EIS App Systèmes Grenoble INP et Esisar Composants Electroniques EE479 Electronique des Capteurs Fond de rayonnement cosmique Auteur : Dehay Imprimé en avr.-17 Version 1 : 2000 Rév. oct 2015 Grenoble INP Esisar 50 rue B. De Laffemas – BP 54 26 902 Valence CEDEX 9 EE479 Electroniques des capteurs Systèmes et Composants Electroniques Table des matières Le Bruit en Electronique -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 Origines & Transmission --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 I/ Introduction ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 II/ Bruits -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1/ Généralités ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 2/ Sources de bruit externes ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1 3/ Sources de bruit internes ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1 III/ Bruit thermique ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1/ Définition ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1 2/ Densité spectrale de puissance ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 3/ Puissance disponible ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 4/ Résistance bruyante : schéma équivalent ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 5/ Associations de résistance ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 6/ Bruit thermique d’une impédance ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 IV/ Autres types de bruit ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4 1/ Bruit de grenaille --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 2/ Bruit de scintillation ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 V/ Température de Bruit ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 1/ Définition ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4 2/ Exemple 1 : Antenne----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 3/ Exemple 2 : Amplificateur ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 VI/ Bruit dans un récepteur --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 1/ Notations ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 2/ Température de bruit équivalente à l’entrée ------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 3/ Facteur de bruit ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 4/ Bruit en sortie d’un système -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 5/ Cas des atténuateurs ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 6/ Température de bruit équivalente -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 Bibliographie ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 GD : 2000 - révision 2015 2/13 EE479 Electroniques des capteurs Systèmes et Composants Electroniques Le Bruit en Electronique Fond de rayonnement cosmique Origines & Transmission Image radar bruité GD : 2000 - révision 2015 3/13 EE479 Electroniques des capteurs I/ Introduction Dans le langage courant, le terme de bruit est utilisé pour désigner un son gênant ou désagréable : il a donc en général une connotation fortement négative. En matière technique, et notamment dans le domaine des télécommunications, le bruit désigne tout signal indésirable limitant à un degré ou à un autre l’intégrité et l’intelligibilité d’un signal utile dans un processus de transmission ou de traitement d’information, ce signal utile n’étant pas forcément d’origine acoustique. En télévision, par exemple, un certain type de bruit se caractérise par l’apparition aléatoire de petits points blancs sur l’écran, que les techniciens appellent ‘‘neige’’ ; dans le domaine du traitement numérique des signaux, une erreur dans le décodage d’un mot binaire peut être interprétée comme le résultat de l’addition d’un ‘‘bruit binaire’’. Toutefois, si le bruit est généralement considéré comme un phénomène nuisible, il est parfois lui-même porteur d’informations relatives à ses origines (radioastronomie, surveillance des vibrations des machines industrielles ...). De plus, il est souvent nécessaire de générer volontairement du bruit afin de contrôler expérimentalement l’insensibilité d’un système en fonction du niveau de perturbation ou encore d’analyser l’état d’un système par des méthodes statistiques. II/ Bruits 1/ Généralités L’origine du bruit que l’on rencontre en transmission peut être de nature très diverse : le ‘‘ronflement’’ du 50 Hz, les perturbations atmosphériques, la diaphonie dans un circuit téléphonique ... Il est intéressant d’établir une distinction entre le bruit dû à des perturbations à caractère purement aléatoire, et donc imprévisible, et les interférences provoquées par le captage accidentel d’autres signaux utiles (tels que ceux dus à des couplages entre lignes de transmission voisines) ou la mauvaise élimination de composantes parasites. Les sources de bruit sont classables en deux catégories : - les sources de bruit localisées à l’extérieur d’un système donné et agissant sur lui par influence ; - les sources de bruit internes au système, créatrices d’un bruit propre indépendant des conditions extérieures. 