristors sont enclenchés lorsque la tension aux bornes de la capacité est nulle. Fig.V.3 : Structure du TCSC (a) et TSSC (b) 53 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS V-3-2-3 TCSR (Thyristor Controlled Series Reactor) TCSR est un compensateur inductif qui se compose d'une inductance en parallèle avec une autre inductance commandée par thyristor afin de fournir une réactance inductive série variable. Lorsque l'angle d'amorçage du réacteur commandé par thyristor est de 180 degrés, il cesse de conduire, et la réactance non contrôlable X1 agit comme un limiteur de courant de défaut. Pendant que l'angle d'amorçage diminue en dessous de 180 degrés, la réactance équivalente diminue jusqu'à l'angle de 90 degrés, où elle est la combinaison parallèle de deux réactances. Fig.V.4 : Structure du TCSR V-3-2-4 Compensateurs statique série synchrone SSSC Le compensateur statique série synchrone SSSC (Static Synchronous Series Compensator) est un dispositif FACTS de la deuxième génération. Il est formé d'un convertisseur de tension inséré en série dans la ligne par l'intermédiaire d'un transformateur. Le SSSC agit sur le courant de ligne en insérant une tension en quadrature avec ce dernier, la tension pouvant être capacitive ou inductive. Un SSSC est capable d'augmenter ou diminuer le flux de puissance dans une ligne, voir d'en inverser le sens. Le comportement d'un SSSC peut être assimilé à celui d'un condensateur ou d'une inductance série réglable. La différence principale réside dans le fait que la tension injectée n'est pas en relation avec le courant de ligne. De ce fait, le SSSC présente l'avantage de pouvoir maintenir la valeur de la tension insérée constante, indépendamment du courant. Il est donc efficace tant pour des petites charges (faibles courants) que pour des grandes charges. Un autre avantage du SSSC réside dans le fait que ce type de compensateur n'insère pas de condensateur en série avec la ligne de transport. De ce fait, il ne peut pas provoquer de résonance hypo-synchrone. De plus, sa taille est réduite en comparaison de celle d'un TCSC. 54 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS Par contre, sa commande est plus complexe. Parmi les inconvénients, il y a également le coût élevé du SSSC par rapport à celui des condensateurs série réglables. Il est en grande partie dû au transformateur HT. Fig.V.5 : Schéma de base du SSSC Les applications pour lesquelles sont utilisées les SSSC sont identiques à celles où l'on a recours à des condensateurs séries réglables. Ce sont plus particulièrement: les commandes statiques et dynamiques des flux de puissances; l'amélioration de la stabilité angulaire; l'atténuation des oscillations électromécaniques. V-4 REGULATEURS STATIQUE DE TENSIONET DE PHASE Les dispositifs de réglage de tension et de phase présente une différence fondamentale avec les autres FACTS. Ils ne sont en effet pas capables de produire ou d'absorber de la puissance et ne permettent que de modifier les transits de puissances active et réactive. Tout comme les transformateurs déphaseurs et de réglage classiques, ils agissent en insérant une tension UT en série dans la ligne de manière à augmenter ou diminuer le courant y circulant. 55 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS Le réglage en charge mécanique est toutefois remplacé par un transformateur de prises de réglage à thyristors classiques ou GTO. Il existe plusieurs types de régulateurs qui se différencient par l'architecture du convertisseur et le couplage du transformateur auxiliaire en parallèle. Parmi ces dispositifs, les deux familles suivantes peuvent être distinguées: 1- les régulateurs de tension dont la tension insérée est en phase avec la tension au noeud et qui sont utilisés pour le contrôle de la puissance réactive. 2- les dispositifs déphaseurs dans lesquels la tension injectée modifie l'angle de transport et qui agissent principalement sur les transits de puissance active. V-4-1 Régulateurs de tension contrôlée par thyristor TCVR Le régulateur de tension contrôlé par thyristor TCVR (Thyristor Controlled Voltage Regulator) insère une tension UT qui est en phase avec la tension nodale Ui, de sorte à augmenter ou diminuer son amplitude. Le contrôle de Uieff permet de modifier les transits de puissance réactive dans les lignes. V-4-2 Régulateur de phase Plusieurs variantes de déphaseurs ont été développées. Elles permettent d'obtenir des tensions injectées de phases différentes. Le principe du régulateur de phase consiste à modifier l'angle de transport ä de la ligne dans laquelle il est placé en contrôlant la phase du nœud i auquel il est connecté. De ce fait, il permet de contrôler les transits de puissance active dans les lignes. Les dispositifs déphaseurs ont des effets bénéfiques pour les problèmes dynamiques tels que l'amélioration de la stabilité transitoire et l'amortissement des oscillations de puissance. Les deux principaux types de déphaseurs sont le régulateur de phase contrôlé par thyristor TCPAR (Thyristor Controlled Phase Angle Regulator) et le transformateur déphaseur contrôlé par thyristors TCPST (Thyristor Controlled Phase Shifting Transformer). D'autres dispositifs, basés sur des convertisseurs à thyristors GTO, peuvent remplir les fonctions de déphaseur. 56 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS V-5 DISPOSITIFS FACTS HYBRIDES [13] Par une combinaison des deux types de dispositifs (shunt et série), il est possible d'obtenir des dispositifs hybrides capables de contrôler simultanément les différentes variables précitées. V-5-1 Compensateurs hybrides à base de thyristors V-5-1-1 TCPAR ( Thyristor Controlled Phase Angle Regulator) TCPAR (déphaseur statique) est un transformateur déphaseur à base de thyristors. Ce dispositif a été créé pour remplacer les déphaseurs à transformateurs à régleur en charge (LTC; Load Tap Changer) qui sont commandés mécaniquement. Il est constitué de deux transformateurs, l’un est branché en série avec la ligne et l’autre en parallèle. Ce dernier possède différents rapports de transformation (n1, n2, n3). Ces deux transformateurs sont reliés par l’intermédiaire des thyristors. Son principe de fonctionnement est d’injecter, sur les trois phases de la ligne de transmission, une tension en quadrature avec la tension à déphaser. Ce type de compensateur n’est pas couramment utilisé. Il a l’avantage de ne pas générer d’harmoniques car les thyristors sont commandés en interrupteurs en pleine conduction. Par contre comme le déphasage n’a pas une variation continue, il est nécessaire d’y adjoindre un compensateur shunt, ce qui entraîne des surcoûts d’installation. L’amplitude de la tension injectée est une combinaison des secondaires du transformateur parallèle dont les rapports de transformation sont n1, n2, n3. Cette combinaison donne une tension à injecter dont l’amplitude peut prendre 27 valeurs différentes. 57 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS Fig.V.6 : Schéma du TCPAR V-5-2 Compensateurs hybrides à base de GTO thyristors V-5-2-1 Contrôleur de transit de puissance unifié UPFC Le contrôleur de transit de puissance unifié UPFC (Unified Power Flow Controller) est formé de deux convertisseurs de tension reliés par une liaison à courant continu formée par un condensateur. Il s'agit en fait de la combinaison d'un STATCOM et d'un SSSC. Son schéma est représenté à Fig.V.7. Le principe de l'UPFC consiste à dériver une partie du courant circulant dans la ligne pour le réinjecter avec une phase appropriée. Dans la fig.V.7, l’onduleur 1 est utilisé à travers la liaison continue pour fournir la puissance active nécessaire à l’onduleur 2. Il réalise aussi la fonction de compensation d’énergie réactive puisqu’il peut fournir ou absorber de la puissance réactive, indépendamment de la puissance active, au réseau. L’onduleur 2 injecte la tension Vb et fournit les puissances active et réactive nécessaires à la compensation série. 