Machine à courant continu Introduction - Régimes transitoires d’une machine à courant continu • Ceux relatifs à la mise en œuvre • amorçage • stabilité • Fonctionnement perturbé • variation brusque de la tension d’alimentation • variation de couple • variation de l’excitation pour les machines à excitation séparée • Problèmes de réglage • Pour faire varier la vitesse, on fait faire varier la tension d’alimentation • Sur une petite plage, on peut faire varier la tension d’excitation • Problèmes liés à l’alimentation par des sources non constantes • Actuellement on part d’une tension fixe que l’on hache ce qui permet de faire varier la tension moyenne mais cela entraîne des créneaux. Mise en équation q s v qr i qr s 1 r 2 d i i ds ds 1 v ds 1 2 v ds 2 L’axe direct est l’axe des pôles et l’axe interpolaire est l’axe q. Un enroulement rotorique rejoint les balais sur l’axe q. Deux enroulements sont repérés sur l’axe d. Pour plus de généralité, on placera, dans le cas d’une machine compound, un enroulement série et un enroulement parallèle. 1 Les équations de la machine sont alors : i vds Rds + Lds s M s 0 ds ds 1 1 1 2 ds1 1 Rds2 + Lds2 s 0 ids2 vds2 = Mds2 ds1 s i v ω M ω + M R L s m qrds2 qr qr qr qr m qrds1 Le couple est donné par ( ( Te p = p iqr M qrds1i ds1 + M qrds2 ids2 )) Dém : Voir dans le chapitre précédent l’exemple sur la machine avec collecteur. Ces équations représentent le fonctionnement de la machine en régime permanent et en régime transitoire. 2 Machine à courant continu en régime permanent Les enroulements peuvent être disposés de plusieurs façon différentes : • en série avec le rotor, on a la machine série, • en parallèle avec le rotor, on a la machine shunt, • s’ils sont alimentés par une source auxiliaire on a la machine à excitation séparée • Avec un enroulement série et un enroulement en parallèle (ou à excitation séparé),on a la machine compound. • Etude de la machine compound S1 désigne l’enroulement induit série et S2 l’enroulement d’excitation (Rf, Lf) q f s r i s s1 v i d i f s s2 v f q q r s r d i i vs a Flux additif s d qr i a v s Flux soustractif On peut appliquer l’équation précédente : 3 vds 2 vds1 = v qr Rr + L f s M sf s ω M m af M fs s Rs + Ls s ωm M as ids 2 ids1 Ra + La s iqr 0 0 Il faut exprimer les tensions réelles. Notons ia le courant induit et va la tension induite. iqr = ia ids2 = i f ids1 = ±ia vqr = v a vds2 = v f vds1 = v s Selon que le flux est additif ou soustractif : v = vqr ± vds1 Posons R= Ra + Rs et L = La + Ls ± Msf s i f v f Rf + Lf s = On obtient : v ω M ± M s R ± Ls ± ω M i sf m as a m af Le couple est donné par ( Te p = p M af iai f ± M asia 2 ) On a : • un signe + pour un moteur à flux additif ou une génératrice à flux soustractif • un signe - pour un moteur à flux soustractif ou une génératrice à flux additif. Ces équations sont valables en régime transitoire ou en régime permanent. Dans ce dernier cas on pose alors s = 0. 4 T e ia Représentation du couple pour un moteur à flux additif Machine série L’étude se ramène au cas précédent en supprimant l’enroulement à excitation séparé. On obtient alors en régime permanent : ( ) v = R + ω m M as I a et Te p = pM as i a 2 T ω e r ia Représentation du couple et de la vitesse pour un moteur série Machine à excitation séparé ou shunt en régime permanent v = Ra I a + ω m M af I f et Te p = pM af ia i f avec v constant 5 Modélisation en régime dynamique d’une machine à excitation séparée Calcul de la fonction de transfert avec un flux inducteur constant 2p n p ΦI = KI Nous avons vu : Te = 2a 2π di V = Ri + L + KΩ rd / s En convention récepteur, nous avons montré : dt De plus Φ = F (i f ) Caractéristique magnétique d’une machine à courant continu dΩ J = − fΩ + Te p − Tl L’équation mécanique s’écrit : dt 6 On peut en déduire les différentes représentations de la machine : Représentation de la machine Ä Attention : sur ce schéma, C0 désigne T1, C désigne le couple p électromagnétique Te et p représente la variable de Laplace s Pour un fonctionnement à flux constant, a fonction de transfert complète de la machine a pour expression : Ω( s) Km = V ( s) 1 + (τ em + µτ e ) s + τ eτ ems2 avec : Km = RJ L Rf K τ = µ = τ = , , , e K 2 + Rf K 2 + Rf R em K 2 + Rf 7 Identification des paramètres Les valeurs numériques des paramètres peuvent être déterminées par une analyse et des mesures physiques. Ces valeurs