2/ Sources de bruit externes Les causes de perturbations externes sont de deux types : - les perturbations artificielles liées aux parasites générés par les équipements électriques (équipements industriels : commutateurs, relais, postes de soudure à arc électrique, lignes à haute tension ; activités humaines : allumages des moteurs à explosion, appareils électroménagers) ; elles dominent dans les zones urbaines et sont négligeables pour des fréquences supérieures à 100 MHz. - les perturbations naturelles associées à des phénomènes atmosphériques (décharges électriques dues aux orages) ou cosmiques (éruptions solaires, sources galactiques d’ondes électromagnétiques) et aux phénomènes d’évanouissement des signaux de radiocommunication dus à des fluctuations des conditions de propagation selon le milieu ; elles sont négligeables pour des fréquences supérieures à 30 MHz. GD : 2000 - révision 2015 Systèmes et Composants Electroniques L’influence de ces bruits peut être réduite ou même complètement éliminée par une conception intelligente des systèmes : blindage, circuit de masse, recherche de compatibilité électromagnétique ... 3/ Sources de bruit internes Les causes de perturbations internes sont également de deux types : - les perturbations de types essentiellement impulsionnels engendrés par des commutations de courants (circuits logiques, comparateurs, interrupteurs électroniques). - le bruit de fond généré dans les câbles et les composants en raison des mécanismes statistiques de conduction électrique. Si le premier type de perturbation peut être réduit, voire éliminer, par une conception adaptée, le bruit de fond est irréductible. Ses trois composantes principales affectant les circuits électroniques sont : - le bruit thermique (qui occupe une place prépondérante) ; - le bruit de grenaille ; - le bruit de scintillation. III/ Bruit thermique 1/ Définition C’est en 1928 que Johnson met expérimentalement en évidence les fluctuations de tensions aux bornes d’une résistance et que Nyquist en donne l’explication. Ils ont montré que l’intensité de ces fluctuations ne dépendaient que de la température de la résistance, d’où son nom de ‘‘bruit thermique’’. Au-dessus du zéro absolu (0°K), le mouvement brownien des électrons dans un conducteur provoque, même en l’absence de champ électrique, une fluctuation aléatoire de la valeur instantanée de la tension observable aux bornes de tout composant, passif ou actif, présentant une certaine résistance au passage du courant et porté à la température T. 2/ Densité spectrale de puissance Constante de Constante de Planck Boltzmann h = 6,62.10-34 J.s S[dBm] -170 -180 10 102 k = 1,38.10-23 J.K-1. 103 104 105 f en GHz T = 290°K T = 29°K -190 T = 2,9°K -200 -210 Fig. 1 : Densité spectrale de puissance du bruit thermique. La mécanique quantique permet de montrer que la densité spectrale du bruit thermique est décrite par la loi suivante : 1/13 EE479 Electroniques des capteurs hf 1 2 [W/Hz] hf e kT -1 Pour h|f| << kT, Sth ( f ) 12 h f 2 1 h f 1+ + . +...- 1 kT 2 kT h f ½ kT Or, par exemple, à température ambiante T = T 0 =290°K et pour une fréquence f = 1GHz : h|f| = 6,62.10-25 << kT 4.10-21 hf kT 4/ Résistance bruyante : schéma équivalent Le mouvement brownien des électrons produit aux bornes d’une résistance R (1/G), une tension erratique u, dont la distribution d’amplitude est gaussienne, de valeur moyenne <u> nulle et de variance (valeur quadratique moyenne) <u²> = ²u. A cette tension, il faut associer un courant i de valeur moyenne <i> nulle et de variance ²i. En première approximation, la fonction d’autocorrélation du bruit thermique est une impulsion de Dirac. Cth() = ½ kT.