58 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS Fig.V.7 : Schéma de base de l’UPFC L'UPFC est capable de remplir toutes les fonctions des autres dispositifs FACTS. Il peut être utilisé en particulier pour: le réglage de la tension. l'amélioration des flux de puissances active et réactive. la limitation des courants de court-circuit. l'amortissement des oscillations de puissance. V-5-2-2 Contrôleur de transit de puissance entre ligne IPFC Le contrôleur de transit de puissance entre ligne IPFC (Interline Power Flow Controller) est utilisé dans le cas d'un système de lignes multiples reliées à un même poste. Son principe est illustré à la figure V.8. L'IPFC est formé de plusieurs SSSC, chacun d'eux fournissant une compensation série à une ligne différente. Du coté continu, tous les convertisseurs sont reliés entre eux via des disjoncteurs. 59 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS Fig.V.8 : Schéma de base de l’IPFC L'IPFC permet de transférer de la puissance active entre les lignes compensées pour égaliser les transits de puissances active et réactive sur les lignes ou pour décharger une ligne surchargée vers une autre moins chargée. Les tensions injectées possèdent une composante en quadrature et une composante en phase avec les courants respectifs des lignes. La composante en quadrature permet une compensation série indépendante dans chaque ligne, alors que la composante en phase définit le niveau de puissance active échangée avec les autres lignes. Sur la liaison continue, le bilan est toujours nul. V-5-2-3 Régulateur de puissance Interphases IPC Le régulateur de puissance interphases IPC (Interphase Power Controller) a été développé pour la gestion de la répartition des puissances. Il s'agit d'un dispositif de contrôle qui est composé de deux impédances par phase: l'une inductive et l'autre capacitive, chacune étant directement liée à une unité de déphasage. Les valeurs de ces impédances sont élevées afin de limiter les courants en cas de court-circuit. 60 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS Fig.V.9 : Schéma de base de l’IPC D’une par sa conception, l'IPC a les aptitudes suivantes : le contrôle des flux de puissance active; la limitation des courants de court-circuit; le découplage des tensions entre deux nœuds. Il permet également d'obtenir un contrôle de la puissance réactive indépendant de la puissance active. l'IPC est un moyen pour faire l'interconnexion des réseaux qui soit en mesure d'empêcher la propagation des perturbations entre les réseaux interconnectés. Le FACTs utilisé au cours de cette étude est un dispositif de type shunt à savoir le SVC (Static Var Compensator). V-6 COMPENSATEUR STATIQUE (SVC) [11, 12, 13, 17] Dans la vie industrielle il y a beaucoup de possibilité à faire le contrôle de la tension et de la puissance d’un réseau électrique en y branchant un condensateur ou une inductance shunt pour générer ou absorber de la puissance réactive. Cette manœuvre peut se faire automatiquement en utilisant un compensateur statique il s’appelle SVC (Static Var Copensator). V-6-1 Historique du SVC Le compensateur statique de puissance réactive SVC (Static Var Compensator) est apparu dans les années soixante-dix, le premier SVC est installé dans l'ouest de Nebraska, en Amérique du Nord [11, 12, 13], pour répondre à des besoins de stabilisation de tension rendue fortement variable du fait de charges industrielles très fluctuantes telles que les laminoirs ou 61 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS les fours à arc. Les SVCs sont des FACTS de la première génération. Ils utilisent des thyristors classiques, commandables uniquement à l'amorçage. Plusieurs conceptions différentes ont été proposées. Toutefois, la plupart des SVCs sont construits à partir des mêmes éléments de base permettant de fournir ou d'absorber de la puissance réactive. Depuis 1970 plus de 300 SVC est installé autours du monde, plus de 90 installé au Amérique du Nord. La figure (V.10) montre l’évolution d'installation du SVC dans le monde jusqu'à l'année 2006 [11, 12, 13]. Fig.V.10 : Nombre approximatif d'installations du SVC de 1970 à 2006. (Basé sur Liste compilée on 2006 par Groupe IEEE I4 travaillé sur SVC et autre données des fabricants ) V-6-2 Définition du SVC Le SVC est un compensateur statique d'énergie réactive, et aussi c’est un dispositif de l’électronique de puissance destiné à compenser la circulation de puissance réactive sur les réseaux électriques ensuit contrôler la tension. Il fait partie du groupe des FACTs. Le SVC règle la tension sur ses bornes en commandant la quantité de puissance réactive a injecté ou absorbé dans un système d'alimentation. Quand la tension de système est basse, le SVC 62 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS développe la puissance réactive (SVC capacitif). Quand la tension de système est haute, il absorbe la puissance réactive (SVC inductif). Le contrôle de la tension sur le réseau, la répartition des flux de puissance est aussi lié à la valeur de la tension en chaque nœud du réseau. La tenue de tension est réalisée avec l'injection ou soutirage de puissance réactive dans les différents nœuds du réseau. V-6-3 Structure de principe La figure V.11 donne une représentation schématique monophasée d'un compensateur statique shunt. Il est composé d'un condensateur de réactance "XC" dont la puissance réactive fournie peut être complètement enclenchée ou complètement déclenchée et d'une bobine d'induction de réactance inductive "XL" dont la puissance réactive absorbée est commandée entre zéro et sa valeur maximale par des thyristors montés en tête-bêche pour assurer des inversions très rapides du courant. Fig.V.11 : Représentation schématique monophasée d’un compensateur Statique Pour fixer le signe de puissance réactive Qsvc, le compensateur est considéré comme un commutateur. La puissance réactive Qsvc est positive lorsqu'elle est absorbée par le compensateur (comportement inductif), le courant d'entrée I est un courant réactif, il est supposé positif lorsqu'il est retardé de 90° par rapport à la tension Vsvc. Si par contre, le 63 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS compensateur fournit de la puissance réactive (comportement capacitif), cette dernière est considérée comme étant négative, ainsi que le courant I. Ces relations sont prises en compte sur la figure V.12. Par conséquent, la puissance réactive QL est positive alors que la puissance réactive QC est négative [12, 13]. FigV.12 : Exigences posées à la puissance réactive. La puissance réactive Qsvc varie entre une valeur inductive "Qind"et une valeur capacitive "Qcap", avec: Qcap = V 2SVC (V-1) XC On obtient alors la réactance capacitive Xc nécessaire pour le condensateur. De la relation suivante, on peut déterminer la réactance XL de la bobine d'inductance Qind = V 2SVC XL − V 2SVC (V-2) XC Les relations (V-1) et (V-2) se rapportent à une phase du compensateur triphasé. 