dépendent des conditions dans lesquelles se sont effectuées les mesures. Mais on préfère souvent des méthodes empruntées à l’automatique. Pasek a proposé une méthode simple qui n’exige qu’un seul essai dans le cas où f = 0. On a alors : Ω( s) 1 1 1 RJ avec µ = 0, Km = , τ' = τe , ,τ" = τem = 2 . = V ( s ) K (1 + τ ' s)(1 + τ" s) K K On suppose une condition initiale : V0 = RI0 + KΩ 0 (Eq1) KI 0 = C0 On suppose une variation en échelon ∆V de la tension et on applique : V1 = V0 + ∆V On considère les variations ∆i et ∆Ω du courant et de la vitesse. Le régime final est : ∆ V = K∆Ω (Eq2) I0 = I1 On mesure Ω0, Ω1 et on enregistre ∆i(t). Les valeurs de K et C0 se déduisent des relations Eq1 et Eq2. 8 On étudie ensuite le comportement dynamique du courant en fonction des deux inconnues τ e et λ avec λτe = τem On écrit les deux constantes de temps du système en fonction de ces deux paramètres : 2τ e 2τ e 4 τ '= et τ " = avec α = 1 − 1+α 1− α λ On détermine l’instant t1 où le courant passe par son maximum. On obtient : t1 1 1+ α = ln τe α 1 − α ∆V (τ '+τ ") e1 t1 ∆ I = En posant e1 = exp − τ , m et δ = , on peut montrer : e R τ' ∆i ( 2t1 ) ∆i ( t1 ) = ∆i ( t1 ) ∆I m =δ On peut alors construire les abaques ci-dessous qui donnent δ et t1 en fonction τe de λ. 9 Les mesures de t1, ∆i(t1) et ∆i(2t1) définissent les paramètres du moteur en suivant la méthode suivante : • on calcule δ = ∆i ( 2t 1 ) ∆i (t 1 ) • une abaque donne δ t1 • la seconde abaque donne τ e • On en déduit τe et λτe ∆i ( 2t1 ) ∆i ( t1 ) = = δ on tire ∆ιm et donc R • De ∆I m ∆i ( t1 ) • De τe et λτe on en déduit respectivement L et J. 10 Quelques exemples d’étude de la machine en régime transitoire Court-circuit aux bornes d’une génératrice shunt q i i q f v d v f Conditions initiales : vq 0 , iq 0 , i f 0 ,ω m = cste On fait l’hypothèse que durant le régime transitoire la vitesse reste constante. On considérera que le court-circuit n’agit que sur les grandeurs électriques. Dans des conventions récepteurs : v f = vq = R f i f + L f di f dt (en excitation shunt vf = vq , on note aussi Maf = Mfq ) v q = M af ω mi f + Ri q + L di q dt (fonctionnement en générateur avec une convention récepteur) Les conditions initiales s’écrivent : vq = R f i f 0 0 v q = M af ω mi f + Ri q 0 0 0 (il n’y a pas de variation de courant en régime permanent) Lors du court-circuit on vf=vq =0 En transformée de Laplace les équations deviennent (utiliser l’expression de la dérivation avec conditions initiales): 0 = R f i f + L f si f − L f i f 0 0 = M af ω m i f + Ri q + Lsi q − Li q 0 11 On a donc if = L f i f0 R f + L f s soit i f = i f 0e − Rf Lf t Le courant inducteur décroît avec sa constante de temps propre. La seconde équation donne : M af ωm L f i f 0 1 iq = Li + R + Ls q 0 R f + L f s R R M af ω m L f i f − L t − t e iq = iq e + −e L . Soit RL f − R f L M af ωm L f i f k= Posons RL f − R f L f R − t L 0 f 0 0 i q R k exp (- f ) Lf i q 0 i exp q (- 0 k exp (- R i ) q L R ) t L Le courant inducteur varie très lentement donc le flux du à l’inducteur ne varie pratiquement pas durant le régime transitoire. Dans l’induit le courant aurait décru s’il n’y avait pas eu le couplage magnétique induit/inducteur. Mais ce n’est pas le cas. Il va y avoir appel de courant pour compenser les ampères tours manquants du au court-circuit (il ne peut y avoir variation brusque de flux) et ceci avec la constante de temps de l’induit. Ensuite la compensation s’arrête. Le courant décroît. 12 Réglage de vitesse d’un moteur à courant continu q i i f q v q d v f En convention récepteur v f = Rf i f + L f di f Eq1 dt v q = M af ω mi f + Ri q + L J dωm = pM af i f iq − T1 p dt diq Eq2 dt Eq3 On suppose Lf >> L (ce qui est toujours le cas sur les grosses machines mais un peu moins vrai sur les petites) Si on maintient constant la tension sur l’inducteur, alors if sera constant. On peut supprimer l’équation eq1. Effectuons une petite variation autour du point de fonctionnement et écrivons la transformée de Laplace. ∆ vq = ( R + Ls) ∆iq + M af i f 0 ∆ωm ∆ Tl = pM af i f ∆ iq − 0 J s∆ ω m p D’où ∆ωm = J 1 ∆v q − ( R + Ls) ∆Tl + s∆ωm p pM af i f M af i f 0 0 13 Donc ∆ω m = J pM af i f 0 ∆vq − ( R + Ls) ∆Tl + s∆ω m p ( p M af i f0 ) 2 Donc ( p M af i f 0 ) 2 + J ( R + Ls)s ∆ω m = pM af i f0 ∆v q − ( R + Ls)∆Tl p Donc ∆ω m = pM af i f ∆vq − ( R + Ls) ∆Tl 2 J p M af i f + ( R + Ls) s p 0 ( 0 ) 14