(). Sth G De l'expression de la puissance totale disponible PR = u . i = R . i2 = G. u2 La puissance dans R est la puissance dû au bruit thermique PR =Pth = kTB On déduit les variances : ²u = kTBR ²i = kTBG et Or la puissance disponible (ou utilisable) est définit comme la puissance maximale que l’on peut récupérer sur une charge à partir d’un générateur de résistance interne non nulle. Si le générateur a une impédance interne Zi, la puissance maximum est récupérée sur Zc la charge adaptée. L'impédance de Zc est égale à Zi*. R (sans bruit) ½.kT G=1/R (sans bruit) a a i f B b i Sth = 2.10-21 Ws= - 177dBm Sth(f) = ½ kT , f < 1 THz. u On va chercher à exprimer cette variance de bruit u2 engendré par R puis de trouver un modèle électrique de cette résistance bruyante. De la loi d’Ohm nous donne : u = R i = Graphiquement, on constate qu’à la température ambiante (T = 290 °K), le bruit reste sensiblement blanc jusqu'à des fréquences de l’ordre de 1000 GHz (1 THz) ; et même pour des températures très basses de quelques degrés Kelvin (utilisées dans les amplificateurs masers), cette propriété est encore valide jusqu'à une dizaine de GHz. Ainsi, on retiendra que la densité spectrale de puissance disponible d’un bruit thermique, à la température T, est uniforme et est donnée par : a Objectif : = 1,6.10-4 << 1 B i R (bruyante) S th (f ) Systèmes et Composants Electroniques u u0 Fig. 2 : Densité spectrale de puissance du bruit thermique sur une bande de fréquence limitée, quand f < 1000 GHz. i R i0 u R Définition : dBm PdB = 10 log( PdBm = 10 log( [ mW] P 1W [W] P 1W b ) On cherche la tension à vide u0 et le courant de court-circuit i0 tel que la puissance dans une charge adaptée soit égale à la puissance de bruit thermique : ) = 10 log(10 3. P[W]) PdBm = 30 PdB PR = 3/ Puissance disponible PR = R² i = R i0 2 ou 4 et [W] Une résistance R, à la température T, fournit donc une puissance de bruit indépendante de sa valeur R. R (bruyante) Pth = kTB ²u0 = 4kTBR u et ²i0 = 4kTBG Les densités spectrales de puissance associées sont alors : b GD : 2000 - révision 2015 2u 2 = u0 R 4R a i Pth = Sth.2B = ½ kT.2B Pth = kTB b Fig. 3 : Schéma équivalent d'une résistance bruyante. Su0(f) = 2u 0 2B = 2kTR et Si0(f) = i20 2B = 2kTG 2/13 EE479 Electroniques des capteurs Systèmes et Composants Electroniques Conclusion Une résistance bruyante R peut être représentée : - par un générateur de tension de valeur efficace u0= 4 kTBR en série avec une résistance idéale (sans bruit) de même valeur ; - par un générateur de courant de valeur efficace i0 = 4 kTBG en parallèle avec une conductance idéale (sans bruit) de valeur G = 1 / R. D'autre part, chacun des bruits thermiques générés par les résistances est indépendant. Par conséquent, la variance de leur somme est égale à la somme des variances partielles (pas d'inter-corrélation) : ²ueq = ²u01 + ²u02 Soit 4kTeq BR eq = 4kT1BR1 + 4kT2 BR 2 io2 R Teq = R uo 2 Fig. 4 : Représentation de Thévenin / Norton d'une résistance bruyante. La résistance équivalente est obtenu comme le modèle de Thèvenin, en rendant inactives les sources, soit : Cas particulier A température ambiante (290°k), kT 4.10-21 [J], on a alors : u0[µV] = 4 B(kHz).R(MΩ) . Si la résistance considérée est la résistance d’entrée d’un amplificateur idéal (sans bruit), il faut que cette résistance soit d’autant plus faible que la bande passante est plus grande si on veut éviter un bruit excessif. Req = R1 + R2 b/ Association parallèle Dans le cas d’une association parallèle de deux résistances R1 et R2 aux températures respectives T1 et T2, la résistance équivalente Req = R1 // R2 est à la température Teq. (démonstration analogue à la précédente) 5/ Associations de résistance a/ Association série Dans le cas d’une association série de deux résistances R1 et R2 aux températures respectives T1 et T2, la résistance équivalente Req = R1 + R2 est à la température : Teq = R2 Teq = T1G1 T2 G 2 G1 G 2 ²i0eq = ²i01 + ²i02 6/ Bruit thermique d’une impédance Dans les circuits électroniques, on rencontre aussi des éléments réactifs (inductifs ou capacitifs), et l’impédance, vue de deux points quelconques d’un circuit passif, est en général une quantité complexe dépendant de la fréquence : Z(f) = R(f) + jX(f) R(f) désigne la partie résistive R1 X(f) désigne la partie réactive. La formule de Nyquist établit que la variance, ²u, mesurée dans une bande B autour d’une fréquence f, de la tension de bruit aux bornes d’un tel circuit est : i i ²u0 = 4k T B R(f) Req R2 u R1 u u01 R1 Geq = G1 + G2 avec R2 T1R 1 T2 R 2 R1 R 2 u02 i u ueq Cette tension a donc une densité spectrale de puissance indépendante de la partie réactive du circuit : Su0(f) = 2kTR(f) Fig. 5 : Association de résistances bruyantes en série. u = (R1 + R2).i (u01 + u02) u01 u02 i (montage à vide) 4kT1BR1 4kT2 BR 2 0 u = ueq Req.i R1 R2 Exemples A température ambiante, il s’agit de tensions à vide