64 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS V-6-4 Constitution du SVC Le compensateur statique SVC est composé de plusieurs éléments tel que le condensateur fixe (FC), qui est commandé par des éléments mécaniques; d'une réactance commandée par thyristors (TCR), et de condensateurs commutés par des thyristors (TSC), et parfois de réactance commutée par thyristors (TSR), et des filtres d'harmoniques. V-6-4-1 Condensateur fixe (FC) Le condensateur fixe fournit à la barre une puissance réactive fixe, il est connecté au réseau mécaniquement et comporte un contrôle pour l'ouverture du disjoncteur qui le relie à la barre. V-6-4-2 Réactance commandée par thyristors (TCR) a) Principe de fonctionnement La réactance commandée par thyristors TCR (Thyristor-Controlled Reactor) possède une bobine d'inductance fixe L branchée en série avec une valve à thyristors bidirectionnelle montré sur la figure V.13.a. La réactance contrôlée par thyristors permet un contrôle plus fin de la puissance réactive car elle permet un contrôle continu du courant de compensation. Les thyristors sont enclenchés avec un certain angle d'allumage α et conduisent alternativement sur une demi-période. On définit l'angle d'allumage α à partir du passage par zéro dans le sens positif de la tension aux bornes du thyristor à allumer. L'angle de conduction σ est l'angle pendant lequel les thyristors conduisent. Un thyristor se met à conduire quand un signal de gâchette lui est envoyé et la tension à ses bornes est positive. Il s'arrête de conduire lorsque le courant qui le traverse s'annule. Les thyristors sont allumés de façon symétrique toutes les demi-périodes. Le courant à fréquence fondamentale est réglé par la commande de phase de la valve à thyristors. En pleine conduction (α = 90°), le courant est essentiellement réactif et sinusoïdal, et lorsque α = 180°, on est en conduction nulle [15, 16]. La relation qui lie l’angle d'allumage et angle de conduction en régime permanent est : σ=2 π−α (V-3) 65 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS Une conduction partielle des thyristors est accomplie avec un angle d'amorçage α compris entre 90° et 180°, a pour effet de réduire la fondamentale du courant (FigV.13.b), et donc de diminuer la susceptance apparente de l'inductance. (a) Montage (b) tension simulé et courant inductif résultant pour un angle d’amorçage donné FigV.13 : Réactance commandée par thyristors Lorsque l'angle d'allumage (amorçage) est fixe, on parle d'inductance commutée par thyristor TSR (Thyristor-Switched Reactor). Généralement α vaut 90°. Dans ce cas, les thyristors sont en pleine conduction sur un nombre entier de demi-périodes et le TSR ne génère pas de courants harmoniques. En revanche, la valeur de la susceptance effective n'est pas modulable et il n'y a que deux cas de fonctionnement possibles. Lorsque les thyristors sont enclenchés, le courant réactif IL absorbé par le TSR est proportionnel à la tension appliquée V. il est nul lorsque la valve à thyristors reste ouverte. Les valeurs maximales admissibles du courant et la de tension doivent être respectées. Le recours à plusieurs branches TSR connectées en parallèles permet d'obtenir une admittance réactive contrôlable par palier, tout en conservant un courant sinusoïdal [15]. V-6-4-3 Condensateur commuté par thyristors (TSC) Le condensateur commuté par thyristors TSC (Thyristor-Switched Capacitor) est composé d’un condensateur fixe C branché en série avec une valve à thyristors bidirectionnelle et une bobine d’inductance d’atténuation Lℓ (FigV.14.a). Le commutateur a pour rôle de d’enclencher et de déclencher le condensateur pour un nombre entier de demicycles de la tension appliquée. Le condensateur n’est ainsi pas commandé en phase, mais 66 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS simplement enclenché et déclenché. L’inductance d’atténuation sert à limiter le courant en cas de fonctionnement anormal et à éviter la résonance avec le réseau à des fréquences particulières [15, 16]. Pour avoir un minimum de perturbations transitoires, les instants de commutation sont choisis de façon à ce que la tension aux bornes des thyristors soit minimale. L’enclenchement est donc réalisé lorsque la tension résiduelle du condensateur est égale à la tension instantanée du réseau (FigV.14.b). a) montage b) courant et tension dans la capacité FigV.14 : Condensateur commuté par thyristors: Le condensateur peut être commuté avec un minimum de transitoire si le thyristor est allumé (état on), au l'instant quand la tension VC du condensateur et la tension V du réseau ont la même valeur. La susceptance étant fixe, le courant dans le TSC varie linéairement avec la tension V (qui explique l'absence des harmoniques sur le TSC). La zone de fonctionnement est similaire à celle d'un TSR; elle est illustrée à la figure (V.15.a). Généralement le SVC de type TSC contient n banc de TSC montés en parallèle. La susceptance est ajusté par le contrôle du nombre de condensateurs parallèles en conduction. Chaque condensateur conduit toujours pour un nombre intégrant de demi-cycle. La relation qui relie le courant de compensation et le nombre de condensateurs en conductions est montrée dans la figure (V.15.b). 67 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS a) zone de fonctionnement b) relation entre courant et nombre de condensateurs en conduction FigV.15 : Principe du TSC Plusieurs TSC de tailles différentes peuvent être mis en parallèle, de façon à former un banc de condensateurs enclenchables et déclenchables par thyristors. Dans certaines installations, les commutations sont parfois réalisables par disjoncteurs. Ce type de dispositif porte le nom de condensateur commuté mécaniquement MSC (Mechanically-Switched Capacitor). Les MSCs sont des dispositifs conçus pour n’être enclenchés et déclenchés que quelques fois par jour. De ce fait, leur fonction principale est de fournir de la puissance réactive en régime permanent. V-6-5 Les différents types et schémas Les différents types principaux du "SVC" utilisés aujourd'hui [7, 13, 16] sont: V-6-5-1 Dispositive type "TCR" ou "FC/TCR":(Thyristor Controlled Reactor or Fixed Capacitors/Thyristor - Controlled Reactor) Ce dispositif est principalement constitué d'une batterie de condensateurs et d'un absorbeur réactif (FigV.16). La batterie de condensateurs est dimensionnée pour fournir une puissance réactive fixe Qc dont le rôle est de relever le facteur de puissance de l'installation à la valeur désirée. L'absorbeur réactif comprend une inductance alimentée à travers un 68 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS gradateur constitué de deux thyristors montés en tête bêche, il prélève une puissance réactive variable "QL" qui permet de compenser les perturbations causées par la charge "Qch". Fig.V.16 : Schéma de principe d'un FC/TCR Le courant qui circule dans l'inductance est réglé de façon continue par les thyristors. Ce réglage s'effectue en jouant sur l'angle de retard à l'amorçage "α" qui est compris entre 90° (QLmax) et 180° (QLmin). La figure V.17 montre le courant traversant une inductance en fonction de la tension à ses bornes et de la commande du thyristor en série. Fig.V.17 : Forme du courant d'inductance. 69 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS Avec a l'angle de retard à l'amorçage (angle entre le passage par zéro de la tension composée et du courant de l'inductance) et 2β l'angle de conduction donnée par β=π-α (0<β<90°). L'inductance "L" est son interrupteur sont alors équivalents à une inductance classique de valeur L(β) = [π.L/ (2β-Sin(2β))], en exprimant 2β en radians, on aura : BL β = Sin 2β−2β (V-4) πLω Où : BL est la susceptance de l’inductance L. Donc : BL ∝ = Sin 2π−2α − 2π−2α (V-5) πLω D’où : 1 BLmax = Lω pour β = π 2 π (α = 2 ) (V-6) Et : BLmin = 0 pour α=0 (V-7) La puissance réactive du banc d'inductance est: QL β = 3V 2SVC ωL β = 2β−Sin 2β π ( 3V 2SVC Lω ) (V-8) Après calcul, on aura : QL β = ( 2β−Sin 2β π )QLmax (V-9) Fig.V.18 : variation de BL () en fonction de l'angle de conduction. 70 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS V-6-5-2 Dispositive type TCR/TSC: (Thyristor Controlled Reactor/ Thyristor Switched Capacitor) Ce dispositif est une association de réactance réglable et de condensateurs (FigV.19) couplés par thyristors. Fig.V.19 : Schéma de principe d'un TCR/TSC. Ce dispositif est apparu pour répondre à des besoins de l'industrie, surtout pour la stabilisation de la tension qui est fortement variable du fait des charges très fluctuantes telles que les fours à arc. Le principe général consiste à compenser le plus exactement possible les variations de puissance réactive de la charge par une puissance réactive variant dans un sens opposé par une bobine d'inductance dont le courant est réglé par le gradateur. Un banc de condensateurs complète le dispositif et permet d'ajuster le réactif absorbé par l'ensemble : charge et compensateurs [13, 16]. V-6-5-3 Dispositive type TSC/TSR: (thyristor switched capacitor / thyristors switched reactor). C’est un système avec condensateur et inductance enclenchés par thyristors. Les dispositifs avec condensateur enclenché par thyristor TSC servent normalement à bloquer immédiatement le compensateur en cas d'apparition d'effondrement brusque de tension, leur application dans les réseaux à haute tension exige un transformateur abaisseur pour l'adaptation aux caractéristiques électriques optimisées des thyristors. Généralement l’installation sur les réseaux de transport s'effectue par le biais de tertiaire d'un transformateur. 