très faibles, peu gênantes dans les applications où les signaux d’information sont de l’ordre du volt, par exemple : R 1 M 100 k 10 k B 20 MHz 20 MHz 20 MHz 179 µV 17,9 µV 1,8 µV u0 T1R 1 T2 R 2 R1 R 2 ueq = 4kTeq BR eq R(f) a Réseau RLC bruyant Z(f) = R(f) + jX(f) u0 X(f) a u0 = 4kTBR(f) b b Fig. 6 : Schéma équivalent d'une impédance bruitée. i = 0 GD : 2000 - révision 2015 3/13 EE479 Electroniques des capteurs Systèmes et Composants Electroniques Un réseau quelconque constitué d’éléments passifs R, L et C constitue un générateur de bruit dont la densité spectrale ne dépend que de la partie résistive de son impédance. IV/ Autres types de bruit Application a/ Phénoménologie Le bruit non thermique le plus fréquent est le bruit de grenaille. Il est dû à la nature discrète du flux d’électrons. Il se manifeste essentiellement dans les composants électroniques où les porteurs de charges sont peux nombreux et circulent à des vitesses très grandes (tubes à vide et semi-conducteurs), au contraire des conducteurs où les électrons sont beaucoup plus nombreux et leurs vitesses plus faible, et pour lesquels le bruit thermique est prépondérant sur le bruit de grenaille. Schottky, en 1918, a montré que, dans une diode à vide, le courant électrique était constitué d’une composante moyenne, le courant continu I, auquel se superpose une partie fluctuante, le bruit de grenaille proprement dit, dont la variance était directement proportionnelle au courant I. On montre, en faisant l’hypothèse d’une émission de densité de probabilité de Poisson des électrons, que la densité spectrale de ce courant est donnée par : Vérifions la formule de Nyquist dans le cas d’un dipôle RC parallèle en effectuant le calcul de la DSP par 2 chemins différents : a C R a R u u0 u C b b Fig. 7 : Exemple d'une impédance bruitée. Calcul direct Dans ce circuit, seule la résistance R est génératrice de bruit ; elle peut donc être remplacée par un générateur de tension de densité spectrale Su0(f) = 2kTR, en série avec une résistance idéale de même valeur R. Cette tension de bruit devient l’entrée d’un filtre passe-bas RC, de fonction de transfert H(f) : H(f) = avec fc = 1 1 j2RCf 1 2 RC 1 1 jf/f c = fréquence de coupure. Alors la densité spectrale en sortie du filtre est : Su(f) = |H(f)|2. Su0(f) = 2 1 1 f/f c 2kTR = 2kT R 1(f/fc )² Formule de Nyquist Si on utilise la formule de Nyquist, l’impédance complexe du dipôle est : Z(f) = R 1 j 2 RCf = R 1 j(f/fc ) 2 j R f/f c 1 j (f/fc ) 2 Z(f) = R(f) + jX(f) Donc Su(f) = 2kTR(f) = 2kT R 1 j (f/fc ) 2 / formule vérifiée Complément : Puissance pour une bande « ∞ » Pour une bande passante infinie, la variance à vide est alors : ²u0 = Su (f)df = 2kTR ²u0 = 2kTRfc arctan f fc 1 1 + (f/f c ) 2 = 2kTRfc. ( ²u0 = df π π -(- )) 2 2 kT C SURPRENANT / INTERESSANT La variance dépend de C et non de R alors que la source de bruit est la résistance et non le condensateur ! GD : 2000 - révision 2015 1/ Bruit de grenaille Si(f) = e I où la charge de l’électron e = 1,6.10-19 C Comme le bruit d’origine thermique, le bruit de grenaille peut donc être considéré comme un bruit blanc (au moins jusqu'à des fréquences inférieures à 1 / , désignant le temps de transit des électrons entre l’anode et la cathode) ; de même, des considérations sur l’origine physique de ce bruit et l’utilisation du théorème central limite nous conduisent à affirmer le caractère gaussien de ce bruit. En revanche, il ne dépend pas de la température : c’est un bruit non thermique. En outre, sa valeur dépend du courant qui traverse la diode, ce qui n’est pas le cas du bruit des résistances. Enfin, les résultats établis par Schottky sont également valables pour les diodes à semi-conducteur. 2/ Bruit de scintillation On trouve dans les semi-conducteurs d’autres sources de bruit, dont la plus importante est le bruit de scintillation. Il s’agit d’un bruit dont la densité spectrale de puissance varie comme f v, où v est un nombre voisin de un (d’où son nom de bruit en 1 / f) ; c’est donc un bruit qui peut être très gênant dans les applications basse fréquence. On l’attribue à des inhomogénéités dans la fabrication des composants. V/ Température de Bruit 1/ Définition La température de bruit est un paramètre permettant de caractériser simplement le bruit engendré par une source de bruit quelconque de manière à prendre en compte les sources de bruits autres que le bruit thermique. Une source de bruit thermique délivre dans une bande de fréquence B une puissance disponible P th = kTB. La température T est la température commune des résistances que contient cette source, si le circuit est constitué seulement d’éléments passifs R, L et C. La puissance P délivrée aux bornes d’un quadripôle quelconque (c’est-à-dire pouvant contenir des composants actifs) à la température T et dans une bande de fréquence B, 4/13 EE479 Electroniques des capteurs Systèmes et Composants Electroniques TB = P kB ou encore P = k.B.TB Cette température de bruit prend donc en compte à la fois le bruit thermique et toutes les autres sources de bruit. La densité spectrale de puissance de ce bruit est alors égale à : kT S(f) = 2PB B 2 Il est important de souligner que la température de bruit n’est pas une température physique et ne correspond donc pas à la température réelle du circuit. 3/ Exemple 2 : Amplificateur R bruyante est supérieure à la puissance, Pth, due aux bruits d’origine thermique seuls. On définit alors une température fictive, T B, appelée température de bruit du quadripôle, par la relation : ½ vs(t) Considérons un amplificateur idéal de gain en tension A (Fig. 9). On suppose qu’il a une impédance d’entrée infinie et une impédance de sortie qui est une résistance pure, Rs sans bruit. On connecte à son entrée une résistance R à la température T. La puissance de bruit disponible en sortie est obtenue lorsque la charge est adaptée. La puissance dans Rs : 2 2 2 A <v e (t)> A e 2 <v s2 (t)> P= = 4R s 4R s 4R s L’impédance d’entrée étant infinie, la tension d’entrée ve(t) est celle fournie par le générateur de bruit thermique que constitue la résistance R, et donc : Ampli 2 P TBant° Fig. 8 : Antenne spire, loin d’émetteur, soumis à des rayonnements. Considérons une antenne sous sa forme la plus simple, une boucle de fil conducteur par exemple. Si sa résistance est négligeable, le bruit thermique engendré est lui-même négligeable. Mais cette antenne est en mesure de capter tous les rayonnements électromagnétiques qui la traversent, et, si elle est connectée à l’entrée d’un récepteur, de les transformer en courant électrique (c’est d’ailleurs son rôle !). Si le récepteur est accordé sur une fréquence que n’utilise aucun émetteur proche, l’expérience montre que l’antenne captera quand même des rayonnements, dont les caractéristiques sont celles d’un bruit. Ce bruit provient de sources extérieures diverses, d’origine artificielle liée à l’activité humaine ou d’origine naturelle, dont des exemples ont déjà été cités. Si P désigne alors la puissance, mesurée dans une bande de fréquence B, de l’ensemble des sources de bruit, l’antenne peut être considérée comme un quadripôle générateur de bruit et dont la température de bruit est égale, par définition, à : TBant = P kB Dans ces conditions, TBant n’a rien à voir avec sa température physique, laquelle sera le plus souvent sa température ambiante. Antenne satellite Une antenne de réception de satellites, et donc pointée vers le ciel a une température de bruit de l’ordre d’une dizaine de degré Kelvin ; Antenne hertzienne Une antenne de faisceaux hertziens, qui capte principalement le rayonnement thermique de la terre, a une température de bruit voisine de la température ambiante (290 °K). GD : 2000 - révision 2015 Rs Fig. 9 : Amplificateur chargé, avec une résistance bruitée en entrée. 2/ Exemple 1 : Antenne Spire R=0 Rs ve(t) vs(t) = Ave(t) A u 2 A 2 4kTBR R = A² kT B 4R s 4R s Rs Puissance thermique équivalente : 𝑃𝑡ℎ = 𝑘𝑇𝐵 D’où on déduit la température de bruit du quadripôle 𝑃𝑡ℎ = 𝑃 TB = P R = A² T kB Rs Conclusion TB peut donc être plus grande ou plus petite que la température physique T de la source, y compris proche de l’infini ou de zéro. Le quadripôle est considéré comme une source de bruit (équivalent thermique) à la T° TB. VI/ Bruit dans un récepteur 1/ Notations La notation est difficile, attention au indice et exposant. Ils peuvent évidemment être mixés. 𝑒=𝑒𝑛𝑡𝑟é𝑒 𝑋𝑆=𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑙 𝑌 ( ) 𝑋 𝑒=𝑒𝑛𝑡𝑟é 𝑠=𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑋𝑆=𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑙 𝑌 ( ) 𝑋 𝑠=𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑖=𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒 𝑋𝐵=𝐵𝑟𝑢𝑖𝑡 2/ Température de bruit équivalente à l’entrée Objectif : A partir d’un amplificateur « bruyant », on souhaite trouver un modèle faisant intervenir un amplificateur parfait. 