71 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS V-6-5-4 Dispositive mobile type TSC (thyristor switched capacitor) On a retenu une exécution avec des condensateurs connectés par thyristors constituée de modules transportables sur des véhicules routiers. La gamme de réglage dynamique totale de compensateur s'étale de 0 à 60 MVAR, elle est fournie par trois bancs de condensateurs commutés par thyristors. Bien que les condensateurs commutés par thyristors ne produisent eux mêmes pas d'harmoniques, on a installé des réactances afin d'éviter l'amplification des harmoniques existantes dans le réseau (FigV.16) [17]. Fig.V.20 : Schéma monofilaire d'un compensateur mobile "TSC". V-6-5-5 Différents schémas La figure V.21.a, présente différentes configurations possibles de SVC. Lorsque le dispositif comporte une anche de type TCR, un filtre permettant de réduire les harmoniques est rajouté. La zone de fonctionnement équivalente du SVC est obtenue par la combinaison des zones de toutes les branches. Un exemple est donné à la figure V.21.b. 72 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS a) schémas b) zone de fonctionnement Fig.V.21 : Compensateur statique de puissance réactive V-6-6 Modélisation du dispositif SVC Les dispositifs FACTS shunt modélisés sont des compensateurs statiques de puissances réactives tels que le SVC et autres dérivés (TCR, TSC). Bien qu'ils présentent des performances moins bonnes que le compensateur statiques synchrone, elles ne sont guère importantes en régime permanent. De plus, les simulations sont réalisées pour des cas où les tensions sont proches de la valeur nominale. Dans cette situation, le SVC et le STATCOM présentent des caractéristiques semblables [15, 30]. V-6-6-1 Modèle de compensateur statique de puissance réactive SVC [27][30] Le dispositif SVC est modélisé par une admittance shunt ysvc variable. Le SVC étant supposé sans pertes, l'admittance est donc purement imaginaire (voir Fig.V.11). 73 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS La réactance du SVC est déterminée par la combinaison parallèle de XC et XTCR [27]: La réactance du TCR est : XTCR (α) = 2 πX L (V-10) π−α +sin 2α Donc : Xsvc (α) = πX L X 2 π−α +sin 2α−π L (V-11) XC ysvc = j X 1 L XC XL − XC 2 π − α + sin2α π (V-12) Et : QSVC = −ySVC Vk2 (V-13) Où : k : indique le nœud de contrôle. Qsvc = − X V 2k L XC XL − XC π 2 π − α + sin2α (V-14) On distingue trois modes de fonctionnement pour le compensateur statique SVC : Le mode automatique, le mode manuel et le mode hors service. Le mode automatique correspond au fonctionnement normal. Dans ce mode, le régulateur de tension opère en boucle fermée. Dans le mode manuel, la sortie du régulateur est imposée indépendamment de la tension mesurée au primaire du transformateur. Le mode hors service est obtenu lorsque les thyristors de TCR et des TSCs ne sont jamais amorcés. Dans ce cas, le secondaire du transformateur est en circuit ouvert, le réseau alimente le transformateur du compensateur statique à vide. Les installations FACTS sont généralement situées à des postes déjà existants. Toutefois, les deux cas sont en considérations ; à savoir lorsque le SVC est placé en un nœud et lorsqu’il est situé au milieu de la ligne. 74 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS V-6-7 Régulation des paramètres de la ligne Le respect des contraintes de tension sur les réseaux de transport est impératif pour maintenir la sûreté de fonctionnement du système électrique : une tension trop faible se traduit par une augmentation des transits et des pertes sur les lignes, une diminution de la stabilité en tension et un risque de perturbation du fonctionnement des protections. Une tension trop élevée accroît le vieillissement des isolants, pouvant même aller jusqu’à leur destruction. Il faut ajouter à ces conséquences l’augmentation du risque de perte de stabilité sur court-circuit des générateurs qui absorbent de la puissance réactive pour réduire la tension. La diversité des moyens de réglage de la tension, que ce soit en termes de capacité, de dynamique ou de contrainte d’utilisation, a nécessité d’organiser et de hiérarchiser le réglage de la tension en trois niveaux : Le réglage primaire de tension est la dépendance de la tension du nœud de connexion d’un générateur ou d’un FACTs à une valeur de consigne. Une augmentation (respectivement réduction) de la production de puissance réactive, par l’augmentation (respectivement diminution) du courant d’excitation de la machine, permet d’élever la tension du nœud de connexion à son niveau de consigne. Cette régulation est réalisable tant que la capacité de production du générateur n’est pas atteinte. Dans le cas contraire, le générateur peut continuer à fournir sa capacité maximale de production, mais la tension à son nœud de connexion sera flottante. Cette régulation est très rapide, de l’ordre de quelques secondes, car elle nécessite uniquement une modification du courant d’excitation. Tandis son effet est très limité, car la seule valeur régulée est la tension au nœud de connexion. Le réglage secondaire de tension permet quant à lui de régler la tension sur une zone plus étendue avec une constante de temps plus grande. Ce réglage secondaire à pour objectif de maintenir une tension constante en un nœud caractéristique de la zone de réglage, appelé nœud pilote. Les tensions de consignes des groupes de cette zone sont alors commandées de telle sorte que la tension du nœud pilote soit maintenue constante. La constante de temps de ce réglage est de l’ordre de quelques minutes. Une amélioration a été portée au réglage secondaire par l’établissement d’un Réglage Secondaire Coordonné de Tension. La coordination consiste à optimiser le réglage sur une région entière du réseau, comprenant donc plusieurs zones, en tenant mieux compte des capacités disponibles sur les groupes, et de l’influence de chacun des groupes sur le maintien de la 75 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS tension des nœuds pilotes. Cette influence, qui dépend de la topologie du réseau, est prise en compte par l’intermédiaire de deux matrices de sensibilités. La première matrice relie les variations de tensions des points pilotes aux variations des tensions de consigne des régulateurs primaires. Quant à la seconde, elle lie les puissances réactives des groupes en réglage aux tensions de consigne des groupes. Le réglage tertiaire de tension consiste à assurer la disponibilité des capacités de production de puissance réactive sur le réseau. Cette action manuelle s’effectue sur les niveaux de consigne de tension des points pilotes et sur le démarrage de groupes. V-6-8 Emplacement optimale du SVC dans le réseau [11, 30] L’étude du compensateur statique d'énergie réactive (SVC) dans un réseau est représentée par les changements dans les paramètres des lignes, la sensibilité à la modification dans la matrice d’admittance, et ce par, variation du paramètre de contrôle des SVC et en observant les changements sur les tensions des nœuds et la puissance transité dans les lignes. V-6-8-1 Emplacement dans un nœud Lorsqu'ils sont connectés aux nœuds du réseau, les SVC sont généralement placés aux endroits où se trouvent des charges importants ou variant fortement. Ils peuvent également être positionnés à des nœuds où le générateur n'arrive pas à fournir ou absorber suffisamment de puissance réactive pour maintenir le niveau de tension désiré (Fig.V.22). Fig.V.22 : SVC inséré dans un nœud. Lorsqu'un SVC est présent au nœud i, seul l'élément Yii de la matrice d'admittance nodale est modifié. Yii′ = Yii + ySVC (V-15) 76 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS La matrice d'admittance nodale est : ligne Ynew Ymk + ym0 + ysvc −ymk = (V-16) −ymk ymk + yk0 V-6-8-2 Emplacement du SVC au milieu d’une ligne Dans ce cas le SVC est relié au nœud médian additionnel crée au milieu d’une ligne, tel qu'illustré sur la figure V.23. Fig.V.23 : SVC placé au milieu d'une ligne. Afin de prendre en compte ce nouveau nœud, une ligne et une colonne supplémentaires devraient être ajoutées à la matrice d'admittance nodale. Pour éviter à changer le nombre de nœuds du réseau et donc la taille de la matrice d'admittance, une transformation étoile-triangle permet de réduire le système en supprimant le nœud m et en calculant les paramètres d'une ligne équivalente. La figure V.24, illustre les étapes pour obtenir cette ligne équivalente [30]. Fig.V.24: Transformation étoile-triangle. 77 Chapitre V Systèmes des Dispositifs FACTS Les éléments de la matrice d'admittance représentée par le quadruplé (y1 , y2 , y3 ) illustrés sur la figure V.24. (V-17) La matrice d'admittance nodale est : ligne Ynew = Ymm Ykm Ymk Ykk (V-18) (V-19) V-7 CONCLUSION Nous avons présenté dans ce chapitre, en premier lieu les techniques de compensation conventionnelles (série, shunt et hybride), ainsi nous avons donné une définition ou une initiation sur les dispositifs FACTs et particulièrement le SVC (Static Var Compensator) qui va être placé de façon optimale dans un réseau d'énergie électrique à l’aide d’un Algorithme Génétique. 78 CHAPITRE VI PLACEMENT OPTIMAL D’UN SVC Placement optimal d’un SVC Chapitre VI CHAPITRE VI PLACEMENT OPTIMAL D’UN SVC VI-1 INTRODUCTION Dans cette partie nous présentons une simulation du problème de l’emplacement optimal de dispositifs FACTS dans un réseau d’énergie électrique. Le critère choisi est la minimisation des pertes actives totales sous contraintes spécifiés. Plusieurs méthodes on été appliquées, les méthodes approchées semblent être les plus appropriées. Parmi ces dernières, les métaheuristiques sont des méthodes d'optimisation générales qui utilisent des règles intelligentes pour parcourir l'espace des solutions. Elles produisent des solutions de bonne qualité. Nous allons appliquer un algorithme génétique simple avec un codage binaire des paramètres. Une application sur deux réseaux standards, Un réseau test IEEE-30 nœuds et un autre réseau test IEEE-57noeuds. Dans un premier temps, nous présentons les résultats de l’écoulement statique des charges par la méthode itérative de Gauss-Seidel sans dispositif SVC. Ensuite, à laide d’un Algorithme génétique on détermine l’emplacement optimal du dispositif SVC. Enfin, nous présenterons les résultats de l’écoulement statique des charges après insertion du dispositif SVC dans le réseau. VI-2 PRESENTATION DU PROBLEME Le critère choisi est la minimisation des pertes actives totales sous contraintes spécifiés. Le problème peut être posé de la manière suivante : Minimiser 𝑁 𝑃𝐿 = 𝑃𝑖 (VI − 1) 𝑖=1 Sous les contraintes : min max ySVC ySVC ySVC Vi min Vi Vi max i=1,…N 79 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI Sachant que: Où : N : est le nombre total des nœuds. PL : est les pertes totales du réseau. 𝑚𝑎𝑥 𝑦𝑆𝑉𝐶 : La valeur maximale d’admittance du SVC. 𝑚𝑖𝑛 𝑦𝑆𝑉𝐶 : La valeur minimale d’admittance du SVC. Vimax : La valeur maximale de tension du nœud i. Vimin : La valeur minimale de tension du nœud i. VI-3 MISE EN ŒUVRE DE L’AG VI-3-1 Création de la population initiale La population initiale X(0) est composée de Np=20 chaînes générées aléatoirement. La procédure d’initialisation consiste en un tirage aléatoire de Np individus dans l’espace des individus permis. VI-3-2 Codage du problème Le nombre de variables utilisé dans l’Algorithme Génétique varie selon le nombre des SVC installées : Pour un seul SVC utilisé, nous avons deux variables (l’emplacement, ysvc), l’emplacement du SVC peut prendre une valeur de 1 jusqu'à N (nombre total des nœuds dans le réseau), le paramètre ysvc varie selon l'angle d’amorçage c'est-à-dire α° ∈ [90° 180°]. Les paramètres du SVC utilisées donné dans le tableau VI.1. Tableau VI.1 : Paramètres SVC Xc (PU) 1.0700 αmin (°) XL (PU) 0.2880 90 α max (°) 180 Pour deux SVC utilisés, nous avons quatre variables, l’emplacement des deux SVC avec leurs paramètres. Chaque variable (ou chromosome) est représenté par un nombre binaire de 12 bits. 80 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI A titre d’exemple, les figures VI.1 et VI.2 montre une configuration des deux individus. Position du SVC Dimension (taille) du SVC) Fig.VI.1 : Codage des variables pour un SVC Unité 1 Unité 1 Unité 2 Unité 2 Position du SVC Taille du SVC Position du SVC Taille du SVC Fig.VI.2 : Codage des variables pour deux SVC VI-3-3 Reproduction a). Sélection La sélection permet d'identifier statistiquement les meilleurs individus d'une population et d'éliminer les mauvais. Notre programme va prendre x nb de chaque dernière itération et utiliser la règle de reproduction (VI-2). x n →x n + P L nb −P L n P L nb x nb − x n (VI-2) n : 1 …Np x : représente un individu. Np : nombre maximal de population. nb: le point correspondant à la valeur minimale de PL b). Croisement Le croisement est une technique utilisée pour réarranger l'information entre deux individus différents et produits des nouveaux. Dans ce document nous utilisons un croisement simple en un point avec une probabilité de croisement (Pc). c). Mutation Pour introduire une certaine diversification dans la population nous appliquons une mutation binaire avec une probabilité (Pm). 81 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI VI-4 Organigramme Les étapes de notre organigramme (figure (VI.3)) : Lecture des données caractéristiques du problème. Calcul de l’écoulement statique des charges, qui permet de déterminer, les tensions nodales, les puissances injectées et les pertes totales du réseau. Génération d’une population initiale (Générer aléatoirement des solutions (chromosomes)). Modifier la matrice d’admittance a l'aide des solutions Générer aléatoirement. Calcul de l’écoulement statique des charges avec la nouvelle matrice d’admittance, Trouver la valeur minimale des pertes (PLMin). Vérifier les contraintes de sécurité Vmin < V < Vmax Utilisez la règle de la sélection. Exécuter le croisement, la mutation et évaluer la fonction objective. Répétez ce processus jusqu'à ce que le nombre maximal de génération soient atteint. Les paramètres de contrôle de l’Algorithme Génétique: Taille de la population Np = 20 Nombre maximal de génération maxgen = 1500 Probabilité de croisement Pc = 0.9 Probabilité de mutation Pm = 0.01. 