5/13 EE479 Electroniques des capteurs Systèmes et Composants Electroniques PBe =Pth = kTB Mise en situation Considérons un amplificateur de gain en puissance G. Le signal à l’entrée est constitué d’un signal s, de puissance Pse et d’un bruit blanc additif b, de puissance PBe à la température T, ce qui correspond à un bruit thermique kTB. (S/B)s (S/B)e Amplificateur bruyant : PBi ; G PBs = G PBe + PBi Bruit b = G (PBe + Pbi) PBe = Pth = kTB Signal Pse Fig. 10 : Amplificateur bruyant avec une entrée bruitée. Définition Le rapport signal sur bruit en entrée de l’amplificateur est défini par : 𝑆 𝑃𝑠𝑒 ( ) ≜ 𝑒 𝐵 𝑒 𝑃𝐵 𝑆 ( ) = 𝐵 𝑠 𝑆 ( ) ≜ 𝐵 𝑠 1 𝑆 = 𝑆 ( ) 𝑇𝑒 ( ) 𝐵 𝑒 1+ 𝐵 𝑒 1+ T 𝐺kTB 𝑃𝐵𝑖 En posant 𝑇𝑒 = 𝑃𝐵𝑖 𝐺𝐾𝐵 Te est appelée température de bruit équivalente à l’entrée. Cette relation traduit la dégradation du rapport signal sur bruit à la traversée d’un quadripôle ; celle-ci dépend de la valeur relative de la température de la source T et de la température de bruit équivalente en entrée du quadripôle ; en particulier, si Te << T, le quadripôle peut être considéré comme parfait. Dans ces conditions la puissance de bruit en sortie est égale à: PBs = GPBe PBi = GkTB + GkTeB Le rapport signal sur bruit en sortie de l’amplificateur est : 𝑃𝑠𝑠 𝑃𝐵𝑠 1 PBs = GkB (T + Te) Ce qui implique que la température de bruit en sortie est : Ts = G(T + Te) Notion La puissance du signal en entrée est amplifiée par l’amplificateur de gain en puissance de G, on a donc : 𝑃𝑠𝑠 = 𝐺 𝑃𝑠𝑒 La puissance du bruit en sortie est constituée de la puissance du bruit en entrée amplifiée par l’amplificateur et de la puissance du bruit interne à l’amplificateur 𝑃𝐵𝑖 . L’amplificateur est constitué de composants bruyants qui apportent leur propre contribution au bruit : On ramène la puissance de bruit de l’ampli P Bi comme une excitation par un bruit thermique Pbi à l’entrée de température Te. P se Amplificateur Parfait G PBe(T) 𝑃𝑠𝑠 + 𝑃𝐵𝑠 Pbi(Te) = k Te B Fig. 11 : Schéma équivalent avec l’amplificateur parfait, et le bruit interne ramené en entrée sous forme d’un bruit thermique (équivalent). 𝑃𝐵𝑠 = 𝐺 𝑃𝐵𝑒 + 𝑃𝐵𝑖 On exprime alors le rapport signal sur bruit en sortie en fonction de celui de l'entrée : 𝑆 ( ) ≜ 𝐵 𝑠 𝑃𝑠𝑠 𝑃𝐵𝑠 = 𝐺 𝐺 𝑃𝐵𝑒 𝑃𝑠𝑒 + 𝑃𝐵𝑖 𝑃𝑠𝑒 = 𝑃𝐵𝑒 + 𝑃𝐵𝑖 𝐺 = 𝑃𝑠𝑒 𝑃𝐵𝑒 1+ 𝑃𝐵𝑖 3/ Facteur de bruit a/ Introduction Par convention, (issue du calcul du rapport signal sur bruit précédent) on définit le facteur de bruit par : F=1+ 𝐺 𝑃𝐵𝑒 Te avec T0 la température ambiante (290°K). T0 avec Te la température d’entrée du quadripôle. Objectif 𝑆 ( ) = 𝐵 𝑠 1 𝑆 𝑃𝑖 ( ) 1 + 𝐵𝑒 𝐵 𝑒 𝐺 𝑃𝐵 Nous allons exprimez un lien entre le facteur de bruit et les rapports signal sur bruit d'entrée et de sortie. De la définition, on tire : Nécessairement on a : Te = T0 ( F – 1 ) 𝑆 ( ) ≤ 𝑆 𝐵 𝑠 ( ) 𝐵 𝑒 Il y a donc dégradation du rapport signal sur bruit sauf dans le cas limite où 𝑆 ( ) = 𝐵 𝑠 1 1 𝑆 = 𝑆 𝑇𝑒 ( ) T𝑜 ( F – 1 ) ( ) 𝐵 𝑒 1+ 𝐵 𝑒 1+ T T Si la température de la source est à la température ambiante T = T0, Alors PBi = 0 Si dans le cas considéré, le bruit est du bruit thermique, la puissance de bruit dans une bande donnée est donc : GD : 2000 - révision 2015 𝑆 1 𝑆 ( ) = 𝐵 𝑠 𝐹( ) 𝐵 𝑒 6/13 EE479 Electroniques des capteurs Systèmes et Composants Electroniques ou en décibels G2 PBi1 = G2 G1 k Te1 B 𝑆 ( ) = 𝑆 𝐵 𝑠 ( ) | − 𝐹|𝑑𝐵 𝐵 𝑒 𝑑𝐵 b/ Retour à la définition La définition du facteur de bruit peut se voir comme le quotient du rapport signal sur bruit de l’entrée sur celui de la sortie avec un bruit thermique à la T° de T o 290°K en entrée : 𝐹= (𝑆⁄𝐵) 𝑒 (𝑆⁄𝐵) Le facteur de bruit s’écrit : 𝐹= 𝑒 (𝑆⁄𝐵) = 𝑠 G1 𝑃𝑠𝑒 𝑃𝐵𝑠 𝑃𝑠𝑒 𝑃𝐵𝑠 1 𝑃𝐵𝑠 = 𝑒∙ 𝑠 = 𝑠 ∙ 𝑒 = ∙ 𝑒 𝑃𝐵 𝑃𝑠 𝑃𝑠 𝑃𝐵 𝐺 𝑃𝐵 𝑃𝑠𝐵 (𝑇) = GkB(𝑇 + 𝑇𝑒 ) 𝑃𝑖2 𝑏 (𝑇𝑒2 ) = k𝑇𝑒2 B Pi2 = G2kTe2B. On a donc : PBs = G PBe + G PBi1 + PBi 2 2 PBs = G1 G2 k T B + G2 G1 k Te1 B + G2 k Te2 B PBs = G k T B + G k Te1 B + G2 k Te2 B 𝐺𝑃𝐵𝑒 + 𝑃𝐵𝑖 𝑃𝐵𝑖 = 1 + 𝐺 𝑃𝐵𝑒 𝐺 𝑃𝐵𝑒 PBs = k G B ( 𝑇 + 𝑇𝑒1 + Le facteur de bruit F quantifie la dégradation du rapport signal sur bruit d’un amplificateur. 𝑇𝑒1 𝐺1 ) Par ailleurs, par définition, la température équivalente de bruit en entrée, Te, est telle que la puissance de bruit disponible en sortie peut s’écrire : 𝐹≥1 s = G k B(T + T ) PB e Pour un amplificateur parfait F=1. D’où par identification : Conclusion Le bruit interne est donc négligeable (F 1) pour les amplificateurs ayant un gain très important. 4/ Bruit en sortie d’un système a/ Formules de Friss Objectif On souhaite calculer le facteur de bruit global F d’une structure à 2 amplificateurs bruités de gain G1 et G2. On exprimera F en fonction des facteurs de bruit de chaque étage. 