82 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI Start Lecture les données du système Calcule de l’écoulement des charges Génération d’une population initiale (Générer aléatoirement des solutions) Modifier la matrice d’admittance a l'aide des solutions Générer aléatoirement Exécuter la répartition des puissances avec la nouvelle matrice d’admittance (Évaluation des pertes et les tensions) Teste Non Sélection Croisement Mutation Fig.VI.3 : Organigramme 83 Oui Fin Placement optimal d’un SVC Chapitre VI VI-5 ILLUSTRATION VI-5-1 Réseau test IEEE 30-nœuds Le réseau test IEEE 30-nœuds représente une portion du réseau électrique américain [35]. Ce réseau est constitué de 30 jeux de barres et 6 générateurs (aux jeux de barres n° 1, 2, 13, 22, 23 et 27). La tension de base pour chaque jeu de barres est de 135kv, la puissance apparente de base est de 100MVA. Limite des tensions nodales : Vmax (pu)=1.05 et Vmin (pu)=0.95 Les données des lignes de ce réseau, les limites opérationnelles et les valeurs planifiées sont résumées dans l’annexe. Nous avons effectué plusieurs expériences. Le choix de bons paramètres est une étape essentielle dans les AG. D’après la littérature [21, 31], il n’existe pas un standard pour déterminer ces paramètres. La détermination de ces derniers diffère d’un problème à un autre. Il faudra simuler plusieurs expériences avec différentes valeurs des paramètres. Nous présentons dans le tableau VI.2 les résultats des tensions nodales sans l’utilisation de SVC. Tableau VI.2 : Les tensions nodales sans SVC N° N° N° Nœuds Tensions [pu] Nœuds Tensions [pu] Nœuds Tensions [pu] 1 1.0000 11 0.9777 21 0.9919 2 1.0000 12 0.9776 22 1.0000 3 0.9845 13 1.0000 23 1.0000 4 0.9812 14 0.9660 24 0.9877 5 0.9852 15 0.9689 25 0.9897 6 0.9757 16 0.9710 26 0.9717 7 0.9705 17 0.9712 27 1.0000 8 0.9636 18 0.9365 28 0.9777 9 0.9777 19 0.9417 29 0.9796 10 0.9788 20 0.9500 30 0.9679 84 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI Les résultats de l’écoulement des puissances par la méthode de Gauss- Seidel nous a permis de déterminer les pertes totales actives PL= 2,879 MW. Le tableau VI.2 montre que deux nœuds ont des tensions dont le module est inferieur à la limite inferieur de la tension Vmin. Nous présentons ensuite les résultats de l’Algorithme génétique après insertion d’un SVC. Le choix optimal de l’emplacement du SVC donné par le programme d’optimisation est le nœud N°18(α=132.1319° correspondant Qsvc= -17.7206 MVAR). Les pertes actives totales PL=2,561 MW. Le tableau VI.3 présente les résultats des tensions nodales avec une tolérance de tension ±5%. Tableau VI.3 : Les tensions nodales avec un SVC 1 1.0000 11 0.9808 21 0.9928 2 1.0000 12 0.9831 22 1.0000 3 0.9856 13 1.0000 23 1.0000 4 0.9826 14 0.9746 24 0.9877 5 0.9859 15 0.9800 25 0.9897 6 0.9770 16 0.9758 26 0.9717 7 0.9716 17 0.9754 27 1.0000 8 0.9649 18 0.9721 28 0.9789 9 0.9808 19 0.9673 29 0.9796 10 0.9827 20 0.9701 30 0.9679 85 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI La figure (VI.4) illustre l’évolution des tensions nodales avant et après compensation. Evolution des tensions nodales [pu] avant et après compensation 1 0.99 Tension [pu] 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 avant compensation après compensation 0.93 0 5 10 15 Nœud 20 25 30 Fig.VI.4 Évolution des tensions nodales avant et après compensation Les résultats de l’Algorithme génétique après insertion de deux SVC. L’emplacement optimal des SVC donné par le programme d’optimisation sont les nœuds N°06 et N°18 (α1=134.9451° et α2=131.6264° correspondant Qsvc1= -29.5922 MVAR et Qsvc2= -15.6166 MVAR). Les pertes actives totales PL = 2,403 MW. Le tableau VI.4 présente les résultats des tensions nodales. Tableau VI.4 : Les tensions nodales avec deux SVC. 1 1.0000 11 0.9869 21 0.9933 2 1.0000 12 0.9851 22 1.0000 3 0.9930 13 1.0000 23 1.0000 4 0.9915 14 0.9759 24 0.9877 5 0.9927 15 0.9806 25 0.9897 6 0.9906 16 0.9780 26 0.9717 7 0.9826 17 0.9777 27 1.0000 8 0.9784 18 0.9702 28 0.9911 9 0.9869 19 0.9668 29 0.9796 10 0.9851 20 0.9703 30 0.9679 86 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI La figure (VI.5) illustre l’évolution des tensions nodales avant et après compensation. Evolution des tensions nodales [pu] avant et après compensation 1 0.99 Tension [pu] 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 avant compensation après compensation 0.93 0 5 10 15 Nœud 20 25 30 Fig.VI.5 Évolution des tensions nodales avant et après compensation. Les résultats de l’Algorithme génétique après insertion de trois SVC. L’emplacement optimal des SVC donné par le programme d’optimisation sont les nœuds N°8, N°15 et N°19 (α1=132.9451° et α2= 129.7143° et α3= 132.1099° correspondant Qsvc1= -21.4128 MVAR et Qsvc2= -7.868 MVAR et Qsvc3= -7.8261 MVAR). Les pertes actives totales PL = 2,398 MW. Le tableau VI.5 présente les résultats des tensions nodales. Tableau VI.5 : Les tensions nodales avec trois SVC. 1 1.0000 11 0.9870 21 0.9937 2 1.0000 12 0.9871 22 1.0000 3 0.9915 13 1.0000 23 1.0000 4 0.9898 14 0.9795 24 0.9877 5 0.9912 15 0.9854 25 0.9897 6 0.9876 16 0.9798 26 0.9717 7 0.9801 17 0.9794 27 1.0000 8 0.9830 18 0.9689 28 0.9900 9 0.9870 19 0.9828 29 0.9796 10 0.9867 20 0.9827 30 0.9679 87 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI La figure (VI.6) illustre l’évolution des tensions nodales avant et après compensation. Evolution des tensions nodales [pu] avant et après compensation 1 0.99 Tension [pu] 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 avant compensation après compensation 0.93 0 5 10 15 Nœud 20 25 30 Fig.VI.6 Évolution des tensions nodales avant et après compensation. Nous avons récapitulé dans le tableau VI.6 les résultats obtenus par l’Algorithme Génétique Tableau VI.6 : Tableau récapitulatif Nombre de Pertes Emplacement SVC PL [MW] Optimal des αSVC [°] optimale QSVC [Mvar] optimale 18 132.1319 -17.7206 06 134.9451 -29.5922 18 131.6264 -15.6166 08 132.9451 -21.4128 15 129.7143 -7.8680 19 132.1099 -7.8261 SVC 1 2 3 2,561 2,403 2,398 88 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI VI-5-2 Réseau test IEEE 57-nœuds Considérons un réseau test IEEE 57 nœuds [35], comportant 7 nœuds générateurs (aux jeux de barres n° 1, 2, 3, 6, 8, 9 et 12), la puissance apparente de base est de 100MVA. La tension de base pour chaque jeu de barres est de 135 kV. Les données des lignes de ce réseau, les limites opérationnelles et les valeurs planifiées sont résumées dans les tableaux A.3 et A.4 de l’annexe. Limite des tensions nodales : Vmax (pu)=1.06 et Vmin (pu)=0.94 Nous présentons dans le tableau VI.7 les résultats des tensions nodales sans l’utilisation de SVC. Tableau VI.7 : Les tensions nodales sans SVC 1 1.0400 20 0.9344 39 0.9281 2 1.0182 21 0.9451 40 0.9196 3 1.0086 22 0.9507 41 0.9703 4 1.0066 23 0.9490 42 0.9280 5 1.0096 24 0.9370 43 0.9984 6 1.0151 25 0.8301 44 0.9667 7 1.0193 26 0.9395 45 1.0026 8 1.0441 27 0.9716 46 0.9913 9 1.0210 28 0.9902 47 0.9692 10 1.0230 29 1.0058 48 0.9653 11 1.0112 30 0.8134 49 0.9735 12 1.0491 31 0.7985 50 0.9675 13 1.0157 32 0.8402 51 1.0112 14 1.0047 33 0.8375 52 0.9637 15 1.0127 34 0.8977 53 0.9478 16 1.0402 35 0.9082 54 0.9734 17 1.0330 36 0.9205 55 1.0083 18 0.9318 37 0.9295 56 0.9184 19 0.9254 38 0.9550 57 0.9090 89 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI Les résultats de l’écoulement des puissances par la méthode de Gauss- Seidel nous a permis de déterminer les pertes totales actives PL= 27,887 MW. Le tableau VI.7 montre que 19 nœuds ont des tensions dont le module est inferieur à la limite inferieur de la tension Vmin. Nous présentons ensuite les résultats de l’Algorithme génétique après insertion d’un SVC. Le choix optimal de l’emplacement du SVC donné par le programme d’optimisation est le nœud N°31 (α=131.9121° correspondant Qsvc = -18.0688 MVAR). Les pertes actives totales PL=25,861 MW. Tableau VI.8 : Les tensions nodales avec un SVC 1 1.0400 20 0.9647 39 0.9727 2 1.0201 21 0.9789 40 0.9693 3 1.0176 22 0.9842 41 0.9971 4 1.0169 23 0.9825 42 0.9597 5 1.0210 24 0.9768 43 1.0186 6 1.0276 25 0.9768 44 0.9938 7 1.0336 26 0.9767 45 1.0208 8 1.0593 27 0.9915 46 1.0112 9 1.0373 28 1.0080 47 0.9941 10 1.0383 29 1.0224 48 0.9921 11 1.0289 30 0.9785 49 0.9969 12 1.0615 31 1.0071 50 0.9883 13 1.0317 32 0.9710 51 1.0270 14 1.0212 33 0.9705 52 0.9810 15 1.0250 34 0.9620 53 0.9667 16 1.0495 35 0.9654 54 0.9907 17 1.0379 36 0.9715 55 1.0253 18 0.9496 37 0.9750 56 0.9538 19 0.9511 38 0.9865 57 0.9455 90 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI La figure (VI.7) illustre l’évolution des tensions nodales avant et après compensation. Evolution des tensions nodales [pu] avant et après compensation 1.15 avant compensation après compensation 1.1 1.05 Tension [pu] 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0 10 20 30 Nœud 40 50 60 Fig.VI.7 Évolution des tensions nodales avant et après compensation. Les résultats de l’Algorithme génétique après insertion de deux SVC. L’emplacement optimal des SVC donné par le programme d’optimisation sont les nœuds N°25 et N°15 (α1=131.2967° et α2=124.2637° correspondant Qsvc1=-15,77MVAR et Qsvc2=19,43MVAR). Les pertes actives totales PL = 25,485MW. Le tableau VI.9 présente les résultats des tensions nodales. 91 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI Tableau VI.9 : Les tensions nodales avec deux SVC 1 1.0400 20 0.9633 39 0.9716 2 1.0192 21 0.9784 40 0.9684 3 1.0140 22 0.9838 41 0.9946 4 1.0139 23 0.9823 42 0.9577 5 1.0189 24 0.9822 43 1.0157 6 1.0257 25 1.0199 44 0.9913 7 1.0325 26 0.9813 45 1.0162 8 1.0575 27 0.9935 46 1.0077 9 1.0349 28 1.0088 47 0.9916 10 1.0358 29 1.0222 48 0.9899 11 1.0259 30 0.9945 49 0.9943 12 1.0590 31 0.9541 50 0.9856 13 1.0280 32 0.9484 51 1.0244 14 1.0167 33 0.9465 52 0.9807 15 1.0189 34 0.9612 53 0.9659 16 1.0477 35 0.9648 54 0.9892 17 1.0370 36 0.9707 55 1.0230 18 0.9470 37 0.9740 56 0.9521 19 0.9492 38 0.9850 57 0.9440 92 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI La figure (VI.8) illustre l’évolution des tensions nodales avant et après compensation. Evolution des tensions nodales [pu] avant et après compensation 1.15 avant compensation après compensation 1.1 1.05 Tension [pu] 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0 10 20 30 Nœud 40 50 60 Fig.VI.8 Évolution des tensions nodales avant et après compensation Les résultats de l’Algorithme génétique après insertion de trois SVC. L’emplacement optimal des SVC donné par le programme d’optimisation sont les nœuds N°16, N°14 et N°25 (α1=126.6154°, α2= 126.3077° et α3= 131.2308° correspondant Qsvc1= 07,26 MVAR, Qsvc2=08,49 MVAR et Qsvc3=-15,39 MVAR). Les pertes actives totales PL = 25,35MW. Le tableau VI.10 présente les résultats des tensions nodales. 93 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI Tableau VI.10 : Les tensions nodales avec trois SVC 1 1.0400 20 0.9641 39 0.9717 2 1.0197 21 0.9788 40 0.9684 3 1.0162 22 0.9841 41 0.9946 4 1.0157 23 0.9827 42 0.9577 5 1.0201 24 0.9823 43 1.0157 6 1.0267 25 1.0172 44 0.9924 7 1.0330 26 0.9814 45 1.0187 8 1.0578 27 0.9938 46 1.0077 9 1.0349 28 1.0091 47 0.9917 10 1.0351 29 1.0226 48 0.9901 11 1.0259 30 0.9920 49 0.9945 12 1.0575 31 0.9522 50 0.9856 13 1.0281 32 0.9475 51 1.0238 14 1.0165 33 0.9456 52 0.9808 15 1.0225 34 0.9610 53 0.9661 16 1.0425 35 0.9647 54 0.9893 17 1.0364 36 0.9707 55 1.0230 18 0.9485 37 0.9741 56 0.9522 19 0.9502 38 0.9854 57 0.9440 94 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI La figure (VI.9) illustre l’évolution des tensions nodales avant et après compensation. Evolution des tensions nodales [pu] avant et après compensation 1.15 avant compensation après compensation 1.1 1.05 Tension [pu] 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0 10 20 30 Nœud 40 50 60 Fig.VI.9 Évolution des tensions nodales avant et après compensation Nous avons récapitulé dans le tableau VI.11 les résultats obtenus par l’algorithme génétique Tableau VI.11 : Tableau récapitulatif Emplacement Nombre de Pertes SVC PL [MW] αSVC [°] optimale QSVC [Mvar] optimale 31 131.9121 -18,0688 25 131.2967 -15.7722 15 124.2637 19.4337 16 126.6154 07.2565 14 126.3077 08.4858 25 131.2308 -15.3900 Optimal des SVC 1 2 3 25.86 25.485 25.355 95 Placement optimal d’un SVC Chapitre VI VI-6 ANALYSE DES RESULTATS Le placement du SVC comprend simultanément la rechercher de l’emplacement optimale et la dimension du SVC. L’AG est adaptée pour résoudre ce problème d’optimisation. Les tableaux VI.2 et VI.7 présentent les tensions nodales des deux réseaux sans SVC après le calcule de l’écoulement statique des charges. On remarque qu’il y a des tensions hors limites admissibles. Ces violations présentent un problème pour le producteur et les consommateurs. Les tableaux VI.3 et VI.8 montrent l’évolution des tensions nodales dans le cas où nous avons un seul SVC installé dans chaque réseau. Pour le réseau de 30 nœuds nous avons des améliorations des tensions nodales qui sont dans limites admissibles. Pour le réseau de 57 nœuds, malgré l’installation d’un SVC, il y a des nœuds où les tensions sont encore hors limites admissibles. Les autres cas étudiés pour deux et trois SVC, les tensions nodales sont dans les limites admissibles avec une tolérance de tension (±05% pour le réseau 30 nœuds et ±6% pour le réseau 57 nœuds). Les tableaux VI.4, VI.5, VI.9 et VI.10 montrent l'influence du nombre de SVC inséré sur les tensions nodales. Les tableaux récapitulatifs VI-6 et VI-11 montrent les variations des pertes actives totales selon le nombre des SVC. Les résultats obtenus, montrent bien l’importance de l’emplacement des SVC dans les réseaux électriques et leurs influences sur l’évolution des tensions des nœuds et les pertes actives dans les réseaux. VI-7 CONCLUSION Nous avons traité le problème de l’emplacement optimal d’un SVC avec le contrôle des tensions des nœuds du réseau d’énergie électrique. Les dispositifs SVC permettent d’améliorer l’exploitation du réseau électrique, contrôler le transit de puissance et augmenter la capacité de transport tout en maintien les tensions des nœuds du réseau d’énergie électrique dans les limites admissible. 96 CHAPITRE VII CONCLUSION GENERALE Chapitre VII Conclusion Générale CONCLUSION GENERALE Les réseaux électriques ont un rôle très important dans les sociétés modernes. Les chutes de tensions sont des phénomènes catastrophiques dans les réseaux électriques. Ils découlent de la perte de stabilité du réseau et causent des dégâts immenses au niveau économique et social. Bien que les réseaux électriques soient pourvus de systèmes de protection ainsi que pour éviter les instabilités du système. Le travail présenté dans ce mémoire concerne l’application d’une méthode métaheuristique qui est l’Algorithme génétique pour l’emplacement optimal d’un dispositif FACTS (SVC). Ce dispositif est capable de contrôler la puissance réactive, les tensions nodales, pour améliorer les performances du réseau électrique et sa stabilité. Une première phase de ce travail a consisté au calcul de l’écoulement statique des charges par la méthode itérative de Gauss-Seidel, afin de déterminer les tensions nodales et les pertes actives totales du réseau. Un premier choix a été fixé sur la méthode classique de Gauss-Seidel pour le calcul de l’écoulement des puissances. Ce choix n’étant pas arbitraire mais basé surtout sur la simplicité et l’efficacité de la méthode. Les résultats de l’écoulement statique des charges sans dispositifs SVC présente dans certains nœuds du réseau des dépassements des limites de tension. Ensuite, nous avons présenté différentes méthodes d’optimisation, en se basant sur les algorithmes génétiques avec un codage binaire des paramètres comme méthode métaheuristique pour résoudre notre problème. Nous avons fait une description des différents systèmes permettant d’améliorer l’exploitation du réseau d’énergie électrique et qui sont rangés sous l’appellation système FACTS. Les dispositifs FACTS peuvent être classés en trois catégories : les compensateurs parallèles, les compensateurs séries et les compensateurs hybrides (parallèle-série). Nous avons choisi le SVC pour notre étude, 97 Chapitre VII Conclusion Générale Pour montrer l’importance de l’installation des dispositifs SVC dans le réseau électrique, des simulations ont été exécutées successivement pour un nombre croissant des SVC sur deux réseaux test IEEE-30 et IEEE-57 nœuds. Les résultats de simulation sont satisfaisants et montrent que l’emplacement optimal des dispositifs SVC et la valeur optimale de la puissance réactive injectée permettent d’accroitre la capacité de transit et de réduire les pertes tout en maintien les niveaux de tensions dans les limites admissibles. Enfin l’optimisation simultanée des paramètres et de leur emplacement avec un nombre acceptable des SVC constitue une solution efficace et robuste. En conséquence un meilleur contrôle, une meilleure gestion de l’écoulement de puissance et une augmentation de la capacité de transmission de puissance des lignes. Ainsi, les transits de puissance seront mieux contrôlés et les tensions mieux tenues, ce qui permettra d’augmenter les marges de stabilité. 