𝑇𝑒 = 𝑇𝑒1 + Quadripôle 1 G1, PBi1 Quadripôle 2 G2, PBi2 Charge Fig. 12 : Schéma fonctionnel d'une cascade d'amplificateurs bruités. La puissance de bruit disponible en sortie est la somme des contributions des différents bruits. Puissance du bruit d’entrée amplifié : 𝐺𝑃𝐵𝑒 = 𝐺1 𝐺2 𝑃𝐵𝑒 = 𝐺1 𝐺2 𝑘 𝑇 𝐵 où G = G1.G2 désigne le gain global du système. Puissance du bruit interne du premier amplificateur amplifié par le second : GD : 2000 - révision 2015 𝑇𝑒1 𝐺1 En appliquant la définition du facteur de bruit pour chaque amplificateur : 𝑇𝑒1 𝑇𝑒2 𝐹1 = 1 + 𝑒𝑡 𝐹2 = 1 + 𝑇𝑜 𝑇𝑜 On a alors 𝑇𝑒 𝑇𝑒1 𝑇𝑒2 𝐹2 − 1 𝐹 =1+ = 1+ + = 𝐹1 + 𝑇𝑜 𝑇𝑜 𝐺1 𝑇𝑜 𝐺1 Par récurrence, on peut généraliser (formules de Friis) : Structure Source T G2 Puissance du bruit interne du second amplificateur où G désigne le gain en puissance du quadripôle. Le facteur de bruit est donc le rapport entre la puissance de bruit en sortie du quadripôle réel 𝑃𝐵𝑠 et la puissance de bruit qu’il y aurait si le quadripôle était parfait 𝐺𝑃𝐵𝑒 . Soit, 𝑃𝐵𝑠 = 𝐺𝑃𝐵𝑒 + 𝑃𝐵𝑖 𝐹= 𝑃𝑠𝐵 = G2 𝑃𝐵𝑠1 + 𝑃𝐵𝑖2 = G2 [𝐺1 (𝑃𝐵𝑒 + 𝑃𝐵𝑖1 ) + 𝑃𝐵𝑖2 =⋯ Fig. 13 : Schéma des 2 amplificateurs parfait avec les T° de bruits équivalentes en entrée des bruits internes. Interprétation (𝑆⁄𝐵) 𝑃𝐵𝑒 (𝑇) = k𝑇B 𝑃𝑖1 𝑏 (𝑇𝑒1 ) = k𝑇𝑒1 B | 𝑠 𝑇=𝑇 𝑜 𝑃𝑠𝑒 𝑃𝐵𝑒 𝑃𝑠𝑠 𝑃𝐵𝑠 𝑃𝑠1 𝐵 = G1 𝑃𝐵𝑒 + 𝑃𝐵𝑖1 = G1 kB(T + Te1 ) 𝑇𝑒 = 𝑇𝑒1 + 𝐹 = 𝐹1 + 𝑇𝑒2 𝑇𝑒3 𝑇𝑒𝑚 + + ⋯ + 𝑚−1 + ⋯ ∏𝑖=1 𝐺𝑖 𝐺1 𝐺1 𝐺2 𝐹2 − 1 𝐹3 − 1 𝐹𝑚 − 1 + + ⋯ + 𝑚−1 + ⋯ ∏𝑖=1 𝐺𝑖 𝐺1 𝐺1 𝐺2 Commentaire Chaque étage apporte sa propre contribution au bruit de sortie, mais chacune d’elles est divisée par le gain des étages précédents. Le bruit engendré par le premier étage est prépondérant dans le bruit en sortie ; il convient donc d’apporter une attention particulière à la conception du premier étage. 7/13 EE479 Electroniques des capteurs Systèmes et Composants Electroniques b/ Exemple élémentaire Un récepteur micro-onde MASER (amplificateur hyperfréquence) est utilisé en spatiales. On souhaite calculer la température de bruit équivalente à l’entrée de l’ampli et le facteur de bruit du dispositif. Température d’antenne : Ta =14°K. Ta MASER Gm ; T i Gain en puissance : Gm = 30dB T° interne de bruit : Ti= 4°K Température de bruit équivalente en entrée : PBs = G 𝑃𝐵𝑒 + 𝜆 𝑃𝐵𝑖 = G k T B + k Ta B Pour déterminer la valeur de , considérons la situation particulière dans laquelle : T = Ta. Vu de la sortie, l’ensemble source + atténuateur constitue alors une source unique de bruit thermique à la température T = T a (en d’autres termes il n’y a pas d’échange thermique entre la source et l’atténuateur). Le bruit en sortie est alors le bruit délivré par cette source : = 𝐾 𝑇𝑖 𝐵 Puissance thermique de bruit d’antenne : 𝑃𝐵𝑒 = 𝐾 𝑇𝑎 𝐵 Expression de Teqe Température de bruit équivalente en entrée dû au bruit interne de l’amplificateur : 𝑃𝐵𝑠 = 𝑘 𝑇𝑎 𝐵 𝑒 𝐾𝑇𝑖 𝐵 = 𝑘 𝑇𝑒𝑞 𝐵 k Ta B = G k Ta B + k Ta B Soit 𝑇𝑖 4 = = 4 𝑚𝐾 𝐺 1 000 d’où on déduit : =1-G Température de bruit en sortie TBs Température de bruit en sortie dû au bruit interne de l’amplificateur et au bruit de l’antenne : 𝑒 𝑇𝐵𝑠 = 𝐺(𝑇𝑒 + 𝑇𝑒𝑞 ) 𝑇𝐵𝑠 = 1000 ∙ (14 + 4 ∙ 10 −3 ) = 14 000 𝐾 Facteur de bruit Facteur de bruit de l’ampli est alors S F S Bs 1 Be e Teq Ta 1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑇 = 𝑇𝑎 En identifiant ce résultat avec l’équation générale dans laquelle (T = Ta), on obtient : 𝑃𝐵𝑖 = 𝐺𝑃𝑏𝑖 𝑒 𝑇𝑒𝑞 = 4.10 3 14 et finalement : PBs = G k T B + (1 - G) k Ta B. Vérifions intuitivement cette relation : - si G = 0 : tout se passe comme si on avait déconnecté l’entrée de la sortie ; le bruit de la source est complètement atténué, et le bruit interne ne peut que se diriger intégralement vers la sortie ; dans ces conditions : 𝑃𝐵𝑠 = 𝑘 𝑇𝑎 𝐵 1,0028 F 12 mdB - si G =1 : il n’y a alors pas d’atténuation, et donc aucun élément dissipatif dans l’atténuateur, et donc pas de source de bruit interne ; le bruit de sortie est uniquement dû au bruit d’entrée, et puisque G = 1. 5/ Cas des atténuateurs PBs = k T B Atténuateur Un atténuateur est un circuit dissipatif bidirectionnel (lignes de transmission sur câbles métalliques ou fibres optiques, guides d’ondes utilisés dans les circuits hyperfréquence). Dans un atténuateur, toute la puissance de bruit interne n’est pas intégralement délivrée en sortie ; une partie de cette puissance est réfléchie vers l’entrée. Pour déterminer sa température de bruit, il faut calculer la puissance de bruit en sortie. i PBe T Atténuateur T° Ta G ; PBi PB Fig. 14 : Atténuateur avec bruit interne. GD : 2000 - révision 2015 cela par définition. Donc par identification, on déduit la température équivalente en entrée de l’atténuateur : 𝑇𝑒 = où 𝐴= 1−𝐺 𝑇𝑎 = (𝐴 − 1)𝑇𝑎 𝐺 1 >1 𝐺 est l’atténuation Le facteur de bruit s’écrit alors : GPB (T) On veut le facteur de bruit. PBs = G k (T + Te) B Ampli e Objectif 0 < < 1. Détermination de Puissance thermique de bruit interne : 𝑃𝐵𝑖 Considérons un atténuateur à la température T a (Ta température physique, puisque l’atténuateur n’est le siège d’aucun autre bruit que le bruit thermique), de gain en puissance G (0 < G < 1), à l’entrée duquel est connectée une source de bruit à la température T (température de bruit). Le bruit en sortie, dans la bande B, est la somme du bruit appliqué en entrée « amplifié » d’un gain G et d’une partie du bruit interne engendré par l’atténuateur. F = 1 + (A - 1) Ta . To T On rappelle que F = 1 e To La température de bruit de l’atténuateur augmente donc avec l’atténuation. 