98 ANNEXE ANNEXE . ANNEXE. A DONNÉES DU SYSTÈME DE LA TRANSMISSION 1. DONNEES DU RESEAU DE 30 NŒUDS (6 générateurs et 30 nœuds) 1.1. Données des nœuds du réseau Tableau A.1 : Données des nœuds du réseau N. Nœuds V α Pg Qg Pl Ql 1 1.00 0.00 -- -- 0.0 0.00 2 1.00 0.00 60.97 0.00 21.7 12.7 3 1.00 0.00 0.00 0.00 2.4 1.2 4 1.00 0.00 0.00 0.00 7.6 1.6 5 1.00 0.00 0.00 0.00 0.0 0.00 6 1.00 0.00 0.00 0.00 0.0 0.00 7 1.00 0.00 0.00 0.00 22.8 10.9 8 1.00 0.00 0.00 0.00 30.0 30.0 9 1.00 0.00 0.00 0.00 0.0 0.00 10 1.00 0.00 0.00 0.00 5.8 2.0 11 1.00 0.00 0.00 0.00 0.0 0.00 12 1.00 0.00 0.00 0.00 11.2 7.5 13 1.00 0.00 37.0 0.00 0.0 0.00 14 1.00 0.00 0.00 0.00 6.2 1.6 15 1.00 0.00 0.00 0.00 8.2 2.5 16 1.00 0.00 0.00 0.00 3.5 1.8 17 1.00 0.00 0.00 0.00 9 5.8 18 1.00 0.00 0.00 0.00 13.2 10.9 19 1.00 0.00 0.00 0.00 9.5 3.4 20 1.00 0.00 0.00 0.00 2.2 0.7 21 1.00 0.00 0.00 0.00 17.5 11.2 99 ANNEXE . 22 1.00 0.00 21.59 0.00 0.0 0.00 23 1.00 0.00 19.2 0.00 3.2 1.6 24 1.00 0.00 0.00 0.00 8.7 6.7 25 1.00 0.00 0.00 0.00 0.0 0.00 26 1.00 0.00 0.00 0.00 3.5 2.3 27 1.00 0.00 26.91 0.00 0.0 0.00 28 1.00 0.00 0.00 0.00 0.0 0.00 29 1.00 0.00 0.00 0.00 2.4 0.9 30 1.00 0.00 0.00 0.00 10.6 1.9 1.2. Données des lignes du réseau Tableau A.2 : Données des lignes du réseau. Du nœud Au nœud R (pu) X (pu) y’/2 (pu) 01 02 0.02 0.06 0.03 01 03 0.05 0.19 0.02 02 04 0.06 0.17 0.02 03 04 0.01 0.04 0.00 02 05 0.05 0.2 0.02 02 06 0.06 0.18 0.02 04 06 0.01 0.04 0.00 05 07 0.05 0.12 0.01 06 07 0.03 0.08 0.01 06 08 0.01 0.04 0.00 06 09 0.00 0.21 0.00 06 10 0.00 0.56 0.00 09 11 0.00 0.21 0.00 09 10 0.00 0.11 0.00 04 12 0.00 0.26 0.00 12 13 0.00 0.14 0.00 12 14 0.12 0.26 0.00 100 ANNEXE . 12 15 0.07 0.13 0.00 12 16 0.09 0.2 0.00 14 15 0.22 0.2 0.00 16 17 0.08 0.19 0.00 15 18 0.11 0.22 0.00 18 19 0.06 0.13 0.00 19 20 0.03 0.07 0.00 10 20 0.09 0.21 0.00 10 17 0.03 0.08 0.00 10 21 0.03 0.07 0.00 10 22 0.07 0.15 0.00 21 22 0.01 0.02 0.00 15 23 0.10 0.2 0.00 22 24 0.12 0.18 0.00 23 24 0.13 0.27 0.00 24 25 0.19 0.33 0.00 25 26 0.25 0.38 0.00 25 27 0.11 0.21 0.00 27 28 0.00 0.4 0.00 27 29 0.22 0.42 0.00 27 30 0.32 0.6 0.00 29 30 0.24 0.45 0.00 08 28 0.06 0.2 0.02 06 28 0.02 0.06 0.01 Puissance demandée totale est 189.2 MW. 101 ANNEXE . Fig.A.1 : schéma de réseau IEEE à 30 nœuds. 102 ANNEXE . 2. DONNEES DU RESEAU DE 57 NŒUDS (7 générateurs et 57 nœuds). 2.1. Données des nœuds du réseau Tableau A.3 : Données des nœuds du réseau N. Nœuds V α Pg Qg Pl Ql 1 1.0400 0 -- -- 55.00 17 2 1.0100 -1.1800 0.00 -0.8 03.00 88 3 0.9850 -5.9728 40 -1.0 41.00 21 4 0.9810 -7.3206 0.00 0.00 0.00 0.00 5 0.9760 -8.5203 0.00 0.00 13.00 04.00 6 0.9799 -8.6510 0.00 0.8 75.00 02.00 7 0.9840 -7.5800 0.00 0.00 0.00 0.00 8 1.0050 -4.4512 450 62.10 150.00 22.00 9 0.9800 -9.5623 0.00 2.2 121.00 26.00 10 0.9860 -11.4307 0.00 0.00 05.00 02.00 11 0.9740 -10.1712 0.00 0.00 0.00 0.00 12 1.0150 -10.4619 310 128.5 377.0 24.00 13 0.9790 -9.7924 0.00 0.00 18.00 02.30 14 0.9700 -9.3264 0.00 0.00 10.50 05.30 15 0.9880 -7.1804 0.00 0.00 22.00 05.00 16 1.0130 -8.8532 0.00 0.00 43.00 03.00 17 1.0170 -5.3939 0.00 0.00 42.00 08.00 18 1.0010 -11.7118 0.00 0.00 27.20 09.80 19 0.9700 -13.1996 0.00 0.00 03.30 00.60 20 0.9640 -13.4063 0.00 0.00 02.30 1.00 21 1.0080 -12.8919 0.00 0.00 0.00 0.00 22 1.0100 -12.8432 0.00 0.00 0.00 0.00 23 1.0080 -12.9098 0.00 0.00 06.30 02.10 103 ANNEXE . 24 0.9990 -13.2517 0.00 0.00 0.00 0.00 25 0.9820 -18.1250 0.00 0.00 06.30 03.20 26 0.9590 -12.9494 0.00 0.00 0.00 0.00 27 0.9820 -11.4839 0.00 0.00 09.30 0.50 28 0.9970 -10.4477 0.00 0.00 04.60 2.30 29 1.0100 -9.7533 0.00 0.00 17.00 2.60 30 0.9620 -18.6798 0.00 0.00 03.60 1.80 31 0.9360 -19.3351 0.00 0.00 05.80 2.90 32 0.9490 -18.4598 0.00 0.00 01.60 0.80 33 0.9470 -18.5000 0.00 0.00 03.80 1.90 34 0.9590 -14.0986 0.00 0.00 0.00 0.00 35 0.9660 -13.8593 0.00 0.00 06.00 3.00 36 0.9760 -13.5878 0.00 0.00 0.00 0.00 37 0.9850 -13.4070 0.00 0.00 0.00 0.00 38 1.0130 -12.7055 0.00 0.00 14.00 7.00 39 0.9830 -13.4595 0.00 0.00 0.00 0.00 40 0.9730 -13.6192 0.00 0.00 0.00 0.00 41 0.9960 -14.0502 0.00 0.00 06.30 3.00 42 0.9660 -15.4965 0.00 0.00 07.10 4.40 43 1.0100 -11.3288 0.00 0.00 02.00 1.00 44 1.0170 -11.8591 0.00 0.00 12.00 1.80 45 1.0360 -9.2487 0.00 0.00 0.00 0.00 46 1.0500 -11.8878 0.00 0.00 0.00 0.00 47 1.0330 -12.4891 0.00 0.00 29.70 11.60 48 1.0270 -12.5869 0.00 0.00 0.00 0.00 49 1.0360 -12.9175 0.00 0.00 18.00 8.50 104 ANNEXE . 50 1.0230 -13.3896 0.00 0.00 21.00 10.50 51 1.0520 -12.5170 0.00 0.00 18.00 5.30 52 0.9800 -11.4716 0.00 0.00 04.90 2.20 53 0.9710 -12.2299 0.00 0.00 20.00 10.00 54 0.9960 -11.6901 0.00 0.00 04.10 1.40 55 1.0310 -10.7781 0.00 0.00 06.80 3.40 56 0.9680 -16.0421 0.00 0.00 07.60 2.20 57 0.9650 -16.5571 0.00 0.00 06.70 2.00 2.2. Données des lignes du réseau Tableau A.4 : Données des lignes du réseau. Du Au nœud R (pu) X (pu) y’/2 (pu) 1 02 0.0083 0.0280 0.12900 1 15 0.0178 0.0910 0.09880 1 16 0.0454 0.2060 0.05460 1 17 0.0238 0.1080 0.02860 2 03 0.0298 0.08500 0.08180 3 04 0.0112 0.0366 0.03800 3 15 0.0162 0.0530 0.05440 4 05 0.0625 0.1320 0.02580 4 06 0.0430 0.1480 0.03480 4 18 0.0000 0.5550 0.0000 5 06 0.0302 0.0641 0.01240 6 07 0.0200 0.1020 0.02760 6 08 0.0339 0.1730 0.04700 7 08 0.0139 0.0712 0.01940 7 29 0.0000 0.0648 0.0000 8 09 0.0099 0.0505 0.05480 9 10 0.0369 0.1679 0.04400 9 11 0.0258 0.0848 0.02180 nœud 105 ANNEXE . 9 12 0.0648 0.2950 0.07720 9 13 0.0481 0.1580 0.04060 9 55 0.0000 0.1205 0.0000 10 12 0.0277 0.1262 0.03280 10 51 0.0000 0.0712 0.0000 11 13 0.0223 0.0732 0.01880 11 41 0.0000 0.7490 0.0000 11 43 0.0000 0.1530 0.0000 12 13 0.0178 0.0580 0.06040 12 16 0.0180 0.0813 0.02160 12 17 0.0397 0.1790 0.04760 13 14 0.0132 0.0434 0.01100 13 15 0.0269 0.0869 0.02300 13 49 0.0000 0.1910 0.0000 14 15 0.0171 0.0547 0.01480 14 46 0.0000 0.0735 0.00 15 45 0.0000 0.1042 0.00 18 19 0.4610 0.6850 0.00 19 20 0.2830 0.4340 0.00 21 20 0.0000 0.7767 0.00 21 22 0.0736 0.1170 0.00 22 23 0.0099 0.0152 0.00 22 38 0.0192 0.0295 0.00 23 24 0.1660 0.2560 0.00840 24 25 0.0000 1.1820 0.00 24 26 0.0000 0.04730 0.00 25 30 0.1350 0.2020 0.00 26 27 0.1650 0.2540 0.00 27 28 0.0618 0.0954 0.00 28 29 0.0418 0.0587 0.00 29 52 0.1442 0.1870 0.00 30 31 0.3260 0.4970 0.00 31 32 0.5070 0.7550 0.00 106 ANNEXE . 32 33 0.0392 0.0360 0.00 34 32 0.0000 0.9530 0.00 34 35 0.0520 0.0780 0.00320 35 36 0.0430 0.0537 0.00160 36 37 0.0290 0.0366 0.00 36 40 0.0300 0.0466 0.00 37 38 0.0651 0.1009 0.00200 37 39 0.0239 0.0379 0.00 38 44 0.0289 0.0585 0.00200 38 49 0.1150 0.1770 0.00000 38 48 0.0312 0.0482 0.00600 39 57 0.0000 1.3550 0.00 40 56 0.0000 1.1950 0.00 41 42 0.2070 0.3520 0.00 41 43 0.0000 0.4120 0.00 44 45 0.0624 0.1242 0.0040 46 47 0.0230 0.0680 0.00320 47 48 0.0182 0.0233 0.00000 48 49 0.0834 0.1290 0.00480 49 50 0.0801 0.1280 0.00000 50 51 0.1386 0.2200 0.00000 52 53 0.0762 0.09840 0.00000 53 54 0.1878 0.2320 0.00000 54 55 0.1732 0.2265 0.00000 56 42 0.2125 0.3540 0.00000 56 41 0.5530 0.5490 0.00000 57 56 0.1740 0.2600 0.00000 Puissance demandée totale est 1250.8 MW. 107 ANNEXE . Fig.A.2 : schéma de réseau IEEE à 57 nœuds. 108 ANNEXE . ANNEXE. B RÉSULTATS DE LA SIMULATION Tableau B.1 109 ANNEXE . Tableau B.2 110 ANNEXE . Tableau B.3 111 ANNEXE . Tableau B.4 112 ANNEXE . Tableau B.5 113 ANNEXE . Tableau B.6 114 BIBLIOGRAPHIE Bibliographie . BIBLIOGRAPHIE [1] JAMES DANIEL WEBER « IMPLEMENTATION OF A NEWTON-BASED OPTIMAL POWER FLOW INTO A POWER SYSTEM SIMULATION ENVIRONMENT» Thèse Master de Science, Université d’Illinois en UrbanaChampaign, 1997 [2] ADAMA D. DIARRA « LA REPARTITION OPTIMALE DE LA PUISSANCE REACTIVE POUR LE CONTROLE DES TENSIONS DE BARRE D'UN RESEAU ELECTRIQUE PAR SIMPLEX LP» Mémoire présente a l’université du Québec.1982 [3] GHOLIPOUR SHAHRAKI « APPORT DE L’UPFC A L’AMELIORATION DE LA STABILITE TRANSITOIRE DES RESEAUX ELECTRIQUE » thèse doctorat de l’Université Henri Poincaré, Nancy-I, 2003 [4] R. 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