8/13 EE479 Electroniques des capteurs Systèmes et Composants Electroniques En particulier, si l’atténuateur est à température ambiante, son facteur de bruit est égal à son atténuation : F = 2 + 2(4 - 2) + F=A F = 6,38 = 8 dB. En conséquence une atténuation de 3 dB réduit de moitié le rapport signal sur bruit. Supposons que dans un récepteur, le premier étage soit constitué d’un atténuateur à la température ambiante (par exemple, les câbles de connexion entre l’antenne et le premier amplificateur), suivi d’un préamplificateur de température de bruit équivalente en entrée Tep. La température de bruit équivalente en entrée Te de l’ensemble est donc, d’après la formule de Friis : 𝑇𝑒 = 𝑇𝑒1 + 2(20-1) 100 La contribution du préamplificateur au facteur de bruit total est de 4, celle du coaxial de 2. La contribution du coaxial n’est donc plus négligeable lorsqu’il précède le préamplificateur. Sans préamplificateur Antenne Coaxial , A2 = 3 dB = 2 𝑇𝑒2 𝑇𝑒3 + +⋯ 𝐺1 𝐺1 𝐺2 Amplificateur G3 = 90 dB F3 = 13 dB =20 Fig. 17 : Chaîne de transmission bruitée. 𝐴𝑇𝑒3 𝑇𝑒 = (𝐴 − 1)𝑇𝑜 + A 𝑇𝑒𝑝 + +⋯ 𝐺2 Alors l’atténuateur en entrée amplifie la contribution du bruit des étages qui le suivent. En conséquence, la place qu’occupent les atténuateurs dans les récepteurs n’est pas indifférente au bruit total. Les formules de Friis pour les quadripôles en cascade et celles concernant le cas particulier des atténuateurs permettent de couvrir l’ensemble des situations rencontrées dans la pratique. Exemple : Chaîne initiale Antenne Préamplificateur G1 = 20 dB = 100 F1 = 6 dB = 4 Coaxial , A2 = 3 dB = 2 Amplificateur G3 = 90 dB F3 = 13 dB =20 Si le préamplificateur est omis : F = F2 + A2(F3 - 1) = A2 + A2(F3 - 1) F = 2 + 2(20 -1) = 40 F = 16 dB. Sans le préamplificateur la puissance du bruit de sortie est multipliée par 10. 6/ Température de bruit équivalente On présente une méthode de mesure de la température de bruit équivalente à l’entrée et du facteur de bruit. La résistance thermique RTH étant à la température ambiante, T 0. On mesure la puissance de sortie. G Gain en puissance RTH Fig. 15 : Chaîne de transmission bruitée. enceinte De la formule de Friis, on déduit : 𝐹 = 𝐹1 + Mesure de la puissance de sortie 𝐹2 − 1 𝐴2 (𝐹3 − 1) F+ 𝐺1 𝐺1 2−1 2(20 − 1) 𝐹 =4+ F+ = 4,39 = 6,4𝑑𝐵 100 100 La contribution du préamplificateur au facteur de bruit total est de 4, celle du coaxial de 0,1 et est donc négligeable. Ps1 = PBs = GkB(T0 + Te) où est le calibre de la mesure de puissance Puis, on fait varier la température de l’enceinte de façon à observer en sortie une puissance : Ps2 = 2 Ps1 à la température Tr Soit Tr la température correspondante. Permutation Si le coaxial et le préamplificateur sont inversés : Antenne Coaxial , A2 = 3 dB = 2 Préamplificateur G1 = 20 dB = 100 F1 = 6 dB = 4 Amplificateur G3 = 90 dB F3 = 13 dB =20 Ps2 = G k B(Tr + Te) = 2 G k B (Te + To) D’où, sans avoir à déterminer G ou B, on peut déduire la température de bruit équivalente à l’entrée et le facteur de bruit. Te = Tr - 2T0 Fig. 16 : Chaîne de transmission bruitée V2. 𝐹 = 𝐹2 + 𝐴2 (𝐹1 − 1) + 𝐴2 (𝐹3 − 1) 𝐺1 T T 2To Tr F 1 e 1 r 1 To To To ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ GD : 2000 - révision 2015 9/13 EE479 Electroniques des capteurs Systèmes et Composants Electroniques Bibliographie G. ASCH et Collaborateurs : Acquisition de données Du capteur à l’ordinateur. Dunod P. HOROWITZ & W. HILL Traité de l’électronique : Vol. 1; Elektor TRAN TIEN LANG : Electronique des systèmes de mesures ; Mise en œuvre des procédés analogique et numérique ;Masson Au vray : Electronique des signaux analogiques. Dunod. Coulon : Théorie et traitement des signaux. Traité d’électricité de l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes. Milsant : Cours d’électronique Tome 3. Eyrolles. Ventre : Cours de télécommunication. Polycopié de l’Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications GD : 2000 - révision 2015 2/13